精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学期末市统测模拟试卷二

云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷二 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的定义判断求解即可. 【详解】因为，，由交集的定义可得. 故选：A 2. 已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】写出的共轭复数，结合复数的乘法运算求出，根据复数的几何意义即可判断. 【详解】由，得，所以，故在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查共轭复数、复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题. 3. 若向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据结合数量积的运算律计算即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 故选：D. 4. 已知函数是奇函数，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 故答案为：C． 5. 已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【详解】已知, 则 故选:. 6. 学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙选择情况的总个数，再分两本相同书目均为中国名著，两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，两种情况，分别求解相应的概率，再相加即可. 【详解】从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙均有种情况， 若两本相同书目均为中国名著，则从4本中国名著中选择两本，有种选择，两本外国名著，两人进行全排列即可，有情况为种， 则概率； 若两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，则先从4本中国名著中选择1本，两人均选择了此名著，再从2本外国名著中选择1人，两人均选择了此名著，有种选择， 再从剩余的3本中国名著中选择2本不同的名著，即进行部分排列即可，此时有种选择， 故共有种选择， 则概率， 所以甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率. 故选：C ． 7. 在三棱锥中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 解：由条件知：，取BC,PB,AC,AB中点分别为：F,E,H,K,FE为的中位线，FE=，同理H F=，中，EH=，E K=，EH=，中，三边关系满足勾股定理，角为所求角，在直角三角形中，角的余弦值为．故选A. 点睛：发现三棱锥的线线间的垂直关系，将异面直线通过做平行线移到同一平面中，将要求的角放到了直角三角形中求解． 8. 设函数，，当 时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：令，分析可知曲线 与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得 ，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当 时，曲线 与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得 ， 若 ，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线 与恰有一个交点， 所以 符合题意； 综上所述： . 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得 ， 若 ，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得 ，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以 符合题意； 故选：D. 二、多选题 9. 某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B. 这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C. D. 若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布，得到， ，可判定A错误；求得，可判定B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可判定C正确；根据同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，可判定D错误． 【详解】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是 ，标准差是，所以A错误； 由，可得， 所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确； 由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确； 由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误． 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向左平移（）个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是 D. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，根据三角函数的单调性、对称性、奇偶性以及图像问题逐个选项判断即可. 【详解】， 对于A，令，则， 所以对于函数 ，时，有增有减，A错； 令，则，B正确； 对于C，平移后，得，若图象关于轴对称， 则，，C正确； 因为，作出图像如下图所示， 由与 有且只有三个交点，所以， 又因为时，且关于直线对称， 所以，D正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（    ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 若，则外接圆的面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值. 【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1， 所以，解得：，所以，则椭圆 ， 椭圆的离心率，故A正确； B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，所以不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， 若，又， 所以，即， 在中，由余弦定理可得 ， 因为，所以， 设外接圆的半径为 根据正弦定理可知，，则， 即外接圆的面积为，故C正确； D选项，设，则 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 若的展开式中的系数为，则实数的值为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用二项展开式通项，令的指数为，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为，求出实数的值. 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得，由题意得，解得，故答案为. 【点睛】本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题. 13. 圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件分析得到，由此可求，直线的点斜式方程可列出，则直线的方程可求. 【详解】圆的圆心为， 当弦被点平分时，此时， 所以， 所以直线的方程为，即为， 故答案为：. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则当取最大值时的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别在 和 中，由余弦定理以及可得，由及正弦定理得，可得，消去可得，由基本不等式可得取最大值时，，从而可得结果. 【详解】如图，设，则． 在 和 中，分别由余弦定理可得 ，， 又 所以， 所以，① 由及正弦定理得 ， 整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以． 把①代入②整理得， 又，当且仅当 时等号成立， 所以， 所以，即时等号成立． 此时，即， 所以当取最大值时的周长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理角化边，考查了基本不等式，属于中档题. 四、解答题 15. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. 【小问2详解】 因为， 所以 ，故原不等式成立. 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为 轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 17. 已知函数 （1）判断函数f(x)的单调性； （2）若当 时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增；（2）. 【解析】 【分析】（1）先对求导，再分和两种情况进行讨论，利用和判断函数f(x)的单调性； （2）将当 时,不等式恒成立,转化为和，下面先证明（），分左右两部分，证明再结合（1）的单调区间实数a的取值范围. 【详解】解：（1）因为函数，所以的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得，所以在上单调递减；在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，，所以. 设 ，则， 当时，，在上单调递增， 所以 ，所以， 故. 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以成立； 当时，，且在上单调递增， 所以成立； 当时，在上单调递减； 则有，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、导函数研究不等式恒成立问题并求参数范围，是中档题. 18. 甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． （1）求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； （2）求甲、乙最终平局的概率； （3）记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 【答案】（1）0.5 （2）0.1889 （3）分布列见解析，3.49 【解析】 【分析】（1）由两人的进球数相同可以是或进行求解； （2）因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况进行求解； （3）的所有可能取值为2，3，4．求出对应的概率即可列出分布列及求出数学期望. 【小问1详解】 记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为， 由两人的进球数相同可以是或， 则. 【小问2详解】 记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，． 因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况： ①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为． ②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为． ③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为0.0064. 故甲、乙两人最终平局的概率为. 【小问3详解】 的所有可能取值为2，3，4． ， ， . 的分布列为 2 3 4 0.17 0.17 0.66 . 19. 如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为. （1）E为上靠近的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长； （2）在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. （ⅰ）求的轨迹方程； （ⅱ）为平面ABCD内且不在上的定点，过P的直线l与有2个交点M、N，若M、N在直线AD的两侧，求的最小值（用m，n表示）. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为；过 作 ，垂足为，连接 ，证明到的距离为，再利用圆周长公式计算得解. （2）（i）建立平面直角坐标系，根据旋转的特点列出等式，化简得到的轨迹方程；（ii）设出直线的方程，与的轨迹方程联立，根据M、N在直线AD的两侧以及韦达定理，化简得到，求解即可. 【小问1详解】 （ⅰ）点绕直线旋转一周所得图形为圆，过作，垂足为； 过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 平面， 所以平面.因为平面，所以， 即到的距离为. 而，所以. 所以绕直线AD旋转一周后所得图形周长为. 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 而为上任意一点，旋转后与平面的交点为， 设旋转过程中到的距离与到的距离相等且垂足相同. 到的距离为，到的距离为， 所以，整理得. （ii）由题意知的斜率存在，设为，则 . 如图，作出符合题意的图形，设 ， . 联立 ，整理得. 根据韦达定理，. 在轴的两侧 ，即 . ，此时恒成立. 可得 ， 代入韦达定理整理得 ， 而， 当最小时，， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2027届高二下学期数学期末市统测模拟试卷二 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知函数是奇函数，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 已知，，则（） A. B. C. D. 6. 学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，，，，则异面直线与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8. 设函数，，当 时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题 9. 某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25 B. 这100份问卷中得分超过85分的约有16份 C. D. 若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向左平移（）个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是 D. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则 11. 已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（    ） A. 椭圆的离心率为 B. 存在点，使得 C. 若，则外接圆的面积为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 若的展开式中的系数为，则实数的值为__________. 13. 圆内有一点， 为过点的弦.当弦 被点平分时，则直线 的方程为______. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，是 的中点，若，且，则当取最大值时的周长为_________． 四、解答题 15. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 16. 如图，四边形 是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点 是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点 到平面的距离. 17. 已知函数 （1）判断函数f(x)的单调性； （2）若当 时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 18. 甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． （1）求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； （2）求甲、乙最终平局的概率； （3）记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 19. 如图，在正四棱柱中，，，将直线绕直线AD旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为. （1）E为上靠近的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长； （2）在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. （ⅰ）求的轨迹方程； （ⅱ）为平面ABCD内且不在上的定点，过P的直线l与有2个交点M、N，若M、N在直线AD的两侧，求的最小值（用m，n表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $