专题10 锐角三角函数及其应用（2大考点56题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦锐角三角函数两大核心考点，精选江苏多地2026年二模真题56题，覆盖特殊角三角函数计算与解直角三角形实际应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |计算题|15题|含30°、45°、60°等特殊角三角函数值计算（如第1题）|基础巩固，注重公式直接应用| |解答题|41题|涉及坡度（第17题）、仰俯角（第25题无人机测河宽）、方向角（第19题机器人移动）等|情境具时代性（如第20题午休课桌椅、第33题光伏治沙），梯度从单一应用到综合问题（如第55题渔船航行时间计算）|

专题10 锐角三角函数及其应用（2大考点，56题） 2大考点概览 考点01特殊角的三角函数 考点02解直角三角形的应用 1．（2026·江苏苏州·二模）计算：．特殊角的三角函数 考点1 【答案】 【分析】分别计算绝对值、乘方、特殊三角函数值，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 2．（2026·江苏泰州·二模）计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 当时，， ∴原方程的解是． 3．（2026·江苏镇江·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值化简、特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，先分别化简各部分，再按实数运算法则计算即可． 【详解】解： ． 4．（2026·江苏扬州·二模）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据绝对值、立方根、零指数幂、特殊角的正弦值、负整数指数幂的运算法则逐项化简，再进行有理数加减计算； （2）先对分式中多项式因式分解，把分式除法转化为乘法运算，再约分化简得出结果． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．（2026·江苏宿迁·二模）计算：． 【答案】 【分析】先利用负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 6．（2026·江苏南京·二模）计算及化简求值： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 满足， 当时，代入． 7．（2026·江苏泰州·二模）计算与解不等式： (1)计算：； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算特殊角三角函数、绝对值、负整数指数幂、最简二次根式，再合并同类项即可； （2）通过移项、合并同类项、系数化为1解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．（2026·江苏扬州·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2026·江苏盐城·二模）计算： 【答案】3 【详解】解：原式 10．（2026·江苏盐城·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 11．（2026·江苏无锡·二模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ ∴或， 解得：， 12．（2026·江苏盐城·二模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．（2026·江苏苏州·二模）计算：． 【答案】3 【详解】解：原式 ． 14．（2026·江苏盐城·二模）计算： 【答案】 【分析】先计算乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解： ． 15．（2026·江苏扬州·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴． 16．（2026·江苏镇江·二模）如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的距离是5米，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（     ）米解直角三角形的应用 考点2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，米， ∴． ∴米． 17．（2026·江苏常州·二模）如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坡度的定义求出垂直高度，再利用勾股定理求出斜坡长 【详解】解： ∵坡度， 即 又∵ ∴ 在中， 由勾股定理得： ． 18．（2026·江苏无锡·二模）如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 19．（2026·江苏南通·二模）如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 20．（2026·江苏宿迁·二模）年月日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．图示为一款可躺睡椅子及其简化结构，椅座平行于地面，支点到地面的距离为厘米，靠背的长为厘米．若，则点到地面的距离的长是（    ）厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可求，在中，，根据矩形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，，， 如图： 则：， 在中，， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 21．（2026·江苏淮安·二模）如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（   ） A． B． C． D．30° 【答案】C 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离， 斜坡的坡度． 22．（2026·江苏南通·二模）如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为，则小车在斜面上下滑的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的性质，解直角三角形求出斜坡的长，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，斜坡的长度为， ∴小车在斜面上下滑的平均速度为， 故选：B． 23．（2026·江苏无锡·二模）一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进10米所上升的高度为________米． 【答案】 【分析】设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设上升的高度为米， 上山直道的坡度为， 水平距离为米， 由勾股定理得：， 整理得， 解得（负值已舍去）． 24．（2026·江苏常州·二模）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示．两处是墙，是固定的两块玻璃隔板，是门框，测得，．是一扇滑动门，推动时，端点M、N分别在对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，与重合．当点N滑动到限位点P时，此时的的长度叫做通行净宽，且，则通行净宽是___（参考数据：）． 【答案】 【分析】根据题意得出滑动门 的长度等于 的长度，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出的长，进而求出的长． 【详解】解：由题意可知，当点与点重合时，与重合， ∴， 如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴ 25．（2026·江苏盐城·二模）如图，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，测得河对岸处的俯角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点，，在同一条直线上，其中，则河的宽度为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理可以求出，根据的正切可以求出，根据线段之间的关系和矩形的性质可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 则四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 26．（2026·江苏无锡·二模）如图是某书店扶梯的示意图，扶梯的坡度，小明乘扶梯从扶梯底端以米/秒的速度用时秒到达扶梯顶端，则小明上升的竖直高度为________米． 【答案】5 【分析】先根据路程等于速度乘以时间求出斜边的长，再根据坡度的定义设出和的长，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，扶梯的长度为：（米）． 扶梯的坡度， ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 小明上升的竖直高度为米． 27．（2026·江苏盐城·二模）如图，要测量旗杆的高度，在旗杆前平地上处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿方向走到处，测得旗杆顶端的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点、、在同一直线上，延长交于点，则旗杆的高度约为________．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】设，在中利用得出，在中利用列方程求解即可 【详解】解：依题意得：, ∴四边形是矩形，同理，四边形是矩形， ， 设，则， 在中，，， 在中，，， ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意 则旗杆的高度约为米． 28．（2026·江苏无锡·二模）某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，则该山坡的坡度 ________． 【答案】 【分析】根据坡度的定义，坡度为竖直高度与水平宽度的比，先利用勾股定理求出该山坡的水平宽度，再计算坡度即可． 【详解】解：由勾股定理得，该山坡的水平宽度为米. 坡度． 29．（2026·江苏宿迁·二模）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 【答案】 600 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 30．（2026·江苏镇江·二模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． (1)求盲区线段的长； (2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， 【答案】(1)盲区中线段的长约为； (2)解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； （2）略． 31．（2026·江苏连云港·二模）如图，燃气公司的主管道从A小区向北偏东方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装燃气的M小区在A小区北偏东方向，燃气测绘员沿主管道步行6000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西方向，请用尺规作图找出支管道连接点N（不写作法，保留作图痕迹），使到M小区铺设的管道最短，并求出的长．（参考数据：，，） 【答案】支管道连接点N如图所示， ，的长为2880米． 【分析】利用尺规作图作出即可，设，求得，，解直角三角形求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：支管道连接点N如图所示， 设， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 答：的长为2880米． 32．（2026·江苏徐州·二模）2026年“苏超”徐州对泰州比赛中为了全方位记录精彩赛事，转播团队在看台后方安装了可升降的摄像机．如图，在看台底端处测得摄像机的仰角为，在看台顶端处测得摄像机的仰角为．已知看台的坡长为米，坡角，，，在同一直线上，于点，于点． (1)求看台顶端距离地面的高度； (2)求摄像机距离地面的高度．（结果取整数）（参考数据：，，，） 【答案】(1)看台顶端距离地面的高度为米． (2)摄像机距离地面的高度为米． 【分析】（1）根据，求出； （2）过点作于点，根据矩形的判定和性质，可得，，设，根据，求出，根据，得到，等量代换，求出，根据，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得：． 答：看台顶端距离地面的高度为米． （2）解：过点作于点， ∵于点，于点． ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）． 答：摄像机距离地面的高度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的应用． 33．（2026·江苏泰州·二模）我国“光伏治沙”项目，既可利用光伏发电，又能改善沙漠环境．图1为新疆南疆沙漠中铺设的光伏板，如图2为两个完全相同且前后相邻的光伏板，为光伏板侧面长度，、均为光伏板支撑支架，且、都垂直于地面．是光伏板与水平线的倾斜角记为，为光伏板之间的间距，若，，．（参考数据：，，） (1)求支架的高度； (2)当太阳光线与光伏板垂直时，若要求相邻两块光伏板互不遮光遮挡，求板间间距至少多少米？ 【答案】(1) (2)至少为 【分析】（1）易得四边形是矩形，则，解，得出的长，即可求解； （2）过点作的垂线，当垂线正好过点时，满足相邻两块光伏板互不遮光遮挡，解即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：四边形是矩形， ∴． 在中，， ． ． （2）解：如图，过点作的垂线，当垂线正好过点时，满足相邻两块光伏板互不遮光遮挡， 则， 又∵， ． 依题意得：，四边形是矩形， 在中，， ∴． ． 34．（2026·江苏泰州·二模）如图，小明从点出发，沿着坡角为的坡道向上走了到达点（），再沿着坡度为的坡道向上走了到达点（）．求小明沿垂直方向升高的高度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 在中，， ． 在中，， ． ∵， ∴，解得． ． 35．（2026·江苏宿迁·二模）实践与探究： 小明家购买了一款喷水壶，如图所示．喷水壶的工作原理主要是利用了大气压强和伯努利原理，喷水壶有一个推泵，按住手柄推动推杆，将气体推入壶内，壶内的气体压强会增大，这时水就会被大气压强压出壶内，从喷水口喷出去，压强越大，喷得越远，喷水壶上面有许多面积很小的通气孔，这里用的是压强平衡的原理，让空气进入从而达到内外大气压的平衡．推杆到底后会被弹簧弹起回到原处，反复按动手柄喷水壶就可以喷水工作了． 小明观察，喷水壶的弹簧底端点与手柄旋转扣点、推杆顶端构成（如图1），经测量发现，长度是，，．当手柄被按压到底的时候，（如图2），请你帮助小明计算出此时弹簧被压缩缩短的长度是多少（精确到0.1 cm）？（参考数据：，） 【答案】此时弹簧被压缩缩短的长度是 【分析】先处理图1的，因为已知、、，所以可利用三角形内角和求出，再用正弦定理求出的长度．再处理图2的，因为长度不变仍为，且、角度不变仍为，所以该三角形为等腰直角三角形，可直接用三角函数求出的长度．因为弹簧压缩缩短的长度为原来的减去压缩后的，所以将前两步得到的长度作差，再代入参考数据计算近似值即可． 【详解】解：过点作于点， ∵ 在中，，， ∴ ． 在中，， ∵， ∴ ． ∴． ∵在中，，，， ∴ ． ∴ ． 此时弹簧被压缩缩短的长度是． 36．（2026·江苏徐州·二模）某中学为数学实验“先行示范校”，该校一数学活动小组带上高度为的测角仪，对建筑物进行测量高度的综合实践活动．如图，在处测得直立于地面的顶点A的仰角为，然后前进20m至处，测得顶点A的仰角为． (1)求的度数； (2)求的长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1) 延长交于H，构造两个直角三角形，利用仰角分别求出和，作差得； (2) 由(1)，过点作于点，在中，，得，在中，，可求出，用勾股定理求出． 【详解】（1）解：延长交于H， 由已知，， 在处测得顶点的仰角为， 在中，， ， 在处测得顶点的仰角为， ， ， ． （2）解：过点作于点， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ， ， ， 在等腰直角三角形中， ． ∴的长为． 37．（2026·江苏徐州·二模）小李要外出参加活动，需网购拉杆箱，图①，图②分别是她在网上看到的某型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度相等，点，在上，点在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题． (1)求的长度； (2)求拉杆端点到水平滑杆的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)拉杆端点到水平滑杆的距离为 【分析】（1）过点作于，在中，解直角三角形可求出，的长，再根据是等腰直角三角形求出、，根据，求出的长，进而求出即可； （2）过点作交的延长线于， 在中，解直角三角形可求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交的延长线于， ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 38．（2026·江苏无锡·二模）某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图）开展实践活动．通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面．已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角解决下列问题：（结果精确到）（参考数据：，，，，，） (1)已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； (2)根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角俯角问题），熟练运用三角函数的定义及算术平均值的计算方法是解答本题的关键． （1）利用冬至时的影长与太阳光线夹角，通过正切函数求出仪门的高度； （2）先利用仪门高度与夏至时的太阳光线夹角，求出夏至时的影长，再根据秋分影长为夏至、冬至影长的算术平均值，计算出秋分正午的影长． 【详解】（1）解：由题意得，冬至正午影长，， 为直角三角形，， 在中，， ； （2）解：夏至正午影长为， 在中，，， ， 由题意得，秋分正午影长为夏至、冬至正午影长的算术平均值： ． 39．（2026·江苏连云港·二模）为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口A所在平面设置了B，C，D三个灯塔．如图，灯塔B位于A北偏西，灯塔C位于A北偏东，灯塔D在A正北方向20海里处，且灯塔B在D南偏西方向，灯塔C在D南偏东方向． (1)求A、B两个灯塔的距离； (2)甲、乙两艘巡逻艇分别从A、C同时出发沿、往D进行匀速巡逻，行驶过程中甲巡逻艇的速度与乙巡逻艇的速度之比为，当两艘巡逻艇的距离为15海里时，船员可以相互交流巡逻情况，请问甲巡逻艇离开港口A多少海里时，两艘巡逻艇可以开始交流巡逻情况？（结果保留根号．） 【答案】(1)、两个灯塔的距离海里 (2)甲船离开港口为海里时，两艘船可以开始交流情况 【分析】（1）过点作，垂足为点，易证明四边形是矩形，则，在中，，在中，，，据此求解即可； （2）设甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流情况，过点作于点，则海里，根据甲船的速度与乙船速度之比为，设，，则海里，海里，在中，，，在中，利用勾股定理列方程，求出x的值，从而求出的值． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点， ， ∵在中，，， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，，海里， （海里）， 在中，，海里， （海里）， 答：、两个灯塔的距离海里； （2）解：设甲船到达处，乙船到达处，两船可以开始交流情况， 如图，过点作于点，则海里， ， ∵甲船的速度与乙船速度之比为， ∴设，， 海里，海里， 在中，， 海里， （海里）， （海里）， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴（海里）， 答：甲船离开港口为海里时，两艘船可以开始交流情况． 40．（2026·江苏苏州·二模）家用投影仪逐步被大众所喜爱．图①是投影仪投屏情景图，图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留整数） (2)求光源投屏最高点与地面间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴， 在中，， ∴， ∴光源投屏最高点与地面间的距离约为． 41．（2026·江苏无锡·二模）如图1，花洒一端的插口P安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点P转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内） (1)当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶B，求小军身高的长约为多少（精确到）； (2)如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口P顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．求此时的度数．（精确到） （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作支撑杆的垂线，交延长线于，构造矩形，把转化为；利用求出，再用求出； （2） 连，先在中求出及；由与重合得，在中求出；最后利用平角建立角度关系求出． 【详解】（1）解：过点作于点，交延长线于点， ，，， 四边形为矩形， ，，． 在中，，， ， ， ， ． ，， ． 在中，， ∴． （2）连接， 在中，，， ． ， ． 水流过点且， ． 在中，， 参考数据， ， ， ， ． 42．（2026·江苏苏州·二模）某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围米范围内的移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为，其可视范围如图所示．公司对该机器人的相关性能进行测试．如图，机器人（其高度忽略不计）在点处，摄像头正对测试轨道，且与测试轨道的距离为米．一测试物体沿轨道自左向右运动时，于点处恰好被机器人感应到．感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动．当摄像头转动角度为时，运动到点处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动．求摄像头转动的过程中，测试物体移动的距离的长．（参考数据：，，，）． 【答案】测试物体移动的距离的长约为米． 【分析】由题意可得米，米，，，通过勾股定理求出米，再求米，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：由题意可得，米，米，，， 由勾股定理得：（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴测试物体移动的距离的长约为米． 43．（2026·江苏南京·二模）如图，码头位于码头的北偏西方向，，之间的距离为，灯塔在连线上且，轮船甲从出发，沿正西方向航行，轮船乙从出发，沿南偏东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了两倍的距离到达处．此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离． 【答案】 【分析】先根据的总长度和计算出和的长度；再设甲航行的距离为，由“乙航行了两倍的距离”得出；接着分别过点、作直线的垂线，垂足为、，构造出和；然后根据方向角确定和的度数，在两个直角三角形中用含的式子表示出、、、的长度；再由对顶角相等和直角相等证明，得到对应边成比例的关系；之后根据各点在直线上的位置，用线段和差表示出和的长度；最后将所有含的线段代入比例式，解方程求出的值，即为甲航行的距离． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， 过点作于点，过点作于点，则， ∵码头位于码头的北偏西方向，沿正西方向， ∴，， ∴，， ∴， 在中，，， ∵沿南偏东方向， ∴ ∴， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 答：甲航行的距离为． 44．（2026·江苏徐州·二模）如图，为了测量公园一荷花池的宽度，选定观测点C，D，已知C在点A的北偏西 方向上，D在点 B的北偏东方向上，， 求荷花池的宽度．（结果精确到．参考数据： ） 【答案】 【分析】过点C作，过点D作，过点C作，构造矩形与直角三角形．在中，由三角函数得，，结合求得，算出，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点作于点F，过点作于点， 由作图可得，四边形是矩形， 在中，，， ，． 由题意得，， ∴． ， ． 则，． ∵四边形是矩形， ∴，， ． 在中，， ∴． 答：荷花池的宽度约为． 45．（2026·江苏盐城·二模）【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】(1)①1；②0.9米 (2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 46．（2026·江苏徐州·二模）如图，徐州淮海战役烈士纪念塔园林中摆放的歼击机是我国研制的第一代喷气式战斗机．某校数学综合与实践小组在参观时查阅资料得知，该型号的歼击机的截面图为轴对称图形（对称轴为直线），其中翼展，，，，前缘后掠角，后缘后掠角，．求翼弦的长度（精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】翼弦的长度约为 【分析】根据轴对称的性质得到四边形为矩形，，根据平行线的性质可得的度数，在中，根据等腰直角三角形的性质可得的长，根据平行线的性质可得的度数，在中，解直角三角形可得的长，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，设交于点，连接交于点， 歼击机的截面图为轴对称图形， ，， ，四边形为矩形， ，， ，， ， 在中，， ， ，， ， ， 在中，， ， ． 答：翼弦的长度约为． 47．（2026·江苏无锡·二模）如图，在四边形纸片中，，，，，． (1)求的长； (2)若为边上一动点（点不与点，重合），过点作直线，沿直线折叠该纸片，设，折叠后纸片重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1)6 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）过点C作于点R，根据题意得，证四边形为矩形，再根据求解即可； （2）结合运动轨迹分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点R， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴； （2）解：由（1）得，设直线与的交点为Q，点A，点D关于直线的对称点分别为，， 当点Q与点D重合时， ∵直线，，， ∴，， ∴，， ∴， 当时，重叠部分面积为， 此时，， ∴重叠部分面积为； 连接， ∵，， ∴， ∴, 当点与点C重合时，由折叠的性质得，， ∵直线，， ∴ ∴为等边三角形， ∴， 当时，重叠部分面积为，交于点E，延长交于点F，则， 此时，，，， 由折叠性质得，， ∵直线，， ∴ ∴， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分面积为； 当时，即点在四边形外部时，作于点T，重叠部分面积为， 此时，， ∴， 同理得为等边三角形，则 ∴， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 48．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正西方向，海里，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏西的方向．求船离海岸线的距离．（结果精确到海里．参考数据，．） 【答案】海里 【分析】过点作，则有，，根据海里，可得，求出的长度即为船离海岸线的距离． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由题意可知，， ， ，， ， ， 海里。 答：船离海岸线的距离大约为海里． 49．（2026·江苏无锡·二模）【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图1，小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得． (1)【问题初探】 图1中，，分别为入射角、折射角，则________； (2)【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请直接写出下降高度为________； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，求增加的水面高度； (3)【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点．请求出与之间的函数关系． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）先求出，再根据正切的定义求解即可； （2）①过点T作，垂足为，推导出，，得到，，设为，则，得到，得到，即可解答； ②过点H作，垂足为，则，，设，则，，推导出，，再根据，列出方程求解即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点，推导出，，得到， 解得，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：①过点T作，垂足为，如图 则，，， 由题意，得，． ∴， ∴， 设为，则， ∴， 解得， ∴； ②过点H作，垂足为，如图 则：，， 设，则，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∵， ∴，解得， 答：为； （3）解：如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交延长线于点， 由题意得：，，，， 则：， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 50．（2026·江苏连云港·二模）国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． (1)求点到水平面的距离； (2)求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为米； （2）解：如图所示，过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为米． 51．（2026·江苏苏州·二模）如图，是在小区入口处安装的摄像头，是摄像头的监控区域．为水平地面，点、在直线上． 已知摄像头离地面的高度米，，． (1)求的长． (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据： ，，， ，，．） 【答案】(1)15.6米 (2)9秒 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）分别解，求出的长，进而求出的长即可； （2）分别解，求出的长，进而求出货车行驶的路程，利用时间等于路程除以速度进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴； ∴（米）； （2）解：由题意，，， 在中，； 在中，， ∴厢式货车在监控范围内行驶的路程为（米）； ， ∴（秒）； 答：从车头（）进入监控区域到车尾（）驶出监控区域需要9秒． 52．（2026·江苏苏州·二模）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 53．（2026·江苏淮安·二模）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 54．（2026·江苏连云港·二模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 55．（2026·江苏苏州·二模）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 56．（2026·江苏泰州·二模）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．    (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）直接在中解直角三角形即可解答； （2）在中，由勾股定理得：，解求得，由题意得，故，最后求出的长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 答：的长． （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴，解得：， 由题意得，， ∴， ∴． 答：物体上升的高度约为． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10锐角三角函数及其应用(2大考点，56题) ☆2大考点概览 考点01特殊角的三角函数 考点02解直角三角形的应用 考点1 特殊角的三角函数 1.(2026江苏苏州二模)计算：V2-1+(-1)2026-sin45°. 2.(2026江苏泰州·二模)计算及解方程： (1)计算：V2-1-2sin45°+2； (2)解方程：1=3 x+2x-4 3.(2026江苏镇江二模)计算：5--2sn60+得) 4.(2026江苏扬州二模)计算： ()-3+(27-1°+2sin30° (2)x-12-2x+1 x+2 2x+4 5.(2026江苏宿迁二模)计算： -2c0s30°+V3-(元-3.14)°. 6.(2026江苏南京二模)计算及化简求值： (1)计算： +V8+3tan30°+2V2-3. (2先化简，再求值：La+2++3a+2,其中满足d+2a-7=0. a+1a2-1a2-2a+1 7.(2026江苏泰州二模)计算与解不等式： (2)解不等式：2x+4>-x-4. 8.(2026江苏扬州二模)计算： (1)(元-3.14)°-tan30°+31--2： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2-x 9.(2026江苏盐城二模)计算： +1-v5+2sin60°-2 10.(2026江苏盐城二模)计算：-21+2cos30°-V5-2-√12， 11.(2026江苏无锡二模)计算与解方程： ()计算：2tan60°+22-V-3)2: (2)解方程：x2+2x-3=0. 12.(2026江苏盐城二模)计算：√8-2sin45°-(3-π)°. 13.(2026江苏苏州二模)计第：卜-+2026+π°+③ tan60° 14.(2026江苏盐城二模)计算：（-1)26+1-V-2c0s30°+(-2 15.(2026江苏扬州二模)(1)计算： 2sn60+5-+g: 3(x+1)≤2x+4 (2)解不等式组： x+5>x+3 2 考点2 解直角三角形的应用 16.(2026江苏镇江·二模)如图，一棵垂直于地面的大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的距离是5 米，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的高度是()米 A.5+ 5 B.5+5 C.5+5sin40° D.5+5tan40° sin40° c0s40° 17.(2026江苏常州二模)如图，在坡度i=3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距AC为9m,则这两棵 树在坡面上的距离AB长为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.2v10m B.9m C.310m D.10m 18.(2026江苏无锡二模)如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳 光与地面成45°时，第二次是当阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？() A.123-12B.12V3+12 C.12 D.12-4V3 19.(2026江苏南通·二模)如图，在某次表演中，机器人需要从A处移动到北偏东45°的C处，机器人先向 正东方向移动30m到达B处，再向北偏东30°方向移动到C处，则C处到AB的距离CD长为() 30 459 B A.30W5 B.60 C.15V3+15 D.15V3+45 20.(2026江苏宿迁·二模)2026年2月1日起，市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌 椅通用技术要求》实施，规定午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到135°以上.图示为一款可躺睡椅 子及其简化结构，椅座AB平行于地面CD,支点O到地面的距离OC为40厘米，靠背BE的长为40厘米.若 ∠ABE=140°，则点E到地面的距离EF的长是()厘米. 140° B D A.40+40sin50° B.40+40tan50 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.40+40sin40° D.40+40tan40° 21.(2026江苏淮安·二模)如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的 坡度是() A.5 B, c.3 D.30° 3 22.(2026江苏南通二模)如图，某物理兴趣小组做小车从斜面下滑的实验时，将小车沿高度为的斜面 顶端向下滑，若斜面与水平面的夹角为，沿斜面下滑的时间为t,则小车在斜面上下滑的平均速度为() A.日 h B. C.h D.h t.sina t.tand t·cosa 23.（2026江苏无锡二模)一条上山直道的坡度为1：3，沿这条直道上山，每前进10米所上升的高度为 米 24.(2026江苏常州二模)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示.AE、DE两处是墙， AB、CD是固定的两块玻璃隔板，BC是门框，测得AB=BC=CD=60cm,∠ABC=LBCD=I35°.MN是 一扇滑动门，推动MN时，端点M、N分别在BC、CD对应的轨道上滑动.当点N与点C重合时，MN与 BC重合.当点N滑动到限位点P时，此时的BM的长度叫做通行净宽，且LCNM=6°，则通行净宽是 cm(参考数据：sin6°≈0.1). E A 图1 图2 25.(2026江苏盐城二模)如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为， tana=2,无人机沿水平线AF方向继续飞行40m至B处时，测得河对岸D处的俯角为30°.无人机距地面 的垂直高度用AM表示，点M,C,D在同一条直线上，其中MC=50m,则河的宽度CD为 m 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B Aa30 ■ M C D 26.(2026江苏无锡二模)如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=1:√5，小明乘扶梯从扶梯底端 A以0.5米/秒的速度用时20秒到达扶梯顶端B,则小明上升的竖直高度BC为 米 27.(2026江苏盐城二模)如图，要测量旗杆AB的高度，在旗杆前平地上C处，用测角仪测得旗杆顶端B 的仰角∠BDG=37°，沿CA方向走到E处，测得旗杆顶端B的仰角∠BFG=45°，且量得CE长为5m,测角 仪的高度为1.6m,点C、E、A在同一直线上，延长DF交AB于点G,则旗杆AB的高度约为 m .(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) B ⊙ -----------F D A C E 28.(2026江苏无锡二模)某小山坡的坡长为20米，山坡的高度为10米，则该山坡的坡度i= 29.（2026江苏宿迁·二模)广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉.在 次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心D一定距离的B处测得塔顶C的仰角为60°， 再将无人机垂直上升到离点B距离为600-200√3)米的点A处，此时测得塔顶点C的仰角为45°，则测得小 蛮腰的高度为 米 4.:)459 (600-2003)米： 60° B D 地面 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.:J59 .·∠ABD=∠BDE=∠AED=90°， (600-2005)米： 60° B D 地面 .四边形ABDE为矩形， AE=BD,AB=DE=600-200V3米， 设BD=x米，则AE=BD=x米， :∠EAC=45°，∠AEC=90°， “.△ACE为等腰直角三角形， CE=AE=x米， .tan60=CD=CD=, BD x 30.(2026江苏镇江·二模)汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的 区域.如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼晴位于点P处，PB、PE为两侧临界视线，ABC、△EFD为 两侧盲区截面.已知：∠PBE=35°，∠PEB=1I2°，AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,垂足分别为C、D, AC=1.05m. (1)求盲区线段BC的长； (2)点M在线段ED上，MD=1.8m,在M处有一高度为0.55m的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并 说明理由， 参考数据：sin35°≈0.57，c0s35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin12°≈0.2，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21 31.(2026江苏连云港·二模)如图，燃气公司的主管道从A小区向北偏东74°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装燃气的M小区在A小区北偏东37°方向，燃气测绘员沿主管道步行6000米到达C处，测得小 区M位于C的北偏西53°方向，请用尺规作图找出支管道连接点N(不写作法，保留作图痕迹)，使到M小 区铺设的管道鼓短，并求出N的长。（参考数据：S血3r子om手m子 4 北 C东 西 Ai 东 南 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 32.(2026江苏徐州二模)2026年“苏超°徐州对泰州比赛中为了全方位记录精彩赛事，转播团队在看台后 方安装了可升降的摄像机D.如图，在看台底端A处测得摄像机D的仰角为60°，在看台顶端B处测得摄像 机D的仰角为75°.已知看台AB的坡长为422米，坡角∠BAE=45°，A,E,C在同一直线上， BE⊥AC于点E,DC⊥AC于点C. D B E C (1)求看台顶端B距离地面的高度BE; (2)求摄像机D距离地面的高度DC,(结果取整数)（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26， tan75°≈3.73，√5≈1.73) 33.(2026江苏泰州·二模)我国“光伏治沙”项月，既可利用光伏发电，又能改善沙漠环境.图1为新疆南 疆沙漠中铺设的光伏板，如图2为两个完全相同且前后相邻的光伏板，AD为光伏板侧面长度，AB、CD均 为光伏板支撑支架，且AB、CD都垂直于地面.∠ADE是光伏板与水平线的倾斜角记为，CG为光伏板 之间的间距，若AD=1.2m,a=37°，CD=2.5m.(参考数据：sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80， tan37°≈0.75) 太阳光线 B 图1 图2 (1)求支架AB的高度； (2)当太阳光线与光伏板垂直时，若要求相邻两块光伏板互不遮光遮挡，求板间间距CG至少多少米？ 34.(2026江苏泰州二模)如图，小明从点A出发，沿着坡角为10°的坡道向上走了120m到达点B (AB=120m),再沿着坡度为13的坡道向上走了160m到达点C(BC=160m).求小明沿垂直方向升高 的高度（即CD的长）.（结果精确到0.1m.参考数据：cosl0°≈0.985，sin10°≈0.174，tan10°≈0.176， √10≈3.126) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 10° A D 35.(2026江苏宿迁二模)实践与探究： 小明家购买了一款喷水壶，如图所示，喷水壶的工作原理主要是利用了大气压强和伯努利原理，喷水壶有 一个推泵，按住手柄推动推杆，将气体推入壶内，壶内的气体压强会增大，这时水就会被大气压强压出壶 内，从喷水口喷出去，压强越大，喷得越远，喷水壶上面有许多面积很小的通气孔，这里用的是压强平衡 的原理，让空气进入从而达到内外大气压的平衡.推杆到底后会被弹簧弹起回到原处，反复按动手柄喷水 壶就可以喷水工作了· 小明观察，喷水壶的弹簧底端A点与手柄旋转扣B点、推杆顶端C构成ABC(如图1)，经测量发现，AB 长度是4cm,∠BAC=45°，∠ACB=60°，当手柄被按压到底的时候，∠AC'B=90°（如图2），请你帮助 小明计算出此时弹簧被压缩缩短的长度是多少（精确到0.1cm)？(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） R 喷嘴→ 弹簧 手柄 推杆形 图1 图2 B 、 在RtAABD中，∠BAC=45°，AB=4cm, D 36.(2026江苏徐州二模)某中学为数学实验“先行示范校”，该校一数学活动小组带上高度为1.5m的测角 仪BC,对建筑物AO进行测量高度的综合实践活动.如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角 为30°，然后前进20m至DE处，测得顶点A的仰角为75°. B (1)求∠CAE的度数： (②)求AE的长（结果保留根号）. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(2026江苏徐州二模)小李要外出参加活动，需网购拉杆箱，图①，图②分别是她在网上看到的某型 号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度相等，点B,F在AC 上，点C在DE上，支杆DF=36cm,CE:CD=1:3,∠DCF=45°，∠CDF=30°，请根据以上信息，解决下 列问题. B ① ② (1)求AC的长度： (2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离.（结果保留根号） 38.(2026江苏无锡·二模)某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图1）开展实践活动.通过查阅资料 得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影 长的算术平均值. 如图2，AB为江苏学政衙署仪门，AB垂直于水平地面BC.已知夏至时正午太阳光线AD与水平地面的夹 角LADB=81.6°，冬至时正午太阳光线AE与水平地面的夹角∠AEB=34.7°解决下列问题：（结果精确到1m )(参考数据：sin34.7°≈0.57，c0s34.7°≈0.82，tan34.7°≈0.70，sin81.6°≈0.99，c0s81.6°≈0.15， tan81.6°≈0.70) B D F E (图) (图2) (1)已知冬至时，正午影长为10.1m,求仪门AB的高度； (2)根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长BF. 39.(2026江苏连云港·二模)为指引航船在黑夜和气候恶劣时能够安全抵达港口，某海域在港口A所在平 面设置了B,C,D三个灯塔.如图，灯塔B位于A北偏西15°，灯塔C位于A北偏东30°，灯塔D在A正 北方向20海里处，且灯塔B在D南偏西30°方向，灯塔C在D南偏东60°方向. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 D 西 个东 60 南 15 30 A (1)求A、B两个灯塔的距离； (2)甲、乙两艘巡逻艇分别从A、C同时出发沿AD、CD往D进行匀速巡逻，行驶过程中甲巡逻艇的速度与 乙巡逻艇的速度之比为5：4，当两艘巡逻艇的距离为15海里时，船员可以相互交流巡逻情况，请问甲巡逻 艇离开港口A多少海里时，两艘巡逻艇可以开始交流巡逻情况？（结果保留根号.） 40.(2026江苏苏州二模)家用投影仪逐步被大众所喜爱.图①是投影仪投屏情景图，图②是其侧面示意 图，己知支撑杆AD与地面FC垂直，且AD的长为l2cm,脚杆CD的长为50cm,AD距墙面EF的水平距 离为240cm,投影仪光源散发器与支撑杆的夹角∠DAE=120°，脚杆CD与地面的夹角∠BCD=40°.（参考 数据：sin40°≈0.64，c0s40°≈0.76，tan40°≈0.84) 图① 图② (1)求AB的长度；（结果保留整数） (2)求光源投屏最高点与地面间的距离EF,(结果保留根号) 41.(2026江苏无锡二模)如图1，花洒一端的插口P安装在固定高度的支撑杆上，握把PA长25cm,握 把可在竖直方向绕着点P转动.图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线AD状，设计要求水流 方向和握把垂直，即∠PAD=90°，身高BC长的小军站在支撑杆的正前方的C处.己知PM⊥CM, CB⊥CM,且PM=180cm,CM=75cm.设∠APN=&.(注：所有图形都在同一平面内) 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 、D M M CD) (图1) (图2) (图3) (1)当a=30°时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶B,求小军身高BC的长约为多少（精确到1cm): (2)如图3，小军洗完澡后，将握把PA绕着插口P顺时针转动一定的角度，以此调整水柱AD,确保在C处 冲到脚.求此时α的度数.（精确到1°） (参考数据：sin24.8°≈0.42，c0s65.2°≈0.42，c0s82.5°≈0.13，tan67.4°≈2.4，√5≈1.7) 42.(2026江苏苏州二模)某科技公司生产的智能机器人装配了“超敏”感应器，可感应周围60米范围内的 移动物体；机器人还装配了一枚高清广角摄像头，该摄像头的可视角度为106°，其可视范围如图1所示.公 司对该机器人的相关性能进行测试.如图2，机器人（其高度忽略不计）在点P处，摄像头正对测试轨道 MN,且与测试轨道的距离P?为20米.一测试物体沿轨道MN自左向右运动时，于点E处恰好被机器人感 应到.感应到移动物体后，机器人的摄像头立即朝移动物体的方向转动.当摄像头转动角度为10°时，运动 到点F处的移动物体恰好进入摄像头的可视范围，摄像头随即停止转动.求摄像头转动的过程中，测试物 体移动的距离EF的长.（参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，√2≈1.414). E 可视范围 >B M 106° Q O 图1 图2 43.(2026江苏南京·二模)如图，码头A位于码头B的北偏西30°方向，A,B之间的距离为40k,灯塔 P在AB连线上且AP=2BP,轮船甲从A出发，沿正西方向航行，轮船乙从B出发，沿南偏东60°方向航行. 当甲航行到C处时，乙航行了两倍的距离到达D处.此时，C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行 的距离AC. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 P 30 B 东 60° 44.(2026江苏徐州·二模)如图，为了测量公园一荷花池的宽度AB,选定观测点C,D,已知C在点A的 北偏西22.6°方向上，D在点B的北偏东30°方向上，CA=65m,CD=80m,∠BDC=90°，求荷花池的宽度 AB.(结果精确到1m.参考数据： ≈13，c0s2.6°≈12 sin22.6°≈5 m2685s17） 131 D 北 →东 22.69 45.(2026江苏盐城二模)【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，A,C为墙壁上的固定点， 摇臂CB绕点C旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整，且 CA=CB=CD=1.5米. 太阳 太阳 光线 光线 B 图1 图2 图3 图4 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值. 时刻/时 12 13 14 15 角c的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当∠ACB=90°时. ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角D处，求此时刻角α的正切值m ②如图3，这天13时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离DE. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图4，旋转摇臂CB,使得点B与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到， 则绿萝摆放位置与墙壁CD的最远距离应该小于多少米？ 46.(2026江苏徐州二模)如图，徐州准海战役烈士纪念塔园林中摆放的歼击机是我国研制的第一代喷气 式战斗机.某校数学综合与实践小组在参观时查阅资料得知，该型号的歼击机的截面图为轴对称图形（对 称轴为直线EF),其中翼展BD=9.6m,BD⊥EF,ME‖NF IBD,EF=3m,前缘后掠角∠MEA=53°， 后缘后掠角∠NFB=45°，AB‖CD.求翼弦AB的长度（精确到0.1m). (参考数据：√2≈1.41，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) M 前缘后掠角 后缘后- -068 掠角4 47.(2026江苏无锡二模)如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，∠ABC=60°，AB=8, BC=4. B 图1 备用图1 备用图2 (I)求CD的长； (2)若P为AB边上一动点（点P不与点A,B重合），过点P作直线I∥BC,沿直线I折叠该纸片，设AP=1 ,折叠后纸片重叠部分的面积为S,求S关于的函数表达式， 48.(2026江苏宿迁二模)如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正西方向，AB=4海 里，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离海岸线的距离.（结果 精确到0.01海里.参考数据√5≈1.414，√3≈1.732.) A B 49.(2026江苏无锡二模)【综合与实践】 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象.某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽 横截面为矩形MNFD,MN=80cm,O为水槽水面DF的中点，水深DM=20cm.如图1，小明同学从高 出水面30cm的A处发出一束激光，射到水槽水面上的O处，光在水中的路径为OB,C为水槽底部MW的 中点，测得BC=10cm. D CB 图1 (1)【问题初探】 图1中，a,B分别为入射角、折射角，则tanB= (2)【深入探究】 小组成员探究如何才能使折射光线经过点C. ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点A降 至点R,也能使得折射光线经过点C.请直接写出下降高度为 cm: ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水 面高度，使得折射光线经过点C,求增加的水面高度； D 、O M C C 图2 图3 (3)【问题拓展】 小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低xCm,同时增加水面高 度ycm,也能使得折射光线经过点C.请求出y与x之间的函数关系. 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 、O F M 备用图 50.(2026江苏连云港二模)国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡AB的坡度为 12,AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角是65°. 65 450水平线 水平面 B D (I)求点A到水平面BD的距离： (2)求浮漂D与斜坡下端B之间的距离.（结果精确到0.01，参考数据：√5≈2.236， sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，c0s65°≈0.423，tan65°≈2.145) 51.(2026江苏苏州二模)如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△PAB是摄像头的监控区域.MN为水 平地面，点A、B在直线MN上.己知摄像头离地面的高度PH=4.8米，∠APH=37°，∠APB=39°. 厢式货 MH E A (1)求AB的长. (2)一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头 (CD)进入监控区域到车尾(EF)驶出监控区域需要几秒？ (参考数据：sin370=0.6,c0s370=0.8,tan379=0.75,sin76°=0.97，c0s76°=0.24，tan76°=4.) 52.(2026江苏苏州二模)学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点A,B,C,D,E在同一平 面内，点B,C,D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为 22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角 欢‘欢so元ms:斡獠条象）‘到婴30致深6灯 40 cos420≈3 tan42°≈ 9 0 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [22 E 德楼 42° 博学楼 B D 53.(2026江苏淮安·二模)某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示 意图如图②所示，己知BD=28m,CD=21m,该地冬至正午太阳高度角a为35°.如果你是建筑设计师，请 结合示意图和已知条件完成下列任务， 阳光 C 宅 活 动 4l-a 中 心 D 图① 图② 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需 将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ (参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.结果保留小数点后一位) 54.(2026江苏连云港·二模)随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，O,C是同一水平线 上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A,C两点的距离为24m,无人 机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精 确到0.1m).（点O,A,B,C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.75，√5≈1.73) 36.9°B 30c4 55.(2026江苏苏州二模)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况， 某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置信 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 息 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注 警 意防范， 北 北 码头 D 》东 烟台山灯塔 请根据以上信息，解答下列问题： ()求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离： (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：si37°≈0.60， c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25). 56.(2026江苏泰州·二模)如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起. 起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=6m,∠CAB=60°，停止位置示意图如图3， 此时测得∠CDB=37°（点C,A,D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内.定 滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变， B 图(1) 图(2) 图(3) (I)求AB的长： (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1m). (参考数据：sin37≈0.60，c0s37。≈0.80，tan379≈0.75,3≈1.73)