专题09 相交线与平行线和图形的相似（4大考点55题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题汇编江苏多地二模试题，覆盖相交线与平行线、相似等4大考点共55题，以潜望镜光线反射、桔槔提水器具等真实情境和跨学科素材设计，梯度分布合理。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约30题|相交线与平行线（如潜望镜反射角计算）、位似（坐标变换）|结合物理光学情境，基础概念辨析与空间想象| |填空|约15题|相似性质（如黄金分割纸扇设计）、动态几何（如动点最值问题）|融入传统文化元素，考查计算与模型转化| |解答|约10题|相似三角形综合（如旋转探究、函数图像关联）|多问递进设计（如第47题从证明到面积最值），体现逻辑推理与创新应用|

专题09 相交线与平行线和图形的相似（4大考点，55题） 4大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02相似图象的性质 考点03相似三角形 考点04位似 1．（2026·江苏盐城·二模）如图，潜望镜中的两面镜子与互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数是（     ）相交线与平行线 考点1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，然后通过，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数是． 2．（2026·江苏南通·二模）将直尺和三角板（Rt）如图所示放置，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和三角板中角度的计算，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．解这类题时要注意：直尺的两条边是平行的，三角板有一个角是直角． 【详解】解：过点作， ∴，， ∴， 又∵ ， ∴ ∵， ∴ ∴ . 3．（2026·江苏连云港·二模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定与性质求解的度数即可． 【详解】解：过点作，如图， 因为， 所以， 由于，已知， 则， 又因为， 所以， 因为， 所以． 4．（2026·江苏无锡·二模）下列命题是假命题的是（     ） A．对顶角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查命题真假的判断，错误的命题是假命题，根据相关几何性质和角的定义，逐一判断各命题真假即可。 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，内错角相等，是平行线的性质定理，是真命题，不符合题意； C、举反例：若两个锐角分别为和，和为，仍是锐角，不是钝角，因此“两个锐角的和是钝角”是假命题，符合题意； D、直角三角形的两个锐角互余，是直角三角形的性质，是真命题，不符合题意． 5．（2026·江苏盐城·二模）如图，直线与直线，都相交，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求出的同位角，再结合邻补角性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ． 与互为邻补角， ． ． 6．（2026·江苏南通·二模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴． 7．（2026·江苏连云港·二模）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（    ） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 8．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 9．（2026·江苏盐城·二模）一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再由平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 即，解得， ， 即，解得． 10．（2026·江苏常州·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和． 先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可． 【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角， ∴，， ∵，， ∴，, ∴. 故选：C． 11．（2026·江苏淮安·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（2026·江苏苏州·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等，可得，则，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 13．（2026·江苏泰州·二模）如图，已知，，则__________度． 【答案】 【详解】， ， ， ． 14．（2026·江苏连云港·二模）如图，，直线分别与、交于点、，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，进而根据平角的定义即可求解． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）． （平角的定义）， ． 15．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 【答案】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解． 【详解】解：地面，地面， . ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 过点作交的延长线于点，则 地面，地面， ． 又， . 点的位置低于地面米，， 点离地面的高度为（米）． （米）． 16．（2026·江苏宿迁·二模）用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数是______． 【答案】15 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 17．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 18．（2026·江苏宿迁·二模）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出，得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 19．（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     )相似图象的性质 考点2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·江苏扬州·二模）如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作辅助线，求得，从而得到相似比，，设，，，再根据，则可求，利用三角形相似，对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：如图：延长至点，连接、延长至点，连接， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 21．（2026·江苏常州·二模）如图，在中，D为的中点，点E、F分别在上，且．若，，则下列说法正确的是（     ） A．， B．，与不平行 C．， D．，与不平行 【答案】D 【分析】先由得出，结合为中点求出与的数量关系；再通过计算与的比值，判断与是否平行． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， 若， 则， 但， ∴与不平行． 22．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，错误、正确，符合题意； ，正确，不符合题意； ，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（2026·江苏盐城·二模）中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得 因为 所以 24．（2026·江苏淮安·二模）如图，在边长为1的正方形中，点E，F分别为边上的点，且，连接交于点G，连接． （1）若点E是边的中点，则的长为______． （2）若，则的值为______． 【答案】 【分析】先证明，求得，（1）过点作于点，则，由勾股定理得，由面积法求得，可得，再解，求出，则，再对运用勾股定理求解； （2）先证明，再证明点为线段的黄金分割点，即可求解． 【详解】解：（1）过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵正方形中，，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ 设， ∵ ∴ 解得（舍负）， ∴， ∴， ∴； （2）如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点为线段的黄金分割点， ∴， ∴． 25．（2026·江苏淮安·二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是______． 【答案】2 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故答案为：2． 26．（2026·江苏南通·二模），，，点在边上，交于点，则的最大值为（     ）相似三角形 考点3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定与性质证明，得出与的数量关系，再结合为定值，利用完全平方公式的非负性求出的最大值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在边上， ， ， ， ，当且仅当时，等号成立， ， 的最大值为． 27．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明和，将周长比转化为对应边之比；再利用得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则原式， ， ∴当时，二次函数取得最大值， 该比值的最大值为． 28．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点在双曲线（）上，将直线向右平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出反比例函数解析式，利用勾股定理求出的长，根据平移的性质得到，进而证得（其中F、E为垂足），利用相似比求出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出点C的坐标． 【详解】解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为， 如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵点， ∴， ∴， ∵直线是由直线向右平移得到的， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，即点C的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴点C的坐标是． 29．（2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，故选项C符合题意； 无法得出的面积、的面积、的面积与的面积相等，故A、B、D不符合题意． 30．（2026·江苏南通·二模）如图，点在函数的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，连接并延长至，使，连接交该函数图象于点． （1）的面积是_____（用含的式子表示）； （2）的值是_____． 【答案】 【分析】（1）依题意，四边形是矩形，四边形的面积为，结合已知即可求解； （2）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则，设，，设 根据，得出，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，四边形是矩形，四边形的面积为， ∵，， ∴的面积是； （2）如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则， 设，，则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴，整理可得， 解得：（负值舍去）， 即的值是． 31．（2026·江苏·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（2026·江苏镇江·二模）如图，在边长为4的等腰中，点是线段的中点，点关于的对称点是点，连接，则的长是_____． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，结合中点的定义可得，从而证得为等腰三角形，利用角度关系证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点 由题意可知，为等腰直角三角形，， 点是线段的中点 在中，由勾股定理得 ， 是等腰三角形 ， 在和中 ， 即 解得 33．（2026·江苏连云港·二模）如图，是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连接并延长交于点M．若，，则线段的长为____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质． 根据赵爽弦图的结构特征，确定与为全等的直角三角形，从而得出线段的长度及共线． 通过构造相似三角形 ，结合等腰直角三角形 的性质，求出的长，最后利用 求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成， ∴ ， 四边形是小正方形 ， ，即三点共线 同理 三点共线 在 中， 过点作 于点 在 中， 是等腰直角三角形 ， 即 ，解得 在 中， 在 中， ． 34．（2026·江苏徐州·二模）如图，在等边中，，点是边上的一动点（不与点，重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点．在点运动的过程中，线段比的最小值为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质可得是等边三角形，从而，，结合可证，利用相似三角形对应边成比例可得，当时最小，进而求出比值的最小值． 【详解】解：由旋转的性质可知， 是等边三角形 ， 是等边三角形 ， 又 为定值 当最小时，的值最小 根据垂线段最短可知，当时，最小 在中，， 的最小值为． 35．（2026·江苏淮安·二模）如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，若，（为常数），则_____．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，则，得出，进而得出．作，交于点J，交于点K，根据求出，得出，再证明，得出，证明，得出，设，则，解方程求出结论即可． 【详解】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ． 作，交于点J，交于点K， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：（不合题意舍去）， 故． 36．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，，其中，，若点是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是_____． 【答案】 【分析】通过证明．可得，，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：过点N作延长线于H， 在中， ， ， 是等腰直角三角形． ，． ． 是等腰直角三角形， ， ． ． ， ， ， ． ，． ，． ． ． ． ， 面积的最大值是． 37．（2026·江苏盐城·二模）如图，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，过点作，交反比例函数图象于点，且，则的值为____． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，过点作于，利用相似三角形的性质设，表示出点的坐标；再证明，利用相似比求出、的长，表示出点的坐标；最后根据点、均在反比例函数图象上，利用建立方程求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， 点、在反比例函数的图象上， ， 解得：， ． 38．（2026·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，，点O是边的中点，连接．将绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，线段与矩形的某一边相交于点M． （1）若，逆时针旋转时，线段________；（2）在旋转过程中，当点F落在的垂直平分线上时，线段________．（用含有x的代数式表示） 【答案】 或 【分析】(1)首先，按照要求作出图形，由，，得，再由绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，得，，再证得四边形是矩形，得，可得； (2)根据题意作的垂直平分线分别交于，交于，交于，由，得，然后，由是的垂直平分线，得，再证得，得，即点P是的中点，可证得是的中位线，得，进而证得四边形是矩形，得，再证得四边形为矩形， 得， ，然后，再分两种情况进行分类讨论：①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K，先证得四边形是矩形，得，再证得，得，即， 得， 进而得， 最后，得；②如图3，连接，解题思路同理①可得的长． 【详解】(1)解：如图1， ∵，， ∴， ∵绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G， ∴，， ∴， ∵点O是边的中点， ∴点O是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； (2)解：作的垂直平分线分别交于，交于，交于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点P是的中点， 又∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接， ∵， ∴， ∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】(1)根据题意作出对应图形，再根据旋转的性质证得四边形是矩形，得；(2)根据题意做出符合要求的两种图形，进行分类讨论，再根据旋转的性质分别证得，是本题解题的关键． 39．（2026·江苏无锡·二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A、B、D均在格点上，连接与网格线交于点C，连接与网格线交于点E，则______． 【答案】/ 【分析】过点作，连接，由图可知：，，则有，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 由图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（2026·江苏连云港·二模）如图，内接于，其中，，，则的半径为_______． 【答案】 【分析】作射线交于点，连接，过点作于点，利用同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角，证明，设，则，利用勾股定理建立方程求出，进而求出，再结合相似三角形性质建立等式求出，进而即可求出的半径． 【详解】解：作射线交于点，连接，过点作于点， ， ， 为直径， ， ， ，，， 设，则， ， 解得， ， ， ， 解得， 的半径为． 41．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为______． 【答案】 【分析】利用角平分线定义、三角函数定义及相似三角形的判定与性质，推导出线段比例关系最终求出的值． 【详解】解：设， 在中，由， ，即， 平分，， ， 过点作于，则， ， 设，则， 在中，由，即， ， 由得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 42．（2026·江苏无锡·二模）如图，在四边形中，（），，当边长取得最大值时，则的值为_________． 【答案】 【分析】作交于点，过点分别作的垂线交于点，证明四边形是等腰梯形，设，证明，求得，根据最大值，取得最大值，得出，即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为点， ∵， ∴ ∴，， ∵ ∴四边形是等腰梯形， ∴， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴当时最大，则取得最大值， ∴当边长取得最大值时，则的值为． 43．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，根据平行线的性质以及平行线分线段成比例，得到，，进而得到，，点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动，作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接，得到当最大时，与相切于点，证明，进行求解即可. 【详解】解：作，交于点， 则，， ∴，， ∴点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动， 作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接， 则， ∴， 当最大时，则与相切于点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 44．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别在边上，若，则长的最小值为_________． 【答案】 【分析】作，和相交于点G，连接并延长交于点M，则四边形是平行四边形，，求出，可知是定角，当时，取得最小值，即取得最小值，证明求出即可求解． 【详解】解：作，和相交于点G，连接并延长交于点M， 则四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是定角， ∴点G在上运动， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即长的最小值为． 45．（2026·江苏南京·二模）如图，将矩形纸片折叠，使点A落在的中点E处，若，，则折痕的长为_________． 【答案】 【分析】根据翻折的性质，在中，利用勾股定理求出、，再证明，，由对应线段成比例，求解、，在中，利用勾股定理即可求解的长． 【详解】解：过点作与点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， 由翻折的性质有，，，， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，． 46．（2026·江苏泰州·二模）如图，在矩形中，，．点在边上，且；点在边上．将四边形沿翻折，使点落在，点落在．已知翻折后点恰好落在边上，且线段与边交于点．则______． 【答案】 【分析】设，则，则有，，可证，根据相似三角形的性质可得，解方程可求，，代入可求． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由折叠可知，，， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ，， ． 47．（2026·江苏连云港·二模）在中，，，，点为的中点．在中，，，，连接并延长到点，使，连接． (1)【初步感知】如图1，当点，分别在，上时，求证：； (2)【深入探究】如图2，若将图1中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①设，求的值； ②当时，的长为_________； ③当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】(1)点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ； (2)①；②；③ 【分析】（1）证明，得到，，从而得到，进而得到； （2）①证明，即可得到答案； ②设交于点，根据勾股定理求出，由等面积法求出，再根据勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； ③根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点作于点，从而得到当点在上时，四边形的面积最小，再由勾股定理求出的长，再结合，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ； ②设交于点， ，， ， ， ， ， ， ； ③在中，，，， ， 由①得：四边形为平行四边形， 故四边形的面积， 当最小时，四边形的面积最小， 即当到的距离最小时，即点在上，最小为0，四边形的面积最小为0， 第一种情况：过点作于点， ， ， ； ， ， ， ， ； 第二种情况： 如图，过点作于点， ， ， ； ， ， ， ， ． 故 48．（2026·江苏宿迁·二模）如图1，中，，，．将绕顶点旋转至，点，的对应点分别为，．连接，，、，直线与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当平分时，求的长； (3)如图3，在旋转过程中，当的度数最大时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：由旋转可得：，，． ， ， ， ， (2)； (3)． 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）取的中点，连接、，交与点，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得四点共圆，根据垂径定理可知垂直平分，进而根据勾股定理即可求解； （3）当时，度数最大, 即可证明，可得，进而可知，根据勾股定理可知长，进而根据面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接、，交于点． ，点为的中点， ， 即点、在以为圆心，为半径的圆上． 平分， ， ∴， ， 垂直平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， 是的中位线， ∴， ． 在中，． （3）由题意得，当时，度数最大； ， 过作，垂足为，过作，交的延长线于点． ， ， , 在与中, ，， ∴ ． 49．（2026·江苏连云港·二模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 请写出完整证明过程，以下思路仅供参考： 思路一：在的延长线上取点M，使得…… 思路二：在线段上取点N，使得…… 【解决问题】 (3)如图3，若，，，于G，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得； （2）在的延长线上取点，使，证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； （3）连接，过点作于点，作于点，设，则，证明，再证明，则，即可得，在中，利用勾股定理列方程求x的值，然后证明，根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且于G， ∴，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ，， 如图，在的延长线上取点，使， 则， ， ， ， ， ， ， ∴在四边形中，， 又， ， ， ，即； （3）解：连接，过点作于点，作于点， 设， ， ∴四边形为矩形，， ，，， ， ， ， ， ，即， ， 在中，，即， 解得（舍去），， ， ∵中，， ， ， ， ， ∴， ． 50．（2026·江苏连云港·二模）【问题探究】 (1)如图1，在正方形中，点、分别为、边上不与端点重合的一动点，连接交于点，交对角线于点，且． ①与的关系是________； ②若，求的值． 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________（用、的代数式表示）． 【答案】(1)①；；② (2) (3) (4) 【分析】（1）①由可证得，又有同角的余角相等可得，； ②，可得，由各个线段的比例关系、勾股定理表示出各个线段长，再求解的值； （2）正确添加辅助线，过作交于，过作交于，连接交于，可证得，再由勾股定理求解即可； （3）正确添加辅助线，补全矩形，由三角形相似和等边三角形、矩形的性质，即可证得； （4）由，可证得，通过等量代换可得，，由轴对称和三角形两边之和大于第三边可知，当，，三点共线时，有最小值，最小值为，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； ②设正方形的边长为，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过作交于，过作交于， ∵，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分矩形的面积，连接交于， ∴， ∵，所以， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ （4）解：连接，，过点作于点，作点关于的对称点， 由翻折的性质，，，，，， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 由（3）可知，， ∴，即， ， 由对称的性质可知，，，， ， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为， ， ∴的最小值为． 51．（2026·江苏无锡·二模）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（    ）位似 考点4 A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义可知与相似，由对应点、的坐标求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：原点是和的位似中心，点与点是对应点， ， 相似比， ， 的面积是2， 的面积． 52．（2026·江苏淮安·二模）如图，四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为．若的长为3，则的长为（  ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，核心知识点为：位似图形的对应边成比例，且该比例等于位似比．先根据对应点、的坐标求出相似比，再利用位似比结合的长度计算出的长度． 【详解】解：∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴相似比为． 又∵，已知， ∴； 故选：C． 53．（2026·江苏泰州·二模）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 54．（2026·江苏无锡·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【答案】 【分析】由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，得，然后根据相似三角形的相似比等于位似比可进行求解． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ， 的坐标为，点的坐标为， ， ． 55．（2026·江苏苏州·二模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09相交线与平行线和图形的相似(4大考点，55题) ☆4大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02相似图象的性质 考点03相似三角形 考点04位似 ①考点1 相交线与平行线 1.(2026江苏盐城：二模)如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时， ∠1=∠2，∠3=∠4.若入射光线a与镜面AB的夹角1=45°，则∠4的度数是() A A.30° B.35° C.40° D.45° 2.(2026江苏南通二模)将直尺和三角板(Rt△ABC)如图所示放置，若∠1=26°，∠B=60°，则∠2 的度数为() C B A.26° B.34° C.60° D.64° 3.(2026江苏连云港·二模)如图是一个物理实验的截面示意图，其中AB与CD表示互相平行的墙面， 绳子EN一端与木杆NG的一端相连，另一端点E固定在墙面AB上，若∠AEW=120°，∠ENG=150°，则 ∠CGN的度数为() 1/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 JMJUNR E Cin A.20° B.25 C.30° D.35 4.(2026江苏无锡·二模)下列命题是假命题的是() A,对顶角相等 B.两直线平行，内错角相等 C.两个锐角的和是钝角 D.直角三角形的两个锐角互余 5.(2026江苏盐城二模)如图，直线c与直线a,b都相交，若a∥b,∠1-122°，则∠2=() A.58 B.68 C.72° D.122° 6.(2026江苏南通二模)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置 (248C=30,其中4，B两点分别落在直线”，”上.若1=40°，则<2的度数为（） A.15 B.20° C.25° D.30 7.(2026江苏连云港二模)如图，在纸上画有∠A0B,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在 ∠AOB的平分线上，则() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A cm dicm bbwbwkobwkbwbwbwom cm d2cm A. 4与4-定相等 B.4与-定不相等 一定相等 c.与5 D.与定不相等 8.(2026江苏宿迁·二模)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方 式摆放，若AB∥CD,则∠I的大小为() A.30 B.45° C.60° D.75 9.(2026江苏盐城：二模)一副三角板按如图所示位置放置（其中∠ABC=60°，∠E=45°，若AF∥BE, 则∠1的度数为() A.60° B.55 C.45° D.40 10.(2026江苏常州·二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=40°，∠2=120°， 则∠3+∠4=() 空气 A.120° B.140° C.160° D.170° 11.(2026江苏准安·二模)如图，平行于主光轴P№的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE, DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=155°，∠CDF=160°，则∠EGF的大小是() A A.35° B.40 C.45 D.50 12.(2026江苏苏州二模)随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的 日常生活，如图是某单车车架的示意图.己知AB∥CD,AC∥BF,∠BED=53°，∠FBE=126°，则 ∠BAC=() 53 126 B D A.53° B.63° C.73 D.83 13.(2026江苏泰州二模)如图，已知a∥b,∠1=70°，则∠2=」 度 1 2 6 14.(2026江苏连云港二模)如图，AB∥CD,直线EF分别与AB、CD交于点E、F,∠I=50°， ∠2=60°，则∠CFG的度数为 ° 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 15.(2026江苏无锡·二模)图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具一一桔槔(jigā0)， 图2是横杆处于水平时的示意图，OG表示支架且与地面垂直，AC,BD是固定长度的竹竿均垂直于地面， AC=2米，横杆AB=6米，OA=3OB.当竹竿与水桶的连接点C的位置低于地面0.6米时（如图3），若 ∠OAC的度数为a,则∠B的度数为 (用含α的代数式表示)；若支架OG与竹竿BD之间的距 离OH是1.2米，则这个桔槔支架OG的高度为. 米 Bo横杆 水桶心 w分水井 (图1) (图2) (图3) 16.(2026江苏宿迁·二模)用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A,B在直线1上， ∠CAD=∠EBF=90°，∠C=45°，∠F=30°，点A,E,D,F在同一条直线上，当CD∥AB时，则 ∠ABE的度数是 B 17.(2026江苏无锡二模)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=3,AC=4,E为斜边AB上的一 动点，以EA,EC为边作口ADCE,则线段ED的最小值为 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026江苏宿迁·二模)如图，∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D,∠A=58°，求∠F的度数. D 12 B C 考点2 相似图象的性质 19. (2026江苏泰州·二模)如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF, AC 4 CE 5,DF=40 cm, 则BF的长为) H 图1 图2 A.32cm B.40 cm C.50cm D.72cm 20.(2026江苏扬州·二模)如图所示的网格中，每个小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线 的交点上，点D,E分别是边AB,AC与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() B 9 A.3 B.5 e D.2 21.(2026江苏常州二模)如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E、F分别在AB、AC上，且 EF∥BC.若AF=7,FC=3,则下列说法正确的是() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E A.DE>EB,DF∥EC B.DE>EB,DF与EC不平行 C.DE<EB,DF∥EC D.DE<EB,DF与EC不平行 22.(2026江苏苏州二模)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD,CD边上的点，连接 BE、AF相交于点G,延长BE交CD的延长线于点H,下列结论错误的是() H E G C AG EG EH DH AE BE AG BG A.GFBG B.EB CD C.DE EH D.FGGH 23.(2026江苏盐城二模)中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”， 设计中多处暗合黄金分割.如扇面高度(AB)与扇柄长度(AC)之比就符合黄金比，此时重心适中， 持握舒适.若AB=16cm,则BC= cm.(结果保留根号) A 24. (2026江苏准安·二模)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,CD上的点，且 BE=CF AE,BF CG ，连接 交于点G,连接. (1)若点E是边BC的中点，则GC的长为 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE (2)若GC=CF,则cE的值为 D 25.(2026江苏淮安·二模)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的 三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=6,则线段BC的长是 9考点3 相似三角形 26.(2026江苏南通·二模)△ABC∽△DEC,∠ACB=∠DCE=120°，CA=CB,点D在边AB上，DE BF 交BC于点F,则BC的最大值为() B D 5 2 3 A.2 B.3 C.4 n 27.(2026江苏无锡二模)如图，口ABCD中，点E、F分别是AC、AB上的点，且 ∠CMD=∠CDE=∠AEF,将△BF、aCDE、△1BC的周长分别记作C世、Ce、Cc,则 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C△MBr+C△cDE CABC 的最大值为() 5 B.4 c. 3 D. 王三模)如图，点A43在双曲线y(x>0)上，将直线04 长度交x轴于点B,交双曲线于点C.若BC=3,则点C的坐标是() B 2548 A.(6,2) B.(4’25 29.(2026江苏无锡·二模)如图，点P是△ABC的BC边上一动点（不与点B、C重合）过点P作 PD∥AB交AC于点D、作PE∥AC交AB于点E,点MN分别为线段BE、PD上的两个点，且 BM=2ME,PN=2ND,则与aCMN的面积相等的是() A D B A.△ADE的面积B.△BCM的面积C.△PCN的面积D.△BPE的面积 30。(2026江苏南通二模)如图。点4在函数y-k>00)的图象上，过点4分别作x轴、y转的垂 线，垂足为点C,D,连接DA并延长至E,使AE=AD,连接CE交该函数图象于点B 9/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y D (1)△ACE的面积是 (用含k的式子表示)： CB (2)CE的值是 31.(2026江苏·二模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、D都在格点上，则sin∠DBC的 值是 32.(2026江苏镇江·二模)如图，在边长为4的等腰Rt△ABC中，点D是线段BC的中点，点B关于AD B CB. 的对称点是点9，连接8，则CB的长是 CB. B B D 33.(2026江苏连云港·二模)如图，是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图.它是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD.连接EG并延长交BC 于点M.若AE=2,BE=4,则线段CM的长为一· D E G B M 34.(2026江苏徐州·二模)如图，在等边△ABC中，AB=6,点E是边AB上的一动点（不与点A,B重 合).将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接EF交AC于点H.在点E运动的过程中，线段 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CH 比EF的最小值为一· 35.(2026江苏淮安二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在线段BC上（不与B,C重合）， 2∠BPD=∠ACB,PD交BA于点D,过点B作BE⊥PD,垂足为E,交CA的延长线于点F,若PD=4, tanC=m(m为常数)，则DE=一，（用含m的代数式表示）. D 36.(2026江苏徐州二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，其中∠A=45°，AC=10,若点M是 AC边上的动点，连接BM,以BM为斜边作等腰直角△BMN,连接CV.则△CMN面积的最大值是一， B A 37.(2026江苏盐城二模)如图，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,4)，点C在反比例函数 y-冬k>4x>0)的图象上，AC⊥AB,过点C作CD∥AB,交反比例函数图象于点D,且CD=1,5AB, 则k的值为— 11/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A 38.(2026江苏无锡二模)如图，在矩形ABCD中，3AB=5AD=x,点O是边AB的中点，连接AC. 将△ABC绕着点O逆时针旋转一定的角度得到△EFG,点A、B、C的对应点分别为点E、F、G,线段FG 与矩形ABCD的某一边相交于点M, B (1)若x=15,△ABC逆时针旋转90°时，线段MD= ；(2)在△ABC旋转过程中，当点F落在 BC的垂直平分线上时，线段MD= 一·（用含有x的代数式表示） 39.(2026江苏无锡·二模)如图，是由边长为1的小正方形组成的5×5的网格，点A、B、D均在格点上， 连接AB与网格线交于点C,连接CD与网格线交于点E,则CE= B D 40.(2026江苏连云港二模)如图，△ABC内接于⊙0，其中AB=20,AC=13,BC=11,则⊙0的半 径为 A B 1 41.(2026江苏盐坡二模)如图，在R△1BC中，∠ACB=90,am∠CMB=2:CD平分∠ACB:E为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC DC延长线上一点，且∠EAC=∠BEC,那么DE的值为一 A D 42.(2026江苏无锡·二模)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=a°(0<a<90),CB=CD=4, 当AB边长取得最大值时，则AD的值为 C D 43.(2026江苏宿迁二模)如图，在△ABC中，AB=6,∠C=45°，点D在边AC上且CD=2DA,连 接BD,当∠ABD最大时，BD的长为一· 44.(2026江苏扬州·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=30,E,F分别在AB,BC边上，若 BF=3AE,则EF长的最小值为 B 45. (2026江苏南京·二模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在CD的中点E处，若AB=15, 13/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=18,则折痕MN的长为 A-------- M D B 46.(2026江苏泰州二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10.点M在边AD上，且AM=4: 点N在边BC上.将四边形ABNM沿MN翻折，使点A落在A',点B落在B'.已知翻折后点B恰好落在边 MG= CD上，且线段AB与边4D交于点G:则GD 47.(2026江苏连云港二模)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=9,BC=12,点O为AC的中点.在 RtADBE中，∠DBE=90°，BD=6,BE=8,连接EO并延长到点F,使OF=EO,连接AF. B 图1 图2 备用图 )【初步感知】如图1，当点D,E分别在AB,BC上时，求证：∠DAF=90°： ②【深入探究】如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度(0°<“<90 ，连接 AD,CE,AE,CF. AD ①设A =k,求k的值： ②当DE∥BC时，AD的长为 ③当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长， 48.(2026江苏宿迁二模)如图1，RtaA0B中，∠A0B=90°，A0=3,B0=4.将RtaA0B绕顶点O 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 旋转至△COD,点A,B的对应点分别为C,D.连接BC,AD,AC、BD,直线AC与BD交于点P」 B B 图1 图2 图3 (I)求证：AC⊥BD; (2)如图2，连接OP,当AC平分∠OAB时，求OP的长； 3)如图3，在旋转过程中，当∠OBC的度数最大时，求四边形ABCD的面积. 49.(2026江苏连云港二模)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点 G F E D B G 图1 图2 图3 【问题发现】 DE )如图1，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G,AB=m,AD=n,则CF=一 【拓展研究】 DE AD ②)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B=∠EGF时，求证：CF=CD; 请写出完整证明过程，以下思路仅供参考： 思路一：在AD的延长线上取点M,使得CM=CF… 思路二：在线段DF上取点N,使得CN=CD.… 【解决问题】 DE B)如图3，若BA=BC=5,DA=DC=10,∠BAD=90,DE⊥CF于G,求CF的值. 50.(2026江苏连云港·二模)【问题探究】 15118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 图4 (I)如图I,在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上不与端点重合的一动点，连接AF交BE于 点O,交对角线BD于点G,且∠ABE=∠DAF. ①BE与AF的关系是 ②考DGG,求9的值 AG 2 【类比探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,点G、H分别在边AB、CD上，点M为线段GH上一动 点，过点M作GH的垂线分别交边AD、BC于点E、点F.若线段GH恰好平分矩形ABCD的面积，且 BG=1,求EF的长： 【知识迁移】 )如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，点E、F分别在线段AD、CD上，且BE L AF,连接BD, BE 若△ABD为等边三角形，求AF的值； 【拓展应用】 4)如图4，在矩形ABCD中，CD=m,AD=n,点E,F分别在边AD,BC上，将四边形ABFE沿EF 翻折，点B的对应点点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H,则mBH+nEF的最小值为 (用 m、n的代数式表示). 9考点4 位似 51.(2026江苏无锡二模)如图，原点O是△4BC和△4B'C'的位似中心，点A 点40)与点2,0叭是对应 点，△ABC的面积是2，△AB'C'的面积是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 B A -4-3-2-91234 -2 -4 A.4 B.8 C.12 D.16 52.(2026江苏准安二模)如图，四边形ABCD和四边形A'B'C"D是以坐标原点O为位似中心的位似图 形，点4的坐标为20)，点《的丝标为6,0).若CD的K为3，则CD的长为() D B'B O AA A.2 B.4 D.5 53.(2026江苏泰州·二模)2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下 面哪种图形变换得到() A.平移 B.翻折 C.旋转 D.位似 54.(2026江苏无锡·二模)如图，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的 AC 坐标为(1,0)，点D的坐标为(5,0)·则DF的值为一 17118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 55.(2026江苏苏州二模)如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB=BE,若 SAABC=2 SADEF= ,则