专题08 圆（4大考点62题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题聚焦圆的4大核心考点，精选江苏各地2026年二模真题62题，涵盖弧长计算、圆周角性质、正多边形与圆、综合证明等，情境设计融合三星堆考古、转子发动机等真实问题，梯度覆盖基础到创新应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|圆周角与圆心角关系、正多边形性质|如第25题正六边形内接圆求圆周角，考查空间观念| |填空|约20题|弧长扇形面积、圆锥相关计算|如第6题三星堆陶器缺口弧长计算，体现文化传承| |解答|约27题|切线证明、面积综合、动态探究|如第17题转子发动机圆弧三角形，融合几何证明与运动特性分析，对接核心素养|

专题08 圆（4大考点，62题） 4大考点概览 考点01求弧长、扇形面积与圆锥问题 考点02圆周角与圆心角 考点03正多边形与圆 考点04圆的综合解答题 1．（2026·江苏盐城·二模）如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（     ）求弧长、扇形面积与圆锥问题 考点1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意，重物上升的高度是. 2．（2026·江苏淮安·二模）一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的弧长为_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，根据扇形弧长公式，代入对应数值计算即可． 【详解】解：根据题意可得 此扇形的弧长为. 3．（2026·江苏苏州·二模）如图，正方形，点为的中点，以为圆心，6为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质求出和，根据勾股定理求出，再根据阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵圆E与切于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 4．（2026·江苏徐州·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C是格点（小正方形的顶点），优弧经过格点A，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】如图，取的中点O，连接，利用勾股定理的逆定理得到，是等腰直角三角形，得到是圆的直径，，求出，，然后利用求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， ∴， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴是圆的直径，， ∴点O为圆心，，，是圆的半径， ∴， ∴，， ∴． 5．（2026·江苏南京·二模）用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是：． 设圆锥底面圆的半径是，则． 解得， 即圆锥底面圆的半径为． 6．（2026·江苏连云港·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为________． 【答案】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 7．（2026·江苏南京·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 8．（2026·江苏徐州·二模）用一张半圆形纸片，围成一个底面半径为的圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则围成的圆锥的高为_________． 【答案】 【分析】设圆锥的母线长为，根据弧长公式列式，求出，由勾股定理得围成的圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得， 围成的圆锥的高为． 9．（2026·江苏盐城·二模）如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为，结合题干中正六边形的边长为3，可知阴影部分为半径为、圆心角为的扇形，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：多边形 是正六边形，边长为3， ，且， 经过点、， 的半径， ． 10．（2026·江苏南京·二模）某圆锥的侧面积是，底面圆的直径为，则此圆锥的母线长为_____． 【答案】 【分析】先求出圆锥的底面周长，再利用圆锥侧面积公式列方程求解母线长． 【详解】解：设此圆锥的母线长为， ∵底面圆的直径为， ∴底面圆的半径， ∴底面圆的周长， ∵圆锥的侧面积公式为， ∴， ∴． 11．（2026·江苏扬州·二模）若圆锥的高是，底圆半径是，则圆锥的全面积是___________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再分别计算圆锥的侧面积与底面积，两者相加即可得到圆锥的全面积． 【详解】解：设圆锥母线长为，底面圆半径为，圆锥的高为． 由题意得：，． 根据勾股定理可得母线长 ． 圆锥的侧面积 ． 圆锥的底面积 ． 圆锥的全面积 ． 12．（2026·江苏连云港·二模）如图，是一个圆锥的主视图，若，，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是_______． 【答案】 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵， ∴圆锥的底面周长为， 设扇形的圆心角为， ∴， 解得． 故这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为． 13．（2026·江苏盐城·二模）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为6，母线与高的夹角为，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出底面半径，再利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，，母线． ． 圆锥的侧面积为． 14．（2026·江苏徐州·二模）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为_____ 【答案】 【分析】圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，圆锥的母线长为，即侧面展开图扇形的半径为， 则扇形的弧长为， 圆锥底面圆的周长为， 根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，得， 解得． 15．（2026·江苏泰州·二模）综合与实践：探求圆形内部不规则图形面积 【问题情境】在学习完扇形面积后，数学兴趣小组对圆形内部阴影部分面积进行了讨论研究． 【课本改编】 (1)如图，半圆的直径，点O为圆心，C、D是半圆的3等分点．求图中阴影部分的面积． 【迁移探究】 (2)如图，的直径，C、D是的4等分点．，点F在上，，连接与交于点E，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，用三角形面积加上扇形面积即可求解阴影图形的面积； （2）连接，过作于点，则，过作于点，则，用即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图： 是半圆的三等分点， ， 半圆的直径， ， 过作于点，则， ， ， ； （2）解：连接， 是的4等分点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即平分， 过作于点，则， ， ， 又， ， 解得， 过作于点，则， ， ， ． 16．（2026·江苏泰州·二模）如图，过外一点作圆的切线，切点为，弦，垂足为，与相交于点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：是的切线， ． ∵弦，， ． 在与中， ， ， ． 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据垂径定理得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵弦， ． ， ． ． ． ． ． ， ∴，解得（负值舍去）． ∴的长为． 17．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 18．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，在边上取一点O，以点O为圆心，为半径画圆，若与边相切于点D，与边相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为2，长为，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵与边相切于点D， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； (2) 【分析】（1）连接，得，得出，证明，再证明即可； （2）连接，证明是的切线，求出，由切线长定理得，根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵，且为半径， ∴是的切线， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ 19．（2026·江苏南通·二模）如图，为的直径，点为上一点，与过点的切线互相垂直，垂足为D，与的延长线交于点． (1)求证：平分； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：与相切，切点为， ， ， ． ， ． ， ， ， 平分． (2) 【分析】（1）由切线的性质结合已知条件，可证明，根据平行线的性质，解得，再由等边对等角，可证，进而解得此题； （2）先根据及与的等量关系，利用锐角三角函数的定义在求出度数与的长度，最后代入即可求解，扇形面积公式：． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，， ， ， ， ， ． 20．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，过点D作于点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证，得，再由，得，即可得出结论； （2）连接，求出，由等腰三角形的性质得出，则，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，．下列说法错误的是（    ）圆周角与圆心角 考点2 A．劣弧的度数为 B．优弧与劣弧的度数之差为 C．弦所对的圆周角有2个，小者与大者的度数之比为 D．若弧的度数为，则弧的度数为 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得，再根据劣弧、优弧的定义逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴， 即劣弧的度数为， 故A选项正确； B、∵劣弧的度数为， ∴优弧的度数为， ， 即优弧与劣弧的度数之差为， 故B选项正确； C、弦所对的圆周角有2个，一个为，另一个为， ∴小者与大者的度数之比为， 故C选项正确； D、∵弧的度数为，劣弧的度数为， ∴劣弧的度数为， 故D选项错误． 故选：D． 22．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 23．（2026·江苏苏州·二模）如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图， ∵AB为⊙O的直径，P在上， ∴∠APB=90°， ∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ， ∴∠BPQ=25°， ∴∠BOQ=2∠BPQ=50°， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴∠BOD=， ∵∠BOQ<∠BOD， ∴Q在上， 故选D． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键． 24．（2026·江苏连云港·二模）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，作于，于，利用圆周角定理和角平分线性质证明，进而证得，求出和的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 25．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 26．（2026·江苏苏州·二模）如图，为的弦，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交优弧于点C，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由尺规作图得出是的垂直平分线，因此，为等腰三角形；利用，算出；根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得；结合等腰三角形性质，算出底角． 【详解】解：连接， 由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线 经过圆心，且点在直线上 ，即为等腰三角形， ， 为等腰三角形， ， ， 是圆周角，是圆心角，它们都对应弧， ， 在中，，且， ， ， ． 27．（2026·江苏常州·二模）如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 28．（2026·江苏盐城·二模）如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 【答案】/112度 【详解】解：，， ． 29．（2026·江苏宿迁·二模）如图，矩形中，，．点为边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接、．当的面积最大时，线段的长为____． 【答案】5 【分析】先证明，则，那么可得当时，取得最大值，即的面积最大，过点作于点，再解即可． 【详解】解：如图，∵四边形是矩形， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴当时，取得最大值，即的面积最大， 过点作于点， ∴此时， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 30．（2026·江苏泰州·二模）如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【分析】连接，由得，进而由内心的定义得，即得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，得到，即得到，是等腰直角三角形，得，设，则，由得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（2026·江苏南京·二模）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接、，由切线的性质可得，求出，再由圆周角定理即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（2026·江苏苏州·二模）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得，可知，根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ． ， ， ． 33．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，的延长线交于点F，连接． (1)求证：F是的中点； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵E是的中点， ∴ ， . ， ， ， 是的中点． (2)证明：连接，连接， 是的直径， ， . ， . ∵四边形是的内接四边形， . ， . ， ， ， . . ， (3) 【分析】（1）由圆周角定理，得到，则，由点O是中点，即可得到点F是的中点； （2）由等角的余角相等，得到，由圆内接四边形的性质，得到，则，得到，然后得到结论成立； （3）由题意，先求出的长度，由相似三角形的性质，得到，求出的长度，再由，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， . . 是的直径， ， . ， . ， ， ， ． 34．（2026·江苏镇江·二模）如图，内接于⊙，是直径，的平分线交于点，交⊙于点，连接，作，交的延长线于点． (1)试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (2)若，，求⊙的半径和的长． 【答案】(1)解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴与相切； (2)⊙的半径是， 【分析】（1）连接，先根据角平分线的定义得，进而得出，得出，然后根据平行线的性质说明，即可得证； （2）在中，根据勾股定理求出半径；证明，可得，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据平行线分线段成比例得出，再代入数值得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴的半径是． ∵是的直径， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 35．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ）正多边形与圆 考点3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，根据正六边形的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上，再利用圆外一点到圆上的点距离最小即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，， ∵六边形是边长等于4的正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点、、分别为、、的中点， ∴是等边三角形，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为定值， ∴， ∴， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当，，共线时，的最小值． 36．（2026·江苏苏州·二模）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求扎到阴影区域（不包括边界）的概率就是求正三角形面积与圆的面积的比． 【详解】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为P，圆的半径为R， 记圆的圆心为点O，过O作OD⊥BC与D，连接OA，OB，OC， ∵△ABC是正三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA， ∴∠BOC= ， ∵OB=OC， ∴ ， ∴ ∵OB=R， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠AOC， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形的外接圆，熟练掌握概率的概念是解决问题的关键． 37．（2026·江苏苏州·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 38．（2026·江苏南京·二模）在一块木板上绘制一个边长为的正方形．在，，，四点处钉上四枚钉子，将长度为的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则下列说法正确的有_________（填序号）． ①轨迹是一个圆； ②轨迹所围成的图形的面积小于； ③木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点． 【答案】③ 【分析】根据题意分析可得轨迹不是一个圆，是一个闭合图形，即可判断①③，进而找到最小距离点，求得轨迹的面积大于，即可判断②，即可求解． 【详解】解：如图，设笔尖为， 根据题意可得，当绕正方形的外面移动一周，轨迹是旋转对称图形，根据不同的位置，相对于的距离不相等，故轨迹不是一个圆，故①错误； 当在的垂直平分线的下方时，即运动到点的位置时，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 当运动到的垂直平分线上时，同理可得， ∴轨迹必经过点， 如图，当经过的延长线点时，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，，，， ∴， 即离的距离最小值为， 当以为半径作圆时，面积为， 当以为半径作圆时，面积为， ∴轨迹所围成的图形的面积大于，故②错误； 根据题意可得轨迹是一个闭合图形， ∴木板四边上的任意两点的连线与轨迹最多有两个交点，故③正确； 综上所述，正确的是③． 39．（2026·江苏南京·二模）已知是正五边形的外接圆，点P在上，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先求出弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形 的外接圆， 弧所对圆心角的度数为， 是弧所对的圆周角， ∴的度数为． 40．（2026·江苏泰州·二模）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据正方形内切圆的性质，可得内切圆的直径等于正方形的边长，先求出内切圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可得到结果 【详解】解：∵ 正方形的边长为2，正方形的内切圆直径等于正方形的边长， ∴ 该内切圆的直径为2，半径 ， ∴ 41．（2026·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为6的正六边形的中心为点，顶点在轴上，则顶点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识． 连接，设交轴于点，由正六边形是轴对称图形知，在中，，再解含的直角三角形即可． 【详解】连接，设交轴于点， 由正六边形是轴对称图形知， 在中，， ， ． 故答案为：． 42．（2026·江苏淮安·二模）如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝_____．    【答案】132°/132度 【详解】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°， 正六边形的内角=180°-360°÷6=120°， ∴∠BAC=360°－108°－120°=132°． 故答案为132°． 43．（2026·江苏扬州·二模）图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我们研究图形．圆的综合解答题 考点4 (1)初步感知：如图1，将绕点A逆时针旋转得到对应的，连接，显然是等边三角形．若点P是边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转后的对应点Q ，此时点Q （填“在”或“不在”）边上； (2)迁移运用：如图2，点P是内部一点，利用（1）中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作等边，其中点C在边上，点D在边上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，中，，，，点P在边上，，点D是线段上一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转得到点E，若点D在从点A运动到点B的过程中，点E只有一次落在上，则的半径r的取值范围是 ． 【答案】(1)作图见详解，在 (2)作图和文字说明见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意作出对应的点Q，利用旋转的性质可得出点Q在边上； （2）根据题意作出对应的等边即可； （3）先确定点E的运动轨迹，利用旋转的性质，等边三角形的性质，解30度直角三角形的性质，矩形的判定与性质及勾股定理求出相关线段的长度，再分情况讨论：当过点时，与只有一个交点；当过点时，与有两个交点，且属于临界情况；当与相切时，与只有一个交点，求出不同情况下的半径，从而得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，点Q即为所求： ∵点P在边上，绕点A逆时针旋转得到， ∴， 将点P绕点A逆时针旋转后，则， ∴， ∴点Q在边上． （2）解：如图所示，等边即为所求： 文字说明： ①连接，分别以点O、P为圆心，长为半径画弧，两弧交于点Q，得等边； ②在的左侧作，交于点D； ③在上截取，连接，，； ④即为所画等边三角形． 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形． （3）解：∵点D为线段上的动点，点D绕点P顺时针旋转得到点E， ∴当点D与点B重合时，点E在线段上，即点，，；此时是等边三角形， 当点D与点A重合时，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即点E的运动轨迹是与线段夹角为的线段， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点N，过点作交于点K，过点P作交于点M， ∵，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，，则， 在中，， ∴， 过点C作交于点H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 当过点时，与只有一个交点， ∴， 在中，， ∴； 当过点时，与有两个交点，且属于临界情况， ∴， 在中，， ∴； 当与相切时，与只有一个交点， ∴， 综上所述，的半径r的取值范围是或． 44．（2026·江苏宿迁·二模）如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长， 【答案】（1）证明见解析（2）． 【分析】(1)根据，分别切于点，，得到平分，得到，再根据得到，利用等量替换得到； (2) 连接，先算出CE=10，再利用勾股定理得到BE的长度，设的半径为，在中，得到，即可求出r的长度，再证明，利用相似三角形的性质即可求出EF的长； 【详解】（1）证明：∵，分别切于点，， ∴平分，即，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴（等量替换）； （2）解：连接，如图， ∵，分别切于点，， ∴，， ∴， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合问题，涉及到切线的性质、相似三角形的判定与性质综合、勾股定理解三角形，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 45．（2026·江苏镇江·二模）如图1，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，， ①求的半径； ②如图2，点是线段上一点，请仅用一把无刻度的直尺在线段找一点，使得点与点关于对称，（不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），若点是线段的中点，则 ． 【答案】(1)证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； (2)①的半径为5； ②点如图所示， ； 【分析】（1）证明是的中位线，推出，得到，据此即可证明是的切线； （2）①在中，解直角三角形求得，则，在中，解直角三角形得到，设，则，由勾股定理列式计算即可求解； ②连接和相交于点，连接并延长交于点，则点与点关于对称；证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴的半径为5； ②图略， ∵点与点关于对称，又， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 46．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上且，点E在的延长线上，且． (1)求证：为的切线； (2)已知，，求的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）过点A作于点G，连接，根据勾股定理，三角函数的应用，三角形的相似，结合的面积为：求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∴， 连接， ∵是的切线． ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点A作于点G， 则， ∴的面积为：． 47．（2026·江苏徐州·二模）如图，是的一条弦，在中，是的中点；过点作于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由得到，根据得到，根据切线的性质得到，因此，根据“等角对等边”即可证明； （2）连接，过点D作于点F，通过等腰三角形的性质和解直角三角形得到，证明得到，再在中解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点D作于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，点E是的中点， ∴， ∴在中，． ∴的半径为． 48．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， 是的切线， ， 是劣弧的中点， ， ∴， 又， ， ， ， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）连接， 根据是的切线，得出，根据是劣弧的中点，得出，证明， 结合，即可证； （2）连接，交于点， 证明四边形是矩形，得出，证明， 求出，在中，勾股定理求出 ，则，根据垂径定理，得出，最后在中，根据勾股定理求解即可 ； 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点， 是的直径， ，即， 又，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ， 即， ∴， 在中： ， ∴， ∵，， ∴， ∴根据垂径定理，是中点， ， 在中： ． 49．（2026·江苏南京·二模）如图①，在半径为10的中，弦，点P在优弧上，过点P作分别交、弦于点C、D．连接，过点A作分别交、弦、于点E、F、G．    (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点P运动时，的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出的长；若改变，请说明的长的变化情况． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P运动时，的长不改变；的长为16 【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可； （2）连接，证明，可得，即可求证； （3）作直径，连接，根据题意可得，再证明四边形为平行四边形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为的直径，，， ∴， ∵的半径为10， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点P运动时，的长不改变， 作直径，连接，    在中，， ∴点G为的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴当点P运动时，的长不改变， 的长为16． 50．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，，平分交于点，点在斜边上，以为半径的经过点，交于点，交于． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，易证，从而，进而，根据切线的判定，即可求证； （2）根据三角形相似的判定，可得，进而，计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 为的切线； （2）解：的半径为3， ， ， ，， 由（1）知，， ， ，即， ． 51．（2026·江苏宿迁·二模）如图，为的直径，为延长线上一点，点在上，连接、，作于点，并延长交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）由可得，由可得，结合可得，，命题得证； （2）的半径为，由三角函数可得，由圆周角定理可得，从而得到．由平行可判定和，进而计算出，，作差即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设的半径为， 由（1）可知，， 在中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（2026·江苏南京·二模）如图，中，，D是延长线上一点，．连接，交的外接圆于点E． (1)当E是的中点时，求证：是的直径． (2)当E是的中点时，的直径为______． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径； (2) 【分析】（1）由点E是的中点，可得，再根据等边对等角可得，结合三角形外角的性质推出，进而得到是等腰三角形，由等腰三角形三线合一推出，即可证明结论； （2）过点作于点，连接，易证点在上，证明是的中位线，由四边形是的内接四边形，等腰三角形的性质证明，进而证明，求出，，设的半径为，则，得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，即点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴点在上， ∵，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得，即的半径为， ∴的直径为． 53．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，，D为上一点，且的外接圆交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似的判定和性质，勾股定理，能够熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质即可证明； （2）根据题意可求得，，，结合（1）问，易得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则． 54．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，点P是边上一点且满足，是的外接圆，过点P作交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求线段的长； (3)若是的切线，直接写出的取值范围_________． 【答案】(1)证明：如图1，连接交于点H． ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． (2) (3) 【分析】（1）如图1，连接交于点H．由，，可得是的垂直平分线，则，由，可得，即，进而结论得证； （2）由，可得，由勾股定理得，证明，则，即，解得，则，再由勾股定理求出即可； （3）如图2，由切线长定理可得，，由，可得，，，证明，则，即，设半径为，（），则，，，则，可得，同理当在优弧上时，可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴； （3）解：如图2， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 设半径为，（），则，，，， ∴， ∵， ∴， 同理当在优弧上时，如图③，则， ∵ 可得， 综上可得：． ∴的取值范围为． 55．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，以为直径的与交于点，延长交于点，连接，点为线段上一点，连接，且满足． (1)求证：是的切线； (2)若，、交于点M，记与的面积分别为，．若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由和圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，推出，即可证明是的切线； （2）根据锐角三角形的定义和勾股定理可表示，再根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得出：，由，求出，再由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 又 ∵为的直径， ， ， ， ， ， 又 ∵为的直径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， 设， 则，， 过点D作交于点G， ∴， 即， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得：（负值已舍去）， ． 56．（2026·江苏苏州·二模）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，过点作⊙的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)连接，如图， 则， ∴， ∵过点作的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，则，结合切线的性质和直径所对的圆周角为直角可得到，再利用等腰三角形的性质和圆的内接四边形性质得到，即可证明； （2）由得，可得，进一步证明，得，解得，，，，即可得，结合，可得，即，解得，利用勾股定理求得，结合，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 在中，， ∵， ∴． 57．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的交于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】（1）利用证明，推出，即可证明是的切线； （2）求得，，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，， ∴， ∴，即， 又为半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，，， ∴， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∵即， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的半径为． 58．（2026·江苏淮安·二模）如图，中，，以为直径的⊙分别交，于点、，延长到，连接，使． (1)试说明是的切线； (2)若的半径为，，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， 即， ， ， ， ， 为的直径， 是的切线． (2) 【分析】（1）在等腰中，通过三角形内角和定理推出，结合，得出，进而证明是的切线． （2）过点作，由⊙半径为3得出直径为6，结合及求出，进而得出的长，再通过勾股定理和正弦函数分别求出的长，即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作交于点， 的半径为3， ， 由（1）得， ， ，解得， ，， 在中，， 在中，， ， 的面积：． 59．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证是的切线，只需证明，即证，结合角平分线性质、直角三角形两锐角互余推导角度关系即可； （2）由、得为等腰直角三角形，求出长度，再用得． 【详解】（1）证明：， ， ， 平分， ， (半径)， ， ， 即， ， 又点在上， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知，即， ， 是等腰直角三角形， ， 半径， ， ， ． 60．（2026·江苏无锡·二模）如图，已知中，以为直径的交于点D，． (1)求证：为的切线； (2)若E为中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”，可证，根据“同弧所对的圆周角相等”，易证，再证，利用切线的判定定理即可求证； （2）连接，易得，通过解直角三角形，可求，再根据“等弧等弦”可得是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ，， ， ，即， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， 在中，，， ，即， 由勾股定理得，，即， ， E为中点， ， ，即是等腰直角三角形， ． 61．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的高，以为直径作交的延长线于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接．证明，由题意知，推出，即，即可证明； （2）由题意知：，，设，则，由（1）知，利用勾股定理半径，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由题意知：，， 设，则， 由（1）知， ∴在中，， 即， 解得． ∴． ∴的面积． 62．（2026·江苏盐城·二模）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． (1)求证：是的切线； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）连接，由直径可得，利用等边对等角可推出，从而得出，即可得证； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （3）由相似三角形对应边成比例，得出，在中，利用勾股定理列方程，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是半的直径， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是半径， 是的切线； （2）证明：， ， 又， ； （3）解：由（2）可知，， ， ， ， ， 在中，，， ， 解得：（负值舍去）， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08圆(4大考点，62题) ☆4大考点概览 考点01求弧长、扇形面积与圆锥问题 考点02圆周角与圆心角 考点03正多边形与圆 考点04圆的综合解答题 考点1 求弧长、扇形面积与圆锥问题 1.(2026江苏盐城二模)如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为12cm; 当点A转过30°时，重物上升的高度是() 口重物 A.2πcm B.4πcm C.6πcm D.12πcm 2.(2026江苏淮安二模)一个扇形的半径为6，圆心角为45°，此扇形的弧长为·（结果保留π） 3.(2026江苏苏州二模)如图，正方形ABCD,点E为AB的中点，以E为圆心，6为半径作圆，分别交 AD、BC于M、N两点，与DC切于P点.则图中阴影部分的面积是 4.(2026江苏徐州二模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C是格点（小正方形 的顶点)，优弧BC经过格点A,则图中阴影部分的面积为 5.(2026江苏南京·二模)用半径为16cm,圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该 圆锥的底面圆的半径为 cm. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026江苏连云港·二模)如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其 部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为14cm,而破损处的缺口两端点A,B之间的距离为 7cm,则AB的长为 cm. B 7.(2026江苏南京·二模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C均在格点上，则经 过点B的AC的长度是 B 8.(2026江苏徐州二模)用一张半圆形纸片，围成一个底面半径为5cm的圆锥的侧面（接缝处忽略不计， 则围成的圆锥的高为 cm 9.(2026江苏盐城二模)如图，正六边形ABCDE0的边长为3，⊙O经过点A、E,则阴影部分的面积 为 10.(2026江苏南京·二模)某圆锥的侧面积是15πcm2,底面圆的直径为6cm,则此圆锥的母线长为 cm 11.(2026江苏扬州二模)若圆锥的高是4cm,底圆半径是3cm,则圆锥的全面积是 cm2. 12.(2026江苏连云港·二模)如图，ABC是一个圆锥的主视图，若AB=AC=3,BC=2,则这个圆锥的 侧面展开图的圆心角是 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 13.(2026江苏盐城二模)如图，圆锥的底面圆心为0，顶点为A,母线1长为6，母线1与高A0的夹角为 30°，则圆锥的侧面积为 14.(2026江苏徐州·二模)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该 圆锥的底面圆的半径为 15.(2026江苏泰州·二模)综合与实践：探求圆形内部不规则图形面积 【问题情境】在学习完扇形面积后，数学兴趣小组对圆形内部阴影部分面积进行了讨论研究· 【课本改编】 (1)如图，半圆的直径AB=8,点O为圆心，C、D是半圆的3等分点.求图中阴影部分的面积. R 【迁移探究】 (2)如图，⊙O的直径AB=8,C、D是⊙O的4等分点.AC=BD,点F在⊙O上，AF=BF,连接CF与 AB交于点E,连接DE,求图中阴影部分的面积. B 16.(2026江苏泰州二模)如图，过⊙O外一点B作圆的切线AB,切点为A,弦AC⊥OB,垂足为F, OB与⊙O相交于点D,连接OC并延长至点E,使OE=OB,连接DE. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AC=DE=2,求AC的长. 17.(2026江苏南京·二模)在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机.在 另一种转子发动机（图(1）是某汽车转子发动机的截面图)中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图 (2)所示.图(2)的画法如下：画一个边长为a的正三角形ABC,分别以A,B,C为圆心，以a为半径 画BC,AC,AB.这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形ABC. B (V (2) A C (3) (4) (I)圆弧三角形ABC的周长为， 面积为. (都用含a的代数式表示) (2)圆弧三角形ABC运动时有何特性呢？ ①如图(3)，圆弧三角形ABC沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点 形成的图形大致为() A. B. C. ②数学家发现：圆弧三角形ABC能在边长为a的正方形DEFG中转动，且始终保持与正方形的每一边都有 且只有一个公共点.图(4)是转动过程中的一种情形（点B,C分别在边EF,FG上，AC与边DG有且 只有一个公共点M).求证：AB与DE有且只有一个公共点 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为α的正方形中转动时，也能始终保持 与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆.请画出示意图并写出画法。 18.(2026江苏无锡二模)如图，Rt△ABC中∠ACB=90°，在BC边上取一点O,以点O为圆心，OC为 半径画圆，若⊙O与AB边相切于点D,与BC边相交于点E,连接CD. B E A (1)求证：∠A=2∠BCD: (2)若⊙O的半径为2，AC长为2√3，求图中阴影部分面积. 19.(2026江苏南通二模)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直， 垂足为D,DE与AB的延长线交于点E, D (I)求证：AC平分∠DAB; (②若04、1 0E2,OC=4,求图中阴影部分的面积， 20.(2026江苏盐城二模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、 E两点，过点D作DF⊥AC于点F, B D (1)判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙0的半径为4，∠C=67.5°，求阴影部分的面积. 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点2 圆周角与圆心角 21.(2026江苏泰州二模)如图，ABC内接于⊙O,LBAC=70°，下列说法错误的是（) A 70° A.劣弧BC的度数为140° B.优弧BC与劣弧BC的度数之差为80° C.弦BC所对的圆周角有2个，小者与大者的度数之比为7：11 D.若弧AB的度数为80°，则弧AC的度数为70 22.(2026江苏苏州二模)如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点P.若AC的度数为100°，BD的度数为 30°，则∠APC的度数为() A O. A.550 B.60° C.650 D.70° 23.(2026江苏苏州二模)如图，AB是⊙O直径，点C、D将AB分成相等的三段弧，点P在AC上.已 知点Q在AB上且4APQ=115°，则点Q所在的弧是() C D 0 B A.AP B.PC C.CD D.DB 24.(2026江苏连云港·二模)如图，半圆O的直径AB=10,弦AC=6,AD平分∠BAC,则AD的长为 () 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.9 B.310 C.7√2 D.45 25.(2026江苏连云港·二模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是CD上的任意一点，则∠APB的 大小是() B A.30° B.45 C.60° D.75 26.(206江苏苏州二模)如图，4B为⊙0的弦，分别以点4，B为圆心，以大于4B的长为半径画弧， 两弧交于点M,N,过点M,N作直线MN交优弧于点C,连接OA,BC.若∠A=46°，则∠B的度数为() M来 B A.68 B.58° C.46 D.44° 27.(2026江苏常州二模)如图，AB是⊙O的直径，∠BCD=38°，则∠ABD的度数为 D B 28.(2026江苏盐城二模)如图，点A,B,C均在⊙O上，若∠ACB=56°，则∠A0B的度数为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29.(2026江苏宿迁二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=12,点E为边AB上一动点，连接OE, 将△BOE沿OE翻折得到BOE,连接DE、DB'.当ABDE的面积最大时，线段BE的长为一· B' E B 30.(2026江苏泰州：二模)如图，ABC内接于O0,CD1AB于D点，若0为△BCD的内心，则 D ·0 D B 31.(2026江苏南京·二模)如图，⊙O是ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,∠A=40°，则∠EDF的 度数为。 O 32.(2026江苏苏州二模)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点 D.若∠D=54°，则∠A的度数为°. B 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 33.(2026江苏苏州二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D,E是 CD的中点，OE的延长线交CB于点F,连接AE,DE. (1)求证：F是CB的中点： (2)求证：AE,EF=DE·BF; (3)若AC=2,BC=4,求DE2的值. 34.(2026江苏镇江·二模)如图，ABC内接于⊙0，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D,交⊙0于 点E,连接EB,作EF∥BC,交AB的延长线于点F. C D (I)试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若BF=3,EF=4,求⊙0的半径和AD的长. 考点3 正多边形与圆 35.(2026江苏宿迁·二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，正六边形ABCDEF的边长等于4，顶点A在 y轴正半轴上，边BC在x轴正半轴上，点P为BC边上一动点，点G在正六边形的内部，满足∠PAG=60 ,若点P在BC边上运动时，△APG的面积为定值6√3，则GE的最小值是() VA 60° OB P C A.2V5 B.4V5-27 C.2万-2W5 D.6-2V5 36.(2026江苏苏州·二模)小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴 影)区域的概率为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A月 B.3 12 c.3W5 D.3 Ant 37.(2026江苏苏州二模)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即 用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六 边形的面积比是 B 38.(2026江苏南京二模)在一块木板上绘制一个边长为2的正方形ABCD.在A,B,C,D四点处钉 上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内.用一支铅笔拉 紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹G,则下列说法正确的有 (填序号). ①轨迹G是一个圆； ②轨迹G所围成的图形的面积小于7π； ③木板四边上的任意两点的连线与轨迹G最多有两个交点， 39.(2026江苏南京·二模)已知⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P在BC上，则∠APB的度数为 40.(2026江苏泰州二模)高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识.某正方形斗拱构件的边 长为2，其内切圆的面积为·（结果保留元） 41.(2026江苏盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为6的正六边形ABCDEF的中心为点O ,顶点F,C在x轴上，则顶点D的坐标是 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D A B 42.(2026江苏准安·二模)如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC= 考点4 圆的综合解答题 43.(2026江苏扬州二模)图形的旋转是一种重要的图形变换，不仅能产生许多美丽的图案，还能帮助我 们研究图形 A B D B 图1 图2 图3 (I)初步感知：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60°得到对应的ADE,连接CE,△ACE显然是等边三 角形.若点P是AB边上任意一点，请用圆规和无刻度的直尺作出点P绕A点逆时针旋转60°后的对应点Q, 此时点Q一（填“在”或“不在”）边AD上； (2)迁移运用：如图2，点P是∠A0B内部一点，利用(1)中的研究和发现，尝试用圆规和无刻度的直尺作 等边△PCD,其中点C在边OA上，点D在边OB上，并写出必要的文字说明； (3)继续思考：如图3，ABC中，∠B=60°，BC=5,AB=7,点P在边BC上，BP=2,点D是线段AB上 一动点，以P为旋转中心，将点D顺时针旋转60°得到点E,若点D在从点A运动到点B的过程中，点E 只有一次落在⊙C上，则⊙C的半径r的取值范围是- 44.(2026江苏宿迁·二模)如图，AB为⊙O的直径，CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长 线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：∠FEB=∠ECF; (2)若BC=6,DE=4,求EF的长， C D A B F G 45.(2026江苏镇江·二模)如图1，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,过点D作 DE⊥AC,垂足为E. D D 图1 图2 (1)求证：DE是⊙O的切线： (②若DE=48,sinB=5 4 ①求⊙O的半径； ②如图2，点M是线段AO上一点，请仅用一把无刻度的直尺在线段AC找一点N,使得点M与点N关于 AD对称，（不写作法，保留作图痕迹，如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚），若点M是线段 A0的中点，则MN=- 46.(2026江苏宿迁二模)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC,点D 在BA的延长线上且LABC=LACD,点E在DC的延长线上，且BE⊥DC. E B (1)求证：CD为⊙O的切线： 2已知DE=8，sinD=,求a4CD的面积 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 47.(2026江苏徐州·二模)如图，AB是⊙O的一条弦，在△0AB中，E是AB的中点；过点E作EC⊥OA 于点C,过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D, D (I)求证：DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求⊙O的半径. 48.(2026江苏无锡二模)如图，AB是⊙O的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧BC的中点，过点D作 ⊙O的切线交射线AC于点E,连接AD、BD, B D B (I)求证：AE⊥DE; (2)若AE=6.4,AB=10,求AC的长. 49.(2026江苏南京·二模)如图①，在半径为10的⊙O中，弦AB=12,点P在优弧AB上，过点P作 PC⊥AB分别交⊙O、弦AB于点C、D.连接PB,过点A作AE⊥PB分别交⊙O、弦PB、PC于点E、F、 G. O。 0 G G D B B C C ① ② (1)如图②，当PC为⊙O的直径时，求CD的长： (2)求证：CD=GD; (3)当点P运动时，PG的长是否随之改变呢？若不改变，请直接写出PG的长；若改变，请说明PG的长的 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 变化情况。 50.(2026江苏无锡·二模)如图，△ACB中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D,点O在斜边AB上， 以OA为半径的⊙O经过点D,交AC于点E,交AB于F. E D B (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，BF=2,求AC的长. 51.(2026江苏宿迁二模)如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D在⊙O上，连接AD、 CD,作OF⊥AD于点E,并延长交CD于点F,且∠ADC=∠AOE, D A (1)求证：CD是⊙O的切线； ②)若sinC=3,BD=8,求EF的长. 52.(2026江苏南京·二模)如图，ABC中，AB=AC=6√2cm,D是BC延长线上一点，BC=CD.连 接AD,交ABC的外接圆⊙O于点E. D (I)当E是AC的中点时，求证：BE是⊙O的直径. (2)当E是AD的中点时，⊙O的直径为 cm. 53.(2026江苏无锡二模)如图，Rt△ABC中，LACB=90°，D为AB上一点，且△ACD的外接圆交BC于 点E,连接AE,DE 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B E (1)求证：∠ADE=90°； (2)若AD=AC=2,BD:DA=1:2,求BE的长. 54.(2026江苏扬州二模)如图，在ABC中，点P是BC边上一点且满足PA=PB,⊙O是△ABP的外接 圆，过点P作PD∥AB交AC于点D. O。 D (1)求证：PD是⊙O的切线： (2)若∠PAC=90°，BP=3,PC=9,求线段PD的长； (国诺4C是©0的切线，喜接写出号的取值范围 55.(2026江苏苏州二模)如图，在ABC中，以AB为直径的⊙O与BC交于点D,延长CA交⊙O于点E ,连接DE,点F为线段CD上一点，连接AF,且满足∠CAF=∠ADE. (1)求证：AF是⊙O的切线： (2)若AB=AC,AB、DE交于点M,记△BDM与△AEM的面积分别为S,S2.若S,-S,=9V5, an∠CED=5,求BC的长. 2 56.(2026江苏苏州二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径，DA=DB,过点D作⊙0 的切线DE,与AC的延长线交于点E. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (I)求证：△ECD∽△DCB; (2)若CE=2,DE=4,求sinZADB的值. 57.(2026江苏盐城二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，0C长 为半径的⊙O交AB于点D,且DB=BC. (1)求证：AB是⊙O的切线： ②若48=15，sn4=号，求00的半径 58.(2026江苏淮安·二模)如图，ABC中，AB=CB,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点E、F, 延长BC到D,连接AD,使∠CAD=∠CBA. B D (1)试说明AD是⊙O的切线： (②若O0的半径为3。mD-号求。4CD的面积 59.(2026江苏徐州二模)如图，在△0AB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB于点D. AC是∠BAD的平分线： D C B (1)求证：AB是⊙O的切线： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若⊙O的半径为6，∠A0B=45°，求CB的长. 60.(2026江苏无锡·二模)如图，己知ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠CBD=LBED. E B (1)求证：BC为⊙O的切线； (②若E为B中点，BD=12,s∠BED号求8E的长. 61.(2026江苏无锡·二模)如图，CD是ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E,连接DE DE =CD. B A (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若CD=4,BD=2,求ABC的面积. 62.(2026江苏盐城二模)如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，∠B=LDCA,AD∥BC,连接 OD、AC. D (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)求证：△ACB∽△DAC (3)若4C-V5 BC=2,OD=3V6,求AB的长