专题07 特殊四边形（4大考点47题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

专题07 特殊四边形（4大考点，47题） 4大考点概览 考点01平行四边形的性质和判定 考点02矩形的性质和判定 考点03菱形的性质和判定 考点04正方形的性质和判定 1．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，点E在的延长线上，且，过点E作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_____．平行四边形的性质和判定 考点1 【答案】 【分析】连接，由题意得O为的中点；由平行四边形的性质易证，则得；再证明得到，进而列出关于长的方程即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， ∴是的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 2．（2026·江苏徐州·二模）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用直角三角形的性质，求出，， ，证明，得出，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，，， ，，，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 4．（2026·江苏徐州·二模）如图，已知中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为_____． 【答案】 【分析】首先由平行四边形的性质得到，，，然后结合角平分线的定义得到，进而得到，同理可得，，求出，然后证明出，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，， ∴ 由作图得，平分，平分 ∴， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴ ∴． 5．（2026·江苏无锡·二模）定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻四边形”，这组相等邻边的长叫做“等邻长”． 如图，四边形中，，，，，． （1）判断四边形是否为等邻四边形？_______；（填“是”或“不是”） （2）若画一条直线将四边形分割成两个等邻四边形，且它们的等邻长均为，则所有可能的值为________． 【答案】 是 或 【分析】（1）过点作交于点，则四边形是平行四边形，再由勾股定理求解，即可得到；（2）分类讨论，根据“等邻四边形”的定义，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）过点作交于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是等邻四边形； （2）若点分别在边上时，则，而，故四边形邻边不可能相等，故不成立； 若分别在边上时， 当时，过点作于点， ∵， ∴， 由垂线段最短可得，，故这种情况不成立； 当时，符合题意； 当时，过点作于点，则 则 ∵ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 整理得， ， ，故这种情况不成立； 当 时，过点作于点， 则 ， 同理可得四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴ 整理得， 解得， （舍）， 综上：所有可能的值为或． 6．（2026·江苏徐州·二模）如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接、，容易证明四边形是平行四边形，则，利用同高的三角形之间的关系，依次求出，． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·江苏南通·二模）请从下列两个命题中选取一个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)一个两位数，十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新数，这两个数的差是9的倍数； (2)一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：该命题是真命题，理由如下： 设原两位数十位数字为a，个位数字为b(a、b为整数，,)， 则原两位数：， 交换后新两位数：， 这两个数的差是：， 是整数， 所以是9的倍数，该命题为真命题； (2)解：该命题是真命题，理由如下： 如图，在四边形中，；    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∴该命题为真命题． 【分析】（1）设原两位数十位数字为a，个位数字为b，则这两个数的差是：，所以是9的倍数，该命题为真命题； （2）利用证明，推出，即可得到四边形为平行四边形．该命题为真命题． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 8．（2026·江苏镇江·二模）已知四边形，，，垂足分别为、，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则平行四边形的面积为____． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先由已知垂直关系得到，再利用证明两个直角三角形全等，得到一组对边相等，结合平行关系根据平行四边形判定定理完成证明． （2）根据正切定义设未知数，结合勾股定理求出和的长度，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴是直角三角形， ∵， 设，（） 由勾股定理得 ∵ ∴， 解得 ∴， 平行四边形的面积为． 9．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，对角线，相交于点，且．，分别是，的中点，，分别是，上靠近点的三等分点，连接，，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， ，分别是，上靠近点的三等分点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，设，则， ，， ，， ， 四边形是矩形． 【分析】根据平行四边形的性质可知，，根据点，分别是，的中点，点，分别是，上靠近点的三等分点，可证四边形是平行四边形，根据可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证结论成立． 【详解】略 10．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，点E在边上，点F在边上，且． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若E为的中点，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，结合可得结论； （2）如图，过作于，求解，再进一步求解即可． （3）利用平行四边形的性质推导面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）解：∵在中，点E在边上，点F在边上，且． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵为中点， ∴四边形面积为平行四边形面积的一半， ∴． 11．（2026·江苏泰州·二模）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由可得，再证四边形是平行四边形，推出，，等量代换即可得出． 【详解】证明：平行四边形中，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 12．（2026·江苏盐城·二模）如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，那么四边形是矩形吗？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明即可； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，由得到，根据矩形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形， 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 13．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ）矩形的性质和判定 考点2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 14．（2026·江苏常州·二模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，在运动过程中，的面积的最小值是______． 【答案】 【分析】设，利用平移性质得到对应边长，用割补法表示的面积，转化为二次函数求最值． 【详解】解：设， 矩形，，， ，，，， 由平移，有，，，， ， ， ， ， 整理： ，， 二次函数，，开口向上， 对称轴：， 把代入： ． 15．（2026·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则______． 【答案】2或14 【分析】如图，当在的左边，过作于，记与的交点为，证明，可得，，设，则，，证明，进一步可得答案，如图，当在的右边时，同法可求解． 【详解】解：如图，当在的左边，过作于，记与的交点为， ∵矩形，，，为的中点， ∴，，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 如图，当在的右边时， 同理：，设，则，， 同理：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上：的长度为或． 16．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，E是的中点，将沿翻折，点C落在点F处．若，，则的长为____． 【答案】6 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴， 根据折叠可得，，，，， ∴， 即为等腰三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 17．（2026·江苏苏州·二模）在中，，，，点在上，点在上，，分别连接，交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点A，B分别作的平行线交于点K，则四边形为矩形，过点A作交于点M，则四边形为平行四边形，过点M作交的延长线于点N，过点N作的平行线分别交的延长线于点H，Q，则四边形为矩形，证明为等腰直角三角形，可得，再根据，，，然后根据，即可求解． 【详解】解：过点A，B分别作的平行线交于点K，则四边形为矩形， ∴，，， 过点A作交于点M， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 过点M作交的延长线于点N，过点N作的平行线分别交的延长线于点H，Q，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 18．（2026·江苏镇江·二模）【概念阅读】 在平面直角坐标系中，对于任意两点和（，），以线段为对角线作各边平行于坐标轴的矩形，我们称这个矩形为点，的“关联矩形”，记为．显然，的周长． (1)【初步理解】已知点，． ①点，的“关联矩形”的周长为 ； ②若点满足的周长为，求的值． (2)【深入探究】已知直线：，点是直线在第一象限内的一个动点，为坐标原点．求证：的周长是一个定值，并求出该定值； (3)已知点，点在点的右上方（即且），且的周长始终保持为，求动点运动轨迹的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (4)【拓展与延伸】已知抛物线的顶点为，点是该抛物线上的一点．若的周长为，求点的坐标． 【答案】(1)①14；②或 (2)证明：定值为， 由题意可设 ∵点在第一象限， ∴ ∴ ∵为坐标原点， ∴ ， ∴的周长是一个定值，定值为； (3)， (4)或 【分析】（1）根据公式直接列式计算或列方程求解即可； （2）由题意可设，由点在第一象限，得到不等式组求出的取值范围，再由公式求解即可； （3）根据公式得到，再化简求解即可； （4）先求出顶点，设，则得到，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，； ②由题意得，， 或 解得或； （2）略 （3）解：由题意得， ∵且 ∴ 整理得， ∴ 解得， ∴； （4）解： ∴顶点， 设 则 ∴或（舍去） ∴或 解得或 ∴点的坐标为或． 19．（2026·江苏扬州·二模）如图，一块矩形场地的长于点E，于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的面积 【答案】(1)证明：在矩形中， ，且， ． ， ，， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质结合题意易证，得出，再结合，即可证四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理可求出．再根据等积法可求出，从而再次利用勾股定理可求出，进而可求出，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 20．（2026·江苏镇江·二模）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为矩形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． （2）解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 21．（2026·江苏连云港·二模）【问题情境】 (1)如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 (2)在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 (3)如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 (4)如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)米 (4) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）由（1）知四边形是平行四边形，为等腰三角形；求出，当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用直角三角形的性质即可解答； （3）分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作，证明为等腰三角形，求出米，米，，同理（1）得为等腰三角形，则，求出，同理（1）得，四边形是平行四边形，当时，有最小值，则有最小值，解直角三角形即可求解； （4）如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，同理（1）得为等腰三角形，，证明四边形是平行四边形，得到四边形的面积为，当点重合时，有最小值，最小值为的长，此时，证四边形是矩形，可得有最小值，最小值为的长，再根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点作交延长线于点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形； ∴， ∴， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，在中，， ∴，即的最小为； （3）解：分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作， ∵正六边形中，，米， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）； 同理，得米，， 同理（1）得为等腰三角形，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）得，四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值，则有最小值， 此时，， ∴（米）， ∴的最小值为米， 即两条步道总长度的最小值为米； （4）解：如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接， 同理（1）得为等腰三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形的面积为， 当点重合时，有最小值，最小值为的长， 此时，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 此时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形的最小面积为． 22．（2026·江苏宿迁·二模）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 23．（2026·江苏苏州·二模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度米． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，在中利用正弦的定义即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，利用勾股定理求出米，通过证明四边形是矩形，得到米，米，进而得到的长，在中利用正切的定义求出，利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 在中，， （米）， 答：遮阳棚上的点到墙面的距离为米． （2）解：如图，过点作于点，延长交于点， 由（1）得，米， 米， 米， ， 四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，， （米）， 米． 答：阴影的长为米． 24．（2026·江苏南京·二模）洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，在运用数学知识解决问题过程中，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题，解答的关键是构造直角三角形． 过点A作于，过点作于，利用矩形的判定与性质求得，，，在Rt中，利用锐角三角函数定义求得，，进而求得，再在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在Rt中，，， ，， ，， 中，， ， ， 答：的长约为． 25．（2026·江苏盐城·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）菱形的性质和判定 考点3 A．12 B．24 C．30 D．35 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 26．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·江苏泰州·二模）如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 【答案】72 【分析】根据正五边形的一个内角是，进而利用平面图形镶嵌的内角和是解答即可． 【详解】解：∵正五边形的一个内角是，平面图形镶嵌的内角和是， ∴菱形地砖的锐角． 28．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，再利用等腰三角形的性质求得，根据菱形的性质得出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴， ∵点F 在延长线上， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即，解得， ， ∵ 四边形是菱形， ∴， ∴． 29．（2026·江苏盐城·二模）如图，菱形边长为6，为射线上一点，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】过点作于点，作，过点作于点，设的中点为，连接，证明，进而证明得出，求得，再根据得出在以为圆心，为半径的圆上运动，进而求得的最大值，即可求解． 【详解】解：如图：过点作于点，作，过点作于点，设的中点为，连接， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 ∵菱形边长为6， ∴， ∵， ∴ 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴， ∵，即 ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 又∵ ∴的最大值为 ∴的最大值为 30．（2026·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点作，由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 31．（2026·江苏徐州·二模）如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由菱形性质得且，进而推出，结合已知，用证明全等； （2）连接，由全等得，再结合菱形四边相等且，推出，得为等腰三角形，利用三线合一证，从而得为切线． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 在和中： ． （2）证明：连接， 由（1）， ， 四边形是菱形，且、为的半径， ， ， 在中，，， ， 点在上，为半径， 是的切线． 32．（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点，即平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质证明． （2）根据菱形性质结合勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，四边形是菱形，，为菱形对角线，交于点， ∴，，互相平分， ∵，， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 33．（2026·江苏扬州·二模）如图1，中，，E是边上一点，将沿边折叠，A的对应点F恰好落在边上，连接，与交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定得出四边形是平行四边形，再根据折叠性质得到一组邻边相等，从而推导出四边形是菱形； （2）根据等边三角形性质和菱形性质求出长和，再利用锐角三角函数解直角三角形，以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵折叠， ，， 在和中，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：过点O作，垂足为点H， ∵折叠， ， ， 是等边三角形， ，， ∵四边形是菱形， ， 在Rt中，，即，， 在Rt中，，即，， 在Rt中，根据勾股定理得，． 34．（2026·江苏徐州·二模）图1为徐州汉画像石艺术馆收藏的“十字穿环”画像石的部分图案，这种图案由两对距离相等的线段交叉并穿过中间圆环，且交叉重叠部分所围成的四边形两条对角线的交点到中间圆环上各点的距离相等．矩形的四个角为不完整的圆环，且五个圆环的宽度、大小均相同．图2为一幅图象表面受到破损的“十字穿环”的示意图． (1)图2中四边形的形状为 ； (2)请用无刻度的直尺与圆规，仅作出图2“十字穿环”图案中间完整的圆环．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)菱形 (2)见解析 【分析】（1）过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F，根据菱形的判定证明即可； （2）根据基本作图求解即可； 【详解】（1）解：四边形的形状为菱形；理由如下： 如图1，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 平行四边形为菱形． （2）解：补全的“十字穿环”的图案如解图2． ①作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点O； ②连接，交于点P； ③以P为圆心，长为半径作圆； ④以P为圆心，长为半径作圆． 则圆环即为所求； 35．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用和垂直平分线的性质可得，进而可知，问题得证； （2）先证明为等边三角形，然后在中求出，进而求出的长． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，，． ． 垂直平分， ，． 在和中， （ASA）． ． 又， 四边形是平行四边形． 又∵， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是平行四边形，，， ，． ． ∵四边形是菱形， ，， 为等边三角形． ． 在中，，，由勾股定理，得 ． 四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的性质和判定、垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、角的性质及勾股定理．根据已知条件选择恰当的判定方法是解决问题的关键． 36．（2026·江苏扬州·二模）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2）解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， ． 为等边三角形， ∴． 在中，． 37．（2026·江苏连云港·二模）如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（     ）正方形的性质和判定 考点4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点，证明，得到当点在点处时，的值最大，最大值为的长，根据正方形的面积为2，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接交于点， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， 即当点在点处时，的值最大，最大值为的长， 正方形的面积为2， ， ， ， 的最大面积是． 38．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】先确定正方形的边长，再确定，得到的面积，再用总面积减四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：正方形的面积是， 正方形的边长为， ， ， 又， 所以， 又， ， 则四边形的面积为． 39．（2026·江苏连云港·二模）如图，点O是边长为8的正方形的中心，P、Q分别是边、上的动点，若P、Q在运动过程中，则四边形的面积最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似的判定和性质，完全平方公式的变形，能够通过完全平方公式的变形判断最小值是解题的关键． 过点作于点，于点，连接，设，，通过计算可知，根据正方形的性质和可得，进一步推得，根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，连接， ∵正方形的边长为8， ∴，，，， 设，， 则， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，最小为128，此时， 则四边形的面积最小值为． 40．（2026·江苏淮安·二模）如图，是正方形内部一点，且，为延长线与的交点，连接，若为直角三角形时，则的值为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质和可得，从而为等腰三角形．由为直角三角形，结合图形位置排除和，确定．设，利用等腰三角形和直角三角形的边角关系推导出．过点作的垂线，利用勾股定理求出点相对于正方形边长的位置坐标，进而求出 的值． 【详解】解：四边形是正方形 ， 是等腰三角形若，则点在上或上，与矛盾 若，则，即在上，此时与重合，不存在 设 在中， 过点作于点，延长交于点则，，四边形为矩形，过点作于点M，则 在中， 在等腰中， ， 在中，， ， ， ， 设 ，则 在中，， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中， 41．（2026·江苏扬州·二模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 【答案】 【分析】添加辅助线，构造四边形为正方形，再由勾股定理求解出的长度，再由面积的最小时，则该三角形的高最小，再由翻折可得点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，根据点三点共线时，最小，作辅助线构造等腰直角三角形，设，再表示出其他相关的边长，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴当点到的距离最小时，的面积最小． 过点作交的延长线于点，如图， 即当最小时，的面积最小． ∵是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 过点作于点，过点作于点，连接，如图， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即，整理可得， 解得（舍掉）， ∴， ∴当时，的面积最小． 42．（2026·江苏无锡·二模）如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G． (1)若点G与点B重合，求的长； (2)若，，求y与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，，从而得出为等腰直角三角形，即可得出结果； （2）分两种情况：当点在边上，即时，当点在的延长线上，即时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图，当点在边上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点， 同理可得：,，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 43．（2026·江苏南通·二模）如图，四边形为正方形．以为中心，旋转角等于，将边逆时针旋转得到．连接并延长交于点，作，垂足为点． (1)求证：； (2)当点与点恰好重合时，请在图2中画出图形，并求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：由旋转可得：， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， ∴， ， ， ∴． (2)当点与点恰好重合时如图所示： 此时 (3)或 【分析】（1）由旋转可得：，利用等腰三角形的性质可得：，再利用三角形内角和定理可求出，即可得证； （2）过点作，垂足为，由（1）可知，，，可证明，得出，利用，即可求出结果； （3）设，则，由（2）得，，，得出，当在左侧时，此时，可求出；当E在G的右侧时，此时，． 【详解】（1）略 （2）解：当点与点恰好重合时如图所示： 过点作，垂足为， ， ∴，， 由（1）可知，，， ∴， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 在中，， 在中，， ， ∴． （3）解：当在左侧时，如图所示，过点作，垂足为， ∵， 设，则， 由（2）得，，， ∴， ∴， ∴； 当E在G的右侧时，如图所示，过点作，垂足为， ∵， 设，则， 由（2）得，，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 44．（2026·江苏南京·二模）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 45．（2026·江苏泰州·二模）已知，在边长为6的正方形中，点E为边上一动点（不与D、C重合），连接，将沿直线折叠，点D的对应点为F，射线交直线于点G． (1)如图，当点G在边上时，若． ①求的度数； ②求的面积； (2)如图，过点A作交直线于点H，点M为的中点，，相交于点P． ①试说明点P为的中点； ②如图，点N为的中点，能否为等腰三角形？如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1)①；② (2)①，， ， ， 在和中，， ， ∴，且， 为等腰直角三角形， ∴， 由折叠可设， ∴，， ∴， ∴． 又为中点， ∴垂直平分． 如图，连接， ∴， ∴， ∴平分，且， ∴， ∴为的中点． ②能，或 【分析】（1）①利用正方形邻边相等和直角，结合证，得 ，再由折叠得 ，且 ，从而求出． ②由①得 ，在 中，，结合 及勾股定理求出 ，再计算面积即可． （2）①通过证明 得 及角的关系，推出，结合为 中点得垂直平分，再由及角平分线，利用等腰三角形“三线合一”得为中点． ②方法一：通过设表示各线段，利用平行得角相等，分、、三种情况，结合正切相等列方程求解，得或． 方法二：通过设表示相关线段，利用勾股定理、中位线定理、三角形相似及中分三种情况列方程，解得或． 方法三：当，由为中点及为中点，证得四边形为正方形，进而推出，当时，通过全等、勾股定理及方程求解，得或． 【详解】（1）①在正方形中， ， 在和中，， ∴， ∴ ， 由折叠可知，， ∴ ， ∴ ． ②在边长为6的正方形中，， 由①得, ，即 ， ∴． （2）①略 ②方法一： 设 ，由①得为等腰直角三角形， 点N为的中点，点M为的中点， ，， 为等腰直角三角形， 则 ． 由①知 ，， ∴ ， ∴ ． 在中，． 当 时，， 则，又 ， 由①知 ， ∴ ， ． 当 时，， ， ， ∴ 当 时，， ， ， （舍） 综上所述， 或 ． 方法二： 设，在中，， 在等腰直角中，， 分别为 中点， ， ， 由①得，， , ,且， 当 ，即 时， 解得． 在 中，． 当 ，即 时， 此时为等腰直角三角形， ，即， 解得 ． 当 ，即 时， 此时为等腰直角三角形， ，即 解得 （舍去）． 综上所述， 或 ． 方法三： 由① 为的中点，且 分别为的中点， ∴ 四边形 为平行四边形，且 ，，即 ， ∴四边形 为正方形， ∴ 当 时，， ∴ ∴ ， ∴ 为 中点， ∴ ∴ 四边形 为正方形， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ，且,, ∴ ， ∴ ， ∴ ． 当 时，延长 、 交于点 ， ， ∴ ， 设，即， ，得 ． 由题易得 ，． , 则， ∴ ， 整理得 ， 配方得 ， ∴ （舍负），解得 （舍负）， ∴ ． 当 时，取 中点 ， ∴ ， ∴ ，且 ， ∴ ． 又 ， 为 中点， ∴ （与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾）， ∴ 不存在． 综上所述， 或 ． 46．（2026·江苏泰州·二模）如图,中,，点O在上,过点B，分别与、交于D、是的切线交于点F． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若与相切于点M的半径为3，，求的长． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线，利用切线性质得垂直，结合特殊四边形与勾股定理建立方程求解。 （1）连接，由等腰三角形性质得；结合切线性质，推得； （2）连接，证正方形得边长为，用勾股定理求、，设，在中列方程，解得。 【详解】（1）证明：连接 ． ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∵ 是 的切线， ∴ ∴ （2）解：连接 ． ∵ 与 相切于点 ， ∴ ∵ ， ∴ 四边形 是矩形． ∵ ， ∴ 矩形 是正方形． ∴ . 在 中，， ∴ ． 设 ，则 ，， 在 中，由勾股定理：，，，，． ∴ ． 47．（2026·江苏扬州·二模）纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点． (1)          ； (2)点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若，求的长度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再证得四边形是正方形，可得，即可求解； （2）以点M为圆心、长为半径画弧，交于点P，分别以点A、P为圆心、大于长为半径画弧，两弧交于点G，作直线，交于点N，则点N、P即为所求； （3）设，则，根据，结合锐角三家函数可得，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，，， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴（厘米）， 故答案为：； （2）解：如下图：点N，P即为所求； 理由： 由作法知： ∴点M、G都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴将沿折，与重合，点A恰好落在线段上的点P处； （3）解：由轴对称得：， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 所以的长度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正方形的判定和性质，图形的折叠，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，图形的折叠的性质，矩形的性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 特殊四边形（4大考点，47题） 4大考点概览 考点01平行四边形的性质和判定 考点02矩形的性质和判定 考点03菱形的性质和判定 考点04正方形的性质和判定 1．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，点E在的延长线上，且，过点E作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_____．平行四边形的性质和判定 考点1 2．（2026·江苏徐州·二模）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 4．（2026·江苏徐州·二模）如图，已知中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为_____． 5．（2026·江苏无锡·二模）定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻四边形”，这组相等邻边的长叫做“等邻长”． 如图，四边形中，，，，，． （1）判断四边形是否为等邻四边形？_______；（填“是”或“不是”） （2）若画一条直线将四边形分割成两个等邻四边形，且它们的等邻长均为，则所有可能的值为________． 6．（2026·江苏徐州·二模）如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________． 7．（2026·江苏南通·二模）请从下列两个命题中选取一个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)一个两位数，十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新数，这两个数的差是9的倍数； (2)一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是平行四边形． 8．（2026·江苏镇江·二模）已知四边形，，，垂足分别为、，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则平行四边形的面积为____． 9．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，对角线，相交于点，且．，分别是，的中点，，分别是，上靠近点的三等分点，连接，，，．求证：四边形是矩形． 10．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，点E在边上，点F在边上，且． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若E为的中点，求四边形的面积． 11．（2026·江苏泰州·二模）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：． 12．（2026·江苏盐城·二模）如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，那么四边形是矩形吗？证明你的结论． 13．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ）矩形的性质和判定 考点2 A． B． C． D． 14．（2026·江苏常州·二模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，在运动过程中，的面积的最小值是______． 15．（2026·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则______． 16．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，E是的中点，将沿翻折，点C落在点F处．若，，则的长为____． 17．（2026·江苏苏州·二模）在中，，，，点在上，点在上，，分别连接，交于点．若，则的长为__________． 18．（2026·江苏镇江·二模）【概念阅读】 在平面直角坐标系中，对于任意两点和（，），以线段为对角线作各边平行于坐标轴的矩形，我们称这个矩形为点，的“关联矩形”，记为．显然，的周长． (1)【初步理解】已知点，． ①点，的“关联矩形”的周长为 ； ②若点满足的周长为，求的值． (2)【深入探究】已知直线：，点是直线在第一象限内的一个动点，为坐标原点．求证：的周长是一个定值，并求出该定值； (3)已知点，点在点的右上方（即且），且的周长始终保持为，求动点运动轨迹的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (4)【拓展与延伸】已知抛物线的顶点为，点是该抛物线上的一点．若的周长为，求点的坐标． 19．（2026·江苏扬州·二模）如图，一块矩形场地的长于点E，于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的面积 20．（2026·江苏镇江·二模）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 21．（2026·江苏连云港·二模）【问题情境】 (1)如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 (2)在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 (3)如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 (4)如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 22．（2026·江苏宿迁·二模）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 23．（2026·江苏苏州·二模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚．如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度米． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，，，，） 24．（2026·江苏南京·二模）洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 25．（2026·江苏盐城·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）菱形的性质和判定 考点3 A．12 B．24 C．30 D．35 26．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·江苏泰州·二模）如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 28．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为_______． 29．（2026·江苏盐城·二模）如图，菱形边长为6，为射线上一点，，则的最大值为________． 30．（2026·江苏无锡·二模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 31．（2026·江苏徐州·二模）如图，点C在的边上，经过点C，且与，分别交于点D，E，连接，．若，四边形是菱形． (1)求证：； (2)求证：是的切线． 32．（2026·江苏盐城·二模）已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，则 ． 33．（2026·江苏扬州·二模）如图1，中，，E是边上一点，将沿边折叠，A的对应点F恰好落在边上，连接，与交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，若，，，求的长． 34．（2026·江苏徐州·二模）图1为徐州汉画像石艺术馆收藏的“十字穿环”画像石的部分图案，这种图案由两对距离相等的线段交叉并穿过中间圆环，且交叉重叠部分所围成的四边形两条对角线的交点到中间圆环上各点的距离相等．矩形的四个角为不完整的圆环，且五个圆环的宽度、大小均相同．图2为一幅图象表面受到破损的“十字穿环”的示意图． (1)图2中四边形的形状为 ； (2)请用无刻度的直尺与圆规，仅作出图2“十字穿环”图案中间完整的圆环．（保留作图痕迹，不写作法） 35．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 36．（2026·江苏扬州·二模）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，，求的长． 37．（2026·江苏连云港·二模）如图，正方形的面积为2，是以为圆心，为半径的弧上的一动点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．则的最大面积是（     ）正方形的性质和判定 考点4 A． B． C． D． 38．（2026·江苏南京·二模）如图，正方形的面积是，E，F，G，H分别是正方形四条边上的点，，则四边形的面积为_______． 39．（2026·江苏连云港·二模）如图，点O是边长为8的正方形的中心，P、Q分别是边、上的动点，若P、Q在运动过程中，则四边形的面积最小值为_______． 40．（2026·江苏淮安·二模）如图，是正方形内部一点，且，为延长线与的交点，连接，若为直角三角形时，则的值为______． 41．（2026·江苏扬州·二模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 42．（2026·江苏无锡·二模）如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G． (1)若点G与点B重合，求的长； (2)若，，求y与x的函数关系式． 43．（2026·江苏南通·二模）如图，四边形为正方形．以为中心，旋转角等于，将边逆时针旋转得到．连接并延长交于点，作，垂足为点． (1)求证：； (2)当点与点恰好重合时，请在图2中画出图形，并求的值； (3)若，求的值． 44．（2026·江苏南京·二模）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 45．（2026·江苏泰州·二模）已知，在边长为6的正方形中，点E为边上一动点（不与D、C重合），连接，将沿直线折叠，点D的对应点为F，射线交直线于点G． (1)如图，当点G在边上时，若． ①求的度数； ②求的面积； (2)如图，过点A作交直线于点H，点M为的中点，，相交于点P． ①试说明点P为的中点； ②如图，点N为的中点，能否为等腰三角形？如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由； 46．（2026·江苏泰州·二模）如图,中,，点O在上,过点B，分别与、交于D、是的切线交于点F． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若与相切于点M的半径为3，，求的长． 47．（2026·江苏扬州·二模）纸是一种常见的办公用纸，它是长（）为，宽（）为的矩形，如图，将一张纸沿翻折（F点在线段上），点D恰好落在边上的点E处，点M是折痕上的一点． (1)          ； (2)点N在线段上．将沿翻折，点A恰好落在线段上的点P处，用直尺和圆规作出点N、P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若，求的长度（结果精确到，参考数据：）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $