专题06 三角形（5大考点88题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形五大核心考点，精选江苏各地二模88题，融合“抖空竹”“三星堆文物”“无人机测量”等文化与实际情境，梯度覆盖基础应用到创新探究。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约35题|三边关系、三角形内角和等|结合生活场景（如小木棒搭三角形）| |填空|约25题|等腰三角形性质、勾股定理等|动态几何（如菱形顶点运动求最值）| |解答|约28题|全等判定、新定义问题等|综合应用（如“倍角互余三角形”探究、无人机测高）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06三角形(5大考点，88题) ☆5大考点概览 考点01三角形的三边关系 考点02与三角形有关的角 考点03全等三角形的性质和判定 考点04等腰三角形的性质与判定 考点05直角三角形与沟股定理 考点1 三角形的三边关系 1.(2026江苏徐州二模)若长度分别是a,2,3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是() A.1 B.4 C.5 D,7 2.(2026江苏连云港·二模)下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(） A.1,2,3 B.3,4,6 C.5,4,10 D.6,2,3 3.(2026江苏南京·二模)如图，四边形ABCD,已知AB=BC=6,AD=CD=4,且点D在ABC外部， 则B,D之间的距离可能是() 0 B A.4 B.4.4 C.9 D.11 4.(2026江苏苏州二模)若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是() A.5 B.10 C.15 D.20 5。（2026江苏镇江二模）4C中.4C=25,-,8C=,在解这个三角形，若未知元素 有且只有一个解，则m的取值范围是 6.(2026江苏泰州·二模)已知AD为ABC的中线，点O为ABC的重心，若AD=6,则A0的长为 7.(2026江苏扬州·二模)已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm,则该等腰三角形的面积为 cm2. 8.(2026江苏南通二模)如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°.当点A在x轴上运动时，点D随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为· 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 9.(2026江苏南京二模)等腰ABC的周长是10cm,腰长AB=4cm,则底边BC=cm 10.(2026江苏宿迁二模)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一个根， 则此三角形的周长是 考点2 与三角形有关的角 11.(2026江苏泰州二模)如图，在口ABCD中，E为BC上一点，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC.下 列说法错误的是() D A.AB=BE B.AD=24B C.AE=BE D.∠AED=90° 12.(2026江苏无锡二模)如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若∠1=93°，则 ∠2的度数为() A.93° B.1250 C.132° D.138 13.(2026江苏苏州·二模)如图，ABC中，LBAC=60°，将ABC绕点A逆时针旋转a°(0°<a<60°)， 得到ADE,DE交AC于F.当=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于() E A.60° B.80 C.90° D.100° 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(2026江苏盐城二模)如图，BD是⊙O的直径，A,C是⊙O上两点，连接AC,AD,CD.若 ∠C=26°，则∠ADB的度数为() A.44° B.46° C.54° D.64° 15.(2026江苏徐州二模)下列事件中属于必然事件的是() A.明天徐州下雨 B.任意画一个三角形其内角和为180° C.掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D.打开电视，正在播放动画片 16.(2026江苏淮安·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠D=100°，AB=AC,则∠BAC的度数是 A.80 B.30° C.20 D.10° 17.(2026江苏扬州二模)如图，在ABC中，AB=AC,D是AB边上的点，将△BCD沿直线CD折叠， 使点B的对应点E恰好落在边AC上，若∠A=32°，则∠ADE的大小是() B A.38° B.40° C.42 D.44 18.(2026江苏无锡二模)如图，将ABC绕顶点A顺时针旋转40°得到对应ADE.若点D恰好落在边 BC上，则∠ADE的大小是() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.70° B.60° C.50° D.40° 19.(2026江苏苏州二模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线， DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有() ⊙ D B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 20.(2026江苏扬州二模)如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=CD,∠BAD=56°，则∠C等于 () A.28° B.29° C.30° D.31° 21.(2026江苏苏州二模)如图，已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式 放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为() m A.50° B.55 C.60° D.65° 22.(2026江苏盐城二模)“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一·在公园里，小聪 看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，己知AB∥CD,∠A=75°，∠ECD=105°， 则∠E的度数为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 A.20° B.30° C.40° D.50° 23.(2026江苏宿迁·二模)如图，将ABC绕点A顺时针旋转56°得到ADE,点D在AC的延长线上，连 接CE,则LACE=°. 24.(2026江苏徐州二模)如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A,连接BC交⊙O于点 D,连接DO并延长交AB于点E,若∠AED=80°，∠B=45°，则∠C= B D E A C 25.(2026江苏宿迁二模)如图，在半圆0中，AB是直径，C、D是半圆上两点，∠B0C=40°， ∠0CD=50°，则∠ABD=°. O 26.(2026江苏扬州二模)如图，⊙O是ABC的外接圆，∠0CB=35°，则∠A的度数等于 B C 27.(2026江苏南京·二模)图(1)中圆形台球桌面的俯视图如图(2)所示，记圆心为O,6个等分圆周的 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 球洞为A,B,C,D,E,F,P是AF的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处， 反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有LOQM=L0QP, LOMF=LOM0,则LPQ0的度数是 A DO (1) (2) 28.(2026江苏南京·二模)如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，AE,BD相交于点F,连接 CF.设∠CFE=a,则∠E=(用含a的代数式表示). D 29.(2026江苏徐州二模)如图，AB∥CD,LCAD=85°，LACD=55°，则∠a= B a D 30.（2026江苏宿迁二模)定义：若一个钝角三角形中，两个锐角满足其中一个角的2倍与另一个角互余， 则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点P为BC上一 个动点，若△APB为“倍角互余三角形”，则BP的长为 31.(2026江苏苏州二模)如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=46°，AD=CD, 则∠DAB= 32.(2026江苏无锡·二模)如图，点A,B,C均在⊙O上，若∠ACB=56°，则LBA0的度数为 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 33.(2026江苏宿迁.二模)如图，△ABC≌△CDE,若∠D=30°，∠ACB=40°，则∠DCE的度数为 B E 34.(2026江苏连云港·二模)如图，直线a∥b,直线11a,∠1=120°，则∠2= 考点3 全等三角形的性质和判定 35.(2026江苏南通·二模)如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE,补充下列一个条件后，仍无 法判定△ABE≌△ACD的是() B E A.∠B=∠CB.∠AEB=∠ADCC.BE=CD D.AB=AC 36.(2026江苏泰州·二模)在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AB于点F,作 EG⊥BC于点G,连接DE、FG,下列结论正确的是() D G A.DE=FG且DE∥FG B.DE≠FG且DE∥FG / 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C.DE=FG且DE⊥FG D.DE≠FG且DE⊥FG 37.(2026江苏南京·二模)下列说法正确的个数是() ①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧. ②90°的角所对的弦是直径 ③圆的切线垂直于经过切点的半径， ④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 38.(2026江苏苏州二模)如图，在ABC中，AB=AC,BC=5,将ABC绕点B顺时针旋转得到 △ABC，且点A落在边BC上，连接CC'.若CC'=C'A',则CC的长度是 B 39.(2026江苏泰州二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD BC,AB≠BC，AB+CD=BC+AD, 弦AC与BD交于点E.若AB=8,设点O到点E的距离为d,则d的取值范围是 40.(2026江苏南通二模)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4,∠A=LB=90°.E是AB上的任意一 点，连接ED,将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF.若EF与边BC始终有公共点，则BC长的最 小值是 41.(2026江苏盐城二模)如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE,以点E 为旋转中心将线段EA顺时针旋转90°，得到线段EF,连接AF,FE交边CD于点G,H,则GH的长为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G A H E C 42.(2026江苏无锡二模)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=4,AB=8,点D是边AB上一动点， 连接CD,过点D作DE⊥DC交BC于点E,如图①，当点D是AB中点时，BE=;如图②，若把 BDE沿DE翻折得FDE,连接FC.当FC=BD时，AD= D B-- 图① 图② 43.(2026江苏南京·二模)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=BC,∠BAC的平分线交BC于点D,则 tan∠DAC的值为 B D A 44.(2026江苏南通二模)如图，在ABC中，∠BAC=60°，AB=4,AC=6,若AD为ABC的角平分 线，则AD的长为 B 45.(2026江苏南通·二模)如图，点C是AB的中点，AD∥CE,AD=CE. D 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：CD=BE; (2)若LE=50°，求∠DCE的度数 46.(2026江苏连云港·二模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC中点，点E 在AB上，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. D (I)求证：△CDF≌△BDE; (2)求四边形AEFC的面积. 47.(2026江苏扬州·二模)如图，在菱形ABCD中，G为边CB延长线上一点，连接DG分别交AC和AB于 E和F两点. D G B C (I)求证：∠ADE=∠ABE; (2)已知EF=1,FG=2,求BE的长 48.(2026江苏常州·二模)如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD相交于点0，AD=BC. D B (1)求证：0D=0C. (2)若∠A=30°，AC=4,求0D的长. 49.(2026江苏南京·二模)证明：三边成比例的两个三角形相似. A 50.(2026江苏无锡·二模)如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF. (1)求证：△AEF≌△DEC; (2)判断四边形ADBF的形状，并证明你的结论 51.(2026江苏苏州二模)已知：如图，AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作 EF∥BC,交CD于F. (1)请说明△ABC≌△DCB; (2)求证：EF平分∠DEC. 52.(2026江苏盐城二模)如图，PA是圆O的切线，切点为A,AC是圆O的直径，连接OP交圆O于E ,过A点作AB⊥PO于点D,交圆O于B,连接BC,PB, D 0 B (1)求证：P0∥BC; (2)求证：PB是圆O的切线： 3)若cos∠PAB三4BC=2,求圆O的半径 53.(2026江苏无锡二模)如图，在矩形ABCD中，点E,F在边AB上，连接DE,CF, ZCDE ZDCF. / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△DAE≌△CBF; (2)当AD=12,CF=13时，求BF的长. 54.(2026江苏常州二模)如图，CB=DA,CA=DB,CB、DA相交于点O. D B (1)求证：△ABC≌△BAD; (2)连接CD,则LOCD与∠0DC的数量关系是 55.(2026江苏无锡·二模)如图，四边形ABCD是矩形，点E、F分别在边AD、BC上，连接BE、DF, 且BE=DF. A E D B (I)求证：AE=CF. (2)求证：BE∥DF. 56.(2026江苏徐州二模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且AE=AF. E 求证： (1)△ABE≌△ADF; (2)点C在∠EAF的平分线上. 57.(2026江苏盐城二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点E为边AC上一点， 过点E作EP⊥AC交ABC的角平分线AD于点P.以点P为圆心，PE长为半径画圆， B D 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：AB与OP相切： (2)若AE 3， 求0P的半径， 考点4 等腰三角形的性质与判定 58.(2026江苏无锡二模)如图，在三角形测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自然 下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置，这一判断过程体现的数学 依据是() B D A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D.三角形具有稳定性 59.(2026江苏镇江·二模)如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC=115°，则 ∠BAC的度数是() A.25° B.35° C.45o D.55° 60.(2026江苏连云港·二模)如图，直线m∥n,等边ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D .若∠a=22°，则∠邛的度数为() -m -1n A.76° B.78 C.82° D.84° 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 61.(2026江苏泰州二模)如图，点A、B、C在⊙O上，点C在弦AB上方，点D为AB中点，分别连接 OA、OB、OC、CD.若AC=A0,CD∥OB,则4B AC D B 62.(2026江苏镇江二模)如图，△0AB与△0CD是以坐标原点0为位似中心的位似图形，位似比为1：3， ∠0CD=120°，C0=CD,若B(-2,0),则点C的坐标为 A 63.(2026江苏南通·二模)如图，∠B=∠C,点D、E分别是AB和BC上一点.点B关于线段DE的对称 点F落在边AC上，点F是AC的三等分点(CF>AF),∠DEF=45°，则tanC的值为 B E 64.(2026江苏扬州二模)如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其 部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为16cm,而破损处的缺口两端点A,B之间的距离为 8cm,则AB的长为 cm. 65.(2026江苏连云港·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，点P是BC边上一动点，连 接AP,Q是AP上的中点，连接DQ,则DQ+二DP的最小值为 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 66.(2026江苏淮安二模)如图，3个大小完全相同且边长为1的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起， 点A、B、C、D是正六边形的顶点，连接BD并延长交线段AC于点E,则线段DE的长是· 67.(2026江苏泰州二模)如图，正方形ABCD中，AB=m,点E为AB延长线上一动点(E不与B重合)， 以BE为底在AB上方作△BEF,BF=EF,tan∠EBF=2,点F到直线BC、直线CD的距离为4，山2，记 d,d中的最小值为d,若d,=d,则d=d,=d2 B (备用图) (1)若m=4. ①当BE=3时，求d的值： ②当d=0时，求BE的值； (2)若d取某个值时，对应BE的值的个数记为n, ①当m=3,n=2,则d=- ②若m>1,d=1,讨论n所有可能的值并写出对应的m的取值范围. 68.(2026江苏泰州二模)阅读并完成相应的任务 证明“大角对大边”.已知：如图，在ABC中，∠ABC>∠ACB,求证：AC>AB。 证明：以B为顶点作∠DBC=∠ACB, B 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长AC交BT于点E. o B D (1)求证：AC=AD; (2)若AC=DC,CE=2,求BC的长（结果保留）. 考点5 直角三角形与勾股定理 72.(2026江苏南京二模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1,D是AB的中点，则 CD的长为() A. B.1 C.5 D.2 73.(2026江苏无锡二模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AB=4,点D为AB的中点，则CD的长度 为() A.1 B.2 C.22 D.3 74.(2026江苏南通二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D ,E为BC的中点，AE与CD交于点F,则DF的长为() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E D F入 A 54 85 B. 9 14 c 75.(2026江苏南通二模)如图，射线AM∥BN,∠ABN=90°，P,Q分别是AM,BN上的两个动点 (不与A,B重合)，BQ>AP,C是BQ上一点，AP=2BC,D是PQ的中点，记AQ=x,CD=y.当点 P,Q的位置发生变化时，下列代数式的值不变的是(). M -N A.x-y B.x2-y2 c.11 D.+ xy 76.(2026江苏扬州二模)如图，在ABC中，AC=3,AB=4,BC=5,点D是BC的中点，则AD长 为 D 77.(2026江苏徐州二模)已知直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形斜边上的中线长为 78.(2026江苏镇江·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点.将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF,DF,则tanZFDC= D B E 79.(2026江苏连云港二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=3,BC=4,则 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0C的长为 A D 0 C 80.(2026江苏宿迁·二模)如图，点A、B分别是y轴的正半轴、x轴的负半轴上的两个点，且 tan∠AB0=3 过0作OC1AB,垂足为C.反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,与边AB另一个交点 r CD 为D.若OC=5,则 的值为 BD D 7B 0衣 81.(2026江苏宿迁·二模)如图，E是线段AB上一点，ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三 角形，点P是CD的中点.若AB=4,则PA+PB的最小值为· 82.(2026江苏宿迁·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6,点D是BC的中点， CE⊥AD,垂足为E,连接BE,则线段BE的长度为 4 D B 83.(2026江苏南通·二模)如图1，在Rt△ABC中，AB=BC,AD是ABC的中线，在AD上取点E,连 接BE,CE,且∠BEC=90°. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E E B D B 0 图1 图2 (1)若AB=4. ①求AE的长： ②求△ACE的面积； (②如图2，延长CE交B于点F,求织的值. CD 84.(2026江苏宿迁·二模)某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究. ■ D B D B E 图1 图2 图3 (1)【观察发现】 如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,则AC2=AD·AB,请证明； (2)【灵活运用】 如图2，在(1)的条件下，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E,连接CE,当∠AEC=∠ABC时， 请判断△AEB的形状，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=2,BC=2V5,平面内一点D,满足AD=AC,连接CD 并延长至点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取得最小值时.求线段CE的长. 85.(2026江苏泰州二模)四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°. D D 图1 图2 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，经过A、B、C三点作⊙O,求证：点D在⊙O上； (2)如图2，连结AC、BD,若AC⊥BD,求证：AB=AD. 86.(2026江苏宿迁二模)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在AB的延长线上， ∠A=∠D=30°. D (1)判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若AB=4,求图中阴影部分的面积. 87.(2026江苏徐州·二模)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是AB边上一点（含端点 A、B),过点B作BE垂直于射线CD,垂足为E,点F在射线CD上，且EF=BE,连接AF、BF, D B 图1 图2 (I)求证：△ABF∽△CBE; (2)如图2，连接AE,点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN.求 ∠PMN的度数及 MN的值： PM (3)在(2)的条件下，若BC=2√2，直接写出△PMN面积的最大值， 88.(2026江苏盐城二模)【感知定义】：如果三角形的两个内角a与B满足α+2B=90°，那么我们称这样 的三角形为“类直角三角形”. D B 图1 图2 【尝试运用】 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为100°，请直接写出它的两个锐角的度数； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【类比探究】 @痴图1、在钝角三角形BC中，∠48C)90,48=5,sC-子，4BC的面积为片，求证，A8C是 “类直角三角形”. 【拓展应用】 (3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,在边AC上是否存在点D,使得△ABD是“类直 角三角形”？若存在，请求出CD的长度；若不存在，请说明理由. 专题06 三角形（5大考点，88题） 5大考点概览 考点01三角形的三边关系 考点02与三角形有关的角 考点03全等三角形的性质和判定 考点04等腰三角形的性质与判定 考点05直角三角形与勾股定理 1．（2026·江苏徐州·二模）若长度分别是a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（   ）三角形的三边关系 考点1 A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，即， a可能是4． 2．（2026·江苏连云港·二模）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，6 C．5，4，10 D．6，2，3 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵，∴能构成三角形，符合题意； C．∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵，∴不能构成三角形，不符合题意． 3．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 4．（2026·江苏苏州·二模）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 5．（2026·江苏镇江·二模）中，，，，在解这个三角形时，若未知元素有且只有一个解，则的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】先根据已知三角函数值确定的度数，再利用几何法，以点为圆心，为半径作圆，根据圆与射线的交点个数判断三角形解的个数，进而得到的取值范围． 【详解】解：，为三角形内角， ，， 过点作于点， ， ， 如图，以为圆心，为半径作圆，该圆与射线的交点个数对应三角形解的个数： 当时，圆与射线相切，只有个交点，此时三角形只有一个解，符合要求； 当时，圆与射线有个交点，此时三角形有两个解，不符合要求； 当时，圆与射线只有个交点，另一个交点在射线的反向延长线上，不构成三角形，此时三角形只有一个解，符合要求； 综上，的取值范围是或． 6．（2026·江苏泰州·二模）已知为的中线，点O为的重心，若，则的长为_______． 【答案】4 【分析】利用重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的倍，结合已知的长度即可计算的长． 【详解】解：∵为的中线，O为的重心，， ∴， ∴． 7．（2026·江苏扬州·二模）已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是根据题意，确定出三角形的三边长． 根据题意，分腰长为和两种情况，结合三角形三边关系，确定出三角形，然后根据勾股定理求得等腰三角形底边上的高，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， 此时等腰三角形底边长为，根据等腰三角形三线合一，底边的一半为， 由勾股定理得底边上的高， 三角形面积为． 8．（2026·江苏南通·二模）如图，菱形边长为2，．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为______． 【答案】 【分析】取的中点E，连接、，，，根据三角形三边关系有，即O、E、B三点共线时取得最大值，求出最大值即可． 【详解】解：取的中点E，连接、，，， ∵， ∴当O、E、B三点共线时取得最大值， 菱形边长为2，， ，，为等边三角形， ，， ，   ∴点B到原点O的最大距离为． 9．（2026·江苏南京·二模）等腰的周长是，腰长，则底边_____． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，理解等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和周长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰的周长是，腰长， ∴底边． 此时等腰的三边长为、、，满足三角形三边关系，符合题意； ∴． 故答案为：2． 10．（2026·江苏宿迁·二模）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 11．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（     ）与三角形有关的角 考点2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，由平行四边形的性质推出，，得到，由题意得不到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 、分别平分、， ，， ， ． 故D不符合题意； 平分， ． ， ， ， ， 同理：． 故A不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故B不符合题意； 由题意得不到， 故C符合题意． 12．（2026·江苏无锡·二模）如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，而，再利用三角形一个外角等于不相邻两内角之和，即可求解． 【详解】解：如图， ∵直尺的两条边平行，即， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵是等腰直角三角尺的一个锐角， ∴， 又∵是的一个外角， 所以． 13．（2026·江苏苏州·二模）如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用等腰三角形性质求出，进而求出和，最后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，，是上两点，连接，，．若，则的度数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，推导出，，得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 15．（2026·江苏徐州·二模）下列事件中属于必然事件的是（   ） A．明天徐州下雨 B．任意画一个三角形其内角和为180° C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．打开电视，正在播放动画片 【答案】B 【分析】本题考查必然事件与随机事件的概念，必然事件是一定条件下一定发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A明天徐州下雨，是随机事件，不符合题意； ∵任意三角形的内角和一定为180°，一定发生， ∴B任意画一个三角形其内角和为180°，是必然事件，符合题意； C掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意； D打开电视，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意． 16．（2026·江苏淮安·二模）如图，四边形内接于，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再利用等腰三角形性质得出，最后利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再由折叠性质得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠性质得， ∵， ∴． 18．（2026·江苏无锡·二模）如图，将绕顶点顺时针旋转得到对应．若点恰好落在边上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转性质可知，，，，然后通过等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转性质可知，，，， ∴， ∴． 19．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 20．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，点在上，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得，由可得，从而即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， 又， ． 故选：． 21．（2026·江苏苏州·二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 22．（2026·江苏盐城·二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， ，，，， ∴， ∴， 故选：B． 23．（2026·江苏宿迁·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，等于旋转角，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上， ∴ ，， ∴， 在中，根据三角形内角和定理得： ， ∴，解得：． 24．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，是的弦，与相切于点，连接交于点，连接并延长交于点．若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，从而证明，根据平行线的性质结合三角形外角的性质求解的度数即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ． 25．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在半圆中，是直径，、是半圆上两点，，，则_______°． 【答案】 【分析】如图：连接，利用等腰三角形性质求出，再利用平角定义求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 26．（2026·江苏扬州·二模）如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 27．（2026·江苏南京·二模）图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 【答案】25 【分析】连接、、，先求出，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，，，结合，即可求解． 【详解】解：连接、、， ∵A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴， ∵P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 28．（2026·江苏南京·二模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由，可知，利用三角形外角和定理，得到，则，又由，即可求解． 【详解】解：如图， 连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 29．（2026·江苏徐州·二模）如图，，，，则_______． 【答案】 /度 【分析】根据三角形的内角和，求出，根据两直线平行，内错角相等，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 30．（2026·江苏宿迁·二模）定义：若一个钝角三角形中，两个锐角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．在中，，，，点P为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】根据“倍角互余三角形”的定义，分两种情况讨论，第一种为，构造辅助线结合等腰三角形性质与勾股定理列方程求解，第二种为，推导可得平分，结合角平分线的性质与解直角三角形知识列方程求解． 【详解】解：在中，，，， ， 点P在上， ， 即为钝角三角形，两个锐角为和， 为“倍角互余三角形”， 可分两种情况： 当时， 在上取点，连接，使，过点作于点， ，， ， ， ， 在中，， 在中，， 设，则， ，，， 由勾股定理得， ， 解得或（舍去）， ； 当时， ， ， 平分， 过点P作于点H， ， ， 设，则， 在和中，， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题分两种情况讨论，针对每一种情况，利用勾股定理列方程，或者利用三角函数列方程，也可以利用相似三角形列方程求解． 31．（2026·江苏苏州·二模）如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，则_________________°． 【答案】68 【分析】由直径所对圆周角为直角结合题意可求出，再根据圆内接四边形的性质可求出，最后根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 32．（2026·江苏无锡·二模）如图，点均在上，若，则的度数为___________． 【答案】/34度 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 33．（2026·江苏宿迁·二模）如图，，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 34．（2026·江苏连云港·二模）如图，直线，直线，，则__________． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 35．（2026·江苏南通·二模）如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ）全等三角形的性质和判定 考点3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 36．（2026·江苏泰州·二模）在正方形中，点E是对角线上一点，过点E作于点F，作于点G，连接，下列结论正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可得，从而可得，进一步可得结论． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 综上所述：，． 37．（2026·江苏南京·二模）下列说法正确的个数是（    ） ①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧． ②的角所对的弦是直径． ③圆的切线垂直于经过切点的半径． ④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧．本选项正确； ②的圆周角所对的弦为直径，本选项错误； ③圆的切线垂直于经过切点的半径．本选项正确； ④到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，如图所示，本选项错误， 综上可知，说法正确的有2个． 38．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得，，设，求出，，根据等腰三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度是． 39．（2026·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，，，，弦与交于点．若，设点到点的距离为，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】连接，以为直径作，点在以为直径的上运动，且在圆内接四边形的内部，分别求出与重合时，最小值；与重合时，最大值即可得出取值范围. 【详解】解：连接，以为直径作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在以为直径的上运动，且在圆内接四边形的内部， ∴与重合时，最小，； 与重合时，最大，， ∴. 40．（2026·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作交延长线于，证明，再证明，根据始终与有交点，找到临界位置求出最小值． 【详解】解：过作直线于，设交于， 则， 由题意：，， ， 又， ， ， 在和中： , ， ，， 设， 则，，， 即， 又， ， ， ， 则， 若与边始终有公共点， 则恒成立， ． 41．（2026·江苏盐城·二模）如图，在边长为的正方形中，点E是边的中点，连接，以点E为旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点G，H，则的长为_____． 【答案】 【分析】先过点分别作于点，交的延长线于点，再利用正方形的性质得出，，，进一步得出，进而得出四边形为正方形，，，最后根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：如图，过点分别作于点，交的延长线于点， ． 由旋转得，，， ． 四边形为正方形， ，，， ，， ． 点E是边的中点， ． 又，， ， ，， ． ， 四边形为矩形． 又， 四边形为正方形， ，， ． 又，， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 42．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，过点作交于点．如图①，当点是中点时，________；如图②，若把沿翻折得，连接．当时，________． 【答案】 或 【分析】①过点作，由题意易得，，则有是等腰直角三角形，设，则有，然后进行求解即可；②设与的交点为，由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，则有，进而可分当点在点的右下方时，当点在点的左下方时，最后进行分类求解即可． 【详解】解：①过点作，如图所示： ∵，，，点是中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设与的交点为，如图所示： ∵，，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点的右下方时，分别过点作，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 当点在点的左下方时，分别过点作，如图所示： 同理可得，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当时，或． 43．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，，，的平分线交于点D，则的值为_______． 【答案】 【分析】过作交于，进而可得，结合角平分线的性质可得，再求正确即可． 【详解】解：过作交于， ，， 为等腰直角三角形，， ， 为等腰三角形， ， 又是的平分线， ， ， ． 44．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，，，，若为的角平分线，则的长为__________． 【答案】 【分析】先作高，利用三角函数求面积，再由角平分线性质得，分割两小三角形面积求和，算出垂距，最后在中，用正弦求． 【详解】解：过点分别作于点，于点，过点作于点G，如图： ∵，，，， ∴， 解得：， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴， 解得：． 45．（2026·江苏南通·二模）如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； (2) 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ． ， ． 46．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ，， 点是中点， ， ； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ， ，，， ． 47．（2026·江苏扬州·二模）如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．    (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，可得，即可得到； （2）根据菱形的性质，可得，推出，等量代换，根据相似三角形的判定和性质，则，则，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 48．（2026·江苏常州·二模）如图，，，与相交于点，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，得到． （2）由含30度直角三角形的性质得出，由可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：略． （2）解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（2026·江苏南京·二模）证明：三边成比例的两个三角形相似． 【答案】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图： ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 【详解】略 50．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 51．（2026·江苏苏州·二模）已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，，，，故； （2）由（1）得，故，故，故，又，故，，故，从而平分． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分． 52．（2026·江苏盐城·二模）如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E，过A点作于点D，交圆O于B，连接，． (1)求证：； (2)求证：是圆O的切线； (3)若，，求圆O的半径． 【答案】(1)证明：为的直径， ，即， 又， ； (2)证明：连接，如图， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ∴， ， 为的切线， ， ， ， 为的半径， 是的切线； (3)圆O的半径为4 【分析】（1）先证明，再根据，即可得证； （2）连接，证明，推出，即可得证； （3）由，可证明，得到，解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ，， ， ， ，即， ， ， 圆O的半径为4． 53．（2026·江苏无锡·二模）如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得到，，利用角的等量代换求出，即可证明； （2）先求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴在中，． 54．（2026·江苏常州·二模）如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)连接，则与的数量关系是_____． 【答案】(1)证明：在和中， ∴； (2) 【分析】（1）根据“”证明； （2）由得，得，进而得出，从而可得出． 【详解】（1）略； （2）解：如图， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 55．（2026·江苏无锡·二模）如图，四边形是矩形，点、分别在边、上，连接、，且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得，，证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据矩形的性质得，，结合（1）的结论可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 56．（2026·江苏徐州·二模）如图，在中，，，垂足分别为E，F，且． 求证： (1)； (2)点C在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定定理． （1）根据四边形为平行四边形，推出，结合已知条件，运用“角角边”证明； （2）先由，推出，，从而证得平行四边形为菱形，再证，由，，根据角平分线的判定定理证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴点C在的平分线上． 57．（2026·江苏盐城·二模）如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：过点P作交于点F， ∵平分，， ∴ ∵为的半径 ∴为的半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）过点P作交于点F，由角平分线的性质得，结合为的半径可证结论成立； （2）连接，利用勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 58．（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（     ）等腰三角形的性质与判定 考点4 A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D．三角形具有稳定性 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 59．（2026·江苏镇江·二模）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧所对圆周角和圆心角的关系即可求出的度数，再根据为等腰三角形即可求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵对应优弧， ∴． ∵为等腰三角形，， ∴． 故选：A． 60．（2026·江苏连云港·二模）如图，直线，等边的顶点B在直线n上，直线m交边于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出，结合求出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴， ， （两直线平行，同位角相等）． 61．（2026·江苏泰州·二模）如图，点A、B、C在上，点C在弦上方，点D为中点，分别连接、、、．若，，则________． 【答案】 【分析】连接，设与交于点，由平行线分线段成比例得，由等腰三角形三线合一得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵点D为中点，， ，． ∵， ， ， ，， ． ． ∵， ． ． ． 62．（2026·江苏镇江·二模）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 63．（2026·江苏南通·二模）如图，，点、分别是和上一点．点关于线段的对称点落在边上，点是的三等分点（），，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出，从而得到，，进而证得 ， 设，根据三等分点定义表示出和，利用等腰三角形性质和锐角三角函数定义分别表示出的长，建立等量关系求解 ． 【详解】解：点关于线段的对称点是 ， 设 点是的三等分点，且 ， 在中，， ， 过点作于点 ， 在中， ∴ ∴ ． 64．（2026·江苏扬州·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 【答案】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 65．（2026·江苏连云港·二模）如图，在菱形中，，，点是边上一动点，连接，是上的中点，连接，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】连接，与交于点O，取的中点M、N，连接，由题意易得是等边三角形，，，则有，然后可得，根据三角形中位线可得，，进而根据等腰三角形三线合一可得垂直平分，则，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，与交于点O，取的中点M、N，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵点M、N是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是上的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点P在上， ∴点N、Q、O三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴要使的值为最小，则需满足的值最小，根据三角形三边不等关系可知，当且仅当点B、Q、D三点共线时，取得最小值，最小值为4； ∴的最小值为4． 66．（2026·江苏淮安·二模）如图，3个大小完全相同且边长为1的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，点、、、是正六边形的顶点，连接并延长交线段于点，则线段的长是______． 【答案】 【分析】取正六边形的端点F、G，连接、，二者交于点O，连接，过点C作于点K，过点B作于点H，根据正六边形的特点以及摆放位置可知点A、D、F、G共线，以点D为原点，AD所在直线为x轴，先确定A、C、B三个点的坐标，再求出直线、解析式，进而求出交点坐标，问题得解． 【详解】如图，取正六边形的端点F、G，连接、，二者交于点O，连接，过点C作于点K，过点B作于点H， 根据正六边形的特点以及摆放位置可知点A、D、F、G共线， 以点D为原点，AD所在直线为x轴，如上图所示， ∵上述均为边长为1的正六边形， ∴，，、是等腰三角形， 即， ∵，， ∴， ∴， 同理，即，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 同理求出的解析式为：， 联立：，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，解直角三角形，一次函数以及勾股定理等知识，构造直角坐标系是快速解答本题的关键． 67．（2026·江苏泰州·二模）如图，正方形中，，点为延长线上一动点（不与重合），以为底在上方作，，，点到直线、直线的距离为，，记，中的最小值为，若，则． (1)若． ①当时，求的值； ②当时，求的值； (2)若取某个值时，对应的值的个数记为． ①当，，则 ； ②若，，讨论所有可能的值并写出对应的的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①1；②当时，；当时，；当时， 【分析】（1）①如图，过点作于点，交的延长线于点，由等腰三角形三线合一得，则，解得，则，即可求出的值； ②当时，点在线段的延长线上，过点作于点，解得，由等腰三角形三线合一即可求出的值； （2）①当，，则取某个值时，对应的值的个数为2，所以当点在直线下方时只有一种情况，即；当点在直线上方时只有一种情况，由此解答即可； ②当点在直线下方时，将、表示出来，当点在直线上方时，将、表示出来，根据的取值范围，判断有几种情况，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点，交的延长线于点， ， ． ． 在中，， ． 在正方形中，， ∴平行线与之间的距离为4． ． ， ． ②当时，点在线段的延长线上， 如图，过点作于点， 则， 在中，， ． ， ． （2）解：①当，，则取某个值时，对应的值的个数为2，所以当点在直线下方时只有一种情况，即；当点在直线上方时只有一种情况． 当点在直线下方时，如图，过点作于点，交的延长线于点， ， ． ∴． 在中，， ． ． ． ， ，解得， ． 当点在直线上方时， 如图，过点作于点，交的延长线于点， 若，则， ∵，缩此种情况不满足题意， ∴， ∴， ∴， ∴，满足题意． 综上所述，当时，对应的值的个数为2． ②由①知，当点在直线下方时， ，； 当点在直线上方时，如图，过点作于点，交的延长线于点， 同理可得，，． 由①得，当时，， 则， ∴． ∴，解得，符合要求． ∴当时，． 当时， 若，则， ∵， ， 不满足题意，舍去． 则，∴． ∵， ∴． ． 不满足题意，舍去． 若，则． ∵， ， 不满足题意，舍去． 若，则， ∵， ∴， ∴，符合题意． ∴符合条件的只有一种情况． ∴当时，． 当时， 若，则， ∵， ，符合题意． 若，则． ∵， ∴． ，符合题意． ∵， ． ． ∴， ∴，则， ∵， ∴，符合题意． ∴当时，． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 68．（2026·江苏泰州·二模）阅读并完成相应的任务 证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，．（理由1 ） 在中，，（理由2 ） ．即． (1)任务1：填空：理由1： ； 理由2： ； (2)任务2：应用：在中，，，求证：． 【答案】(1)等角对等边；三角形两边之和大于第三边 (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由“大角对大边”可得． 【详解】（1）证明：以为顶点作， ， ．（理由1等角对等边） 在中，，（理由2三角形两边之和大于第三边） ． 即． （2）略 69．（2026·江苏徐州·二模）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点、、、、在同一平面内）．    (1)填空：         ，              ； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)，； (2)米； (3)米 【分析】（1）过点作于点，由题意可知，，，，利用平角的定义和三角形内角和定理，即可得到答案； （2）由题意可知，四边形是矩形，进而得到，，再利用特殊角的正切值，求得，即可求出楼的高度； （3）过点作，交于点，此时，根据平行线的性质，得到，进而得到，再由三角形内角和定理，得出，从的得到，然后证明，得到，即可求出无人机距离地面的高度． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可知，，，， ， ， ，   ， 故答案为：，； （2）解：由题意可知，四边形是矩形， ，， ， ， ， ，   楼的高度为米； （3）解：如图，过点作，交于点，此时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   在和中， ， ， ， ， 即无人机距离地面的高度为米．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形——仰角俯角问题，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 70．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，，点在边上（不与，两点重合），连接，过点作交边于点．将沿翻折得，连接． (1)求证：平分； (2)若，求证； (3)若，，是等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)如图， ， ，即， ， ， 是由沿翻折得到， ， ， ， 即平分 (2)如图，设交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， (3)的长为或 【分析】（1）由、折叠得等角，利用同角的余角相等，证； （2）根据，结合折叠的性质推出直角，搭配第（1）中的角平分线得等角，用两角相等证三角形相似； （3）设，则，勾股定理表示，分三种等腰分类列式求值． 【详解】（1）略； （2）略； （3）（3）设，则，， ①如图，若，过点作于点， 则， ， ， ， ， 即， ， 此时，，不合题意，舍去； ②如图，若，过点作于点， 则， 又易证， ， ， 解得， ③如图，若，则， ， 解得， 综上，线段的长为或． 71．（2026·江苏南通·二模）如图，是的直径，是的切线，弦，连接，，延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)证明：是的直径，是的切线， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，进而得到，利用垂径定理求出,从而得出结论； （2）连接，，证明是等边三角形，则，进而求出，根据圆周角定理得到、，在中，，证明是等边三角形，进而得到的半径，利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：连接，， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的直径， ， ， 在中，， ， 又，， 是等边三角形， ， 的长． 【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形、弧长公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 72．（2026·江苏南京·二模）如图，中，，，，D是的中点，则的长为（     ）直角三角形与勾股定理 考点5 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵D是的中点， ∴． 73．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：在中，，，点为的中点， ． 74．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，则，设为，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于的方程，解方程求出的值，利用即可得到的长． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设为，则，由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 75．（2026·江苏南通·二模）如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点，记，．当点，的位置发生变化时，下列代数式的值不变的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造中位线辅助线，利用三角形中位线定理、平行线性质，结合的数量关系，推导出、固定关系式，再逐个化简选项代数式判断定值． 【详解】解：延长至，使，连接， 是中点，， 是的中位线，， 即， 设， 由得：， 设，则，，， ，， 、， ， 作延长线于点，则四边形为矩形， ， 根据勾股定理，，， ， 即， ， A、随动点变化，差值改变； B、随动点变化； C、随动点变化； D、，为定值． 76．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 77．（2026·江苏徐州·二模）已知直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形斜边上的中线长为________． 【答案】5 【分析】直角三角形斜边中线定理：直角三角形的斜边中线等于斜边一半． 【详解】解：已知直角三角形的斜边长为10， 斜边上的中线长为． 78．（2026·江苏镇江·二模）如图，在矩形中，，，点为的中点．将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，，则________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，可得，．过点作于点，延长交于点，构造直角三角形和．设，，利用勾股定理建立关于，的方程组，求出点的位置．再过点作于点，在中，利用正切的定义求解即可 ． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， 由折叠的性质可得，，，， 过点作于点，延长交于点， 则，，四边形为矩形， ∴，， 设，，则，，， 在中，由勾股定理得， 即，整理得①， 在中，由勾股定理得， 即，整理得②， 由①②可得，即， 将代入②得， 解得（舍去）， ， 即，， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 79．（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，在中，由勾股定理求出对角线的长度，从而计算出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，． 在中，， ． 80．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点、分别是轴的正半轴、轴的负半轴上的两个点，且．过作，垂足为．反比例函数的图象经过点，与边另一个交点为．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】过点作,根据正切值以及勾股定理可知，根据点坐标可知反比例函数为，根据正切值可知点，进而可知直线的解析式为：，然后可知，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作, ∴, ∵ ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ ∴, ∴ ∴, ∴点, 将点代入反比例函数， 得， 解得， 则反比例函数为， , ∴, ∴, 则点, 设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得： 则直线的解析式为：， ∵直线与反比例函数交于， 则， 解得， 当，则 当，， 则点， 则， , ∴． 81．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点是的中点．若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】如图：延长交于点Q，证明是等边三角形，通过计算点P到的距离确定点P的运动轨迹为的中位线所在的直线，利用轴对称性质将转化为两点间距离，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点Q， ∵和是等边三角形， ∴，即， ∴是等边三角形， ∵， ∴的高为， 如图：过点D，P，C分别作AB的垂线，垂足分别为， ∵P是的中点， ∴是直角梯形的中位线， ∴， 在中，， 同理， ， ∴点P在平行于且到距离为的线段上运动， 作点A关于该直线的对称点，连接交该直线于点，此时取得最小值，最小值为线段的长， 由对称性可知，，且， 在中，． ∴的最小值为． 82．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 【答案】 【分析】先在 中利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再利用勾股定理求得，如图：过点 E 作 交 于点 F，利用等面积法可求得，进而求得，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即 ，解得：， ∴， 如图：过点 E 作 交 于点 F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 83．（2026·江苏南通·二模）如图1，在中，，是的中线，在上取点，连接，，且． (1)若． ①求的长； ②求的面积； (2)如图2，延长交于点，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①斜边中线可得，勾股定理求出，即可得解； ②由①可知，则有，然后问题可求解； （2）过A作交延长线于点G，设，则，由（1）可知：，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：①∵，是的中线，且， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过A作交延长线于点G， 设，则， 同（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 84．（2026·江苏宿迁·二模）某数学兴趣小组的同学对三角形的相似进行了深入研究． (1)【观察发现】 如图1，在中，，，垂足为，则，请证明； (2)【灵活运用】 如图2，在（1）的条件下，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时．求线段的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (3) 【分析】（1）容易判断，，从而证明，则，变形得； （2）由同角的余角相等可得，结合可得，进而证明，则．结合（1）的结论可得，进一步可证明，则，因此是直角三角形； （3）以点为圆心，的长为半径作圆，延长交圆于点，延长至点，使得，连接、，容易证明，则．由可知，点在圆上，则，．由可证明，则，因此点在过点且与垂直的直线上运动，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时四边形是矩形，则，利用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，以点为圆心，的长为半径作圆，延长交圆于点，延长至点，使得，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在圆上， ∵是圆的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，． 85．（2026·江苏泰州·二模）四边形中，． (1)如图1，经过、、三点作，求证：点在上； (2)如图2，连结、，若，求证：． 【答案】(1)证明：连接， ，且经过、、三点， 为直径， ， 点在上． (2)证明：取中点O，连接，， ∵， ∴ ， 垂直平分 ． 【分析】（1）连接，由，且经过、、三点，得到为直径，再根据，得到点在上． （2）取中点O，连接，，由直角三角形斜边中线得到，即可得到垂直平分，得到． 【详解】（1）略 （2）略 86．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的直径，是的弦，点在的延长线上，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，结合已知角度可计算，则可根据切线判定定理判断与的位置关系． （2）先根据长度确定圆的半径，再利用含30度的直角三角形的性质计算的边长，进而求出的面积，然后根据圆心角的度数计算扇形的面积，用的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ∵， ， ， ， ∵在中，， ， 即， 又是的半径， ∴直线与相切． （2）∵， ∴， ∵在中，， ， 由勾股定理得：， ， 又圆心角， ∴扇形的面积： ， ． 87．（2026·江苏徐州·二模）如图1，在中，，，点是边上一点（含端点、），过点作垂直于射线，垂足为，点在射线上，且，连接、， (1)求证：； (2)如图2，连接，点、、分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证结论成立； （2）根据，可得，从而可得，根据中位线定理可得，根据邻补角定义即可求出的度数；根据可得，根据中位线定理可得； （3）过点作垂直于的延长线于点，，将相关线段关系转化为，可得关系，观察图象，当时，可得最大值． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， ， ， ， ，， ，， 即， ； （2）解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 点、分别为线段、的中点， 是的中位线， ， ， 点、分别为线段、的中点， 是的中位线， ， ， ； ，， ， 是的中位线，是的中位线， ，， ； （3）解：如图，过点作垂直于的延长线于点， ∴， ∵， （负值舍去）， ， 由（2）知， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ， 在以的中点为圆心，为直径的圆上运动， 当时，最大， ∴此时． 88．（2026·江苏盐城·二模）【感知定义】：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【尝试运用】 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数； 【类比探究】 (2)如图1，在钝角三角形中，，，，的面积为，求证：是“类直角三角形”． 【拓展应用】 (3)如图2，在中，，，，在边上是否存在点，使得是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和 (2)证明：过点A作交延长线于点D，如图所示： 则， ∵，的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“类直角三角形”． (3)或 【分析】（1）根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理列出关于的方程组，即可求解； （2）过点A作交延长线于点D，利用三角形的面积公式求出，利用勾股定理求出，再证明，得到，再根据“类直角三角形”的定义即可证明； （3）分和两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质求出的长度即可解答． 【详解】（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为， ∴， 解得， ∴它的两个锐角的度数分别为和． （2）略 （3）解：当时， ∵， ∴， 过点D作于点E，如图所示： 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述：的长度为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $