专题05 二次函数（4大考点66题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数四大核心考点，精选2026年江苏各地二模66题，涵盖图象性质、平移交点、实际应用及综合压轴，梯度分布合理，情境贴近现实问题。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|约20题|图象性质、平移变换|新定义“n阶方点”结合函数性质，如第1题| |填空题|约20题|顶点坐标、取值范围|结合几何图形求参数范围，如第13题矩形交点问题| |解答题|26题|实际应用、综合压轴|“双减”增效函数模型（第5题）、景区检票统计（第38题）等现实情境，综合题融合几何与函数最值（第46题）|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05二次函数(4大考点66题) ☆4大考点概览 考点01二次函数的图象和性质 考点02抛物线的平移与交点坐标问题 考点03二次函数的实际应用 考点04二次函数的综合解答压轴题 考点1 二次函数的图象和性质 1.(2026江苏无锡二模)定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n 1 阶方点”.例如，点 33 点是函数y=x图像的阶方点：点2是函数y=图像的2阶方点”.下列说 法： ①点(-1，-1)是反比例函数y=图像的1阶方点”： ②若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，则a=3: ③若y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图像的n阶方点”一定存在，则≤n≤1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】B 【分析】先明确“n阶方点"的定义：函数图像上满足x≤n且y川≤n的点，再逐个验证三个说法即可： 【详解】根据定义逐个判断： ①点(-1，-代入=，等式成立，点在函数图像上，且≤1，-≤1，符合定义，故①正确： ②一次函数y=ax-3a+1=a(x-3+1,恒过定点(3,1)，2阶方点要求点满足x≤2，y≤2，若只有一个 这样的点，则直线过正方形x≤2，y≤2的右边界顶点(2,2)或(2，-2)； 代入(2,2)得：2=2a-3a+1,解得a=-1;代入(2，-2)得：-2=2a-3a+1,解得a=3; 故a=3或a=-1,题目仅给出a=3,故②错误； ③二次函数y=-(x-n-2n+1,开口向下，对称轴为x=n,在-n≤x≤n时，y随x的增大而增大，y的 取值范围是-4n2-2n+1≤y≤1-2n,要存在满足y≤n的点，只需该范围与-n≤x≤n有交集； :需要满足ymax=1-2n≥之-n且ymn=-4n2-2n+1≤n, 解1-2n≥-n得n≤1， 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 解-4n2-2n+1≤n得4n2+3n-1≥0，因式分解得4n-1)(n+1≥0， :n≥0，n+1>0, 故”的范围是n≤1，故⑧正确； 综上，正确的是①③ 2.(2026江苏镇江·二模)已知二次函数y=x2-4x+3.其图象上有一段连续曲线，对应的自变量取值范围 为m≤x≤n,且满足m<2<n,该段曲线被两条平行于x轴的直线乙、2完全包含（即曲线上任意一点都在 两直线之间或直线上).若直线与2之间的距离为16，则n-m的最大值为() A.8 B.7 C.6 D.4 【答案】A 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标与开口方向，要使n一m最大，需区间端点对应函数的最小、最大 值，结合两直线距离得到y的最大值，解方程求横坐标即可得到结果 【详解】解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1,a=1>0 :抛物线开口向上，顶点坐标为2，-1)，且m<2<n 区间m≤x≤n上函数的最小值为-1，在顶点处取得要使-m最大，需过顶点，对应函数最大值，两 直线距离为16，可得 :对应的y值为-1+16=15， 令y=15,得x2-4x+3=15, 整理得x2-4x-12=0, 解得x1=-2,x2=6, 则n-m取最大值时，m=-2,n=6, 可得n-m=6-（-2)=8. 3.(2026江苏准安：二模)已知实数m,n满足2m+n=3,则mn+2的值可能是() A.2.8 B.3.2 C.4.2 D.4.5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质以及最值，根据已知条件用含m的代数式表示”，代入所求式 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 子得到关于m的二次函数，利用二次函数性质求出最大值，对比选项得到正确结果. 【详解】解：：2m+n=3, n=3-2m, 将n=3-2m代入mn+2得： n+2=1m3-2m+2=-2m2+3m+2 “二次项系数-2<0， :该二次函数开口向下，存在最大值， :最大值为 4×(-2)×2-32-25 4×-2) -8 =3.125, 即mn+2≤3.125， 对比选项，只有2.8<3.125，符合要求. 4.(2026江苏无锡·二模)已知两个函数，如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为y,2 ,都有点(x,)、(x,y)关于点(x,x对称，则称这两个函数为关于直线y=x的对称函数.下列结论： ①乃=x+2和y2=x-2为关于y=x的对称函数； ②片=4和，=2为关于y=x的对称函数： ③若片=-3x+1和2=+b(k≠0)为关于y=x的对称函数，则k=5、b=-1; ④若二次函数片=ar2+bx+c(a≠0)和y,=x2+n为关于y=x的对称函数，则当n>}时，片<乃，恒成立. 其中正确的是() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 【答案】D 【分析】先根据对称函数的定义，利用中点坐标公式推导得到核心条件：对任意自变量x,都有y+y2=2x ,再逐一验证每个结论即可 【详解】点(x,y),x,y2)关于点(x,x)对称， :(,x)是两点的中点，由中点坐标公式得少十业=x,即对任意x,都满足y+为=2x,据此逐一验证： 2 ①y+y2=(x+2)+x-2)=2x,满足条件，故①正确： ②y+%=42-2≠2x,不满足条件，故②错误： xxx 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③y+2=-3x+1+c+b=(k-3)x+b+1, 令(k-3)x+b+1=2x, k-3=2 可得6+1=0' k=5 解得6=-1' 故③正确； 4y+yz=ax2+bx+c+x2+n=(a+1)x2+bx+c+n, 则(a+1)x2+bx+c+n=2x对任意x成立， a+1=0 可得b=2, c+n=0 a=-1 解得b=2, c=-n 则y1=-x2+2x-n,月<2即-x2+2x-n<x2+n, 整理得x2-x+n>0对任意x恒成立， :二次函数y=x2-x+n开口向上，△=(-12-4×1×n=1-4n, 1 当n>4,1-4n<0,则抛物线与X轴无交点，-x+n>0恒成立，即乃<乃恒成立，故④正确。 综上，①③④正确. 5.(2026江苏无锡二模)在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为y,投入设为x,定义了增 效函数：对于函数y,若其图象上任意两点Px,乃)，Q(x,2)（x≠x2)都满足y+y2>x,+x,则称该 函数为增效函数.给出下列关于增效函数的命题： ①一次函数y=x+1是增效函数； ②若正比例函数y=x是增效函数，则k>1: 4 ③反比例函数y=—(x>0)是增效函数； ④若1-25<m<1+2√5，则二次函数y=x2+mx+3是增效函数. 其中真命题是() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【分析】根据增效函数的定义，对每个命题逐一验证，将y,+2>x+x2变形后，结合函数性质判断是否恒 成立即可。 【详解】解：增效函数定义为：对任意x≠x2,恒有乃+y2>x+x2,即(-x)+(y2-x2)>0恒成立。 ①对于y=x+1, y+y2=（x+1)+(x3+1=x+x2+2, +y2-（x+x2)=2>0,恒成立，故①正确： 命题②：若y=x是增效函数，则k>1, y-x=(k-1)x, “（y-x)+(y2-x32)=(k-10(x+), 取k=2>1,x1=-1,x2=-2, 则(2-1)(-3)=-3<0，不满足条件， :即使k>1也不是增效函数，②错误； 回对于斗x>0,取=2，=4，方++13，+6 .3<6,即y+y2<x+x2,不满足定义，故③错误； ④：y=x2+mx+3， “y+y2=x2+mx+3)+x号+mx2+3 整理得：片+y2-x-x2=[x2+(m-1)x,+3]+[x+(m-1)x2+3], 令zx)=+m-)x+3,开口向上，最小值为12-m-少，若对任意x≠x,x)+x>0恒成 4 立，则需2x2-(m-≥0，即(m-≤12，解得1-2V5≤m≤1+25，符合命题条件，故④正确。 4 综上，①④正确. 6.(2026江苏南通·二模)二次函数y=ax2-4ax+2(a<0)的图象过点A(-1,y1),B(2,2),C(6,y).若 y2<0,则a的取值范围是() 2 1 6 A<a<一。D. 5 -jxas-g 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得y2>乃>y3,结合y23<0,分两种情况讨论： 当y2<0时和当y2>0时. 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为x=2，且开口向下，所以y2>乃>⅓3· (I)当y2<0时，可得 4a-8a+2<0 解不等式，得 1 2 (不符合题意，舍去). (Ⅱ)当y2>0时，可知y1>0且y3<0,可得 a+4a+2>0 36a-24a+2<0 解不等式组，得 2 a<-l 1 6 7.(2026江苏南京·二模)已知函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3,2),B(-1,-2),C(2,n),则下列选项中， 对应的a的值最大的是() A.n=2 B.n=1 C.n=0 D.n=-1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质， 由于二次函数图象经过点A(3,2),B(-1,-2),C(2,n),将这三点坐标代入，用n表示a的值，根据一次函 数的性质即可作答 【详解】解：：图象经过点A(3,2),B(-1,-2),C(2,n), 将这三点坐标代入y=ax2+bx+c, 9a+3b+c=2 得{a-b+c=-2, 4a+2b+c=n 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1-n a=- 3 ..b=- 1+2n 3 c=n-2 1-nn,1 ∴.a= 3 33>0, 1 -30 .a随n的增大而减小， :-1<0<1<2 .当n=-1时，a的值最大， 故选：D 8.(2026江苏连云港·二模)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表， -2 0 y -24 -8 0 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质.先利用待定系数法求得二次函数解 析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可。 4a-2b+c=-8 a=-1 【详解】解：由题意得c=0 ，解得c=0, 9a+3b+c=-3 b=2 二次函数的解析式为y=-x2+2x=-(x-1)2+1, a=-1<0, ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意： 图象的对称轴是直线x=1,故选项D符合题意： 当0<x<1时，y的值随x的值增大而增大，当x>I时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； :顶点坐标为1，)且经过原点，图象的开口向下， / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D 9.(2026江苏南通二模)二次函数y=a(x-1)2+6,当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件 的a的值 【答案】-1（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断Q的取值范围，即可写出符合条件的a的值 【详解】解：二次函数解析式为y=a(x-1)+6, 对称轴为直线x=1, 当x<1时，y随x的增大而增大， ·二次函数图象开口向下， ∴.a<0, a=-1(答案不唯一). 10.(2026江苏无锡·二模)如果将抛物线y=(x-1)-4向上平移m(m>0)个单位后经过原点，那么m 的值是 【答案】3 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值， 【详解】解：根据抛物线平移的上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2-4+m :平移后的抛物线经过原点(0,0)， 0=(0-1)2-4+m, 解得，m=3. 11.(2026江苏宿迁二模)设二次函数y=ax2+bx+1(a,b为常数，a≠0)经过点(2,0)、（-1，q.若 9<2,则a的取值范围是 【答案】a<2且a≠0 6 【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到9关于a的表达式，结合9<2的条件，解 不等式即可得到a的取值范围，再结合a≠0即可得解. 【详解】：二次函数y=ax2+bx+1经过点(2,0)、（-1,9， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=4a+2b+1① (9=a-b+1②’ ①+2×②得，2q=6a+3, 3 q=3a+2 9<2, a+号2.解得a<后 ,0≠0， :a的取值范围是a<且a≠0. 6 12.(2026江苏盐城二模)已知关于x的二次函数y=2x2-4x+5,当-2<x<2时，函数y的取值范围为 【答案】3≤y<21 【分析】先判断二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向上时，x越靠近对称轴函数值越小，离对称轴越 远函数值越大，结合x的取值范围-2<x<2,即可求解. 【详解】解：：二次函数y=2x2-4x+5, b-4 a=2>0,抛物线开口向上，对称轴为x=- 2a2x2 =1 :1在-2<x<2范围内， 计算各端点到对称轴的距离：1-(-2=3,2-1=1,1-1=0， 可得0<1<3， :当x=1时，y取得最小值， 代入得y=2×12-4×1+5=3, x不能取x=-2,且x=-2时y=2×(-2)2-4×(-2)+5=21, y<21, :当-2<x<2时，y的取值范围为3≤y<21. 13.(2026江苏苏州二模)如图，在矩形ABCD中，点A-1,1,点D(2,1,则二次函数 y=x2-2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y D BO 【答案】 -3-5 <m<0 2 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在y=x+1的直线上运动，当 二次函数与矩形ABCD第一次相交时，二次函数经过点A-1,1),此时m取最小值，当二次函数与矩形 ABCD最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形ABCD与y轴的交点(O,I),此时m取最大值，然后将已知 点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出m的范围即可 【详解】解：将y=x2-2mx+m2+m+1配成顶点式为y=(x-m)+m+1,此二次函数的顶点坐标是 m,m+1),a=1,开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线y=x+1上运动， 如图，当二次函数与矩形ABCD第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点A(-1,),此时m取最小 值， y=x+1 将A-1,1代入y=x2-2mx+m2+m+1得，1+2m+m2+m+1=1, O Cx 解得m=3-5 2 m,=3+5 (舍去) 2 如图，当二次函数与矩形ABCD最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形ABCD与y轴的 交点(0,1)，此时m取最大值， x+1 将(0,1代入y=x2-2mx+m2+m+1得，m2+m+1=1, 解得m1=0,m2=-1(不合，舍去)， 则二次函数y=x2-2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，二次函数y=x2-2mx+m2+m+1图象在与 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 矩形ABCD第一次相交和与矩形ABCD最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交， -3-V5 <m<0. 2 14.(2026江苏徐州二模)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，其与x轴交于-3,0)和1,0)两点.① abc>0;②a-b+c>0;③对称轴为直线x=-1;④a+c<0:上述结论正确的有 (填序号). 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，a>0,b>0,c<0,则abc<0;对于②，结合图可知，当x=-1时，y<0 ,则a-b+c<0;对于③，利用对称轴公式x=名十五进行计算即可；对于④，由a+b+c=0和b=2a可得 2 3a+c=0,则a+c=-2a<0. 【详解】解：：抛物线开口向上， .a>0, :抛物线过点(-3,0)和1,0)， :对称轴为直线x=-3+1=-1,故③正确， 2 b =-1,即b=2a>0, 2a :抛物线交y轴于负半轴， .c<0, ·abc<0,故①错误， 由图可知，当x=-1时，y<0, a-b+c<0,故②错误， :抛物线过点1,0)， .a+b+c=0, b=2a, 3a+c=0,即a+c=-2a, :a>0, “a+c<0,故④正确， 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，正确的结论为③④. 15.(2026江苏徐州二模)如图为二次函数y=ax2+2ax+c的图象，该图象与x轴的两个交点分别为 A-4,0),B.下列说法正确的是 (写出所有正确结果的序号). ①对称轴为直线x=-1;②当x<0时，y随x的增大而增大；③4a2-4ac>0;④8a+c=0. B 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数之间的关系 根据二次函数对称轴公式以及二次函数增减性可以判断说法①、②；根据二次函数与x轴交点个数，结合 二次函数与一元二次方程的关系可以判断说法③；根据点A,点B关于对称轴对称，结合点A坐标，求出 点B坐标，最后将点B坐标代入二次函数解析式中，即可判断说法④. 【详解】解：对于说法①：：二次函数y=ax2+2ax+c, .对称轴为直线x= 24=-1, 2a ①正确，符合题意； 对于说法②：：二次函数y=ax2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x=-1, :当x>-1时，y随x的增大而减小；当x<-1时，y随x的增大而增大， :②错误，不符合题意； 对于说法③：：二次函数的图象与x轴有两个交点， .b2-4ac>0, :二次函数y=ax2+2ax+c, b=2a, b2-4ac>0即4a2-4ac>0, ∴③正确，符合题意； 对于说法④：：该二次函数图象与x轴的两个交点分别为A-4,0),B, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A(-4,0)与点B关于对称轴对称， :该二次函数的对称轴为直线x=-1, 点B(2,0), 将点B(2,0)代入二次函数y=ax2+2ax+c中，得：y=2a+2×2a+c=8a+c=0, 即8a+c=0, ④正确，符合题意. 综上，说法正确的是：①③④. 16.（2026江苏宿迁·二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m（m为常数)的图象经过点 (0,6),其对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为 【络来)号 【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出m的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的m的 值，最后计算二次函数的最小值即可， 【详解】解：二次函数y=x2+mx+m2-m中，a=1>0,因此二次函数开口向上，有最小值. :二次函数图象经过点(0,6)， :将x=0,y=6代入解析式得：m2-m=6, 整理得m2-m-6=0, 解得m=3或m=-2. :对称轴在)轴左侧，二次函数对称轴公式为x=- 2a1 <0, 2 解得m>0, 因此m=-2舍去，得m=3, 将m=3代入二次函数解析式得：y=x2+3x+32-3=x2+3x+6, 32,15 配方得y=x+2+4 因此该二次函数的最小值为号 17.(2026江苏苏州二模)已知二次函数y=-x2+bx的图象的对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方程 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -x2+bx+t=0(b,t为实数)，在1<x<4的范围内有解，则t的取值范围是 【答案】-4≤1<0 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题 求解是解题的关键， 根据对称轴求出b的值，然后求y=-x2+bx与y=‘在x的范围内有交点问题即可. 【详解】解：：二次函数y=-x2+bx的图象的对称轴为直线x=2, b 2×-1) =2, 解得b=4. 二次函数为y=-x2+4x=-（x-2)+4. 当x=2时，y取得最大值4： 当x=1时，y=-12+4×1=3: 当x=4时，y=-42+4×4=0: :1<x<4时，0<y≤4. :-x2+bx+1=0即-x2+bx=-t的解相当于y=-x2+bx与直线y=-1的交点， 当0<-t≤4即-4≤1<0时，在1<x<4的范围内有解， .t的取值范围是-4≤t<0。 故答案为：-4≤t<0 18.(2026江苏宿迁·二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，图像经过点(0,2)，其 对称轴为直线x=-1.下列结论：①3a+c>0;②若点(-4，，)，(3,2)均在二次函数图像上，则y>2; ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为 -2<x<0.其中正确的结论有 X=- 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图像与系数的关系。熟 练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.根据二次函数的图像和性质依次进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：a<0, :对称轴为直线x=-1, b =-1,即b=2a, 2a 当x=1时，y<0,即a+b+c<0,即3a+c<0,故①错误； :-1-(-4=3,-1-3=4, :点(-4)到对称轴的距离小于点(3，y2)到对称轴的距离， ·月>y2,故②正确； 二次函数与y=-1有两个不同的交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根，故 ③错误； 函数经过(0,2)，对称轴为直线x=-1,故一定经过(-2,2)， ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2<x<0,故④正确； 故答案为：②④， 19.(2026江苏泰州二模)在平面直角坐标系中，将点Ax,y)变换为点B(mx+n,my+n,称该变换为点 A到点B的线性变换，记作：变换L[m,n,（mn≠0).例如：(1,3)按照线性变换L[-1,-3]进行变换，则得 (-1×1-3,-1×3-3)=(-4,-6),即(1,3)经变换L[-1,-3后得到点(-4，-6). (1)若点(3,4)经过线性变换L2,后得到点P,求点P坐标： (2)二次函数y=ax2+1图象上一点，经过线性变换L[2,后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，求a的值： (3)已知Ax,y)在二次函数y=x图象上，点A先经线性变换Lm,n得到点B;再将点A经线性变换 L[n,m得到点C,若B、C两点均在抛物线y=x2上，且满足m≠n,x≠1.试探究：是否存在这样的m、 n、x？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)7,9列 (2)a=-4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)不存在满足题意的m、n、X,理由如下： :Ax,)在二次函数y=x2图象上， 月=x, 由题意得：Bmx+n,my1+n,Cnx,+m,ny+m, :B、C两点均在抛物线y=x2上， my,+n=(mx+n'① y+m=(x+m)2② ①-②，得(m-ny+n-m=(mx+n+x+m)(x+n-x-m), 整理得：（m-n)(-1)=（m+nm)(x+1(m-n(x-1, :m≠n, y-1=(m+n)(x2-1 将y=x2代入，得x2-1=(m+n)(x2-1, x2≠1， .m+n=1, 又：mx2+n=mx+n2, .m(m-1(x-1)=0. 又：mn≠0，m≠n,m+n=1, (x1-1=0，即x1=1. 又x2≠1， 不存在满足题意的m、n、X· 【分析】(1)依据题意，根据线性变换的意义，由2×3+1=7,2×4+1=9，则可得P的坐标，从而得解： (2)依据题意，设这点的坐标为(t,at2+1,又二次函数为y=ax2+1,从而顶点为(0,1)，又点(t,at2+1经 2t+1=0 过线性变换L[2,后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，从而 2(a㎡2+1)+1=1，进而计算可以得解： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)由题意得：B(mx+n,my,+n,C(nx+m,ny+m,y=x2,则 my +n=(mx +n)2 +m=(匹+m2'结合mn￥0， m≠n, 得出m+n=1,最后可以判断得解。 【详解】(1)解：由题意得：2×3+1=7,2×4+1=9 点P坐标为7,9)。 (2)解：设这点的坐标为t,at2+1, :二次函数为y=ax2+1, 顶点为0，. :点(t,t2+1经过线性变换L[2,后，所得的点恰好是该二次函数的顶点， 2t+1=0 2at2+1+1=1' ∴.a=-4. (3)略 20.(2026江苏南通二模)已知抛物线y=x2+bx-4经过A2,-4),B(x1,),Cx,2)三点(x1<x2). (1)求抛物线的解析式： (②)对于某一个实数乃，当y2-月=5时，x2-x的最大值等于3，求x2-x的最小值； (3)当m-3≤x≤m,m+1≤x2≤m+4时，总存在实数m,使得直线BC∥x轴，求m的取值范围. 【答案】(1)y=x2-2x-4 a明 (3)-1≤m≤2 【分析】(1)将A点坐标代入解析式，待定系数求b,直接得到抛物线表达式： (2)由y2-乃=5得到x--(x2-x,)=5,因式分解变形，结合已知条件，由x2-x最大值为3求出片， 再求最小值： (3)由BC‖x轴得片=y2,即x,x2关于抛物线对称轴x=1对称，转化为区间包含对称轴问题，列不等式 求m范围. 【详解】(1)解：将A(2,-4)代入y=x2+bx-4, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得4+2b-4=-4, 解得b=-2, :抛物线的解析式为y=x2-2x-4. (2)解：2-y1=x22-2x2-4-x2-2x-4 =x3-2x2-x+2x =(x2-x)x2+x1-2), :当2-月=5时，x2-x的最大值等于3， x2=3+x1, 33+5-2=32+=5.解得写 此时x=x+3=10 “该抛物线的对称轴为直线x=1, :由抛物线的对称性，可知具有相同纵坐标y的另一横坐标为2×1-了弓 15 5 当x=。时，x2-x取最小值， 3 5 将=代入5x川x+-2列=5，解得名x的最小值为写 (3)解：由题意，即存在x,x2,使得少=y2, m-3+m+≤1，且m+m+4≥1， 2 2 解得-1≤m≤2. 21.(2026江苏南通二模)已知二次函数y=ax2+bx-4(a,b是常数，a>0). (1)若a=1时， ①试判断点A(-2,-2b)是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B(2,k),，C(2+b,k)在二次函数y=ax2+bx-4图象上，求k的值； (2)已知抛物线的对称轴为直线x=t(2<1<4),若点M(-1,m)和N(3,n)在该抛物线上，满足m-n=8,求 a-b的取值范围. 【答案】(1)①点A(-2,-2b)在此二次函数的图象上：②k=-4; 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)3<a-b<5. 【分析】(1)①根据题意可得抛物线的解析式为y=x2+bx-4,求出x=-2时的函数值即可得到答案；② 根据题意可得点B和点C关丁对称销对称，则可得到2+。号，解方程即可将到答米： 2 (2)根据对称轴公式推出b=-2at,求出m=a-b-4,n=9a+3b-4,根据m-n=8得到2a+b=-2,据 此用含t的式子表示出a、b,进而表示出a-b,根据t的取值范围，求出a-b的取值范围即可. 【详解】(1)解：①当a=1时，抛物线的解析式为y=x2+bx-4. 当x=-2时，y=（-2)2-2b-4=-2b, ·点A(-2,-2b)在此二次函数的图象上： ②：点B,C在二次函数y=ax2+bx-4图象上，且这两点的纵坐标相等， B,C两点关于抛物线的对称轴对称，则2+2+b。-b, 2 2’ 解得b=-2, .抛物线的解析式为y=x2-2x-4. 将点B坐标代入抛物线的解析式得k=2-2×2-4=-4; （2)解：：抛物线的对称轴为直线x=2a: b 1三-b,则b=-2at :点M(-1,m)和N(3,n在该抛物线上， .m=a-b-4,n=9a+3b-4, ∴.m-n=a-b-4-（9a+3b-4)=-8a-4b, .m-n=8, .-8a-4b=8 2a+b=-2, 将b=-2at代入2a+b=-2得，2a-2at=-2, 1 5a-b=a+2al=1+24-24-2+3=2+3 t-1t-1 t-1 :2<t<4, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1<1-1<3, 1<3<3, t-1 3<2+3 <5, t-1 即3<a-b<5. 22.(2026江苏连云港二模)在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=ax2-2a2x(a≠0). (1)当a=2时， ①求该抛物线的对称轴； ②点A(-1,m)和B(3,n是抛物线上的两点，判断m和n的大小关系：mn; (2)如果点M(x,y1)和N(x2,y2)是抛物线上的两点，且对于x=4a,4≤x2≤5，都有<y2,求a的取值范 围。 【答案】(1)①x=2:②> ②a的取值范围是0<a<1或a<-] 【分析】(1)①根据抛物线的对称轴公式x=-力进行求解即可， 2a ②分别把点A(-l,m和B(3,n)代入解析式进行求解即可： (2)由题意易得y1-y2=a(2a+x2)(4a-x2)<0,然后分当a>0时，当a<0时，进而分类进行求解 【详解】(1)解：当a=2时，则二次函数解析式为y=2x2-8x, ①该抛物线的对称轴为x=文惑 222, ②把点A-1,m)和B(3,n分别代入y=2x2-8x得： m=2x-1)2-8×(-1=10,n=2×32-8×3=-6, :m>n; (2)解：点M(x1,y)和N(x2,y2)是抛物线上的两点，x1=4a, y-y3=a(4a)-2a2×4a-(ax2-2a2x)=8a3-ax2+2a2x2=a(2a+x2j(4a-x2), y<》2, .a(2a+x2)(4a-x2)<0, 当a>0时， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4≤x2≤5， 2a+x2>0, 4a-x2<0, a<4 4≤x2≤5， a<1, .0<a<1; 当a<0时， 4≤x2≤5， 4a-x2<0, 2a+x2<0, a<- 2 :4≤x2≤5， 5 :a<-2 综上所述：a的取值范围为0<a<1或a<- 23.(2026江苏盐城二模)己知二次函数y=ax2+(a+2)x+c(a,C为常数，a≠0)，且满足2a+c=-2 (1)若函数图象经过点(2,10)，求函数的表达式及其顶点坐标： (2)①对称轴为直线·（用含a的式子表示） ②若当x≥-1时，y随x的增大而增大，请求出a的取值范围. (3)对于任意的a(a≠0)，该二次函数的图象都必过的定点坐标为 (直接给出答案即可) 【答案】(1)y=2x2+4x-6,(-1,-8) (20x=-a+2 ；②0<a≤2 2a (3)1,0),（-2,-6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)将点代入解析式，结合条件，求出a、c,进而确定函数解析式： (2)①根据二次函数对称轴公式确定答案；②根据二次函数开口方向和对称轴两侧的增减性确定的取值 范围； (3)将2a+c=-2代入解析式y=ax2+(a+2)x+c,因式分解，从而得到答案. 【详解】(1)将(2,10)代入y=ax2+(a+2)x+c得，4a+2(a+2)+c=10, 整理得6a+c=6, 6a+c=6 联立6a+c=6和2a+c=-2得， 2a+c=-2' a=2 解得 c=6 y=2x2+4x-6, 顶点横坐标为：x=-b=-4 2a2x2=-l, 当x=-1时：y=2×(-1)2+4×-1-6=-8, :顶点坐标为-1，-8： （2)①二次函数y=ar2+(a+2x+c的对称轴为直线：x=2a ba+2 2a ②：当x≥-1时，y随x的增大而增大， :-a+2s-1且a>0, 2a 解得0<a≤2； (3)2a+c=-2, “c=-2-2a, 将上面式子代入解析式得，y=ax2+(a+2)x-2-2a, 整理得，y=(x-1[a(x+2)+2], 当x=1时，y=0,对于任意的(a≠0)，二次函数图象都必过点1,0)： 当x=-2时，y=-6,对于任意的a(a≠0)，二次函数图象都必过点(-2，-6； 综上所述，对于任意的aa≠0)，二次函数图象都必过点(1,0)和-2，-6. 【点晴】本题考查二次函数的性质、待定系数法求解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的相关性质· 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 24.(2026江苏连云港·二模)已知二次函数y=-x2+bx+c（b,c为常数)的图象过点(-1,0)，对称轴为 直线x=1. (1)求b,C的值，并写出抛物线顶点坐标； (2)设抛物线上两点P(x,乃)，Q(x2,y2),满足x≠2且x1+x2=4.求证：y+y2<6; (3)若当1≤x≤2时，函数的最小值为3t,求实数t的值. 【答案】(1)b=2,c=3,顶点坐标为1,4) (②)证明：两点P(x,乃)，Q(x2,y在抛物线上， y1=-x+2x1+3,y2=-x+2x2+3, 相加得y+y2=-（x+2)+2(x+x2)+6, 将x+x2=4代入得+y2=-(x2+x)+8+6=-x+x)+14, 又x+x号=(x+x)2-2xx2=16-2xx2, +y2=-(16-2xx2)+14=2xx3-2, :x≠x2,且x2=4-x1, ·xx2=x(4-）=-x+4x=-(x-2)+4<4, y+y2=2xx2-2<2×4-2=6, y1+y2<6; (3)的值为1或-1-v国 【详解】(1)解：对称轴为直线x=1, b 2×-1 =1,解得b=2, :二次函数y=-x2+bx+c的图象过点(-1,0)， “-(-1)2+2×(-1)+c=0,解得c=3, y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, :顶点坐标为1,4)； (2)证明：略； 命学科网 www.zxxk .com 让教与学更高效 (3)解：：y=-(x-)+4,开口向下，对称轴为直线x=1,在x=1处取得最大值4，离对称轴越远，函 数值越小： 情况1：当1≤1时， 函数在x=t时，y=-12+21+3, 函数在x=2时，y=-22+2×2+3=3, ①若-t2+2t+3≤3，解得1≤0或1≥2（舍去）， 此时最小值为-2+21+3， 由题意得-t2+2t+3=3t, 整理得+1-3=0，解得1=+厅（舍去）或1-1-区 2 2 ②若-2+21+3>3，解得0<1<2， 则0<t≤1， 此时最小值为3， 由题意得3=3t,解得t=1; 情况2：当1<t<2时，在对称轴右侧，最小值出现在x=2处，即3=3t,解得t=1(舍去)： 综上，t的值为1或1-☒ 2 25.(2026江苏南通二模)已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点1,0). (1)求a的值 (2)过点A0,)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l,山2之间.若直线l,l2之 间的距离为16，求n-m的最大值. 【答案】(1)a=6 (2)1=-3 3)8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题 的关键： (1)待定系数法求出函数解析式即可； (2)先求出对称轴，由题意，可知，B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t,中点得到xc=2xg,对 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原性得到5十女弓x。3,求出，再代入函数解祈武求出1的值即可 2 (3)根据题意，易得要使n-m最大，则，m,n为一条直线与抛物线的交点，x=m和x=n关于对称轴对称， 根据直线l,12之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)，即：y=-4时， n-m最大，此时另一条直线的解析式为y=16-4=12,令x2-6x+5=12,求出x的值，进而确定m,n的值， 进行求解即可。 【详解】(1)解：把1,0)代入y=x2-ax+5,得：1-a+5=0, 解得：a=6; (2)由(1)知：y=x2-6x+5, “对称轴为直线x=-6 =3, 2×1 :点A(0,t在y轴上，过点A(0,)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点， .B,C关于对称轴对称，B,C的纵坐标均为t, 又：点B为线段AC的中点， .Xc=2xg, +龙=3 2 =3, XB=2, x=2代入y=x2-6x+5,得：y226253, 1=-3; (3)y=x2-6x+5=(x-3)2-4, ∴抛物线的顶点坐标(3，-4)， 当抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l,l2之间时， m,n为直线与抛物线的交点， :要使n-m最大，则，m,n为一条直线与抛物线的交点，x=m和x=n关于对称轴对称， 又：直线l,12之间的距离为16，为定值， :.当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)，即：y=-4时，n-m最大，此时另一条直线的解析式为 y=16-4=12,如图： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V 13 2 ! 8 5 A 3 1 in 4-3-2-1 2345678910x 当x2-6x+5=12时，解得：x1=7,x2=-1, 即：n=7,m=-1, n-m的最大值为：7-(-1)=8. 考点2 抛物线的平移与交点坐标问题 26.(2026江苏苏州二模)己知抛物线y=x2-bx-3向左平移3个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物 线关于y轴对称，则b的值是() A.-2 B.2 C.-3 D.3 【答案】D 【分析】先求出原抛物线顶点横坐标，再得到平移后的顶点横坐标，根据对称性质列方程计算即可. 【详解】解：首先将原抛物线配方，得y=2-x-3=化-？-（生+） b 21 “原抛物线顶点的横坐标为 :抛物线向左平移3个单位长度，平移后顶点横坐标为原横坐标减3， 平移后顶点横坐标为？一3 :平移后的抛物线与原抛物线关于y轴对称， :两个顶点关于y轴对称，横坐标互为相反数， 可得方程3：- b 2 2 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得b=3. 27.(2026江苏宿迁二模)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为() A.y=x2+2x+2 B.y=x2+2x-2 C.y=(x-2)2+2x D.y=(x+22+2x 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的平移变换.向下平移2个单位，只需在原解析式的基础上减去2即可. 【详解】解：：抛物线向下平移2个单位， :新抛物线解析式为y=x2+2x-2. 故选：B. 28.（2026江苏连云港·二模)已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，其中 x1<x2<m<2<n. m 2 n 2 1 1 若该二次函数的图像的顶点坐标 4 2, 5 则关于这个二次函数的下列结论中： ①y>2;②图像一定不经过第三象限；③abc<0;④m+n=4.正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】已知二次函数顶点坐标为 2,- 4 可得开口向上，对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质逐 一判断四个结论即可求解. 【详解】解：：二次函数顶点坐标为 2, 4 顶点是函数最低点， 5 “:a>0,对称轴为直线x=2.由对称轴公式x=- b =2,得b=-4a<0 2a 判断①：，<2<m<2,开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小，.由x<x2得乃>y2,①正确. 判斯②：举反例，取m=-2,代入顶点式y=-2-手y=1得1=16a-手解得a= 9 80 c=4a-4 5三4×？-4=一7<0，此时存在x<0时y<0,即图像经过第三象限，②错误 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 判断③：：a>0,b<0,c可以为负，如上述反例中c<0,此时abc>0,故abc<0不恒成立，③错误. 判断④：：x=m和x=n时，y=1,m<2<n,m和n关于对称轴x=2对称，：m”=2,得 2 m+n=4,④正确 综上，正确的结论共2个. 29.(2026江苏连云港二模)已知二次函数y=ax2+a2-4a)x+a-5(a为常数且a≠0)的图象经过 （-m,n和m,n)两点，则二次函数与y轴的交点坐标为() A.(0,1 B.(0,-1 C.(0,-5) D.(0,4) 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称性求出对称轴，然后解出α的值，代入解题即可， 【详解】：二次函数的图象经过-m,n)和m,n), 六抛物线的对称轴为x=-m+m=0,即-_。40=0， 2 2a 解得：a=4,(不符合题意的根舍去) :抛物线解析式为y=4x2-1, 当x=0时，y=-1, .二次函数与y轴的交点坐标为(0，-， 故选B. 30.(2026江苏苏州二模)定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的 三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是勾 股二次函数，且其图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.下列结论：① 0C=01-0B,②c=,@若4B=401,则b-号，④若该函数图象的对称轴为直线r=1,则bc:2, 其中正确的是() 0 A.①④ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【分析】根据勾股二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的根的关系，逐项判断，即可. 【详解】解：如图，连接AC,BC, :二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是勾股二次函数， .△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°， ∠ACO+∠BCO=90°，∠BCO+∠CB0=90°， .∠ACO=∠CBO, :∠A0C=∠B0C=90°， .△A0C∽△C0B, OA OC OC OB ,即0C2=0A:0B,故①正确： 设点Am,0),Bn,0,则OA=-m,OB=n,AB=n-m, “.m,n为方程ax2+bx+c=0的两根， ∴.1mn=-, a 当x=0时，y=C, 点C(0,c,即0C=c, OC2 =0A.OB, 5c2=-mn=-C, ac=-1,故②错误； :AB=40A, n-m=-4m,即n=-3m, :m,n为方程ax2+bx+c=0的两根， m+n=_b. n=C a a .m-3m=- -3m2= b a a b 解得：m= 2a 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 b-ac, ac=-1, b2=,故③正确： :该函数图象的对称轴为直线x=1, -b=1,即b=-2a, :-2a .bc=-2ac=-2×-1)=2,故④正确： 综上所述，正确的有①③④，共3个. 31.(2026江苏准安二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-4ax+3(a≠0). (1)当a=1时： ①求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标； ②当0≤x≤5时，直接写出y的取值范围： (2)P(x,)和Q(x2,2)是抛物线上的两点，若对于4≤x≤6,2-a≤x2≤3-a,都有y>y2,求a的取值范 围 【答案】(1)①顶点坐标为2，-1)，与x轴交点坐标为3,0)，(1,0)；②-1≤y≤8 (2)a的取值范围是a<-4或0<a<2. 【分析】(1)①把解析式化为顶点式即可得到顶点坐标，将y=0代入解析式可知与x轴交点坐标： ②根据二次函数的性质，进行求解即可； (2)先求出对称轴为直线x=2,则P(x,y)在对称轴右侧，再分a<0和a>0两种情况，根据二次函数的 增减性讨论求解即可， 【详解】(1)解：①当a=1时，抛物线解析式为y=x2-4x+3=(x-2)-1, .此时抛物线的顶点坐标为(2，-1， 当y=0时，(x-22-1=0, 解得x=3,x2=1, 即该抛物线与x轴交点坐标为(3,0)，1,0)； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当x=0时，y=02-4×0+3=3, 当x=5时，y=(5-2)2-1=8, :抛物线的顶点坐标为2，-)， 当0≤x≤5时，-1≤y≤8； (2)解：抛物线y=ar2-4ax+3a≠0)的对称轴为直线x=-40=2, 2a 4≤x1≤6， “点P在对称轴的右侧， ①当a<0时，抛物线的开口向下， 2-a≤x2≤3-a,2-a>2, ·点Q在对称轴x=2的右侧， :此时在对称轴的右侧y随x的增大而减小，且对于4≤x≤6,2-a≤x2≤3-a,都有乃>y2, .2-a>6, 解得a<-4; ②当α>0时，抛物线的开口向上，此时距离抛物线的对称轴越远的点函数值越大， 对于4≤x1≤6,2-a≤x2≤3-a, [3-a<4 12-(2-a<4-2' 解得-1<a<2, a>0, 0<a<2; 综上，a的取值范围是a<-4或0<a<2. 32.(2026江苏南京·二模)已知二次函数y=x2+(2m-2)x-4m(m为常数). (1)求证：该函数的图像与x轴总有公共点； (2)当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，m的值为 【答案】(1)见解析 (2)-1 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质以及最值的求解方法，解题的关键是 / 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 熟练掌握这些知识点进行求解。 (1)令y=0,得一元二次方程x2+(2m-2)x-4m=0,证明方程总有实数根，即可证明函数图像与x轴有 交点； (2)利用配方法将一般式写成顶点式y=(x+m-1)2-(m+1)2,得到顶点坐标的纵坐标，再根据二次函数的 性质求解即可. 【详解】(1)解：令y=0,则x2+(2m-2)x-4m=0, :a=1,b=2m-2,c=-4m, .b2-4ac=2m-22-4×1×(-4m=4m+1≥0， 方程有实数根， :.该函数的图像与x轴总有公共点； (2)解：：y=x2+(2m-2)x-4m=(x+m-12-m+12, :该函数图像的顶点纵坐标为-(m+), 设z=-(m+1)2, .-1<0, 当m=-1时，z有最大值，最大值为0. 故答案为：-1. 33.(2026江苏淮安二模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线的表达式为y=x2-4ax-5a. (1)当α=1，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标： (2)若该函数在0≤x≤4时，y随x的增大而减小；在8≤x≤9时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)已知点(-4，n,(x,),(0,y2),(3,y),在抛物线上，其中1<x<2,若存在x使y>n,请直接写出 的取值范围并直接比较，，的大小关系（用“<”连接）. 【答案】(1)对称轴为直线x=2,与y轴交点坐标为(0，-5)，与x轴交点坐标为(-1,0)和(5,0) (2)2≤a≤4 3)a<-2’h<1<为 【分析】(1)根据对称轴公式求出对称轴，分别令x=0,y=0,求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； (2)求出对称轴，根据增减性，判断对称轴的位置，列出不等式组进行求解即可； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)分情况讨论对称轴的位置，结合二次函数的性质，即可求得的范围，进而根据对称轴在直线x=-1的 左侧，当x>-1时，y随x的增大而增大，即可判断y,,⅓的大小关系，即可求解。 【详解】(1)解：当a=1时，y=x2-4x-5, :抛物线的对称轴为直线x=-4=2, 2 当x=0时，y=-5, 当x2-4x-5=0时，解得x1=-1,x2=5, :.抛物线与y轴交点坐标为0，-5)，与x轴交点坐标为(-1,0)和(5,0) (2)解：：y=x2-4ax-5a, :抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-4口=2a, 2×1 “在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大， :0≤x≤4时，y随x的增大而减小，8≤x≤9时，y随x的增大而增大， 4≤2a≤8，解得2≤a≤4： (3)解：：（-4，n),x,y1)在抛物线上，且抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2a :y1>n :1<x<2 ①当2a≤-4<x时，则a≤-2 ②当-4<2a<x时，即a>-2, .2a--4<x-2a 4a<x1-4 :1<x1<2 .4a<-2 1 a<-2' 2a月 1 综上所述，a<- 2 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对称轴在直线x=-1的左侧， 当x>-1时，y随x的增大而增大， 又：1<x<2,故横坐标0，x,3的大小关系为0<x<3 .:y2<y<y3 考点3 二次函数的实际应用 34.(2026江苏宿迁二模)某商店销售A,B两款商品，利润y(单位：元)与销量x(单位：袋)的关系 分别为y,=-x2+23x和y2=4x,若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为 元 【答案】 210 【分析】设销售A款商品x袋，则销售B款商品(30-x袋，根据总利润等于两款商品利润之和，列出总利 润的函数解析式，再利用配方法求函数的最大值，注意x为正整数 【详解】解：设销售A款商品x袋，则销售B款商品30-x袋，x为非负整数，且0≤x≤30， 由题意，®铜y=方+万=+23x+40-=-2+19r+120=-(-9)+8。 :二次项系数-1<0， :抛物线开口向下，函数在x=19=95处取得最大值， 2 x为非负整数， :当x=9或x=10时，y取得最大值， 将x=10代入得y=-102+19×10+120=210: 故能获得的最大利润为210元 35.(2026江苏徐州二模)某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行的时间x(s之间的函数关系是 y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需要滑行 s才能停下来. 【答案】20 【分析】飞机停下来时滑行距离y取得最大值，该函数为开口向下的二次函数，顶点处y取得最大值，求出 顶点横坐标即可得到停下所需的时间. 【详解】解：整理函数得y=-1.5x2+60x a=-1.5<0 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :抛物线开口向下，顶点处y取得最大值，对应飞机停下的时刻， b 二次函数y=ax2+bx+c的顶点横坐标为x=- 2a 60 将a=-1.5,b=60代入得x= =20, 2×-1.5) 即该型号飞机着陆后需要滑行20s才能停下来 36.(2026江苏泰州二模)数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边 靠墙的矩形花圃.设与墙垂直的边的长为m,花圃的面积为Sm2.则S关于x的函数表达式为，当 x= 时，S可以取得最大值. 【答案】 S=-2x2+60x 15 【详解】解：“墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为60-2x), ∴.S=60-2xx=-2x2+60x, :S=-2(x-15)+450, x=15时，S可取最大值，为450. 37.(2026江苏连云港·二模)在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的 一 部分.己知铅球出手处A距离地面的高度是氵米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米 的B处，小华此次投掷的成绩是 米 【答案】10 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用.根据题意可知点A的坐标为 顶点为B(4,3),设抛 物线的表达式为y=(x-4)+3,将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令y=0,求 出此时x的值即可 【详解】解：建立如图所求的平面直角坐标系， y 0 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则点A的坐标为 0, 5 顶点为B(4,3 设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+3, 5 :点A0, 在抛物线上， （3 a0-4+3=3 解得a=- 12 12x-4)}2+3, 抛物线的表达式为y=- 令y0,则-4+3=0， 解得x=10或x=-2(不合实际，舍去). 答：小华此次投掷的成绩是10米 故选：10 38.(2026江苏盐城二模)根据以下信息，按要求完成任务， 项目 2026年五一期间，某景区对游客入园情况进行了统计，以便以后节假日合理安排检票窗口. 背景 项目 运用所学过的数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性， 要求 某日，景区通过统计发现，开始检票的一段时间内，到景区检票口排队等候检票的游客累计人数y(人) 素 与检票时间x（分钟)的变化关系满足二次函数y=-x2+bx+200(0≤x≤40)，检票恰好满4分钟时 材1 等候检票的累计人数已达504人. 素 景区检票口每分钟可检票50人. 材2 素 检票恰好满5分钟时，除原来游客外，又新来一500人的游客团队.为了减少排队等候时间，立即增 材3 设了2个检票口.己知新增检票口每个每分钟可检票30人. 解决问题： (1)任务1：开始检票前已有人在排队等候，b=· (2)任务2：结合素材1、2，景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？ (3)任务3：结合所有素材，求增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)200：80 (2)景区检票口排队等待检票的游客最多时有425人 (3)增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况 【分析】(1)令x=0,可求出开始检票前己有200人在排队等候；再根据检票恰好满4分钟时，等候检票 的累计人数已达504人，可求出b的值，即可： (2)设第x分钟等待检票的人数为w人，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； (3)设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，根据题意，列出方程， 即可求解， 【详解】(1)解：对于y=-x2+bx+200(0≤x≤40)， 当x=0时，y=200, 即开始检票前己有200人在排队等候： :检票恰好满4分钟时，等候检票的累计人数已达504人， -42+4b+200=504, 解得：b=80; (2)解：设第x分钟等待检票的人数为w人， 由题意得，w=y-50x =-x2+80.x+200-50x =-x2+30x+200 =-(x-15)2+425, :-1<0,抛物线开口向下，对称轴为当x=15,且0≤x≤40， :当x=15时，w最大，最大值为425， 答：景区检票口排队等待检票的游客最多时有425人： (3)解：设增设临时检票口检票m分钟时间后，景区检票口不再出现排队等待的情况，由题意得： -(m+5)+80(m+5)+200+500-50×5-(50+30×2)m=0, 整理得：m2+40m-825=0, 解得m=15或m=-55(舍去)， 答：增设临时检票口检票15分钟后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况. 39.(2026江苏泰州二模)某碗竖直放置在水平桌面上，其截面图如图所示.已知瓷碗深度为8m,碗口 宽为24cm,碗底高为1cm,AB∥EF∥GH,碗体ACB呈抛物线状（碗体厚度不计）.以碗底EF的中点O为 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原点，以EF所在直线为x轴，EF的中垂线CD为y轴，建立平面直角坐标系. D A M EO F 图1 图2 (I)求碗体ACB的抛物线解析式； (2)若用碗盛面汤后与碗口相距1.5cm(即DP距离)，求面汤表面宽度MN; (3)若存在一个圆经过A、B、C三点，求该圆的半径. 2+1 【答案】()y=18 (2)面汤表面宽度MN为6V13cm. (3)13cm 【分析】(1)先根据题意写出点B和顶点C的坐标，再使用待定系数法求抛物线的解析式即可； (2)根据题意，点P的纵坐标为7.5，代入抛物线的解析式求出点M、N的坐标，从而求出MN的值； (3)设圆心为Q,容易判断点Q在y轴上，连接QA,设圆Q的半径为r,则QA=r, QD=QC-CD=r-8,利用勾股定理构造方程，求解出r即可. 【详解】(1)解：根据题意可得，点B的坐标为12,9)，顶点C的坐标为0，)， 设碗体ACB的抛物线解析式为y=ax2+1, 将B(12,9代入y=ax2+1,得9=144a+1, 解得a皮 商体4的抛物线解新式为y=皮2+1： (2)解：：点D的坐标为0,9，DP=1.5, .点P的坐标为0,7.5)， 将y=7.5代入y=。x2+1,得， 18 7.5= x2+1, 18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得x=±3V13, 点M的坐标为-3V13,7.5,点N的坐标为313,7.5， MW=6V13. 答：面汤表面宽度MN为6V3cm. (3)解：由对称性可知，ABC的外心在y轴上， 如图，设ABC的外心为点Q,连接QA,设圆Q的半径为"cm, Q A D M C GTH EOF .OA=r,QD QC CD =r-8, 由题意可知，AD=12, 在R1aAD0中，QA2=AD2+QD2, r2=122+(r-8)2, 解得r=13, :圆Q的半径为13cm. 40.(2026江苏宿迁二模)某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只.试销发现： ①每只水果每降价1元，每周可多卖出25只； ②每只水果每涨价1元，每周将少卖出10只： 问题： (1)若定价16元每只，则每周可卖出 只 (2)若定价m(m>20)元每只，则每周可卖出 只（用含m的代数式表示）： (3)你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？ 【答案】(1) 400 (2) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (500-10m (3) 定价为16元时，一周销售收入最多 【分析】本题为销售最值问题，根据单价变化对销售量的影响规律，先完成前两问的计算与列代数式，第 三问分降价销售和涨价销售两种情况，分别列出销售收入关于单价的二次函数，利用二次函数的性质求出 两种情况的最大销售收入，比较后得到最优定价，用到初中列代数式、二次函数求最值的知识点 【详解】(1)原定价20元，现定价16元，降价了20-16=4（元），根据题意，每降价1元每周多卖25只， 因此多卖出4×25=100（只），原每周卖出300只，因此每周卖300+100=400（只）. (2)定价为m元，m>20,涨了(m-20)元，根据题意，每涨价1元每周少卖10只， 因此少卖出10(m-20)只，每周卖出量为300-10(m-20)=（500-10m(只) (3)设定价为P元，一周销售收入为W元，分两种情况算： 当p≤20时，为降价销售， 销售量为300+25(20-p)=800-25p(只)， 销售收入W=p(800-25p)=-25p2+800p, :-25<0, 存在最大值，对称轴袖为P=)×)5三16，满足pS2 此时最大销售收入W=-25×162+800×16=6400(元)： 当p>20时，为涨价销售，销售量为500-10p)只， 销售收入W=p(500-10p)=-10p2+500p -10<0, W存在最大值， 500=25,满足p>20,此时最大销售收入W=-10×252+500×25=6250（元). 对称轴为P=2×10 :6400>6250, :定价为16元时，一周销售收入最多. 41.(2026江苏南京·二模)如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升1.4m 时，水面宽CD为12m. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.5m ○ 0.5m ① ② (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平 面直角坐标系，求这个函数的表达式； (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m,宽为7.5m(横断面如图②)，以5km/h的速度向此桥 径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,如果该船的速度 不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由. 【答案】(0y=-x2+16 20 5 (2)船不能安全通过此桥，见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是将拱桥的几何问题转化为平面直角坐标系下的函数问题， 熟练掌握二次函数表达式的求解、函数值的计算以及行程与水位变化的综合分析是解题关键， (1)以AB中点O为原点、AB所在直线为x轴建立坐标系，根据AB的长度确定A、B两点坐标，设出二 次函数的交点式；再结合水位上升后水面CD的宽度，确定D点坐标，代入函数式求解参数，从而得到函数 表达式： (2)先根据船的宽度，计算船边缘对应的横坐标，代入函数表达式求出该位置的桥高；再根据船的行驶距 离和速度，计算船行至桥时的水位上升高度，结合船露出水面的高度，得到船顶距AB的高度；最后通过比 较桥高与船顶高度的大小，判断船能否安全通过 【详解】(1)解：AB为16m,AB的中点0为原点， ·点A,B的坐标分别是(-8,0)，(8,0) “可设此函数的表达式为y=a(x+8)(x-8), :当水位上升1.4m时，水面宽CD为12m, ·点D的坐标为(6,1.4)， 把x=6,y=1.4代入y=a(x+8)x-8), 1.4=a(6+8)×(6-8), 解得a=-1 0 :此函数的表达式为y=- (x+8)(x-8),即y=- x2+16 20 205 (2)解：船不能安全通过此桥 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 把x=7.5÷2=15 代入台 y=- 1x15216_799 20^(4 5320 :当船行至桥时水位上升高度为40÷5×0.25=2(m), 船顶距AB高为2+0.5=2.5=800 320 799800 320320 ·船不能安全通过此桥 42.(2026江苏南京·二模)某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用 1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍. (1)求A、B两种商品每件售价各多少元； (2)B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一 元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种 商品销售单价为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种商品每件售价25元，B种商品每件售价30元 (2)B种商品销售单价☑为35元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是1125元 【分析】本题考查二次函数的应用，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系 式 (1)设A种商品每件售价x元，根据“用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的 2倍“列方程并检验，即可得到答案； (2)根据题意得W=(a-20)[100-5×(a-30)]=-5(a-35)2+1125,由二次函数的最值可得答案。 【详解】(1)解：设A种商品每件售价x元，则B种商品每件售价(x+5)元， “用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍， ,1500900 ×2, x+5 解得：x=25, 经检验，x=25是原方程的解，也符合题意， x+5=25+5=30, ·A种商品每件售价25元，B种商品每件售价30元： (2)解：根据题意得： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 W=(a-20)[100-5×a-30]=-5a2+350a-5000=-5(a-35)2+1125, :-5<0, :当a=35时，W取最大值，最大值为1125元， ,.B种商品销售单价☑为35元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是1125元， 43.(2026江苏盐城二模)某超市以每个20元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为34元时，超市 平均每天可售出100个，国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价 促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个，设每 个玩具售价下降了x元，超市每天的销售利润为w元. (1)降价后超市平均每天可售出个玩具； (2)求w与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)10x+100 (2)-10x2+40x+1400(0<x≤14 (3)售价为32元，最大利润为1440元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键 (1)根据“玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个”即可获得答案： (2)根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； (3)将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案. 【详解】(1)解：“玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个， :降价后超市平均每天可售出10x+100)个玩具， 故答案为：(10x+100): (2)解：由题意，可得， 函数关系为w=(10x+100)(34-20-x, 即w=-10x2+40x+1400, 其中x的取值范围是0≤x≤14： (3)解：w=-10x2+40x+1400, =-10(x-22+1440, :-10<0,0≤x≤14， 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ·当x=2时，w有最大值为1440， 此时玩具的售价为：34-2=32（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为32元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1440元。 44.(2026江苏海安·二模)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国，某村民在 网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克).当 1≤x≤20时，y=kx+b;当20<x≤30时，y=15.销量z(千克)与x的函数关系式为z=x+10,己知该产 品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元). (1)k=-,b=: (2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式； (3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 【答案】(1)-1,30 -x2+20x+300(1≤x≤20) (2)M= 15x+150(20<x≤30) (3)在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； (1)待定系数法求解析式，即可求解； (2)根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； (3)根据题意，根据M>500,列出方程，解方程，即可求解. 【详解】(1)解：依题意，将10,20)，15,15)代入y=kx+b, 10k+b=20 15k+b=15 「k=-1 解得： b=30 y=-x+301≤x≤20 故答案为：-1,30. -x+30(1≤x≤20 (2)解：依题意，y= 15(20<x≤30j 当1≤x≤20时，M=yz=(x+10)(-x+30)=-x2+20x+300 当20<x≤30时，M=yz=15(x+10)=15x+150 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -x2+20x+300(1≤x≤20 .M= 15x+150(20<x≤30) (3)解：依题意，当1≤x≤20时，M=yz=(x+10)(-x+30)=-x2+20x+300=-(x-10)2+400≤400 当20<x≤30时，15x+150>500 解得：x x为正整数， .第24天至第30天，销售额超过500元 30-24+1=7(天) 答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元 45.（2026江苏扬州二模)如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m,当水位上升3m时， 水面宽CD=10m. C D (O) B (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每 小时上涨0.3m.为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变， 那么它能否安全通过此桥？ 【答案】0y=石+ 4 (②)如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥 【分析】(1)根据题意可得B(20,0),C(5,3),然后利用待定系数法求解即可； (2)先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高 度，由此即可得到答案 【详解】(1)解：由题意得，B(20,0),C(5,3, 设抛物线解析式为y=ax(x-20), 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5a5-20=3, 1 :a=-25 1 :抛物线解析式为y=- (2)解：船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时， 水位上升的高度为：0.3×7=2.1m. :抛物线解析式为y=- 5+ 5 25x-102+4, :抛物线顶点坐标为(10,4)， :.当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4-2.1=1.9m<2m, “如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥 【点晴】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键 考点4 二次函数的综合解答压轴题 46.（2026江苏镇江·二模)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B(4,0)两点(A在B的左 侧)，与y轴交于点C(0,4),点P在抛物线上，连接BC、BP. B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P在第一象限，连接AP交BC于点D,记△DBP的面积为S,△DCA的面积为S2.当 S,<S,时，则点P的横坐标a的取值范围是 (3)如图2，直线OP交抛物线于另一点Q. ①若点P、点Q的横坐标分别是m、n,则mn= ②连接CP、CQ,记△PCQ的面积为S,求S的最小值， 【答案】(1)y=-x2+3x+4; (2)3<a<4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)①-4；②S的最小值为8. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； （2由S<S,得到5m<5底，得到5m-引-+3a+4小，5c=10,由题意得 引-口+0+4<10，系此求解即可： (3)①联立得x2+(k-3x-4=0,利用根与系数的关系即可求得mn=-4； 4】 ②求得S=2m+1 利用不等式的性质求解即可· m 【详解】(1)解：由题意，抛物线经过点B4,0)和C(0,4), 将C(0,4)代入y=-x2+bx+c,得c=4, 将B(4,0)代入y=-x2+bx+4,得： -16+4b+4=0,解得b=3, :抛物线的解析式为y=-x2+3x+4; (2)解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A, 令y=0，,即-x2+3x+4=0, 解得x=-1或x=4, 结合A在B左侧得A(-1,0); :S1<S2, S1+S△ADB<S2+S△ADB, S△ABP<S△ABC :点P的横坐标为a, :点P的坐标为(a,-a2+3a+4), 三X5x-a2+3a+ 月×5×4=10 ÷引。4如+4<10，然得13-小0 :点P在第一象限， 3<a<4: 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：设直线OP的解析式为y=c, 联立直线与抛物线方程得，x=-x2+3x+4, 整理得：x2+(k-3x-4=0, 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、, 由一元二次方程根与系数的关系得mn=-4; ②：点C(0,4),0(0,0, w成x+5ox- ×OC×m+|n, .mn=-4, m、n异号，设m>0,则n<0, 5=分x4x刘m-川=2m-小， 4 m ÷S=2m+4】 m m>0, :m+4之2m.4=4(当且仅当m=4,即m=2时取等号)， 4 4 m m S≥2×4=8， 答：S的最小值为8 47.(2026江苏南京·二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)和(3,4). (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)求证：无论a取何值，方程ax2+bx+c=2x总有实数根. (3)直接写出该函数图象与一次函数y=r的图象的公共点个数及对应的a的取值范围. 【特】0a=-月 (2)见解析 (③当a=3或a=1时，公共点个数为1，当a<占且a:0或a>1时，公共点个数为2当日<a<1时，公 13 共点个数为0 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)根据题意可得b=1-4a,c=1+3a,再利用一元二次方程根的判别式解答即可； (3)分三种情况解答即可. 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点1,2)，(3,4，原点， a+b+c=2 :9a+3b+c=4, c=0 1 a=- 3 .7 解得：b=3· c=0 即a=-33 1 (2)解：：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)，（3,4)， a+b+c=2,9a+3b+c=4, .b=1-4a,c=1+3a, ax2+bx+c=2x, 整理得：ar2+(b-2x+c=0, .△=(b-2-4ac=(1-4a-22-4a1+3a=(2a+12≥0， :无论a取何值，方程ax2+bx+c=2x总有实数根： (3)解：联立得：ax2+bx+c=ar, 整理得：ax2+(b-a)x+c=0, 当(b-a2-4ac<0时，没有交点； 由(2)得：b=1-4a,c=1+3a, 即(b-a)2-4ac<0, (1-4a-a2-4a1+3a<0, 即13a2-14a+1<0, .(13a-1)(a-1<0, 13a-1<0 13a-1>0②， a-1>0 ①或 a-1<0 解不等式①得：无解； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解不等式②得： 13<a<1, 当；<a<1时，没有公共点，即公共点个数为0 当(b-a)-4ac=0时，公共点个数为1， 即13a-1)(a-1=0, 解得：a后或1。 当a=言或1时，公共点个数为1： 当(b-a)-4ac>0时，公共点个数为2， 即13a-1)(a-1>0, 13a-1>0 a-1>0 160o, ③或 解不等式③得：a>1: 1 解不等式④得：a<, 13 1 当a>1或a< 且a≠0时，公共点个数为2： 13 综上所述，当a= 名或1时，公共点个数为1：当a< 信且a0或a>1时，公共点个数为2：当日<0<1时， 公共点个数为0 48.(2026江苏连云港二模)如图1，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、B(点A在B的左边)两点， 且B(3,0),与y轴负半轴交于C,且0C=0B. A 图1 图2 (1)直接写出：a=-,C=_；当0<x<3时，y的取值范围为_： ②点D在第四象限的地物战上.D51BC于点区，者距-求点D的坐标， (3)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G,点P为抛物线对称轴右侧且位于第四象限上的一点，连接 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 AP,交对称轴于点M,连接BP并延长，交对称轴于点N,求GM+GN的值. 【答案】(1)1；-3；-4≤y<0 (2)(2,-3) (3)8 【分析】(1)求出点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可； (2)过点D作DF⊥x轴于点F,交BC于点H,设点D的坐标为m,m2-2m-3,则OF=m,BF=3-m, DF=-m?+2m+3,根据△BOC为等腰直角三角形，可得到△BFH为等腰直角三角形，进而得到△DEH为 腰直角三角形，再结合8可得DH三2B附=23一m=6-2m,从而得到DF=9-3m,从而春 关于m的方程，即可求解； (3)设点P的坐标为(t,P-2t-3,由(1)得：抛物线的对称轴为直线x=1,求出点A-1,0),点G1,0】 ,求出直线AP的解析式，可得点M(1,21-6),再求出直线BP的解析式，可得N(1,-2t-2),即可求解. 【详解】(1)解：：B(3,0),0C=0B, 0C=0B=3, 点C(0,-3), 把点B(3,0),C(0,-3)代入y=ax2-2ax+c得： 9a-6a+c=0 a=1 c=-3 ,解得： c=-3' :抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)-4, 1>0, :当x=1时，该函数取得最小值，最小值为-4， 1-0<3-1, 当0<x<3时，x=3时，函数取得最大值，最大值为y=0, 当0<x<3时，y的取值范围为-4≤y<0: (2)解：如图，过点D作DF⊥x轴于点F,交BC于点H, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 设点D的坐标为(m,m2-2m-3,则0F=m,BF=3-m,DF=-m2+2m+3, :0C=0B, :△BOC为等腰直角三角形， .L0BC=45°， ∴△BFH为等腰直角三角形， :FH=BF=3-m,∠DHE=∠BHF=45°，BH=V2BF=√2(3-m), :DE⊥BC, :△DEH为等腰直角三角形， .DE EH,DH=2EH, BE2 ∴BE=2DE=2EH=2BH, DH=√2BH=23-m=6-2m, .DF=DH+FH=6-2m+3-m=9-3m, .9-3m=-m2+2m+3, 解得：m=2或3（舍去）， .点D的坐标为2，-3)； 3)解：设点P的坐标为(t,t2-2t-3), 由(1)得：抛物线的对称轴为直线x=1, :点B(3,0), 点A(-1,0), :抛物线的对称轴与x轴相交于点G, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点G1,0), 设直线AP的解析式为y=c+b, 把点A(-1,0),(t,2-21-3代入得： k+b=t2-2t-3 ,解得： k=t-3 -k+b=0 1b=t-3' 直线AP的解析式为y=(t-3)x+t-3, 把x=1代入y=(t-3)x+1-3,得：y=2t-6, .点M(1,2t-6, .GM=0-(2t-6)=6-2t, 同理直线BP的解析式为y=t+1x-31-3, 把x=1代入y=(t+1)x-3t-3得：y=-2t-2, N(1,-2t-2, .GN=0-(-2t-2)=2t+2, GM+GN=6-21+21+2=8. 49.(2026江苏徐州二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-m+n的顶点P(m,n)在另一条抛物线 y=x2-x+2上运动.该二次函数图像与y轴交于点A,过点P作PB1y轴于点B. B y=x2-x+2 (1)当m=1时，求点A和点B的坐标； (2)当m=2时，求△PAB的面积； (3)当m>0时，求点A的纵坐标y4的最小值. 【答案】(1)A(0,3)；B(0,2) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)S.PAB=4 (5,的最小值为号 【分析】(1)当m=1,得到点P的横坐标，根据点P在抛物线y=x2-x+2上，求出点P的坐标，进一步得 到点B的坐标；根据点A在抛物线y=(x-m)+n上且在)轴上，即x=0，即可求出点A的坐标： (2)根据m=2,点P在抛物线y=x2-x+2上，求出点P的坐标，求出二次函数y=(x-m)+n的解析式， 点A在抛物线y=(x-m)+n上且在y轴上，即x=0,求出点A的坐标；则AB=y4-yB,根据三角形的 面积公式，即可； (3)根据点A在抛物线y=(x-m+n上且在y轴上，即x=0,则y4=(0-m)+n=m2+n;根据点 P(m,n抛物线y=x2-x+2上，则n=m2-m+2,等量代换，得到y4=2m2-m+2,求出最值，即可解答 【详解】(1)解：：m=1, P1,n, :点P在抛物线y=x2-x+2上， .n=12-1+2=2 P(1,2), :过点P作PB⊥y轴于点B B0,2): :P(1,2在抛物线y=(x-m2+n; y=(x-1)+2; :二次函数图像与y轴交于点A, “y=(0-1)2+2=3, .A0,3. (2)解：：m=2, P(2,n), :点P在抛物线y=x2-x+2上， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .n=22-2+2=4 P(2,4, :过点P作PB上y轴于点B, 点B(0,4),PB=2; :P(2,4)在抛物线y=(x-m)2+n; y=(x-2)2+4: :二次函数图像与y轴交于点A, y=(0-2)2+4=8, .A0,8; AB=y4-yg=8-4=4, Sne刘4B×PA=×4×2=4. (3)解：：点A在抛物线y=(x-m)+n上且在y轴上， .y4=(0-m)+n=m2+n; :点Pm,n抛物线y=x2-x+2上， .n=m2-m+2, y4=m2+n=m2+m2-m+2=2m2-m+2, 得到关于m的二次函数，其中a=2>0开口向上，对称轴为：m=- 名2名行>0，在取值流闲内： 当m-疗时，有数小，最小值为：日 1+2=5 4 8 50.（2026江苏泰州二模)己知二次函数y,=-x2-2x+a图像的顶点在二次函数y2=mx2+b(m>0)图 像上，令y=-· (1)若函数乃的最大值为-3，求a的值： (2)判断使y=0成立的x的个数，并说明理由； (3)当-1<x<0时，判断下列结论中正确的有哪些，并对其中一个正确的结论说明理由， ①y先随着x增大而增大，再随着x增大而减小； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②若y的值始终大于0，则m的取值范围为m>1; ③若m<1,则y的最大值小于； 【答案】(1)a=-4 (2)x的个数为2， 理由：由(1)得的顶点为(-1，a+1), 代入y2=mx2+b得：a+1=m+b, 整理得a-b=m-1, y=月1-y2=-(1+m)x2-2x+(a-b), 代入a-b=m-1得，y=-(1+m)x2-2x+(m-1), 令y=0, 整理得一元二次方程(1+m)x2+2x+(1-m)=0, 因为m>0, 所以1+m≠0， △=22-41+m)1-m)=4m2>0, 因此方程有2个不相等的实根，即满足y=0的x的个数为2， .x的个数为2 (3)①③正确， 理由：①正确： 由(1)得y=-(1+m)x2-2x+(m-1) .m>0, -1<- 1一<0， 1+m :对称轴在区间(-1,0)内，开口向下的二次函数， :对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小： ②错误，m取值范围是m≥1，不是m>1, 理由：当-1<x<0时，y>0恒成立， 当x=-1时，y=-(m+1)×(-1)-2×-1+m-1=-m-1+2+m-1=0; 当x=0时，y=m-1, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 要y>0在-1,0)恒成立，需x=0时y>0,即m-1≥0 m21 当m=1时，y=-2x2-2x=-2x(x+1), 在区间(-1,0)内y>0也成立，故m≥1，不是m>1, 因此结论②错误： ③若m<1,则b-a>0 ∴y=-(m+1)x2-2x+a-b m2 ymx= m+1 :m<1 1 【分析】(1)先对二次函数y配方，得到顶点式，根据抛物线开口向下确定顶点纵坐标为函数最大值，结 合最大值为-3列出方程a+1=-3,计算得出a的值； (2)求出顶点代入得到参数关系式，联立y=y2整理一元二次方程，算出判别式△=4m2>0,判定 方程有两个不等实根，故满足y=0的x有2个： (3)结合两个抛物线开口、顶点位置判断①正确；通过分析二次函数在区间端点的取值并验证边界值，修 正得到m的取值范围为m>1,判断②错误；写出y的解析式求出最大值，结合m<1作代数比较，证得最大 值小于)，判定国正魔 【详解】(1)解：片=-x2-2x+a=-(x+1)2+a+1, :最大值为-3，(x+1)2≥0， a+1=-3, 解得a=-4: (2)略 (3)略 51.(2026江苏宿迁·二模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(2,-3),与x轴交于B、C两点的 坐标分别为(-1,0)、（3,0). / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点P(x,乃)，Q(x,y)是此二次函数的图象上的两个动点.点P在直线AB的下方，过点P作 PD⊥x轴于点D,交B于点E,连接AD,心，BD.若无=-l,求证： SAP的值为定值： (3)如图2，当点M(m,O)从点B出发沿x轴向点C运动时（点M与点B、C不重合），自点M分别作 MN∥AC,交AB于点N,作MH⊥AC,垂足为点H.当m为何值时，△MNH面积最大，并求出最大值. 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2) 证明：由x2=x1-1可得x-x2=1 设yAB=kc+b 将点A(2,-3),B(-1,0)分别代入得， [2k+b=-3 -k+b=0 k=-1 解得6= y4B=-x-1 设Px,x2-2x-3),则E(x,-x-1,D(x,0) “PE=-x-1-x2-2x-3=-x2+x+2,DE=-(-x1-1=x+1, 5emPE-++2x1=+0-2 SE号DE,-x+2-) 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAEPO= 2x+(x-2) =1； SAADE 2x+川2-) (⊙)网=1时，△MNH面积最大，最大值为号 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)先求出yB=-x-1,设P(x,x2-2x-3)，则E(x,-x1-1),D(x,0),则PE=-x2+x1+2, DE=+1,再表示出Sm=PE(5-=+川-2,5m=DE(x-x小+川2-小， 即可求解型， SAADE 作AFLx轴于点P,明△4CFO△MCH，得到MH心03-m,证明△BMW∽△BCA,得围 MN a+,再由三角形面积公式求解。 【详解】(1)解：：抛物线与x轴交于B、C两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)， 设y=ax+1)(x-3, 将点A2,-3)代入得，-3a=-3, 解得a=1 :抛物线表达式为y=x2-2x-3: (2)略 (3)解：作AF⊥x轴于点F, :MH⊥AC .∠AFC=∠MHC=90° :∠ACF=∠MCH △ACF∽△MCH 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC AF MC MH 2-3)2+-3-07 3 3-m MH MH=3 (3-m 10 :MN∥AC :△BMN∽△BCA BM MN BC AC m+1 MN .4 V2-3)2+-3-0 MN= 2(m+1 4 :MN∥AC :.∠NMH=∠MHC=90° 5.w 10 3 :-1Km<3,8<0 :当m=1时，△MNH面积最大，最大值为 52.(2026江苏无锡·二模)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，二次函数y=a(x-1)(x+3)与y轴交于 点C(0,-3),与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，点M在二次函数y=(x-1)(x+3)第三象限的图象 上，横坐标为m,N、R为二次函数图象上异于M的两点，横坐标分别为m-2、-m-1,连接NR、MWN 、MR. (1)求二次函数的表达式： (2)证明：△MNR为直角三角形： (3)连接AC,与直线MN、直线MR分别交线段AC于点E、F,若SaMR=9 SAMEF,求m的值， 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)证明：根据题意，得Mm,m2+2m-3,N(m-2,m-2)2+2(m-2)-3=N(m-2,m2-2m-3, R(-m-1,-m-1)2+2(-m-1-3=R-m-1,m2-4) MN2=[m-2)-m+[(m2-2m-3）-(m2+2m-3]=(-2y2+(-4m)2=4+16m2 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MR2=[(-m-)-m'+[(m2-4-(m2+2m-3]=(-2m-1)+(-2m-02=8m2+8m+2 NR2=[-m-1-(m-2)]+[(m2-4）-(m2-2m-3]=(-2m+1)2+(2m-1)2=8m2-8m+2 可得：MR2+NR2=(8m2+8m+2)+(8m2-8m+2)=16m2+4=MN2, :.△MNR是直角三角形，且∠MRN=90°； (③)m=-2或m=-13+145 6 【分析】(1)将点C(0,-3)代入y=a(x-1)x+3),即可求解； (2)利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可； (3)分别求出直线AC、直线NR的解析式，判断出NR∥AC,则△MNR△MEF,过点M作y轴的平行线， 分胶4C于点Q,交M于点采出Q1,引，Pm-2m-5列：再由架背待到 3m2+3m=4m+2,求出m的值即可. 【详解】(1)解：将C0,-3)代入y=a(x-1)(x+3),得：-3=a×(-1×3, 解得：a=1, 展开得y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3, 即二次函数表达式为y=x2+2x-3 (2)略 (3)解：当y=0时，x2+2x-3=0, 解得x=1或x=-3, A-3,0,B1,0, 设直线AC的解析式为y=x-3, -3k-3=0, k=-1, y=-x-3, 设直线NR的解析式为y=+b, （m-2k'+b=m2-2m-3 -m-1k'+b=m2-41 k'=-1 解得6=m2-m-5' 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x+m2-m-5, NR∥AC, :△MNR∽△MEF, 过点M作y轴的平行线，分别交AC于点Q,交NR于点P, yA (m,-m-3),P(m,m2-2m-5), :Mg=m2+2m-3+m+3=m2+3ml,MP=m2+2m-3-m2+2m+5=4m+2, :△MNR∽△MEF, MF ME MR MN SAMNR =9SAMEF MR MF 1 MR3 又NR∥AC, .△MFQ∽△MRP MO-MF =1 MP-MR-3' 3m2+3m=4m+2, 解得e-2或a-或m=3+5或m=-13-西。 6 6 :M点在第三象限， -3<m<0, m=-2或m=-13+145 6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 53.(2026江苏无锡：二模)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A-3,0)和点B,与y轴交于 点C(0,-3. 备用图 (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足∠QAB=∠OBC,请求出点Q的坐标： (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边 形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)0(-2,-3)或(4,21 (3)存在，以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为(2,5)或(-2，-3)或(-4,5) 【分析】(1)把A(-3,0),C(0,-3)代入，运用待定系数法求解即可： (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，过点Q作QM⊥x轴于点M,利用tan∠QAB=tan∠OBC求解： 当点Q是抛物线在第一象限上的一点，利用CB‖AQ,求出直线AQ的表达式，联立抛物线，即可得出答案： (3)根据题意得到二次函数对称轴直线为x=-1,设E(-1,),Ff,2+2f-3),且A(-3,0),C(0,-3), 根据平行四边形的性质可知对角线的交点的横坐标相等，分类讨论即可求解. 【详解】(1)解：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3), [9-3b+c=0 c=-3 b=2 解得 c=-31 .二次函数解析式为y=x2+2x-3; (2)解：二次函数解析式为y=x2+2x-3, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .当y=0时，x2+2x-3=0, 因式分解得，（x-1)(x+3)=0, 解得，x=1,x2=-3, B1,0), 0B=1,0C=3, 如图所示，连接BC, B :∠B0C=90°， tan∠OBC= 0C=3, OB 当点Q是抛物线在第三象限上的一点， .设Q9,92+2q-3)(-3<q<0),过点0作QM⊥x轴于点M, :M(9,0),AM=9-(-3)=q+3,QM=-q2-2q+3, :满足∠QAB=∠OBC, .tan /0A B tan 0BC =3, 、QM =3, AM -92-2g+3=3, 9+3 整理得，q2+5q+6=0, 因式分解得，(9+2)(9+3)=0， 解得，91=-2,92=-3（舍去)， .9=-2,则g2+2g-3=(-22+2×-2)-3=-3, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0(-2,-3): 当点Q是抛物线在第一象限上的一点， 如图， .0 B :∠QAB=∠OBC, .CBll AO, 设直线BC的解析式为y=x+b,代入B(1,0),C(0,-3), [k+b,=0 16=-3' k=3 解得 b=-3' .直线BC的解析式为y=3x-3, 则可设直线AQ的解析式为y=3x+b,,代入A-3,0), 0=3×-3)+b,, 解得b,=9, :直线AQ的解析式为y=3x+9, y=3x+9 联立得到{ y=x2+2x-3' x=4 ,[x=-3 解得 或 y=21y=0 (不合题意，舍去)， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0(4,21, 综上可知，9-2，-3或(4,21： (3)解：二次函数解析式为y=x2+2x-3, :对称销直线为：=子1。 设E(-l,),Ff,f2+2f-3,且A-3,0),C(0,-3, 当四边形ACFE是平行四边形时， B 六对角线交点的横坐标相等，即」-3_0-1， 22 解得，f=2, f2+2f-3=22+2×2-3=5, F(2,5): 当四边形AECF是平行四边形时， B 0-3-1+f 2 2 解得，f=-2, :f2+2f-3=(-2)2+2×-2-3=-3, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f-2,-3); 当四边形ACEF是平行四边形时， -1-30+f 2 2 解得，f=-4, “f2+2f-3=-4)2+2×(-4)-3=5, F(-4,5): 综上所述，存在以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为2,5)或-2，-3或(-4,5). 54.（2026江苏南通二模)己知二次函数y=x2-2ar+a2+a(a为常数，a≠0)的图象与一次函数 y=2x-a的图象交于点Ax1,),B(x2,y2),且x<x2. (I)若该二次函数的图象经过原点，求a的值： (2)线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由. 何已知点C长，为二次菌数图象上一点，当<0时，1<片男<4，求4的歌价能同. 【答案】(1)-1 (②)是；线段AB的长度为定值2√5 (3)-2≤a≤- 【分析】(1)将点(0,0)代入二次函数y=x2-2ax+a2+a,即可求解； (2)联立 =r-2r+a+0,求出A,B两点的坐标，得到4,8两点水平方向的距离和竖直方向的距离， y=2x-a 利用勾股定理求解即可； (3)结合(2)可得a+1<y3<a+4,分别令y=a+1,y=a+4,求出x=a+1或x=a-1,x=a+2或 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=a-2,建立不等式求解即可. 【详解】(1)解：由题意得，点(0,0)在函数图象上， 将(0,0)代入二次函数y=x2-2ax+a2+a,得a2+a=0, 解得a=-1或a=0, a≠0， a=-1: (2)解：线段AB的长度为定值25， [y=x-2axtata.x2ax+d+a=2x-a 联立 y=2x-a x2-(2a+2)x+a2+2a=0, (x-a[x-(a+2]=0, 解得x1=a,x2=a+2, y=a,y2=a+4, .Aa,a,B(a+2,a+4, .A,B两点水平方向的距离为a+2-a=2,A,B两点竖直方向的距离为a+4-a=4, AB=V22+42=2V5; (3)解：由(2)可知，少=a, 1<y3-a<4, 解得a+1<y3<a+4, 令y=a+1,得x2-2ar+a2+a=a+1,则x2-2ax+a2=1, (x-a2=1, 解得x=a+l或x=a-1, 令y=a+4,得x2-2ax+a2+a=a+4,则x2-2ar+a2=4, (x-a2=4, 解得x=a+2或x=a-2, :点C(x3,)为二次函数图象上一点，且a+1<y<a+4, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a-2<x3<a-1或a+1<x3<a+2, 1 a-2≤- 2或 /a+1s、1 2， a-1≥0 a+2≥0 解得1≤a≤或-2sa5-3 2 “a的取值范围为-2≤a5-3或1≤4 2 55.(2026江苏无锡二模)已知二次函数y=a(x-1)2+k的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3) 0 (1)求该二次函数表达式： (2)过二次函数位于第一象限内的图像上一动点P作直线PE⊥x轴于点E,交直线AB于点F.取线段AB上 Q使得cos∠⑨PE=:当点P运动到何处时，P四的张最大？求出此时点P的坐标及PO长的显 【答案】(1)y=-(x-1)+4 @当传号)时.心张最大，最大值为 40 【分析】(1)运用待定系数法求解即可； (2)运用待定系数法求出直线AB的解析式，设Pm,-m2+2m+3,分当Q在直线PE左侧，当Q在直线 PE右侧两种情况讨论求解即可. 【详解】(1)解：：二次函数y=a(x-1)2+k的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3), 4a+k=0 把A(3,0),B(0,3)代入y=a(x-1)2+k得： a+k=3’ a=-1 解得6=4” .二次函数表达式y=-(x-1)2+4. (2)解：设直线AB的解析式为y=px+b, 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3p+b=0 把A(3,0),B(0,3)代入y=px+b,得 b=3’ p=-1 解得： b=3’ 直线AB:y=-x+3, 设Pm,-m2+2m+3), ①当Q在直线PE左侧，过Q作QH⊥PE,垂足为H. :直线PE⊥x轴于点E,交直线AB于点F .F(m,-m+3), PF=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m D B Q H 0 E :cos∠QPE=4 PH 4 P05 设PH=4t,PQ=5t, :OH=PO2-PH2 =3t, am∠0PE-m∠0F-3 :A(3,0),B(0,3) 0A=0B=3, ∠0BA=∠0AB=45°， :∠HF0=∠HQF=45°， .HO=HF, 2.PH=4PF, 7 又PF=-m2+3m, PH=-m+3, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cos∠OPE= .PQ-PH-PF=-5(m-3+45 4 7m-2+28 因为点Q在线段AB上，点Q在点F的上方，点P在第一象限图像上，PH=yp-y。, :cs∠QPE=4 h=y-PH=n-5P0,且%=-g+3, 4 又m-g=pe, 5 sin LOPE=3 3 P0-m- 又w为0. (-m2+2m+3到-+刘-青m-小， =m2 3m, :0≤xo≤m, 0≤m2-2m≤m<3, 3 2 ≤m<3, 因此，当-时，09长最大为袋点P） 3 ②当Q在直线PE右侧，过Q作OH⊥PE,垂足为点H. 0 A OE 因为点Q在线段AB上，点Q在点F的下方，点P在第一象限图像上，PH=p-yQ, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 cos∠OPE=: :yo=yp-PH=Yp 4P0,且yg=-xg+3, 又xg-m-亏 sin LOPE- 3 又，-0， (-m+2m+到-+到=。-m, xo=-3m2+10m, :0<m<xo≤3， .1 :0<m≤3 因此，当，P巴的长放大为智点P户号》 综上所述， 当p132) 得号)时，D长最大，最大值为号 56.(2026江苏常州·二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2x-3与x轴交于点A、B(A 在B的左边)，与y轴交于点C,抛物线顶点D的横坐标为1. B B D (备用图) (1)点C(0,-),a= ，点D1,): (2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、m+2. ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W,当-1<m<1且m≠0时，若图像W的最高 点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值： ②当m>0且m≠1和3时，若△BCP的面积等于△BCQ的面积，求m的值. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)-3,1，-4 ,-1+V5 20m的值为5-1或1-5：②m=)或m=」 2 【分析】(1)令x=0可求C(0,-3):由对称轴可求a=1;令x=1可求DL,-4); (2)①判断m<1<m+2,即对称轴x=1在此范围内，得出最高点和最低点，列方程求解即可； ②根据△BCP的面积等于△BCQ的面积列方程求解即可. 【详解】(1)解：对于抛物线y=ax2-2x-3,令x=0,得y=-3, .C(0-3): :抛物线顶点D的横坐标为1， x=- b2=1, 2a2a 解得：a=1; :抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 令x=1,则y=1-2-3=4, .D1,-4): (2)解：①抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,对称轴为x=1, :图像W是抛物线在P、Q两点之间的部分，且P、Q的横坐标分别为m、m+2, :.图像W对应的自变量x的取值范围是m≤x≤m+2, .-1<m<1且m≠0， :m<1<m+2,即对称轴x=1在此范围内， :图像W的最低点为顶点D(1,-4), ·当0<m<1时，Q到对称轴的距离比P远； 最低点为顶点D1,-4),最高点为(m+2,(m+2)}2-2(m+2)-3,即(m+2,m2+2m-3, 最高点与最低点的纵坐标之差为(m2+2m-3)-(-4)=3, 整理得m2+2m+1=3, 解得m=-1±√5， 0<m<1, :m=-1+5 当-1<m<0时，P到对称轴的距离比Q远； 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最高点Pm,m2-2m-3, .m2-2m-3-（-4=3, 解得：m=1-√5或m=1+5(舍去) 综上，m的值为√5-1或1-√5： ②设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)， 3k+b=0 把B3,0),C0,-3)代入得： b=-3, k=1 解得 1b=-31 :直线BC的解析式为y=x-3, 过P(m,m2-2m-3作PE∥y轴交BC于E(m,m-3),则： BxPE=m2-2m-3)-(m-3=m2-3m, D 6BCP的面积S,=号3m-3m 同理，过Qm+2,(m+2}2-2(m+2)-3,即Q(m+2,m2+2m-3)作Fy轴交BC于F(m+2,m-),则： 0F=m2+2m-3-(m-=m2+m-2, △8C0的面积S,×3×m+m-2, :S1=S2, :m2-3ml=m2+m-2, m2-3m=±m2+m-2, 当m-3须=㎡+加-2时，解得烟 当m2-3m=-（m2+m-2时，整理得m2-m-1=0, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m=1±V5 2 .m>0, =1+5 .m= 2 综上，m= _1+V5 2 57.(2026江苏宿迁二模)抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知B(3,0),C(0,-3). 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD-CD取最大值时，点D的坐标； (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P 在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点R,当k发生改变时，请说明直线QR过定点，并求定点坐标. 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)(1,6) (3)过定点，且定点坐标为(0，-1)，见解析 【分析】(1)先根据点B坐标，点C坐标，利用待定系数法求解可得： (2)连接AC,并延长交对称轴直线x=1于点M,因为AD-CD≤AC,所以当A,C,D三点共线时， AD-CD取得最大值，且最大值为AC,求解即可： (3)设P(x,),Q(x2,y),得到x,x2是方程x2-kx-1=0的两个根，所以x+x2=k,x2=-1;确定 R-x,),设直线OR的解析式为y=mx+n,根据题意，得 ,m+n=为，得到直线QR的解析式为 -x m+n=y y=x,-x,)x-1,当x=0时，y=-1,故k发生改变时，直线QR过定点，且定点坐标为(0，-1. 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,且B(3,0),C(0,-3). 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [9+3b+c=0 C=-3 「b=-2 解得 c=-3' 故抛物线解析式为y=x2-2x-3; (2)解：因为抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-12-4, 所以抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为1，-4)： 令y=0,得x2-2x-3=(x-12-4=0, 解得x1=-1,x2=3, 故A-1,0), M 连接AC，并延长交对称轴直线x=1于点M, 因为AD-CD≤AC, 所以当A,C,D三点共线时，AD-CD取得最大值，且最大值为AC, 故当点D与点M重合时，AD-CD取得最大值， 设AC的解析式为y=-3,将点A的坐标代入得：-k-3=0,解得k=-3, :直线AC的解析式为y=-3x-3. 当x=1时，y=-3×1-3=-6, 此时M(1,-6), 故点D的坐标为(1，-6)； (3)解：因为抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1-4, 所以抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为E(1,-4)； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为抛物线平移，使其顶点E与原点0重合， 所以新抛物线的解析式为y=x2， 设P(x,),(x2,2, 因为直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P在左边)， 所以x,x2是方程x2=x+1(k>0)的两个根， 所以x,x2是方程x2-kx-1=0的两个根， 所以x1+x2=k,xx2=-1； 因为过点P作x轴平行线交抛物线于点R, 所以点P,点R关于y轴对称， 所以R(-x,1), 设直线QR的解析式为y=mx+n, 根据题意，得 x2m+n=y2 -xm+n=y 所以2-y=(x3+x)m, 所以c2+1-(+1)=km, 所以kx2+1-kx1-1=km, 解得m=x2-x1, 所以n=2-(52-x)x3 =kx2+1-x22+xx2 =x+x2)x3+1-x22+xx2 =x2+xx2+1-x22+xx2=2xx2+1=2×-1)+1=-1, 直线QR的解析式为y=x2-xx-1, 当x=0时，y=-1, 故k发生改变时，直线QR过定点，且定点坐标为(0，-1. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 58.(2026江苏无锡·二模)已知二次函数y=ax2-4ax+3a(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C(0,3. (1)求二次函数的表达式： (2)点P为抛物线上一点，且∠CAP=45°，求点P的坐标： (3)若x轴下方的抛物线上有点D(m,,),点D关于x轴的对称点为点D,直线AD'交抛物线于点E(n,2), 当y2-y=4时，求点D的坐标. 【答案】（①）y=x2-4x+3 (2)5,8 (3)(2,-1 【分析】(1)将C点坐标代入二次函数求出a的值，即可得到表达式： (2)先求出AL,0),过点C作CM⊥AC交AP于点M,过点M作MH⊥y轴于点H,得出M(3,4),得出直 线AP的解析式为y=2x-2,联立直线与抛物线方程，舍去A点后得到P点坐标； (3)根据D关于x轴的对称点为D'(m,-y),求出直线AD'的解析式为y=3-m)x+m-3,联立抛物线得 到E点坐标与m的关系，代入y2-y=4求解得到m,进而得到D点坐标，即可求解. 【详解】(1)解：已知二次函数y=ax2-4ax+3aa≠0)，点C(0,3)在函数图象上， 把x=0,y=3代入函数得：3a=3, 解得a=1, 因此二次函数的表达式为y=x2-4x+3; (2)解：令y=0,则x2-4x+3=0, 因式分解得(x-1)x-3)=0, 解得x1=1,x2=3, 因为点A在点B左侧，所以A(L,0): 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H 九M 0人B 过点C作CM⊥AC交AP于点M,过点M作MH⊥y轴于点H, :∠CAM=45°，CM⊥AC :.△ACM是等腰直角三角形， .MC=CA 又：∠MHC=∠C0A=90°，∠HMC=90°-∠HCM=∠AC0 :△AOC≌△CHM(AAS ∴.MH=OC=3,CH=AO=1 M3,4) 设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠O), 4=3k+b k+b=0 k=2 解得： b=-2 所以直线AP的解析式为y=2x-2, y=2x-2 联立 y=x2-4x+3’ x=1 x=5 解得： 1y=0 或y=8 因此点P的坐标为5,8)； (3)解：由题意得，点D(m,y在抛物线上，所以y=m2-4m+3, D关于x轴的对称点为D'm,-), 已知A1,0),设直线AD'的解析式为y=kx+b(k≠0) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k+b=0 -y=mk +b k=3-m 解得： b=m-3 所以直线AD'的解析式为y=(3-m)x+m-3, 联立 y=(3-m)x+m-3 y=x2-4x+3· 整理得（x-1)(x-3)=(3-m)x-1, 移项因式分解得x-1(x+m-6=0, 解得x=1(对应点A,舍去)，或x=6-m 因此E点横坐标n=6-m, 2=(6-m)2-4(6-m)+3=m2-8m+15, 由题意y2-月=4， 代入得：(m2-8m+15)-(m2-4m+3)=4, 整理得-4m+12=4, 解得m=2, 代入得y=22-4×2+3=-1, 因此点D的坐标为(2，-1) 59.(2026江苏无锡·二模)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,C均为常数). (1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线x=2,求二次函数表达式： (2)若函数图象上有两点(b-2,y),(b,y2),且y>y2,求b的取值范围： (3)将二次函数的图象平移，使其顶点P始终落在直线y=x+1上，与该直线的另一个交点为Q,在x轴上是 否存在点A(t,O)使得△APQ为等边三角形？若存在，求出t;若不存在，说明理由. 【答案】(1)y=-x2+4x (2)b>2 (3)存在，1=-1+V5或t=-1-√万 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)结合二次函数y=-x2+bx+c的函数图象经过原点，对称轴为直线x=2,再建立方程组求解 即可； (2)计算y=-(b-2)2+bb-2)+c=-b2+4b-4+b2-2b+c=2b+c-4,y2=-b2+b2+c=c,结合1>y2 ,再进一步求解即可： (3)设顶点P(m,m+,可得平移后的解析式为：y=-(x-m)+m+1,求解Q(m-1,m),可得 PQ=Vm-1-m)+(m-m-1)=2,结合AP=PQ=AQ=√2，再进一步求解即可. 【详解】(1)解：：二次函数y=-x2+bx+c的函数图象经过原点，对称轴为直线x=2, [c=0 b=4 b 2 解得： 2×-1 c=0 :二次函数为y=-x2+4x. (2)解：：函数图象上有两点(b-2,y),(b,y2), y1=-(b-2)+b(b-2)+c=-b2+4b-4+b2-2b+c=2b+c-4, y2=-b2+b2+c=c, y>y2, .2b+c-4>c, 解得：b>2. (3)解：：二次函数的图象平移，使其顶点P始终落在直线y=x+1上， 设顶点P(m,m+, :平移后的解析式为：y=-（x-m)+m+1, y=x+1 y=-(x-m)2+m+1' -(x-m)2+m+1=x+1, 整理得：x2+(1-2m）x+m2-m=0, .x-m)x-m+1=0, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：x1=m,x2=m-1, .Qm-1,m）, “PQ=V(m-1-m)2+(m-m-12=V2, :△APQ为等边三角形，点At,0), :AP=PQ=AQ=√2， :P(m,m+1,Q(m-1,m, Ap2=(m-t2+(m+12=2,AQ2=(m-1-t)2+m2=2, (m-t2+(m+1)2=(m-1-t2+m2, 解得：t=2m,即m=。t, +2. .12+21-2=0, 解得：1=-1+V5,2=-1-5, 存在满足条件的点A,t的值为-1+√3或-1-√3. 60.(2026江苏无锡二模)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c(b、C为常数) 的图象经过点(-1,0)，（3,0).点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上)，过点A作抛物线对称轴的垂线， 垂足为点B,以AB为边，以点O为对称中心作口ABCD,设点A的横坐标为m, (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)当点A在抛物线对称轴右侧，且口ABCD被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求AB 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的长： (3)当线段CD与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出m的取值范围. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2) (3)1-2√2≤m≤-√3 【分析】(1)直接利用交点式写出函数关系式即可； (2)设点A的横坐标为m,用含m的代数式表示出点A、B的坐标，结合平行四边形的中心对称性质，写 出点C、D的坐标；再根据等腰直角三角形的直角边相等，分两种情况列出关于的方程，求解后得到m的 值，进而计算AB的长； 3)根据平行四边形的性质，得到线段CD是平行于x轴的线段，纵坐标固定；结合线段CD与抛物线有两 个公共点的条件，找出两个临界情况（点C在抛物线上、线段CD与抛物线的临界位置），列出方程求出临 界m的值，结合图形位置关系确定m的取值范围. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点(-l,0),(3,0), .y=-（x+1)(x-3=-x2+2x+3」 (2)解：y=-x2+2x+3, 2 :抛物线的对称轴为x=2×-可1，当x=0时，y=3, 抛物线与x轴与y轴交于点(0,3)， :点A在抛物线对称轴右侧，点A的横坐标为m,且点A不在x轴上， ∴.m>1,且m≠3， A(m,-m2+2m+3), 过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B,则B(1,-m2+2m+3), .AB=m-1, 四边形ABCD是以点O为对称中心的平行四边形， ·点A与点C、点B与点D分别关于原点O对称， .C(-m,m2-2m-3),D(-1,m2-2m-3), :口ABCD被对称轴x=1分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分两种情况 ①当A在x轴上方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时，过点D作DM⊥AB延长线于点M,则DM平 行于直线x=1,∠M=90°， :点B在直线x=1的直线上，且关于原点成中心对称的点为点D, 点D在直线x=-1的直线上， ∠DAB=45°， .△ADM是等腰直角三角形，即AM=DM, AM=m--1=m+1,DM=-m2+2m+3-m2-2m-3=2-m2+2m+3, .m+1=2-m2+2m+3, 整理得，2m2-3m-5=0, 解得m=-1(舍去)。m,= 此时4B=》1-号 3 ②当A在x轴下方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时， 同理，∠M=90°，∠DAB=45°，AM=DM,AM=m+1, DM=m2-2m-3--m2+2m+3=2m2-2m-3, :m+1=2(m2-2m-3, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得， 2m2-5m-7=0, 7 解得m=-1(舍去)，m,2 时4B=子-1 5 29 综上，AB的长为或2 3 5 (3)解：由(2)知C(-m,m2-2m-3),D(-1,m2-2m-3), :.线段CD平行于x轴，纵坐标为y=m2-2m-3, 线段CD与抛物线恰好有两个公共点，需满足以下临界情况： ①当CD与抛物线顶点相切时，此时为上临界值， 此时C的纵坐标m2-2m-3=4, 整理得，m2-2m-7=0, 解得m,=1-2√2，m,=1+2√2（舍去）： ②当点C刚好在抛物线上时，此时为下临界值， 将C(-m,m2-2m-3)代入抛物线解析式：-（←m)2+2(-m)+3=m2-2m-3, 整理得，m2-3=0, 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解得m=-√5，m,=√5（舍去）： 结合图形位置关系，线段CD与抛物线恰好有两个公共点时，m的取值范围为：1-2√2≤m≤-V3 61.(2026江苏徐州二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点 C0,4,其顶点为D. (1)求抛物线对应的函数表达式及顶点D的坐标： (2)当0<x<5时，函数y的取值范围是 (3)若点E在以点P(3,0)为圆心，PB为半径的OP上，连接AE,以AE为边在AE的上方作等边△AEF,连 接BF,求BF的最大值， 【答案】(1)y=-x2+3x+4; D325 24 2)-6<ys25 : (3)V21+1 【分析】(1)将点A(-1,0)和点C(0,4)代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，再化为顶点式写出顶点 坐标即可； (2)根据抛物线的性质可符当x弓时，函数有最大值为宁。再求出当x=0和：=5时的面数值，即可得 解； (3)先求出B(4,0),进而得出PE=1,以AP为边在AP的上方作等边△APQ,连接PE、FQ、BQ,过点 Q作QL⊥x轴于点L,根据三线合一的性质和勾股定理，得出BQ=√21，根据等边三角形的性质，证明 △EAP≌aFAQ(SAS),从而推出点F在以点Q为圆心，FQ=I为半径的⊙Q上运动，当点F在BQ的延长线 上时，BF有最大值 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,4), 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 「-1-b+c=0 b=3 解得： c=4 c=4' 抛物线对应的函数表达式为y=-x2+3x+4, :顶点D的坐标为 325 24月 (2)解：：y=-x2+3x+4= 32.25 2+ x- 4 地物线开口向下，当x时，质数有设大值为空。 :当x=0时，y=4；当x=5时，y=6, :当0<x<5时，函数)的取值范围是-6<y≤25 (3)解：令y=0,则-x2+3x+4=0, 解得：x=-1,2=4, B(4,0), P3,0),A-1,0 BP=1,AP=4, :点E在以点P(3,0)为圆心，PB为半径的0P上， PE=1, 如图，以AP为边在AP的上方作等边△APQ,连接PE、FQ、B?,过点Q作QL⊥x轴于点L, D :.AP=A0=PO=4.AL=PL=1AP=2, QL=√PQ2-PL=2√5,0L=1, ∴01,25， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :B0=V4-12+0-25}'=V2, :△AEF和△APQ是等边三角形， AE=AF,AP=A0,∠EAF=∠PAQ=60°， ∴.∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF,即∠EAP=∠FAQ, .AEAP≌△FAO(SAS), .EP=FO=1, ·点F在以点Q为圆心，FQ=1为半径的⊙Q上运动， :当点F在BQ的延长线上时，BF有最大值为BQ+FQ=√21+1 62.(2026江苏苏州二模)已知二次函数经过点A(-1,0),B(3,0),点C(0,3),横坐标分别为m-1,m, m+1的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点D和点F的抛物线“片段”始终经过点C. A:O B主 (1)该二次函数解析式为 (2)求m的范围，并求线段DF的最小值； (3)求aDEF的面积. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)-1≤m≤1；2 (3)1 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2)根据D横坐标为m-1,F横坐标为m+1,C(0,3)在D、F之间的抛物线段上，得出m-1≤0≤m+1, 即可得口-1≤m≤1口；先求出点D、F的纵坐标，由两点距离公式求出DF=√4+161-m)2,当m=1时， 1-m)2最小为0，此时DFn=V4=2: (3)E点横坐标为口m口，纵坐标口yE=-m+2m+3;过点E作EG⊥x轴交DF于点G,求出直线DF 的解析式，得出口y。=-m2+2m+2,再根据铅垂线法解答即可； 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：二次函数与x轴交于A(-1,0)、B(3,0), 设二次函数解析式为：y=a(x+1)(x-3), 将C(0,3)代入得：-3a=3, 解得：a=-1, :.二次函数解析式为y=-(x+1(x-3)=-x2+2x+3; (2)解：：D横坐标为m-1,F横坐标为m+1,C(0,3)在D、F之间的抛物线段上， .m-1≤0≤m+1, 解得：-1≤m≤1， 将点D、F横坐标代入抛物线得：yo=-(m-1)2+2(m-1)+3=-m2+4m, yp=-(m+1)2+2(m+1)+3=-m2+4, 横坐标差为(m+)-(m-1)=2,纵坐标差为yr-yp=4-4m, 由两点距离公式得：DF=√22+(4-4m)2=V4+16(1-m)2, 当m=1时，1-m)2最小为0， 此时DFnn=V4=2; (3)解：E点横坐标为m,纵坐标ye=-m+2m+3; 过点E作EG⊥x轴交DF于点G, G D B主 设直线DF的解析式为y=ax+b, -m2+4m=am-1)+b 则 -m2+4=a(m+1+b’ [a=2-2m 解得： b=m2+21 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :直线DF的解析式为y=(2-2mx+m2+2, 当x=m时，y6=-m2+2m+2, :EG=yg-y6=（-m2+2m+3-（-m2+2m+2)=1, △DEF的水平宽为xF-xD=2, .S.m xEGx2-x1x21 2 63.(2026江苏连云港二模)在平面直角坐标系中，己知抛物线y=ax2+2x-3a与x轴交于点A、B两点 (点A在点B的左边)，与y轴交于点C,该抛物线过点D1,y,且对于抛物线上任意一点(X,y)都有 y≤yg (1)求抛物线的表达式： (②若点E(m,,F(3-m,p)是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p<?: 15 (3)若点P是抛物线上一动点，过该点作x轴的垂线交直线BC于点M,连接PC,将△PCM沿直线PC翻折， 当点M的对应点M'恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标； (④)抛物线上是否存在点Q,使∠QBC+∠AC0=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明 理由. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)见解析 (3)点M的坐标为(V2+3,-V2)或-V2+3,2) (40 211 3’9 或(2,3 【分析】(1)由题知点D山，y)是抛物线y=ax2+2x-3a的顶点，根据抛物线的顶点坐标公式可得- 21 2 求得a=-1,进而可得抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)将E(m,n,F(3-m,p)代入y=-x2+2x+3中，将n和p用含m的式子表示出来，再将n+p用含m的 式子表示出来，根据二次函数的性质即可得m+p<?· 15 (3)先求出B、C两点的坐标，再求出直线BC的表达式为y=-x+3,设Pt,-t+2t+3,则M(t,-1+3).由 翻折的性质及平行线的性质可得MC=MP,列出关于t的方程，求出t的值即可得M点的坐标. (4)分两种情况：①当Q点在C点左侧时，设BQ与y轴的交点为G点，先证aGOB≌△AOC(AAS),则 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可得G(0,1，再求出直线BG的表达式为y=-亏x+1,再求出直线8G与抛物线的交点坐标即为Q的坐标： ②当Q点在C点由侧时，过C点作CH⊥y轴，交抛物线于H点，则可得H(2,3),再证△HCB≌aGCB, 则可得∠HBC=∠GBC=∠Q,BC,由∠Q,BC+∠AC0=45°，可得∠HBC+LAC0=45°，又由 ∠Q2BC+∠AC0=45°，则可得点Q2与H点重合，进而可得Q2的坐标. 【详解】(1)解：：该抛物线过点D1,y),且对于抛物线上任意一点(x,y)都有y≤yo· ∴点D1,yo)是抛物线y=ax2+2x-3a的顶点， 21 解得a=-1, :抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：：点Em,n),F(3-m,p)是抛物线y=-x2+2x+3上不同的两点， .m≠3-m, 3 即m≠ 且n=-m2+2m+3,p=-(3-m)+2(3-m)+3, .n+p=-m2+2m+3-(3-m)+2(3-m+3 =-2m2+6m+3 32.15 =-2m- 22 :m+2' 3 321515 -2m- (”222' 15 即n+p<2 (3)解：由y=-x2+2x+3=0得x1=-1,x2=3, A-1,0),B(3,0). 由x=0得y=3, C(0,3). 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设直线BC的表达式为y=x+b, b=3 则 3k+b=0 k=-1 解得 b=3· .直线BC的表达式为y=-x+3. 设P(,-2+2t+3,则M(t,-1+3), 由折叠知MC=MC,∠MCP=∠MCP, :点M'在y轴上， PM‖MC, .∠MPC=∠MCP, .∠MCP=∠MPC, .MC=MP, :0C=0B=3, .L0CB=∠0BC=45°， .MC=2, 又：MP=-+21+3-(-t+3=-2+31, V2d=-+3t, 解得t=√2+3或-√2+3， M(N2+3,-2)或M(-2+3,2) M M B (4)解：如图，当Q点在C点左侧时，设BQ与y轴的交点为G点， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠Q,BC+LAC0=45°，∠Q,BC+∠Q,BA=45°， :∠QBA=∠ACO,即LGB0=∠AC0, 又：∠G0B=∠A0C=90°，0B=0C=3, .△G0B≌△40C(AAS), 0G=0A=1, G(0,1. 设直线BG的表达式为y=k+b, b=1 则 3k+b=0 1 k=- 解得 3, b=1 1 直线BG的表达式为)y=万X+1. 1 J=_ x+1 联立 3 y=-x2+2x+3 2 X1=- 3 解得 x3=3 11y,=0(舍去)， 4=9 ②如图，当Q点在C点右侧时， 过C点作CH⊥y轴，交抛物线于H点， 则H点的纵坐标为3， 由y=-x2+2x+3=3, 得x=0(舍去)，x2=2, H(2,3), .CH=2, :CG=0C-0G=3-1=2, .CH=CG, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：LGCH=90°，∠GCB=45°， .∠HCB=45°， .ZHCB=/GCB, 又：CB=CB, △HCB≌GCB(SAS, :∠HBC=∠GBC=∠Q,BC, 又：∠Q,BC+∠AC0=45°， ∠HBC+∠AC0=45°， 又：∠Q,BC+∠AC0=45°， :点Q2与点H重合， 02（2,3), 211 综上Q点的坐标为39 或2,3 【点晴】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数与几何的综合运用，题目较难，正确地作出图形，注 意分类讨论是解题的关键。 64.(2026江苏扬州二模)在平面直角坐标系x0y中，点P(x,),Q(x2,2)为某函数图象G上不重合的 两点，若有y2-=x-2,则称点Q与点P关于图象G互为“反差点”. (1)直线y=x-3上任意一点关于该直线都_（填“有”或“没有”)“反差点”； (2)已知抛物线G：y=x2+2x; ①求抛物线顶点关于G的“反差点”坐标； ②抛物线G上任意一点P关于G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请求出没有“反差点的P点 坐标； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③将抛物线G在y轴右侧的部分沿x轴翻折，y轴左侧的部分不变，得到新的函数图象W,若图象W上一 点M(m,关于图象W有两个“反差点”，请直接写出m的取值范围 【答案】()没有 33 :③-3<m<-2 3 (2)①(-2,0)；②没有， 24 或-氵<m<0或0<m</+0 2 【分析】(1)根据定义判断即可： (2)①根据“反差点”的定义列式求解即可；②根据“反差点”的定义设参列式即可；③根据题意得W的解析 x2+2xx<0) 式为y= -x2-2x(x≥0) ,M(m,n)关于图象W的“反差点”所在直线的解析式为y=-x+m+n,结合图象 可以确定当图象W上一点M(m,n)关于图象W有两个“反差点”时，直线与y=x2+2x(x<0)有两个不同交 点，与y=-x2-2x(x≥0)有一个交点，据此借助判别式和求根公式列式求解即可. 【详解】(1)解：设点P(x,y,Q(x2,y2)为y=x-3上不重合的点， 2-y=x-3-(x3-3)=x-x3≠x3-x, 则y=x-3没有反差点 (2)解：①y=x2+2x,顶点坐标为(-1，-1)， 设顶点关于G的“反差点”坐标(t,2+21), 则2+21-(-1)=-1-t,解得t=-1(舍去)，2=-2， 故“反差点”坐标为-2,0)； ②设任意一点Px,y),反差点Q(x2,y2, .y2-y1=X1-X2, 则x号+2x2-（x+2x)=x-x2, (x+x2+3x2-x)=0, 若x≠x2,则x+x2=-3,则存在反差点； 3 若=，则=。=三时，两点重合，则没有反差点： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [x2+2x(x<0) ③y= -x2-2x(x≥0)' :设M(m,n关于图象W的“反差点”Q(x,y), :y-n=m-x, 则y=-x+m+n, :M(m,n关于图象W有2个“反差点”， :直线y=-x+m+n与图象W有2个与M不重合的不同交点， 如图，在和☑之间的直线均满足条件，此时直线与y=x2+2x(x<0)有两个不同交点，与 y=-x2-2x(x之0)有一个交点， 当m<0时，n=m2+2m； 即y=-x+m2+3m, y=x2+2x 对于x<0的部分， y=-x+m2+3m 则x2+3x-m2+3m=0, 此时存在商个交点，则令4=3：4+3加=2+3>0得，m- 且x=m,x2=-m-3<0,则-3<m, y=-x2-2x 对于x≥0的部分， y=-x+m2+3m 则x2+x+m2+3m=0, △=1-4m2+3m)>0得，m<3=0或3+D<x, 2 2 且x=-m,x2=-m-3 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 由于m<0,则x=-m>0,即此时在x>0范围内一定有一个交点， 3 则-3<m<-三或-三<m<0, 2 2 当m>0时，n=-m2-2m; 即y=-x-m2-m, [y=x2+2x 对于x<0的部分， y=-x-m2-m' 则x2+3x+m2+m=0, 此时存在两个交点，则令△=32-4(m2+m)=9-4m2-4m>0得，-1-0<， .-1+V10 -<m< 且x=3士6，由于0<△≤1，则此时x<0, 2 即0<m<-1+0 2 综上所述，-3<m<- 或<0,0<m 3 2 【点晴】本题考查一元二次方程的解法，二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数和一次函数的交点 问题，以二次函数视角看待一元二次方程，能够理解“反差点”并根据新定义列式是解题的关键 65.(2026江苏无锡二模)已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(-3,0),B(1,0)两点，与y 轴交于点C. 图1 图2 (1)直接写出这个二次函数的表达式： (2)如图1，连接BC,点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线1与BC平行，则在直线1上是否存在点 Q,使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点G,H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线AG、AH与y轴分别交于S, T两点，若OS·OT=6,试探究直线GH是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)y=-x2-2x+3 (2)01-5,-5)或1+5,5) 国直线Gm第过定 【分析】(1)将点A和点B坐标代入二次函数解析式即可得解； (2)分两种情形：当点P在线段AC上时，连接BP,交CQ于R,设P(t,t+3),根据CP=CB求得t的值， 可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在AC的延长线上时，同样方法得出结果； (3)设Gm,-m2-2m+3,Hn,-n2-2n+3,则可求出直线GH解析为y=(-m-n-2)x+n+3,再求 1 出直线4H和4G解所式可得07和OS,再根据0S:0T=6可得m+n=mm+行再代入GH解析式即可得解。 【详解】(1)解：将点A(-3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+3, 9a-3b+3=0 得 a+b+3=0’ 解得 a=-1 1b=-2' .二次函数的表达式为y=-x2-2x+3: (2)解：如图， B 图2 当点P在线段AC上时，连接BP,交CQ于R, :点B和点Q关于CQ对称， .CP=CB, 设P(t,t+3), 由CP2=CB2得，2t2=10, 4=-V5,12=V5(舍去)， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :P(-5,3-5), :PQ∥BC, CR_BR=1, OR PR ..CR=QR, .四边形BCPQ是平行四边形， :1+(-5-0=1-5,0+3-5)-3=-5, 01-5,-⑤： 如图， 图3 当点P在AC的延长线上时，由上可知：P(V5,3+V5, 同理可得：Q1+5,5), 综上所述：Q1-5,-5)或1+V5,5): (3)解：设G(m,-m2-2m+3),H(n,-n2-2n+3, 设直线GH解析式为y=x+d, mk+d=-m2-2m+3 则 nk+d=-n2-2n+31 k=-m-n-2 解得 d=mn+3 :直线GH解析式为y=(-m-n-2)x+mn+3, 同理可得直线AH解析式为y=(1-m)x+3), 直线AG解析式为y=(1-m)x+3), 令x=0,得y、=3-3m,y7=3-3n, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .0S=3-3m,0T=3-3n, :0S.0T=6, (3-3m)3-3m)=6, 整理得m+n=mm+子' 代入直线GH解析式为y=-mn- 3r+mn+3=ma(-x+1-7 7 2 当x=1时，y= :直线6H经过定点) 66.(2026江苏无锡·二模)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，二次函数y= 三x+bx+c的图象与y轴 交于点C(0,-3),对称轴与x轴交于点(2,0). (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若此抛物线上有一动点P,其横坐标为m(m≥1)，当在点P右侧部分（包括点P)的最低点的纵坐标为 -5+m时，求m的值； (3)设此抛物线与x轴正半轴的交点为A,点D为抛物线顶点，连接AD,若点E在线段AC上运动，连接 OE,点A为点A关于直线OE的对称点，射线OA'与抛物线交于点H,当直线EA'与直线AD所夹锐角为 45°时，求点H的横坐标. 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为y= --3 (2)m的值为1或4+2√2 (3)点H的横坐标为2 【分析】(1)根据对称轴得b的值，由点C(0,-3)得C的值，即可得出结果： (2)根据函数最值情况，对m的范围进行分类讨论，即可得出m的值： (3)令EA'与AD交于点M,过点M作MWIx轴，过点D作DF⊥x轴，交x轴与点F,根据题意情况判 新出EAy轴，令点A坐标为m,小，则点Em,2m-3 由对称的性质，得0A'=OA=6，AE=EA', 得出方程，求解出m、n的值，得出直线04'的函数表达式为y=-2x,结合y=x-x-3,即可求出点H 4 的横坐标。 【详解】(1)解：对称轴与x轴交于点2,0)， 即抛物线对称轴为直线x=2,学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05二次函数(4大考点66题) ☆4大考点概览 考点01二次函数的图象和性质 考点02抛物线的平移与交点坐标问题 考点03二次函数的实际应用 考点04二次函数的综合解答压轴题 考点1 二次函数的图象和性质 1.(2026江苏无锡二模)定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n 阶方点”.例如，点 33 点是函数)=x图像的阶方点”：点2是函数y=2图像的2阶方点”.下列说 法： ①点(-1，-1)是反比例函数y=图像的1阶方点”： ②若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，则a=3: ③若y关于的二次函数y=-(x-n2-2n+1图像的n阶方点”一定存在，则}sn≤1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.(2026江苏镇江·二模)已知二次函数y=x2-4x+3.其图象上有一段连续曲线，对应的自变量取值范围 为m≤x≤n,且满足m<2<n,该段曲线被两条平行于x轴的直线乙、2完全包含（即曲线上任意一点都在 两直线之间或直线上).若直线与马之间的距离为16，则-m的最大值为() A.8 B.7 C.6 D.4 3.(2026江苏淮安·二模)己知实数m,n满足2m+n=3,则mn+2的值可能是() A.2.8 B.3.2 C.4.2 D.4.5 4.(2026江苏无锡·二模)己知两个函数，如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为乃，2 ,都有点(x,y)、(x,y2)关于点(x,x对称，则称这两个函数为关于直线y=x的对称函数.下列结论： ①y=x+2和y2=x-2为关于y=x的对称函数： ②y=4和以，=-2为关于y=x的对称函数： ③若，=-3x+1和y2=+b(k≠0)为关于y=x的对称函数，则k=5、b=-1: 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ④若二次函数y=r2+bx+c(a≠0)和，=x2+n为关于y=x的对称函数，则当n>时，y<乃，恒成立. 4 其中正确的是（) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 5.(2026江苏无锡二模)在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为y,投入设为x,定义了增 效函数：对于函数y,若其图象上任意两点Px,),Q(x2,2)(x≠x2)都满足乃+2>x+x2,则称该 函数为增效函数，给出下列关于增效函数的命题： ①一次函数y=x+1是增效函数； ②若正比例函数y=x是增效函数，则k>1; ③反比例函数y=4(x>0)是增效函数： ④若1-2V5<m<1+2√3，则二次函数y=x2+mx+3是增效函数. 其中真命题是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.(2026江苏南通二模)二次函数y=ax2-4ax+2(a<0)的图象过点A-1,乃)，B(2,y),C(6,y3).若 y2y,<0,则a的取值范围是() A.、 <a<-4 1 B.-2<a< 5 5 c、3 a<- 6 4 5 D.-! 3a< 6 7.（2026江苏南京·二模)己知函数y=ax2+bx+c的图象过点A(3,2),B(-1,-2),C(2,n),则下列选项中， 对应的a的值最大的是() A.n=2 B.n=1 C.n=0 D.n=-1 8.(2026江苏连云港二模)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表， … -4 -2 0 3 y -24 -8 -3 -15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线x=1 9.(2026江苏南通·二模)二次函数y=a(x-1)+6,当x<1时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件 的a的值 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026江苏无锡二模)如果将抛物线y=(x-1)2-4向上平移m(m>0)个单位后经过原点，那么m 的值是 11.(2026江苏宿迁二模)设二次函数y=ax2+bx+1(a,b为常数，a≠0)经过点(2,0)、（-1，q,若 9<2,则a的取值范围是 12.（2026江苏盐城二模)已知关于x的二次函数y=2x2-4x+5,当-2<x<2时，函数y的取值范围为 13.(2026江苏苏州二模)如图，在矩形ABCD中，点A(-1,1,点D(2,1,则二次函数 y=x2-2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为 A O BO C y=x+1 y D 将A-1,1代入y=x2-2mx+m2+m+1得，1+2m+m2+m+1=1, 解得m=-3-V5 2 m=345 (舍去) 2 如图，当二次函数与矩形ABCD最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形ABCD与y轴的 交点0,1，此时m取最大值， y=x+1 D 将0,1)代入y=x2-2mx+m2+m+1得，m2+m+1=1, 解得m=0,m2=-1(不合，舍去)， 14.(2026江苏徐州二模)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，其与x轴交于(-3,0)和1,0)两点.① abc>0;②a-b+c>0;③对称轴为直线x=-1;④a+c<0:上述结论正确的有 (填序号). 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -3 15.(2026江苏徐州二模)如图为二次函数y=ax2+2ax+c的图象，该图象与x轴的两个交点分别为 A-4,0),B.下列说法正确的是 (写出所有正确结果的序号)， ①对称轴为直线x=-1;②当x<0时，y随x的增大而增大；③4a2-4ac>0;④8a+c=0. A 16.(2026江苏宿迁·二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点 (0,6),其对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为 17.(2026江苏苏州二模)已知二次函数y=-x2+bx的图象的对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方程 -x2+bx+t=0(b,t为实数)，在1<x<4的范围内有解，则t的取值范围是 18.(2026江苏宿迁·二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，图像经过点(0,2)，其 对称轴为直线x=-1.下列结论：①3a+c>0;②若点(-4，)，(3，y2)均在二次函数图像上，则>y2; ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为 -2<x<0.其中正确的结论有 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026江苏泰州二模)在平面直角坐标系中，将点A(x,y)变换为点B(mx+m,my+n,称该变换为点 A到点B的线性变换，记作：变换L[m,n,（mn≠0).例如：(1,3)按照线性变换L[-1,-3进行变换，则得 (-1×1-3,-1×3-3)=(-4,-6),即(1,3)经变换L[-1,-3]后得到点(-4，-6). (1)若点(3,4经过线性变换L[2,1后得到点P,求点P坐标； (2)二次函数y=ax2+1图象上一点，经过线性变换L[2,1后，所得的点恰好是该二次函数的顶点，求a的值； (3)已知Ax,》)在二次函数y=x2图象上，点A先经线性变换Lm,n得到点B;再将点A经线性变换 L[n,m得到点C.若B、C两点均在抛物线y=x2上，且满足m≠n,x2≠1.试探究：是否存在这样的m、 n、x？若存在，求出所有值；若不存在，请说明理由。 20.(2026江苏南通·二模)已知抛物线y=x2+bx-4经过A2,-4),B(x,y1),C(,2)三点(1<x2). (1)求抛物线的解析式： (2)对于某一个实数乃，当2-=5时，2-x的最大值等于3，求2-x的最小值； (3)当m-3≤x≤m,m+1≤x2≤m+4时，总存在实数m,使得直线BC∥x轴，求m的取值范围. 21.(2026江苏南通·二模)已知二次函数y=ax2+bx-4(a,b是常数，a>0). (1)若a=1时， ①试判断点A(-2,-2b)是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B(2,k),C(2+b,k)在二次函数y=ax2+bx-4图象上，求k的值： (2)已知抛物线的对称轴为直线x=t(2<1<4),若点M(-1,m)和N(3,n)在该抛物线上，满足m-n=8,求 a-b的取值范围. 22.(2026江苏连云港二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-2ax(a≠0). (1)当a=2时， ①求该抛物线的对称轴； ②点A-1,m和B(3,n)是抛物线上的两点，判断m和n的大小关系：mn; (2)如果点M(x1,y)和N(x2,y2是抛物线上的两点，且对于x=4a,4≤x2≤5，都有y<2,求a的取值范 围。 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2026江苏盐城二模)已知二次函数y=ax2+(a+2)x+c(a,c为常数，a≠0)，且满足2a+c=-2 (1)若函数图象经过点(2,10)，求函数的表达式及其顶点坐标： (2)①对称轴为直线 .(用含a的式子表示) ②若当x之-1时，y随x的增大而增大，请求出a的取值范围. (3)对于任意的a(a≠0)，该二次函数的图象都必过的定点坐标为 ·(直接给出答案即可) 24.(2026江苏连云港·二模)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,C为常数)的图象过点(-1,0)，对称轴为 直线x=1. (1)求b,C的值，并写出抛物线顶点坐标： (2)设抛物线上两点P(,),Q(x2,2),满足x≠2且+x2=4.求证：+y2<6; (3)若当t≤x≤2时，函数的最小值为3t,求实数t的值. 25.(2026江苏南通·二模)已知抛物线y=x2-ax+5（a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值. (2)过点A0,)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l,2之间.若直线l,l2之 间的距离为16，求n-m的最大值. 考点2 抛物线的平移与交点坐标问题 26.（2026江苏苏州二模)已知抛物线y=x2-bx-3向左平移3个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物 线关于y轴对称，则b的值是() A.-2 B.2 C.-3 D.3 27.(2026江苏宿迁二模)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为() A.y=x2+2x+2 B.y=x2+2x-2 C.y=(x-2)+2x D.y=(x+22+2x 28.（2026江苏连云港·二模)己知二次函数y=a.x2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，其中 x1<x)<m<2<n. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m 2 n 4 … 1 1 5 若该二次函数的图像的顶点坐标为 2,-5 则关于这个二次函数的下列结论中： ①y,>y2;②图像一定不经过第三象限；③abc<0;④m+n=4.正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 29.(2026江苏连云港二模)已知二次函数y=ax2+a2-4ax+a-5(a为常数且a≠0)的图象经过 (-m,n和m,n两点，则二次函数与y轴的交点坐标为() A.(0,1 B.(0,-1 C.(0,-5) D.(0,4 30.(2026江苏苏州二模)定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的 三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数.如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠O)是勾 股二次函数，且其图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,下列结论：① OC=01-08,②ac=1,®若48=401，则B2=行④若该函数图象的对称轴为直线x=1,则bc=2, 其中正确的是() B A.①④ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 31.(2026江苏准安二模)在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=ax2-4ax+3(a≠0). (1)当a=1时： ①求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标； ②当0≤x≤5时，直接写出y的取值范围： (2)P(x,)和Q(x2,y2)是抛物线上的两点，若对于4≤x≤6,2-a≤x2≤3-a,都有乃1>y2,求a的取值范 围 32.(2026江苏南京·二模)已知二次函数y=x2+(2m-2)x-4m(m为常数). 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：该函数的图像与x轴总有公共点； (2)当该函数图像的顶点纵坐标的值最大时，m的值为 33.(2026江苏淮安·二模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线的表达式为y=x2-4ar-5a, (1)当a=1,求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)若该函数在0≤x≤4时，y随x的增大而减小；在8≤x≤9时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)已知点(-4，n),(x,),(0,y),(3,),在抛物线上，其中1<x<2,若存在x使y>n,请直接写出 a的取值范围并直接比较片，，⅓的大小关系（用“<”连接）. 考点3 二次函数的实际应用 34.(2026江苏宿迁二模)某商店销售A,B两款商品，利润y(单位：元)与销量x(单位：袋)的关系 分别为y,=-x2+23x和y2=4x.若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为元. 35.(2026江苏徐州二模)某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行的时间x(s之间的函数关系是 y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后需要滑行 s才能停下来. 36.（2026江苏泰州二模)数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为60m的栅栏围一个一边 靠墙的矩形花圃.设与墙垂直的边的长为m,花圃的面积为Sm2.则S关于x的函数表达式为，当 x=时，S可以取得最大值。 37.(2026江苏连云港·二模)在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的 部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米 的B处，小华此次投掷的成绩是 米 38. (2026江苏盐城二模)根据以下信息，按要求完成任务 项目 2026年五一期间，某景区对游客入园情况进行了统计，以便以后节假日合理安排检票窗口. 背景 项目 运用所学过的数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性 要求 素 某日，景区通过统计发现，开始检票的一段时间内，到景区检票口排队等候检票的游客累计人数y(人 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 材1 与检票时间x(分钟)的变化关系满足二次函数y=-x2+bx+200(0≤x≤40)，检票恰好满4分钟时， 等候检票的累计人数已达504人. 素 景区检票口每分钟可检票50人. 材2 素 检票恰好满5分钟时，除原来游客外，又新来一500人的游客团队.为了减少排队等候时间，立即增 材3 设了2个检票口.已知新增检票口每个每分钟可检票30人. 解决问题： (1)任务1：开始检票前已有人在排队等候，b=. (2)任务2：结合素材1、2，景区检票口排队等待检票的游客最多时有多少人？ (3)任务3：结合所有素材，求增设临时检票口检票多长时间后，景区检票口前将不再出现排队等待的情况？ 39.(2026江苏泰州二模)某碗竖直放置在水平桌面上，其截面图如图所示.已知瓷碗深度为8cm,碗口 宽为24cm,碗底高为1cm,AB∥EF∥GH,碗体ACB呈抛物线状（碗体厚度不计）.以碗底EF的中点O为 原点，以EF所在直线为x轴，EF的中垂线CD为y轴，建立平面直角坐标系. D A B M GT TH EO F 图1 图2 (1)求碗体ACB的抛物线解析式： (2)若用碗盛面汤后与碗口相距1.5cm(即DP距离)，求面汤表面宽度MN; (3)若存在一个圆经过A、B、C三点，求该圆的半径 40.(2026江苏宿迁二模)某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只.试销发现： ①每只水果每降价1元，每周可多卖出25只： ②每只水果每涨价1元，每周将少卖出10只： 问题： (1)若定价16元每只，则每周可卖出 只： (2)若定价m(m>20)元每只，则每周可卖出 只（用含m的代数式表示）： (3)你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41.(2026江苏南京·二模)如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升1.4m 时，水面宽CD为12m. 珠 -7.5m ○ 0.5m B八 ① ② (1)把桥拱看作一个二次函数的图像，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为原点建立如图①所示的平 面直角坐标系，求这个函数的表达式： (2)有一艘装满货物的船，露出水面部分的高为0.5m,宽为7.5m(横断面如图②)，以5km/h的速度向此桥 径直驶来，当船距离此桥40km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m,如果该船的速度 不变，那么它能否安全通过此桥？说明理由 42.(2026江苏南京·二模)某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用 1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍， (1)求A、B两种商品每件售价各多少元： (2)B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一 元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种 商品销售单价为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？ 43.(2026江苏盐城二模)某超市以每个20元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为34元时，超市 平均每天可售出100个.国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价 促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低1元，超市每天可多售出10个，设每 个玩具售价下降了x元，超市每天的销售利润为w元， (1)降价后超市平均每天可售出 个玩具； (2)求w与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 44.(2026江苏海安·二模)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国.某村民在 网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y(元/千克).当 1≤x≤20时，y=kx+b;当20<x≤30时，y=15.销量z(千克)与x的函数关系式为z=x+10,已知该产 品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M(元). (1)k=-,b=; (2)写出第x天的销售额M与x之间的函数关系式： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？ 45.（2026江苏扬州二模)如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m,当水位上升3m时， 水面宽CD=10m. (O B (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式： (2)有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每 小时上涨0.3m.为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变， 那么它能否安全通过此桥？ 考点4 二次函数的综合解答压轴题 46.(2026江苏镇江·二模)如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B(4,0)两点(A在B的左 侧)，与y轴交于点C(0,4),点P在抛物线上，连接BC、BP. 4 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，若点P在第一象限，连接AP交BC于点D.记△DBP的面积为S,△DCA的面积为S,.当 S,<S,时，则点P的横坐标a的取值范围是； (3)如图2，直线OP交抛物线于另一点Q. ①若点P、点Q的横坐标分别是m、n,则mn= ②连接CP、C2,记△PCQ的面积为S,求S的最小值. 47.(2026江苏南京·二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点1,2)和(3,4). 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)若该函数的图象经过原点，求a的值： (2)求证：无论a取何值，方程ax2+bx+c=2x总有实数根. (3)直接写出该函数图象与一次函数y=ar的图象的公共点个数及对应的a的取值范围. 48.(2026江苏连云港·二模)如图1，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、B(点A在B的左边)两点， 且B(3,0,与y轴负半轴交于C,且0C=0B. A 图1 图2 (1)直接写出：a=-,c=_;当0<x<3时，y的取值范围为_； ②点D在第四象展的能物线上，DE18C于点E老8距行，求点D的坐际。 (3)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G,点P为抛物线对称轴右侧且位于第四象限上的一点，连接 AP,交对称轴于点M,连接BP并延长，交对称轴于点N,求GM+GN的值. 49.(2026江苏徐州二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=(x-m+n的顶点P(m,n在另一条抛物线 y=x2-x+2上运动.该二次函数图像与y轴交于点A.过点P作PB1y轴于点B. y=x2-x+2 (1)当m=1时，求点A和点B的坐标； (2)当m=2时，求△PAB的面积： (3)当m>0时，求点A的纵坐标y,的最小值. 50.(2026江苏泰州二模)已知二次函数1=-x2-2x+a图像的顶点在二次函数y2=mx2+b(m>0)图 像上，令y=-y2· 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若函数y的最大值为-3，求a的值； (2)判断使y=0成立的x的个数，并说明理由； (3)当-1<x<0时，判断下列结论中正确的有哪些，并对其中一个正确的结论说明理由. ①y先随着x增大而增大，再随着x增大而减小； ②若y的值始终大于0，则m的取值范围为m>1; ®若m<1,则)的最大值小于号， 51.（2026江苏宿迁二模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A2,-3),与x轴交于B、C两点的 坐标分别为(-1,0)、（3,0). 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点P(x,y),Q(x2,)是此二次函数的图象上的两个动点.点P在直线AB的下方，过点P作 PD⊥x轴于点D,交AB于点E,连接AD,P2,EQ.若x2=x1-1,求证： S△e的值为定值； SAADE (3)如图2，当点M(m,O)从点B出发沿x轴向点C运动时（点M与点B、C不重合），自点M分别作 MN∥AC,交AB于点N,作MH⊥AC,垂足为点H.当m为何值时，△MNH面积最大，并求出最大值. 52.(2026江苏无锡·二模)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，二次函数y=ax-1)(x+3)与y轴交于 点C0,-3),与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，点M在二次函数y=a(x-1)(x+3第三象限的图象 上，横坐标为m,N、R为二次函数图象上异于M的两点，横坐标分别为m-2、-m-1,连接NR、MN 、MR. (1)求二次函数的表达式； (2)证明：△MNR为直角三角形； (3)连接AC,与直线MN、直线MR分别交线段AC于点E、F,若SAMNR=9S△MEF,求m的值. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 53.(2026江苏无锡二模)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A-3,0)和点B,与y轴交于 点C(0,-3). 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点Q是抛物线上的一点，满足∠QAB=∠OBC,请求出点Q的坐标： (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边 形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由 54.(2026江苏南通·二模)已知二次函数y=x2-2ax+a2+a(a为常数，a≠0)的图象与一次函数 y=2x-a的图象交于点Ax1y),B(x2,y2),且x<x2 (1)若该二次函数的图象经过原点，求a的值； (2)线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由. (国已知点C为=次菌数图象上一点，当名<0时，1K-<4,限4的取值花国 55.(2026江苏无锡二模)已知二次函数y=a(x-1)2+k的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3) (1)求该二次函数表达式： (2)过二次函数位于第一象限内的图像上一动点P作直线PE⊥x轴于点E,交直线AB于点F,取线段AB上 一点Q使得cos∠QPE三当点P运动到何处时，P四的长最大？求出此时点P的坐标及PQ长的最大值 56.(2026江苏常州·二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2x-3与x轴交于点A、B(A 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在B的左边)，与y轴交于点C,抛物线顶点D的横坐标为1. B D (备用图) (1)点C(0,),a= ,点D1,)； (2)P、Q是该抛物线上的两个动点（不与点B、C重合），横坐标分别为m、m+2. ①设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图像W,当-1<m<1且m≠0时，若图像W的最高 点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值； ②当m>0且m≠1和3时，若△BCP的面积等于△BCQ的面积，求m的值. 57.(2026江苏宿迁二模)抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C,已知B(3,0,C(0,-3. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD-CD取最大值时，点D的坐标： (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点0重合，直线y=kx+1(k>0)与抛物线相交于点P、Q(点P 在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点R,当k发生改变时，请说明直线QR过定点，并求定点坐标. 58.(2026江苏无锡·二模)已知二次函数y=ax2-4ax+3a(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C(0,3). (1)求二次函数的表达式： (2)点P为抛物线上一点，且∠CAP=45°，求点P的坐标； 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)若x轴下方的抛物线上有点D(m,),点D关于x轴的对称点为点D,直线AD交抛物线于点E(n,y), 当y2-=4时，求点D的坐标. 59.(2026江苏无锡二模)已知二次函数y=-x2+bx+c(b,C均为常数). (1)若函数图象经过原点，且对称轴是直线x=2,求二次函数表达式： (2)若函数图象上有两点(b-2,y),(b,y2),且y>y2,求b的取值范围： (3)将二次函数的图象平移，使其顶点P始终落在直线y=x+1上，与该直线的另一个交点为Q,在x轴上是 否存在点At,0)使得△APQ为等边三角形？若存在，求出t;若不存在，说明理由 60.(2026江苏无锡二模)在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c(b、C为常数) 的图象经过点(-1,0)，(3,0).点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线， 垂足为点B,以AB为边，以点O为对称中心作口ABCD,设点A的横坐标为m (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)当点A在抛物线对称轴右侧，且口ABCD被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求AB 的长 (3)当线段CD与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出m的取值范围 61.(2026江苏徐州二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0)和点B,与y轴交于点 C(0,4),其顶点为D 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)求抛物线对应的函数表达式及顶点D的坐标； (2)当0<x<5时，函数y的取值范围是 ； (3)若点E在以点P(3,O)为圆心，PB为半径的OP上，连接AE,以AE为边在AE的上方作等边△AEF,连 接BF,求BF的最大值 62.（2026江苏苏州二模)已知二次函数经过点A-1,0),B(3,0),点C(0,3),横坐标分别为m-1,m, m+1的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点D和点F的抛物线“片段”始终经过点C, YA D A:O B (1)该二次函数解析式为 (2)求m的范围，并求线段DF的最小值： (3)求ADEF的面积. 63.(2026江苏连云港·二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2x-3a与x轴交于点A、B两点 (点A在点B的左边)，与y轴交于点C,该抛物线过点D1,y),且对于抛物线上任意一点(x,y)都有 y≤yo (1)求抛物线的表达式： (②若点E(m,,P3-m,p是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p<: 15 (3)若点P是抛物线上一动点，过该点作x轴的垂线交直线BC于点M,连接PC,将△PCM沿直线PC翻折， 当点M的对应点M'恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标； (4)抛物线上是否存在点Q,使∠QBC+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 理由. 64.(2026江苏扬州二模)在平面直角坐标系x0y中，点P(x,y),Q(x2,y2)为某函数图象G上不重合的 两点，若有y2-片=x-x2,则称点Q与点P关于图象G互为“反差点” (1)直线y=x-3上任意一点关于该直线都_（填“有”或“没有”)“反差点”； (2)已知抛物线G:y=x2+2x; ①求抛物线顶点关于G的“反差点”坐标： ②抛物线G上任意一点P关于G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请求出没有“反差点”的P点 坐标； ③将抛物线G在y轴右侧的部分沿x轴翻折，y轴左侧的部分不变，得到新的函数图象W,若图象W上一 点M(m,n)关于图象W有两个“反差点”，请直接写出m的取值范围 65.(2026江苏无锡·二模)已知二次函数y=ax2+b.x+3的图像与x轴交于点A(-3,0),B(1,0)两点，与y 轴交于点C G B 0 图1 图2 (1)直接写出这个二次函数的表达式： (2)如图1，连接BC,点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线1与BC平行，则在直线1上是否存在点 Q,使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点G,H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线AG、AH与y轴分别交于S, T两点，若0S·OT=6,试探究直线GH是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 66.(2026江苏无锡二模)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴 4 交于点C(0,-3,对称轴与x轴交于点(2,0). (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)若此抛物线上有一动点P,其横坐标为mm21),当在点P右侧部分（包括点P)的最低点的纵坐标为 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 -5+m时，求m的值； (3)设此抛物线与x轴正半轴的交点为A,点D为抛物线顶点，连接AD,若点E在线段AC上运动，连接 OE,点A为点A关于直线OE的对称点，射线OA'与抛物线交于点H,当直线EA'与直线AD所夹锐角为 45°时，求点H的横坐标.