专题04 一次函数与反比例函数（9大考点101题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数9大核心考点，精选江苏各地二模101题，融合科技（如电动摩托车电池能量）、生活（如体重管理）、文化（如杆秤制作）情境，梯度覆盖基础应用与综合探究。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择填空|约70题|一次函数图象变换、反比例函数K的几何意义|结合光的反射（第22题）、弹簧伸长（第38题）等跨学科情境| |解答题|31题|函数与几何综合、实际应用建模|如杆秤杠杆原理（第49题）、教育经费预测（第36题），凸显数学建模与逻辑推理|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04一次函数与反比例函数(9大考点101题) ☆)大考点概览 考点01一次函数的图象和性质 考点02求一次函数解析式 考点3一次函数与几何综合 考点04一次函数的实际应用 考点05反比例函数的图象与性质 考点06反比例函数K的几何意义 考点07反比例函数与一次函数综合 考点08反比例函数与几何综合 考点09反比例函数的实际应用 考点1 次函数的图象和性质 1.(2026江苏南京二模)函数'x- 0,1) 的图象经过一次图形变换后得到一个新的函数图象，若点 在 新函数的图象上，则该图形变换可以是() A.沿y轴向上平移1个单位长度 B.沿x轴向右平移2个单位长度 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 1 2。(2026江苏徐州：二模)关于直线y=-3x+b(6为常数)与直线y=2x+5的交点情况，下列判断 一定正确的是() A.有1个交点，且在第一象限 B.有1个交点，且在第二象限 C.有1个交点，且在第三象限 D.有1个交点，但不在第四象限 3.(2026江苏南通二模)如图，一次函数y=c+b (1,0) 图象经过点 ,,则关于x的不等式 k(x+1)+b<0 的解集为() 1/34 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.x>0 B.x>1 C.x<0 D.x<1 4. (2026江苏无锡·二模)我们知道，函数y=x-1的图象可以由函数y=的图象向下平移一个单位长度 2 2 得到。函数yx的图象可以由函数y=的图象经过下列哪个平移得到() A,向右平移一个单位长度 B.向左平移一个单位长度 C.向上平移一个单位长度 D.向下平移一个单位长度 5.(2026江苏南通二模)已知点M(3-),N(-3,a,P(-山，a+2)在同一个函数图象上，则这个函数图象可 能是() 6.(2026江苏南京·二模)将一次函数y=x-6的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是 () A.（1.5,4.5) B.（14) c.（-2.5,-3.5) D.(3,-3) 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 5 7.(2026江苏苏州二模)己知点 (2.m 在一次函数y=3x+b的图像上，则下列关于m,n 大小关系的判断正确的是() A.m<n B m=n C.m>n D.无法确定 8.(2026江苏无锡二模)规定：对于某个函数，若在自变量x的取值范围为a≤x≤b时，对应的函数值 y全部满足 +乃≤≤+片，其中”是=0时对应的函数值，其中是= 时对应的函数值，则称 a≤x≤b为该函数的融值区间.下列结论正确的是() ①1≤x≤3是函数y=2x-1的融值区间： 4 ②函数y=(x<0)不存在融值区间： ③0sxs 是函数少x+6 的融值区间； ④若/sxs 是函数少 的融值区间，则4≤1≤0 A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 9.(2026江苏徐州二模)在平面直角坐标系x0中，若函数图象上任意两 P(x,)()均满足 (x-x2)(y-y2)>0 .下列四个函数图象中， O ① ② ® @ 所有正确的函数图象的序号是（) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 10.(2026江苏泰州·二模)已知不等式c+b>0的解集是x<2,则一次函数y=+b的图象一定经过 3/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 象限. 11.(2026江苏常州二模)将直线y=-5x+3向下平移a个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限， 则a的值可以是 (写出一个即可). (2026江苏无锡二模)已知一次函数y= 12. 8x-m（m为常数且m≠0)的图像经过定点p'与y轴交 4 于点M,与一次函数)'=3x的图像交于点N.①点p坐标为一：②若。ON为等腰三角形，则m的 值为 13.(2026-江苏徐州二模)已知一次函数'=-3r+4 ,将其图像绕》轴上的 P(0,a)旋转180°，所得的 0,-2 图像经过 ,则a的值为 14.(2026江苏徐州·二模)若一次函数y=+b的图象如图所示，则关于x的不等式c-2b>0的解集 为 15.(2026江苏无锡二模)将直线y=c+2向下平移4个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、 第四象限，则k的值可以是 16.(2026江苏无锡二模)请写出一个函数的表达式，当x>2时，'随x增大而增大，且函数图像经过 (0,1) 2y)n（-1y3) 3x+力的图象上两点，则片与”的大小关 ,y=-3x+b y2 17.(2026江苏盐城·二模)若点 和 是一次函数 y2 系为： (填“>”， “”或“=”) 考点2 求一次函数解析式 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026江苏徐州·二模)如图是y关于x的函数图象，根据图象，下列说法中错误的是() 0Λ 6 A.该函数的最大值为6 B.当x≥3时，y随x的增大而减小 C.当x=4时，对应的函数值y=4 D.当x=2和x=5时，对应的函数值相等 19.(2026江苏南通二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=2.点D,E分别在边 AC,BC上，CD=1.连接BD,以BD,BE为边作oBDFE,连接AE,AF.当△AEF周长最小时，BE 的长为() B E D A.3 B.5 1 C.1 D. 20.(2026江苏苏州二模)如图。在平面直角坐标系中，经过1,0)、（很，0）的二次函数的图像交轴 y= 于点A,经过(-1,0)的一次函数少的图像交y轴于点B.若OA=OB,则函数的图像是() 5/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2026江苏宿迁二模)定文Aq为一次函数)=px+9的特征数，若点L4在待征数是Bm-2的 一次函数上，则m的值是 22.(2026·江苏连云港·二模)我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反 射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角.在平面直角坐标系中，放置一块平面镜OH(点H 在》轴上)，从点 A(5,0) 处发射的光线照射到平面镜的点B处，反射光线为BC,如图所示.若BC恰好经 过点(B6例 则点B的坐标为. 法线 B 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2026江苏南京·二模)某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x '2 (单位：元)的反比例函数，其图像如图所示.该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次 函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件.当该产 品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为元 y万件 40 x/元 24。(2026江苏常州：二模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=三 的图象交于1m,B(2-3》两点，与辅、)轴交于点C,D两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 2②)若点P是该反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的坐标. 25.(2026江苏苏州二模)在如图所示的平面直角坐标系中，矩形0ABC的边OA=4,OC=3,D是 AB的中点，过点D的反比例函数'=>0的图象与BC边交于点E,连接AB,DE,直线DE交y轴于 点F 7/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求k值和直线DE的函数表达式： (2)P为y轴上一点，△PDE的面积与△ADE的面积相等，请求出点P的坐标. 26,(2026江苏宿迁二模)如图，直线：=+9与过点4(60的直线5交于点C(m B (1)求m的值； (2)求直线的解析式. 。考点3 次函数与几何综合 27. (2026江苏连云港二模)若直线y=2x与x轴所夹锐角为&，则tana的值为 28.(2026江苏南通·二模)如图，在平面直角坐标系中，点 2,3) 处有一光源4，当光照射到坐标轴的时 候发生反射.在如图所示位置有一个光照感应器BC,端点B,C的坐标分别为 ,1),(5,2) 若光源4发出 的光，仅经过x轴上的点D反射后，恰好经过点C,则点D的横坐标为， 一；光源A发出的光照射 在y轴上，能让感应器BC接收到信号的区域长度为. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A2,3) ,C(5,2) B(5,1) 29 (2026江苏连云港二模)如图，在平面直角坐标系0中，直线=-+m(m40)分别交‘轴，”轴 于A,B两点，己知点 4,0). 点P为线段OB的中点，连接PA,PC,若∠CPA=45°，则m的值是 30.(2026江苏泰州二模)在平面直角坐标系x0y中，直线y2x+2分别交x轴、y轴于点4、B,动 点C,-m-2》在△40B的内部（不含边界），则”的取值范用是 31.(2026江苏南通二模)已知函数"=(-1)x+2-1与=k-, 当满足0≤x≤3时，两个函数的图 象存在2个公共点，则k满足的条件是 32.(2026江苏扬州二模)如图，直线y=- 2x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C是线段OB 的中点，点D是直线AB上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段OA上的动点，连接PC,PD,当 PC+PD值最小时，点P的坐标为 9/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C(0,4)K(2,0) 33.(2026·江苏连云港·二模)平面直角坐标系中， A为x轴上一动点，连接AC,将 AC绕A点顺时针旋转90°得到AB,当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为 2 B 34.(2026江苏南通二模)在平面直角坐标系中，抛物线'=ar+br-30经过-l,0)和0,3)两点，直线 y=x+ 与抛物线交于A,B两点，P是直线4B上方的抛物线上一动点，当△1BP AB 面积最大值时，点P的 横坐标为 35.(2026江苏南通二模)如图，已知射线4B与x轴和y轴分别交于点4(-3,0)和点B0,35)】 动点P 从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向右作匀速运动，过点P作PQ⊥AB于Q.设运动时间为t N(n,n-2) 秒，且第一象限内有点 0 N(n,n-2） APO I)当n=3时，若PQ恰好经过点N,求t的值； )连接BP,记△BP。 面积为 SBre,△ABP面积为 AABP O当Sr≤)S△BP时，求的取值范围； 1 ②当S03S%r时，记Q(a,b),若(a-n+b-n+2取得最小值时，求直线0N的解析式. 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9考点4 次函数的实际应用 36. (2026江苏无锡二模)如图是某地区2010年至2024年教育经费投入额y(单位：亿元)的折线图. 为了预测该地区2026年的教育经费投入额，建立了y与时间变量的两个一次函数模型.根据2010年、 2024年的数据（时间变量t的值依次为1,2，，15）建立模型①：y=10t+5,根据2018年、2024年的数据 (时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型②：y=3.51+130.5.分别利用这两个模型，计算该地区2026 年的教育经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是() 投入额小 160 140 13413814014214315015 120 100 80F 60 40 333945482259 20 201020112012201320142015201620172018201920202021202220232024年份 A.将t=16代入模型①计算 B.将t=17代入模型①计算 C.将t=8代入模型②计算 D.将t=9代入模型②计算 37.(2026江苏泰州·二模)某品牌纯电动汽车的电池容量(kw)与续航里程(km)近似满足一次函数 关系.已知当电池容量为4OkWh时，续航里程约为280km;当电池容量为8OkWh时，续航里程约为 560km,根据这些信息，下列说法正确的是() A.电池容量与续航里程成反比例关系 B.当电池容量为60kWh时，续航里程约为420km C.续航里程每增加lkm,电池容量约增加0.14kWh D.该函数图象一定经过原点 38.(2026江苏泰州·二模)物理课上，同学们用弹簧测力计悬挂钩码，记录了钩码质量x(kg)与弹簧伸 长长度y(cm)的对应数据如下表： 钩码质量x(kg)》 弹簧伸长y(cm》 0 根据上表，y与x之间的函数关系式为( A.y=x+3 B.y=2x+1 C.y=3x D.y=6x 39.(2026江苏泰州·二模)某商家以成本价每件28元购进某款衣服100件，如图为利润y与销售件数x 11/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的函数关系图.结合图象信息：商家至少需销售 件，才不会亏本（利润为负表示亏本）· /元 200--- 60 件 40. (2026江苏盐城·二模)已知弹簧长度y(厘米)与所挂重物的质量x(千克)的函数关系如图所示， 那么弹簧长度为9厘米时，所挂重物为千克. y(厘米) 7.5 6 2.5 x(千克) 41.(2026江苏连云港·二模)中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新 购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台.已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器 人每分钟分拣数量的1.5倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2 分钟， (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 (②)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣 机器人的概率； (3)求A型机器人每分钟分拣快递多少件？ (4)已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A,B两种型号 的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求， 求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 42.(2026江苏连云港·二模)某网店为了备货“618'电商节，积极进行网络直播销售.根据以下提供的 信息，该网店购进了甲、乙两种产品 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元： ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元： ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同， (1)从以上①②③中任选2个作为己知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格： (2)在(1)的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲 种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润. 43.(2026江苏苏州二模)如图，AC和BD是两条互相垂直的城市道路，两条道路相交于点O.甲、乙 两人分别从点B,A出发，分别去往D,C两地，AC=BD,甲、乙两人在行驶过程中保持各自的行驶速 度不变.甲上午8：07出发，在0处恰巧绿灯，上午8：32到达D地.乙上午8：00出发，在O处因红灯等待 1分钟后继续行驶，上午8：31到达C地.设甲的行驶速度为(m,min）,与点0的距离为”m,乙的行驶 速度为 2(m,/,min) 与点0的距离为片m 甲 B。 。D 乙A 根据以上信息，解决下列问题： )当s (2)已知A0=2000m,B0=1800m,C0=1000m ①求和的值： ②从上午8： 0开始计时，经过的时长记为分钟，那么在乙的行驶过程中，当=》时，求的值。 44.(2026江苏宿迁二模)端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子.己 知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52 元 (1)求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ (2)某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买.该快餐店计划购买 1 两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的3.请通过计算设计一种 购买方案，使所需费用最少 13134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 45.(2026江苏南京二模)如图，公路上有A,B,C三个汽车站，一辆汽车8：00从离A站10km的P地 出发，向C站匀速行驶，15min后离A站30km A P B (I)设出发h后，汽车离A站km,求y与x之间的函数表达式. (2)当汽车行驶到离A站250km的B站时，接到通知要在12：00前赶到离B站60km的C站.汽车按原速度 行驶，能否在规定时间前到达？说明理由. 46.(2026江苏徐州·二模)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量 y(W)与骑行里程 （km) 之间满足一次函数关系（如图）·当电池剩余能量降至100Wh时，电动摩托车 开始自动报警。 y/W-h 500 0 25/km (I)电池能量最多可充Wh: (2)该电动摩托车充满电后，骑行里程为多少时开始自动报警？ 47.(2026江苏南通二模)随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推 出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用y(单位：元)与游泳次数x(单位：次)之间的关系如图所 示 y/元个 100 60 068 刘次 (I)分别求甲、乙两种方案所需费用少（单位：元）与游泳次数七（单位：次）之间的函数关系式： (②)请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由 48.(2026·江苏宿迁·二模)2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛(WSBK)葡萄牙站SSP 组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 也瞬间点燃了国内消费市场的热情.某经销商计划购进A,B两种型号的机车进行销售.若购进1辆A型 机车，2辆B型机车，共需7万元：若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元. (I)求A,B两种型号机车的单价： (2)该经销商计划购进A,B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍. 若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最 大利润？最大利润是多少？ 49.(2026江苏淮安·二模)【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”， 某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调 试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m,+)1=M(+) 其中秤盘质量m克，重物质量“克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水 平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米。 【方案设计】设定 m,=10克，M=50克，1=2.5厘米，最大可称重物质量为100克，零刻线与末刻线的 距离定为50厘米.当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡. 杆称示意图 称纽 刻 刻 线 称砣 线 重物 称盘 (I)【任务一：确定a的值】秤钮与零刻度线的水平距离a= 厘米： (②)【任务二：确定刻线的位置】根据任务一，求y关于x的函数解析式： (3)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，则相邻刻线间的距离为 厘米： 4)【任务三：确定秤砣的实际质量】秤砣经过长时间的使用，因为种种原因（生锈脱落、磕碰等），秤砣 的重量变轻了，当秤盘放入重量x=170克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，求这块秤砣现在的重量为 多少克？ 50.(2026江苏盐城二模)受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、 15/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球.购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3 个足球共460元. (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个.购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使 购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 51.(2026江苏准安·二模)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的 时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长 度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶2小时，再立即减速以另一速度匀速行 驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为 90千米时.汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行驶的时间x(时)之间的函数图象如 图所示。 y(千米) 201 量6. 1 1ax(时) 12 6 (1)a的值为 1 ②)当2≤x≤a时，求y与，之间的函数关系式： (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.（此路段要求小型汽车行驶速度不得超 过120千米时) 52.(2026江苏无锡·二模)已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km,公园离家 1.8km.小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了l2min,之后匀速步行了12min到公园， 在公园停留25min后，再用l5min匀速跑步返回家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映 了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系， y/km 1.8 0.6 6 18 30 55 70 x/min 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/min 6 18 50 小华离家的距离km 0.6 ②填空：小华从公园返回家的速度为 km/min ③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式： (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园 的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为”，小华的妈妈离家的距离为”，当<” 时，求的 取值范围（直接写出结果即可）， 53.(2026江苏苏州·二模)甲、乙两货车分别从相距225m的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途 经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达 配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距 A地的距离'(km 与行驶时间仙)之间的函数图象，结合图象回答下列问题： y/km个 225 105 D 3.5 6 x/h (1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h,乙货车的速度是 km/h; y(km) (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离 与行驶时间 )之间的函数 解析式： (③)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等. 考点5 反比例函数的图象与性质 (2026江苏南适二模）如图。将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数y=的 3 54. 17134 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 图象.下列关于函数=一的说法中，正确的是(）. A.该函数图象交y轴于点(0,3) B.该函数图象关于点(0，)对称 C.该函数图象关于直线y=x-1对称 D.该函数图象上任取两点氏，(，），若0<<，则乃>为 55。(2026江苏泰州二模)已知点P(m,a),Q(n+3,b)在反比例函数y-的图象上，则下列说法正确的 是() A.当k>0,n>0时，0<a<b B.当k>0,-3<n<0时，a<0<b C.当k<0,n<-3时，b<a<0 D.当k<0,-3<n<0时，b<a<0 3 56.(2026江苏镇江二模)己知A(m-2,y),B(m,),C(m+1,y)三点在反比例函数y=一的图象上， 则下列判断正确的是() A.当m<-1时，0<⅓<<y 时， B.当1<m<0时，⅓<0<y<为 C.当0<m<2时，y<4<0<% D.当m>2时，为<%<%<0 2 57.(2026江苏徐州：二模)对于反比例函数少=x,下列结论正确的是（) A.点22)在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.当x>0时，y随x的增大而减小 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1-2m 58.(2026江苏盐城二模)如果反比例函数y=x的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，则 u的最小整数值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 9。〔2026T亦徐州二梗)两数)=人化≠0)和西激>三（20)的图象相安于AB两点，如果点A (-3,2) 的坐标是 那么点B的坐标是 60. (2026江苏盐城二模)己知直线y=mx与双曲线y=元的一个交点坐标为(-3,4)，则它们的另一个交 点坐标是 61.（2026江苏徐州二模)反比例函数y= x,当x>0时，y随x的增大而 (填“增大”或 “减小”) 62.(2026江苏徐州二模)在平面直角坐标系0中，点1(，）8(，.C(-2,3》均在面数 y=k≠0)的图象上，且x>5>0,则y—(填“>”“=”或“<”）· 、 63. (2026江苏连云港二模)反比例函数y=(k<0),当1≤≤3时，函数V的最大值和最小值之差 为3，则k= ②考点6 反比例函数K的几何意义 64. (2026江苏宿迁二模)如图，已知直线)=：+b与函数y=:>0)的图象交于第一象限内点4，与 x轴负半轴交于点B,过点A作AC上x轴于点C,点D为AB中点，线段CD交y轴于点E,连接BE.若 △BEC的面积为6，则m的值为() 19134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.8 C.10 D.12 轴，轴轴， AC⊥x y⊥x .ACIy轴， 点E到AC的距离等于OC的长， :点D为AB中点， .CD、ED分别是△ABC、△ABE的边AB上的中线， 65。(2026江苏宿迁二模)刻图，点4在反比例图数'-兰x>0的图象上，点B在反比例函数 y-子x<0)的图象上，B平行轴，连接0OB:若2<k<4,则△40B的面积可以是（） 7 A.1 B.2 D.2 66.(2026江苏无锡·二模)如图，点A、B分别在x轴、y轴上，点C是AO的中点，将△AB0沿AC的 垂直平分线翻折，得到ACDE,反比例函数y=x的图像经过点D,且SAc=l,则k的值是() 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D AC A.-48 B.-24 C.-16 D.-12 61.(2026江苏无锡二模)如图，点B、点C在反比例函数y(k>0x>0)的图象上，点A在x轴上， 连结AB交y轴于点E,延长BC交x轴于点D.己知点 (-2,0)BC:CD=1:2,AE=BE.若△ABC的 面积为10，则k的值为() YA D 40 75 120 、125 A. 7 B.7 C.7 D.7 68.(2026江苏无锡·二模)现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时， ,(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关系，它们的图象如图所示.平行于R轴的 电流 直线I分别交两图象于点A,B.过点A,B分别作R轴的垂线，垂足为C,D,则图中阴影部分的面积 表示的实际意义是() IA 12 R/2 A.经过用电器的电流的差值 21134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.两款蓄电池的电压的差值 C.当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D.当用电器的电阻相同时的电流的差值 69.(2026江苏苏州二模)如图，在平面直角坐标系中，∠A0B=90°，点A、B分别在反比例函数 y=3(x>0叭y=-4(x>0)的图像上，则m20B4的值是（） B √5 1 3 3 A.2 B.3 C.4 D.3 9 k 70.(2026江苏无锡二模)如图，双曲线y=x(x>0)经过矩形0ABC的顶点B.双曲线y=x(> O)交AB,BC于点E、F,且与矩形的对角线OB交于点D.连接EF,若OD:OB=2:3.则△BEF的面 积为() V C D E A. c. 25 B.2 D.3 6 71.(2026江苏连云港二模)如图，点4在反比例函数y=￥(x>0)的图像上，连接0A,过点O作 O1的套接，交反比例西数y=子(x<0)的餐于方B,连接AB:则m∠B10的值为一 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 4 72.(2026江苏盐城二模)如图，反比例函数y=经过矩形0CAB的边4B中点D,则矩形0CAB面积 为」 73. (2026江苏连云港·二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点B在第 一多限，矩形01BC的面积为18.对角线OB上有点D.点D在反比例证数y>0)上，若O0=2B0 则k的值为 VR B 74。(2026江苏苏州二模)如图，点4(3,4)在反比例函数y=的图像上，点B在反比例函数 y=”(n<0,x<0)的图像上，点C在x轴上，且四边形ABC0为菱形.将菱形ABC0沿y轴向上平移，使 点C落在反比例函数y=m =x的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为」 23134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B M A E 75.(2026江苏无锡二模)如图，A.B是双曲线y=上的两点，过A点作AC1x轴，交OB于D点， 垂足为C.若△ADO的面积为3，D为OB的中点，则k的值为 D 考点7 反比例函数与一次函数综合 76. (2026江苏南通二模）平面直角坐标系0中，直线=m与双曲线k>0)相交于九B两点， 以A为圆心，AB长为半径画弧，交过点B且平行于x轴的直线于点C,作CD垂直于x轴交双曲线于点D 若△BCD的面积为16，则k的值等于() A.6 B.8 C.12 D.16 7(2026江苏东州二模)如圆，直袋y=与反比例周数y兰(40)因象交于4,8两点，点4在第 一象限，点B在第三象限，直线y=x与y=-x+2交于点P,若BP=2AP,则k的值为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 171 78.(2026江苏南京二模)如图，一次函数y=c+b(k,b为常数，k≠0)的图象与反比例函数'=m为 常数， m≠0的图象交于点4和8，已知点4的坐标是（4，)，点8的坐标是2-2) 根据函数图象直接 写出关于x的不等式x+b>下的解集为 79.(2026江苏镇江二模)如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=x的图象交于AB两点. 已知点4的坐标为3,10），点B的坐标为m,2) (I)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式： (2)点C是双曲线第一象限内分支上的一点，且在点A上方，若△ABC的面积是△AOB面积的2倍，则点C 的坐标是_ 80,(2026江苏连云港二模)如图，一次函数=m+n的图象与反比例函数4-(x>0)的图象相交于 4a和B(4,1两 两点 25134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求一次函数和反比例函数的表达式： Q)过线段AB上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M,PM交反比例函数的图象于点Q, S.ro0=1 ,求P 点坐标 (2026江苏奏州二模)一次函数=心+b与反比例函数乃=x(k,b:m为常数，m≠0 1,4)B(-4,n) 象交于点 (1)求m、n的值； ②若点PP)在一次函数”的图象上，点(，9）在反比例函数”的图象上，9<0，请直接写出'的取值 范围. 82.(2026江苏盐城二模)如图，一次函数y=太x+b的图象与反比例函数y=车 的图象交于A(1,3): B3,m两点， k,kz,b 为常数. B (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 2)根据图象直接写出不等式kx+h< x的解集为_； (3)点P为x轴上一点，若△PAB的面积为2，求出点P的坐标 83.(2026江苏连云港二模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与反比例函数y=文的图象 交于A,B两点，其中点A、点B的横坐标分别是-4和3. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 )当x+b3 x时，自变量x的取值范围为一： (2)求出一次函数和反比例函数的表达式： (3)将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C,D两点，与两坐标轴分别相交于E,F两点，若 S.ABC=1 4,求直线CD的函数表达式. 84.(2026江苏徐州二模)如图，一次函数y=-2x+2的图象分别与x轴交于点A,与y轴交于点B, BC⊥y轴于点B,交反比例函数'=>0)的图象于点C,AC⊥AB于点A. OA (I)求点A,B的坐标及k的值： (②)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，点A,C的对应点分别为D,E.将点D向右平移个单位得到点F, 若点F恰好在该反比例函数图象上，求的值。 85.(2026江苏连云港二模)小红将一块含45°角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系 xOy中，已知三角板的直角顶点4恰好在反比例函数片=（c>0)的图象上，三角板的项点B在x轴上， 且B点坐标为 8,0) ，三角板的另一个顶点与原点O重合，线段4B所在直线的表达式为少=mx+n 27134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)则k= m= 1n= 仓当肛+n-冬≤0时。直接与出x的取值范周。 △OAB (3)把1 沿着轴向右平移“个单位，对应得到 △OAB, 当反比例函数的图象经过一边的中点时，请 直接写出a的值， 考点8 反比例函数与几何综合 86. (2026江苏无锡二模)如图，口ABCD的顶点A,B,C均在坐标轴上，CD与y轴交于点E, OC 1 RC2且S,若反此例函数经过点D.则k的值为( A.9 B.10 C.11 D.12 5 87.(2026江苏扬州二模)如图，反比例函数y=2:经过矩形0CAB的边4B中点D,则矩形0CAB的面 积为 B 88.(2026江苏无锡·二模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两条边分别与坐标轴平行，AB过原点 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O,已知点A,B在反比例函数y=的图象上，过点C作直线EF∥AB,与该反比例函数的图象相交于点 E,F.若AC=4,BC=8,则EF的长为一· YA E B 9,(2026江弥无锡二模)如图，在平面直角坐标系中，点4是反比例函数y x（x>0)的图像上一 点，过点A作ABLx轴于点B,过点B作BC∥AO交反比例函数图像于点C,过点C作CD⊥x轴于点D, AE 交直线AO于点E,则AO的值为 B D 90.(2026江苏常州二模)如图，在平面直角坐标系xO中，一次函数y=+b与反比例函数 y=”(x>0)的图像交于点A(2,6),B(m,3),与x轴交于点C (1)求反比例函数和一次函数的表达式： ②已知P为反比例函数y（c>0)图像上一点，且AP0的面积为12，求点P的坐标。 29134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 91.(2026江苏苏州二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=:+b的图象与反比例函数 x的图象相交于A(1,4),B(-4,n)两点. ()分别求一次函数及反比例函数的表达式： ②)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点卫，连接PA,PB,且满足。a=15 ,求点P的 坐标 考点9 反比例函数的实际应用 92. (2026江苏宿迁·二模)光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变.“光强”是表示光的强弱程度的物 理量，照射光越强，光强越大，光强用符号E表示，国际单位为坎德拉(Cd),实验（电路图为图①）测 U=6V,R=172 得光敏电阻的阻值R与光强E之间的关系如图②所示，若 ,下列说法错误的是() R/QA 18 15 3 6 3 123456E/cd 图① 图② 信息框1.欧姆定 律：导体中的电流， 跟导体两端的电压成 正比，跟导体的电阻 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 成反比. 2.串联电路中，电路 的总电阻等于各电阻 的阻值之和. A. 光强E越大，R越小 B.该图象为反比例函数图象 C.光强E越大，电路中的电流越大 D.当电流表显示0.3A时，光强E=4cd 3.(2026江苏宿迁·二模)当压力F(N)一定时，物体所受的压强p(Pa)与受力面积S(m)的函数 F 关系式为P-。(S0),这个函数的图象大致是() SA A B C D 94,（2026江苏南京二模)点P(小.Qk,)是反比例函数y= x图象上的两个点.当x<0<: 时， 4>0>2 则k的值可以是 一·（写出一个满足条件的k的值） 95.(2026江苏扬州·二模)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单 位：2)是如图所示的反比例函数关系.若想使电流不超过12A,则电阻R2. Rig 96。(2026江苏泰州二模)某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臀(m)与对应动力 31134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 FN) 的部分数据如下表： 动力臂 (m) 0.1 0.2 0.4 0.8 动力(N) 20 10 2.5 1=0.25m 观察表中数据发现， 与 的乘积始终为定值2.若该定值保持不变，当动力臂 时，所需的动力 F=N 97.(2026江苏扬州二模)如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“E”形 图所成的角叫做分辨视角8，视力值n与分辨视角日（分）的对应关系近似满足 n=(0.5≤0≤10)，当n≥1.0时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角0的范围是 98 (2026江苏连云港二模)某型号蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流I(单位： U A)与电阻R(单位：2)是反比例函数关系，即I=R,它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为 (V) IIA个 16 04 R/2 99.(2026江苏盐城·二模)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度近视镜片 的焦距为02米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是 100.(2026江苏连云港·二模)某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：m/s)与 所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，它的图象如图所示，求该玩具汽车的功率P, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 v/(m/s) 2 10 FN 101.(2026江苏苏州二模)小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜. 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“-2.75D”中的“ ”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“2.75D”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折 能力强弱的物理量，用Φ表示)，平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为y=100Φ 右眼 左眼 近视/远视 -2.75D -3.00D (SPH) g 30 阳 (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数。 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为5.00D的验光单是否匹配，他综 合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三)· 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y(度)与镜片焦距∫（米）成反比例.已知400度的近视眼镜镜片 的焦距为0.25米. 材料二：摘自物理八上教材P98页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延 长线相交于主轴上一点F,点F叫做凹透镜的虚焦点.凹透镜的光心O是主轴上一个特 殊的点，虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母∫表示. 33134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具 底座上，将它们的中心位置调节到高度一致.用一束平行于主光轴GE的光线射向镜 片，镜片光心为点O,在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑. G 发光物 镜片 光屏 过 (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度Φ关于镜片焦距∫的函数解析式. 3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径AB与光斑直径CD平行，GE⊥CD,测得AB=0.O6米， CD=0.15米，镜片光心O到光屏的距离OE为0.3米.结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这 张验光单匹配？并阐述理由， o E D 专题04一次函数与反比例函数（9大考点101题） 9大考点概览 考点01一次函数的图象和性质 考点02求一次函数解析式 考点03一次函数与几何综合 考点04一次函数的实际应用 考点05反比例函数的图象与性质 考点06反比例函数K的几何意义 考点07反比例函数与一次函数综合 考点08反比例函数与几何综合 考点09反比例函数的实际应用 1．（2026·江苏南京·二模）函数的图象经过一次图形变换后得到一个新的函数图象，若点在新函数的图象上，则该图形变换可以是（     ）一次函数的图象和性质 考点1 A．沿y轴向上平移1个单位长度 B．沿x轴向右平移2个单位长度 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】C 【分析】根据不同变换的规则得到新函数解析式，再验证点是否满足解析式即可． 【详解】解：A、沿轴向上平移个单位，根据平移“上加下减”规则，新函数为，将代入得，故A错误； B、沿轴向右平移个单位，根据平移“左加右减”规则，新函数为，将代入得，故B错误； C、关于轴对称，对称变换后满足，整理得，将代入得，符合点在新函数图像上，故C正确； D、关于轴对称，对称变换后满足，将代入得，故D错误． 2．（2026·江苏徐州·二模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（     ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】先判断直线经过的象限，再由直线与直线必相交，即可判断交点的位置． 【详解】解：直线中，，， ∴直线经过一、二、三象限，不经过第四象限 又∵ ∴两直线一定有且只有1个交点 ∵交点一定在已知直线上，而已知直线不经过第四象限， ∴交点一定不在第四象限． 3．（2026·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 4．（2026·江苏无锡·二模）我们知道，函数的图象可以由函数的图象向下平移一个单位长度得到．函数的图象可以由函数的图象经过下列哪个平移得到（     ） A．向右平移一个单位长度 B．向左平移一个单位长度 C．向上平移一个单位长度 D．向下平移一个单位长度 【答案】B 【分析】函数图象的平移规律，x轴方向平移遵循“左加右减”的规律，即对自变量进行变换，左移加，右移减，对比原函数和平移后函数的形式即可得出结论． 【详解】解：函数平移后为 ，符合向左平移1个单位长度的结果． 5．（2026·江苏南通·二模）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点，的坐标特征，结合反比例函数的性质，建立方程求出的值，进而确定的符号及图象所在的象限． 【详解】解：点，， ，， 若该函数为反比例函数，则， 又∵点在函数图象上， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴该反比例函数图象位于第二、四象限， 观察选项，A为一次函数图象，B为第一、三象限的双曲线，C为第二、四象限的双曲线，D为二次函数图象， ∴选项C符合题意． 6．（2026·江苏南京·二模）将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 7．（2026·江苏苏州·二模）已知点，在一次函数的图像上，则下列关于，大小关系的判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较两点横坐标大小，即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中， ∴该一次函数中，y随x的增大而增大， ∵点，，且， ∴对应函数值． 8．（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 9．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，若函数图象上任意两点，均满足．下列四个函数图象中， 所有正确的函数图象的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据二次函数、一次函数及反比例函数的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由①的函数图象可得一次函数的k＜0，则有y随x的增大而减小，当时，，所以，故不符合题意； 由②的函数图象可得一次函数的k＞0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意； 由③的函数图象可得二次函数的开口向上，对称轴为y轴，则有当x≤0时，y随x的增大而减小，当x≥0时，y随x的增大而增大，所以当，，则，当，，则，当时，则或，则或，故不符合题意； 由④的图象可得反比例函数的k＜0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意； ∴符合函数图象上任意两点，均满足的函数图象为②④； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2026·江苏泰州·二模）已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过______象限． 【答案】一、二、四 【分析】根据不等式的解集，判断的符号，推导得到的符号，再根据一次函数的性质判断函数图象经过的象限． 【详解】解：不等式的解集是， ，且当时，，即一次函数与轴交于点， 将代入得：， 整理得， ， ∴， 对于一次函数，，，根据一次函数的性质，其图象一定经过第一，第二，第四象限． 11．（2026·江苏常州·二模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】10（答案不唯一） 【详解】解：向下平移个单位长度后得到，此时随着的增大而减小，且不经过第一象限， 则当时，，解得． ∴的值可以是10 12．（2026·江苏无锡·二模）已知一次函数（为常数且）的图像经过定点，与轴交于点，与一次函数的图像交于点．①点坐标为______；②若为等腰三角形，则的值为______． 【答案】 ； 或或或 【分析】①求一次函数定点，将函数整理为关于的形式，令的系数为，即可得到定点坐标；②先求出点和点的坐标，再根据等腰三角形的定义，分、、三种情况分类讨论，计算得到符合条件的的值． 【详解】①整理一次函数，得， ， 当，即时，，与的取值无关， 定点的坐标为； ②求点坐标：一次函数与轴相交时，代入得， ，原点， 联立两个一次函数解析式求点坐标： ， ， 解得，将代入，得， ； 因为为等腰三角形，所以分三种情况讨论： 情况1：，的长度为，的长度为， ， 等式两边分别平方得：， ，两边除以得，即或，解得或，均符合条件； 情况2：，的长度为， ，化简，两边平方除以得，， 整理得：， 解得，解得，符合条件； 情况3：， 则，即， 化简得：， ，，代入得：， ， 解得，即，符合条件； 综上，的值为或或或． 13．（2026·江苏徐州·二模）已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意先求出原一次函数与轴的交点坐标，再结合旋转的性质，得到两个交点关于旋转中心对称，利用对称性质计算的值即可． 【详解】解：在一次函数中， 令，则， 即一次函数与轴交点为， ∵旋转后所得的图像经过点 ， ∴旋转后的函数与轴交点为， ∵一次函数的图像绕轴上一点旋转， ∴和关于点对称， ∴． 14．（2026·江苏徐州·二模）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式 的解集为______． 【答案】 【分析】将一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的一次函数图象的表达式为，再利用相似三角形的性质求出平移后函数图象与轴的交点坐标，最后结合函数图象解答即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的一次函数图象的表达式为，如图，设直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，与轴相交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的上方， ∴关于的不等式 的解集为． 15．（2026·江苏无锡·二模）将直线向下平移4个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先根据平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数图象经过的象限确定的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可； 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，根据平移规律可得平移后直线的解析式为 ，即， 平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ， 的值可以是（答案不唯一）． 16．（2026·江苏无锡·二模）请写出一个函数的表达式，当时，随增大而增大，且函数图像经过点：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一次函数表达式为，要求当时，y随x增大而增大，可得， 将点代入解析式得， ∴取，可得函数表达式为，满足所有条件（答案不唯一）． 17．（2026·江苏盐城·二模）若点和是一次函数的图象上两点，则与的大小关系为：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数增减性是关键． 根据一次函数解析式得到一次函数图象中随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数中，， ∴一次函数图象中随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： ． 18．（2026·江苏徐州·二模）如图是关于的函数图象，根据图象，下列说法中错误的是（     ）求一次函数解析式 考点2 A．该函数的最大值为6 B．当时，随的增大而减小 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知，该函数的最大值为6， 原说法正确，A选项错误； 由函数图象可知，当时，随的增大而减小， 原说法正确，B选项错误； 设下降段函数解析式为， 点和在函数图象上， ，解得：， 下降段函数解析式为， 当时，对应的函数值， 原说法错误，C选项正确； D、设上升段函数解析式为， 点在函数图象上， ，解得：， 上升段函数解析式为， 当时， 当时，， 当和时，对应的函数值相等， 原说法正确，D选项错误． 19．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，．点D，E分别在边上，．连接，以为边作，连接．当周长最小时，的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据题意得各点坐标：，，，，设，则．根据当最小，周长最小，写出​，取点和，作关于轴的对称点，连接，求出直线的解析式，令，解得，即得． 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据题意得各点坐标：，，，，设，则． ∵是平行四边形， ∴，， ∵周长， ∴当最小，周长最小， ∵,， ∴​的最小值， 相当于在轴上找一点，到点和的距离和最小． 作关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得， 即． 20．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过、的二次函数的图像交轴于点，经过的一次函数的图像交轴于点．若，则函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式，设，，设，把代入可求出，则，设，把，代入，可求出，则，进而求出，即可求解． 【详解】解：设，， ∵二次函数的图像经过、， ∴设， 把代入， 得， 解得， ∴ ∵经过的一次函数的图像经过，， 设， 则， 解得， ∴， ∴， 当时，；当时，，解得， 且，即， 故选：A． 21．（2026·江苏宿迁·二模）定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 22．（2026·江苏连云港·二模）我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点在轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点处，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作点关于法线的对称点，设的解析式为，则，，用待定系数法，即可求解． 【详解】解：作点关于法线的对称点， 设反射光线的解析式为，则点， 点是点关于法线的对称点， ， 恰好经过点，代入得： ，解得， ， 点． 23．（2026·江苏南京·二模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【详解】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 24．（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或． 【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为， 令，则； 令，则，， ， ，， ， ， ，解得， ∴当时，，当时，， 或． 25．（2026·江苏苏州·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，矩形的边，，是的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，直线交轴于点． (1)求值和直线的函数表达式； (2)为轴上一点，的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先根据题意得出，，，，再利用待定系数法，即可得出反比例函数解析式和直线的函数表达式； （2）先得出，再利用三角形的面积公式，得出的面积和的面积均为，设，得出，进一步得出的面积可表示为，最后得出，解答即可． 【详解】（1）解：矩形的边，， ，，． 是的中点， ， 将点代入得，， 解得，， 反比例函数解析式为， 当时，即，解得，， ． 设直线的函数表达式为， 将和代入得，， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：直线的函数表达式为， 当时，，即． 由题意可知，的面积为，且的面积与的面积相等， 的面积为． 设， ， 的面积可表示为， 即， 解得，或， 点的坐标为或． 26．（2026·江苏宿迁·二模）如图，直线：与过点的直线交于点． （1）求的值； （2）求直线的解析式． 【答案】（1）4；（2）． 【分析】（1）把点C（1，m）代入y=x+3即可求得； （2）根据待定系数法即可求得． 【详解】解：（1）∵点C（1，m）在一次函数y=x+3的图象上， ∴m=1+3=4； （2）设一次函数图象2相应的函数表达式为y=kx+b， 把点A（3，0），C（1，4）代入得 ， 解得 ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标等知识，难度适中． 27．（2026·江苏连云港·二模）若直线与x轴所夹锐角为，则的值为_______．一次函数与几何综合 考点3 【答案】2 【分析】在直线上任取一点，设出点的坐标，利用正比例函数解析式得到横纵坐标的数量关系，再根据锐角正切的定义计算即可得到结果． 【详解】解：设点是直线上任意一点，， 过点作轴，垂足为， 则， ． 28．（2026·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一光源，当光照射到坐标轴的时候发生反射．在如图所示位置有一个光照感应器，端点的坐标分别为．若光源发出的光，仅经过轴上的点反射后，恰好经过点，则点的横坐标为__________；光源发出的光照射在轴上，能让感应器接收到信号的区域长度为__________． 【答案】 【分析】如图：作点关于x轴的对称点，连接，利用待定系数法求得的解析式，令，即可求得点D的横坐标；如图：作点关于y轴的对称点，连接，反射光线所在直线即为，与y轴的交点分别为F、E，利用待定系数法求得的解析式，令，即可求得点E的纵坐标，即，同理可得：；再根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：如图：作点关于x轴的对称点，连接，反射光线所在直线即为．与x轴的交点即为点D， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴． 令，得，解得， ∴点D的横坐标为． 如图：作点关于y轴的对称点，连接，反射光线所在直线即为，与y轴的交点分别为F、E， 设直线的解析式， 则，解得：， ∴， 令，可得：，即点E的纵坐标为； ∴， 同理可得：， ∴， 即能让感应器接收到信号的区域长度为． 29．（2026·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点．点为线段的中点，连接，，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先根据直线解析式得到点、的坐标，由可知为等腰直角三角形，故；对的取值进行讨论，当时，点在轴负半轴，此时，不合题意，故；再构造辅助线，连接，得到，通过角度关系证明，最后利用相似三角形的对应边成比例列方程即可求得的值． 【详解】解：由可得，， ∴， ∴， 当时，点在轴负半轴，，不符合题意， ∴， 如图，作，连接，则， ， ∵，，点为线段的中点， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得． 30．（2026·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 【答案】 【分析】先求出直线与轴轴的交点坐标，再根据点在内部（不含边界）列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线， 令，得，解得，故， 令，得，故， ∵动点在内部（不含边界）， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 解不等式：移项得，即，系数化为得， ∴不等式组的解集为：， ∴的取值范围是． 31．（2026·江苏南通·二模）已知函数与，当满足时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是______． 【答案】 【分析】整理一次函数解析式可得其恒过定点，确定在上的图象，结合图象找出两个函数存在2个公共点的临界情况，计算得到k的取值范围即可． 【详解】解：整理函数得， 当时，，因此该一次函数恒过定点， 当时，可分段写为： ， 其图象为折线，端点坐标为，，， 当一次函数过点时，将点代入解析式得： ， 解得，此时两个函数仅有1个公共点，不符合要求， 当时，一次函数解析式为，根据函数图象可知，此时两个函数有2个公共点， 根据函数图象可知：当时，两个函数有2个公共点， 因此满足的条件是． 32．（2026·江苏扬州·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是线段的中点，点D是直线上的点，且点D的横坐标为2，点P为线段上的动点，连接，，当值最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，一次函数的应用，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时值最小，先求出，，从而可得，进而可得，求出直线的解析式为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 在中，当时，，即， 当时，，即， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴， 故答案为：． 33．（2026·江苏连云港·二模）平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为_________． 【答案】 【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，   ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ， ， ， 在和， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当点在原点时，如图所示，   ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ， ； 当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，      ，， ，， 将绕点顺时针旋转得到，， ，， ，， ， 在和， ， ， ，， ， 点在第四象限， ， ， ， ， 综上所述：当时，取到最小值，为，此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题． 34．（2026·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，直线与抛物线交于A，B两点，P是直线上方的抛物线上一动点，当的面积最大值时，点P的横坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意，先求出抛物线的解析式，然后求出A、B的坐标，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，求出PC的长度，利用二次函数的最值性质，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，把点和代入抛物线，则 ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得：，； ∴A、B两点的横坐标分别为：，2； 如图，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C， 设点P为（x，），则点C的坐标为（x，x+1）， ∴线段PC=， 点A、B的横坐标距离为：， ∴的面积为：， 整理得到：； ∴当时，的面积最大； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行分析． 35．（2026·江苏南通·二模）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右作匀速运动，过点作于．设运动时间为秒，且第一象限内有点． (1)当时，若恰好经过点，求的值； (2)连接，记面积为，面积为． ①当时，求的取值范围； ②当时，记，若取得最小值时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】此题考查一次函数的综合运用，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角函数，分别对两种可能的坐标分析求出点的坐标实现问题求解． （1）构造草图分析，由点和点，得出，得出在中，，，，进一步利用，，求得答案即可； （2）①当时，可得，按点在点下方时和当点在点上方时，探讨得出答案即可； ②当时，可得，按点在点下方时和当点在点上方时，探讨得出答案即可． 【详解】（1）解：当时，点， 过N点作轴于点H，如图， 由点和点， ， ， ． 在中，，， ， ． 即． （2）解：①当时，由于两个三角形同高，即有， 当点在点下方时，点为线段的中点，如图， ∵， ∴，即， 当点在点上方时，，如图， ∴，即， 当时，的取值范围是． ②当时，由于两个三角形同高，即有， ， 由代数式的特点，本质上求点到点的最小距离， 而点在直线上， 设此直线交轴于点，如图， 则， 点到直线的距离就是的最小值． 当点在点下方时，点为线段的三等分点，如图，过点作轴于点， ，， ， 点， 作直线于点，过点作轴，交轴于点，过点作直线平行于轴，交于点， 此时，，，， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，即， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为； 当点在点上方时，，如图， 同理可得， 作直线于点，过点作轴，交轴于点，过点作直线平行于轴，交于点， 此时，，，， 同理可得为等腰直角三角形， ，即， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 综上所示，直线的解析式为或． 36．（2026·江苏无锡·二模）如图是某地区年至年教育经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区年的教育经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据年、年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．分别利用这两个模型，计算该地区年的教育经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（     ）一次函数的实际应用 考点4 A．将代入模型①计算 B．将代入模型①计算 C．将代入模型②计算 D．将代入模型②计算 【答案】D 【分析】先确定两个模型中年对应的值：模型①以年为，得；模型②以年为，得，再结合折线图趋势，年后增长模式改变，模型②基于后期数据更贴合实际，因此应将代入模型②计算． 【详解】解：模型①：年对应， ∴年份对应的， ∴年对应， 但模型①是用年（最早）和年（最晚）的两端数据建立，没有贴合后期的增长趋势，预测不可靠； 对于模型②：年对应， ∴年份对应的， ∴年对应， 再看折线图的趋势：年之后教育经费投入的增长模式发生了变化， 模型①用了年的全部数据，包含了前期增长较慢的阶段，和后期增长模式不符； 模型②用了年的数据，更贴合后期的增长趋势， 所以用模型②预测年更可靠，需要将代入模型②计算． 37．（2026·江苏泰州·二模）某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 【答案】B 【分析】先根据题意设出一次函数解析式，代入已知两组对应值求出解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设续航里程为电池容量为的函数解析式为． 将，代入解析式得： ， 解得：， ∴函数解析式为 ， ∵ 函数是一次函数，不是反比例函数，∴ A错误． 当时，， ∴当电池容量为时，续航里程约为， ∴ B正确． 电池容量每增加，续航里程增加，行驶途中增加续航里程，电池容量不会增加，∴ C的说法错误． ∵ 题目说明电池容量与续航里程仅近似满足一次函数关系，给出的数值为近似值，无法确定函数一定经过原点，∴ D错误． 38．（2026·江苏泰州·二模）物理课上，同学们用弹簧测力计悬挂钩码，记录了钩码质量x（kg）与弹簧伸长长度y（cm）的对应数据如下表： 钩码质量x（kg） 0 1 2 3 4 弹簧伸长y（cm） 0 3 6 9 12 根据上表，y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从表格中发现：弹簧伸长长度y随钩码质量x的增大而增大， 因此x为自变量，y为函数；x每增加1，y增加3； 当时，． ． 39．（2026·江苏泰州·二模）某商家以成本价每件28元购进某款衣服100件，如图为利润y与销售件数x的函数关系图．结合图象信息：商家至少需销售________件，才不会亏本（利润为负表示亏本）． 【答案】56 【分析】依据题意，设利润与销售件数的关系式为，又图象过，结合保本成本是（元），则图象过，求出函数解析式，进而计算出当时，的值，即可得解． 【详解】解：设利润与销售件数的关系式为， 成本为：（元）， ∴图象过， 将，，代入得： ，解得． ∴利润与销售件数的关系式为， 当时，，解得． ∴商家至少需销售56件，才不会亏本． 40．（2026·江苏盐城·二模）已知弹簧长度（厘米）与所挂重物的质量（千克）的函数关系如图所示，那么弹簧长度为9厘米时，所挂重物为_____千克． 【答案】5 【分析】设该函数关系式为，利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：设该函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数关系式为， 当时，， 解得：， 即弹簧长度为9厘米时，所挂重物为5千克． 41．（2026·江苏连云港·二模）中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； (3)求型机器人每分钟分拣快递多少件？ (4)已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1) (2) (3)150件 (4)采购A型号机器人30台时所需费用最低，最低费用为130万元 【分析】（1）由题意可直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件，利用时间关系列方程，然后解分式方程即可； （4）设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元，总费用表示为，再确定的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：随机抽取一台机器人分拣快递，抽取到B型号分拣机器人的概率为； （2）解：画树状图： 共有20种等可能的结果，其中抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数为8； 因此抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率为：； （3）解：设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件， 列方程：， 解方程得：； 经检验，为原方程的解； 当时，； 答：A型机器人每分钟分拣快递150件． （4）解：设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元， 总费用表示为， 根据题意列不等式组：，且； 解得：，且为整数； 由于中，随的增大而增大， 因此当时，取得最小值，最小值为130． 答：采购A种型号的机器人30台时，所需费用最低，最低费用是130万元． 42．（2026·江苏连云港·二模）某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． (1)从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； (2)在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元． (2)当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元． 【分析】（1）从三个条件中任选两个，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到甲、乙两种产品每箱的价格，任意选两个条件所得结果一致； （2） 根据甲种产品数量的限制条件列出一元一次不等式，得到甲种产品数量的取值范围，再根据利润关系得到总利润关于甲种产品数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元． 若选择条件①②，根据题意得 解得 若选择条件①③，根据题意得 解得 若选择条件②③，根据题意得 解得 答：甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元． （2）设购进箱甲种产品，则购进 箱乙种产品，总利润为元． 根据题意得： 解得： 结合实际可知， 因此 ． 每箱甲种产品的利润为（元）， 每箱乙种产品的利润为（元） 因此总利润 随的增大而减小 当时，取得最大值，最大值为 （元） 答：当甲种产品数量为箱时，该店获总利润最大，最大利润为元． 43．（2026·江苏苏州·二模）如图，和是两条互相垂直的城市道路，两条道路相交于点．甲、乙两人分别从点，出发，分别去往，两地，，甲、乙两人在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．甲上午出发，在处恰巧绿灯，上午到达地．乙上午出发，在处因红灯等待1分钟后继续行驶，上午到达地．设甲的行驶速度为，与点的距离为；乙的行驶速度为，与点的距离为． 根据以上信息，解决下列问题： (1)________； (2)已知，，． ①求和的值； ②从上午开始计时，经过的时长记为分钟．那么在乙的行驶过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①，；②2或或27 【分析】（1）分别计算出甲乙行驶所用的时间，结合路程时间速度求解即可； （2）①根据，，可得的长度，由此可得的长度，再由时间求解速度即可； ②在同一坐标系下画出与，与的函数图象，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵甲上午出发，在处恰巧绿灯，上午到达地， ∴甲共用时，即， ∵乙上午出发，在处因红灯等待1分钟后继续行驶，上午到达地， ∴乙共用时，即， ∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，； ②根据题意作出与，与的函数图象，如图： 当时，与的函数关系式为； 设时的与的函数关系式为， 由图象可知，函数过点与点， 则有，解得， ∴； 同理可得时与的函数关系式为； 同理可得时与的函数关系式为； 同理可得时与的函数关系式为； 令，解得，满足的取值范围， 令，解得，满足的取值范围， 令，解得，满足的取值范围， 综上，当时，求的值为2或或27． 44．（2026·江苏宿迁·二模）端午节前夕，某超市销售“蜜枣”馅、“蛋黄”馅两种不同口味的粽子．已知销售8个“蜜枣”馅和6个“蛋黄”馅粽子共54元；销售4个“蜜枣”馅和8个“蛋黄”馅粽子共52元． (1)求每个“蜜枣”馅和“蛋黄”馅粽子售价各是多少元？ (2)某快餐店要订购一批粽子，因为数量较多，经与超市协商后统一按售价的八折购买．该快餐店计划购买两种口味的粽子共120个，且“蛋黄”馅粽子数量不少于“蜜枣”馅粽子数量的．请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元 (2)购买“蜜枣”馅粽子90个“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 【分析】（1）设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ，根据题意列不等式可确定m的取值范围，再得到，最后根据一次函数的增减性得到费用最小时的购买方案． 【详解】（1）解：设每个“蜜枣”馅粽子售价x元，每个“蛋黄”馅粽子售价y元， 根据题意得：， 解得． 答：每个“蜜枣”馅粽子售价3元，每个“蛋黄”馅粽子售价5元． （2）解：设购买“蜜枣”馅粽子m个，则购买“蛋黄”馅粽子个，所需总费用为w元 ， 由题意得， 解不等式得， 又∵， ∴， 统一按八折购买，总费用为： ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m取最大值90时，w取得最小值， 此时． 答：购买“蜜枣”馅粽子90个，“蛋黄”馅粽子30个时，所需费用最少． 45．（2026·江苏南京·二模）如图，公路上有A，B，C三个汽车站，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，后离A站． (1)设出发后，汽车离A站，求y与x之间的函数表达式． (2)当汽车行驶到离A站的B站时，接到通知要在前赶到离B站的C站．汽车按原速度行驶，能否在规定时间前到达？说明理由． 【答案】(1) (2)汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达，理由见解析 【分析】（1）先求出汽车的速度，再根据汽车离A站的距离出发时离A站的距离汽车小时行驶的路程，即可得出y与x之间的函数表达式； （2）先求出C站离A站的总距离，当时，求出，结合题意分析即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：汽车的速度为， ∵一辆汽车从离A站的P地出发，设出发后，汽车离A站， ∴； （2）解：汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达，理由如下： 由题意可得，C站离A站的总距离为， 当时，， 解得：， ∵， ∴小时小时分钟， ∴汽车出发，经过小时分钟后为， ∵， ∴汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达． 46．（2026·江苏徐州·二模）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间满足一次函数关系（如图）．当电池剩余能量降至时，电动摩托车开始自动报警． (1)电池能量最多可充_____； (2)该电动摩托车充满电后，骑行里程为多少时开始自动报警？ 【答案】(1)500， (2)． 【分析】（1）由图象可知，当骑行里程时，电池剩余能量即为满电状态； （2）电池剩余能量与骑行里程满足一次函数关系，用待定系数法求出解析式，再令求解． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 电池能量最多可充； （2）解：设与的函数关系式为， 图象过点， ， 图象过点， ， 解得， ， 当电池剩余能量降至时开始报警， 令，则， 解得， 骑行里程为时开始自动报警． 47．（2026·江苏南通·二模）随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的关系如图所示． (1)分别求甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式； (2)请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由． 【答案】(1)甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为，乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为 (2)当时，选择甲方案比较好；当时，甲与乙均可；当时，选择乙方案比较好； 理由： 令，则， 解得， 由图可知， 当时，选择甲； 当时，甲与乙均可； 当时，选择乙． 【详解】（1）解：由图可知：甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系分别为正比例函数、一次函数， ∴设甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为， ∵在函数图像上， ∴将代入，得 ， 解得， ∴， 设乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为， ∵和在函数图像上， ∴将和代入，得 ， 解得， ∴， 综上所述：甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为，乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为； （2）略． 48．（2026·江苏宿迁·二模）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆，解题过程见详解 (2)购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元，解题过程见详解 【分析】（1）根据已知条件列二元一次方程组求解即可； （2）结合第（1）问的结果，先建立总利润与机车数量的一次函数关系式，然后根据条件确定自变量的取值范围，再利用函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得    解得 答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆； （2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则 ． 购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ， ． 又为非负整数， 的最大值为33． ， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值， 此时，， 所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元． 【点睛】本题综合考查了利用一次函数、二元一次方程组以及不等式解决实际问题．能够结合已知条件建立恰当的数学模型是解题的关键． 49．（2026·江苏淮安·二模）【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务， 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】设定克，克，厘米，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡． (1)【任务一：确定的值】秤钮与零刻度线的水平距离________厘米； (2)【任务二：确定刻线的位置】根据任务一，求关于的函数解析式； (3)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，则相邻刻线间的距离为_______厘米； (4)【任务三：确定秤砣的实际质量】秤砣经过长时间的使用，因为种种原因（生锈脱落、磕碰等），秤砣的重量变轻了，当秤盘放入重量克的重物时，杆秤平衡时读数为190克，求这块秤砣现在的重量为多少克？ 【答案】(1) (2) (3) (4)这块秤砣现在的重量为克 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）将（1）中a的值和其余固定参数代入杠杆平衡公式求解即可； （3）分别把当，，，， ，，， ，，， 代入求解，以此即可求解； （4）把代入求出，然后把，，，，代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． （4）解：设这块秤砣现在的质量为克， 读数为190克时，对应的秤砣到零刻线的距离为， 把，，，，代入， 得， 解得， 答：这块秤砣现在的重量为45克． 50．（2026·江苏盐城·二模）受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元 (2)应购买34个篮球、66个足球 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 51．（2026·江苏淮安·二模）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)a的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)该辆汽车减速前超速了 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为90千米/时行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：； （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴； （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：（千米时）， ∵， ∴该辆汽车减速前超速了． 52．（2026·江苏无锡·二模）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 53．（2026·江苏苏州·二模）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30，40 (2)的函数解析式是 (3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 （3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 54．（2026·江苏南通·二模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）．反比例函数的图象与性质 考点5 A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 55．（2026·江苏泰州·二模）已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（     ） A．当，时， B．当，时， C．当，时， D．当，时， 【答案】B 【分析】先根据点在反比例函数图象上得到的表达式，再结合反比例函数的增减性和的范围，判断的符号和大小关系． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， 选项A：当，时，， ∴ ，即，A错误； 选项B：当，时，， ∴ ，，即，B正确； 选项C：当，时，， ∴ ，即，C错误； 选项D：当，时，， ∴ ，，即，D错误， 综上，答案为B． 56．（2026·江苏镇江·二模）已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的性质，当时，，且随增大而增大；当时，，且随增大而增大，通过分析各选项中的取值范围，判断三点、、的横坐标正负及对应值的大小关系． 【详解】A选项：当时，， 三点均在第二象限， 随着增大而增大， ， 故A选项错误； B选项：当时，，， 点、在第二象限，点在第四象限， ，， ， 故B选项正确； C选项：当时，，， 点在第二象限，点、在第四象限， ，， 故， 故C选项错误； D选项：当时，， 三点均在第四象限， ， 故D选项错误． 故选：B． 57．（2026·江苏徐州·二模）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 58．（2026·江苏盐城·二模）如果反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，则m的最小整数值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可得1-2m＜0，再解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大， ∴1-2m＜0， 解得，m＞． ∴m的最小整数值为1， 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了反比例函数图像的性质，根据函数图象的增减性判断k的值是解题的关键 . 59．（2026·江苏徐州·二模）函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 【答案】 【分析】两个函数的图象均关于原点中心对称，则两交点关于原点中心对称，再利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 两函数图象的交点、关于原点中心对称， 关于原点中心对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， 点的坐标为． 60．（2026·江苏盐城·二模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 61．（2026·江苏徐州·二模）反比例函数，当时，y随x的增大而_______．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】解：∵反比例函数，， ∴双曲线过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 故当时，y随x的增大而增大. 62．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，且0，则_____（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】先根据确定k的值，得出函数图像的增减性，即可求解． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 在每一象限内，随的增大而增大， ， ． 63．（2026·江苏连云港·二模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时， 当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3， ∴，解得． 64．（2026·江苏宿迁·二模）如图，已知直线与函数的图象交于第一象限内点A，与轴负半轴交于点B，过点A作轴于点C，点D为中点，线段交轴于点E，连接．若的面积为6，则的值为（     ）反比例函数K的几何意义 考点6 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据点是的中点，利用三角形中线平分三角形面积的性质，推导出，再根据反比例函数的几何意义及三角形面积公式求得的值. 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴点到的距离等于的长， ∵点为中点， ∴、分别是、的边上的中线， ∴，， ∴ 即， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设点的坐标为，则，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴. 65．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，平行x轴，连接，若，则的面积可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】，，将 的面积表示出来，建立面积与的函数关系，结合的取值范围即可求解． 【详解】∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵平行 轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ，只有符合题意． 66．（2026·江苏无锡·二模）如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 的垂直平分线交 轴于点 ，令 ，由点 是 的中点，得 ；由轴对称的性质，得 ，从而 ；由 ，得 ，设 ，则 ；由四边形 是矩形，得 ；由 ，得 ，代入 即可求出 ． 【详解】解：如图，设的垂直平分线交轴于点， 设，则， 点是的中点， ， 将沿的垂直平分线翻折得到， 由轴对称的性质，得， ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， ,且， ， ， ， 反比例函数的图像经过点， ， ． 67．（2026·江苏无锡·二模）如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 68．（2026·江苏无锡·二模）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【分析】根据反比例函数的几何意义，结合，得出，可得B正确，根据轴可得电流差为，可判断A错误；根据电流相同时，电阻的差值为，电阻相同时，电流的差值为，都不能用面积表示，可判断C、D错误；综上，即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， ∵平行于轴的直线分别交两图象于点，， ∴、两点的电流相等， ∴经过用电器的电流的差值为，故A选项错误，不符合题意， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积表示两款蓄电池的电压的差值，故B选项正确，符合题意， 当用电器的电流相同时，电阻的差值为，不能用面积表示，故C选项错误，不符合题意， 当用电器的电阻相同时，电流的差值为，不能用面积表示，故D选项错误，不符合题意． 69．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点A、B分别在反比例函数的图像上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知比例系数求特殊图形的面积，求角的正切值以及相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再证明，所以，整理得解得，故，即可作答． 【详解】解：分别过作轴，作轴，如图所示： ∵轴，轴， ∴ ∵点A、B分别在反比例函数的图像上， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 则， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∴在中，， 故选：A 70．（2026·江苏无锡·二模）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B．双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D．连接EF，若OD：OB＝2：3．则△BEF的面积为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m， n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝． 【详解】解：设D（2m，2n）， ∵OD：OB＝2：3， ∴A（3m，0），C（0，3n）， ∴B（3m，3n）， ∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B， ∴9＝3m•3n， ∴mn＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点D， ∴k＝4mn， ∴双曲线y＝（x＞0）， ∴E（3m，n），F（m，3n）， ∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m， ∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质、数形结合是解题的关键． 71．（2026·江苏连云港·二模）如图，点A在反比例函数（）的图像上，连接，过点O作的垂线，交反比例函数（）的图像于点B，连接，则的值为____． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为、，利用反比例函数比例系数的几何意义求出和的面积，证明 ，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为、， ∴， ∵点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， 在中， 72．（2026·江苏盐城·二模）如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，因为在反比例函数上，根据反比例函数性质可得．因为是矩形边的中点，所以矩形的，．根据矩形面积公式计算面积即可． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵在反比例函数上， ∴． ∵是矩形边的中点， ∴，． ∵矩形面积， ∴代入，得． 73．（2026·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，矩形的面积为18，对角线上有一点D，点D在反比例函数上，若，则k的值为_______． 【答案】8 【分析】先构造，得到，进一步得出它们的面积关系，求出后即可求出k． 【详解】解：过D点作轴于， ∵矩形中，轴， ∴与平行， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为18， ∴， ∴ 由于图象位于第一象限， ∴k的值为8． 74．（2026·江苏苏州·二模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，由菱形沿轴向上平移得到菱形，可得轴，，，，由点在反比例函数的图像上，可得，，，，，再由，得到，求出，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为． 【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则 ∵菱形沿轴向上平移得到菱形， ∴轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴平移前后两个菱形重叠部分的面积为， 故答案为：． 75．（2026·江苏无锡·二模）如图，A．B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于D点，垂足为C．若的面积为3，D为的中点，则k的值为__． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质．过点B作轴于点E，根据相似三角形的判定和性质求得，设，则，，，再由的面积为3，求出k的值即可得出结论． 【详解】解：过点B作轴于点E， ∵轴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴． 设，则，，， ∵的面积为3， ∴，即， 解得， 故答案是：8． 76．（2026·江苏南通·二模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，以为圆心，长为半径画弧，交过点且平行于轴的直线于点，作垂直于轴交双曲线于点．若的面积为16，则的值等于（     ）反比例函数与一次函数综合 考点7 A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题利用正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质，设然后用和表示出点、点、点的坐标，再利用直角三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：如图，作于点，设交y轴于点， 直线过原点，双曲线关于原点对称 交点关于原点对称 设 ，则 由题意得，轴， ∴点纵坐标与点纵坐标相同，且， ∴ ∴ 轴， 点横坐标为，又在双曲线上，得 轴，轴， ， 是直角三角形 计算得 ， ， ∴ 由题意 ， ， 解得． 77．（2026·江苏泰州·二模）如图，直线与反比例函数（）图象交于A，B两点，点A在第一象限，点B在第三象限，直线与交于点P，若，则k的值为__________． 【答案】9 【分析】先求解，可得，结合，可得，设，进一步求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数（）图象交于A，B两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴． 78．（2026·江苏南京·二模）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】结合函数图象，可以得到当在的左边或者在和之间时，满足不等式，求解即可． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ∴根据函数的图象得：关于的不等式的解集为或． 79．（2026·江苏镇江·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)点是双曲线第一象限内分支上的一点，且在点上方，若的面积是面积的2倍，则点的坐标是 ． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）设直线与y轴交于点D，作轴交于点E，先求出点D的坐标是，得到，设点C的坐标是，点E的坐标是，则，再根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得：， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ，解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：如图，设直线与y轴交于点D，作轴交于点E， 当时，， ∴点D的坐标是， ∴， ∴， 设点C的坐标是， ∴点E的横坐标是， ∴点E的坐标是， 则， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C的坐标是． 80．（2026·江苏连云港·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数的图象于点Q，，求P点坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)或 【分析】（1）先求出反比例函数解析式，再求出点A的坐标，然后利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点P的坐标为，则点，可得，根据，可得到关于b的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：设点P的坐标为， ∵轴， ∴点， ∴， ∵，， ∴， 解得：或3， ∴点P的坐标为或． 81．（2026·江苏泰州·二模）一次函数与反比例函数（，，为常数，）的图象交于点，． (1)求、的值； (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出的值，再求出点的坐标即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入 ，得 ，解得， ∴反比例函数的解析式为 ． 将点坐标代入， 得 ． （2）解：如图所示， 将点和点坐标代入，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为． 由得，， ∴点M坐标为． 由函数图象可知， 当时，一次函数和反比例函数的图象在轴的两侧，满足函数值之积小于零， ∴由得，． 82．（2026·江苏盐城·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式 的解集为 ； (3)点为轴上一点，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)点或 【分析】（1）利用点坐标确定反比例函数解析式，进而求出点坐标，再结合待定系数法求出一次函数解析式； （2）通过观察图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的区间，直接写出不等式的解集； （3）通过求出直线与轴的交点，将动点的坐标设为利用割补法表示出的面积并建立方程求解，从而确定点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数，得， 点的坐标为， 将点，代入之中得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如下图可知：或 （3）解：设直线与轴交于点，连接、，则点 设点 ∵ ∴ 解得：或 ∴点或． 83．（2026·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量x的取值范围为______； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求直线的函数表达式． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3)直线CD的表达式为 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 把代入，得， 直线CD的表达式为． 84．（2026·江苏徐州·二模）如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 85．（2026·江苏连云港·二模）小红将一块含角的三角板按照如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的直角顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点坐标为，三角板的另一个顶点与原点重合，线段所在直线的表达式为． (1)则________，________，________； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)把沿着轴向右平移个单位，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)16；；8 (2) (3)6或2 【分析】（1）过点A作于点C，根据等腰直角三角形的性质可得点，再利用待定系数法解答即可； （2）根据题意可得直线与反比例函数交于点，再观察图象即可求解； （3）根据平移的性质可得点，从而得到的中点坐标为，的中点坐标为，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点C， ∵点坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴点， 把点代入得：， 把点，代入得： ， 解得：； （2）解：由（1）得：，， 联立得：， 解得：， 即直线与反比例函数交于点， 观察图象得：当，即时，的取值范围为； （3）解：∵把沿着轴向右平移个单位，对应得到，点， ∴点， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 当反比例函数的图象经过点时，， 此时； 综上所述，a的值为6或2． 86．（2026·江苏无锡·二模）如图，的顶点A，B，C均在坐标轴上，与y轴交于点E，且，若反比例函数经过点D，则k的值为（     ）反比例函数与几何综合 考点8 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先由平行得到，再由，可得，设，分别表示出其他的边长从而得到点D的坐标代入函数解析式，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 由，即，得， 故， ∴， 因为且，且在轴上， ∴点， ∵， ∴点， ∵反比例函数经过点， 则：． 87．（2026·江苏扬州·二模）如图，反比例函数经过矩形的边中点D，则矩形的面积为_________． 【答案】5 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质得到和的长度，利用线段中点的性质求出的长，最后根据矩形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 四边形为矩形， ， ，， 点是边的中点， ， 矩形的面积为． 88．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，则，，结合点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，求出，则，，待定系数法求出反比例函数为，设直线的解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为， ∵的两条边分别与坐标轴平行，，， ∴，， ∵点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得，即， ∴反比例函数为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，可得， 解得：或， 设，，且，则， ∴， ∴． 89．（2026·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数（）的图像上一点，过点作轴于点，过点作交反比例函数图像于点，过点作轴于点，交直线于点，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点A的坐标为：，即有，设直线的解析式为：，用k、表示出，根据，可知将直线沿y轴向下平移个单位即可得到直线，即有直线的解析式为：， 联立直线的解析式和反比例函数的解析式，得到一个一元二次方程，解方程即可求解出，最后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为：， ∵点是反比例函数（）的图像上一点， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，即， ∵， ∴将直线沿y轴向下平移个单位即可得到直线， ∴直线的解析式为：， 即：， 联立：， 整理：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 90．（2026·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图像交于点，，与x轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知P为反比例函数图像上一点，且的面积为12，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用点坐标代入反比例函数求出，得到反比例函数解析式；再把点纵坐标代入反比例函数求出，得到点坐标；最后将、两点坐标代入一次函数，解方程组求出、，得到一次函数解析式； （2）先求出一次函数与轴交点的横坐标，得到长度；设反比例函数上点，利用三角形面积公式列方程求解，再求出对应纵坐标，得到点坐标． 【详解】（1）解：反比例函数过点， 将，代入解析式： ， 解得， 反比例函数表达式为； 点在反比例函数上，代入得： ， 解得， ， 一次函数过、，代入得： ， 解得，， 一次函数表达式为． （2）解：是一次函数与轴交点，轴上， 令：， 解得：， ，， 在上，设，则到轴距离为， 由，， 则， 解得， 将代入，， 点的坐标为． 91．（2026·江苏苏州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数及反比例函数的表达式； (2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把代入求出，即可求出反比例函数的表达式，把代入求出，把，代入即可求出一次函数的表达式； （2）过点P作轴，交于点H，设，则，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得：， ， 把，代入，得，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点P作轴，交于点H， 设，则， ， ， ，即， 解得：（舍去）， 点P的坐标为． 92．（2026·江苏宿迁·二模）光敏电阻的阻值随光照射的强弱而改变．“光强”是表示光的强弱程度的物理量，照射光越强，光强越大，光强用符号E表示，国际单位为坎德拉（）．实验（电路图为图①）测得光敏电阻的阻值R与光强E之间的关系如图②所示，若，下列说法错误的是（    ）反比例函数的实际应用 考点9 信息框1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A．光强E越大，R越小 B．该图象为反比例函数图象 C．光强E越大，电路中的电流越大 D．当电流表显示时，光强 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握反比例函数的性质． 根据图象和已知条件确定光敏电阻的阻值R与光强E成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：A、由图象可知，光强E越大，R越小，故A选项说法正确，不符合题意； B、该图象为反比例函数图象，故B选项说法正确，不符合题意； C、光强E越大，R越小，电路中的总阻值越小，则电路中的电流越大，故C选项说法正确，不符合题意； D、当电流表显示时，电路中的电流， 电路中的总电阻为， ，由图象可知，此时，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 93．（2026·江苏宿迁·二模）当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 94．（2026·江苏南京·二模）点，是反比例函数图象上的两个点．当时，，则k的值可以是_______．（写出一个满足条件的k的值） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据已知点的横纵坐标的符号关系，判断反比例函数图象所在象限，再利用反比例函数的性质得到的取值范围，进而得到的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象位于第二、四象限， 根据反比例函数的性质可得， 解得， 故取，符合要求（答案不唯一，满足即可）． 95．（2026·江苏扬州·二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是如图所示的反比例函数关系．若想使电流不超过，则电阻R____Ω． 【答案】 【分析】先设出电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解，最后根据电流不超过，结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 将代入得，， ∴， ∵电流不超过， ∴电阻． 96．（2026·江苏泰州·二模）某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 【答案】8 【分析】根据，代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴当时，． 97．（2026·江苏扬州·二模）如图为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清视力表最小“”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足 ，当时，属于正常视力，则正常视力对应的分辨视角的范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质可知随的增大而减小，再利用时，求出的取值范围，结合求的范围． 【详解】， 在自变量的取值范围中，随的增大而减小， 时，， ， ． 98．（2026·江苏连云港·二模）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为_________（V）． 【答案】64 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为，其中U为电压，再把代入可得U的值． 【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为， ∵过， ∴（V）， 故答案为：64． 99．（2026·江苏盐城·二模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是________． 【答案】y= 【详解】由题意可设：， ∵当时，， ∴， ∴与间的函数关系式为：. 100．（2026·江苏连云港·二模）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，求该玩具汽车的功率． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再结合图象上的已知点坐标求出解析式，最后结合物理功率公式求出定值功率． 【详解】解： 由题意，行驶速度与所受阻力是反比例函数关系， 因此设函数解析式为：， 由图象可知，当时，， 将其代入解析式：， 解得：， 物理中，功率公式为， 结合反比例函数关系，可得：， 因此该玩具汽车的功率． 101．（2026·江苏苏州·二模）小普同学在物理课上学习光的折射知识后，知道了近视眼镜的镜片是凹透镜． 【生活观察】生活中配眼镜时需要先验光，如图是店家提供的验光单的一部分，其中“”中的“”表示该镜片为近视眼镜的镜片，“”表示该镜片的透镜焦度是2.75（焦度是表示透镜对光线偏折能力强弱的物理量，用Φ表示），平时说的眼镜镜片的度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为． (1)根据上图验光单的一部分，直接写出右眼和左眼眼镜镜片的度数． 【问题解决】小普同学为了验证一副近视眼镜和一张标记左眼、右眼均为的验光单是否匹配，他综合数学与物理所学的知识（见材料一、二），设计了一个验证实验（见材料三）． 材料一：摘自数学八上教材P79页 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距f（米）成反比例．已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米． 材料二：摘自物理八上教材页 如图所示，平行于主轴的光通过凹透镜后，会向远离主轴的方向偏折，这些光的反向延长线相交于主轴上一点F，点F叫做凹透镜的虚焦点．凹透镜的光心O是主轴上一个特殊的点．虚焦点F到光心O的距离叫做凹透镜的焦距，用字母f表示． 材料三：把这副近视眼镜的镜片看作一个圆，如图，把发光物、镜片和光屏放置在光具底座上，将它们的中心位置调节到高度一致．用一束平行于主光轴GE的光线射向镜片，镜片光心为点O，在镜片另一侧的光屏上形成了一个圆形光斑． (2)根据材料一，求近视眼镜镜片的透镜焦度关于镜片焦距f的函数解析式． (3)根据材料三抽象出数学模型（如图），镜片直径与光斑直径平行，，测得米，米，镜片光心O到光屏的距离为0.3米．结合材料二，请判断这副近视眼镜的度数是否与这张验光单匹配？并阐述理由． 【答案】(1)右眼度数为度，左眼度数为度； (2) (3)这副眼镜与验光单匹配，理由见解析 【分析】（1）根据度数y关于透镜焦度Φ的函数解析式为，分别代入数据计算即可； （2）设， 把，代入，求得，再根据，代入计算即可； （3）延长交于点，由题意，得点是的中点，证明点在上，设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距，证明，推出，求出米，由（2）的结论，代入计算即可解答． 【详解】（1）解：右眼焦度，则（度）； 左眼焦度 ，则（度）； 答：右眼度数为度，左眼度数为度； （2）解：∵近视眼镜度数与焦距成反比例， 设， 把，代入得：， 解得， 因此​， 又∵，代入得​， 化简得：； （3）解：这副眼镜与验光单匹配，理由如下： 如图，延长交于点， 由题意，得点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴点在上， 设凹透镜虚焦点到光心的距离为焦距， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得米， 由（2）的结论， 解得， ∵是近视镜片，焦度为， ∴和验光单标记一致，因此匹配． / 学科网（北京）股份有限公司 $