专题03 方程与不等式（9大考点89题）（江苏专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦方程与不等式9大考点，89题融合《增删算法统宗》古算诗、新能源汽车充电等古今情境，适配江苏二模分层备考 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约30题|含一元一次方程应用、根与系数关系等|古算诗改编题（如分鹿问题）、创新定义（如“方程”）| |解答题|约59题|覆盖方程组解法、不等式组应用等|现代情境题（如环保树苗购买、充电时间计算）、跨学科融合（如物理密度问题）|

专题03 方程与不等式（9大考点89题） 9大考点概览 考点01一元一次方程的解法及实际应用 考点02二元一次方程组的解法 考点03二元一次方程组的实际问题 考点04一元二次方程的解法、判别式、根与系数关系 考点05一元二次方程的应用 考点06解分式方程 考点07分式方程的应用 考点08不等式的性质 考点09不等式（组）的解法及应用 1．（2026·江苏盐城·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ）一元一次方程的解法及实际应用 考点1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用鹿的总数量不变，根据两种分鹿情况分别表示出鹿的总数，列出等式即可求解． 【详解】解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 2．（2026·江苏连云港·二模）牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用牧童总人数不变的等量关系，分别根据两种分杏情况表示出总人数，即可列出正确方程． 【详解】解：设杏有个，两种分法的牧童总人数相等． ∵第一种分法中，2人一组，每组5个杏，少10个杏， ∴满足分组共需要个杏，组数为，总人数为． ∵第二种分法中，4人一组，每组8个杏，多2个杏， ∴实际分掉个杏，组数为，总人数为． ∵总人数相等，因此可得方程． 3．（2026·江苏徐州·二模）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设清酒斗，根据清酒、醑酒分别消耗的谷子总量等于持有的30斗谷子来列方程． 【详解】∵设清酒斗，共换得5斗酒， ∴醑酒的数量为斗， ∵一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，持粟30斗， ∴斗清酒花费斗谷子，斗醑酒花费斗谷子， ∴可列方程为， 故选：A． 4．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 5．（2026·江苏宿迁·二模）点在轴上，则_________． 【答案】1 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上所有点的横坐标为0，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴ 解得． 6．（2026·江苏苏州·二模）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 7．（2026·江苏宿迁·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________． 【答案】2 【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a． 【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量 第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1 第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4 ∵f=4 ∵对角线上6+c+f=15 ∴6+4+c=15，得到c=5 ∵c=5 另外一条对角线上8+c+a=15 ∴8+5+a=15，得到a=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键． 8．（2026·江苏南京·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 9．（2026·江苏南京·二模）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，解题的关键是将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后对所得的解进行检验，看是否会使原方程的分母为零． 【详解】解： 化简表达式得： 等式两边同时乘得： 化简得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， 所以． 10．（2026·江苏连云港·二模）为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元． (1)求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元 (2)购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元 【分析】（1）设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元，根据“购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元”列出一元一次方程求解； （2）设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，根据“购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这批树苗的费用为元，用含的代数式表示出，再根据一次函数的性质求最小值． 【详解】（1）解：设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元； （2）解：设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株， ， 解得：， 设购买这批树苗的费用为元，由题意得： ， ， 随的增大而减小， 当时，． 答：购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元． 11．（2026·江苏无锡·二模） 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，．    素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： (1)根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 (2)小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时 【分析】（1）观察图像，确定，，，再用待定系数法可得答案；（2）设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时，先结合图像确定分别使用快速充电桩充电的速度及使用慢速充电桩充电的速度，再根据“恰好用小时完成充电”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知：，，， 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 即关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时， 由图像知：使用快速充电桩充电的速度为：；使用慢速充电桩充电的速度为：， 依题意，得：， 解得：， ∴， 答：小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时． 12．（2026·江苏连云港·二模）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：， 综上所述，，． （2）解：， ， 的立方根为3． 13．（2026·江苏无锡·二模）2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州VS泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐．其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示）． 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 克 蛋白质 克 碳水化合物 克 钙 116毫克 (1)设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为 克，牛奶中所含的蛋白质为 克； (2)请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ (3)为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A，B两套午餐： 套餐 主食（克） 肉类（克） 水果（克） 其它（克） A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A，B两种套餐均要选择．如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克，那么运动员在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按7天计算） 【答案】(1)，6 (2)该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克 (3)共有3种选择方案，方案1：选择套餐4天，B套餐3天；方案2：选择套餐5天，B套餐2天；方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据每100克粮谷类及牛奶中蛋白质的含量，结合该份早餐中粮谷类食品及牛奶的质量，即可求出粮谷类食品及牛奶中所含的蛋白质的质量； （2）设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克，根据“400克早餐食品中，蛋白质总含量为”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天，根据“在一周里，午餐主食摄入总量不超过1500克”，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，结合y，均为正整数，即可得出各选择方案． 【详解】（1）解：根据题意得：粮谷类食品中所含的蛋白质为（克）； 牛奶中所含的蛋白质为（克）． 故答案为：，6； （2）解：设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为x克，则牛奶的质量为克， 根据题意得：， 解得：， ∴（克）． 答：该营养早餐中，粮谷类食品的质量为250克，牛奶的质量为100克； （3）解：设运动员在一周里可以选择A套餐y天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， 又∵y，均为正整数， ∴y可以为4，5，6， ∴共有3种选择方案， 方案1：选择套餐4天，B套餐3天； 方案2：选择套餐5天，B套餐2天； 方案3：选择套餐6天，B套餐1天． 14．（2026·江苏盐城·二模）解方程组和不等式组：二元一次方程组的解法 考点2 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组： （1）加减法解方程组即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 15．（2026·江苏盐城·二模）（1）解方程组： （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）运用加消元法解二元一次方程； （2）先进行分式的乘法运算，再计算减法得到结果． 【详解】（1）解：，得 把代入，得 这个方程组的解为 （2）解：原式． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 16．（2026·江苏常州·二模）解方程组和不等式组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法进行计算；（2）运用不等式的性质，分别解出两个不等式的解集，最后求得不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ①+②得，③， 解得， 把代入①， 得， 解得． ∴原方程组的解为． （2）解：解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为． 17．（2026·江苏宿迁·二模）解方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得，， 将代入①，得， 解得，， ∴方程组的解是． （2）解：， ， ， ， ， ，． 18．（2026·江苏徐州·二模）解方程组及解不等式组： (1)解方程组 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的第二个方程乘以2，再用第一个方程减去所得方程，可求出y的值； （2）分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 得，③， 得，，解得， 将代入②得，， 原方程组的解为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 19．（2026·江苏无锡·二模）活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3人或4人，则分组方案一共有（     ）二元一次方程组的实际问题 考点3 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题是二元一次方程的实际应用问题，解题思路是根据总人数列出方程，结合分组数为非负整数，找出所有符合条件的分组方案即可． 【详解】解：设3人组有组，4人组有组，其中均为非负整数， 根据题意得 ， 变形得 ， 和互质， 必为的倍数， 又 ， ， 因此的可取非负整数值为，，， ，对应的值分别为，，， ，均符合要求， 分组方案一共有种，故选C． 20．（2026·江苏宿迁·二模）母亲节来临，小明与花店为妈妈准备节日礼物，已知康乃馨每支2元，百合每支3元，小明将20元钱全部用于购买这两种花（两种都买），小明的购买方案有（    ）种 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有3种购买方案． 【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合， 依题意，得：， ∴． ∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴小明有3种购买方案． 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 21．（2026·江苏盐城·二模）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______． 【答案】 【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题列出二元一次方程组，正确找出数量关系，列出二元一次方程组是解答本题的关键． 22．（2026·江苏宿迁·二模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14250元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的2倍，该景区如何购买费用最低？最低为多少元？ 【答案】(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需元和元 (2)①35套；②购买A型34套、B型16套时费用最低，最低费用为14200元 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据“购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元”列方程组求解即可； （2）①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，根据“购买A、B型器材的总费用不超过14250元”列不等式求解即可；②根据A型器材购买的数量不少于B型器材数量的2倍，结合①求出的范围，设总费用为元，列出一次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解∶ 设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元， 由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需元和元； （2）解∶① 设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套 ②由题意，，解得， ∴， 设总费用为元，则：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，元， 此时B型器材数量为套； 答：购买A型34套、B型16套时费用最低，最低费用为14200元． 23．（2026·江苏连云港·二模）近些年全国各地频发雾霾天气，给人们的身体健康带来了危害，某单位计划统一购买A，B两种型号的空气净化器，下面是该单位的采购员和售货员有如下对话： (1)求A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器台，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价（元）满足，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元? 【答案】(1)每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器销售单价为1500元 (2)销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元 【分析】（1）设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设销售完这批空气净化器能获取的利润是元，由题意得到关于的二次函数，根据“B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍”，求得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元， 根据题意，得： ， 解得， 每台型空气净化器销售单价为1000元，型空气净化器销售单价为1500元； （2）解：设销售完这批空气净化器能获取的利润是元，由题意得： ， ， ， 当时，随的增大而减小，且，取正整数， 当时，有最大值为82040元， 销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 24．（2026·江苏徐州·二模）2026年春节期间，我国国产电影《熊猫计划之部落奇遇记》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“熊猫”文旅纪念品．已知购进A款个，B款个，需花费元；购进A款个，B款个，需花费元． (1)求A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价元时，可售出个，售价每增加元，销售量将减少个，设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】(1)A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为元，元 (2)； 【分析】（1）通过建立二元一次方程组求解即可； （2）利用“利润单个利润销售量”列函数表达式，再通过二次函数性质结合自变量取值求最大值即可． 【详解】（1）解：设A款纪念品每个进价为元，B款纪念品每个进价为元， ， 解得； 答：A，B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为元，元； （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，在范围内， ∴当时，． 25．（2026·江苏淮安·二模）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 26．（2026·江苏南通·二模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【答案】(1)购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； (2)①A型器材最多购买套； ②共有三种购买方案， 具体为：A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套． 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设购买A型器材套，根据题意，列出不等式，求解即可；②根据题意，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得： ，解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元； （2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由题意可得： 解得， 答：A型器材最多购买套； ②设购买A型器材套，则购买B型器材为套， 由①可得： 根据题意可得：，解得 ∴ 又∵为正整数， ∴的取值为，即有三种购买方案， 具体为：A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套， A型器材为套，B型器材套． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组和不等式组． 27．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ）一元二次方程的解法、判别式、根与系数关系 考点4 A． B．4 C． D．12 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 28．（2026·江苏扬州·二模）关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式等于0，代入方程系数计算，整理即可得到所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 根的判别式， 整理得． 29．（2026·江苏连云港·二模）将抛物线向下平移m个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有1个公共点，则m的值是_______． 【答案】3 【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x轴只有1个公共点，可得一元二次方程根的判别式，据此列方程即可求解m的值． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度后，得到的抛物线解析式为， 平移后抛物线与轴有个公共点， ，即， 整理得，， 解得， 故答案为：． 30．（2026·江苏苏州·二模）设是方程的两个根，则______． 【答案】9 【分析】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据根与系数的关系得，根据方程解的定义得，即，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，，， ， ． 故答案为：9． 31．（2026·江苏扬州·二模）用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 32．（2026·江苏徐州·二模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得． 33．（2026·江苏徐州·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，由已知可得，，，，从而建立关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意可得， 解得． 34．（2026·江苏无锡·二模）若，是一元二次方程的两根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可直接求出两根之和．对于一元二次方程，两根之和满足． 【详解】，是一元二次方程的两根， ． 35．（2026·江苏徐州·二模）按要求完成下列各题： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）解：， 因式分解得， 或， 解得，； （2）解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 所以原不等式组的解集为. 36．（2026·江苏徐州·二模）解方程与不等式组： (1)； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 37．（2026·江苏徐州·二模）解方程（不等式组） (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 38．（2026·江苏无锡·二模）解方程、解不等式组： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：对于方程， 可得，，， 计算判别式：， 代入求根公式得：， 即，； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②， 因此不等式组的解集为． 39．（2026·江苏徐州·二模）解方程及不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 因式分解得 即或 解得， （2）解：解得： 解得： ∴ 40．（2026·江苏无锡·二模）计算： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2)－1≤x<2 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 41．（2026·江苏南京·二模）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）先分别化简乘方、绝对值、二次根式、负整数指数幂，再加减即可求解； （2）根据一元二次方程的因式分解——十字相乘的解法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， 解得：，． 42．（2026·江苏无锡·二模）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)， 【分析】（1）先计算绝对值，负整数指数幂，算术平方根，再把各项相加减即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， ∴，． 43．（2026·江苏南通·二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（  ）一元二次方程的应用 考点5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案． 【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2=1+44%， 解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础． 44．（2026·江苏南京·二模）某厂工业废气年排放量为万立方米．为改善城市环境质量，决定在两年内使废气年排放量减少到万立方米．设平均每年废气排放量减少的百分率为，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用，熟练掌握利用平均变化率公式 建立方程是解题的关键． 根据平均每年减少的百分率 ，依次表示出一年后和两年后的废气排放量，再根据两年后排放量为144万立方米这一条件，列出方程． 【详解】解：设平均每年废气排放量减少的百分率为x， 根据题意列方程得， 故答案为：． 45．（2026·江苏淮安·二模）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱形状为拋物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴上，轴上的点为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，与区域种植不同蔬菜，测得米． 【项目任务】 (1)任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） (3)任务三：现需要对区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到区域的蔬菜上，丙小组准备在处设立挡板，为了挡板使用材料最少，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约7.6米 (3)的最小值约米 【分析】任务一：因为抛物线开口方向和大小与相同，所以可设抛物线解析式为，再将点和点的坐标代入，求解未知系数即可得到解析式． 任务二：先设薄膜所在直线的解析式，根据薄膜与地面夹角为确定直线斜率；再根据“水与薄膜距离至少10厘米”的条件，结合点到直线的距离公式，建立抛物线点到直线的距离不等式，求解对应横坐标即可得到水平距离． 任务三：因为要使挡板材料最少即长度最小，所以是点到抛物线的最短距离，设抛物线上点的坐标，用两点距离公式表示的长度，结合抛物线解析式求表达式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线开口大小和方向与相同， ∴设解析式为． 由题意得喷水口， 代入，得​； 再将落水点代入，得， 解得． ∴抛物线解析式为：． （2）解：设薄膜与x轴交点为， ∵薄膜与地面夹角为， ∴薄膜所在直线与y轴交点为， 设薄膜所在直线解析式为， 则， 解得， ∴薄膜所在直线解析式为． 设抛物线上一点到直线的距离为，要求水到薄膜的垂直距离至少为，即， 过点E作轴，过点F作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， ∵x值唯一， ∴， 解得．​ 即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6米时满足要求． （3）解：设抛物线上点， ∵， ∴， ∵抛物线解析式， ∴整理得， 代入得：， ∵抛物线的范围为， ∴当时，最小为， 得（米）． ∴最小值约米． 46．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 47．（2026·江苏宿迁·二模）美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某县城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）． (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了__________公顷，在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到公顷，试求这两年（）绿地面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出年绿地变化折线图． 【答案】(1)3；2024 (2) (3)见解析 【分析】（1）用2023年的绿地面积减去2022年的绿地面积可得第一空的答案；求出2024年和2025年这两年的绿地面积的增加量，比较即可得到第二空的答案； （2）设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x，再根据2025年和2027年这两年的绿地面积建立方程求解即可； （3）根据（2）所求求出2026年的绿地面积，再画图即可． 【详解】（1）解：公顷， ∴2023年比2022年增加了3公顷； ∵公顷，公顷，且， ∴在2023年，2024年，2025年这三年中，绿地面积增加最多的是2024年； （2）解：设这两年（）绿地面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年（）绿地面积的年平均增长率为； （3）解：公顷， 画图如下： 48．（2026·江苏淮安·二模）2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米． 【分析】设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得，， 解得：（舍去）， 答：过道的宽应该设计米． 49．（2026·江苏连云港·二模）某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【答案】(1)活跃用户数每个月的平均增长率为 (2)预测2026年2月的活跃用户数为万 【分析】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． （1）根据增长率的列式方法，列出关于的一元二次方程求解即可； （2）利用计算即可求解． 【详解】（1）解：设活跃用户数每个月的平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：活跃用户数每个月的平均增长率为； （2）解：（万人）． 答：预测2026年2月的活跃用户数为万． 50．（2026·江苏苏州·二模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； (2)求矩形花圃面积的最大值； (3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 【答案】(1)； (2)300平方米 (3)18米或11米 【分析】（1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案； （3），，设，则，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 令， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为； （3）解：当时，，， 设，则，则： ，， ∴， ， ∵两种鲜切花的年收入之和达到28800元， ∴， 解得：，， 答：的长为或． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，求不等式组的解集，一元二次方程的应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 51．（2026·江苏宿迁·二模）方程的解为________．解分式方程 考点6 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后进行检验即可得到原方程的解． 【详解】解：， 去分母，两边同乘最简公分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 52．（2026·江苏新沂·二模）分式方程 的解为__________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程去分母后得整式方程，解整式方程得出未知数的值，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得，， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 53．（2026·江苏扬州·二模）若关于的方程的解为，则＝__________； 【答案】3 【详解】试题分析： 考点：由题意知，x=4代入原方程成立，即： 考点：方程的解的定义 点评：解答本题的关键是熟练掌握方程的解的定义：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值. 54．（2026·江苏连云港·二模）解方程． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得 整理右边得 移项合并同类项，得 解得 检验：当时， 因此是原方程的解． 55．（2026·江苏连云港·二模）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 56．（2026·江苏无锡·二模）我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ）分式方程的应用 考点7 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位1，，分别表示原效率和实际效率，根据实际效率比原效率提高的关系列方程即可. 【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，将总工作量看作单位. ∵ ， ∴ 原工作效率为 ， ∵ 工程提前半年，即提前6个月完成， ∴ 实际工作时间为 个月，实际工作效率为 . ∵ 工作效率提高，即实际工作效率是原工作效率的倍 ∴可列方程： . 57．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 58．（2026·江苏淮安·二模）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 59．（2026·江苏无锡·二模）6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元，根据“用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 60．（2026·江苏连云港·二模）与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，再根据善行者行800尺的时间与不善行者行600尺的时间相同列出方程即可． 【详解】由题意可得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 61．（2026·江苏无锡·二模）我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 62．（2026·江苏常州·二模）某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 【答案】原来每天生产健身器械50台 【分析】设原来每天生产健身器械x台，根据工作量÷工作效率=工作时间，建立方程． 【详解】解：设原来每天生产健身器械x台． 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：原来每天生产健身器械50台． 63．（2026·江苏徐州·二模）从徐州到某地可乘普通列车，路程是，也可乘坐高铁，路程是．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用．求高铁行驶的平均速度． 【答案】高铁行驶的平均速度是300千米/时． 【分析】设普通列车的平均速度是千米/时，根据题意列分式方程求解． 【详解】解：设普通列车的平均速度是千米/时， 则， 解得： 经检验，是原方程的解， ， 答：高铁行驶的平均速度是300千米/时． 64．（2026·江苏扬州·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间就比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达． 【答案】规定7天到达 【分析】设规定x天到达，根据题意列分式方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设规定x天到达， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解． 答：规定7天到达． 65．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 【详解】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 66．（2026·江苏连云港·二模）为迎接中考理化生实验操作考试，某校需采购一批试管和烧杯.已知每个烧杯的价格比每个试管贵2元，用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等． (1)求每个试管和每个烧杯的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买试管和烧杯共100个，且用于购买的总费用不超过150元．求最多能购买多少个烧杯? 【答案】(1)试管元个，烧杯元个 (2)最多购买个烧杯 【分析】（1）设每个试管价格为元，则每个烧杯价格为元，根据“用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等”列出分式方程，据此求解即可； （2）设购买烧杯个，则购买试管个，根据“用于购买的总费用不超过150元”列不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个试管价格为元，则每个烧杯价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 烧杯：（元）， 答：试管元/个，烧杯元/个； （2）解：设购买烧杯个，则购买试管个， 根据题意得， 解得， 答：最多购买个烧杯． 67．（2026·江苏徐州·二模）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 68．（2026·江苏无锡·二模）如果，则下列结论正确的是（     ）不等式的性质 考点8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：由于不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，则，故A正确； 选项B：由于不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，则，故B错误； 选项C：由于不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，故C错误； 选项D：由于，移项得，故D错误． 69．（2026·江苏无锡·二模）设，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，选项错误； ，选项错误； 不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，选项错误； 不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，选项正确． 70．（2026·江苏扬州·二模）下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的大小，再运用不等式的性质，得，最后结合选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则， 观察四个选项， 即在四个选项中，比小的数是． 71．（2026·江苏南京·二模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 72．（2026·江苏淮安·二模）已知二次函数：，经过点．若，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据二次函数经过x轴上两点和，可设交点式，将点代入得到a与m的关系式，再结合的范围，求解a的取值范围. 【详解】解：二次函数经过点和， 设二次函数的交点式为， 将点代入解析式得：， ， ， ， 不等式变形可得： 不等号两边均为正数，取倒数后不等号方向改变， ， 不等式两边同乘得：. 73．（2026·江苏南通·二模）若，且，，设，则t的取值范围为______． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 74．（2026·江苏南京·二模）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】法一：利用作差比较大小；法二：利用不等式变形比较；法三：作商比较大小；法四：构造函数，利用二次函数的性质比较大小；法五：利用几何图形判断． 【详解】法一： 解： ． ． ， ， ， ． 法二： 解：， 两边乘以，得． 两边乘以，得． ． 又， ． 法三： 解： ， ，，． 将两边除以，得． 将两边除以，得． 将两边乘以，． ． ． 法四： 解：构造函数，即， 它的图像如图所示． 可以看出，当时，随的增大而减小． 因此，当时，． 法五： 用图形说明，过程如下： ， ． 如图，以，为边长的正方形面积分别为，； 以，为边长，另一边为1的矩形面积分别为，． 所以拼成的矩形面积为与． ． 75．（2026·江苏无锡·二模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）不等式（组）的解法及应用 考点9 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 76．（2026·江苏扬州·二模）若关于的一元二次方程（m为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，则根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意得或，然后分别解两不等式，从而得到取值范围． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得， 解得， 解方程得，， 方程在的范围内有实数根， 或， 解得， 解得， 取值范围为． 故选：A． 77．（2026·江苏宿迁·二模）不等式组的解集是__________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定方法找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 解不等式②， 移项得， 合并同类项得， 则原不等式组的解集为． 78．（2026·江苏连云港·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为___． 【答案】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况求参数，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据关于的一元二次方程有实数根，得到一元二次方程根的判别式非负，代值解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， ， ， 解得， 故答案为：． 79．（2026·江苏泰州·二模）某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 【答案】(1)（所得结果进一取整，） (2)元 (3) 【分析】（1）先固定起步价2元，再用超出时间除以10，按“进一取整”算超时次数，乘以1.5元，合理写出费用表达式并注明取整规则． （2）先算出超出15分钟的时长，除以10后按规则进一取整，算出超时费，再加起步价2元，得到总费用． （3）先减去起步价算出超时费，再算出超时费对应的取整后次数，反推超出时间的不等式，进而解出总骑行时间的范围． 【详解】（1）解：前15分钟固定收费2元， 超出15分钟的时间为分钟， 超时费每10分钟1.5元，不足10分钟按10分钟进一计费， 应付费用（对所得结果进一取整，）， （2）， 超出时间：分钟， ，按规则进一取整为3， ； （3）解：， （对的结果进一取整）， （进一取整后）， 的值进一取整后为4， 即满足： ， ， ∴． 80．（2026·江苏连云港·二模）东海县是世界水晶之都，水晶制品享誉全球．某水晶商户主营高品质水晶手链，其进价为每条30元，根据市场规则，售价不得低于50元，且日销售量不低于20条．经调研：当售价为50元每条时，日销量为40条；售价每提高5元，日销量减少4条．设每条手链售价为元（），日销量为条，日销售利润为元． (1)若售价定为60元每条，求此时的日销量； (2)求日销售利润关于售价的函数表达式，并求出最大日销售利润及其对应售价； (3)小海同学说：“日销售额最大时，日销售利润也最大．”你同意吗？并说明理由． 【答案】(1)此时日销量为32条 (2)函数表达式为 ，最大日销售利润为980元，对应售价为65元 (3)不同意，理由如下： 设日销售额为，由题意得 ． 该二次函数二次项系数 ，开口向下，顶点横坐标为 因此当时，日销售额最大． 当时，日销售利润 ，此时日销售利润不是最大． 因此不同意小海同学的说法． 【分析】（1）根据售价变化量计算日销量减少量，即可得到所求日销量； （2）先推导日销量关于售价的关系式，再结合利润公式得到的函数表达式，根据二次函数性质和自变量取值范围求最大利润； （3）先求出日销售额的函数，找到日销售额最大时的售价，计算对应利润与最大利润比较，即可判断说法是否正确． 【详解】（1）解：由题意得，售价为50元时，日销量为40条，售价每提高5元，日销量减少4条． 当售价定为60元，售价比50元提高（元）． 减少的日销量为 （条）． 此时日销量为（条）． 答：此时的日销量为32条． （2）解：由题意，日销量 ． 根据题干要求，，且日销售量不低于20条， 因此 解得． 日销售利润等于单条利润乘以日销量， 因此 整理得 ． 该二次函数二次项系数 ，开口向下，在顶点处取得最大值． 顶点的横坐标为 ． 满足 ，符合条件． 将代入得 ． 因此最大日销售利润为980元，对应售价为65元． （3）略 81．（2026·江苏·二模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 整理，得，解得； 整理，得，解得； 所以不等式组的解集为． 82．（2026·江苏苏州·二模）解一元一次不等式组： 【答案】 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为：． 83．（2026·江苏连云港·二模）解不等式组 【答案】 【详解】解：解不等式得 解不等式得 因此原不等式组的解集为． 84．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，和为 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解有、、、，和为． 85．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】，图见解析 【分析】先求得每个不等式的解集，再找到它们的公共部分即为该不等式组的解集，然后表示在数轴上即可，注意是空心还是实心． 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集如图所示： 86．（2026·江苏无锡·二模）化简、解不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以原不等式组的解集为． 87．（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，按步骤配方后开方即可得到结果； （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】（1）解：解方程 移项得 配方得 即 开方得 解得． （2）解：解不等式组 解第一个不等式 移项得 系数化为1得 解第二个不等式 去分母得 去括号得 移项合并得 系数化为1得 所以不等式组的解集为． 88．（2026·江苏连云港·二模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 89．（2026·江苏连云港·二模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下：    【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 数轴略． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03方程与不等式(9大考点89题) ☆)大考点概览 考点01一元一次方程的解法及实际应用 考点02二元一次方程组的解法 考点03二元一次方程组的实际问题 考点04一元二次方程的解法、判别式、根与系数关系 考点05一元二次方程的应用 考点06解分式方程 考点07分式方程的应用 考点08不等式的性质 考点09不等式（组）的解法及应用 考点1 一元一次方程的解法及实际应用 1.(2026江苏盐城·二模)我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不 知人数不知鹿.每人六只多六只，每人七只少七只.请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？·”其大意是： “隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只：每人分7只，少7只.求人数和鹿 数.”若设有客x人，根据题意，可列方程为() A.6x+6=7x-7 B.6x-6=7x+7 C.6x+6=7x+7 D.6x-6=7x-7 2.(2026江苏连云港二模)牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.二人五个少十枚，四人八枚两个剩.问： 有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》），题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少 个杏.若2人一组，每组5个杏，则少10个杏：若4人一组，每组8个杏，则多2个杏.设杏有x个，则 所列方程正确的是() 02号4 A. 8 1/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+10 C. x-10×5=x+2x8 0x5=x=2x8 2 4 D. 2 4 3.(2026江苏徐州·二模)我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗 直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值0斗谷子，一斗醑 酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程 为() A 10x+3(5-x)=30 B,3x+10(5-x)=30 x+30-x=5 c.03 D.专96=5 4.(2026江苏苏州二模)定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“H-3方 程”，其中一个方程是另一个方程的“H-3方程”.请写出方程2x=-2的一个“H-3方程”： 5.(2026江苏宿迁二模)点1(m-l2m+4在'轴上，则m= 6.(2026江苏苏州二模)设×，无是关于x的方程-3-k-1=0的根，且=62-），则太的值 为」 7.(2026江苏宿迁·二模)幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”·把洛书用今天的数学符 号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字19分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及 两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为 6 83 8.(2026江苏南京·二模)我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不 知人数不知竹.每人五竿多三竿，每人七竿少五竿.”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不 知道有多少人和竹竿.每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿.设牧童有x人，则可列方程为一 9(206江苏有家二装)高222 10.(2026江苏连云港·二模)为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株.已知 乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元. ()求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为75%和85%，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使 这批树苗的成活率不低于83%且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用. 11.(2026江苏无锡二模) 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能 背 的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电 景 时间. 某公司用两种充电桩对目前电量为20%的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对 汽车充电时，其快充时的电量”、慢充时的电量”与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为 图2中的线段AB,AC」 素 y个 C 100% B 80% 60% 40% 20% A 1234567/小时 图1 图2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电.此 素 时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电.一段时间 材 后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用2 2 小时充满电. 问题解决： ①)根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求”、”关于 的函数解析式，并分别指出自 变量x的取值范围 (2)根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间 12.(2026江苏连云港二模)已知3a-5的平方根是±2，a-2b-7的立方根是-2. (1)求a,b的值. (2)求2ab+15的立方根 13.(2026江苏无锡二模)2025年6月14日是江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）扬州S泰州赛， 3/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐.其中400克早餐食品中，蛋白质总含量为10%，包括一份粮 谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量约为50克，蛋白质含量占12%；粮谷类食品和牛奶的 部分营养成分如表所示)· 每100克粮谷类食品营养成分表 能量 2132千焦 脂肪 30.8克 蛋白质 12.4克 碳水化合物 52.6克 钠 320毫克 每100克牛奶营养成分表 能量 256千焦 脂肪 3.8克 蛋白质 3.0克 碳水化合物 4.6克 钙 116毫克 (1)设该份早餐中粮谷类食品为150克，牛奶为200克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为克，牛奶中 所含的蛋白质为克： (②)请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？ 3)为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了A,B两套午餐： 套 肉类 主食（克） 水果（克） 其它（克） 餐 (克) A 210 95 120 125 B 220 70 140 90 为了膳食平衡，要求运动员在一周内A,B两种套餐均要选择.如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过 1500克，那么运动员在一周里可以选择A,B套餐各几天？写出所有的方案.（说明：一周按7天计算） 考点2 二元一次方程组的解法 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(2026江苏盐城二模)解方程组和不等式组： x-y=0 (1)3x+y=4 [3x-6<0 2x+y=3① 15.(2026江苏盐城二模)(1)解方程组：3x+y=5② a2 a-11 (2)计算：a2-2a+1aa-1. 16.(2026江苏常州二模)解方程组和不等式组： x-y=2 1)3x+y=2: 4x-3<6+x 17.(2026江苏宿迁·二模)解方程（组） x+y=5 (1)2x+3y=8: 2-4r-1=0 18.(2026江苏徐州二模)解方程组及解不等式组： 2x+3y=9 (1)解方程组x-2y=1 1-x≤2 3x-6 (2)解不等式组 -<x-1 12 个考点3 二元一次方程组的实际问题 5/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026江苏无锡二模)活动课上，学习委员把班级40名同学分成若干个学习小组，若每组只能是3 人或4人，则分组方案一共有() A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 20.(2026江苏宿迁·二模)母亲节来临，小明与花店为妈妈准备节日礼物，已知康乃馨每支2元，百合 每支3元，小明将20元钱全部用于购买这两种花（两种都买），小明的购买方案有()种 A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 21.(2026江苏盐城二模)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十， 乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得 2 到乙所有钱的)，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持 钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x,y的二元一次方程组是 22.(2026江苏宿迁·二模)某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材.购买1套A型 器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元. (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14250元. ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的2倍，该景区如何购买费用最 低？最低为多少元？ 23.(2026江苏连云港二模)近些年全国各地频发雾霾天气，给人们的身体健康带来了危害，某单位计 划统一购买A,B两种型号的空气净化器，下面是该单位的采购员和售货员有如下对话： 您好！我要买5台A型 …我明白了，您是对 不对啊，一共应该是 和10台B型空气净化 的，我刚才把A型空气 20000元 器，是不是一共17500元 净化器和B型空气净化 器的数量弄反了 (1)求A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价： (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净 化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台 的进价z(元)满足z=-10m+700,则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.(2026江苏徐州·二模)2026年春节期间，我国国产电影《熊猫计划之部落奇遇记》刷新了中国电影 票房的新纪录，商家推出A、B两款“熊猫”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300个，需花费 14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元. (I)求A,B两款“熊猫”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5 个，设每个A款纪念品售价(60≤a≤90 元，T表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W 关于a的函数表达式，并求出W的最大值. 25.(2026江苏准安·二模)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工 成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两 种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 26.(2026江苏南通二模)某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材.购买1套A型 器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元. (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元. ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方 案？试写出所有的购买方案， 考点4 一元二次方程的解法、判别式、根与系 27 (2026江苏宿迁二模)设，是方程+-3=0的两个根，则代数式-4+15 的值等于() A.-4 B.4 C.-12 D.12 28。(2026-江苏扬州二模)关于的方程”+(a+1x+1= 有两个相等的实数根，则a+2a的值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 29. （2026江苏连云港二模)将散物线”=-6+12 下平移m个单位长度.若平移后得到的抛物线 与x轴有1个公共点，则的值是 7/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(2026江苏苏州二模)设，是方程-3x+1=0的两个根，则 +3x2+Xx2= 31。(2026江苏扬州二模)用配方法解方程2-4+1=0时，将原方程转化为K+m=”的形式可得一， 32. (2026江苏徐州·二模)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个实数根，则的取值范围是 33.(2026江苏徐州二模)若关于x的一元二次方程x2+4x-2m=0有两个相等的实数根，则m= 34.(2026江苏无锡二模)若X,是一元二次方程2r-5x+1=0的两根，则+五 35.(2026江苏徐州二模)按要求完成下列各题： (1)解方程：x2-8x+12=0: 3x-5<0 (2)解不等式组： 4 36.(2026江苏徐州二模)解方程与不等式组： 43x(6-0=2(x-1） [2x+3>-1 x-1 (2)解不等式组： 37.(2026江苏徐州·二模)解方程（不等式组） 3x2-x-2=0 (1) 2x-1<3 38.(2026江苏无锡·二模)解方程、解不等式组： x2-5x+1=0 (1 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2(x-1)≥3x-5 x+3 (2) 2 <2x 39.(2026江苏徐州二模)解方程及不等式组 (1)解方程：x2-4x-5=0； [2(x-2)<x+3 x+1 (2)解不等式组： <2x 2 40. (2026江苏无锡二模)计算： (1)解方程：2x2-x-2=0: 2x-4>3(x-2) (2)解不等式组： 4r27 2 41.(2026江苏南京二模)计算、解方程： +4+-周 ②+4-5=0 42 .(2026江苏无锡二模)计算、解方程： -5 22r-5x+2=0 。考点5 一元二次方程的应用 43.(2026江苏南通·二模)某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44% 这两年平均每年绿地面积的增长率是() A.20% B.11% C.22% D.44% 44.(2026江苏南京·二模)某厂工业废气2025年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量，决定在 9/17 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两年内使废气年排放量减少到144万立方米.设平均每年废气排放量减少的百分率为x,则可列方程为 45.(2026江苏淮安·二模)【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九(7)班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享， 对蔬菜喷水管建立数学模型.菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜.如图1所示，观察喷头可顺、 逆时针往返喷洒。 Ay(m) (m) 4m) x(m) (m) x(m) 图1 图2 图3 图4 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA,从A点向外喷水，喷出 的水柱形状为抛物线，这些抛物线的开口方向和大小都与y=一2相同。以水平方向为x轴，点0为原点 建立平面直角坐标系，点A(喷水口)在y轴上，x轴上的点D为水流的最外落水点 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长， 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂.截面如图4，OE 与ED区域种植不同蔬菜，测得OE=2.5米， 【项目任务】 )任务一：甲小组测量得喷头的高Q1-! =8米，喷水口中心点0到水柱的最外落水点D水平距离为5.5米. 求出水柱所在抛物线的函数解析式. (2)任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水 口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到01米，参考数据： √2≈1.4、 ()任务三：现需要对OE区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到ED区域的蔬菜上，丙小组准备在E处设立 挡板EF,为了挡板使用材料最少，请直接写出EF的最小值. 46.(2026江苏无锡·二模)如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形 框框出3个数. 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 日一二 三四五六 1 2345678 9101112131415 16171819202122 23242526272829 3031 (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为_； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为 112.”小亮反驳道：“这种情况是不存在的.”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由。 47.(2026江苏宿迁·二模)美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.某县城区 近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）· 绿地面积（公顷） 60 56 51 48 0 20222023202420252026年份 (1)根据图中所提供的信息，填空：2023年比2022年增加了 公顷，在2023年，2024年，2025 年这三年中，绿地面积增加最多的是 年； (2)为满足城市发展的需要，计划到2027年使绿地总面积达到72.6公顷，试求这两年(2025~2027)绿地 面积的年平均增长率； (3)根据发展计划，在图中画出2025~2026年绿地变化折线图， 48.(2026江苏准安·二模)2026年江苏省足球联赛(“苏超”联赛)将于4月11日拉开战幕，首场比赛 由常州队主场迎战南通队.为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆 放凳子，供球迷观看.已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图）， 以更好地维持秩序.如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 11/17 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 49.(2026·江苏连云港·二模)某线上学习平台4pp在2025年11月初上线后，凭借其创新的VR学习体验 迅速走红，上线当月活跃用户为120万人.经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到 172.8万人.已知活跃用户数每个月的平均增长率相同. (1)求活跃用户数每个月的平均增长率. (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数. 50.(2026江苏苏州二模)张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3(3)进行变式探 究：如图，用长为6Om的护栏围成一块靠墙，中间用护栏EF隔开的矩形花圃ABCD,其中EF∥AB,且墙长 为30m」 30m E D (1)设AB=x(m) 矩形花圃A8CD的面积为(m) 则y关于x的函数关系式为 ,x的取值范围 为 (2)求矩形花圃ABCD面积的最大值： ()在(2)的情况下，若将矩形MBFE和矩形 FCD W 分别种植甲、乙两种鲜切花.甲种鲜切花的年收入 (m2) W=30S (单位：元)与种植面积 的函数关系式为 ；乙种鲜切花的年收入 2(单位：元)与种植 2(m) 2=-S+320S2 面积 的函数关系式为 若两种鲜切花的年收入之和达到2880元，求CF的长. 考点6 解分式方程 4.3 51 (2026江苏宿迁·二模)方程3x-1x-2的解为 3020 52 .(2026江苏新沂·二模)分式方程x=x+1的解为 53.（2026江苏扬州二模)若关于x的方程3十m一x2的解为x=4:则m x.2 十 尤1 54. (2026江苏连云港二模)解方程x-4x =二+1 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5-x+1=1 55.(2026江苏连云港·二模)解分式方程：x-22-x· 十 9考点7 分式方程的应用 56.(2026·江苏无锡二模)我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围， 地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通.为使工程提前半年完成，需将工 作效率提高25%.若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为() 1+25%1 1 A.xx-6 B.(1+25%)xx-6 11 =6 1 C.x(1+25%)x 16 D.(1+25%)xx 57.(2026江苏无锡二模)在物理学中，物质的密度P等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之 比，即P-份，已知A,B两个物体的密度之比为2：1，当物体A的质量是10g,物体B的质量是30g时。 物体B的体积比物体A的体积大26cm'.如果设物体A的体积是xcm',那么根据题意列方程为() A.2×100、300 B.2×100、300 xx-26 xx+26 C 100=2× 300 D. 100=2×300 x-26 x+26 58.(2026江苏淮安·二模)某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原 计划多25%，结果提前2天完成任务.设原计划每天生产x个零件，可列方程为() 300. 300 300 =2 300=2 A.x(1+25%)x B.(1+25%)xx 300300 300300 C. xx+25% =2 D.x+25%x 2 59.(2026·江苏无锡二模)6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初 中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴.目前有A,B两款相册比较合适， 其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数 量的2倍，求B款相册的单价.若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为() 13117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 1000-2×425 1000=2×425 x+3 B x x-3 1000=2×425 1000=2× 425 C.x-3 D.x+3 60.(2026江苏连云港·二模)与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不 善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上.设善行者每刻钟行x尺，则列方程为() 8001000 800600 A xx-60 B.x-60 x 800600 8001000 D. xx-60 x-60x 61.(2026江苏无锡·二模)我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长 1000里.若用慢马递送，送达时长比规定时长多1天：若用快马递送，送达时长比规定时长少3天.已知 快马的日行速度是慢马日行速度的2倍，设规定时间为x天，可列方程为 62.(2026江苏常州二模)某健身器械厂需生产360台健身器械.当生产150台后，接到通知，要求提 前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360 台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 63.(2026江苏徐州：二模)从徐州到某地可乘普通列车，路程是560km,也可乘坐高铁，路程是500km 已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h.求高 铁行驶的平均速度， 64.(2026:江苏扬州：二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为： 把一份文件用慢马送到900里(1里=500m)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需 的时间就比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定几天到达， 65.(2026江苏徐州·二模)某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分 可兑换公交优惠券等权益.已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦 每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步： 方式二：步行4200步. 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个. 求每获得1个碳积分需要步行多少步 66.(2026江苏连云港二模)为迎接中考理化生实验操作考试，某校需采购一批试管和烧杯.己知每个烧 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 杯的价格比每个试管贵2元，用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等. ()求每个试管和每个烧杯的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买试管和烧杯共100个，且用于购买的总费用不超过150元.求最多能购买多少个烧杯？ 67.(2026江苏徐州二模)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，己知甲款书签 5 价格是乙款书签价格的4倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求 这两款书签的单价. 考点8 不等式的性质 68.(2026江苏无锡·二模)如果a>b,则下列结论正确的是() A.a-1>b-1B.-a>-b c.222 D.a-b<0 69.(2026江苏无锡·二模)设a>b,则下列不等式正确的是() a b A.a+1<b+1B.a-2<b-2 C.-3a>-3b D.44 70.(2026T苏扬州二模)下列四个数中，比5小的数是《) A.1 B.0 c.-1 D.-2 71.(2026江苏南京·二模)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( b 2101主3→ A.ab0 B.a+b>0 C.a+3<b+3 D.-3a<-3b 72.(2026江苏准安二模)已知=次函数：”=ar+r+ca+0),经过点-00(m2）,若 0<m<2,则a的取值范围为一· 73.(2026江苏南通·二模)若6a=3b+12=2C,且b≥0，c≤9，设t=2a+b-c,则t的取值范围为 15117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 74.(2026江苏南京·二模)已知a<b<0,试比较a2-a与b2-b的大小. 9考点9 不等式（组）的解法及应用 75. (2026江苏无锡二模)若式子va-3 在实数范围内有意义，则“的取值范围是() A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤3 76.(2026江苏扬州二模)若关于x的一元二次方程-x2+2x-1=m(m为常数)在-2<x<2的范围内 有实数根，则m的取值范围是() A.-9<m≤0B.m≤0 C.-9<m<-1 D.-1≤m<0 -x≤1 77.(2026江苏宿迁·二模)不等式组x-1<2的解集是 78.(2026江苏连云港二模)关于x的一元二次方程2-4x-2k=0有实数根，则k的取值范围为一 79.(2026江苏泰州：二模)某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利.其收费标 准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）. 若小红骑行时间为1分钟>15)，请写出应付费用y(元)关于1的函数表达式. (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ 3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 80.(2026·江苏连云港·二模)东海县是世界水晶之都，水晶制品享誉全球.某水晶商户主营高品质水晶 手链，其进价为每条30元，根据市场规则，售价不得低于50元，且日销售量不低于20条.经调研：当售 价为50元每条时，日销量为40条；售价每提高5元，日销量减少4条.设每条手链售价为x元(x≥50)， 日销量为)条，日销售利润为w元. (1)若售价定为60元每条，求此时的日销量； (2)求日销售利润w关于售价x的函数表达式，并求出最大日销售利润w及其对应售价： (3)小海同学说：“日销售额最大时，日销售利润也最大.”你同意吗？并说明理由. 2(x+1)>x-2 81.(2026江苏二模)解不等式组： 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+2≥3 82.(2026江苏苏州二模)解一元一次不等式组：3(x-1)-7<-2x x-2≤-1 83.(2026江苏连云港·二模)解不等式组3x+1>x-5 2x+1≤3x+3 x+1 x 84.(2026江苏扬州二模)解不等式组： <二+1，并求出它的所有整数解的和. 26 2x+3≥-5 85.(2026江苏扬州二模)解不等式组： x-2<+ 4，并在数轴上表示其解集。 -4-3-2-101234→ 86.(2026江苏无锡·二模)化简、解不等式组： 1x-1 0x+1x2-1 x-1_x>-1 231 ②)2(x-3)>3(x-2) 87.(2026江苏无锡二模)解方程（不等式） 0r+2x-1=0 [1-2x≥-1 1+2x>x-1. ②)3 [2(x+1)>x-1 x+5 88.(2026江苏连云港二模)解不等式组： 2 2>3x x-1 89。(2026-江苏连云港二模)解不等式2<x+1,，并把解集在数轴上表示出来。 17117