（复习篇）专题02 因数与倍数的认识与特征【思维导图+知识梳理+十三大考点讲练+真题强化 共45题】-2026-2027学年苏教版数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

nullnull2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 思维导图+知识回顾+十三大考点讲练+真题强化 （共45题） 【解析版】 专题02 因数与倍数的认识与特征 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 考点一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·广东东莞·阶段检测）五育并举，体育为基。阳光小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数都至少是3人，共有几种排法？试着写一写。 【答案】6种；具体见详解 【思路引导】根据题意可知需要找总人数的因数，因此根据：求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数；1和它本身也是这个数的因数；先找到总人数的因数，再排除小于3的因数，将剩下因数两两相乘使它们的积等于总人数，据此即可解答。 【规范解答】48的因数有1，48，2，24，3，16，4，12，6，8； 48＝3×16，即排3行，每行16人； 48＝4×12，即排4行，每行12人； 48＝6×8，即排6行，每行8人。 48＝16×3，即排16行，每行3人； 48＝12×4，即排12行，每行4人； 48＝8×6，即排8行，每行6人。 答：共有6种排法。 【变式训练】（25-26五年级下·广西河池·期中）五（1）班的同学（少于50人）一起做数学游戏。学号是5的倍数的同学举右手，学号是10的倍数的同学举左手。亮亮说：“学号是10、20、30、40的同学，左手和右手都得举起来。”亮亮说得对吗？请说明理由。 ______________________________________________________ 【答案】对；理由见详解 【思路引导】个位上是0或5的数是5的倍数，整十的数即个位是0的数是10的倍数，所以个位上是0的数既是5的倍数，又是10的倍数；根据题意可知，学号10、20、30、40既是5的倍数，又是10的倍数，所以学号是10、20、30、40的同学，左手和右手都得举起来。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 亮亮说得对； 理由：因为10、20、30、40既是5的倍数，又是10的倍数。 考点二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸爸今年50岁，他过了几次“九”？ 【答案】9次 【思路引导】先分别找出50岁内的明九（末尾是9）和暗九（9的倍数）年龄，再去掉重复的9岁，最后把两类年龄的数量相加即可。 【规范解答】50里“明九”有：9、19、29、39、49（5个） “暗九”有：9、18、27、36、45（5个） 5＋5－1＝9（次） 答：他过了9次“九”。 【变式训练】（25-26五年级下·内蒙古乌海·期中）下面的说法中，不正确的有（    ）句。 ①因为21÷7＝3，所以21是倍数，3是因数。 ②1是所有非零自然数的因数。 ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】解题关键在于掌握因数与倍数的相互依存关系，明确研究范围是非零自然数，以及1的特殊性。需要逐句判断说法的正误，统计不正确的句数。 【规范解答】逐项分析如下： ① 因数与倍数是相互依存的概念，不能单独存在。应该说21是7和3的倍数，3和7是21的因数，不能单独说21是倍数，3是因数。此说法错误； ② 任何非零自然数除以1都等于它本身，商是整数且没有余数，符合因数的定义，所以1是所有非零自然数的因数。此说法正确； ③ 因数与倍数的研究范围是非零自然数。题干未说明甲数和乙数是非零自然数，若甲数是1.5，乙数是0.1，虽然，但不能说甲数是乙数的倍数。此说法错误。 综上所述，说法不正确的有①和③，共2句。 考点三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期中）李老师新买了一部手机，他按下面的信息给自己的手机设置了一个四位数的密码锁（）。a只有一个因数，b的所有因数是1，2，3，6，c是2的最小倍数，这个四位数是2和5的倍数。李老师设置的锁屏密码是（    ）。 A．1620 B．2620 C．1925 D．1640 【答案】A 【思路引导】1只有一个因数；因数只有1，2，3，6，则这个数是6；2最小的倍数是2；既是2的倍数又是5的倍数的数，末尾只能是0；据此分析。 【规范解答】结合分析知：这个四位数是1620，所以李老师设置的锁屏密码是1620。 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座举行了24次，社区游泳池安全员15名，游泳池危险水域警示牌安装了11块，中小学生游泳技能培训课时20小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)24的因数有( )。 (4)在括号里填质数：15＝( )＋( )。 【答案】(1) 15、11 11 (2) 24、15 20 (3)1、2、3、4、6、8、12、24 (4) 2 13 【思路引导】（1）不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数。 （2）一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 （3）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 （4）将15拆分成两数相加的形式，再确定两个加数都是质数的情况即可。 【规范解答】（1）不是2的倍数的数有15、11，因此奇数有15、11；只有两个因数的有11，因此质数有11。 （2）2＋4＝6、1＋5＝6、1＋1＝2、2＋0＝2，3的倍数有24、15；2和5的倍数的个位上的数字一定是0，既是2的倍数，又是5的倍数的有20。 （3）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 （4）15＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8 其中两个加数都是质数的是2和13，因此15＝2＋13。 考点四 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆武隆·期末）读一读、填一填。 数学中有很多看似简单，但证明起来却非常困难的问题，“考拉兹猜想”就是其中之一。这个猜想说的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数，就乘3再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4→2→1这个循环。 例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1； 42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→1。 (1)根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是( )；“42→21”的变换过程用算式表示是( )。 (2)在42的变换过程中，变成最大的数是64，那么在11的变换过程中，变成最大的数是( )。 【答案】(1) 5×3＋1＝16 42÷2＝21 (2)52 【思路引导】（1）根据题意，如果是奇数，就乘3再加上1；如果是偶数，就除以2。5是奇数，“5→16”的变换过程就是乘3再加上1；42是偶数，“42→21”的变换过程就是除以2。 （2）11是奇数，变换一次为：11×3＋1＝34，34是偶数，变换二次为：34÷2＝17……，按照这个规则不断地运算下去，找到变成最大的数即可。 【规范解答】（1）5×3＋1 ＝15＋1 ＝16 42÷2＝21 所以，“5→16”的变换过程用算式表示是5×3＋1＝16；“42→21”的变换过程用算式表示是42÷2＝21。 （2）11×3＋1 ＝33＋1 ＝34 34÷2＝17 17×3＋1 ＝51＋1 ＝52 52÷2＝26 26÷2＝13 13×3＋1 ＝39＋1 ＝40 40÷2＝20 20÷2＝10 10÷2＝5 5×3＋1 ＝15＋1 ＝16 16÷2＝8 8÷2＝4 4÷2＝2 2÷2＝1 所以，那么11的变换过程是：11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。 在11的变换过程中，变成最大的数是52。 考点五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昆明·期末）一个四位数34□△，使它能同时被2、3、5整除，则△里填( )，□里最小填( )。 【答案】 0 2 【思路引导】3的倍数特征：各个数位上的数字相加的和是3的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位上只能是0。 【规范解答】先确定△的数字：能同时被2和5整除的数，个位上只能是0，所以△里填0。再确定□最小的数字：这个四位数现在是34□0，这个数能被3整除，也就是各个数位上数字相加的和是3的倍数。各位数字和为3＋4＋□＝7＋□，要使7＋□能被3整除，□可以填2、5、8，所以□里最小填2。 【变式训练】（25-26五年级上·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 240 840 【思路引导】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【规范解答】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 【考点剖析】关键点是先根据2和5的倍数特征确定个位为0，再根据3的倍数特征筛选数字，最后按要求排列。 考点六 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·山东烟台·期末）一个数亿位上是最小的质数，百万位上是最大的一位数，万位上是5，其余各数位上都是0，这个数写作( )，读作：( )，四舍五入到亿位约是( )亿。 【答案】 209050000 二亿零九百零五万 2 【思路引导】最小的质数是2，最大的一位数是9，根据大数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；大数的读法是先分级，从低到高4位分一级，从最高级读起，按照整数的读法读，读完亿级加“亿”字，读完万级加“万”字；大数的改写：四舍五入到亿位，找到“亿”位，把千万位上的数字按照四舍五入法进或舍并把“亿位”后面的尾数省略，再加上一个“亿”字。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知：一个数亿位上是最小的质数，百万位上是最大的一位数，万位上是5，其余各数位上都是0，这个数写作：209050000；读作：二亿零九百零五万；四舍五入到亿位约是2亿。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）智能快递柜现已走进各个社区，李叔叔收到一条取件信息，根据下面的描述，李叔叔的取件码是四位数，最高位是最小的合数，百位上的数比最小的偶数大1，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最大的一位数，李叔叔的取件码是( )，这是一个( )。（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 4129 奇数 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的偶数是0； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4，最大的一位数是9。 【规范解答】分析可知，这个取件码最高位是4，百位上的数是0＋1＝1，十位上的数是2，个位上的数是9，李叔叔的取件码是4129，这是一个奇数。 考点七 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·广东汕尾·期中）乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 【答案】理由是：玫瑰总价8×3＝24元，付款100元找回15元，康乃馨总价100−15−24＝61元；61是质数，不能被9整除，而康乃馨买了9枝且单价为整元数，总价应是9的倍数，故账算错了。 【思路引导】康乃馨的价格是整元数，则总价必须是数量9的倍数。首先通过付款金额和找回金额计算出实际花费，再减去玫瑰的总价得到康乃馨的总价，最后验证该总价是否为9的倍数即可得出结论。 【规范解答】100－15＝85（元） 8×3＝24（元） 85－24＝61（元） 因为，，61不是9的倍数。 已知每枝康乃馨的价格是整元数，则康乃馨的总价应是9的倍数。 所以店长阿姨把账算错了。 【变式训练】（25-26五年级下·河南南阳·期中）明明的爸爸刚过而立之年（30岁到39岁之间），今年的岁数是质数，并且十位和个位上数字的差也是质数，明明的爸爸今年( )岁。 【答案】31 【思路引导】因为明明的爸爸年龄在30岁到39岁之间，先找出30到39之间的质数，再计算符合条件的质数的十位数字与个位数字的差，判断该差是否也为质数，进而解答。 【规范解答】30、32、34、36、38都是偶数，也就是除了1和本身外至少还有2这个因数，所以它们都是合数；35是5的倍数，所以它是合数；33和39是3的倍数，所以它们是合数；剩下的数是31和37，它们只有1和本身两个因数，是质数。 如果是31岁：，2是质数； 如果是37岁：，4是合数； 所以明明的爸爸今年31岁。 考点八 分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）中小学生艺术展演活动即将开始，青少年用健康、阳光、积极的表演展现属于他们的风采，其中校园舞蹈是具有校园风格的集体舞蹈。学校舞蹈队的队员总人数在70~80人范围内，站队时每排人数相同，每排8人或每排12人都可以站成整数排，学校舞蹈队有多少人？ 【答案】72人 【思路引导】每排8人或每排12人都可以站成整数排，说明总人数是8和12的公倍数，再在70~80之间找符合条件的数即可。 【规范解答】分解质因数 8＝2×2×2 12＝2×2×3 最小公倍数：2×2×2×3＝24 24的倍数：24×1＝24，24×2＝48，24×3＝72，24×4＝96，…… 在70~80之间的只有72。 答：学校舞蹈队有72人。 【变式训练】（24-25五年级下·河北沧州·期末）2路公交车和5路公交车早上7：30同时从起始站发车。2路车每8分钟发一班，5路车每10分钟发一班，这两路公交车第二次同时从起始站发车的时间是( )。 【答案】8：10 【思路引导】两路公交车间隔的发车时间是8和10的公倍数，先求出它们的最小公倍数，再加上两车第一次同时发车的时刻，即是第二次同时发车的时刻。 【规范解答】8＝2×2×2 10＝2×5 8和10的最小公倍数是2×2×2×5＝40 即40分钟后两路公交车第二次同时从起始站发车。 7：30＋40分＝8：10 考点九 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·江西赣州·期末）用一块长24dm、宽18dm的KT板制作防溺水警示牌，如果要做成大小相等的正方形且没有剩余，正方形警示牌的边长最大是( )dm，可以制作( )块。 【答案】 6 12 【思路引导】要将长方形KT板分成大小相等且没有剩余的正方形，求最大边长是长和宽的最大公因数，用短除法求出它们的最大公因数即可。 已知正方形最大边长，分别用长和宽除以正方形最大边长，计算出长和宽方向能分割出的正方形个数，再将两个方向的个数相乘，就能得到总块数。 【规范解答】 24和18的最大公约数是： （个） 正方形警示牌的边长最大是6分米，可以制作12块。 【变式训练】（24-25五年级下·甘肃武威·期中）用2、3、4、5、6、7这六个数组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是________。 【答案】108 【思路引导】因为A、B、540这三个数的最大公因数一定是540的因数，先把540分解质因数，540＝2×2×3×3×3×5，由于数字2、3、4、5、6、7中只有1个5，无法组成两个同时是5的倍数的三位数，因此三个数的最大公因数中不含因数5；从540的因数中，去掉含因数5的数，取剩余最大的因数2×2×3×3×3＝108，再验证108的三位数倍数中，是否存在由2、3、4、5、6、7组成的两个三位数，若存在则108即为所求的最大公因数。 【规范解答】540＝2×2×3×3×3×5 2、3、4、5、6、7只有1个5，无法组成两个同时是5的倍数的三位数，因此公因数中没有5 2×2×3×3×3＝108 108的倍数有108、216、324、432、540、648、756、864…… 当A、B其中一个是324或432，另一个为756时，A、B、540这三个数的最大公约数是108；因此A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是108。 【考点剖析】解答此题的关键是掌握最大公因数的概念，此题中三个数的最大公因数必为540的因数，且公因数中没有5。 考点十 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）周末五年级学生组织活动，五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果把两个班的学生各自分成若干个小组，且每个小组的人数相同，每个小组最多有多少人？这样一共可以分成多少个小组？ 【答案】6人；15个 【思路引导】求每个小组最多有多少人，实际上是求42和48的最大公因数，先把42和48分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可，用人数除以最大公因数，就是可以分成的组数。 【规范解答】42＝2×3×7 48＝2×2×2×2×3 最大公因数为： 2×3＝6 42÷6＋48÷6 ＝7＋8 ＝15（个） 答：每个小组最多有6人；这样一共可以分成15个小组。 【变式训练】（25-26五年级下·湖南邵阳·阶段检测）将一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余。 (1)有多少种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)一共可以剪出几个最大的正方形？ 【答案】(1)4种；1厘米、2厘米、3厘米、6厘米 (2)6个 【思路引导】根据题意，要将长方形纸剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形且没有剩余，说明正方形的边长必须既是长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。 （1）求有多少种不同的剪法及边长分别是多少，需要找出18和12的所有公因数； （2）求一共可以剪出几个最大的正方形，需要先找出18和12的最大公因数作为正方形的边长，再分别计算沿着长和宽各能剪出多少个，最后相乘得到总个数。 【规范解答】（1）18的因数有：1、2、3、6、9、18； 12的因数有：1、2、3、4、6、12； 18和12的公因数有：1、2、3、6； 共有4种不同的剪法，正方形的边长分别是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米。 （2）18和12的最大公因数是6，即最大正方形的边长是6厘米。 沿着长可以剪的个数：18÷6＝3（个） 沿着宽可以剪的个数：12÷6＝2（个） 一共可以剪出的个数：3×2＝6（个） 答：一共可以剪出6个最大的正方形。 考点十一 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·河北石家庄·期末）在石家庄这座“摇滚之城”里，有三个不同的摇滚乐队计划举行演出。乐队A每6天演出一场，乐队B每8天演出一场，乐队C每12天演出一场。在某个周末，这三个乐队恰好同一天在音乐广场进行了演出，吸引了众多摇滚爱好者前来观看。请问，下一次这三个乐队再次同一天演出是几天之后呢？如果从这次共同演出开始算，在接下来的90天内，他们还会有几次在同一天演出？ 【答案】24天；3次 【思路引导】由题意可知，三个乐队同一天在音乐广场进行演出经过的时间是6、8、12的公倍数，求下一次这三个乐队再次同一天演出经过的时间就是求这三个数的最小公倍数，最后求出90以内6、8、12公倍数的个数就是他们在同一天演出的次数。 【规范解答】 2×2×3×1×2×1＝24 因为6、8、12的最小公倍数是24，所以下一次同一天演出是24天后。 24×1＝24 24×2＝48 24×3＝72 24×4＝96，96＞90，不符合题意。 从这次共同演出开始算，再过24天、48天、72天，一共3次在同一天演出。 答：下一次这三个乐队再次同一天演出是24天之后，在接下来的90天内，他们还会有3次在同一天演出。 【变式训练】（24-25五年级上·广东揭阳·期中）一些练习本，分给8个小朋友，或者分给12个小朋友都余一本，这些练习本至少有多少本？ 【答案】25本 【思路引导】依据“最小公倍数”的概念：当练习本分给8个小朋友或12个小朋友都余1本时，说明练习本的数量减去余下的1本后，恰好能被8和12同时整除，即这个差值是8和12的公倍数，而要求“最少数量”，就需要先求8和12的最小公倍数。我们采用分解质因数法求最小公倍数，先将8分解为2×2×2，12分解为2×2×3，最小公倍数是2×2×2×3＝24，再将这个最小公倍数加上余下的1本，得到24＋1＝25本，因此这些练习本至少有25本。 【规范解答】8＝2×2×2，12＝2×2×3，8和12最小公倍数：2×2×2×3＝24； 练习本数量：24＋1＝25（本） 答：这些练习本至少有 25 本。 【考点剖析】本题的关键是将“余1本”的问题转化为求8和12的最小公倍数后加1，从而得出练习本至少有25本。 考点十二 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期末）学校组织春游，五年级学生排队，若每排6人、8人或10人，都正好排完。五年级至少有多少名学生？ 【答案】120名 【思路引导】由题意可知，总人数是6、8、10的公倍数，至少有多少人，就是求6、8、10的最小公倍数。 【规范解答】6＝2×3 8＝2×2×2 10＝2×5 6、8、10的最小公倍数： 2×3×2×2×5 ＝6×2×2×5 ＝12×2×5 ＝24×5 ＝120 答：五年级至少有120名学生。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·单元复习）材料题： 我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将天干的10个汉字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两列： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸、甲、乙、丙、丁、戊 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥、子、丑、寅 例如：公历2000年，干支纪年为庚辰年。那么公历2003年，干支纪年为（    ）年。 请你阅读下面的故事： 我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》。《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的？书上印的是1080年，苏东坡生于1037年，活了66岁。《赤壁赋》开头几句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年。我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年，就知道一定是错的。” 请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？并推算苏东坡是公历哪一年写的《赤壁赋》。 【答案】（1）癸未 （2）见详解 （3）1082年 【思路引导】（1）天干是10个一循环，地支是12个一循环。先计算从2000年到2003年经过了几年，然后天干和地支分别往后数几个即可。 （2）因为12与10的最小公倍数是60，所以干支纪年法每60年为一个循环，因为1982年壬戌年，而1982－1080＝902，而902显然不是60的倍数，所以1080年秋天不可能是“壬戌之秋’，所以苏步青一看苏轼（苏东坡）写《赤壁赋》的时间是1080年，就知道一定是错的； （3）因为1982－1082＝900是60的倍数，又1982年是壬戌年，所以1082年也是壬戌年，故1082年之前的壬戌年是1082－60＝1022，1082年之后的壬戌年是1082＋60＝1142，又苏轼（苏东坡）生于1037年，活了64岁，而1037＞ 1022，且1142＞ 1037＋64，所以可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测，苏东坡写《赤壁赋》的时间是1082年。 【规范解答】（1）从2000年到2003年经过了2003－2000＝3年；2000年是庚辰年，天干按顺序往后数3个：庚（第7个）、辛（第8个）、壬（第9个）、癸（第10个 ）；地支按顺序往后数3个：辰（第5个）、巳（第6个）、午（第7个）、未（第8个）；所以2003年干支纪年为癸未年； （2）理由如下： 因为12与10的最小公倍数是60，所以干支纪年法每60年为一个循环； 因为1982年壬戌年，而1982－1080＝902，902显然不是60的倍数，所以1080年秋天不可能是“壬戌之秋’； 所以苏步青一看苏轼（苏东坡）写《赤壁赋》的时间是1080年，就知道一定是错的。 （3）1982－1082＝900，900是60的倍数； 又1982年是壬戌年，所以1082年也是壬戌年； 故1082年之前的壬戌年是1082－60＝1022 1082年之后的壬戌年是1082＋60＝1142 又苏轼（苏东坡）生于1037年，活了64岁； 而1037＞1022，且1142＞1037＋64。 答：可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测，苏东坡写《赤壁赋》的时间是1082年。 【考点剖析】利用天干10个、地支12个的循环规律，从已知的2000年庚辰年按顺序推3年，确定2003年干支纪年；依据干支纪年60年一循环，通过计算1080年与1982年间隔年数除以60的余数，往前倒推干支，判断书中年份错误；由苏东坡出生年份和寿命算出最晚生存年份，再结合1982年干支，经计算间隔年数和倒推干支，确定《赤壁赋》写作年份。 考点十三 运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】（24-25五年级下·山西晋中·期末）某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 【答案】因为男生人数为奇数，而总人数30人为偶数，又因为奇数＋奇数＝偶数，所以女生人数为奇数。 【思路引导】奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数-奇数＝奇数，偶数-偶数＝偶数； 先确定总人数30的奇偶性，再结合奇数加一个数的和是偶数，这个数的奇偶性可通过运算规则判断。 【规范解答】总人数是30，30是偶数； 总人数＝男生人数＋女生人数，偶数＝奇数＋奇数 答：已知男生人数是奇数，总人数是偶数，因此女生人数一定是奇数。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）五（1）班有45名同学，五（2）班有46名同学，两个班的班长都准备把全班分成4个组去社区帮扶老人，每个组都是奇数名同学，（    ）这样分配。 A．五（1）班可以 B．五（2）班可以 C．都可以 D．都不可以 【答案】B 【思路引导】首先判断五（1）班和五（2）班的学生数是奇数还是偶数，然后根据奇偶加减的运算规律推断即可。 【规范解答】若要4个小组都是奇数名同学，则这个班的学生数应是偶数。五（1）班有45人，45是一个奇数，所以五（1）班做不到；五（2）班有46人，46是一个偶数，所以五（2）班可以这样分配。 故答案为：B 【考点剖析】奇偶加减的运算规律：偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数；奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数。 1．（24-25五年级下·甘肃张掖·期中）小欣：“我和姥姥的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数。” 妈妈：“我今年36岁。” 姥姥：“我还不到80岁，而且是小欣年龄的8倍。” 姥姥比小欣大（    ）岁。 A．54 B．63 C．72 【答案】B 【思路引导】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此先确定姥姥的年龄，姥姥的年龄÷8＝小欣的年龄，姥姥的年龄－小欣的年龄＝姥姥和小欣的年龄差。 【规范解答】姥姥的年龄：36×2＝72（岁） 小欣的年龄：72÷8＝9（岁） 姥姥和小欣的年龄差：72－9＝63（岁） 姥姥比小欣大63岁。 2．（2025五年级下·山东·专题练习）《孙子算经》中记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品有多少个？计算可知，这些物品至少有（    ）个。 A．17 B．23 C．28 【答案】B 【思路引导】运用逐步满足法：先满足部分简单条件，再验证剩余条件，逐步缩小答案范围。根据“除以3和7都余2”同余特点，运用公倍数与最小公倍数：两个互质数的最小公倍数是它们的乘积，计算两个数的最小公倍数。得出：物品总数＝3和7的公倍数＋2，即最小的数，再将得出的最小数代入“5个5个地数剩3个”的条件验证。 【规范解答】题目要求找到一个数，满足： 除以3，余2； 除以5，余3； 除以7，余2。 观察前两个条件（3个3个地数余2、7个7个地数余2） 先求出3和7的最小公倍数： 3×7＝21 所以，这个数可能是：21＋2＝23 将筛选出的数放入第三个条件（5个5个地数余3）中进行验证： 计算：23÷5＝4……3，结果：余数正好是3，符合题意。 这些物品至少有23个。 3．（24-25五年级下·江苏南通·期中）如果△表示一个质数，○表示一个合数，那么下面的（    ）的结果一定是合数。 A．△＋○ B．○－△ C．△×○ D．○÷△ 【答案】C 【思路引导】质数：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。据此逐项分析即可。 【规范解答】A．假设△＝2，○＝4，△＋○＝2＋4＝6，6是合数；假设△＝3，○＝4，△＋○＝3＋4＝7，7是质数。所以，△＋○不一定是合数。 B．假设△＝2，○＝6，○－△＝6－2＝4，4是合数；假设△＝3，○＝4，○－△＝4－3＝1，1既不是质数也不是合数。所以，○－△不一定是合数。 C．假设△＝2，○＝4，△×○＝2×4＝8，8是合数。假设△＝3，○＝4，△×○＝3×4＝12，12是合数。所以，△×○一定是合数。 D．假设△＝2，○＝4，○÷△＝4÷2＝2，2是质数；假设△＝5，○＝4，○÷△＝4÷5＝0.8，0.8不是自然数；所以，○÷△不一定是合数。 4．（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座15次，社区游泳池安全员22名，危险水域警示牌安装7块，中小学生游泳技能培训课时10小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)15的所有因数有( )。 (4)在括号里填质数：10＝( )＋( )。 【答案】(1) 15、7 7 (2) 15 10 (3)1、3、5、15 (4) 3 7 【思路引导】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身之外还有别的因数的数是合数；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0的数同时是2和5的倍数；能整除15的数都是15的因数，据此解答。 【规范解答】（1）15÷2＝7……1，7÷2＝3……1，15和7不能被2整除，15和7是奇数；7的因数只有1和7，因此7是质数。 （2）1＋5＝6，6是3的倍数，所以15也是3的倍数；既是2的倍数，又是5的倍数的有10。 （3）15÷1＝15，15÷3＝5，因此15的因数有1、3、5、15。 （4）5＋5＝10，5是质数；3＋7＝10，3和7是质数。（答案不唯一） 5．（24-25五年级下·广东广州·期末）三个小学生的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是30岁，他们中最大的是( )岁，最小的是( )岁。 【答案】 12 8 【思路引导】三个连续的偶数之和是30，中间的一个偶数就是这三个连续偶数的平均数，其余两个偶数：一个比中间的偶数少2，另一个比中间的偶数多2，据此求解。 【规范解答】中间的：30÷3＝10（岁） 最大的：10＋2＝12（岁） 最小的：10－2＝8（岁） 6．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）已知，，a和b的最大公因数是( )；a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 4 60 【思路引导】最大公因数是两个数公有质因数的乘积；最小公倍数是两个数公有质因数和各自独有质因数的乘积，据此解答。 【规范解答】a和b的公有质因数是2和2，最大公因数是2×2＝4； a独有的质因数是5，b独有的质因数是3，最小公倍数是2×2×3×5＝60。 7．（25-26五年级下·江苏淮安·期中）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是240，两个数相差12，则这两个数分别为( )和( )。 【答案】 48 60 【思路引导】根据性质：两个数的乘积＝最大公因数×最小公倍数。因为两个数最大公因数是12，可设两个数为12a、12b（a、b互质，即只有公因数1），此时最小公倍数为12ab。代入条件计算： 【规范解答】最小公倍数是240，得12ab＝240，根据等式的性质，两边同时除以12，12ab÷12＝240÷12，得ab＝20； 按原题差为12，得12a−12b＝12，变形为12（a－b）＝12，根据等式的性质，两边同时除以12，12（a－b）÷12＝12÷12，得a−b＝1。 找符合条件的互质数：乘积为20、差为1的互质数是4和5，因此两个数为12×5＝60，12×4＝48。 验证：48和60的最大公因数是12，最小公倍数是240，符合要求。 8．（25-26五年级下·河北保定·期末）一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a与f的和是19，那么这个自然数是( )，d＋e＝( )。 【答案】 18 15 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，根据“已知a与f的和是19”先求出这个数是多少，再写出这个数的所有因数，即可知道d和e分别是多少，再计算d＋e是多少。 【规范解答】根据分析可知，a＝1，f＝19－1＝18，所以这个自然数是18。 18的因数有1，2，3，6，9，18，所以d＋e＝6＋9＝15。 9．（25-26五年级下·河南信阳·阶段检测）写出下面每组中两个数的最大公因数。 10和15             60和12             7和12 【答案】5；12；1 【思路引导】用短除法解决，先除以两个数的公因数，再把公因数相乘即可。 【规范解答】10和15 10和15的最大公因数是5。 60和12 60和12的最大公因数是2×2×3＝12。 7和12是互质数 7和12的最大公因数是1。 10．（24-25五年级下·广东广州·期末）学校组织植树活动，要将56名男生和42名女生分别分成若干组。要使每组的人数相同，每组最多能分多少人？这时男、女生分别有多少组？ 【答案】14人 男生：4组 女生：3组 【思路引导】根据“总人数＝每组人数×组数”，若男生和女生各分成若干组每组的人数相同，则每组人数是男生人数和女生人数的公因数，最多人数是男生人数和女生人数的最大公因数，再用总人数÷每组人数分别计算男生和女生分成的组数。 【规范解答】56＝2×2×2×7，42＝2×3×7 56和42的最大公因数＝2×7＝14（人） 男生：56÷14＝4（组） 女生：42÷14＝3（组） 答：每组最多能分14人，这时男生有4组，女生有3组。 11．（24-25五年级下·江西赣州·期末）欢乐跑参赛选手的号码布编号为1~120号，其中4的倍数是“速度之星”，6的倍数是“耐力之星”。既是“速度之星”又是“耐力之星”的选手共有多少人？他们的号码有什么规律？ 【答案】10人；后一个数比前一个数多12 【思路引导】4的倍数是“速度之星”，6的倍数是“耐力之星”，既是两者的选手号码需同时是4和6的倍数，即4和6的公倍数，4和6的公倍数有12、24、36……，其中最小的是12，计算1~120中12的倍数个数，找到12的倍数并总结规律即可求解。 【规范解答】4的倍数：4、8、12、16…… 6的倍数：6、12、18、24…… 4和6的最小公倍数是12； 1~120中12的倍数个数：120÷12＝10（个） 12的倍数依次为：12、24、36、48、60、72、84、96、108、120，规律是后一个数比前一个数多12。 答：既是“速度之星”又是“耐力之星”的选手共有10人，他们的号码规律是后一个数比前一个数多12。 12．（24-25五年级下·山西大同·期末）同学们去研学课堂听科学家讲座，老师给同学们安排座位，每组坐5人或每组坐7人都能正好分完。学生的人数在50~80之间，你知道一共有多少名学生吗？ 【答案】70名 【思路引导】先根据“每组坐5人或7人都能正好分完”判断出学生人数是5和7的公倍数，再求出5和7的最小公倍数，接着找出这个最小公倍数在50~80之间的倍数，这个数就是学生人数。 【规范解答】5和7互质，它们的最小公倍数是： 5×7＝35 找50~80之间的公倍数： 35×2＝70 70在50~80之间，符合条件。 答：一共有70名学生。 13．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）快递仓库有80多个包裹，如果用4个一箱分装，正好装完；如果用6个一箱分装，也正好装完。这些包裹有多少个？ 【答案】84个 【思路引导】包裹的数量既是4的倍数，也是6的倍数，说明它是4和6的公倍数；又因为数量是80多个，所以需要找出4和6在80~90之间的公倍数。 【规范解答】4和6的最小公倍数： 4＝2×2，6＝2×3 最小公倍数：2×2×3＝12 80~90之间12的倍数： 12×7＝84（个） 答：这些包裹有84个。 14．（2026五年级下·全国·专题练习）6盘花扣是古老中国结的一种，花式种类丰富，有菊花扣、梅花扣、金鱼扣等。下面是云师傅教学时分发盘花扣的情况，他最多有几个徒弟？ ①有45个菊花扣和34个金鱼扣。 ②将菊花扣和金鱼扣分别平均分发给徒弟。 ③菊花扣还剩3个，金鱼扣缺2个。 【答案】6个 【思路引导】菊花扣45个减去多出来的3个为42个，正好能平均分；金鱼扣34个，补上2个，即36个，也正好平均分。要求最多有几个徒弟，即求42和36的最大公因数。 【规范解答】45－3＝42（个） 34＋2＝36（个） 42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 最大公因数为：2×3＝6 答：他最多有6个徒弟。 15．（24-25五年级下·四川眉山·期中）乐乐、欢欢、笑笑，都在少年宫学习画画。乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次。星期日他们三人同一时间去的，下一次三人一同去是星期几？ 【答案】星期六 【思路引导】乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次，先求出5、4、10的最小公倍数，也就是下一次三人一同去经过的天数，用这个天数除以7求出20里包含几周余几天，从星期日开始往后数余数的天数即可解答。 【规范解答】5×4＝20 20÷10＝2 所以20和10的最小公倍数是20，即5、4、10的最小公倍数是20。 20÷7＝2（周）……6（天） 因为他们是星期日一同去的，往后数6天，是星期六。 答：下一次三人一同去是星期六。 16．（25-26五年级上·河南鹤壁·期末）自然数a一共有5个因数，把它们分别写在5张纸牌上，再按照从小到大的顺序倒扣在桌面上（如下图）。 (1)现在不知道a是多少，但翻开一张纸牌后便可推测出a是多少。你会翻开从左数的第( )张纸牌。理由( )。 (2)第几张纸牌不翻也知道它是几？ 【答案】(1) 2 因为这5个因数从小到大排列，第1个因数是1，从第二个因数数起，第几个因数就是第二个因数几次方 (2)第1张和第5张 【思路引导】一个数只有5个因数，说明它的因数个数比较少，这样的数有特殊的规律。我们可以从简单的数开始找规律。 16的因数：1，2，4，8，16，16＝2×2×2×2 81的因数：1，3，9，27，81，81＝3×3×3×3 625的因数：1，5，25，125，625，625＝5×5×5×5 2401的因数：1，7，49，343，2401，2401＝7×7×7×7 ………… 发现，有5个因数的规律是，从小到大排列，第1个因数是1，从第二个因数数起，第几个因数就是第二个因数几次方。 【规范解答】（1）会翻开从左数的第2张纸牌；理由是因为这5个因数从小到大排列，第1个因数是1，从第二个因数数起，第几个因数就是第二个因数几次方。 （2）第1张和第5张。第1张纸牌不翻也知道是1，因为所有自然数最小的因数都是1，第5张纸牌不翻也知道是这个数本身，因为所有自然数最大的因数都是它自己。 【考点剖析】关键点是利用因数个数的性质，判断出a是质数的4次方，从而确定因数的排列规律。 17．（25-26五年级上·福建泉州·期末）王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜，它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 【答案】221平方米 【思路引导】一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将60÷2＝30米，即求出了长与宽的和是30；再将30分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的面积，比较即可。 【规范解答】60÷2＝30（米） 和为30的质数对有：7＋23、11＋19、13＋17。 7×23＝161（平方米） 11×19＝209（平方米） 13×17＝221（平方米） 221＞209＞161 答：这个长方形地的面积最大是221平方米。 【考点剖析】本题关键在于运用长方形周长公式推导出长与宽的和，再根据质数的定义筛选出所有符合条件的质数对，最后通过计算和比较面积的大小，找出面积最大的情况。 18．（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【思路引导】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【规范解答】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【考点剖析】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 19．（24-25五年级下·甘肃张掖·期中）冬天快到了，松鼠妈妈把采集的松果分成几份储存起来，如果每5个分一份，最后一份少2个；如果每7个分一份，多3个。想一想，松鼠妈妈最少采集了多少个松果？ 【答案】38 个 【思路引导】根据题意，松果数量减去3后是5和7的公倍数。要求最少数量，即求5和7的最小公倍数再加上3。 【规范解答】因为5和7是互质数，所以5和7的最小公倍数是： 松果最少采集的数量为： （个） 答：松鼠妈妈最少采集了38个松果。 20．（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【答案】可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行；6种 【思路引导】长方形阵列中，行数×每行人数＝42，每行的人数相同，就是求42的因数，通过乘法配对求出42的所有因数，（不能排成一行或一列，1和42不符合题意），再进一步解答即可。 【规范解答】1×42＝42 2×21＝42 3×14＝42 6×7＝42 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，排除1和42后，符合要求的行数为2行、3行、6行、7行、14行、21行。 答：可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行，有6种排法。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题02因数与倍数的认识与特征 思维导图+知识回顾+十三大考点讲练+真题强化（共45题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 五年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 1因数与倍数 4质数与合数 5分解质因数 ,因数与佰数的意义 在数法中如商量整致而没有余数，我们减说被除敬是除敬的馆数。 1质数家致)：一个数，如果只有1和它本身两个因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。 那么这样的数叫做质数。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 ：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的图数 例：20以内的质数有2.3,5、711.13、17.19 ×b=c(a.b、c都是不为0的壁致)，那么 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径 a、b是c的因数，c是a的倍数，也是b的信数 注意：1既不是质数。也不是合数。 3.方法：用短降法分解质因数 2找一个数的因数的方法 2,合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数， 】0两养法是出两个自然敬相桑得这个数的所有集法 那么这样的数叫做合数。 短除法地寝： 例：分解质因数36 (2)列眸法尊式： 例：20以内的合数有4、6、8.9、10、12、14、15.16、18 除歌和商都是这个敏的因数。 ①用最小的质数去除合数。 注意：最小的合数是4，没有最大的合数。 236 ②如果商还是合数，纸续用最小的质数去 2L18 3。因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 39 图直商是质数为止 4.找一个数的倍数的方法 33 ④把所有除数连乘起来 ()列乘法草式：用这个数依次与非0白然数相乘，所得的积就是这个数的停致 1 (2)列除法算式：看零些数除以这个数，南是整数而无余数，这些数就是这个数的伯数 36-2×2×3×3 5.倍数的特证 苏教版五年级下册专题02 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 因数与倍数的 7最小公倍数 22、5、3的倍数特征 123 认识与特征。 其中小的 1.2的倍数特证：个位上是0.2、468的数是2的倍敬 2,5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 找出最小的公信数 3.3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数 2短用所有的公有和有质去 《法口诀：求小公伯乘一边求最小公倍乘一圆。) 3奇数与偶数 6最大公因数 取共有质因数和独有质因数的最高次冪的泰积。 1.偶数：能2整除的数叫偶数（俗称双数），可用2表示 所：求12和18的最小公物数 2.奇数：不能被2整除的数叫奇数（俗称单数），可用2小一1表示 2.求最大公因数的方法 列单法： 分解质因数法 3。奇数与偶数的运算性质 (1】列举法（枚華法》：列出所有的因数，找出共有因数中的最大植 12的倍数：12,34,36,48.60. 21218 12=22×3 (1)奇数+偶数■奇数 2》垣除法：用公有的质因的裤址去验。直到商互质： 369 (2)奇数+奇数=偶数 所有除数的乘积即为最大公因数。 18的因数：18,36,54,72,90. 18=2×32 公信数：36,72,108. 223 (3)偶数+偶敌=偶数 例：求12和18的最大公因数 1 1 最小公信数=2×3=3站 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶致。 短降法 最小公倍数是36 减法 2L1218 最小公倍数=2×3×2×3 36 奇数一奇数一偶数 12的四数：1,2,3,4,6,12 奇数一偶数■奇数 偶数一奇致=奇数 偶致一偶数=保致 246 8的调数：1,2,3,6,9.18 369 公因数：1,2,3,6→最大公因数是6 最小公因数=2×3=6 留知识小结本因效知帽数量相互依有的，形改因数和馆数首先从技一个数的圆数开治。 ★春数与侧整在日常生话和解决问顿中应用广泛 ★掌提分解质因敬是求最大公因数和最小公信数的关健。 ★2、5、3的倍敬特征要熟记，能帮助我们快速判斯一个数的倍数， ★质数与合数是数的世界的重要分类， ★灵活选撞方法（列举法、短除法。分解质因数法），让解题更高效」 知识梳理温故知新 知识点一因数与倍数 1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍 数，除数和商是被除数的因数。 第2页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 例如：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么 a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.找一个数的因数的方法 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这 个数的因数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4.找一个数的倍数的方法 (1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数)，习惯用2n一1表示。 3.奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四质数与合数 第3页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优进义（温故知新) 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意。 (1)0、1既不是质数，也不是合数。 （2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97,共25个。 知识点五：分解质因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1.最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个 叫做这几个数的最大公因数。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 (短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作(12， 第4页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 18)=6。 知识点七：最小公倍数 1.最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做 它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数的方法 （1)列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 (2)短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 (短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作[12， 18]=36。 优选题型考点讲练 考点一根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(25-26五年级下·广东东莞·阶段检测)五育并举，体育为基。阳光小学以“多彩运 动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方 形的队形，要求每行和每列的人数都至少是3人，共有几种排法？试着写一写。 【变式训练】(25-26五年级下·广西河池·期中)五（1)班的同学（少于50人)一起做数学游戏。 学号是5的倍数的同学举右手，学号是10的倍数的同学举左手。亮亮说：“学号是10、20、30、40 的同学，左手和右手都得举起来。”亮亮说得对吗？请说明理由。 考点二根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(24-25五年级下·福建泉州·期中)拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节 日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称 第5页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) “暗九”)，都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸 爸今年50岁，他过了几次“九”？ 【变式训练】(25-26五年级下·内蒙古乌海·期中)下面的说法中，不正确的有（)句。 ①因为21÷7=3，所以21是倍数，3是因数。 ②1是所有非零自然数的因数。 ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 A.1 B.2 C.3 考点三倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期中)李老师新买了一部手机，他按下面的信息给自己 的手机设置了-个四位数的密码锁(ab©d),a只有-个因数，b的所有因数是1,2， 3,6,c是2的最小倍数，这个四位数是2和5的倍数。李老师设置的锁屏密码是（)。 A.1620 B.2620 C.1925 D.1640 【变式训练】(24-25五年级下·江西赣州·期末)某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座举行了24次，社区游泳池安全员15名，游泳池危险水域警示牌安装了11块，中小学 生游泳技能培训课时20小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( );质数有( ）。 (2)这些自然数中，3的倍数有( );既是2的倍数，又是5的倍数的有( ）。 (3)24的因数有( ）。 (4)在括号里填质数：15=( )+( )。 考点四奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆武隆·期末)读一读、填一填。 数学中有很多看似简单，但证明起来却非常困难的问题，“考拉兹猜想”就是其中之一。这个猜想说 的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数，就乘3再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这 个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4→2→1这个循环。 例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1； 42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→+1。 第6页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (1)根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是( );“42+21”的变换 过程用算式表示是( ）。 (2)在42的变换过程中，变成最大的数是64，那么在11的变换过程中，变成最大的数是( )。 考点五2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昆明·期末)一个四位数34口△，使它能同时被2、3、5整除， 则△里填( ),口里最小填( ）。 【变式训练】(25-26五年级上·河南驻马店·期未)从0,2,3,4,8中挑选三个数字组成一个三 位数，使它同时是2,3,5的倍数，这个三位数最小是（ ),最大是( )。 考点六质数与合数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·山东烟台·期末)一个数亿位上是最小的质数，百万位上是最大的 一位数，万位上是5，其余各数位上都是0，这个数写作( ),读作：（)，四舍五入到亿位 约是( )亿。 【变式训练】(24-25五年级下·山东菏泽·期末)智能快递柜现已走进各个社区，李叔叔收到一条 取件信息，根据下面的描述，李叔叔的取件码是四位数，最高位是最小的合数，百位上的数比最小的 偶数大1，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最大的一位数，李叔叔的取件码是( ）,这 是一个( )。(填“奇数”或“偶数”)。 考点七质数与合数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·广东汕尾·期中)乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付 给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就 说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 【变式训练】(25-26五年级下·河南南阳·期中)明明的爸爸刚过而立之年(30岁到39岁之间)， 今年的岁数是质数，并且十位和个位上数字的差也是质数，明明的爸爸今年( )岁。 考点八分解质因数 【典例精讲】(24-25五年级下·湖南衡阳·期末)中小学生艺术展演活动即将开始，青少年用健康、 阳光、积极的表演展现属于他们的风采，其中校园舞蹈是具有校园风格的集体舞蹈。学校舞蹈队的队 第7页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 员总人数在70ˇ80人范围内，站队时每排人数相同，每排8人或每排12人都可以站成整数排，学校舞 蹈队有多少人？ 【变式训练】(24-25五年级下·河北沧州·期末)2路公交车和5路公交车早上7：30同时从起始 站发车。2路车每8分钟发一班，5路车每10分钟发一班，这两路公交车第二次同时从起始站发车的 时间是( ）。 考点九公因数与最大公因数 【典例精讲】(24-25五年级下·江西赣州·期末)用一块长24dm、宽18dm的KT板制作防溺水警示 牌，如果要做成大小相等的正方形且没有剩余，正方形警示牌的边长最大是( )dm,可以制作 )块。 【变式训练】(24-25五年级下·甘肃武威·期中)用2、3、4、5、6、7这六个数组成两个三位数A 和B,那么A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是 考点十用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·山东菏泽·期末)周未五年级学生组织活动，五（1)班有42人， 五(2)班有48人。如果把两个班的学生各自分成若干个小组，且每个小组的人数相同，每个小组最 多有多少人？这样一共可以分成多少个小组？ 【变式训练】(25-26五年级下·湖南邵阳·阶段检测)将一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪 成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余。 (1)有多少种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)一共可以剪出几个最大的正方形？ 第8页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十一公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·河北石家庄·期末)在石家庄这座“摇滚之城”里，有三个不同的 摇滚乐队计划举行演出。乐队A每6天演出一场，乐队B每8天演出一场，乐队C每12天演出一场。 在某个周末，这三个乐队恰好同一天在音乐广场进行了演出，吸引了众多摇滚爱好者前来观看。请问， 下一次这三个乐队再次同一天演出是几天之后呢？如果从这次共同演出开始算，在接下来的90天内， 他们还会有几次在同一天演出？ 【变式训练】(24-25五年级上·广东揭阳·期中)一些练习本，分给8个小朋友，或者分给12个小 朋友都余一本，这些练习本至少有多少本？ 考点十二用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期未)学校组织春游，五年级学生排队，若每排6 人、8人或10人，都正好排完。五年级至少有多少名学生？ 【变式训练】(24-25五年级下·全国·单元复习)材料题： 我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干有10个：甲、乙、丙、丁、 戊、己、庚、辛、王、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥。将天 干的10个汉字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两列： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、王、癸、甲、乙、丙、丁、戊 子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥、子、丑、寅 例如：公历2000年，干支纪年为庚辰年。那么公历2003年，干支纪年为（)年。 请你阅读下面的故事： 我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典 第9页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》。《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的？ 书上印的是1080年，苏东坡生于1037年，活了66岁。《赤壁赋》开头几句就是：王戌之秋，七月既 望。大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年。我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年，就知道 一定是错的。” 请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？并推算苏东坡是公历哪一年写的《赤壁赋》。 考点十三运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】(24-25五年级下·山西晋中·期末)某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为 奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中)五(1)班有45名同学，五(2)班有 46名同学，两个班的班长都准备把全班分成4个组去社区帮扶老人，每个组都是奇数名同学，() 这样分配。 A.五(1)班可以 B.五（2)班可以C.都可以D.都不可以 真题汇编能力强化 1.(24-25五年级下·甘肃张掖·期中)小欣：“我和姥姥的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数。” 妈妈：“我今年36岁。” 姥姥：“我还不到80岁，而且是小欣年龄的8倍。” 姥姥比小欣大()岁。 A.54 B.63 C.72 2.(2025五年级下·山东·专题练习)《孙子算经》中记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五 五数之余三，七七数之余二。问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2 个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品有多少个？计算可 知，这些物品至少有()个。 A.17 B.23 C.28 第10页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 3.(24-25五年级下·江苏南通·期中)如果△表示一个质数，○表示一个合数，那么下面的() 的结果一定是合数。 A.△+O B.○-△ C.△×O D.O÷△ 4.(24-25五年级下·江西赣州·期末)某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座15次，社区游泳池安全员22名，危险水域警示牌安装乙块，中小学生游泳技能培训 课时10小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( );质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( );既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)15的所有因数有( )。 (4)在括号里填质数：10=( )+( )。 5.（24-25五年级下·广东广州·期末)三个小学生的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和 是30岁，他们中最大的是( )岁，最小的是( )岁。 6.(24-25五年级下山东菏泽期末)已知a=2×2×5,b=2×2×3,a和b的最大公因数是( )； a和b的最小公倍数是( ）。 7.(25-26五年级下·江苏淮安·期中)两个数的最大公因数是12，最小公倍数是240，两个数相差 12,则这两个数分别为( )和( )。 8.(25-26五年级下·河北保定·期末)一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、 e、f,已知a与f的和是19，那么这个自然数是（ ),d十e=( ）。 9.(25-26五年级下·河南信阳·阶段检测)写出下面每组中两个数的最大公因数。 10和15 60和12 7和12 10.（24-25五年级下·广东广州·期末)学校组织植树活动，要将56名男生和42名女生分别分成若 干组。要使每组的人数相同，每组最多能分多少人？这时男、女生分别有多少组？ 第11页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 11.（24-25五年级下·江西赣州·期末)欢乐跑参赛选手的号码布编号为1~120号，其中4的倍数是 “速度之星”，6的倍数是“耐力之星”。既是“速度之星”又是“耐力之星”的选手共有多少人？他 们的号码有什么规律？ 12.（24-25五年级下·山西大同·期末)同学们去研学课堂听科学家讲座，老师给同学们安排座位， 每组坐5人或每组坐7人都能正好分完。学生的人数在5080之间，你知道一共有多少名学生吗？ 13.(24-25五年级下·湖北十堰·期末)快递仓库有80多个包裹，如果用4个一箱分装，正好装完； 如果用6个一箱分装，也正好装完。这些包裹有多少个？ 14.(2026五年级下·全国·专题练习)6盘花扣是古老中国结的一种，花式种类丰富，有菊花扣、 梅花扣、金鱼扣等。下面是云师傅教学时分发盘花扣的情况，他最多有几个徒弟？ ①有45个菊花扣和34个金鱼扣。 ②将菊花扣和金鱼扣分别平均分发给徒弟。 ③菊花扣还剩3个，金鱼扣缺2个。 第12页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 15.（24-25五年级下·四川眉山·期中)乐乐、欢欢、笑笑，都在少年宫学习画画。乐乐5天去一次， 欢欢4天去一次，笑笑10天去一次。星期日他们三人同一时间去的，下一次三人一同去是星期几？ 16.(25-26五年级上·河南鹤壁·期末)自然数a一共有5个因数，把它们分别写在5张纸牌上，再 按照从小到大的顺序倒扣在桌面上（如下图）。 ()现在不知道a是多少，但翻开一张纸牌后便可推测出是多少。你会翻开从左数的第( )张 纸牌。理由( )。 (2)第几张纸牌不翻也知道它是几？ 17.(25-26五年级上·福建泉州·期末)王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜， 它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 18.（24-25五年级下·全国·课后作业)动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全 部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼 干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 第13页共14页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 19.(24-25五年级下·甘肃张掖·期中)冬天快到了，松鼠妈妈把采集的松果分成几份储存起来，如 果每5个分一份，最后一份少2个；如果每7个分一份，多3个。想一想，松鼠妈妈最少采集了多少 个松果？ 20.(25-26五年级下·广东佛山·阶段检测)在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？ 有几种排法？（不能排成一行或一列） 第14页共14页2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 思维导图+知识回顾+十三大考点讲练+真题强化 （共45题） 【原卷版】 专题02 因数与倍数的认识与特征 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 考点一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·广东东莞·阶段检测）五育并举，体育为基。阳光小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数都至少是3人，共有几种排法？试着写一写。 【变式训练】（25-26五年级下·广西河池·期中）五（1）班的同学（少于50人）一起做数学游戏。学号是5的倍数的同学举右手，学号是10的倍数的同学举左手。亮亮说：“学号是10、20、30、40的同学，左手和右手都得举起来。”亮亮说得对吗？请说明理由。 ______________________________________________________ 考点二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸爸今年50岁，他过了几次“九”？ 【变式训练】（25-26五年级下·内蒙古乌海·期中）下面的说法中，不正确的有（    ）句。 ①因为21÷7＝3，所以21是倍数，3是因数。 ②1是所有非零自然数的因数。 ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 A．1 B．2 C．3 考点三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期中）李老师新买了一部手机，他按下面的信息给自己的手机设置了一个四位数的密码锁（）。a只有一个因数，b的所有因数是1，2，3，6，c是2的最小倍数，这个四位数是2和5的倍数。李老师设置的锁屏密码是（    ）。 A．1620 B．2620 C．1925 D．1640 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座举行了24次，社区游泳池安全员15名，游泳池危险水域警示牌安装了11块，中小学生游泳技能培训课时20小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)24的因数有( )。 (4)在括号里填质数：15＝( )＋( )。 考点四 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆武隆·期末）读一读、填一填。 数学中有很多看似简单，但证明起来却非常困难的问题，“考拉兹猜想”就是其中之一。这个猜想说的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数，就乘3再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4→2→1这个循环。 例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1； 42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→1。 (1)根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是( )；“42→21”的变换过程用算式表示是( )。 (2)在42的变换过程中，变成最大的数是64，那么在11的变换过程中，变成最大的数是( )。 考点五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昆明·期末）一个四位数34□△，使它能同时被2、3、5整除，则△里填( )，□里最小填( )。 【变式训练】（25-26五年级上·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 考点六 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·山东烟台·期末）一个数亿位上是最小的质数，百万位上是最大的一位数，万位上是5，其余各数位上都是0，这个数写作( )，读作：( )，四舍五入到亿位约是( )亿。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）智能快递柜现已走进各个社区，李叔叔收到一条取件信息，根据下面的描述，李叔叔的取件码是四位数，最高位是最小的合数，百位上的数比最小的偶数大1，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最大的一位数，李叔叔的取件码是( )，这是一个( )。（填“奇数”或“偶数”）。 考点七 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·广东汕尾·期中）乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 【变式训练】（25-26五年级下·河南南阳·期中）明明的爸爸刚过而立之年（30岁到39岁之间），今年的岁数是质数，并且十位和个位上数字的差也是质数，明明的爸爸今年( )岁。 考点八 分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）中小学生艺术展演活动即将开始，青少年用健康、阳光、积极的表演展现属于他们的风采，其中校园舞蹈是具有校园风格的集体舞蹈。学校舞蹈队的队员总人数在70~80人范围内，站队时每排人数相同，每排8人或每排12人都可以站成整数排，学校舞蹈队有多少人？ 【变式训练】（24-25五年级下·河北沧州·期末）2路公交车和5路公交车早上7：30同时从起始站发车。2路车每8分钟发一班，5路车每10分钟发一班，这两路公交车第二次同时从起始站发车的时间是( )。 考点九 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·江西赣州·期末）用一块长24dm、宽18dm的KT板制作防溺水警示牌，如果要做成大小相等的正方形且没有剩余，正方形警示牌的边长最大是( )dm，可以制作( )块。 【变式训练】（24-25五年级下·甘肃武威·期中）用2、3、4、5、6、7这六个数组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公因数最大可能是________。 考点十 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）周末五年级学生组织活动，五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果把两个班的学生各自分成若干个小组，且每个小组的人数相同，每个小组最多有多少人？这样一共可以分成多少个小组？ 【变式训练】（25-26五年级下·湖南邵阳·阶段检测）将一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余。 (1)有多少种不同的剪法？正方形的边长分别是多少厘米？ (2)一共可以剪出几个最大的正方形？ 考点十一 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（24-25五年级下·河北石家庄·期末）在石家庄这座“摇滚之城”里，有三个不同的摇滚乐队计划举行演出。乐队A每6天演出一场，乐队B每8天演出一场，乐队C每12天演出一场。在某个周末，这三个乐队恰好同一天在音乐广场进行了演出，吸引了众多摇滚爱好者前来观看。请问，下一次这三个乐队再次同一天演出是几天之后呢？如果从这次共同演出开始算，在接下来的90天内，他们还会有几次在同一天演出？ 【变式训练】（24-25五年级上·广东揭阳·期中）一些练习本，分给8个小朋友，或者分给12个小朋友都余一本，这些练习本至少有多少本？ 考点十二 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江佳木斯·期末）学校组织春游，五年级学生排队，若每排6人、8人或10人，都正好排完。五年级至少有多少名学生？ 【变式训练】（24-25五年级下·全国·单元复习）材料题： 我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将天干的10个汉字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两列： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸、甲、乙、丙、丁、戊 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥、子、丑、寅 例如：公历2000年，干支纪年为庚辰年。那么公历2003年，干支纪年为（    ）年。 请你阅读下面的故事： 我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》。《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的？书上印的是1080年，苏东坡生于1037年，活了66岁。《赤壁赋》开头几句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年。我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年，就知道一定是错的。” 请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？并推算苏东坡是公历哪一年写的《赤壁赋》。 考点十三 运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】（24-25五年级下·山西晋中·期末）某学校合唱团有30名学生，如果其中男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？请你在下面说明理由。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）五（1）班有45名同学，五（2）班有46名同学，两个班的班长都准备把全班分成4个组去社区帮扶老人，每个组都是奇数名同学，（    ）这样分配。 A．五（1）班可以 B．五（2）班可以 C．都可以 D．都不可以 1．（24-25五年级下·甘肃张掖·期中）小欣：“我和姥姥的年龄分别是妈妈年龄的因数和倍数。” 妈妈：“我今年36岁。” 姥姥：“我还不到80岁，而且是小欣年龄的8倍。” 姥姥比小欣大（    ）岁。 A．54 B．63 C．72 2．（2025五年级下·山东·专题练习）《孙子算经》中记载：“今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个；如果5个5个地数，最后剩3个；如果7个7个地数，最后剩2个。这些物品有多少个？计算可知，这些物品至少有（    ）个。 A．17 B．23 C．28 3．（24-25五年级下·江苏南通·期中）如果△表示一个质数，○表示一个合数，那么下面的（    ）的结果一定是合数。 A．△＋○ B．○－△ C．△×○ D．○÷△ 4．（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座15次，社区游泳池安全员22名，危险水域警示牌安装7块，中小学生游泳技能培训课时10小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)15的所有因数有( )。 (4)在括号里填质数：10＝( )＋( )。 5．（24-25五年级下·广东广州·期末）三个小学生的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是30岁，他们中最大的是( )岁，最小的是( )岁。 6．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）已知，，a和b的最大公因数是( )；a和b的最小公倍数是( )。 7．（25-26五年级下·江苏淮安·期中）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是240，两个数相差12，则这两个数分别为( )和( )。 8．（25-26五年级下·河北保定·期末）一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a与f的和是19，那么这个自然数是( )，d＋e＝( )。 9．（25-26五年级下·河南信阳·阶段检测）写出下面每组中两个数的最大公因数。 10和15             60和12             7和12 10．（24-25五年级下·广东广州·期末）学校组织植树活动，要将56名男生和42名女生分别分成若干组。要使每组的人数相同，每组最多能分多少人？这时男、女生分别有多少组？ 11．（24-25五年级下·江西赣州·期末）欢乐跑参赛选手的号码布编号为1~120号，其中4的倍数是“速度之星”，6的倍数是“耐力之星”。既是“速度之星”又是“耐力之星”的选手共有多少人？他们的号码有什么规律？ 12．（24-25五年级下·山西大同·期末）同学们去研学课堂听科学家讲座，老师给同学们安排座位，每组坐5人或每组坐7人都能正好分完。学生的人数在50~80之间，你知道一共有多少名学生吗？ 13．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）快递仓库有80多个包裹，如果用4个一箱分装，正好装完；如果用6个一箱分装，也正好装完。这些包裹有多少个？ 14．（2026五年级下·全国·专题练习）6盘花扣是古老中国结的一种，花式种类丰富，有菊花扣、梅花扣、金鱼扣等。下面是云师傅教学时分发盘花扣的情况，他最多有几个徒弟？ ①有45个菊花扣和34个金鱼扣。 ②将菊花扣和金鱼扣分别平均分发给徒弟。 ③菊花扣还剩3个，金鱼扣缺2个。 15．（24-25五年级下·四川眉山·期中）乐乐、欢欢、笑笑，都在少年宫学习画画。乐乐5天去一次，欢欢4天去一次，笑笑10天去一次。星期日他们三人同一时间去的，下一次三人一同去是星期几？ 16．（25-26五年级上·河南鹤壁·期末）自然数a一共有5个因数，把它们分别写在5张纸牌上，再按照从小到大的顺序倒扣在桌面上（如下图）。 (1)现在不知道a是多少，但翻开一张纸牌后便可推测出a是多少。你会翻开从左数的第( )张纸牌。理由( )。 (2)第几张纸牌不翻也知道它是几？ 17．（25-26五年级上·福建泉州·期末）王阿姨在社区共享农园认领了一块长方形地计划种植蔬菜，它的长和宽都是质数，周长是60米，这个长方形地的面积最大是多少平方米？ 18．（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 19．（24-25五年级下·甘肃张掖·期中）冬天快到了，松鼠妈妈把采集的松果分成几份储存起来，如果每5个分一份，最后一份少2个；如果每7个分一份，多3个。想一想，松鼠妈妈最少采集了多少个松果？ 20．（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $