（复习篇）专题05 长方体和正方体的表面积和体积【思维导图+知识梳理+十五大考点讲练+真题强化 共50题】-2026-2027学年苏教版数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

nullnull2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题05 长方体和正方体的表面积和体积 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化 （共50题） 【原卷版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 【变式训练】（25-26五年级下·河南信阳·阶段检测）光明小学科学小组做了一个长方体昆虫箱（如图），昆虫箱的上面是纱网，其他面均是透明板。制作这样一个昆虫箱至少需要透明板多少平方厘米？（透明板厚度忽略不计） 考点二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·山东·课后作业）根据下图，填“＞”“＜”或“＝”。 甲的体积( )乙的体积。 甲的表面积( )乙的表面积。 【变式训练】（25-26五年级上·广东中山·期中）如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的体积就扩大到原来的（    ）倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．8，4 B．4，3 C．2，4 D．3，8 考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（25-26五年级上·山东东营·期中）把4个完全一样的正方体一字排开，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是540平方厘米。如图，原来一个正方体的表面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。 考点四 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）分别求出下面物体的表面积和体积。（单位：分米） 【变式训练】（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 考点五 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·山东淄博·期中）如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ 【变式训练】（23-24五年级下·河南三门峡·期中）连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 考点六 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北黄石·期末）下图是由若干个小正方体搭建的几何体。 (1)这个几何体一共用了( )个小正方体。 (2)要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走( )号小正方体。 (3)若将它搭成一个大正方体，还需要添加( )个小正方体。 【变式训练】（25-26五年级上·山东烟台·期中）用一根48分米的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的棱长是( )分米；如果用铁皮包起来，至少需要铁皮( )平方分米；做出来的这个模型体积是( )立方分米。 考点七 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期中）大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的体积是( )立方厘米。 【变式训练】（23-24五年级下·上海崇明·期末）有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 考点八 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【变式训练】（24-25五年级下·河南商丘·期中）下图是一个长3cm，宽2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积（    ），体积（    ）。 A． 比原来大，比原来小 B．比原来小，比原来小 C．比原来大，不变 D．无法确定 考点九 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）求下列①图形的表面积，求②的体积（单位：cm）。 【变式训练】．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 考点十 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级上·山东烟台·期中）一辆货车的油箱是一个长方体，长1.2米，宽0.5米，高0.4米。这个油箱的容积是多少升？汽车每行驶100千米耗油8升，加满油后可行驶多少千米？ 【变式训练】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）如图，一块长方形铁皮的四角分别剪去一个边长3厘米的正方形后，正好可以折成一个无盖的长方体铁盒。 （1）这个长方体铁盒的容积是多少？ （2）乐乐说：“从这块铁皮的四角剪去的正方形越大，折成的长方体铁盒的容积就越大”，你同意这样的说法吗？请说明理由。 （3）在计算这个长方体表面积时，四位同学是这样算的： 欢欢：46×20＝920（平方厘米）（    ） 聪聪：46×20－3×3×4＝884（平方厘米）（    ） 明明：46－3×2＝40，20－3×2＝14，40×14＋（40×3＋14×3）×2 ＝884（平方厘米）（    ） 杰杰：46－3×2＝40，20－3×2＝14，（40×14＋40×3＋14×3）×2 ＝1444（平方厘米）（    ） 请你在计算正确的括号后面打“√”，错误的后面打“×”，并选择你喜欢的一种方法，说说你的思考过程。 考点十一 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）如下图，海海准备用一个长方体容器测量一块珊瑚石的体积。 （1）下面几步操作中，你认为有必要进行的是（    ）（填序号）。 ①测量出容器的高是9cm，并计算出它的容积。 ②珊瑚石完全浸入水中时，测得水面的高度是7cm。 ③取出珊瑚石后，测得水面的高度是6cm。 （2）请你计算出这块珊瑚石的体积。 【变式训练】（25-26五年级上·山东·课后作业）一个正方体容器，棱长10厘米，放入一个苹果，苹果全部浸没后，水面升高3.15厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ 考点十二 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）某航空公司规定体积超过55cm×40cm×20cm（含任一对应的边超标）或质量超过10kg的行李，需要将其托运。李叔叔带了一个长38cm、宽15cm、体积是34.2dm3、质量是9.8kg的行李箱，这个行李箱需要托运吗？ 【变式训练】（23-24五年级下·天津·期末） 7900dm3＝( )m3             10.08L＝( )mL 220mL＝( )L＝( )dm3      300cm2＝( )m2 考点十三 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级上·江西宜春·期末）购买（    ）种包装的最贵。 A．② B．① C．③ 46.（25-26五年级上·上海徐汇·阶段检测） ( )    5.04千克＋32克＝( )千克 3.8升＝( )升( )毫升    ( ) 考点十四 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级上·山东淄博·期末）一个长方体玻璃缸容器，从容器里面量长6分米，宽5分米，高4分米，水深3.5分米，现在把一个棱长是3分米的正方体铁块放入水中（完全浸没），玻璃缸中的水会溢出( )升。 【变式训练】（25-26五年级上·山东·课后作业）一个棱长为10厘米的正方体容器装满水，放入一个石块后，水溢出了280毫升，那么这个石块的体积是( )立方厘米。如果用同样的空容器装溢出的水，水的高度是( )厘米。 考点十五 表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆奉节·期末）同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。 ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共（    ）块。 ②两面涂色的小正方体共（    ）块。 ③一面涂色的小正方体共（    ）块。 ④没有涂色的小正方体共（    ）块。 检验：总块数＝（    ），各类块数之和（    ）。 【变式训练】（25-26五年级下·山东菏泽·期中）如图，把一个六个面都涂上颜色的正方体木块切成27个大小相同的小正方体，一面涂色的有（    ）个，两面涂色的有（    ）个。 A．6；12 B．8；12 C．12；24 D．24；6 1．（24-25五年级下·山东德州·期末）下列说法中正确的有（    ）个。 ①棱长为6dm的正方体，它的体积和表面积相等。 ②两个分数的分母相同，这两个分数的分数单位就相同。 ③大于并且小于的分数只有1个。 ④5个班进行篮球比赛，每两个班比赛一场，一共要比赛20场。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26五年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．白兔只数的相当于黑兔只数，这里是把白兔只数看作单位“1”。 B．一个数（0除外）乘一个假分数，积一定比原来的数大。 C．因为，所以和互为倒数。 D．把一块假山石浸没在装满水的容器中，水溢出8升，所以假山石的体积是8升。 3．（23-24五年级下·北京顺义·期末）人体为了保持每天摄入水量和排出水量的动态平衡，需要通过食物和饮水来获得1500～2500（    ）的水量。 A．毫升 B．立方分米 C．升 D．千克 5．（24-25五年级下·山西运城·期中）把棱长为2cm的小正方体按照下面的方式摆放在桌面上。 (1)1个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (2)2个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (3)3个小正方体摆放在桌面上。有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (4)根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加( )个露在外面的面。面积就增加( )。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）在一个正方体的六个面上分别写有字母A，B，C，D，E，其中某两个相对的面上写有相同的字母。如图所示的是它的三种放置图，则字母( )被写了两遍。 7．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形一定是正方体。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·全国·单元测试）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 10．（24-25五年级下·广西桂林·期中）泥塑是一种传统民间技艺，艺人将黏土等材料经过揉、捏、塑等手法塑造出各种造型。星期日，小齐、小敏和小亮三名同学去体验泥塑，他们观察并测量了同一个长方体泥塑后，描述了以下信息。 小齐：如果高增加3分米，它恰好是一个正方体。 小敏：长方体的前后左右四个面的面积之和是72平方分米。 小亮：它的底面周长是24分米。 请你根据他们描述的信息，求出这个长方体泥塑的体积。 11．（24-25五年级下·山东济宁·期末）一个长方体的鱼缸，从里面量长15分米、宽6分米，缸内水深5分米，把一块珊瑚石完全浸没在水中后，水面上升了2厘米，且水没有溢出，这块珊瑚石的体积是多少立方分米？ 12．（25-26五年级下·河北保定·期中）某小区准备在楼房外安装一种长方体的铁皮排水管以便于雨季排水。这种排水管的长是30米，底面是边长为1分米的正方形。制作10根这样的排水管至少需要多少平方米的铁皮？ 13．（24-25五年级上·山东东营·期末）有一个长10厘米、宽8厘米、高12厘米的透明长方体玻璃容器。向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 14．（24-25五年级上·山东东营·期末）某市的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸，工人叔叔需要在园内挖一个长5.2米、宽28分米、深2.4米的长方体景观水池。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在水池的四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 15．（25-26五年级上·山东东营·期中）一间教室长10米，宽7米，高3米。要粉刷教室的屋顶和四面墙壁（除去门窗和黑板的面积28.6平方米），粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.3千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 16．（24-25五年级·全国·随堂练习）下图所示的是一个长方体的展开图，如果A面是前面，F面是左面，那么下面的面积是多少平方厘米？（单位：cm） 17．（25-26五年级上·山东烟台·期中）一个底面是正方形的无盖铁质长方体容器，侧面展开后是一个边长12分米的正方形。制作这个长方体容器至少需要( )平方分米的铁皮。 18．（23-24五年级下·河北邢台·期末）小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 19．（23-24五年级下·重庆巴南·期末）一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 20．（23-24五年级下·山西长治·期中）阅读应用。 信息一：从长方体一个顶点引出的3条棱的长短，决定长方体的大小。 信息二：计量一个物体的体积就是看这个物体含有多少个体积单位。 信息三：一个立体图形只要具备上、下底面完全一样，侧面与底面垂直这样的特征，我们就称这样的物体为“柱体”，柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算。如：长方体、正方体也是柱体，体积都可以用“底面积×高”来计算。 （1）上图分别是一个长方体从前面和从右面看到的图形，这个长方体从一个顶点引出的3条棱分别长（    ）厘米，（    ）厘米，（    ）厘米，棱长总和是（    ）厘米，体积是（    ）立方厘米。 （2）如图：不改变所搭成的长方体（半成品）的长、宽、高，要搭成一个完整的长方体，搭成后的长方体的体积是（    ）立方厘米。现在半成品的体积是（    ）立方厘米，还需要（    ）个小正方体。（每个小正方体体积是1立方厘米） （3）圆柱体也是柱体，图中圆柱体底面圆形的面积是28.26平方厘米，请问圆柱体的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题05 长方体和正方体的表面积和体积 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化 （共50题） 【解析版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 【答案】 648 576 【思路引导】用4个棱长6cm的小正方体可以拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是24cm、6cm、6cm，也可能是12cm、6cm、12cm，再根据长方体的表面积公式求解即可。 【规范解答】 （） （） 所以用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是648，也可能是576。 【变式训练】（25-26五年级下·河南信阳·阶段检测）光明小学科学小组做了一个长方体昆虫箱（如图），昆虫箱的上面是纱网，其他面均是透明板。制作这样一个昆虫箱至少需要透明板多少平方厘米？（透明板厚度忽略不计） 【答案】4900平方厘米 【思路引导】要计算需要透明板的面积，就是求长方体的表面积（上面纱网的面积除外），透明板的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数值即可。 【规范解答】 （平方厘米） 答：制作这样一个昆虫箱至少需要透明板4900平方厘米。 考点二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·山东·课后作业）根据下图，填“＞”“＜”或“＝”。 甲的体积( )乙的体积。 甲的表面积( )乙的表面积。 【答案】 ＜ ＝ 【思路引导】体积是物体所占空间的大小，假设每个小正方体体积为1单位，乙是完整的立体，甲比乙少1个小正方体，因此甲的体积＝乙的体积－1，所以甲的体积小于乙的体积。 表面积是立体图形所有面的面积总和。甲从乙的顶点处去掉1个小正方体时，原本该小正方体露在外面的3个面被去掉，但同时又露出了原本与内部贴合的3个面，面的数量没有变化，因此甲的表面积等于乙的表面积。据此分析。 【规范解答】根据分析：甲的体积＜乙的体积，甲的表面积＝乙的表面积。 【变式训练】（25-26五年级上·广东中山·期中）如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的体积就扩大到原来的（    ）倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．8，4 B．4，3 C．2，4 D．3，8 【答案】A 【思路引导】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，以及积的变化规律可知，一个正方体的棱长扩大到原来的若干倍，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，表面积扩大到原来的倍数×倍数。 【规范解答】2×2×2＝8 2×2＝4 这个正方体的体积就扩大到原来的8倍，它的表面积扩大到原来的4倍。 故答案为：A 考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（25-26五年级上·山东东营·期中）把4个完全一样的正方体一字排开，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是540平方厘米。如图，原来一个正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】180平方厘米 【思路引导】观察图形可知，拼成的长方体的表面积比4个小正方体的表面积之和减少了2×（4－1）＝6个小正方形的面。一个小正方体有6个面，那么4个小正方体一共有4×6＝24个小正方形的面。所以拼成的长方体的表面积相当于小正方形的面的数量为24－6＝18个。已知拼成的长方体的表面积是540平方厘米，由步骤一可知该长方体的表面积相当于18个小正方形的面的面积。那么小正方形一个面的面积为540÷18＝30平方厘米。因为一个正方体有6个面，且这6个面都是完全一样的小正方形，已知小正方形一个面的面积是30平方厘米。所以一个正方体的表面积为30×6＝180平方厘米。 【规范解答】6×4－2×（4－1） ＝24－2×3 ＝24－6 ＝18（个） 540÷18＝30（平方厘米） 30×6＝180（平方厘米） 答：原来一个正方体的表面积是180平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。 【答案】 1000 600 【思路引导】分析题目，根据“两个完全一样的长方体拼在一起，可以拼成一个棱长为10cm的大正方体”可知：长方体的长、宽都是10cm，高是（10÷2）cm；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体的体积； 两个长方体拼成一个正方体，会减少2个面，要使拼成的立体图形表面积最小，则减少的2个面要最大，即减少2个10×10的面，先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出1个长方体的表面积，再乘2即可得到2个长方体的表面积之和，最后用2个长方体的表面积减去减少的2个面的面积即可。 【规范解答】10×10×10＝1000（cm3） 10÷2＝5（cm） （10×10＋10×5＋10×5）×2×2－10×10×2 ＝（100＋50＋50）×2×2－10×10×2 ＝200×2×2－10×10×2 ＝800－200 ＝600（cm2） 那么这个大正方体的体积为1000cm3，还是这两个长方体，拼在一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为600cm2。 考点四 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）分别求出下面物体的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】386平方分米；420立方分米；150平方分米；113立方分米 【思路引导】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，把图中数据代入公式计算； （2）由图可知，该物体原来的表面积需要计算小长方体上面、前面、右面3个面的面积，该物体现在的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面3个面的面积，其它部分面积不变，该物体原来和现在需要计算的表面积相等，所以该物体的表面积等于大正方体的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，该物体的体积＝大正方体的体积－小长方体的体积，据此解答。 【规范解答】（1）表面积：（15×4＋15×7＋4×7）×2 ＝（60＋105＋28）×2 ＝193×2 ＝386（平方分米） 体积：15×4×7 ＝60×7 ＝420（立方分米） 所以，该物体的表面积是386平方分米，体积是420立方分米。 （2）表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 体积：5×5×5－2×3×2 ＝25×5－6×2 ＝125－12 ＝113（立方分米） 所以，该物体的表面积是150平方分米，体积是113立方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50000平方厘米 【思路引导】观察图形，可以把这个立体图形分割，上面可以分割成三个长方形，而且这三个长方形面积相等；长都是（300÷3＝100）厘米，宽都是50厘米；计算出面积再乘3；就是上面的面积；左右两边通过图形平移，面积也相等，长是50厘米，宽是（30＋40）厘米；计算出面积再乘2；就是左右两面的面积；前面和后面的面积相等；把前面分割成三个长方形，长都是（300÷3＝100）厘米，宽分别是30厘米，（30＋40）厘米，40厘米，计算出它们的面积，再乘2，就是前后面的面积，最后把得到的数相加，就是这个领奖台需要涂漆的面积。 【规范解答】上面的面积： 100×50×3 ＝5000×3 ＝15000（平方厘米） 左右面的面积： 50×（30＋40）×2 ＝50×70×2 ＝3500×2 ＝7000（平方厘米） 前后面的面积： [100×30＋100×（30＋40）＋100×40]×2 ＝[3000＋100×70＋4000]×2 ＝[3000＋7000＋4000]×2 ＝[10000＋4000]×2 ＝14000×2 ＝28000（平方厘米） 15000＋7000＋28000 ＝22000＋28000 ＝50000（平方厘米） 答：需要涂漆的面积是50000平方厘米。 考点五 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·山东淄博·期中）如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ 【答案】104立方分米 【思路引导】看图可知，长方体玻璃缸的长8分米，宽和高都是7分米，长方体玻璃缸的长×宽×空余部分的高度＝空余部分的容积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体体积－长方体玻璃缸空余部分的容积＝溢出的水的体积，据此列式解答。 【规范解答】6×6×6－8×7×（7－5） ＝6×6×6－8×7×2 ＝216－112 ＝104（立方分米） 答：玻璃缸里的水会溢出104立方分米。 【变式训练】（23-24五年级下·河南三门峡·期中）连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【思路引导】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【规范解答】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【考点剖析】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 考点六 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北黄石·期末）下图是由若干个小正方体搭建的几何体。 (1)这个几何体一共用了( )个小正方体。 (2)要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走( )号小正方体。 (3)若将它搭成一个大正方体，还需要添加( )个小正方体。 【答案】(1)9 (2)5 (3)18 【思路引导】（1）分别数出每层的小正方体数量再相加，即为小正方体的总个数。 （2）要保证正面和侧面看到的图形都不变，就要考虑取走从正面、侧面看都重叠的小正方体，由题目的几何体可知，是5号小正方体，据此解答。 （3）搭成的大正方体棱长至少需要3小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体需要的小正方体的个数，再减去已经摆小正方体的个数，即可解答。 【规范解答】（1）最下层有5个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体。 5＋3＋1＝9（个） （2）要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走5号小正方体。 （3）3×3×3－9 ＝9×3－9 ＝27－9 ＝18（个） 【变式训练】（25-26五年级上·山东烟台·期中）用一根48分米的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个正方体的棱长是( )分米；如果用铁皮包起来，至少需要铁皮( )平方分米；做出来的这个模型体积是( )立方分米。 【答案】 4 96 64 【思路引导】正方体有12条长度相等的棱，通过棱长总和可求出每条棱的长度；正方体表面积是6个完全相同的正方形的面积之和；正方体体积是棱长的立方，需依次结合公式计算。 【规范解答】（分米） （平方分米） （立方分米） 所以这个正方体的棱长是4分米；如果用铁皮包起来，至少需要铁皮96平方分米；做出来的这个模型体积是64立方分米。 考点七 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期中）大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的体积是( )立方厘米。 【答案】800 【思路引导】根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，用30×10×2即可求出水的体积，把容器竖起来，水的体积不变。水的体积＋姜的体积等于长为10厘米、宽为10厘米、高为14厘米的长方体体积；据此求出总的体积，再减去水的体积即可求出姜的体积。 【规范解答】10×10×14－30×10×2 ＝1400－600 ＝800（立方厘米） 这块姜的体积是800立方厘米。 【变式训练】（23-24五年级下·上海崇明·期末）有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】（1）2000立方厘米 （2）400毫升 【思路引导】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的体积不变，水的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙两个底面积之和的容器； 根据长方体的高h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【规范解答】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入400毫升水。 考点八 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【答案】 减少了 不变 【思路引导】当用3个相同的小正方体拼成一个大长方体时，会有4个面重合（每两个小正方体拼接会重合2个面，3个小正方体拼接共重合4个面），这4个面不再是大长方体表面积的一部分，所以表面积减少了； 拼成大长方体后，所占空间的大小等于3个小正方体所占空间大小之和，根据体积的定义，物体所占空间的大小不变，所以体积不变。 【规范解答】用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了，体积不变。 【变式训练】（24-25五年级下·河南商丘·期中）下图是一个长3cm，宽2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积（    ），体积（    ）。 A． 比原来大，比原来小 B．比原来小，比原来小 C．比原来大，不变 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】挖掉一个棱长1cm的小正方体后，这个长方体的表面积减少了2个面，同时增加了4个面，所以它的表面积增加了。挖掉一个棱长1cm小正方体后，比原来减少了一个小正方体的体积，所以说这个长方体的体积减少了，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个长3cm，宽2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积比原来大，体积比原来小。 故答案为：A 考点九 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）求下列①图形的表面积，求②的体积（单位：cm）。 【答案】①486cm2 ②2160cm3 【思路引导】①已知正方体的棱长是9cm，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 ②根据长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据，求出上下两个长方体的体积，再相加即可。 【规范解答】①9×9×6 ＝81×6 ＝486（cm2） 正方体的表面积是486cm2。 ②10×9×9＋15×10×9 ＝810＋1350 ＝2160（cm3） 组合图形的体积是2160cm3。 【变式训练】．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积150平方厘米；体积109立方厘米 【思路引导】对于表面积，可利用“补形法”，将其转化为正方体表面积（因为挖去小长方体后，表面减少和增加的部分可抵消，实际表面积等于原正方体表面积）；对于体积，用原正方体体积减去挖去的小长方体体积。涉及正方体表面积公式S＝6a2（a为棱长），正方体体积公式V＝a3，长方体体积公式V＝abh（a，b，h为长、宽、高）。 【规范解答】计算表面积： 根据正方体表面积公式S＝6a2，这里a＝5厘米， 所以表面积S＝6×52＝6×25＝150（平方厘米） 计算原正方体体积： 根据正方体体积公式V＝a3，a＝5厘米，原正方体体积 V正方体＝53 ＝5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 计算挖去的小长方体体积： 小长方体的长4厘米，宽2厘米，高2厘米（从图中可得），根据长方体体积公式V＝abh，体积V小长方体＝4×2×2 ＝8×2 ＝16（立方厘米） 计算不规则图形体积： 不规则图形体积等于原正方体体积减去小长方体体积，即V＝125－16＝109（立方厘米） 这个几何体的表面积是150平方厘米，体积是109立方厘米。 考点十 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级上·山东烟台·期中）一辆货车的油箱是一个长方体，长1.2米，宽0.5米，高0.4米。这个油箱的容积是多少升？汽车每行驶100千米耗油8升，加满油后可行驶多少千米？ 【答案】240升；3000千米 【思路引导】根据长方体的体积公式计算容积：，代入数据计算后，根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，把结果换算成用“升”作单位即可；汽车每行驶100千米耗油8升，用100千米除以8升可得到每升油可行驶多少千米，再乘油箱的容积，即可得加满油后可行驶多少千米。 【规范解答】 （立方米） 0.24立方米＝240立方分米 240立方分米＝240升 （千米） 答：这个油箱的容积是240升。加满油后可行驶3000千米。 【变式训练】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）如图，一块长方形铁皮的四角分别剪去一个边长3厘米的正方形后，正好可以折成一个无盖的长方体铁盒。 （1）这个长方体铁盒的容积是多少？ （2）乐乐说：“从这块铁皮的四角剪去的正方形越大，折成的长方体铁盒的容积就越大”，你同意这样的说法吗？请说明理由。 （3）在计算这个长方体表面积时，四位同学是这样算的： 欢欢：46×20＝920（平方厘米）（    ） 聪聪：46×20－3×3×4＝884（平方厘米）（    ） 明明：46－3×2＝40，20－3×2＝14，40×14＋（40×3＋14×3）×2 ＝884（平方厘米）（    ） 杰杰：46－3×2＝40，20－3×2＝14，（40×14＋40×3＋14×3）×2 ＝1444（平方厘米）（    ） 请你在计算正确的括号后面打“√”，错误的后面打“×”，并选择你喜欢的一种方法，说说你的思考过程。 【答案】（1）1680立方厘米；（2）不同意；理由见详解；（3）见详解 【思路引导】（1）原长方形铁皮长46厘米、宽20厘米，四角剪去边长3厘米的正方形，折成无盖铁盒后的长为46－3×2＝46－6＝40（厘米），宽为20－3×2＝20－6＝14（厘米），高为3厘米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 （2）先假设剪去正方形的边长为4厘米，此时的长为46－4×2＝46－8＝38（厘米），宽为20－4×2＝20－8＝12（厘米），高为4厘米。 再假设剪去正方形的边长为6厘米，此时的长为46－6×2＝46－12＝34（厘米），宽为20－6×2＝20－12＝8（厘米），高为6厘米。 然后根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，分别把数据代入计算再比较判断即可。 （3）无盖长方体铁盒的表面积＝原长方形铁皮面积－4个剪去正方形的面积，或长方体铁盒的表面积＝底面面积＋四周侧面面积（2个长×高的面＋2个宽×高的面）。据此分析各位同学的算法，判断是否正确，然后选择其中一种计算。 【规范解答】（1）46－3×2＝46－6＝40（厘米） 20－3×2＝20－6＝14（厘米） 40×14×3＝1680（立方厘米） 答：这个长方体铁盒的容积是1680立方厘米。 （2）假设剪去正方形的边长为4厘米。 46－4×2＝46－8＝38（厘米） 20－4×2＝20－8＝12（厘米） 38×12×4＝1824（立方厘米） 假设剪去正方形的边长为6厘米。 46－6×2＝46－12＝34（厘米） 20－6×2＝20－12＝8（厘米） 34×8×6＝1632（立方厘米） 1632＜1824 答：不同意“从这块铁皮的四角剪去的正方形越大，折成的长方体铁盒的容积就越大”的说法，因为剪去正方形边长增大到一定程度后，容积会减小。 （3）欢欢：只计算了原长方形铁皮面积，没减去剪去的正方形面积，错误。 聪聪：原长方形面积46×20减去4个边长为3的正方形面积（3×3×4），符合无盖铁盒表面积计算（无盖，所以减去4个正方形面积），正确。 明明：先算铁盒的长46－3×2＝40、宽20－3×2＝14，再用“底面面积（40×14）＋四周侧面面积（（40×3＋14×3）×2）”，符合无盖铁盒表面积计算（底面＋两个长侧面＋两个宽侧面），正确。 杰杰：错误使用了有盖长方体的表面积公式（（长×宽＋长×高＋宽×高）×2），但铁盒无盖，多算了一个顶面面积，错误。 选择明明的方法。 46－3×2＝46－6＝40（厘米） 20－3×2＝20－6＝14（厘米） 40×14＋（40×3＋14×3）×2 ＝40×14＋（120＋42）×2 ＝40×14＋162×2 ＝560＋324 ＝884（平方厘米） 欢欢：46×20＝920（平方厘米）（×） 聪聪：46×20－3×3×4＝884（平方厘米）（√） 明明：46－3×2＝40，20－3×2＝14，40×14＋（40×3＋14×3）×2 ＝884（平方厘米）（√） 杰杰：46－3×2＝40，20－3×2＝14，（40×14＋40×3＋14×3）×2 ＝1444（平方厘米）（×） 答：思考过程：折成的无盖铁盒，长是原长减去两个正方形边长，宽是原宽减去两个正方形边长，高是正方形边长（3厘米）。无盖铁盒的表面积由底面和四周侧面组成：底面是长40厘米、宽14厘米的长方形；四周侧面包括2个“长×高”的面和2个“宽×高”的面，所以侧面总面积是将底面和侧面面积相加。 考点十一 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）如下图，海海准备用一个长方体容器测量一块珊瑚石的体积。 （1）下面几步操作中，你认为有必要进行的是（    ）（填序号）。 ①测量出容器的高是9cm，并计算出它的容积。 ②珊瑚石完全浸入水中时，测得水面的高度是7cm。 ③取出珊瑚石后，测得水面的高度是6cm。 （2）请你计算出这块珊瑚石的体积。 【答案】②③；64cm3 【思路引导】测量不规则物体的体积时，可将长方体容器装一定体积的水，测量出此时的水面高度，再将不规则物体放入容器中，此时测出水面高度，根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，计算出体积差值，可得出不规则物体的体积。有必要进行的是：②珊瑚石完全浸入水中时，测得水面的高度是7cm；③取出珊瑚石后，测得水面的高度是6cm。没有必要进行的是：①测量出容器的高是9cm，并算出它的容积。 【规范解答】（1）下面几步操作中，有必要进行的是②③。 （2）珊瑚石的体积：（cm3） 答：这块珊瑚石的体积是64cm3。 【变式训练】（25-26五年级上·山东·课后作业）一个正方体容器，棱长10厘米，放入一个苹果，苹果全部浸没后，水面升高3.15厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ 【答案】315立方厘米 【思路引导】苹果浸没后，水面上升的体积就等于苹果的体积。正方体容器的棱长为10厘米，即底边边长为10厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”求出容器的底面积；然后用容器的底面积乘水面上升的高度3.15厘米，即可得到苹果的体积。 【规范解答】10×10×3.15 ＝100×3.15 ＝315（立方厘米） 答：这个苹果的体积是315立方厘米。 考点十二 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）某航空公司规定体积超过55cm×40cm×20cm（含任一对应的边超标）或质量超过10kg的行李，需要将其托运。李叔叔带了一个长38cm、宽15cm、体积是34.2dm3、质量是9.8kg的行李箱，这个行李箱需要托运吗？ 【答案】这个行李箱需要托运 【思路引导】1dm＝1000cm，由大单位换成小单位乘进率；根据长方体的体积公式，可得长方体的高等于体积除以长再除以宽，求出李叔叔所带行李箱的高，再与航空公司规定的长宽高比较大小，若均未超标则不需要托运；反之，需要托运；据此解答。 【规范解答】34.2dm＝34200cm      （cm） 航空公司规定的尺寸：55cm40cm20cm，李叔叔的行李箱的尺寸38cm15cm60cm，所以李叔叔的行李箱超规。 答：这个行李箱需要托运。 【变式训练】（23-24五年级下·天津·期末） 7900dm3＝( )m3             10.08L＝( )mL 220mL＝( )L＝( )dm3      300cm2＝( )m2 【答案】 7.9 10080 0.22 0.22 0.03 【思路引导】根据1m3＝1000dm3；1L＝1000mL；1L＝1dm3；1m2＝10000cm2；把高级单位换算成低级单位，用乘法乘它们之间的进率，把低级单位换算成高级单位，用除法除以它们之间的进率。 【规范解答】7900÷1000＝7.9 10.08×1000＝10080 220÷1000＝0.22 0.22L＝0.22dm3 300÷10000＝0.03 因此7900dm3＝7.9m3；10.08L＝10080mL；220mL＝0.22L＝0.22dm3；300cm2＝0.03m2。 考点十三 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级上·江西宜春·期末）购买（    ）种包装的最贵。 A．② B．① C．③ 【答案】A 【思路引导】根据1L＝1000mL，把mL换算成L，然后用钱数除以升数，求出每升的钱数，然后对比即可。 【规范解答】A．4.5÷1＝4.5（元） B．350mL＝0.35L，1÷0.35≈2.9（元） C．7.5÷1.75≈4.3（元） 4.5＞4.3＞2.9 故答案为：A 46.（25-26五年级上·上海徐汇·阶段检测） ( )    5.04千克＋32克＝( )千克 3.8升＝( )升( )毫升    ( ) 【答案】 4.95 5.072 3 800 199.8 【思路引导】本题考查单位换算和计算。对于面积单位，1dm²＝100 cm²，1m²＝100dm²；对于质量单位，1kg＝1000g；对于容积单位，1 L＝1000 mL。需要根据这些关系进行换算和计算。 【规范解答】（1）495cm² 换算为dm²：因为1dm²＝100cm²，所以495÷100＝4.95，即495cm²＝4.95dm²。 （2）5.04千克＋32克：先将 32克换算为千克，32÷1000＝0.032千克，然后计算5.04＋0.032＝5.072千克，即5.04千克＋32克＝5.072千克。 （3）3.8升换算为升和毫升：整数部分为3升，小数部分0.8升＝0.8×1000＝800毫升，所以3.8升＝3升800毫升。 （4）20cm²＋（ ）dm²＝2m²：先将单位统一为dm²。2m²＝200dm²，20cm²＝20÷100＝0.2dm²。 故该数＝200－0.2＝199.8 dm²。20cm²＋199.8dm²＝2m² 考点十四 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级上·山东淄博·期末）一个长方体玻璃缸容器，从容器里面量长6分米，宽5分米，高4分米，水深3.5分米，现在把一个棱长是3分米的正方体铁块放入水中（完全浸没），玻璃缸中的水会溢出( )升。 【答案】12 【思路引导】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，计算出正方体铁块体积、长方体容器中水的体积、长方体容器的容积。然后用正方体铁块的体积加上长方体容器中水的体积再减去长方体容器的容积就是溢出水的体积，再根据1立方分米＝1升进率换算解答即可。 【规范解答】3×3×3＋6×5×3.5－6×5×4 ＝9×3＋30×3.5－30×4 ＝27＋105－120 ＝132－120 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 所以，玻璃缸中的水会溢出12升。 【变式训练】（25-26五年级上·山东·课后作业）一个棱长为10厘米的正方体容器装满水，放入一个石块后，水溢出了280毫升，那么这个石块的体积是( )立方厘米。如果用同样的空容器装溢出的水，水的高度是( )厘米。 【答案】 280 2.8 【思路引导】放入一个石块后，水溢出了280毫升，石块的体积就是溢出水的体积，1毫升＝1立方厘米；用同样的空容器装溢出的水，根据长方体体积＝长×宽×高，而这个长方体的长和宽就是正方体的棱长，所以用溢出水的体积÷棱长÷棱长可算出水的高度。 【规范解答】280毫升＝280立方厘米 这个石块的体积是280立方厘米； 280÷10÷10 ＝28÷10 ＝2.8（厘米） 所以水的高度是2.8厘米。 考点十五 表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆奉节·期末）同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。 ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共（    ）块。 ②两面涂色的小正方体共（    ）块。 ③一面涂色的小正方体共（    ）块。 ④没有涂色的小正方体共（    ）块。 检验：总块数＝（    ），各类块数之和（    ）。 【答案】①8；②36；③52； ④24；120；120 【思路引导】通过阅读材料我们得到几个结论（1）正方体是特殊的长方体；（2）三面涂色的小正方体只在正方体的8个顶点处；（3）两面涂色的小正方体在12条棱上，每条棱的2个顶点处的小正方体不包含在内；（4）只有一面涂色的小正方体位于6个面上，位于四条棱的中间，长、宽、高减2后分别两两相乘即得到前（后）面、左（右）面、上（下）面，只有一面涂色的小正方体个数；（5）没涂色的小正方体在6个面的内部，长、宽、高分别减2后计算乘积；（6）总块数＝长×宽×高，据此解答。 【规范解答】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块 ②两面涂色的小正方体： 4×（6－2）＋4×（4－2）＋4×（5－2） ＝4×4＋4×2＋4×3 ＝16＋8＋12 ＝36（块） ③一面涂色的小正方体： （6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝4×3×2＋2×3×2＋4×2×2 ＝24＋12＋16 ＝52（块） ④没有涂色的小正方体： （6－2）×（4－2）×（5－2） ＝4×2×3 ＝24（块） 总块数：6×4×5 ＝24×5 ＝120（块） 各类块数之和：8＋36＋52＋24 ＝44＋52＋24 ＝120（块） 【变式训练】（25-26五年级下·山东菏泽·期中）如图，把一个六个面都涂上颜色的正方体木块切成27个大小相同的小正方体，一面涂色的有（    ）个，两面涂色的有（    ）个。 A．6；12 B．8；12 C．12；24 D．24；6 【答案】A 【思路引导】由图可知，一面涂色的小正方体位于面的中心（不含棱），大正方体有6个面。两面涂色的小正方体位于大正方体每条棱的中间，每条棱上两面涂色的小正方体有1个，大正方体有12条棱。 【规范解答】一面涂色的小正方体有：（个） 两面涂色的小正方体有：（个） 1．（24-25五年级下·山东德州·期末）下列说法中正确的有（    ）个。 ①棱长为6dm的正方体，它的体积和表面积相等。 ②两个分数的分母相同，这两个分数的分数单位就相同。 ③大于并且小于的分数只有1个。 ④5个班进行篮球比赛，每两个班比赛一场，一共要比赛20场。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】依据体积、表面积的含义与计量单位不同进行判断。 分母是几，分数单位就是几分之一。 利用分数基本性质，通过通分放大分母，判断区间内分数的个数。 运用单循环赛计算公式，总场次＝班数×（班数－1）÷2，计算验证。 【规范解答】①体积和表面积单位不同，不能比较大小，原题说法错误。 ②分母相同，这两个分数的分数单位就相同，原题说法正确。 ③大于并且小于的分数有无数个，原题说法错误。 ④5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（场） 原题说法错误。 综上，只有②说法正确，正确的有1个。 2．（25-26五年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．白兔只数的相当于黑兔只数，这里是把白兔只数看作单位“1”。 B．一个数（0除外）乘一个假分数，积一定比原来的数大。 C．因为，所以和互为倒数。 D．把一块假山石浸没在装满水的容器中，水溢出8升，所以假山石的体积是8升。 【答案】A 【思路引导】A．一般将分数“的”字前面的量看作单位“1”，把“是”“占”“比”后面的量看作单位“1”，白兔只数的相当于黑兔只数，此时把白兔的只数看作单位“1”； B．一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小；一个大于0的数乘大于1的数，积比原来的数大；一个大于0的数乘1，积等于原来的数；而假分数大于或者等于1，所以积不一定比原来的数大； C．如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，1的倒数还是1，0没有倒数； D．常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，8升＝8立方分米，所以假山石的体积应该是8立方分米，而不是8升，据此解答。 【规范解答】A．分析可知，白兔只数的相当于黑兔只数，这里是把白兔只数看作单位“1”，该选项说法正确； B．一个数（0除外）乘一个假分数，积不一定比原来的数大，如：×＝，是假分数，此时积等于原来的数，该选项说法错误； C．由倒数的意义可知，，而≠1，所以和不是倒数关系，该选项说法错误； D．分析可知，8升＝8立方分米，把一块假山石浸没在装满水的容器中，水溢出8升，所以假山石的体积是8立方分米，该选项说法错误。 故答案为：A 3．（23-24五年级下·北京顺义·期末）人体为了保持每天摄入水量和排出水量的动态平衡，需要通过食物和饮水来获得1500～2500（    ）的水量。 A．毫升 B．立方分米 C．升 D．千克 【答案】A 【思路引导】根据生活经验及数据的大小，人体每天需要获得1500~2500毫升的水量。 【规范解答】1立方分米＝1升＝1000毫升，人体每天需要获得1500~2500毫升的水量。 故答案为：A 4．（25-26五年级下·上海杨浦·阶段检测）一个正方体切成两个体积相等的长方体后，原正方体表面积是每个长方体的表面积的( )倍，原正方体体积是每个长方体体积的( )倍。 【答案】 1.5 2 【思路引导】 原正方体的表面积等于6个面的总面积，切成的每个长方体有4个一半的面可以组成2个原正方体的面，再加上另外2个不变的面，一共是4个原正方体的面，因为正方体的6个面完全相同，则把原正方体和切成的每个长方体中包含原正方体的面的个数相除，即可求出原正方体表面积是每个长方体的表面积的几倍； 把切成的每个长方体的体积看作1份，则原正方体的体积是这样的2份，用原正方体体积的份数除以每个长方体体积的份数，即可求出原正方体体积是每个长方体体积的几倍。 【规范解答】6÷4＝1.5 2÷1＝2 5．（24-25五年级下·山西运城·期中）把棱长为2cm的小正方体按照下面的方式摆放在桌面上。 (1)1个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (2)2个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (3)3个小正方体摆放在桌面上。有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (4)根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加( )个露在外面的面。面积就增加( )。 【答案】(1) 5 20 (2) 9 36 (3) 13 52 (4) 4 16 【思路引导】（1）正方体共6个面，减去接触桌面的1个底面，露在外面5个面，用面数乘单个面面积求出总面积。 （2）下面正方体露4个面，上面正方体露5个面，相加求出总面数，再乘单个面面积，求出总面积。 （3）在2个正方体的基础上，新增1个正方体增加4个面，总面数加4，再乘单个面面积，求出总面积。 （4）观察前3次的面数变化，每次增加4个面，用增加的面数乘单个面面积求出增加的面积。 【规范解答】（1）2×2＝4（cm2） 5×4＝20（cm2） 1个小正方体摆放在桌面上，有5个面露在外面，露在外面的面积是20cm2。 （2）5＋4＝9（个） 9×4＝36（cm2） 2个小正方体摆放在桌面上，有9个面露在外面，露在外面的面积是36cm2。 （3）5＋4＋4＝13（个） 13×4＝52（cm2） 3个小正方体摆放在桌面上。有13个面露在外面，露在外面的面积是52cm2。 （4）4×4＝16（cm2） 根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加4个露在外面的面。面积就增加16 cm2。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）在一个正方体的六个面上分别写有字母A，B，C，D，E，其中某两个相对的面上写有相同的字母。如图所示的是它的三种放置图，则字母( )被写了两遍。 【答案】B 【思路引导】正方体面的位置关系有相邻与相对两种，相邻面不可能相对，根据面位置特征进行判断。 【规范解答】从三种放置图可以看出，和B相邻的有C，E，A，D，那么和它相对的就是B。 在一个正方体的六个面上分别写有字母A，B，C，D，E，其中某两个相对的面上写有相同的字母。如图所示的是它的三种放置图，则字母B被写了两遍。 【考点剖析】依据正方体面的位置关系，把相邻的面排除后，可知结果。 7．（2014五年级·全国·课后作业）一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据正方体的体积公式，体积＝棱长×棱长×棱长。当棱长扩大到原来的2倍时，体积扩大的倍数是3个2相乘的积，据此判断。 【规范解答】棱长扩大到原来的2倍，体积扩大的倍数是：2×2×2＝8 即体积扩大到原来的8倍。 故答案为：√ 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形一定是正方体。( ) 【答案】× 【思路引导】长方体也具有12条棱、6个面和8个顶点的特征，但长方体不一定是正方体（例如长方体的长、宽、高可能不相等）。因此，具有这些特征的立体图形不一定是正方体。 【规范解答】长方体有12条棱、6个面和8个顶点。因此，有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形不一定是正方体，也可能是长方体。原题说法错误。 故答案为：× 9．（24-25五年级下·全国·单元测试）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：730平方厘米 体积：1000立方厘米 【思路引导】计算立体图形的表面积时，先按完整大长方体计算表面积，再减去凹槽处两个小正方形面积，加上凹槽处两个小长方形面积； 计算体积时，用大长方体的体积减去凹槽处小长方体的体积，据此解答。 【规范解答】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 10．（24-25五年级下·广西桂林·期中）泥塑是一种传统民间技艺，艺人将黏土等材料经过揉、捏、塑等手法塑造出各种造型。星期日，小齐、小敏和小亮三名同学去体验泥塑，他们观察并测量了同一个长方体泥塑后，描述了以下信息。 小齐：如果高增加3分米，它恰好是一个正方体。 小敏：长方体的前后左右四个面的面积之和是72平方分米。 小亮：它的底面周长是24分米。 请你根据他们描述的信息，求出这个长方体泥塑的体积。 【答案】 108立方分米 【思路引导】根据小齐的描述“如果高增加3分米，它恰好是一个正方体”，可知该长方体的底面是正方形（长和宽相等）。 根据小亮的描述“底面周长是24分米”，结合底面是正方形，根据“正方形的周长÷4＝边长”，可以求出长方体的长和宽。 根据小敏的描述“前后左右四个面的面积之和是72平方分米”，即长方体的侧面积是72平方分米，因为长方体的侧面展开是一个长方形，长等于长方体的底面周长，宽等于长方体的高，所以，长方体的侧面积＝底面周长×高，可知长方体的侧面积÷底面周长＝高，即可求出长方体的高。 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出长方体泥塑的体积。 【规范解答】24÷4＝6（分米） 72÷24＝3（分米） 6×6×3 ＝36×3 ＝108（立方分米） 答：这个长方体泥塑的体积是108立方分米。 11．（24-25五年级下·山东济宁·期末）一个长方体的鱼缸，从里面量长15分米、宽6分米，缸内水深5分米，把一块珊瑚石完全浸没在水中后，水面上升了2厘米，且水没有溢出，这块珊瑚石的体积是多少立方分米？ 【答案】18立方分米 【思路引导】根据题意，珊瑚石完全浸没在水中，水面上升部分水的体积就等于珊瑚石的体积。长方体体积公式为，需要先将水面上升的高度单位换算成分米，再利用长方体体积公式进行计算。 【规范解答】2 厘米＝0.2 分米 15×6×0.2 =90×0.2 =18（立方分米） 答：这块珊瑚石的体积是18立方分米。 12．（25-26五年级下·河北保定·期中）某小区准备在楼房外安装一种长方体的铁皮排水管以便于雨季排水。这种排水管的长是30米，底面是边长为1分米的正方形。制作10根这样的排水管至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】120平方米 【思路引导】排水管是长方体形状，制作时不需要上下两个底面，只需计算侧面积。长方体侧面积＝底面周长×长。先根据1米＝10分米，将分米换算成米，先用边长乘4求出底面周长，再计算一根排水管的侧面积，最后乘数量即可。 【规范解答】1分米＝0.1米 0.1×4×30 ＝0.4×30 ＝12（平方米） 12×10＝120（平方米） 答：制作10根这样的排水管至少需要120平方米的铁皮。 13．（24-25五年级上·山东东营·期末）有一个长10厘米、宽8厘米、高12厘米的透明长方体玻璃容器。向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】640毫升 【思路引导】分析题目，要使容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形，水面的高度等于长方体的宽也就是8厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据求出此时水的体积，再根据1立方厘米＝1毫升把单位换算成毫升即可。 【规范解答】10×8×8 ＝80×8 ＝640（立方厘米） 640立方厘米＝640毫升 答：水的体积是640毫升。 14．（24-25五年级上·山东东营·期末）某市的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸，工人叔叔需要在园内挖一个长5.2米、宽28分米、深2.4米的长方体景观水池。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在水池的四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】（1）14.56平方米； （2）662块 【思路引导】先统一单位，1米＝10分米，从小单位到大单位，除以进率。 （1）水池的占地面积即为长方体的底面面积，用长×宽计算得到； （2）贴瓷砖的总面积是长方体的底面积加上侧面积，即1个长×宽、2个宽×高和2个长×高的面积。再算出一块长方形瓷砖的面积，最后用需要贴瓷砖的总面积除以一块长方形瓷砖的面积，得到需要的瓷砖数量。 【规范解答】（1）28分米＝2.8米 5.2×2.8＝14.56（平方米） 答：这个水池的占地面积是14.56平方米。 （2）28分米＝2.8米 4分米＝0.4米 2分米＝0.2米 （5.2×2.4＋2.8×2.4）×2 ＝（12.48＋6.72）×2 ＝19.2×2 ＝38.4（平方米） 38.4＋14.56＝52.96（平方米） 52.96÷（0.4×0.2） ＝52.96÷0.08 ＝662（块） 答：至少需要662块这样的瓷砖。 15．（25-26五年级上·山东东营·期中）一间教室长10米，宽7米，高3米。要粉刷教室的屋顶和四面墙壁（除去门窗和黑板的面积28.6平方米），粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.3千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 【答案】143.4平方米；43.02千克 【思路引导】要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，也就是长方体的上面，前后两个面，左右两个面的和，减去门窗和黑板的面积。用粉刷面积乘平均每平方米的涂料质量，即为需要的涂料总质量。 【规范解答】10×7＋10×3×2＋7×3×2－28.6 ＝70＋60＋42－28.6 ＝143.4（平方米） 143.4×0.3＝43.02（千克） 答：粉刷面积是143.4平方米，至少需要43.02千克涂料。 16．（24-25五年级·全国·随堂练习）下图所示的是一个长方体的展开图，如果A面是前面，F面是左面，那么下面的面积是多少平方厘米？（单位：cm） 【答案】48平方厘米 【思路引导】如果A面是前面，F面是左面，那么长方体下面是长为8厘米、宽为6厘米的长方形，利用长方形面积公式：，计算其面积即可。 【规范解答】（平方厘米） 答：下面的面积是48平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查长方体展开图的应用，关键是根据所给信息判断哪个面是下面。 17．（25-26五年级上·山东烟台·期中）一个底面是正方形的无盖铁质长方体容器，侧面展开后是一个边长12分米的正方形。制作这个长方体容器至少需要( )平方分米的铁皮。 【答案】153 【思路引导】无盖长方体容器有5个面，表面积即侧面加1个底面的面积。侧面是一个正方形，面积＝边长×边长＝12×12＝144平方分米；侧面展开的边长＝底面周长，底面边长＝12÷4＝3分米；底面面积＝3×3＝9平方分米；表面积＝侧面面积＋底面面积＝144＋9＝153平方分米。 【规范解答】侧面：12×12＝144（平方分米） 底面：12÷4＝3（分米） 3×3＝9（平方分米） 表面积：144＋9＝153（平方分米） 一个底面是正方形的无盖铁质长方体容器，侧面展开后是一个边长12分米的正方形。制作这个长方体容器至少需要153平方分米的铁皮。 【考点剖析】无盖长方体表面积包含5个面，侧面展开边长等于底面周长。 18．（23-24五年级下·河北邢台·期末）小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压），收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 【答案】656平方厘米；28个 【思路引导】纸板的面积等于原来长方形的纸板的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答；收纳盒的长为（30－4×2＝22）厘米，宽为（24－4×2＝16）厘米，高为4厘米，收纳盒的长和茶叶盒的高重合可以放（22÷3）个茶叶盒，收纳盒的宽和茶叶盒的宽重合可以放（16÷4）个茶叶盒，收纳盒的高和茶叶盒的长重合可以放（4÷4）个茶叶盒，最后相乘求出收纳盒放置茶叶盒的总数量。 【规范解答】30×24－4×4×4 ＝720－16×4 ＝720－64 ＝656（平方厘米） （30－4×2）÷3 ＝（30－8）÷3 ＝22÷3 ＝7（个）……1（厘米） （24－4×2）÷4 ＝（24－8）÷4 ＝16÷4 ＝4（个） 4÷4＝1（个） 4×7×1＝28（个） 答：这个收纳盆所用纸板的面积是656平方厘米，收纳盒最多可以放28个茶叶盒。 【考点剖析】计算容器里面最多可以装多少物体时，如果所装物体的形状固定，那么需要考虑实际情况，不能简单地用除法解决问题。 19．（23-24五年级下·重庆巴南·期末）一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 【答案】14.4立方分米 【思路引导】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的表面积、体积公式解答； 由长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，据此可求出长方形长与宽的和，再结合长方形的面积＝长×宽，可判断出长方形纸板的长与宽； 由长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2可得，长方体的高＝（表面积÷2－长×宽）÷（长＋宽），据此可求出长方体的高； 然后根据长方体的体积＝长×宽×高，可求出这个长方体的体积。 【规范解答】10÷2＝5（分米） 3＋2＝5（分米） 3×2＝6（平方分米） 因此可知：长方形的长是3分米，宽是2分米。 长方体的高： （36÷2－3×2）÷（3＋2） ＝（18－6）÷5 ＝12÷5 ＝2.4（分米） 长方体的体积：3×2×2.4 ＝6×2.4 ＝14.4（立方分米） 答：这个长方体的体积是14.4立方分米。 【考点剖析】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。 20．（23-24五年级下·山西长治·期中）阅读应用。 信息一：从长方体一个顶点引出的3条棱的长短，决定长方体的大小。 信息二：计量一个物体的体积就是看这个物体含有多少个体积单位。 信息三：一个立体图形只要具备上、下底面完全一样，侧面与底面垂直这样的特征，我们就称这样的物体为“柱体”，柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算。如：长方体、正方体也是柱体，体积都可以用“底面积×高”来计算。 （1）上图分别是一个长方体从前面和从右面看到的图形，这个长方体从一个顶点引出的3条棱分别长（    ）厘米，（    ）厘米，（    ）厘米，棱长总和是（    ）厘米，体积是（    ）立方厘米。 （2）如图：不改变所搭成的长方体（半成品）的长、宽、高，要搭成一个完整的长方体，搭成后的长方体的体积是（    ）立方厘米。现在半成品的体积是（    ）立方厘米，还需要（    ）个小正方体。（每个小正方体体积是1立方厘米） （3）圆柱体也是柱体，图中圆柱体底面圆形的面积是28.26平方厘米，请问圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）6；3；2；40；36 （2）36；14；22 （3）197.82立方厘米 【思路引导】（1）如图，长方形前面的长就是长方体的长，前面的宽是长方体的高，右边的长是长方体的宽，据此确定长方体的长、宽、高，再根据长方体棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，计算出长方体的棱长之和，最后根据长方体体积＝长×宽×高，即可计算出长方体的体积。 （2）如图，因为每个小正方体的体积都是1立方厘米，所以每个小正方体的棱长是1厘米，要搭成一个完整的长方体，这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，即可计算出长方体的体积。数出搭这个半成品的小正方体的个数，有多少个，它的体积就是多少立方厘米。由于搭成的正方体体积是多少立方厘米，就需要多少个小正方体，再用一共需要的小正方体个数减去搭成半成品的个数，即可计算出还需要多少个小正方体。 （3）根据题意，圆柱体的体积＝底面积×高，即可计算圆柱的体积。 【规范解答】（1）这个长方体从一个顶点引出的3条棱长分别为：6厘米，3厘米，2厘米。 （6＋3＋2）×4 ＝11×4 ＝44（厘米） 6×3×2＝36（立方厘米） 所以，棱长总和是40厘米，体积是36立方厘米。 （2）要搭成一个完整的长方体，这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米。 4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方厘米） 搭这个半成品需要14个小正方体，所以半成品的体积是14立方厘米。 36－14＝22（个），即还需要22个小正方体。 （3）28.26×7＝197.82（立方厘米） 答：这个圆柱体的体积是197.82立方厘米。 【考点剖析】本题解题的关键是熟练掌握长方体棱长之和，长方体体积，圆柱体积的计算方法。题目文字较多，一定要沉下心认真审题，找出关键信息。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题05长方体和正方体的表面积和体积 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化（共50题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 五年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 5 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）图威的立体图形。 1,长方体的定义 ,形状可能相同 1.表面职与楼长扩倍关系 长方体（碳正方体）的棱长扩大到原来的n倍， 2.长方体的组成 表面积扩大到原来的信。 (1)6个面都是长方形（特殊情况有两个面是正方形） 1.长方体和正方体的 5.体积与 2.体积与转长护倍关系 (2)相对的面面积相等，平行 (3)相对的棱长度相等，平行 认识及特征 表面积的关系 (d)相对的顶点间的距高相等 3.长方体的特征 3.绵合关系 相关于一个顶点的三条棱分别叫做长、宽，高 长方体（成正方体）的长，宽，高同时扩大a倍 体积扩大倍，表面积扩大倍 物体完全浸没在水中时，排开水的体职等于物体的体积 长 1排水法原理 由6个完全相同的正方形成的立体图形，叫做正方体 (1)在容器中倒入适量的水，记下水位 1,正方体的认识 2,排水法步凛 (2》将物体完全漫入水中，再记下水位。 ()面：6个面，都是正方彩，大小完全相同 (2)棱：12条棱，所有棱长度相等 6.排水法求 (3)排开水的体积=水面上升部分的体积。 (3)顶点：8个顶点，每个顶点连接3条棱 2.正方体的组成 不规则物体体积 Vn-vae-Va-Va (1)6个面都是正方形，且大小完全相同 专题05 3.排水法体积公式 高相等，统称为检长 长方体和正方体的 生意，必将物体完全浸没。且无水出 2.正方体的 认识及特征 表面积和体积 长方体6个而的总面积（包括上下，前后， 1.长.k方的ah 左右6个长方形)之和 7.解决问题 1.等积变形：形状变了。体积不变 4.体积 2.转化思想：将复录问题转化成已学知识解决 其中：a=长，b=宽，h高 的策略 ,体积的认识 物体所占空间的大小，常用体积单位： 正方体6个面究全相同。表面积=棱长×棱长×6 4.图形分析：商图帮脑理解，找出关过条件和败蔓美系 立方厘米(em).立方分米〔dm),立方米(m) 5列表法：有序不垂复地列学所有情况，过免遗漏 公式：S=6a2(a是棱长) 3.表面积 2长方体和正方体的体积公式 长方体：V=a×bxh 6.检验与验证：代入数露或画图验证结果显否合理 正方体：Va×aXa=a 常用公式汇总 切拼后表面积的变化有三种情况 3.体积单位间的进率1m=1000dm,1dnm=1000cm 长有体 正方体 (1)增加：切后多出两个面 1 L=1 dm'.1 mL=1 cm' 表面积：S=2(ab+ah+bh) 表面积：S=6a2 (2)减少：切后少了两个面 4.体积与容积的区别 体积：V=aXb×h 体积：V=a 《3)不变：只是形状改变了，表面积不变 体积（容纳物体的空向大小） 容积（容器所能容钠物体的体积） 其中：a=长，b亮，h高。a=棱长 ①物体占空间的大小 ①容器所能容纳的体积 黛用cm,dm,m 之堂用LmL 测量：从外测量长。宽、高 ③测量：从内邮刚量长。宽。高 3多动手操作，画图分析。培养空问现念 学习小贴 4,结合生活实解，学以致用，解决问题 知识梳理温故知新 知识点一长方体的认识及特征 1.长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2.长方体的组成 第2页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) （1)面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； (2)棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； (3)顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3.长方体的特征 名称 顶点 面 棱 个数 个数 形状 大小关系 条数 长度关系 长方体 8 长方形 相对的面完全相同 12 相对的棱长度相等 4.长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二正方体的认识及特征 1.正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是 特殊的长方体。 2.正方体的组成 (1)面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； (2)棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3)顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3.正方体的特征 （1)正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 (2)正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为 棱。 第3页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 名称 顶点 面 棱 个数 个数 形状 大小关系 条数 长度关系 正方体 8 6 正方形 所有的面均相等 12 所有的棱长度相等 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4.正方体和长方体的关系 (1)转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方 体。 （2)相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对 的面相等且平行。 (3)区别 特征 长方体 正方体 面 6个长方形（或2个正方形） 6个完全相同的正方形 棱 分3组，每组4条棱等长 12条棱全部等长 顶点与棱的关系 长、宽、高可能不同 长、宽、高相等（棱长） 知识点三长方体的表面展开图 1.长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 (1)一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； (2)二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； (3)二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种： (4)三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2.口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三 个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 第4页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 知识点四正方体的表面展开图 1.正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 (1)一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 (2)二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 P甲甲 (3)二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 (4)三三型，两侧各三个。 第5页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 2.口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三 一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五长方体的棱长及棱长总和 1.棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2.棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4仁（长+宽+高)×4，用字母表示为 L=(a+b+h)×4。 3.根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4一宽一高； 宽=棱长和÷4一长一高； 高=棱长和÷4一长一宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计 算步骤。 知识点六正方体的棱长及棱长总和 1.正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2.反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七长方体的表面积 1.长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个 长方形（或特殊情况下含正方形面)的面积之和。 2.长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示 为S-2ab+2ah+2bh=2(ab+ah+bh)。 高 长 第6页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 3.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4.表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注 意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、 方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八正方体的表面积 1.正方体的表面积：正方体的表面积是指6个完全相同的正方形面的总面积。 2.正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a。 3.表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个 面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加， 二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1.切割引起的表面积增加 （1)正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开)，此时表面积会增加2个正方 形的面（切口处的两个新面)，用公式表示为增加面积=2a2。 (2)长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加2个宽×高的面； ③沿高切割：增加2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化， 在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 (3)多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面…将长方体或正方体切割成n段，需切(n一1) 刀，每刀增加2个面，总增加面积为2(n一1)×截面面积。 第7页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 段数一1=刀数；刀数×2=切面个数。 2.拼接引起的表面积减少 ()正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三 个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方 形的个数。 （2)长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3.特殊的切拼问题 （1)将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配， 需要计算切口增加的截面面积 (2)将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算 所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十立方体表面染色问题 1.立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表 面染色后统计不同颜色面的数量。 2.染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （)三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数 量：8个。 (2)染两个面的小正方体数量：12×（a一2)。 (3)染一个面的小正方体数量：6×（a一2)×（a一2)。 (4)没有染色的面的小正方体数量：(a一2)×（a一2)×(a一2)。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一体积和容积的认识 1.体积 （1)体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米(cm3)、立方分米(dm3)、 立方米(m),1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 (2)测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2.容积 （1)容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升(L)、毫升(mL)。 第8页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (2)测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3.体积和容积的区别 特征 体积 容积 测量对象 所有物体 容器类物体（如箱子、杯子） 单位侧重 通用单位(m3、dm等) 液体/气体常用(L、mL) 大小关系 同一容器的体积≥容积 容积忽略容器壁厚度时等于体积 应用场景 计算物体占据的空间 计算容器内可容纳物体的量 知识点十二体积和容积的单位 1.体积单位 (1)立方米(m3) 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m的卧室)、冰箱外 部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 (2)立方分米(dm3) 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm)、微波炉的容积、小 纸箱的容量等。 (3)立方厘米(cm3) 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1c3)、药片体积、橡皮擦大小等。 2.容积单位 (1)升(L) 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油)、汽车油箱容量（如 50L)、大瓶饮料（如2L可乐)等。 （2)毫升(mL) 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL)、小瓶装酸奶（100mL)、 口服液剂量（如5ml)等。 3.总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分 米等。 4.体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 第9页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 5.容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6.体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7.单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三长方体的体积 1.长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2.体积公式变形，反求长、宽、高 （1)长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 (2)宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 (3)高=体积÷长÷宽，h=V÷a÷b。 知识点十四正方体的体积 1.正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长X棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a=a,读作“a的立方”表示3个a 相乘。 2.区分2a、a2和a3 2a=2Xa,表示两个a相加；a2=aXa,表示两个a相乘；a3=aXaXa,表示3个a相乘。 知识点十五长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1.正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大3=9倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大102=100倍。 2.长方体的表面积与棱长扩倍关系 (1)如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的倍。 (2)如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3.正方体的体积与棱长扩倍关系 第10页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大a倍，体积扩大ā3倍。 4.长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大a倍，体积扩大a×a Xa=a3倍 知识点十六剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a,则 长=原长方形的长一2a; 宽=原长方形的宽一2a; 高=剪去的正方形边长a; 容积=长×宽×高=（原长一2a)×(原宽一2a)×a。 知识点十七等积变形问题 1.等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场 景。 2.等积变形问题常有以下类型 (1)熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 (2)倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 (3)液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八排水法求不规则物体体积 1.排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本 质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2.排水法求不规则物体的体积的步骤 (1)在容器中注入适量的水，记下水位。 (2)将不规则物体放入水中，再次记下水位。 (3)用尺子测量容器里现在水面的高度。 (4)用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3.排水法求不规则物体的体积公式 第11页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体V现在一V原来； ②V物体=SX(h现在一h原来)； ③V物体=SXh升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九不规则及组合立体图形的表面积和体积 1.在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 2.求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形 的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 优选题型考点讲练 考点一长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(24-25五年级·全国·随堂练习)用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体， 大长方体的表面积可能是( )cm2,也可能是( ）cm。 【变式训练】(25-26五年级下·河南信阳·阶段检测)光明小学科学小组做了一个长方体昆虫箱（如 图)，昆虫箱的上面是纱网，其他面均是透明板。制作这样一个昆虫箱至少需要透明板多少平方厘米？ (透明板厚度忽略不计) 30cm 25cm 40cm 考点二正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(25-26五年级上·山东·课后作业)根据下图，填“>”“<”或“=”。 甲 甲的体积( )乙的体积。 甲的表面积( )乙的表面积。 第12页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】（25-26五年级上·广东中山·期中)如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么 这个正方体的体积就扩大到原来的()倍，它的表面积扩大到原来的()倍。 A.8,4 B.4,3 C.2,4 D.3,8 考点三立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(25-26五年级上·山东东营·期中)把4个完全一样的正方体一字排开，拼成一个长 方体，这个长方体的表面积是540平方厘米。如图，原来一个正方体的表面积是多少平方厘米？ 日→ 【变式训练】(24-25五年级下·浙江杭州·期中)把两个完全一样的长方体拼在一起，它们可以拼 成一个棱长为10cm的大正方体，那么这个大正方体的体积为( )cm,还是这两个长方体，拼在 一起，要使拼成的立体图形表面积最小，那么这个立体图形的表面积为( )cm2。 考点四组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·河南南阳·期中)分别求出下面物体的表面积和体积。（单位：分 米) 2 15 第13页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(24-25五年级下·河南商丘·期中)运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长 方体拼接而成的（如图单位：厘米)，拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面 积是多少平方厘米？ 40 40 2 30 3 300 考点五长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(25-26五年级上·山东淄博·期中)如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块 棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ /dm 8dm 6dm 【变式训练】(23-24五年级下·河南三门峡·期中)连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。 卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 (1)连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这 种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴)，这圈商标纸至少是多少平方厘米？ (2)连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张 长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图， 注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料)。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 第14页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) UDOE 36cm 考点六正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(24-25五年级下·湖北黄石·期末)下图是由若干个小正方体搭建的几何体。 356 (1)这个几何体一共用了( )个小正方体。 (2)要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走( )号小正方体。 (3)若将它搭成一个大正方体，还需要添加( )个小正方体。 【变式训练】（25-26五年级上山东烟台·期中)用一根48分米的铁丝围成一个最大的正方体框架， 这个正方体的棱长是( )分米；如果用铁皮包起来，至少需要铁皮( )平方分米；做出 来的这个模型体积是( )立方分米。 考点七体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·江西宜春·期中)大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒 伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高 度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的 体积是( )立方厘米。 10cm 30cm 第15页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】（23-24五年级下·上海崇明·期未)有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、 宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲 容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 10 40 (1)甲容器中水的体积是多少？ (2)现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器 中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 甲 10 10 40 考点八立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】(24-25五年级下·全国·课后作业)用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面 积( ),体积()。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【变式训练】(24-25五年级下·河南商丘·期中)下图是一个长3cm,宽2cm的长方体，将它挖掉 一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积（)，体积()。 A.比原来大，比原来小 B.比原来小，比原来小 C.比原来大，不变 D.无法确定 考点九组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·湖北十堰·期中)求下列①图形的表面积，求②的体积（单位：cm)。 第16页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新） 9 10 10 9 15 ① ② 【变式训练】，（24-25五年级下·湖北十堰·期中)计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米) 考点十长方体、正方体的容积 【典例精讲】(24-25五年级上·山东烟台·期中)一辆货车的油箱是一个长方体，长1.2米，宽0.5 米，高0.4米。这个油箱的容积是多少升？汽车每行驶100千米耗油8升，加满油后可行驶多少千米？ 【变式训练】(24-25五年级下·福建龙岩·期中)如图，一块长方形铁皮的四角分别剪去一个边长 3厘米的正方形后，正好可以折成一个无盖的长方体铁盒。 3cm 20cm 46cm 第17页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (1)这个长方体铁盒的容积是多少？ (2)乐乐说：“从这块铁皮的四角剪去的正方形越大，折成的长方体铁盒的容积就越大”，你同意这 样的说法吗？请说明理由。 (3)在计算这个长方体表面积时，四位同学是这样算的： 欢欢：46×20=920（平方厘米)（) 聪聪：46×20一3×3×4=884（平方厘米）() 明明：46-3×2=40,20-3×2=14,40×14+(40×3+14×3)×2 =884(平方厘米)() 杰杰：46-3×2=40,20-3×2=14，(40×14+40×3+14×3)×2 =1444(平方厘米)() 请你在计算正确的括号后面打“√”，错误的后面打“X”，并选择你喜欢的一种方法，说说你的思 考过程。 考点十一不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】(24-25五年级·全国·随堂练习)如下图，海海准备用一个长方体容器测量一块珊蝴 石的体积。 m 8 cm 8 cm （1)下面几步操作中，你认为有必要进行的是（)（填序号）。 ①测量出容器的高是9cm,并计算出它的容积。 ②珊瑚石完全浸入水中时，测得水面的高度是7cm。 ③取出珊蝴石后，测得水面的高度是6cm。 (2)请你计算出这块珊瑚石的体积。 第18页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 【变式训练】(25-26五年级上·山东·课后作业)一个正方体容器，棱长10厘米，放入一个苹果， 苹果全部浸没后，水面升高3.15厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ 考点十二体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习)某航空公司规定体积超过55cm×40cm×20cm(含任 一对应的边超标)或质量超过10kg的行李，需要将其托运。李叔叔带了一个长38cm、宽15cm、体积 是34.2dm3、质量是9.8kg的行李箱，这个行李箱需要托运吗？ 【变式训练】(23-24五年级下·天津·期未) 7900dm3=( )m 10.08L=( mL 220mL=( )L=( )dm 300cm2=( )m2 考点十三 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】(24-25五年级上·江西宜春·期末)购买()种包装的最贵。 酱油 3 酱油 酱油 350mL 1000mL 1.75L 1.00元 4.50元 7.50元 A.② B.① C.③ 46.(25-26五年级上·上海徐汇·阶段检测) 495cm2=( )dm25.04千克+32克=( )千克 3.8升=( )升( )毫升20cm2+( )dm2=2m2 第19页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 考点十四体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(24-25五年级上·山东淄博·期末)一个长方体玻璃缸容器，从容器里面量长6分米， 宽5分米，高4分米，水深3.5分米，现在把一个棱长是3分米的正方体铁块放入水中（完全浸没）， 玻璃缸中的水会溢出( )升。 【变式训练】(25-26五年级上·山东·课后作业)一个棱长为10厘米的正方体容器装满水，放入一 个石块后，水溢出了280毫升，那么这个石块的体积是( )立方厘米。如果用同样的空容器装 溢出的水，水的高度是( )厘米。 考点十五表面涂色的正方体 【典例精讲】(24-25五年级下·重庆奉节·期末)同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的 有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方 体会出现4种不同的涂色情况。 1 ② ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共2×12=24块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共4×6=24块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共2×2×2=8块。 检验：总块数=4×4×4=64，各类块数之和=8+24+24+8=64。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、 两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共()块。 ②两面涂色的小正方体共(）块。 ③一面涂色的小正方体共（)块。 第20页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) ④没有涂色的小正方体共()块。 检验：总块数=（)，各类块数之和=（)。 【变式训练】(25-26五年级下·山东菏泽·期中)如图，把一个六个面都涂上颜色的正方体木块切 成27个大小相同的小正方体，一面涂色的有()个，两面涂色的有（)个。 A.6;12 B.8;12 C.12;24 D.24;6 真题汇编能力强化 1.（24-25五年级下·山东德州·期末)下列说法中正确的有()个。 ①棱长为6dm的正方体，它的体积和表面积相等。 ②两个分数的分母相同，这两个分数的分数单位就相同。 ③大于并且小于的分数只有1个。 ④5个班进行篮球比赛，每两个班比赛一场，一共要比赛20场。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26五年级上·山东烟台·期中)下列说法正确的是()。 A.白免只数的相当于黑免只数，这里是把白免只数看作单位“1”。 B.一个数(0除外)乘一个假分数，积一定比原来的数大。 c.因为品+吕=1，所以和号互为倒数。 D.把一块假山石浸没在装满水的容器中，水溢出8升，所以假山石的体积是8升。 3.（23-24五年级下·北京顺义·期末)人体为了保持每天摄入水量和排出水量的动态平衡，需要通 过食物和饮水来获得1500~2500()的水量。 A.毫升 B.立方分米 C.升 D.千克 5.(24-25五年级下·山西运城·期中)把棱长为2cm的小正方体按照下面的方式摆放在桌面上。 (1)1个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 第21页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) (2)2个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 (3)3个小正方体摆放在桌面上。有( )个面露在外面，露在外面的面积是（ )cm2。 (4)根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加( )个露在外面的面。面积就增加 )cm2。 6.(24-25五年级下·全国·课后作业)在一个正方体的六个面上分别写有字母A,B,C,D,E,其 中某两个相对的面上写有相同的字母。如图所示的是它的三种放置图，则字母( )被写了两遍。 B 7.一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍。( )（判断对错) 8.（24-25五年级下全国课后作业)有12条棱、6个面和8个顶点的立体图形一定是正方体。（ (判断对错) 9.(24-25五年级下·全国·单元测试)计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm) 15 10.（24-25五年级下·广西桂林·期中)泥塑是一种传统民间技艺，艺人将黏土等材料经过揉、捏、 塑等手法塑造出各种造型。星期日，小齐、小敏和小亮三名同学去体验泥塑，他们观察并测量了同一 个长方体泥塑后，描述了以下信息。 小齐：如果高增加3分米，它恰好是一个正方体。 小敏：长方体的前后左右四个面的面积之和是72平方分米。 小亮：它的底面周长是24分米。 请你根据他们描述的信息，求出这个长方体泥塑的体积。 第22页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优进义（温故知新) 11.（24-25五年级下·山东济宁·期末)一个长方体的鱼缸，从里面量长15分米、宽6分米，缸内 水深5分米，把一块珊瑚石完全浸没在水中后，水面上升了2厘米，且水没有溢出，这块珊瑚石的体 积是多少立方分米？ 12.(25-26五年级下·河北保定·期中)某小区准备在楼房外安装一种长方体的铁皮排水管以便于雨 季排水。这种排水管的长是30米，底面是边长为1分米的正方形。制作10根这样的排水管至少需要 多少平方米的铁皮？ 13.（24-25五年级上·山东东营·期末)有一个长10厘米、宽8厘米、高12厘米的透明长方体玻璃 容器。向容器内倒水，当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，水的体积 是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计） 8cm 10cm 第23页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 14.（24-25五年级上·山东东营·期末)某市的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸， 工人叔叔需要在园内挖一个长5.2米、宽28分米、深2.4米的长方体景观水池。 (1)这个水池的占地面积是多少平方米？ (2)如果在水池的四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 15.(25-26五年级上·山东东营·期中)一间教室长10米，宽7米，高3米。要粉刷教室的屋顶和 四面墙壁（除去门窗和黑板的面积28.6平方米），粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.3 千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 16.(24-25五年级·全国·随堂练习)下图所示的是一个长方体的展开图，如果A面是前面，F面是 左面，那么下面的面积是多少平方厘米？（单位：cm) 第24页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 17.（25-26五年级上·山东烟台·期中)一个底面是正方形的无盖铁质长方体容器，侧面展开后是一 个边长12分米的正方形。制作这个长方体容器至少需要（ )平方分米的铁皮。 18.（23-24五年级下·河北邢台·期末)小梅把一张长方形纸板（如图1），从四个角各剪去一个边 长4厘米的正方形，用剩下的纸折成一个无盖收纳盆。这个收纳盆所用纸板的面积是多少平方厘米？ 她想把家里的小包装茶叶盒（如图2）放入收纳盒中，（茶叶盒不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）， 收纳盒最多可以放多少个茶叶盒？ 4cm 24cm 4cm 30cm 茶叶盒 图1 图2 19.(23-24五年级下·重庆巴南·期末)一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米， 水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 向上平移个 第25页共26页 2026-2027学年苏教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（温故知新) 20.（23-24五年级下·山西长治·期中)阅读应用。 信息一：从长方体一个顶点引出的3条棱的长短，决定长方体的大小。 信息二：计量一个物体的体积就是看这个物体含有多少个体积单位。 信息三：一个立体图形只要具备上、下底面完全一样，侧面与底面垂直这样的特征，我们就称这样的 物体为“柱体”，柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算。如：长方体、正方体也是柱体，体积 都可以用“底面积×高”来计算。 6cm 3cm 2cm 2cm 前面 右面 (1)上图分别是一个长方体从前面和从右面看到的图形，这个长方体从一个顶点引出的3条棱分别长 ()厘米，（)厘米，()厘米，棱长总和是()厘米，体积是()立方厘米。 (2)如图：不改变所搭成的长方体（半成品）的长、宽、高，要搭成一个完整的长方体，搭成后的长 方体的体积是（)立方厘米。现在半成品的体积是（)立方厘米，还需要()个小正方体。（每 个小正方体体积是1立方厘米) (3)圆柱体也是柱体，图中圆柱体底面圆形的面积是28.26平方厘米，请问圆柱体的体积是多少立方 厘米？ 7厘米 第26页共26页