专题1.1 反比例函数的概念 讲义-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的概念这一核心知识点，系统梳理其定义、三种表达形式、与反比例关系的联系及区别，以及待定系数法求解析式等内容，搭建从概念理解到应用的学习支架。 该资料含思维导图助力抽象能力培养，6个题型讲练结合典例与变式提升推理意识，中考真题及分层训练（基础夯实、培优拔高）强化模型观念，题量充沛且解析清晰，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

null 专题1.1 反比例函数的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 反比例函数的定义 2 知识点二 反比例函数的三种形式 2 知识点三 反比例与反比例函数的关系 2 知识点四 待定系数法求反比例函数解析式 3 题型讲练 3 题型一 用反比例函数描述数量关系 3 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4 题型三 根据反比例函数的定义求参数 4 题型四 反比例函数 5 题型五 求反比例函数值 5 题型六 由反比例函数值求自变量 6 中考真题演练 6 难度分层训练 8 【基础夯实】 8 【培优拔高】 10 知识点一 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点二 反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 知识点三 反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 知识点四 待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 题型一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【变式训练1】（25-26八年级下·河南南阳·期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·期中）物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（　　）． A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径 C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知反比例函数点、在图像上，若，则的取值范围是_______． 【变式训练2】（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点（     ） A． B． C． D． 题型四 反比例函数 【典例精讲】（2026·福建泉州·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）在双曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·山东聊城·一模）两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 题型五 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式训练2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 题型六 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【变式训练1】（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【真题演练1】（2025·山东泰安·中考真题）若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·河南南阳·中考真题）反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 【真题演练3】（2025·四川达州·中考真题）个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，…，共2023个连续奇数，过点分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，的长为______． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为______．    【真题演练5】（2025·福建泉州·中考真题）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 【基础夯实】 1．（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·一模）如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 4．（2026·北京·二模）反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 6．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 7．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 8．（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 9．（2025·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数． 10．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，下面是小东的探究过程： (1)下表是与的几组对应值：   求出表中的值； (2)根据表中数值描点，并画出函数图象；    (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：______________； (4)求出该函数图象与图象的交点坐标． 【培优拔高】 1．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 2．（2023·浙江宁波·一模）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（     ） A．3 B．3 C．6 D．9 4．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 5．（25-26九年级上·江西吉安·阶段检测）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为______． 6．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．    7．（2023·四川成都·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 9．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为9，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.1 反比例函数的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+6个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 反比例函数的定义 2 知识点二 反比例函数的三种形式 2 知识点三 反比例与反比例函数的关系 3 知识点四 待定系数法求反比例函数解析式 3 题型讲练 3 题型一 用反比例函数描述数量关系 3 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 5 题型三 根据反比例函数的定义求参数 7 题型四 反比例函数 9 题型五 求反比例函数值 10 题型六 由反比例函数值求自变量 11 中考真题演练 12 难度分层训练 17 【基础夯实】 17 【培优拔高】 24 知识点一 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 知识点二 反比例函数的三种形式 （1）；（2）；（3） 知识点三 反比例与反比例函数的关系 （1）如果,那么与两个量成反比例关系,这里的和既可以代表单项式,也可以代表多项式;当,只代表一次单项式时,,这两个量才成反比例函数关系 （2）成反比例关系不一定是反比例函数,但反比例函数中的两个变量必成反比例关系. （3）反比例函数中有自变量和函数的区分,而反比例关系中的两个变量没有这种区分. 知识点四 待定系数法求反比例函数解析式 1.确定反比例函数表达式的方法是待定系数法,由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对,的对应值或图象上一个点的坐标,即可求出的值,从而确定其解析式。 2用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤： （1） 设：根据题意，设反比例函数的解析式为； （2） 代：把,的对应值代入中，得到关于的方程； （3） 解：解方程，求出常数； （4） 写：把的值代入反比例函数解析式中即可写出表达式。 题型一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（2026·山东泰安·二模）下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南南阳·期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B选项符合的形式，是反比例函数，符合题意； C选项是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项不是反比例函数，不符合题意． 【变式训练1】（25-26八年级下·河南周口·期中）物体匀速下落过程中，下落高度与下落时间成函数关系，下列变量对应关系中，属于反比例函数的是（　　）． A．路程一定，速度与时间 B．圆的面积与半径 C．正方形周长与边长 D．匀速行驶路程与时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出各选项变量的函数关系式，结合反比例函数定义（为常数，）判断即可． 【详解】首先明确反比例函数定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数， 选项A中，设路程为，为定值且，速度为，时间为，由变形得，符合反比例函数定义，是反比例函数，A符合题意； 选项B中，圆面积，是二次函数，不是反比例函数，B不符合题意； 选项C中，正方形周长，是正比例函数，不是反比例函数，C不符合题意； 选项D中，匀速行驶时，设速度为定值，路程，是正比例函数，不是反比例函数D不符合题意． 【变式训练2】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 【变式训练1】（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知反比例函数点、在图像上，若，则的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，将转化为距离平方的大小关系，代入坐标化简不等式，结合因式分解求解不等式得到结果． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 点在反比例函数图象上， ，且． 由，根据两点间距离公式得，因此： ， ， 利用平方差公式分解因式得： ， 整理得：， 进一步分解得：， 恒成立， ，即， ， 当时不等式不成立，因此， 不等式简化为， ∴或， 解，得 解，得 综上所述，或，均满足和． 【变式训练2】（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】验证各选项点的横纵坐标乘积是否等于即可得到答案． 【详解】解：A、，不符合题意， B、，符合题意， C、，不符合题意， D、，不符合题意， ∴该函数图象经过点． 题型四 反比例函数 【典例精讲】（2026·福建泉州·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】3 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）在双曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需将点的坐标代入函数解析式，满足方程则在图象上，否则不在．将各点坐标代入双曲线验证即可． 【详解】解：A. ∵, ，∴点不在双曲线上，不符合题意； B.∵, ，∴点不在双曲线上，不符合题意； C.∵, ，∴点在双曲线上，符合题意； D.∵, ，∴点不在双曲线上，不符合题意； 【变式训练2】（2026·山东聊城·一模）两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 【答案】 【分析】根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4051， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴． 题型五 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 【变式训练1】（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】求出时的函数值即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴. 【变式训练2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）若反比例函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：依题意， 解得： 题型六 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 【变式训练1】（2026·安徽安庆·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【真题演练1】（2025·山东泰安·中考真题）若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，点是反比例函数图象上一点，则，故有反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 【真题演练2】（2025·河南南阳·中考真题）反比例函数 的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（   ） A．自变量且的值可以无限接近 B．自变量且函数值可以无限接近 C．函数值且的值可以无限接近 D．函数值且函数值可以无限接近 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：图象与轴没有公共点且与轴无限接近即函数值且函数值可以无限接近0， 故选：D． 【真题演练3】（2025·四川达州·中考真题）个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，…，共2023个连续奇数，过点分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及规律探索，根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4045， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴， 故答案为：． 【真题演练4】（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线的交点为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则矩形的面积为______．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理，数形结合是解答本题的关键．先求出，利用勾股定理求出，然后利用矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【真题演练5】（2025·福建泉州·中考真题）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①的面积随点的运动变化没有发生变化，见解析；② 【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可； （2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可； ②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， 将代入得： ， ∴点， ∵点在函数的图象上， 将代入得： ； （2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．    延长交轴于点．设点，则点，． ∴ ∵轴 ∴点，点． ∴，． ∴ ， ∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化． ②∵点，点， 设直线的解析式为：， 将代入，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴直线是函数图象的对称轴， 又∵， ∴点，关于直线对称； ∴， ∵点，， ∴ 解得：，（不合题意，舍去）； ∴点的坐标为． 【基础夯实】 1．（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 2．（2026·广东汕头·一模）如图，取直线上一点，①过点作x轴的垂线，交于点；②过点作y轴的垂线，交于点；如此循环进行，按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查已知函数解析式求函数值，将给定的自变量的值代入解析式计算即可． 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ 将代入解析式得， 因此函数值为3， 故选：A． 4．（2026·北京·二模）反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求。 综上，符合要求的点共有个. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 6．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据反比例函数上点的性质，推出，再根据，求出的取值范围，即可求解． 【详解】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 7．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 8．（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【答案】(1) ，是正比例函数，自变量取值范围为 (2) ，是反比例函数，自变量取值范围为 【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可； （2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式， 因此是的正比例函数， 运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是． （2）解：∵长方形面积=长×宽，可得， 变形得，该式符合反比例函数的形式， 因此是的反比例函数， 长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是． 9．（2025·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数． 【答案】， 【分析】先计算括号内分式减法，然后计算除法，直至化为最简分式，再结合点在反比例函数上，且，均为整数以及分式有意义的条件得出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，，， ∴且． 由点在反比例函数上，得． 因为a，b均为整数，所以a的所有可能取值为，． ∵且 ∴． 将代入得：原式． 10．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，下面是小东的探究过程： (1)下表是与的几组对应值：   求出表中的值； (2)根据表中数值描点，并画出函数图象；    (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：______________； (4)求出该函数图象与图象的交点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，随的增大而增大，（答案不唯一） (4) 【分析】本题考查了函数的图象，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）代入即可求得的值； （2）描点、连线、用平滑的曲线作出图象即可； （3）结合函数的图象提出一条性质即可； （4）解方程组即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴的值为； （2）解：描点连线，函数图象如图 （3）解：观察图象得：当时，随的增大而增大，（答案不唯一）； 故答案为：当时，随的增大而增大，（答案不唯一）； （4）解：解方程组解得： ∴该函数图象与图象的交点坐标为． 【培优拔高】 1．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】根据对换点和对换函数的定义，逐个验证三个结论是否成立，用到的思路是：若和都是函数图象上的点，代入函数解析式推导，判断是否存在不重合的解即可． 【详解】解：根据定义，若函数为对换函数，则存在不重合的两点，都在函数图象上， ①对于反比例函数： 在函数上， ∴ 将代入函数，右边左边，满足等式 且若重合，则，得，无实数解，因此所有点对都不重合，存在对换点，故①正确； ②对于一次函数： 在函数上， 将代入函数，得右边左边，等式恒成立， 仅当，即得时，两点重合，其余无数个点对都不重合，因此有无数对对换点，故②正确； ③对于一次函数： ，都在函数上， ∴ 将第一个式子代入第二个式子整理得： 若，则，，得，此时，两点重合，不符合要求； 若，等式对任意成立，，且仅当，即，即时两点重合，其余点对都不重合， 故存在无数对不重合的对换点，符合要求，因此，故③正确； 综上，①②③都正确． 2．（2023·浙江宁波·一模）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设，则，即可得到反比例为，再求得的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，将解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论． 【详解】∵与交于A、B两点， ∴设，则， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由题意得：，， ∴，即， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ，解得，， ∴， 过点作轴，过点作轴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ∴（负值舍去）， 故选：A． 3．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（     ） A．3 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】设点坐标为．根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，那么，．根据，列出方程，即可求出． 【详解】解：设点坐标为． 轴，，， ，， ， ，． ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，先分别求解，，，，，…，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴ ． 故答案为： 5．（25-26九年级上·江西吉安·阶段检测）将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入原反比例函数中，所得函数值记为，再将代入原反比例函数中，所得函数值记为，……，如此继续下去，则的值为______． 【答案】/ 【分析】通过计算前几个函数值，发现序列呈现周期性循环，周期为3，再根据2025除以3的余数确定对应循环中的值． 本题考查了反比例函数中坐标规律问题，根据解析式确定规律是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得 ， 将代入， 得 将代入， 得， 将代入， 得， 以此类推，序列为，，，，，，……，周期为3 ， 由于 余 0， 故 ， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为轴、轴正半轴上的点，以为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图像恰好过的中点，则的长为______．    【答案】 【分析】连接，交于点Q，首先证明点Q是的中点，根据折叠可得Q是中点，，设，则,，再由在上可得，求得，再在中根据勾股定理求出即可求出、的值，进而求出、的坐标，最后求出的长． 【详解】连接，交于点Q， ∵将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为， ∴，， 设 ∴， ∵， ∴， ∵， 而， ∴， ∴，即点Q是的中点， ∵ ∴ ∵在上， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵在中， ∴，解得或（负数关系舍去）， ∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2023·四川成都·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点， 令，则， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 则，即：， ∵点在反比例函数上， ∴； 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接 (1)求k，b的值. (2)当的面积为3时，求点P的坐标. (3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或， 【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n； （2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标； （3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得． 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过点， ∴， ∴， ∵过点， ∴； （2）∵点P的横坐标为t， ∴， ∴ ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∴； （3）如图1， ∵，， ∴ 当是边，点D在x轴正半轴上， 作于F，作于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴ 如图2， 当点D在x轴的负半轴上时， 由上知：， ∴， ∴， 当是对角线时， 当是对角线时，点D在x轴负半轴上时， 可得：， ∴， ∴， ∴， 如图4， ， ∴， ∴，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述： 或，. 9．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为9，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点的坐标为，，． 【分析】（1）将代入中即可得到反比例函数的表达式，再结合即可得到一次函数的表达式； （2）根据的面积为9，面积的和差关系即建立等式，即可求出点P的坐标； （3）先求的表达式为，表达E的坐标，然后进行分类讨论当为对角线和当为边两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质进行列式即可． 【详解】（1）解：将代入中 得 ∴反比例函数解析式为 将代入中 解得 ∴ 将点、分别代入 得∴ ∴一次函数解析式为． （2）解：如图1，由直线：得 ∵ ∴ 得 ∴或 ∵点是轴负半轴上一动点 ∴ （3）解：存在以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形． ，，．理由如下： 设的表达式为，把、代入得到 则，所以 设、 当为对角线时，如图2所示 ，得到，所以 当为边时， 如图3 所示： ，向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，那么向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，， 如图4所示： ，向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，那么向下平移3个单位、向右平移3个单位得到，即， 综上：，，． 10．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； (3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得； （3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标． 【详解】（1）∵过， ∴， ∴，则， 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∴，解得：或， ∴． （2）令，则，∴． 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，令，则， ∴， ∴． （3）由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得（负数舍去）， ∴点的横坐标的值为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $