第八章　第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”专题，依据高考评价体系明确两大考查要求，通过以题引理激活思维，梳理位置关系判断、切线方程、弦长计算等核心考点，分析近五年高频题型权重，构建完整知识网络。 课件亮点在于高考真题深度融合与应试技巧指导，如2022新高考Ⅱ卷对称直线问题、2024全国甲卷弦长最值题，运用数形结合培养几何直观，通过多法解题（如几何法、代数法）发展逻辑推理，助力学生掌握切线方程结论、弦长公式等得分技巧，为教师提供系统复习框架与精准学情分析依据。

第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 第八章　解析几何 [考试要求] 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 2 以题引理·激活思维 1．(苏教版选择性必修第一册P66练习T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 B　[由题意可得<1，即a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．] √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 3 2．(人教A版选择性必修第一册P96例5改编)圆x2＋y2－2y＝0与圆x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 √ B　[两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4．两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2．因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 4 3．(人教B版选择性必修第一册P116练习B T1改编)圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 √ D　[圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4． ∵P(1，)在圆Q上，∴所求切线方程为(1－2)(x－2)＋(－0)(y－0)＝4，即x－y＋2＝0．] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 5 4．(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线x＋y－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为_____________． 2　[由题意知，圆心(0，0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝1，则弦长为2．] 2 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 6 5．(北师大版选择性必修第一册P38例9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为_____________． x－y＋2＝0　[将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0．] x－y＋2＝0 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 7 1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 位置关系 方法 几何法 代数法 相交 d__r Δ__0 相切 d__r Δ__0 相离 d__r Δ__0 <  >  ＝ ＝ >  <  第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 8 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)． 位置 关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 ___解 外切 d＝r1＋r2 ______实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 ______不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) ______实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 无 一组 两组 一组 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 9 1．几何法求直线被圆截得的弦长 若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2． 2．两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 10 3．圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． (4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 11 考点一　直线与圆的位置关系 [典例1]　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 精研考点·提升素养 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 12 (2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2025课标新变化：能运用数形结合的思想刻画事物的规律以及事物之间的关系，建立几何直观． (3)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是_____________． √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 13 (1)A　(2)C　(3)　[(1)法一(代数法)： 由 消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， 因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交． 14 法二(几何法)：因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝，所以直线l与圆相交． 法三(点与圆的位置关系法)：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交． 15 (2)如图所示，因为圆心(3，3)到直线3x＋4y －11＝0的距离为d＝＝2，又因为圆 的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到 直线的距离为1的点有3个． (3)因为kAB＝，所以直线AB关于y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以≤1，整理可得6a2－11a＋3≤0，解得．] 16 名师点评：(1)判断直线与圆的位置关系的常用方法 ①几何法：利用d与r的关系． ②代数法：联立方程之后利用Δ判断． ③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 17 (2)圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题 该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d． 如图1，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t． 如图2，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 18 由图1，图2可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t<d<r＋t． 若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d<r－t． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 19 [巩固迁移] 1．(2026·广东潮州模拟)“3<r<6”是“圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)上恰有2个点到直线l：3x＋4y＋15＝0的距离为1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 20 B　[如图所示， 设与直线l平行且到直线l的距离为1的直线方程为 3x＋4y＋c＝0(c≠15)， 则＝1，解得c＝10或c＝20， 圆心C(－1，2)到直线3x＋4y＋10＝0的距离为d1＝＝3， 圆心C(－1，2)到直线3x＋4y＋20＝0的距离为d2＝＝5， 由图可知，圆C与直线3x＋4y＋10＝0相交，与直线3x＋4y＋20＝0相离，则3<r<5， 所以“3<r<6”是“圆C上恰有2个点到直线l的距离为1”的必要不充分条件，B正确．故选B．] 21 2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 √ √ √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 22 ABD　[∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确； ∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝>r，∴直线l与圆C相离，B正确； ∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝<r，∴直线l与圆C相交，C错误； ∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD．] 23 【教用·备选题】 1．若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞)　　　 B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 24 A　[计算得圆心到直线l的距离为>1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1．] 25 考点二　圆与圆的位置关系 [典例2]　(1)(多选)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　　) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 √ √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 26 (2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围为_____________． [4，6] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 27 (1)BD　(2)[4，6]　[(1)由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4， d＝|C1C2|＝＝5，r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，作差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，C1到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为2．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12．故选BD． 28 (2)∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，故点P是圆O与圆C的交点，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3，4)，半径r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交， 即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6．] 29 【教用·备选题】 1．圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－]　 B．[，＋∞) C．[－] D．(－∞，－]∪[，＋∞) √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 30 D　[由圆x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为(0，2)，半径为2． 由圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0得(x＋m)2＋y2＝1， 则圆心坐标为(－m，0)，半径为1． 因为两圆至少有三条公切线， 所以两圆外切或外离，所以≥3， 解得m≤－或m≥．故选D．] 31 2．(多选)已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是(　　) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ √ √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 32 AC　[圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，若m＝4，则圆O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心为O2(5，0)，半径r2＝4，可得|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5，0)到直线x－y＝0的距离d＝，解得m>，故C正确；圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝，所以|MN|＝2，故D错误．故选AC．] 33 名师点评：(1)判断两圆位置关系时常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法． (2)求两圆公共弦长时，可先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，弦长的一半，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解，且l＝2． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 34 [巩固迁移] 3．若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　) A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 35 B　[直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切， 则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1． 圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为(a，b)，半径为， 其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B．] 36 4．(2025·山东泰安二模)已知直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1和圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝36均相切，则l的方程为(　　) A．x＋2y－23＝0 B．x＋2y＋23＝0 C．3x＋4y－23＝0 D．3x＋4y＋23＝0 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 37 C　[圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的圆心为M(2，3)，半径为R1＝1，圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝36的圆心为N(－1，－1)，半径为R2＝6． ∵|MN|＝＝5＝R2－R1， 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线l为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以l：(x＋1)2＋(y＋1)2－(x－2)2－(y－3)2＝36－1， 整理得l：3x＋4y－23＝0．故选C．] 38 5．已知点A(0，2)，O(0，0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为_____________． [0，3]　[设M(x，y)，因为A(0，2)，O(0，0)， 所以＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)． 因为＝3， 所以－x·(－x)＋(2－y)·(－y)＝3， 化简得x2＋(y－1)2＝4， 所以点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆． [0，3] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 39 因为点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上， 所以两圆必须相交或相切． 所以1≤≤3， 解得0≤a≤3． 所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，3]．] 40 【教用·备选题】 (2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程_________________________________________ ______________________________________． y＝－或y＝或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3， 4)，半径为4， y＝－或y＝或x＝－1(从这三条公切线中任选一条作答即可) 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 41 两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．如图，当切线为l时，因为，所以kl＝－，设l的方程为 y＝－x＋t(t>0)，O到l的距离d＝＝1， 解得t＝，所以l的方程为y＝－． 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0， 由题意解得所以m的方程为y＝． 当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．] 42 考点三　圆的切线、弦长问题 考向1　切线问题 [典例3]　(1)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为___________________________． (2)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为_____________． 5x－12y＋45＝0或x－3＝0 2 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 43 (1)5x－12y＋45＝0或x－3＝0　(2)2　[(1)化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心O为(1，2)，半径为2， 因为|OA|＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2， 即|3－2k|＝2，所以k＝，此时切线方程为5x－12y＋45＝0． 故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0． 44 (2)圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 如图，连接PC， 因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝， 所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3， 所以四边形PACB面积的最小值为．] 45 考向2　弦长问题 [典例4]　(1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 46 (2)(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝_____________． 2 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 47 (1)B　(2)2　[(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 联立方程得 ∴|AB|＝2，符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝，∵d2＋＝r2， ∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0．综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0．故选B． 48 (2)对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6．因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2．圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1，3)，圆心到直线l1的距离d＝，所以r＝＝2．] 49 名师点评：求圆的切线、弦长时需注意的问题 (1)过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线，特别注意斜率不存在的情况． (2)对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条；两种情况常因漏掉直线斜率不存在的情形致误． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 50 [巩固迁移] 6．(2025·湖南长沙三模)已知P是直线l：x＋y－2＝0上的任意一点，若过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别记为A，B，则弦长AB的最小值为(　　) A．2 B． C． D．1 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 51 C　[圆心O到直线l的距离为d＝， 在直角三角形OAP中，|OA|＝1，|OP|≥， 所以sin∠APO＝，由于∠APO≤， 所以可得∠APO≤，则∠APB＝2∠APO≤， 因为OA⊥AP，OB⊥BP，所以∠APB与∠AOB互补， 所以当∠APB＝时，弦长AB最小，此时∠AOB＝，弦长|AB|＝． 故选C．] 52 7．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 53 C　[因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得 ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0， 令 故直线恒过点(1，－2)，设P(1，－2)． 圆的方程化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5， 设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小， |PC|＝1，|AC|＝r＝， 此时|AB|＝2|AP|＝2＝4．故选C．] 54 【教用·考点】 与圆有关的综合问题 [典例5]　已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围； (2)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 55 [解]　(1)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线l：y＝kx－2代入圆O：x2＋y2＝2， 整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)>0，即k2>1， 当∠AOB为锐角时， ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)·(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝>0，解得k2<3，又k2>1， ∴－<k<－1或1<k<．故k的取值范围为(－，－1)∪(1，)． 56 (2)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0， ∴x2－tx＋y2－y＝0． 又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆作差得lCD：tx＋y－2＝0， 即t－2y－2＝0，由 ∴直线CD过定点． 57 名师点评：立足直线与圆的位置关系，将几何问题代数化是求解本类题目的关键．同时，在坐标运算中，借助圆的几何性质，可以大大提高运算速度． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 58 【教用·巩固迁移】 4．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程； (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 59 [解]　(1)设圆心C(a，0) ＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)，所以圆C的方程为x2＋y2＝4． (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝． 60 若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒＋2t＝0⇒t＝4． 所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立． 综上，存在定点N(4，0)满足题意． 61 一、单项选择题 1．(2026·广西柳州模拟)直线l：x＋2y－4r－2＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(五十七)　直线与圆、圆与圆的位置关系 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 62 C　[由C：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，可知圆心(0，1)，半径为r， 圆心(0，1)到直线l：x＋2y－4r－2＝0的距离d＝>r， 所以直线与圆的位置关系为相离．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(2026·山东济南模拟)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x＋a)2＋(y＋2)2＝9有三条公切线，则a＝(　　) A． B． C．± D．± √ D　[由题知，两圆外切，由圆C1方程得C1(0，0)，半径r1＝2，由圆C2方程得C2(－a，－2)，半径r2＝3，则＝2＋3＝5，解得a＝±．故选D．] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 64 3．(2026·湖北八市模拟)已知直线l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0，圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为(　　) A．2 B． C． D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 65 D　[由题设l：(m－2)x＋y－4m＋5＝0， 即l：(x－4)m＋y－2x＋5＝0，令 所以直线l过定点(4，3)， 而C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，即C：(x－3)2＋(y－2)2＝9， 所以(4－3)2＋(3－2)2＝2<9，即定点(4，3)在圆C内，且圆心为(3，2)，半径为3， 所以定点(4，3)与圆心(3，2)的距离d＝， 要使|MN|最小，即定点与圆心所在直线与l垂直，此时|MN|＝2×．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝，圆的半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点．] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 67 5．(2026·安徽皖南模拟)已知过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0相切的两条直线的夹角为α，则tan α＝(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[x2＋y2－4x－2y＋1＝0变形为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 故圆心为(2，1)，半径为2，所以点(0，－2)到圆心的距离为＝3，所以tan， 则tan α＝．故选D．] 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 68 6．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，A(－3，0)，若圆C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则正数a的取值范围为(　　) A．(0，1] B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 69 D　[设P(x，y)，则由|PA|＝2|PO|， 得到， 整理得到(x－1)2＋y2＝4，又点P在圆C上， 所以(x－1)2＋y2＝4与圆C有交点， 又(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a， 所以|2－a|≤≤2＋a，解得1≤a≤3＋2．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 二、多项选择题 7．(2026·四川成都模拟)已知圆C：x2＋y2－4x－8y＋12＝0和直线l：x－y＋k＝0，则下列说法正确的是(　　) A．当k＝0时，直线l被圆截得的弦长为2 B．当k＝0时，圆上到直线l的距离为1的点有3个 C．存在实数k，使得直线l与圆相切 D．若直线l与圆相交，则实数k的取值范围为(－2，6) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 71 ACD　[∵圆C的方程为x2－4x＋y2－8y＝－12，配方得(x－2)2＋(y－4)2＝8， ∴圆心为(2，4)，半径为r＝2． 选项A，当k＝0时，圆心到直线l的距离为d＝， ∴弦长为2，故A正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 选项B，当k＝0时，直线l的方程为x－y＝0，圆心(2，4)到直线l的距离d＝，小于半径r＝2，故直线与圆相交， 圆上的点到直线l的距离范围为[0，d＋r]，即[0，3]， 因为0<1<3，所以圆上存在到直线l的距离为1的点，与直线l距离为1的直线有两条，它们与圆心(2，4)的距离分别为－1和＋1，均小于半径2，所以每条直线都与圆有两个交点， 故圆上到直线l的距离为1的点有4个，故B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 选项C，相切时d＝r，即⇒|k－2|＝4，k＝6或k＝－2，故C正确； 选项D，相交时d<r，即⇒|k－2|<4，－2<k<6，∴k的取值范围为(－2，6)，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 8．(2025·云南昆明三模)已知点A(3，0)，B(0，3)，点P在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则(　　) A．直线AB与圆C相离 B．△PAB的面积的最小值为6－2 C．|PA|的最大值为6 D．当∠PBA最小时，|PB|＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 75 ACD　[对于A中，由点A(3，0)，B(0，3)，点P在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动， 则圆心为C(3，4)，半径为2，直线AB的方程为x＋y－3＝0， 则圆心C到直线AB的距离d＝2>2，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 对于B中，因为|AB|＝3，点P到直线AB的距离的最小值为2－2， 则△PAB面积的最小值为×(2－2)＝6－3，所以B错误； 对于C中，由|PA|max＝|AC|＋2＝＋2＝6，所以C正确； 对于D中，当∠PBA最小时，直线PB与圆C相切，此时|PB|＝，所以D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 9．(2026·湖南长郡中学模拟)过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列结论正确的是(　　) A．0<r<2 B．若△PAB为直角三角形，则r＝4 C．△PAB外接圆的方程为x2＋y2＝4 D．直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 78 BD　[因为圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的圆心为(－2，－2)，半径为r， 当点P在圆C外时，才可以作2条切线， 所以|PC|＝>r， 即0<r<4，故A错误； △PAB为直角三角形，则四边形PACB为正方形， 所以|PC|＝r，解得r＝4，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 △PAC外接圆的圆心为PC的中点， 即为(0，0)，半径为，又P，A，C，B四点共圆，所以△PAB外接圆的方程为x2＋y2＝8，故C错误； 将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2和x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程， 所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，故D正确． 故选BD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 80 三、填空题 10．(2026·湖北荆州模拟)已知直线l：y＝x＋a与圆C：x2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，写出满足“∠ACB＝120°”的a的一个值：___________________________ ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －1或3(任选一个即可) 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 81 －1或3(任选一个即可)　[由圆C：x2＋(y－1)2＝4可知，圆心C(0，1)，半径|AC|＝2． 因为∠ACB＝120°，|AC|＝|BC|， 所以∠CAB＝30°． 过C作CD⊥AB，则|CD|＝|AC|＝1． 所以圆心C到直线l的距离为 |CD|＝＝＝1，解得a＝－1或a＝3．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 82 11．(2026·云南昆明模拟)经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与x2＋y2＝4交点的圆的方程是_______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x2＋y2－3x－2＝0　[设过圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2＝4交点的圆的方程为：x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0，① 把点M的坐标(2，－2)代入①式得λ＝1，把λ＝1代入①式并化简得x2＋y2－3x－2＝0， 则所求圆的方程为x2＋y2－3x－2＝0．] x2＋y2－3x－2＝0 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 83 12．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －或－　[点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A'(2，－3)， 故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)， 化为kx－y－2k－3＝0， －或－ 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 84 ∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切， ∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝＝1． 化为24k2＋50k＋24＝0， ∴k＝－或k＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 85 四、解答题 13．已知圆C：x2＋y2＝25，点P(3，4)． (1)求过点P的圆C的切线方程； (2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0， 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 86 圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝5， 解得k＝－，所以直线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0． 所以过点P的圆C的切线方程为3x＋4y－25＝0． (2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3， 圆心到直线的距离为d＝3，则直线被圆截得弦长为l＝2＝8，成立； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 87 圆心到直线的距离为d＝， 直线被截得弦长为l＝2＝2＝8，解得k＝． 所以直线方程为y－4＝(x－3)，即7x－24y＋75＝0． 综上，直线m的方程为x＝3或7x－24y＋75＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 88 14．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4． (1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交； (2)若过点P(1，0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 89 [解]　(1)证明：由l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0， 可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0， 由 所以直线l恒过点(2，3)， 由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4， 得点(2，3)在圆内，即直线l恒过圆内一点， 所以无论m为何值，直线l都与圆C相交． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 90 (2)由C的圆心为(3，4)，半径r＝2， 易知此时直线m的斜率存在且不为0， 故设直线m的方程为x＝ny＋1(n≠0)， 直线m的一般方程为x－ny－1＝0， 圆心到直线m的距离d＝， 所以|AB|＝2， 所以S2＝·， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 91 令t＝，可得S2＝4t－t2， 当t＝2时，＝4， 所以△ABC面积的最大值为2， 此时由2＝，得7n2－8n＋1＝0， 得n＝1或n＝，符合题意， 此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 92 15．已知圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4． (1)若点Q的坐标为(－2，4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线MN的方程． (2)过点A(1，0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E，F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE＝∠ABF？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 第57课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 93 [解]　(1)由条件可知Q，M，C，N四点共圆，且QC为直径，记为圆D，则D(0，2)，半径r＝，所以圆D的方程为x2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4y－4＝0．因为圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，两圆方程相减可得x－y－1＝0，所以直线MN的方程为x－y－1＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 94 (2)假设存在点B(b，0)(b≤0)满足条件，由题可设直线AE：x＝my＋1，E(x1，y1)，F(x2，y2)．联立消去x得(m2＋1)y2－2my－3＝0．因为点A(1，0)在圆C内部，所以Δ>0恒成立，则y1＋y2＝，y1y2＝．因为∠ABE＝∠ABF，所以kBE＝－kBF，即＝0，即＝0，整理得2my1y2＋(1－b)(y1＋y2)＝0，从而2m·＋(1－b)·＝0，化简有m(b＋2)＝0．因为对任意的m∈R恒成立，所以b＝－2，由此可得假设成立，故存在满足条件的点B，且坐标为(－2，0)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 95 谢 谢 ！ $