第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”专题，依据课标要求梳理了位置关系判断、切线方程、弦长计算等核心考点，通过分析近五年高考真题明确位置关系判断占30%、弦长与切线问题占45%的高频权重，归纳出选择、填空及解答题常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”策略，如以2025年全国一卷真题为例，用几何法（圆心距与半径关系）突破位置关系判断，培养学生数学思维中的推理能力，通过“弦长公式+勾股定理”模型强化数学语言表达。特设易错点警示（如忽略内切情况），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第8章 直线与圆、圆锥曲线 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 2027节高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题;体会用代数法处理几何问题的思想. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)   相离 相切 相交 图形       名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.直线l:Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法 (1)几何方法: 圆心(a，b)到直线Ax+By+C=0的距离d=  　和圆的半径r的大小关系:  d　　r⇔直线与圆相交;  d　　r⇔直线与圆相切;  d　　r⇔直线与圆相离.  < = > 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 (2)代数方法: 由消元得到的一元二次方程的判别式为Δ，则: Δ　　0⇔直线与圆相交;  Δ　　0⇔直线与圆相切;  Δ　　0⇔直线与圆相离.  > = < 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 3.圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2(r1≠r2)，d=|O1O2|)   外离 外切 相交 内切 内含 图形           名师导学第一轮总复习 高三数学 6 4.圆与圆的位置关系的判断方法 (1)几何方法: 两圆(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0)的圆心距为d，则 d>r1+r2⇔两圆　 　;  d=r1+r2⇔两圆　 　;  |r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆　 　;  d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆　 　;  0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆　 　(d=0时为同心圆).  外离 外切 相交 内切 内含 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 (2)代数方法: 方程组有两组不同的实数解⇔两圆　 　;  有两组相同的实数解⇔两圆　 　;  无实数解⇔两圆　 　或　 　.  5.圆的三个性质 ①圆心在过切点且垂直于切线的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上; ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线. 相交 相切 外离 内含 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 【常用结论】 (1)设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①-②所得，即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0. (2)两圆公切线的条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 　　  　　  　　  　　  　　  0 1 2 3 4 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　) (3)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.(　　) (4)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.(　　) (5)圆O1:(x-1)2+y2=1和圆O2:x2+(y-2)2=1的位置关系是相离.(　　) [解析] (1)也可能是内切. × × √ √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 2.[选择性必修1p98T1]若圆C:x2+y2-2x+2y=2与直线x-y+a=0有公共点，则a的取值范围是　　　 　　.  -2-2≤a≤2-2 [解析] 由圆C:x2+y2-2x+2y=2可化为圆C:(x-1)2+(y+1)2=4， 可得圆心坐标C(1，-1)，半径为r=2， 因为直线与圆C有公共点，所以圆心C到直线x-y+a=0的距离小于或等于半径， 可得d=≤2， 解得-2-2≤a≤2-2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 3.直线l:x-y+1=0交圆x2+(y-3)2=9于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A. B.2 C.2 D.4 D [解析] 因为圆x2+(y-3)2=9，所以圆心坐标为(0，3)，半径r=3， 圆心到直线l的距离d==1， 所以直线被圆截得的弦长|AB|=2×=4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 4.[选择性必修1p98T9]若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切，则常数a=　　 　　.  ±2或0 [解析] 两圆的圆心距d=，由两圆相切，得=5+1或=5-1，解得a=±2或a=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 5.[选择性必修1p96例5]圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为　　　　.  2 [解析] 由 得两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+2=0. 又圆x2+y2=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为=. 由勾股定理得弦长为2=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 考点1 直线与圆的位置关系 例1　(1)(2025·兰州质检)“k=”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [解析] 若直线l与圆相切，则有=1，解得k=±， 所以“k=”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 (2)点M(x0，y0)为圆x2+y2=a2(a>0)外一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 A [解析] 因为点M(x0，y0)为圆x2+y2=a2(a>0)外一点，所以+>a2. 圆x2+y2=a2(a>0)的圆心(0，0)，半径为r=a， 所以圆心(0，0)到直线x0x+y0y=a2的距离为d=<=a，即d<r. 所以直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为相交.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 [小结]1.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 2.处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. 3.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 1.直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，0) B. C. D. D [解析] 由x2+y2-2y-2m=0，得x2+(y-1)2=2m+1，因为直线l:x-y+2=0与圆C:x2+y2-2y-2m=0 相离，所以，解得-<m<-. 所以实数m的取值范围是.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 2.(多选)圆x2+y2=4上有且仅有三个点到直线l的距离为1，则直线l的方程可以是(　 　) A.x-y+1=0 B.7x-y+5=0 C.x-y+=0 D.x=-1 BCD [解析] 由题知，圆x2+y2=4，圆心为O(0，0)，半径为r=2，因为圆x2+y2=4上有且仅有三个点到直线l的距离为1，所以圆心到直线l的距离d=1， 对于A，圆心O(0，0)到直线x-y+1=0的距离d==，故A错误; 对于B，圆心O(0，0)到直线7x-y+5=0的距离d==1，故B正确; 对于C，圆心O(0，0)到直线x-y+=0的距离d==1，故C正确; 对于D，圆心O(0，0)到直线x=-1的距离d==1，故D正确. 故选BCD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 考点2 直线与圆有关的综合问题 角度1.弦长问题 例2　直线l:x-y-2=0截圆x2+y2-4x+4y-1=0所得的弦长等于(　　) A. B. C.2 D.3 C [解析] 圆(x-2)2+(y+2)2=9的圆心C(2，-2)，半径r=3， 点C到直线x-y-2=0的距离d==， 所以所求弦长为2=2=2.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 角度2.切线问题 例3　(1)过点P(1，1)作圆E:x2+y2-4x+2y=0的切线，则切线方程为(　　) A.x+y-2=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+1=0 D.2x-y-1=0 C [解析] 圆E:x2+y2-4x+2y=0，即(x-2)2+(y+1)2=5，圆心为E(2，-1)，半径r=，又==，所以点P在圆上，且kPE==-2， 所以切线的斜率k=，所以切线方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 (2)过点M(0，-4)作圆C:x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A.2x-y+3=0 B.x-7y+18=0 C.2x-5y+5=0 D.x+5y+5=0 B 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 [解析] 根据题意，可知圆x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C(-1，3)，半径r=2， 过点M(0，-4)作圆x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，设切点分别为A，B， 而==5， 则==， 则以M为圆心，MA为半径的圆为x2+(y+4)2=46，即圆x2+y2+8y-30=0， 所以AB为两圆的公共弦所在的直线，则有 作差变形可得:x-7y+18=0，即直线AB的方程为x-7y+18=0.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 角度3.最值(范围)问题 例4　已知圆C:x2+y2+2x-6y+6=0，P为直线l:x-2y+2=0上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为(　　) A.x-2y-3=0 B.x+2y-3=0 C.x-2y+3=0 D.x+2y+3=0 C 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 [解析] 圆的方程可化为(x+1)2+(y-3)2=4，点C到直线l的距离为d==>2，所以直线l与圆C相离.因为四点A，P，B，C四点共圆，且AB⊥CP，所以四边形APBC的面积S=2S△PAC=2××PA×AC=2PA，而PA=，当直线CP⊥l时，==1，此时四边形APBC的面积最小.所以CP:y-3=-2(x+1)，即y=-2x+1， 由解得即P(0，1). 因此以CP为直径的圆的方程为x(x+1)+(y-1)(y-3)=0， 即x2+y2+x-4y+3=0， 两圆的方程相减可得:x-2y+3=0，即为直线AB的方程.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]1.处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用:①垂直于弦的直径平分这条弦;②圆心与弦的中点连线垂直于这条弦;③d2+()2=r2(其中l为弦长). 2.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题,其解题方法是: (1)求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k,若k不存在,则结合图形可直接写出切线方程为y=y0;若k=0,则结合图形可直接写出切线方程为x=x0;若k存在且k≠0,则由垂直关系知切线的斜率为-,由点斜式可写出切线方程. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程有两种方法: 几 何 法 当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到直线的距离等于半径,即可求出k的值,进而写出切线方程 代 数 法 当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切线方程即可求出 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 3.常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2; (4)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在的直线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 3.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴，过点P(-4，a)作圆C的一条切线，切点为A，则|PA|=(　　) A.2 B.4 C.2 D.7 D [解析] 由圆C:x2+y2-6x-2y+1=0，可得(x-3)2+(y-1)2=9， 所以圆心C(3，1)，半径为r=3， 又由直线l:x+ay-1=0是圆C的对称轴，即直线l过圆心C(3，1)， 即3+a-1=0，解得a=-2，即P(-4，-2)， 则==， 所以切线长为===7.故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 4.若直线kx-y+1-2k=0与圆C:(x-1)2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A.2 B.2 C. D. B [解析] 直线kx-y+1-2k=0，即k(x-2)-(y-1)=0恒过定点M(2，1)， 而(2-1)2+12=2<4，即点M在圆C内， 因此当且仅当AB⊥CM时，|AB|最小， 而圆C的圆心C(1，0)，半径r=2，|CM|=， 所以|AB|min=2=2=2.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 5.已知圆C:(x-1)2+y2=1，圆M:(x-1-4cos θ)2+(y-4sin θ)2=4(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是(　　) A.2 B.3 C. D. D 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 [解析] 由题意，圆C的圆心为(1，0)，半径为1，圆M的圆心 (1+4cos θ，4sin θ)，半径为2，所以|CM|= =4，而4>2+1，所以两圆相离.·=||·||·cos∠EPF，要使 ·取得最小值，需要||和||越小，且∠EPF越大才能取到， 设直线CM和圆M交于H，G两点(如下图).则·的最小值是·. |GF|=|GE|===，sin∠EGC==， 则cos∠EGF=1-2sin2∠EGC=.所以·=||·||·cos∠EGF= .故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 考点3 圆与圆的位置关系 角度1.圆与圆的位置关系判断 例5　(多选)已知圆C1:(x-a)2+(y-1)2=16，圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).则( 　　) A.若两圆C1，C2相切，则a=3或a=5 B.若两圆C1，C2相交，则a∈(3，5) C.若两圆C1，C2外离，则a∈(0，5) D.若两圆C1，C2内含，则a∈(0，3) ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [解析] 由圆C1方程知:圆心C1(a，1)，半径r1=4; 由圆C2方程知:圆心C2(2a，1)，半径r2==1; 若两圆内切，则|C1C2|=|r1-r2|， ∵|C1C2|==a，∴a=3; 若两圆外切，则|C1C2|=r1+r2，∴a=5; ∴若两圆相切，则a=3或5.故A正确; 若两圆相交，则|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2， ∴3<a<5，即当a∈(3，5)时，两圆相交.故B正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 若两圆外离，则|C1C2|>r1+r2， ∴a>5，即当a∈(5，+∞)时，两圆外离.故C错误; 若两圆内含，则|C1C2|<|r1-r2|， ∵a>0，∴0<a<3， 即当a∈(0，3)时，两圆内含.故D正确.故选ABD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 角度2.两圆的公切线 例6　(2025·全国·模拟预测)圆C1:x2+y2+4x+6y-23=0与圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4的公切线长为　　　　.  4 [解析] 由题可得，圆C1:(x+2)2+=36， 则圆心为C1，半径为r1=6， 由圆C2:(x-2)2+(y-1)2=4，得圆C2的圆心为C2，半径为r2=2， 所以两圆心的距离|C1C2|==4， 因为6-2<|4|<6+2，所以圆C1与圆C2相交. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 如图，设其中一条公切线上的两个切点为P，Q，作C2C⊥C1P于点C， 所以圆C1与圆C2的公切线长为|PQ|=|CC2|===4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 角度3.两圆的公共弦 例7　(多选)已知圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则( 　　) A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2 C.x1+x2=a D.y1+y2=2b ABC 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 [解析] 由题意，圆C2的方程可化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0， 两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax+2by-a2-b2=0，即2ax+2by=a2+b2， 分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax1+2by1=a2+b2，2ax2+2by2=a2+b2， 两式相减可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0，即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0， 所以选项A，B正确; 由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分， 所以x1+x2=a，y1+y2=b，所以选项C正确，选项D错误. 故选ABC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 [小结]1.判断两圆位置关系的方法常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断,一般不用代数法.重视两圆内切的情况,作图观察. 2.两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法 两圆的公共弦所在的直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. 3.两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 6.圆C1:x2+y2-4x+3=0与圆C2:(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 C [解析] 圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1，因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以=1+，a=16.故选C. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 7.已知圆C的圆心为(2，-2)，且与直线x+y+2=0相切.则圆C的方程为　　　　　 　　___________________;圆C与圆x2+y2=4的公共弦的长为　　　　　.  (x-2)2+(y+2)2=20 2 [解析] 由题意得圆C的半径为r==2， 故圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=20; 圆x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y+2)2=20的圆心距为2， 而2-2<2<2+2，即两圆相交，将x2+y2=4和(x-2)2+(y+2)2=20相减得x-y+2=0，圆x2+y2=4的圆心到x-y+2=0的距离为d= =， 故两圆的公共弦长为2=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 8.(多选)圆M:(x-2)2+(y-1)2=1，圆N:(x+2)2+(y+1)2=1，则两圆的一条公切线方程可能是(　 　) A.y=0 B.4x-3y=0 C.2x-y+=0 D.x-2y-=0 ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 [解析] 由两圆方程得:圆心M(2，1)，N(-2，-1)，半径r1=r2=1， ∵两圆圆心距d==2， ∴d>r1+r2=2，即两圆外离，∴公切线共有4条， ∵两圆半径相同，∴两圆两条公切线经过MN的中点(0，0)， 两条公切线与直线MN平行， ∵经过MN中点的公切线斜率显然存在，可设为:y=kx， ∴圆心M到直线y=kx的距离为1，即=1， 解得k=0或k=，即公切线方程为:y=0或4x-3y=0; 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 ∵kMN==，∴与MN平行的公切线方程为y=x+t，即x-2y+2t=0， ∴=1，解得t=±， 即公切线方程为x-2y+=0或x-2y-=0， 综上所述，两圆的公切线方程为y=0或4x-3y=0或x-2y+=0或x-2y-=0. 故选ABD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 走进高考 1.(2025·全国一卷)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3) C.(3，+∞) D.(0，+∞) [解析] 由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心E(0，-2)， 半径为r，到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个， ∵圆心E(0，-2)到直线y=x+2的距离为:d==2， B 名师导学第一轮总复习 高三数学 46 故由图可知，当r=1时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y=x+2的距离等于1; 当r=3时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y=x+2的距离等于1; 当r的取值范围为(1，3)时，圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=x+2的距离等于1.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 $