2025-2026学年高一下学期数学期末仿真模拟试卷02（江苏专用，测试范围：苏教版必修第二册）

**基本信息** 本试卷全面覆盖高一数学核心内容，以立体几何（如圆柱与正四棱柱组合体体积）、向量运算、解三角形及数据统计为重点，通过多梯度问题设计（如解答题19题二面角探究），考查空间观念、运算能力与数据意识，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数几何意义、圆锥侧面积|基础概念与空间想象结合（如第4题圆锥与圆台侧面积关联）| |多选题|3/18|单位向量投影、独立事件判断、异面直线成角|多维度辨析（如第9题向量投影与数量积综合）| |填空题|3/15|数据方差、三角恒等变换、角平分线面积最值|运算能力与模型意识（如第14题面积最小值构建函数模型）| |解答题|5/77|向量夹角、频率分布直方图、线面垂直、二面角|综合探究（如第19题圆柱中面面垂直与二面角计算，体现推理能力与空间观念）|

2025-2026学年高一数学下学期期末仿真模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量与共线，则实数（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【分析】由向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：B. 2.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 故选:D 3.已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，可得，然后利用复数的乘法、除法运算可求. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点分别为和， 所以， 则. 故选：A. 4.已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 故选：C 5.若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 故选：D. 6. 如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】结合图形，利用重心的性质由向量的加法法则可得. 【详解】由题意可得为三角形重心， 所以 . 故选：D. 7. 在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【分析】设外接圆的半径为.在中，由余弦定理及题中条件可得，再由余弦定理可得的值，进而可求的值，由正弦定理即可求解外接圆的半径. 【详解】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 8.如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图，两个正四棱柱重叠部分为多面体， 取的中点I，则多面体可以分成8个全等小三棱锥， 例如三棱锥， 则，且平面， 则， 所以“垂直贯穿”构成多面体的体积为 . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（ ） A. 的夹角为 B. C. D. 【答案】ABD 【分析】由题意求得，从而可得，即可判断A；求得，从而判断B；求出、，从而判断C，D. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，且， 所以，即， 所以， 所以， 又因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】ABC 【分析】利用古典概型公式求出，， ，进一步结合独立事件的概率公式和互斥事件的定理逐个选项判断即可. 【详解】由题意得共有个基本事件， 第一次向上的点数是1有，共6种情况， 由古典概型概率公式得， 第二次向上的点数是偶数有 ，共种情况， 由古典概型概率公式得， 两次向上点数之和是8有，共5种情况， 由古典概型概率公式得， 而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数， 符合条件的有，共3种，则， 下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由已知得，， 满足，则与相互独立，故A正确， 对于B，事件表示第一次向上的点数是1或两次向上的点数之和是8， 符合条件的有 ，共11个，故， 满足，可得与互斥，故B正确， 对于C，由概率加法公式得 ，即C正确， 对于D， 题意得共有个基本事件， 则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8， 符合条件的有，共3种，则，故D错误. 故选：ABC 11.已知正四棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 三棱锥的内切球的半径为 【答案】AD 【分析】先利用线线平行的传递性求得为异面直线与所成角，再在中利用余弦定理即可得解判断A，根据线面角的定义证明为直线与平面所成角，解三角形求其余弦即可判断B，对于C，结合条件可得等价于求正四棱柱的外接球半径，结合长方体性质可求半径，由此即可判断，对于D，由条件结合内切球性质求半径即可判断. 【详解】对于A，因为在正四棱柱中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以为异面直线与所成角，     由已知，四边形为正方形，，平面， 在中，，，则， 由余弦定理得，A正确； 对于B，因为平面，所以为直线与平面所成角， 在中，， ，， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为，B错误； 三棱锥的外接球也是正四棱柱的外接球， 正四棱柱的外接球的半径为，C错误， 设三棱锥的内切球半径为，三棱锥的表面积为，体积为， 则， 由， ， 所以 ，所以 ，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为_______． 【答案】4 【分析】根据平均数求出实数，再求出方差. 【详解】由题：一组数据2,4,,6,8的平均数为5，即，解得， 所以该组数据的方差为. 故答案为：4 13. 已知，若，，则_____． 【答案】 【分析】利用同角三角函数平方关系及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】，， ，， ，， ， 又，．  故答案为： 14.在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 【答案】8 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解 【详解】 设在中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足，，，向量满足． （1）求实数的值； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先由数量积的运算律求出，再由向量垂直的条件可得； （2）先由数量积和模长的运算求出，再由夹角的计算求出即可. 【解析】（1）因为，即，则， 又，所以. （2）由（1）可得，则， 所以， 所以， 因为，所以，即与的夹角为. 16.某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； （3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可； （2）由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解； （3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可. 【解析】（1）根据频率分布直方图，可得， 解得； （2）设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得 ， 即本次测试的平均成绩为； （3）设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则， 即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为. 17. 如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】(1)通过证明平面，从而得到； (2)方法1，利用等体积法求解；方法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【解析】（1）在正三棱柱中， 因为是正三角形，是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）在正中，因为，所以，． 连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角， 所以 ，所以． 在正三棱柱中，，， 所以，． 在中，由余弦定理 ， 得，所以， 所以的面积． 设点到平面的距离是，则， 解得，所以点到平面的距离是． 18.已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求的值； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）3 （2） 【分析】（1）由已知条件及正弦边角关系，结合三角形内角和性质、和角正弦公式化简得，即可得； （2）根据已知得，结合、求得、，进而求出对应正弦值，应用正弦定理求边长，即可得. 【解析】（1）由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以. 因为在锐角中，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，所以，所以，， 由正弦定理，得，， 所以的周长为. 19. 已知圆柱底面半径为，高为，、分别为上，下底面圆心，为下底面的一条直径，点在下底面圆周上（异于、），为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）若． ①是上一点，且满足平面平面，求的值； ②过点作一个平面，使与圆柱底面所成二面角大小为，且平面．过点作直线，使垂直于圆柱底面，设与平面交于点，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）①设平面交线段于点，连接、、，可得出，，，结合正弦定理求解即可； ②设为圆柱的一条母线，过点在平面内，连接，以、作平面，过点在平面内作，垂足为点，连接、，分析可知平面即为所求作的平面，分析可知为等腰直角三角形，求出的长，即可得解. 【解析】（1）连接，如图所示： 因为为中点，为中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）①设平面交线段于点，连接、、，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为为的中点，故为的中点， 因为为的中点，故，所以，， 在中，，，由正弦定理得， 故； ②设为圆柱的一条母线，过点在平面内，连接， 以、作平面，过点在平面内作，垂足为点， 连接、，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，二面角的平面角为， 由题意可知，，所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 故平面即为所求作的平面， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 因为平面，所以， 所以平面与底面所成角的平面角为， 因为平面，平面，所以，故为等腰直角三角形， 因为，则， 因为，故为等边三角形，所以， 因点在下底面圆周上（异于、），所以，故， 所以， 因为， 因为，故，故. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末仿真模拟试卷02 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量与共线，则实数（ ） A. B. C. 6 D. 2.已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 3.已知复数在复平面内所对应的点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 4.已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5.若，则（ ）. A. B. C. D. 6. 如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 6 8.如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（ ） A. 的夹角为 B. C. D. 10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. 与互斥 C. D. 11.已知正四棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的半径为 D. 三棱锥的内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一组数据2，4，，6，8的平均数为5，该数据的方差为_______． 13. 已知，若，，则_____． 14.在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量满足，，，向量满足． （1）求实数的值； （2）求与的夹角． 16.某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； （3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 18.已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求的值； （2）若，，求的周长. 19. 已知圆柱底面半径为，高为，、分别为上，下底面圆心，为下底面的一条直径，点在下底面圆周上（异于、），为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）若． ①是上一点，且满足平面平面，求的值； ②过点作一个平面，使与圆柱底面所成二面角大小为，且平面．过点作直线，使垂直于圆柱底面，设与平面交于点，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $