精品解析：江苏镇江市2025-2026学年中泠青少年科学院6月阶段性检测卷（期末）

中泠青少年科学院初三6月阶段检测（数学）试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程可以是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数图象过定点（ ） A B. C. D. 6. 已知函数（，），若图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象在上有个不同的交点，则（ ） A. 4052 B. 4053 C. 8104 D. 8105 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若角的终边过点（），则 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若是第二象限角，则在第三象限 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边在直线上，则________． 13. 已知，则的最小值为_____． 14. 已知函数在上最大值，最小值为，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数. （1）解关于x的不等式 （2）若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围. 17. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 18. 已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，将函数向右平移个单位得到的函数为偶函数，且当时，取得最大值. （1）求函数的解析式； （2）若函数的零点为，求； （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）求值； （2）若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围； （3）对任意，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中泠青少年科学院初三6月阶段检测（数学）试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，可得或， 又，则. 故选：D 2. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象平移原则得出的表达式，由三角函数性质求出对称轴即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位后得： . 令，得， 结合选项得图象的一条对称轴方程可以是， 故选：B. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，可得为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除C；由时，可排除AD，由此可得结果. 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 4. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 5. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 6. 已知函数（，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，，且，解之讨论k，可得选项. 【详解】因为的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B； 又，且，解得， 当时，不满足， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 当时，不满足，故C正确，D不正确， 【点睛】关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项. 7. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 8. 函数与的图象在上有个不同的交点，则（ ） A. 4052 B. 4053 C. 8104 D. 8105 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，即可求得结果. 【详解】易知函数关于点成中心对称， 又函数满足； 因此函数也关于点成中心对称， 易知函数的最小正周期为，其值域为 因为函数在上单调递减，且当时，，当，； 可知的值域为； 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且由对称性可知这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数x，y满足，则以下说法正确的有（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质逐项计算即可. 【详解】对于A，因为， 所以根据基本不等式的性质得，所以. 当且仅当时等号成立，此时的最大值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 所以. 因为，所以，所以当时，取最小值为，B正确； 对于C，， 由A可知的最大值为2，所以的最大值为，C正确； 对于D，. 当且仅当即，结合可得时等号成立， 此时的最小值为，D错误； 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若角的终边过点（），则 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若是第二象限角，则在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，若角的终边过点（），则， 当时，；当时，. 故B不正确. 对于C，设扇形的半径为，弧长为. 若扇形的面积为4，周长为10，则， 解得或. 所以扇形的圆心角（正角）的弧度数为（舍去）或. 故C正确. 对于D，若是第二象限角，则，， 所以在第三象限，所以D正确. 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D. 【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则， 可得， 所以所有偶函数都具有性质，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以具有性质，故B正确； 对于选项C：因为， 且函数的值域为， 所以不存在实数，使得，故C错误； 对于选项D：因为 ， 因为，，，则，则， 可得，即，则， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边在直线上，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 13. 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 14. 已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 【答案】8 【解析】 【详解】， 设，因为， 所以为奇函数，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）若，全集，求； （2）若，求实数m的取值范围； （3）设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 时，，故或， ， 故或； 【小问2详解】 ， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； 【小问3详解】 命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 16. 已知函数. （1）解关于x的不等式 （2）若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）分，，，，讨论即得； （2）由题可得对于任意的，有恒成立，然后分类讨论求函数最值即得. 【小问1详解】 当时，，不等式的解集为； 当时，由可得； 方程的根为，2， 当时，，不等式的解集为}； 当时, 当时，即，不等式的解集为； 当时，即，不等式的解集为或}； 当时，即，不等式的解集为或. 【小问2详解】 由，得， 所以对于任意的，有恒成立 设函数，对称轴为， ①当，即，时取得最小值， ， 解得， 所以. ②当，即，函数g(x)在单调递减， 所以时取得最小值，，解得， 所以. 综上有①，②得. 17. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多人的精神寄托．现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为：．通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】（1）； （2）年产量为42千件，最大年利润为115万元. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，进而求出的表达式． （2）由（1）按与分段利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值，再比较大小即得． 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 由（1） 当时，， 则当时，取得最大值60万元； 当时，， 当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元． 18. 已知函数的图象的相邻对称轴之间的距离是，将函数向右平移个单位得到的函数为偶函数，且当时，取得最大值. （1）求函数的解析式； （2）若函数的零点为，求； （3）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知，结合可得，故.利用正弦函数的平移变换结合正弦函数的图象与性质即可求解； （2）由（1）知，由题知，故，结合同角三角函数的平方关系可得.然后利用三角函数的诱导公式整体代换即可求解； （3）由（1）知，则时，，由正弦函数的图象与性质可知：当时，有两个解.令，由题意可得关于的方程在上有2个不相等的实数根，结合一元二次函数根与系数的关系即可求解. 【小问1详解】 由题知，∴.又，解得，∴. 将函数向右平移个单位得到函数， ∵为偶函数，∴，解得. ∵，∴或. 又当时，取得最大值，，即. ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴. 由题知，∴，. ∴. 【小问3详解】 由（1）知，则时，， 由正弦函数的图象与性质可知：当时，有两个解；当或时，有一个解. 令，则方程在上有4个不相等的实数根，等价于关于的方程在上有2个不相等的实数根， ∴， 解得，即实数的取值范围为. 19. 已知函数，. （1）求的值； （2）若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围； （3）对任意，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得的值，代入求解即可； （2）根据题意得，所以， 根据零点位置和区间端点位置判断即可求解； （3）根据题意得， 化简得，构造求解即可. 【小问1详解】 因为，所以 【小问2详解】 由，得，即， 即，因式分解得， 解得或， 因为方程在区间上有唯一的实数解， 注意到， 所以或解得，或. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由， 所以， 整理得 ① 因为①式对任意恒成立， 所以恒成立， 所以， 整理得，即 ② 记， 因为②式在上恒成立，所以恒成立， 令，因为， 当且仅当时，等号成立，所以 则， 当且仅当时，等号成立，所以. 所以，即，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $