2025-2026学年高一下学期数学期末仿真模拟试卷01（江苏专用，测试范围：苏教版必修第二册）

**基本信息** 高一数学期末仿真卷，覆盖复数、立体几何、解三角形等核心知识，解答题融合概率统计应用与立体几何探究，体现数学思维与直观想象。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数模、分层抽样、向量垂直、线面关系|基础概念与运算结合，如复数模计算、向量垂直坐标表示| |多选题|3/18|统计量性质、解三角形判定、四面体性质|多角度辨析，如结合三角形形状判断考查推理能力| |填空题|3/15|纯虚数定义、向量数量积、锐角三角形最值|聚焦关键能力，如用余弦定理求最值体现运算能力| |解答题|5/77|向量投影、频率分布直方图、三角恒等变换、立体几何证明与体积|分层设问，如概率统计题结合分层抽样与古典概型，立体几何题探究体积最值与外接球，体现数据意识与空间观念|

2025-2026学年高一数学下学期期末仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【分析】由复数的四则运算并结合复数的模即可求解. 【详解】， 则. 故选：C 2.某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（ ） A. 1200 B. 1440 C. 1800 D. 2400 【答案】B 【分析】利用各层数量比可得答案. 【详解】，解得. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【分析】利用向量垂直的条件求出参数 ，再计算向量的模长. 【详解】已知 ，，且 ， 因此：，解得：. 所以，则 故选：A 4.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【分析】利用直线与平面平行、平面与平面平行的定义与性质，线面垂直的性质及面面平行和线面垂直的判定定理，逐一分析选项即可求解. 【详解】若，，则或，故选项A错误； 若，，根据线面平行和面面平行的定义可知，故选项B正确； 若，，则或，故选项C错误； 若，，，则，可能平行也可能异面，故选项D错误. 故选：B. 5.在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由余弦定理、三角形面积公式得，即可求解. 【详解】因为，， 若，则，而， 所以，. 故选：D 6. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【分析】由题可得平面，即，然后即可得的值. 【详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即平面， 所以， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 即，所以. 故选：C 7.如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（ ） A. 0.504 B. 0.846 C. 0.902 D. 0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 8.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，利用正余弦和差公式化解可得，，再根据正切差角公式可求. 【详解】， ，即， ， ， ， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（ ） A. 的第80百分位数为 B. 的极差为8 C. 的平均数为7 D. 的方差为4 【答案】BC 【详解】数据的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误； 数据的极差为4，即. 由，可知，， ，故B正确； 由数据的平均数为3，，得数据的平均数为，故C正确； 由数据的方差为，由，得数据,的方差为，故D错误. 故选：BC. 10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 存在钝角三角形，满足 D. 若，则 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理结合大边对大角可判断A；根据诱导公式，正弦函数的单调性结合锐角三角形的条件可判断B；利用三角恒等变换公式可得可判断C；利用和差化积公式结合正弦定理，等差数列的性质可判断D. 【详解】根据正弦定理：，得​， 因此， 三角形中大边对大角，故，A正确； 若为锐角三角形，则，且​， 因此​，即，又， 在单调递增，故，B错误； ，  若是钝角三角形，仅一个角为钝角，其余两个为锐角，故， 因此，存在这样的钝角三角形，C正确； ， ： 因为，两边约去得： ，​ .  由正弦定理得，故D正确. 故选：ACD. 11.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（ ） A. 该圆台的体积为 B. 该圆台的内切球的半径为 C. 直线与直线所成角的最大值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A选项，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， 所以，则A选项正确． 对于B选项，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球， 则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为， 易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆， 则腰长，所以梯形存在内切圆， 故圆台存在内切球，且内切球的半径为，则B选项正确；    对于C选项，如图（2），过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求， 而，由圆的性质得，， 所以， 因为，则C选项错误．    对于D选项，如图（3），平面即平面， 过点做交于点，因为垂直于下底面，而在底面内， 所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且． 设，则， 所以， 所以， 当时，，当时， ，因为函数在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确．    故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 【答案】 【分析】利用纯虚数的性质列方程组求解可得. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 13.在中，，，，且，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，结合数量积的运算律可得，即可求解. 【详解】由于，故,故, 又, 故, 故, 故， 由于，故， 故答案为： 14. 在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】由正弦定理可得，再由三角恒等变换计算可得，利用换元法以及基本不等式计算可得当时取得最小值为8. 【详解】根据正弦定理由，可得， 所以， 即可得， 又因为，可得， 因此， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 令，可知， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知为平面直角坐标系的原点，，轴，，． （1）求，点坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1），； （2） 【分析】（1）首先由几何条件，求点的坐标，再结合条件和数量积公式求点的坐标； （2）代入投影向量的坐标公式，即可求解. 【解析】（1）由条件可知，，所以点的横坐标，纵坐标，即， 由条件可知，，则设， 所以，则，即， 所以，； （2）由（1）可知，，， 所以向量在向量上的投影向量为, 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 16.为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． （1）求m的值； （2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； （3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）列举样本点，即可根据古典概型的概率公式即可求解. 【解析】（1）由题意可得，解得， （2）平均数为（3），，的频率分别为，故之比为，因此从，，抽取5个人，则需要从，，分别抽取的人数为1，3，1， 设的1个人为，的3个人为，的1一个人为, 故样本空间为,共有10个， 则2人体能测试成绩在的样本点有共有3个， 故概率为， 17.已知，． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果. （2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解. 【解析】（1）因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. （2）由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以 18.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求b. （2）若D点满足，，求a. 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，由得，结合正弦定理即可求解； （2）设，则，设，则，由正弦定理化简可得，结合二倍角公式解得，求出，利用余弦定理求解即可. 【解析】（1）由及正弦定理得， 即，即， 由得，， 即，进而由正弦定理得； （2）因为，所以， 设，则由题意，设，则， 则由正弦定理得，消去x得， 所以，又，所以，所以，所以， 由余弦定理得，所以. 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求的长； （3）是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明见解析 （2） （3）存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【解析】（1）由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. （2）由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. （3）在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末仿真模拟试卷01 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2.某工厂6月份生产三种产品的数量比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中产品的数量为600，则的值为（ ） A. 1200 B. 1440 C. 1800 D. 2400 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6 4.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（ ） A. B. C. D. 6.已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 7.如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（ ） A. 0.504 B. 0.846 C. 0.902 D. 0.956 8.若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.一组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若，则（ ） A. 的第80百分位数为 B. 的极差为8 C. 的平均数为7 D. 的方差为4 10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则 C. 存在钝角三角形，满足 D. 若，则 11.在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四面体的体积的最大值为 C. 棱的长的最小值为 D. 四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______． 13.在中，，，，且，则______． 14. 在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知为平面直角坐标系的原点，，轴，，． （1）求，点坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标． 16.为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示． （1）求m的值； （2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩； （3）现用分层抽样的方法从区间，，抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在的概率． 17.已知，． （1）求； （2）若，求的值． 18.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）求b. （2）若D点满足，，求a. 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求的长； （3）是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $