数列单调性与最值问题 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义聚焦数列单调性与最值问题，通过“题型分类-方法点拨-典例解析-变式训练”的知识框架系统构建内容，将作差法、函数法等核心方法与分段数列、递推关系等重难点按逻辑递进呈现，清晰梳理知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，如典例2结合分段数列参数范围问题，引导学生通过“分段内部单调+衔接处单调”的推理过程培养数学思维，变式题与培优题满足不同层次需求，答案详解助力学生自主复习，教师可据此实施针对性教学提升效率。

数列单调性与最值问题 题型一单调性判断(作差/作商/函数法) 方法点拨：①作差比较法：当 时， 递增；当 时， 递减. ②作商比较法：若 则当 时， 递增；当 时， 递减. ③函数法：将 转化为函数y=f(x),利用导数或基本函数单调性，结合 推导数列单调性。 典例：1．已知数列则的最大值为 变式1．已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（ ） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 题型二分段数列的单调性(含参数范围) 方法点拨：①保证各分段内部单调：一次函数段需满足斜率正负，指数/幂函数段需满足底数范围。②保证分段衔接处单调：前一段的末项小于后一段的首项(递增数列)或大于后一段的首项(递减数列)。③列不等式组求解参数：结合上述两点建立不等式，注意参数需同时满足所有条件。 典例2知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是 变式2．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是 题型三由递推关系判断数列单调性 方法点拨：①先求通项：通过构造法(等差/等比数列)、迭代法等求出 an的表达式。再判单调 性：对通项使用作差、作商或函数法判断，若无法求通项，可直接通过递推式变形比较 与 的大小。 ②特殊情况：若递推式为 可通过分析函数f(x)的单调性间接判断数列单调性。 典例3：在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为 变式3．已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型四单调性与最值综合(求数列最大/小项) 方法点拨：①单调性法：若数列先增后减，最大值在单调性转折处；若单调递增则末项最大，单调递减则首项最大。②不等式组法：设 为最大项，则有 如果为最小项则将不等号反向。 ③结合函数最值：将数列通项视为函数，求函数在正整数域内的最值，对应数列的最大/小项。 典例4：等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为 变式4．已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 课后作业 1．数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 4(多选）．已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（    ） A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列是单调递减数列 5（多选）．已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（    ） A． B． C．时，取最大值 D． 培优1．自然数列按如下方式排成三角数阵，第行第一个数为，令，若是数列唯一的最小项，则的取值范围为（   ）                                             A． B． C． D． 答案 典例1【答案】9 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得：. 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 变式1【答案】A 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项，故选：A． 典例2【答案】 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且，即． 变式2【答案】 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是.故选：C 典例3【答案】 【详解】由，，得，而，则数列是等比数列， 于是，当为奇数时，，， 当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为， 所以的最大值与最小值的差为. 变式3【答案】A 【详解】因为，所以. 若，则，不符合题意. 若，则为等比数列，所以. 当时，为单调递减数列，不符合题意； 当时，为单调递增数列，符合题意. 综上，. 典例4【答案】1 【详解】设公比为， 由成等差数列，得， 又数列为等比数列，所以得，解得， 所以， 令， 则， 所以数列递增数列，所以当时，取得最小值1. 变式4.【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 所以 ， 化简得； （3）由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，，所以数列的最大项为. 课后作业答案 1【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为.故选：D 2【答案】B 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得；综上，.故选：B 3【答案】B 【详解】由题意可得是以1为首项、为公比的等比数列， 故，则， 当时， ， 当时，，代入上式， 所以， 当时，； 当时，， 此时 由， 所以， 即当时，为递增数列， 又，故，故为的最小项， 又对于任意正整数均成立， 即成立，又为整数，故的最大值为，故选：B 4【答案】BC 【详解】． 令，得，故选项A不正确； 令，得，故是该数列中的第33项，故选项B正确， 因为，又，所以数列是单调递增数列， 所以，所以数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确．故选：BC. 5【答案】BC 【详解】由于，则，故A错误， ， ， 当，故， 当，故， 因此时，取最大值，C正确， 当时，，则，故D错误， 由于，故，故，B正确，故选：BC 培优答案【答案】D【详解】由题意知：，， ， ， 是数列的唯一最小项，，解得：， 即的取值范围为 8 学科网（北京）股份有限公司 $