4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.2.2《等差数列的前n项和公式》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：掌握等差数列的前n项和公式，理解公式的推导方法（倒序相加法），能运用公式解决简单的实际问题，体会函数与方程思想、从特殊到一般的研究方法. 课标分析： 本节课是等差数列从通项走向求和的关键内容，是数列知识的重要应用.课标强调“掌握”和“理解”，教学中应从高斯求和的历史故事入手，引导学生体会倒序相加法的巧妙，从而推导出等差数列的前n项和公式.重点在于公式的两种形式及其应用，难点是公式的灵活选用（已知首末项用第一个公式，已知首项公差用第二个公式）以及实际问题的建模.本节课对培养逻辑推理、数学运算与数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “等差数列的前n项和公式（第1课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第2.2节内容.教材以高斯计算1＋2＋…＋100的故事为引例，通过“倒序相加”的方法推导出等差数列的前n项和公式 ，进而利用通项公式得出 .教材还通过例题和练习，让学生掌握公式的基本运用，并初步体会公式与二次函数的关系.本节内容是等差数列知识的综合与升华，也是后续学习等比数列前n项和的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了等差数列的定义、通项公式及基本性质（下标和性质），能够由首项、公差或已知项求出通项公式.同时，学生具备一定的数学归纳和化归思想，但对于“倒序相加”这种求和方法还比较陌生.在实际计算中，学生容易混淆两个公式的使用条件，尤其是已知条件不同时，要正确选择公式以简化运算.此外，涉及含参数或方程组的题目，学生需要加强运算能力.教师应通过层层引导和递进练习，帮助学生掌握公式的本质和应用. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从高斯求和的实例中抽象出倒序相加的方法，概括出等差数列前n项和公式的推导过程. 1. 逻辑推理素养：能通过倒序相加推导公式，能根据已知条件选择恰当的公式形式进行计算，能利用等差数列的函数性质进行相关分析. 1. 数学运算素养：能熟练运用两个求和公式进行计算，能解决已知 求 ，已知 求 ，以及含未知量的方程问题. 1. 数学建模素养：能将实际问题（如堆放钢管、工资总额等）抽象为等差数列求和模型，并求解. 1. 数学语言素养：能准确用符号表示前n项和，并能表达公式的推导过程. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等差数列前n项和公式的推导与理解；两个求和公式的形式及应用. 1. 难点：倒序相加法的理解；根据题意合理选择公式；等差数列前n项和公式与二次函数的关系. 6、 教学过程 教师活动 1. 展示预习问题： （1）高斯计算 采用的方法是______，其和为______. 答案：倒序相加；. （2）等差数列 的前n项和 ______（用 表示）. 答案：. （3）等差数列 的前n项和 ______（用 表示）. 答案：. （4）若等差数列 中，，，则 ______. 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并强调公式的两种形式. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 等差数列的通项公式是什么？已知 ，，求 . (2) 学生回答：，. (3) 追问：若要求 ，有没有简便方法？ 2. 引入高斯求和的故事，激发兴趣. 环节三：合作探究 1. 倒序相加法推导公式（5分钟） 教师板书引例：求 . 倒序：，两式相加得 ，所以 . 推广到一般等差数列： 两式相加得 . 根据等差中项性质，每个括号都等于 ，共有 对，所以 ，即 . 再利用通项公式 ，得 . 引导学生对比两个公式：已知首项和末项用前者，已知首项和公差用后者. 2. 公式的初步应用（5分钟） 教师示范例：已知等差数列 中，，，求 . 解：. 或先求 ，再 . 强调：计算时注意公式不要混淆，运算要细心. 3. 函数观点初步认识（5分钟） 将 整理成关于 的二次函数： . 当 时， 是关于 的二次函数（常数项为0）. 这一性质可用于求最值等问题（下节课进一步学习）. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：求下列等差数列的前10项和： （1）； （2）. 解： （1），. （2），. 例2：已知等差数列 中，，，求 . 解：. 例3：已知等差数列 中，，，求公差 . 解： ⇒ ⇒ . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列求和方法中，可用于推导等差数列前n项和公式的是（ ） A. 倒序相加法 B. 裂项相消法 C. 错位相减法 D. 归纳法 答案：A（倒序相加法）. 例5：已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，，求 和 . 解： ① ② ①×3得 ，②×2得 ，相减得 ⇒ ，代入①得 ⇒ ⇒ . 答案：，. 例6：在等差数列 中，，，求 和 . 解： ① ② ②÷5得 ⇒ ，代入①得 ⇒ ，则 . 答案：. 例7：某剧场共有20排座位，第一排有15个座位，以后每一排比前一排多2个座位.求该剧场共有多少个座位. 解：每排座位数构成等差数列，，，. （个）. 答案：680个. 例8：已知数列 的前n项和 ，求证该数列是等差数列. 证明：当 时，. 当 时， 检验 ，，符合.所以 ，则 （常数），故 是等差数列. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 等差数列前n项和的两个公式： 和 . (2) 推导方法：倒序相加. (3) 公式的适用条件：已知首末项用前者，已知首项公差用后者. (4) 前n项和公式可以看作关于n的二次函数（缺常数项）. 2. 教师强调： (1) 记忆公式时注意系数和分母. (2) 已知 求 时，需分 和 讨论. 3. 实际问题中注意项数的确定. 环节六：布置作业 1. 书面作业： · 完成课本第24页习题4.2第1、3题. · 配套课时达标检测《等差数列的前n项和（第1课时）》. 1. 拓展作业： · 已知数列 的前n项和 ，求该数列的通项公式，并判断是否为等差数列. 1. 预习引导： 预习下一节“等差数列前n项和的性质及应用”，思考如何利用二次函数求最值. 授课人个案修改记录： 本节课从高斯求和故事出发，通过倒序相加法自然推导出等差数列前n项和公式，学生兴趣浓厚.在理解公式的两种形式后，通过不同条件的例题，学生逐步掌握了公式的选用技巧.练习中设计了基本计算、求基本量、实际问题建模以及由 求 的题型，覆盖面广.不足之处：部分学生对倒序相加法的灵活性认识不足，可以补充一些其他数列的求和小例子；在实际问题中，对项数的判断（如第n排的座位数对应 ）个别学生出错.整体上，本节课为后续学习等差数列前n项和的性质及应用奠定了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $