第六章 变量之间的关系（4种题型）期末复习讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第六章 变量之间的关系 一、相关概念 1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 2.自变量：主动发生变化的量。 3.因变量：随着自变量变化而变化的量。 4.常量：在变化过程中，数值始终保持不变的量。 二、表示变量关系的三种方式 1.表格法：把自变量和因变量的对应值列成表格。 优点：直观查找对应数值； 缺点：只能体现部分数据，难以看出整体变化趋势。 2. 关系式法（解析式） ：用等式表示两个变量之间的关系 一般形式：因变量=含自变量的代数式。 已知自变量可求因变量，已知因变量也可求自变量，能完整反映变量间规律。 3. 图象法 ：用平面直角坐标系中的图象表示变量关系，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。 · 上升线：因变量随自变量增大而增大 · 下降线：因变量随自变量增大而减小 · 水平线：因变量保持不变 优点：直观反映变化趋势、增减快慢； 缺点：读取数值有误差。 三、变化速度解读 1.图象中直线/线段越陡，说明变量变化速度越快；越平缓，变化速度越慢。 2.分段图象：不同线段代表不同的变化阶段，需分段分析。 四、实际应用 结合行程、利润、面积、温度等实际情境，分析变量变化规律，解决求值、预测变化趋势等问题。 1.混淆自变量与因变量，判断颠倒 2.解读图象时看错横、纵轴代表的量 3.分段图象分析不全，遗漏某一阶段变化情况 4.根据关系式计算时，出现代数运算错误 5.误将变化的量当作常量 1.表格题：观察数据差值，判断增减与变化快慢 2.图象题：先看坐标轴含义，再分段分析走势 3.互化技巧：三种表示方式可相互转化，灵活切换解题 4.数形结合：借助图象理解变量变化，简化实际问题 题型一 常量、变量的识别 1．（2026七年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 4．（25-26七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 题型二 用表格表示变量间的关系 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】根据表格给出的弹簧长度与物体质量的对应关系，结合变量的相关概念逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵与都是变量，随的变化而变化， ∴是自变量，是因变量， ∴选项A说法正确； ∵弹簧不挂重物，即时，， ∴选项B说法不正确； ∵计算相邻对应的差可得，，，，， ∴物体质量每增加，弹簧长度增加， ∴选项C说法正确； 由C可知，当物体质量为时，， ∴选项D说法正确． 6．（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 7．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 题型三 用关系式表示变量间的关系 9．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总存油量流出油量，总存油量为升， ∴． 10．（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）钢笔的价格为每支10元，购买钢笔应付金额y（元）与购买数量x（支）之间的关系式为_______，其中，常量是_______，变量是_______． 【答案】 10 ， 【详解】解：根据总金额单价购买数量，可得， 根据常量的定义：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可知本题中数值不变的量是，因此常量是； 根据变量的定义：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，可知本题中数值发生变化的量是购买数量和应付金额，因此变量是和. 11．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）某无人机的飞行速度为，飞行时间为t秒，飞行路程为s米，则s与t之间的函数关系式为______（不写自变量取值范围）． 【答案】 【详解】解：飞行速度为，飞行时间为t秒， ． 12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】利用长方形周长公式列出等式，再整理变形即可得到y与x的关系式． 【详解】解：根据长方形周长公式可得：， 等式两边同时除以得：， 移项得：． 题型五 用图象表示变量间的关系 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 14．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器的形状可知，容器下部横截面积大，上部横截面积小；在单位时间内注水量保持不变的情况下，水面高度上升的速度会随着横截面积的减小而变快，即函数图象逐渐增大． 【详解】解：∵容器形状为下宽上窄， ∴随着注水时间的增加，容器内水面的横截面积逐渐减小， ∵单位时间内注水量保持不变， ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 15．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 16．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 变量之间的关系 一、相关概念 1.变量：在某一变化过程中，可以 的量。 2.自变量：主动发生变化的量。 3.因变量：随着 变化而变化的量。 4.常量：在变化过程中，数值始终保持 的量。 二、表示变量关系的三种方式 1.表格法：把 和 的对应值列成表格。 优点：直观查找对应数值； 缺点：只能体现部分数据，难以看出整体变化趋势。 2. 关系式法（解析式） ：用等式表示两个变量之间的关系 一般形式：因变量=含自变量的 。 已知自变量可求因变量，已知因变量也可求自变量，能完整反映变量间规律。 3. 图象法 ：用平面直角坐标系中的图象表示变量关系，横轴表示 ，纵轴表示 。 · 上升线：因变量随自变量增大而 · 下降线：因变量随自变量增大而 · 水平线：因变量保持不变 优点：直观反映变化趋势、增减快慢； 缺点：读取数值有误差。 三、变化速度解读 1.图象中直线/线段越陡，说明变量变化速度 ；越平缓，变化速度 。 2.分段图象：不同线段代表不同的变化阶段，需分段分析。 四、实际应用 结合行程、利润、面积、温度等实际情境，分析变量变化规律，解决求值、预测变化趋势等问题。 1.混淆自变量与因变量，判断颠倒 2.解读图象时看错横、纵轴代表的量 3.分段图象分析不全，遗漏某一阶段变化情况 4.根据关系式计算时，出现代数运算错误 5.误将变化的量当作常量 1.表格题：观察数据差值，判断增减与变化快慢 2.图象题：先看坐标轴含义，再分段分析走势 3.互化技巧：三种表示方式可相互转化，灵活切换解题 4.数形结合：借助图象理解变量变化，简化实际问题 题型一 常量、变量的识别 1．（2026七年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 2．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 4．（25-26七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 题型二 用表格表示变量间的关系 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 6．（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 7．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 题型三 用关系式表示变量间的关系 9．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）钢笔的价格为每支10元，购买钢笔应付金额y（元）与购买数量x（支）之间的关系式为_______，其中，常量是_______，变量是_______． 11．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）某无人机的飞行速度为，飞行时间为t秒，飞行路程为s米，则s与t之间的函数关系式为______（不写自变量取值范围）． 12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）． 题型五 用图象表示变量间的关系 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A．B．C． D． ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 15．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A．B．C． D． 16．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $