专题06 变量之间的关系（期末复习讲义+5重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题06 变量之间的关系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 常量与变量（自变量、因变量） 题型02 用表格表示的变量间关系 题型03 用关系式表示变量之间的关系 题型04 用图象表示变量之间的关系 题型05 从图象中获取信息 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量与变量的概念 能准确辨识具体情境中的变量与常量，理解变量是可以变化的量，常量是数值始终保持不变的量 基础必考点，常以选择题、填空题形式考查，易混淆点是判断一个量是否为常量需结合具体变化过程来分析 自变量与因变量的区分 能确定变化过程中的自变量与因变量，理解自变量是主动发生变化的量，因变量是随之发生变化的量 高频易错点，容易混淆主动变量和被动变量的关系，常结合实际问题情境考查 用表格表示变量间的关系 能从表格中获得变量之间关系的信息，能根据表格数据描述变化趋势并进行初步预测 基础考查形式，多出现在数据分析和规律探求小题中，需注意列表中自变量应按从小到大的顺序排列 用关系式表示变量间的关系 能根据具体情境列出关系式，并能利用关系式根据自变量的值求因变量的值，或根据因变量的值反求自变量 期末必考点，常与代数式求值、解方程等题型结合，注意关系式必须将因变量单独写在等号左边 用图象表示变量间的关系 能读懂各种类型的变化图象（路程—时间、速度—时间、温度—时间等），能准确描述图象中的上升、下降、拐点等变化的实际意义 压轴和难点题目，选择和填空均有出现，常与生活实际情境结合（如行程问题、注水问题等），易错点是忽略横轴和纵轴的不同含义，以及忽视图象中的关键点和拐点 知识点01 变量与常量 1. 基本概念 定义： - 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 - 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 示例：在汽车以60km/h的速度匀速行驶的过程中，路程s随时间t的变化而变化。指出其中的变量与常量。 解：变量是路程s和时间t；常量是速度60km/h。 2. 自变量与因变量 定义： - 自变量：在变化过程中主动变化的量（通常是自己变化的）。 - 因变量：在变化过程中随自变量变化而变化的量（通常是由自变量决定的）。 判断方法： - 谁先变、谁主动、谁是原因 → 自变量 - 谁后变、谁被动、谁是结果 → 因变量 示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？ 解：自变量是海拔，因变量是气温（海拔变化导致气温变化）。 易错点： 1. 变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式 \( s=60t \) 中，60是常量，s和t是变量。 2. 自变量与因变量颠倒：误将因变量当作自变量。可以问自己：哪个量的变化导致了另一个量的变化？ 3. 多个变量时区分不清：需要根据变化过程中的因果关系来判断。 知识点02 变量之间关系的表示方法 方法一：表格法 定义：通过列表格来表示变量之间的关系。通常第一行是自变量，第二行是因变量。 优点：具体、直观，可以直接看出对应值。 缺点：数据有限，不能反映整体变化趋势。 示例：某日的气温变化情况如下表： 时间t（时） 0 2 4 6 8 10 12 气温T（℃） 8 6 5 7 11 15 18 问题：一天中什么时刻气温最高？什么时刻气温最低？ 解：由表格可知，12时气温最高（18℃），4时气温最低（5℃）。 易错点： 1. 看错自变量和因变量：表格中哪一列是自变量要明确（通常第一列或第一行）。 2. 找对应值错误：横竖对应位置要准确，不能串行。 3. 对表格数据描述不准确：如说“12时气温是18”漏单位“℃”。 方法二：关系式法 定义：用含自变量的代数式表示因变量的方法。如 \( y = 2x + 1 \)。 优点：精确，可以求出任意自变量的对应因变量值。 缺点：不直观，不能直接看出变化趋势。 示例：某汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶10km耗油1L。 （1）写出油箱剩余油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的关系式。 （2）求行驶150km时的剩余油量。 解： （1） 每千米耗油0.1L，∴ Q = 100 - 0.1s （2）当s = 150 时，Q = 100 - 0.1 ×150 = 85 （L） 易错点： 1. 关系式化简错误：运算过程要仔细，避免符号或系数错误。 2. 自变量范围忽略：实际问题中自变量有取值范围（如路程不能为负，时间不能超过某值），解题时要考虑。 3. 单位不统一：如题中给出“每10km耗油1L”，要转化为“每km耗油0.1L”，不能直接用10。 4. 字母含义混淆：设未知数时要用不同字母表示不同的量，避免混淆。 方法三：图像法 定义：在平面直角坐标系中用图像表示变量之间的关系。通常横轴表示自变量，纵轴表示因变量。 画图步骤： 1. 列表：取几组自变量的值，求出对应的因变量值。 2. 描点：在坐标系中描出这些点。 3. 连线：用平滑的线连接各点（实际问题的图像可能是折线或曲线）。 读图要点： - 看横坐标：确定自变量的值 - 看纵坐标：确定因变量的值 - 看走向：上升表示因变量随自变量增大而增大；下降表示因变量随自变量增大而减小 - 看陡缓：越陡变化越快，越平缓变化越慢 示例：2024年12月2日是第13个12·2“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车，小明每天骑自行车上学，一天，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是________； (2)小明家到学校的路程是________米．小明在书店停留了________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 解：（1）根据图象可得，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间， 故答案为：离家的时间； （2）轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：；4； （3）由图象可知：分钟时，平均速度米/分， 分钟时，平均速度米/分， 分钟时，平均速度米/分， ∴在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内． 易错点： 1. 横纵坐标看反：横轴是自变量（如时间），纵轴是因变量（如路程），不能颠倒。 2. 忽视坐标轴单位：每个小格代表多少要看清，不能凭感觉读值。 3. 误以为图像是实际路线：路程—时间图像反映的是路程随时间的变化，不是实际奔跑的路线。 4. “上升”“下降”判断错误：图像向上走（y增大）表示因变量增大，向下走（y减小）表示因变量减小。 5. 连线时用折线代替光滑曲线：实际问题应根据数据趋势连线，不一定都用直线段连接。 知识点03 三种表示方法的比较与选择 方法 优点 缺点 适用情况 表格法 具体、直观，便于查值 数据有限，不能看整体趋势 数据量小，需要精确值时 关系式法 精确，可求任意值 不直观，不能直接看变化趋势 需要精确计算时 图像法 直观看出变化趋势和整体情况 读数可能不精确 分析变化规律和趋势时 示例：要研究某商品的价格随季节的变化规律，应该选用哪种表示方法？ 解：应选用图像法，因为图像可以直观地看出价格随时间上升、下降或波动的整体趋势。 知识点04 从图像中分析变量之间的变化趋势 1. 常见变化类型 图像特征 含义 示例 上升（从左到右） 因变量随自变量增大而增大 速度不变时的路程—时间图 下降（从左到右） 因变量随自变量增大而减小 匀速耗油时的油量—时间图 水平（不变） 因变量不随自变量变化 静止不动时的路程—时间图 越来越陡 变化速度越来越快 加速运动的路程—时间图 越来越平缓 变化速度越来越慢 减速运动的路程—时间图 示例：下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 易错点： 1. 混淆“匀速”与“加速”的图像：匀速是直线（斜率不变），加速是曲线（斜率增大）。 2. 速度大小的比较：在同一路程—时间图中，越陡的速度越大，不是越高。 3. 路程—时间图与速度—时间图混淆：七年级不要求速度—时间图，但容易和路程图弄混。 知识点05 用图像表示速度的变化（拓展） 虽然七年级主要学路程—时间图，但也涉及速度的变化描述。 速度—时间图像要点： - 水平线 → 匀速运动 - 上升线 → 加速运动 - 下降线 → 减速运动 - 与横轴重合（v=0）→ 静止 易错点： 1. 速度—时间图中，图像的高低表示速度大小，不是路程长短。 2. 路程—时间图中，图像的高低表示路程多少，不是速度快慢。 知识点06 变量关系的实际应用 解题步骤： 1. 确定自变量和因变量 2. 根据题意建立关系（列关系式或画图像） 3. 利用关系式或图像解决问题 4. 检验结果是否符合实际意义 示例：某出租车收费标准：起步价10元（3km内），超过3km后每千米加收2元（不足1km按1km计费）。 （1）写出车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系式。 （2）行驶5km需付多少元？ 解：（1）当 0 < x≤3时，y = 10；当 x > 3时， y = 10 + 2(x-3) = 2x + 4 （2）x = 5 > 3 ，∴ y = 2×5 + 4 = 14 （元） 易错点： 1. 分段函数的取值范围分界点处理不当：分界点属于哪一段要明确（如x=3时，y=10）。 2. 实际意义忽略：如行驶路程不能为负数，人数为整数等。 3. “不足1km按1km计费”的处理：要用取整函数（或分段讨论），但七年级通常直接按整数处理或题目会说明。 题型一 常量与变量（自变量、因变量） 解｜题｜技｜巧 常量数值固定，变量可变化；自变量主动改变，因变量随之变化。判断时看关系式中量是否可任意取值，注意实际问题中变量的实际意义与取值范围，常通过表格或图象分析。 【典例1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【典例2】（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【变式1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 题型二 用表格表示的变量间关系 解｜题｜技｜巧 观察表格中两列数据变化趋势，找对应关系；看自变量增加时因变量增加、减少或波动，可求差值或比值找规律，注意异常数据，推断关系式时选两组数据定系数。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系： 每日光照（h） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 西瓜甜度（） 则以下说法错误的是（    ） A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量 B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高 C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时 D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 题型三 用关系式表示变量之间的关系 解｜题｜技｜巧 根据题意找等量关系，设字母表示变量，列出等式；注意单位统一，明确自变量取值范围，关系式可变形求其他变量，代入已知值验算，实际问题需考虑非负等限制。 【典例1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． (1)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； (2)如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． 【典例2】（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是_________． (2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． (3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 题型四 用图象表示变量之间的关系 解｜题｜技｜巧 横轴自变量，纵轴因变量；看图找趋势：上升、下降或平缓，注意拐点表示变化，交点表示相等，根据图象求值或范围，实际问题中注意轴起点与单位，避免误读。 【典例1】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？ (2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？ (3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 题型五 从图象中获取信息 解｜题｜技｜巧 先看横纵轴含义与单位，找关键点（起点、终点、交点、拐点），分段分析变化趋势；计算斜率得速度或增长率，注意图象不在原点时不代表从零开始，结合实际意义解读。 【典例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 2．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 7．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（    ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当容器中水的高度为时，对应的时间为 C．当经过的时间为时，容器中水的高度是 D．时间每增加，容器中水的高度增加 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是______．（填“自变量”“因变量”或“常量”） 5．（24-25七年级下·河南开封·期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是________，因变量是________； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米，博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 9．（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）根据图象回答以下问题： (1)哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)11时，他离家多远？11时到12时他行驶了多少千米？ (3)他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？在这个地方待了多长时间？ (4)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 10．（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． (1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； (2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； (3)求y与x之间的关系式； (4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 变量之间的关系（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 常量与变量（自变量、因变量） 题型02 用表格表示的变量间关系 题型03 用关系式表示变量之间的关系 题型04 用图象表示变量之间的关系 题型05 从图象中获取信息 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 常量与变量的概念 能准确辨识具体情境中的变量与常量，理解变量是可以变化的量，常量是数值始终保持不变的量 基础必考点，常以选择题、填空题形式考查，易混淆点是判断一个量是否为常量需结合具体变化过程来分析 自变量与因变量的区分 能确定变化过程中的自变量与因变量，理解自变量是主动发生变化的量，因变量是随之发生变化的量 高频易错点，容易混淆主动变量和被动变量的关系，常结合实际问题情境考查 用表格表示变量间的关系 能从表格中获得变量之间关系的信息，能根据表格数据描述变化趋势并进行初步预测 基础考查形式，多出现在数据分析和规律探求小题中，需注意列表中自变量应按从小到大的顺序排列 用关系式表示变量间的关系 能根据具体情境列出关系式，并能利用关系式根据自变量的值求因变量的值，或根据因变量的值反求自变量 期末必考点，常与代数式求值、解方程等题型结合，注意关系式必须将因变量单独写在等号左边 用图象表示变量间的关系 能读懂各种类型的变化图象（路程—时间、速度—时间、温度—时间等），能准确描述图象中的上升、下降、拐点等变化的实际意义 压轴和难点题目，选择和填空均有出现，常与生活实际情境结合（如行程问题、注水问题等），易错点是忽略横轴和纵轴的不同含义，以及忽视图象中的关键点和拐点 知识点01 变量与常量 1. 基本概念 定义： - 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量。 - 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量。 示例：在汽车以60km/h的速度匀速行驶的过程中，路程s随时间t的变化而变化。指出其中的变量与常量。 解：变量是路程s和时间t；常量是速度60km/h。 2. 自变量与因变量 定义： - 自变量：在变化过程中主动变化的量（通常是自己变化的）。 - 因变量：在变化过程中随自变量变化而变化的量（通常是由自变量决定的）。 判断方法： - 谁先变、谁主动、谁是原因 → 自变量 - 谁后变、谁被动、谁是结果 → 因变量 示例：在“气温随着海拔的升高而降低”中，自变量和因变量分别是什么？ 解：自变量是海拔，因变量是气温（海拔变化导致气温变化）。 易错点： 1. 变量与常量混淆：常量的数值不变，变量的数值在变。如公式 \( s=60t \) 中，60是常量，s和t是变量。 2. 自变量与因变量颠倒：误将因变量当作自变量。可以问自己：哪个量的变化导致了另一个量的变化？ 3. 多个变量时区分不清：需要根据变化过程中的因果关系来判断。 知识点02 变量之间关系的表示方法 方法一：表格法 定义：通过列表格来表示变量之间的关系。通常第一行是自变量，第二行是因变量。 优点：具体、直观，可以直接看出对应值。 缺点：数据有限，不能反映整体变化趋势。 示例：某日的气温变化情况如下表： 时间t（时） 0 2 4 6 8 10 12 气温T（℃） 8 6 5 7 11 15 18 问题：一天中什么时刻气温最高？什么时刻气温最低？ 解：由表格可知，12时气温最高（18℃），4时气温最低（5℃）。 易错点： 1. 看错自变量和因变量：表格中哪一列是自变量要明确（通常第一列或第一行）。 2. 找对应值错误：横竖对应位置要准确，不能串行。 3. 对表格数据描述不准确：如说“12时气温是18”漏单位“℃”。 方法二：关系式法 定义：用含自变量的代数式表示因变量的方法。如 \( y = 2x + 1 \)。 优点：精确，可以求出任意自变量的对应因变量值。 缺点：不直观，不能直接看出变化趋势。 示例：某汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶10km耗油1L。 （1）写出油箱剩余油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的关系式。 （2）求行驶150km时的剩余油量。 解： （1） 每千米耗油0.1L，∴ Q = 100 - 0.1s （2）当s = 150 时，Q = 100 - 0.1 ×150 = 85 （L） 易错点： 1. 关系式化简错误：运算过程要仔细，避免符号或系数错误。 2. 自变量范围忽略：实际问题中自变量有取值范围（如路程不能为负，时间不能超过某值），解题时要考虑。 3. 单位不统一：如题中给出“每10km耗油1L”，要转化为“每km耗油0.1L”，不能直接用10。 4. 字母含义混淆：设未知数时要用不同字母表示不同的量，避免混淆。 方法三：图像法 定义：在平面直角坐标系中用图像表示变量之间的关系。通常横轴表示自变量，纵轴表示因变量。 画图步骤： 1. 列表：取几组自变量的值，求出对应的因变量值。 2. 描点：在坐标系中描出这些点。 3. 连线：用平滑的线连接各点（实际问题的图像可能是折线或曲线）。 读图要点： - 看横坐标：确定自变量的值 - 看纵坐标：确定因变量的值 - 看走向：上升表示因变量随自变量增大而增大；下降表示因变量随自变量增大而减小 - 看陡缓：越陡变化越快，越平缓变化越慢 示例：2024年12月2日是第13个12·2“全国交通安全日”，主题是“文明交通携手共创”，学校里也纷纷开展了校园安全宣讲活动，提醒同学们在上下学途中特别要注意骑车安全，不满16周岁不得骑行电动车，小明每天骑自行车上学，一天，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是________； (2)小明家到学校的路程是________米．小明在书店停留了________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请通过计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 解：（1）根据图象可得，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离家的时间， 故答案为：离家的时间； （2）轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：；4； （3）由图象可知：分钟时，平均速度米/分， 分钟时，平均速度米/分， 分钟时，平均速度米/分， ∴在整个上学的途中分钟时速度最快，在安全限度内． 易错点： 1. 横纵坐标看反：横轴是自变量（如时间），纵轴是因变量（如路程），不能颠倒。 2. 忽视坐标轴单位：每个小格代表多少要看清，不能凭感觉读值。 3. 误以为图像是实际路线：路程—时间图像反映的是路程随时间的变化，不是实际奔跑的路线。 4. “上升”“下降”判断错误：图像向上走（y增大）表示因变量增大，向下走（y减小）表示因变量减小。 5. 连线时用折线代替光滑曲线：实际问题应根据数据趋势连线，不一定都用直线段连接。 知识点03 三种表示方法的比较与选择 方法 优点 缺点 适用情况 表格法 具体、直观，便于查值 数据有限，不能看整体趋势 数据量小，需要精确值时 关系式法 精确，可求任意值 不直观，不能直接看变化趋势 需要精确计算时 图像法 直观看出变化趋势和整体情况 读数可能不精确 分析变化规律和趋势时 示例：要研究某商品的价格随季节的变化规律，应该选用哪种表示方法？ 解：应选用图像法，因为图像可以直观地看出价格随时间上升、下降或波动的整体趋势。 知识点04 从图像中分析变量之间的变化趋势 1. 常见变化类型 图像特征 含义 示例 上升（从左到右） 因变量随自变量增大而增大 速度不变时的路程—时间图 下降（从左到右） 因变量随自变量增大而减小 匀速耗油时的油量—时间图 水平（不变） 因变量不随自变量变化 静止不动时的路程—时间图 越来越陡 变化速度越来越快 加速运动的路程—时间图 越来越平缓 变化速度越来越慢 减速运动的路程—时间图 示例：下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（   ） 篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系 小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系 一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系 周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系 A． B． C． D． 解：第一个图符合：篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； 第二个图符合：一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； 第三个图符合：周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系； 第四个图符合：小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系； 故选：． 易错点： 1. 混淆“匀速”与“加速”的图像：匀速是直线（斜率不变），加速是曲线（斜率增大）。 2. 速度大小的比较：在同一路程—时间图中，越陡的速度越大，不是越高。 3. 路程—时间图与速度—时间图混淆：七年级不要求速度—时间图，但容易和路程图弄混。 知识点05 用图像表示速度的变化（拓展） 虽然七年级主要学路程—时间图，但也涉及速度的变化描述。 速度—时间图像要点： - 水平线 → 匀速运动 - 上升线 → 加速运动 - 下降线 → 减速运动 - 与横轴重合（v=0）→ 静止 易错点： 1. 速度—时间图中，图像的高低表示速度大小，不是路程长短。 2. 路程—时间图中，图像的高低表示路程多少，不是速度快慢。 知识点06 变量关系的实际应用 解题步骤： 1. 确定自变量和因变量 2. 根据题意建立关系（列关系式或画图像） 3. 利用关系式或图像解决问题 4. 检验结果是否符合实际意义 示例：某出租车收费标准：起步价10元（3km内），超过3km后每千米加收2元（不足1km按1km计费）。 （1）写出车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系式。 （2）行驶5km需付多少元？ 解：（1）当 0 < x≤3时，y = 10；当 x > 3时， y = 10 + 2(x-3) = 2x + 4 （2）x = 5 > 3 ，∴ y = 2×5 + 4 = 14 （元） 易错点： 1. 分段函数的取值范围分界点处理不当：分界点属于哪一段要明确（如x=3时，y=10）。 2. 实际意义忽略：如行驶路程不能为负数，人数为整数等。 3. “不足1km按1km计费”的处理：要用取整函数（或分段讨论），但七年级通常直接按整数处理或题目会说明。 题型一 常量与变量（自变量、因变量） 解｜题｜技｜巧 常量数值固定，变量可变化；自变量主动改变，因变量随之变化。判断时看关系式中量是否可任意取值，注意实际问题中变量的实际意义与取值范围，常通过表格或图象分析。 【典例1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【答案】A 【分析】本题考查了变量与常量的定义，根据变量与常量的定义，结合等腰三角形的底边长为，底边上的高为定长，且面积公式为，进行分析各量的变化情况，即可作答． 【详解】解：依题意，是定长，故为常量； 底边未限定为固定值，可以变化，故为变量； 则面积随的变化而变化（中为常量），故也是变量， 故选：A 【典例2】（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定值时，在此式中（    ） A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 C．，是变量，，是常量 D．是变量，，，是常量 【答案】A 【分析】本题考查常量和变量，根据常量就是固定不变的量；变量就是随时变化的量解答即可． 【详解】在三角形面积公式中，当底边为定值时，和均为固定不变的常量。面积随高的变化而变化，因此和是变量 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 【答案】 烧水时间 水的温度 【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可． 【详解】解：∵电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化， ∴自变量为烧水时间，因变量为水的温度， 故答案为：烧水时间，水的温度． 题型二 用表格表示的变量间关系 解｜题｜技｜巧 观察表格中两列数据变化趋势，找对应关系；看自变量增加时因变量增加、减少或波动，可求差值或比值找规律，注意异常数据，推断关系式时选两组数据定系数。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，因变量是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【答案】(1)降价金额x，日销量y (2)45 (3)165盒 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键； （1）根据函数的定义“在变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量”进行求解即可； （2）根据表格可直接进行求解； （3）根据（2）及题意可列式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，因变量是日销量y； 故答案为降价金额x，日销量y； （2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）； 故答案为45； （3）解：由题意得：（盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）中牟西瓜是河南中牟的水果类特产，享有“籽如宝石瓤如蜜，中牟西瓜甜到皮”的美誉．研究发现，某品种西瓜的甜度与每日的光照时长有如下关系： 每日光照（h） 4 5 6 7 8 9 10 11 12 西瓜甜度（） 则以下说法错误的是（    ） A．在这一变化过程中，每日光照时长是自变量，西瓜的甜度是因变量 B．随着光照时长的增加，西瓜的甜度越来越高 C．为了保证西瓜更甜，最适合的光照时长约为小时 D．估计当光照时长大于时，西瓜甜度小于 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义和性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据表格中的数量关系逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由表格可知，该选项正确，不符合题意； B. 随着光照时长的增加，西瓜的甜度先逐渐增加，再逐渐降低，该选项错误，符合题意； C. 由表格可知，该选项正确，不符合题意； D. 由表格可知，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 题型三 用关系式表示变量之间的关系 解｜题｜技｜巧 根据题意找等量关系，设字母表示变量，列出等式；注意单位统一，明确自变量取值范围，关系式可变形求其他变量，代入已知值验算，实际问题需考虑非负等限制。 【典例1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加密技术是保障数据安全的一种方式，常常被用于军事通信，移位加密技术是其中一种简单且有效的方法，移位是一种通过将文本中的字或者字母移动一定数量的位置来加密信息的技术．现有如下的移位法则：把A~Z每个字母按顺序前移3位，A，B，C三个字母依次对应X，Y，Z，以此来实现对信息的加密，如将“ARMY”加密成“XOJV”传递． (1)按照上述的移位法则，“STOP”加密后的信息是“ ”，如果收到的加密后的信息是“ANY”，那么该信息在加密前是“ ”； (2)如果将字母A~Z依次赋值1~26，设加密前的数值为自变量，加密后对应的函数值为，那么，当，且为整数时，与的关系式是 ；当，且为整数时，与的关系式是 ． 【答案】(1)PQLM，DQB (2)， 【分析】本题主要考查常量与变量： （1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M；将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B； （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，；当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 【详解】（1）将字母S，T，O，P分别前移3位，则字母S，T，O，P依次对应字母P，Q，L，M，所以“STOP”加密后的信息是“PQLM”． 将字母A，N，Y分别后移3位，则字母A，N，Y依次对应字母D，Q，B， “ANY”在加密前是“DQB”． 故答案为：PQLM    DQB （2）当时，根据将字母按顺序前移3位进行加密可知，． 当时，根据A，B，C三个字母前移3位后依次对应X，Y，Z可知，． 故答案为：    【典例2】（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 【变式1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是_________． (2)若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． (3)当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)阴影部分的面积 (2) (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积大正方形的面积个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小． 【详解】（1）解：∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量， 故答案为：阴影部分的面积； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）知：， 当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 当时，y有最小值，． ∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）如图所示，梯形上底的长是，下底长，高． (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)当每增加时，如何变化？ (3)当时，等于什么？此时表示的是什么？ (4)当的值为多少时，梯形的面积为？ 【答案】(1) (2)当每增加时，增加 (3)，表示的是的面积 (4) 【分析】本题考查用关系式表示两个变量间的关系，正确得到关系式是解答的关键． （1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求关系式，求出当时，当时的因变量的值即可得到答案； （3）根据（1）所求关系式，求出当时的y值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积； （4）由列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴当x每增加时，y增加； （3）解：当时，，此时表示的是的面积； （4）解：把代入到得： 解得： 所以时，梯形的面积为． 题型四 用图象表示变量之间的关系 解｜题｜技｜巧 横轴自变量，纵轴因变量；看图找趋势：上升、下降或平缓，注意拐点表示变化，交点表示相等，根据图象求值或范围，实际问题中注意轴起点与单位，避免误读。 【典例1】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______，乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ 【答案】(1)20 (2)8，4 (3)甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读图是解题的关键： （1）根据乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，直接从图象获取信息作答即可； （2）根据图象可知，甲无人机升高，乙无人机升高，进行求解即可； （3）用时甲的高度减去乙的高度即可． 【详解】（1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， 故答案为：20； （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， 故答案为：8，4； （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某无人机爱好者操纵无人机进行航拍，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度为多少米/分钟？ (2)无人机最高上升到多少米？在最高处停留了多少分钟？ (3)请用简短的语句描述0～7分钟无人机的升降情况． 【答案】(1)无人机升降的速度为30米/分钟 (2)无人机最高上升到90米，在最高处停留了5分钟 (3)无人机在0～2分钟时上升；在2～6分钟时高度保持不变；在6～7分钟时继续上升 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象求解（1）（2）（3）小问． 【详解】（1）解：根据图象可知：无人机上升高度为60米时，操控无人机的时间是2分钟， 所以无人机升降的速度为（米/分钟）； 答：无人机升降的速度为30米/分钟． （2）解：由图可知：无人机最高上升到90米， 在最高处停留了（分钟）； 答：无人机最高上升到90米，在最高处停留了5分钟． （3）答：无人机在0～2分钟时上升；在2～6分钟时高度保持不变；在6～7分钟时继续上升．（说法不唯一，正确即可） 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 【详解】（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，2，1 (2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度． (3)不能，理由见详解 【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值． （2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可． （3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为， ∴乙位置坐标为：， 根据关系图可知， 当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动， 设乙的速度为：v， 故， 解得：． 根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行， ， 故答案为：10，2，1 （2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度， ， 解得：， 则， 即甲、乙第二次相距5个单位长度． （3）解：不能，理由如下： 甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走， 则甲到达乙的位置一共需要， 乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走， 则乙到达甲的位置一共需要， 则甲、乙不能同时到达对方最初的位置． 题型五 从图象中获取信息 解｜题｜技｜巧 先看横纵轴含义与单位，找关键点（起点、终点、交点、拐点），分段分析变化趋势；计算斜率得速度或增长率，注意图象不在原点时不代表从零开始，结合实际意义解读。 【典例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，， ∴长方形的面积是， 故选：C． 【典例2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．在关系式中，4是固定不变的常数，与a是变量，因此常量为4． 【详解】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量， 故答案为：4． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，线段是底边上的高，，，动点P从点B出发，沿的方向运动至点C处停止．设的长为，的面积为，则与之间的关系式为_______． 【答案】 【分析】求出的长和的取值范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，的长为， ∴，且， ∵线段是底边上的高，， ∴的面积为， 综上，与之间的关系式为． 6．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 【答案】 【分析】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键．弹簧长度与所挂物体质量呈线性关系，初始长度为，每增加质量，长度增加，据此即可解答． 【详解】解：由表格数据可知，当物体质量时，弹簧长度； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 因此，弹簧长度与质量的关系为， 当时，． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小亮骑自行车去上学，当他以往常的速度骑行至点A处时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图象所表示的两个变量中，自变量是 ；因变量是 (2)小亮家到学校的距离是 米；本次上学途中，小亮一共骑行了 米； (3)点A的实际意义是什么？ (4)如果小亮不买书，以往常的速度去学校，从家到学校需要多少分钟？ 【答案】(1)时间；离家距离 (2)； (3)点A的实际意义是“骑行6分钟时到A处，离家距离为米” (4)分钟 【分析】本题主要考查了函数图象、行程问题等知识点，利用函数图象获取正确信息是解题关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象，路程的最大值即为小亮家到学校的距离；分开始行解答； （3）根据题意可得点A的实际意义即可解答； （4）利用路程速度时间求解即可． 【详解】（1）解：图象所表示的两个变量中，自变量是时间，因变量是离家距离． 故答案为：时间，离家距离． （2）解：小亮家到学校的距离是米； 本次上学途中，小亮一共骑行了：（米）． 故答案为：，． （3）解：点A的实际意义是骑行6分钟时到达A处，离家距离为米． （4）解：（米/分）， （分钟）， 所以小亮以往常的速度去学校，需要分钟． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下表列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：）之间的关系，若下落高度，则弹跳高度的值是（   ） 50 100 150 25 50 75 A．100 B．95 C．90 D．105 【答案】A 【分析】本题是对函数表格的考查．观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍，据此求解即可． 【详解】解：观察表格发现下落高度d都是弹跳高度的2倍， 则下落高度，则弹跳高度的值是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间 1 2 3 4 5 6 水的高度 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（    ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当容器中水的高度为时，对应的时间为 C．当经过的时间为时，容器中水的高度是 D．时间每增加，容器中水的高度增加 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确从表格获取信息是解题的关键． 根据表格的信息即可求解． 【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，正确，不符合题意； B、当容器中水的高度为时，对应的时间为，该选项错误，故符合题意； C、当经过的时间为时，容器中水的高度是，正确，不符合题意； D、由表格可得时间每增加，容器中水的高度增加，正确，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据水面高度 随时间 变化的折线斜度，判断容器不同阶段的粗细，斜度越大容器越细，斜度越小容器越粗，进而匹配容器形状．本题主要考查了函数图象与实际问题中容器形状的对应关系，熟练掌握根据函数图象斜度判断容器粗细变化是解题的关键． 【详解】解：注水速度匀速，水面高度 随时间 变化的图象中，折线斜度反映容器粗细，斜度越大，相同时间水面上升越高，容器越细；斜度越小，容器越粗； 图象 段斜度大， 段斜度小， 段斜度比 段大，即容器注水时，先注的部分较细，中间部分最粗，最后部分较细， 观察选项，只有B选项容器形状符合先细、再粗、最后较细的特点， 故选： 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是______．（填“自变量”“因变量”或“常量”） 【答案】自变量 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．根据常量与变量的意义，即可解答． 【详解】解：我们在夏天利用空调制冷调控室内温度的过程中，空调每小时用电量随设置温度的高低而变化，在这个问题中，设置的温度是自变量， 故答案为：自变量． 5．（24-25七年级下·河南开封·期末）甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 【答案】 100 甲 8 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； （2）根据函数图象的横坐标，谁用时短谁跑得快，可得答案； （3）根据“速度路程时间”，即乙的路程除以乙的时间，可得答案． 【详解】解：（1）由纵坐标看出，这是一次100米赛跑； 故答案为：100； （2）由横坐标看出，甲的用时短，先到达终点的是甲； 故答案为：甲； （3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒， 乙在这次赛跑中的速度为（米/秒）， 故答案为：8． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)若小丽家每月用气量不超过50立方米，写出y与x之间表达式； (3)若小丽家每月用气量超过50立方米，写出y与x之间表达式． 【答案】(1)小丽家该月应交煤气费76元 (2) (3) 【分析】此题考查的是有理数混合运算的实际应用，用关系式表示变量之间的关系，正确理解收费标准是解决此题的关键． （1）根据超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，列式计算即可； （2）根据收费标准，列出式子即可； （3）根据收费标准，列出式子即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：小丽家该月应交煤气费76元； （2）当时， 由题意得：； （3）当时， 由题意得：． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）太原北齐壁画博物馆是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是________，因变量是________； (2)聪聪家与博物馆的距离是________千米，博物馆到姑妈家的距离是________千米； (3)图象中________； (4)求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 【答案】(1)时间，离开家的距离 (2)15，25 (3) (4)60千米/时 【分析】本题考查函数的图象，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据题意列式计算即可； （4）根据“速度路程时间”可得答案． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是时间，因变量是离开家的距离， 故答案为：时间，离开家的距离； （2）解：由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米）， 故答案为：15，25； （3）解：， 故答案为：； （4）解：（千米/时）． 答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米/时． 9．（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）根据图象回答以下问题： (1)哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)11时，他离家多远？11时到12时他行驶了多少千米？ (3)他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？在这个地方待了多长时间？ (4)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 【答案】(1)时间是自变量，离家的距离是因变量； (2)；； (3)他到达离家最远的地方的时间是12时，此时离家30km，在这个地方待了1小时； (4)平均速度是． 【分析】本题考查了函数的概念，以及图象的实际应用，需要从图象中获取信息，理解变量间的依赖关系是解决本题的关键． （1）根据自变量和因变量的概念，即“自变量是在一个变化过程中主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量”，由此判断即可； （2）由图象，找到时对应的纵坐标，并计算和时纵坐标的差值即可； （3）由图象，找到纵坐标最大值所对应的时间即可求解； （4）由“速度路程时间”计算即可． 【详解】（1）解：时间是自变量，离家的距离是因变量； （2）解：观察图象， 时，对应纵坐标为， ∴11时他离家； 11时到12时他行驶了：； （3）解：观察图象，纵坐标最大值为30， ∴他到达离家最远的地方的时间是12时，此时离家，在这个地方待了1小时． （4）解：观察图象，他由离家最远的地方返回所用时间为， ∴他由离家最远的地方返回时的平均速度是：． 10．（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． (1)在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； (2)___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； (3)求y与x之间的关系式； (4)根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)自变量是x，因变量是y (2)，时不符合题意，理由见解析 (3) (4)①18，16；②当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；③y存在的最大值为18，此时x的值为3 【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格数据中获取信息是解答的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示的代数式，再求得当时的的值，进而与9比较大小可得结论； （3）根据长方形的面积公式求解即可； （4）①分别将和代入（3）中关系式中可求解m、n值； ②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论； ③根据表格因变量的变化规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y； （2）解：设垂直于墙的两边，的长均为x米， 根据题意，米， 当时，， ∴时不符合题意； （3）解：由题意，得； （4）解：①当时，，即； 当时，，即； ②根据表格数据变化，当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）； ③根据表格数据变化，y随x的增大，先增大再减小，在时，取得最大值， 即y存在的最大值为18，此时x的值为3． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $