2025-2026学年人教版八年级数学下册期末复习：一次函数经典题型-几何综合

**基本信息** 聚焦一次函数与几何图形综合应用，通过多地区期中真题构建从坐标计算到动态存在性问题的递进训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合|5道|坐标求解、解析式推导、面积计算|一次函数性质→坐标与图形转化→代数表达几何关系| |动态探究|4道|动点与图形变换、面积最值|函数动态变化→几何量关系建模→分类讨论思想| |存在性问题|6道|等腰/直角三角形、平行四边形存在性|图形性质应用→方程思想求解→多解验证|

2025-2026学年人教版8年级下学期数学：一次函数经典题型—几何综合 1. （25-26八年级下·上海·期中）如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线， 垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)​， (3)或 【分析】（1）将代入即可求解． （2）过作x轴垂线，垂足坐标为，则，根据，，得出，求出或．根据直线过，得出，结合，得，则，．将代入即可求解． （3）联立直线方程，求出，再求出​，​，设，则，根据，或，求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：． （2）解：过作x轴垂线，垂足坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴或． ∵直线过， ∴， 解得：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 将代入，得方程组：， 解得：． （3）解：联立直线方程， 解得：， ∴​， ∴​， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得：． ∴点的坐标为或． 2. （25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不 等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 3. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 4. （25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点， 点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键． （1）根据题意易得，，从而可求出，由于点是直线与线段的交点，则，根据待定系数法求解即可； （2）根据题意可求得，设，根据割补法求三角形的面积即可求解； （3）根据待定系数法求出的解析式为，从而推得，，为等腰直角三角形，由推得，连接交于点，作关于的对称角，交于点，通过角度计算得此时，为所求，通过计算直线和直线的交点即可求出点的坐标，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：令得，，解得，则， 令得，，则， ∵， ∴， ∵点是直线与线段的交点， ∴， ∴， 将，代入得， ，解得， 则直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 令得，，则， ∵，，， ∴， ∴， 设， 当在直线下方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，则， 当时，同理可得（舍去）， 当在直线上方时，连接，如图， 当时， ， 则，解得，即， 当时，同理可得，（舍去）； 综上所述，点的坐标为，； （3）解：存在， 由（2）可知，，， 将其代入得， ，解得， 则的解析式为， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 连接交于点，作关于的对称角，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点，为所求， 设的解析式为 将，代入得， ，解得， 则的解析式为， 则，解得， 即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, 综上，点的坐标为，． 5. （25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴 正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，即可得出线段的长，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出的长； （2）①设，利用待定系数法直线的解析式为，由，根据代入数值即可求出的值； ②当点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出的值，即可得到点的坐标；当点在轴上方时，点与关于对称，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 6. （25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不 等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 7. （25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，直线解析式． (1)求点A、B、C的坐标； (2)D为y轴上一点，当线段最短时，求点D的坐标及的面积； (3)P为线段上一点，过P向x轴作垂线交于Q，在y轴上是否存在一点M，使为等腰直角三角形？若存在，求直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点M坐标为，， 【分析】（1）当时，，当时，，即可得点A，点B坐标，联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标； （2）点关于轴对称点,进而可得当共线时，线段最短，求出直线的解析式，得到点坐标，再由求解； （3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：直线的解析式为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， 点，点， 解方程组得， ∴点； （2）解：点，点，点关于轴对称的点为， 则，, 故当共线时，线段最短， 设直线的解析式为， ，解得， ，时，， ， ； （3）解：设点，则点， ， 如图1，当时， ， ， ， 点， 点， 如图2，当时， ， ， ， 点， 点， 如图3，当时，过点作， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点， 综上所述：点坐标为，，． 8. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且 与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 9. （25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点， 且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的解集为 (3)符合条件的点或 (4)存在，或，求解过程见解析 【分析】（1）先将代入，得出，进而求得，，根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象直接写出解集即可； （3）根据，，得出，分两种情况讨论，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，，分三种情况讨论，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）由题意可得出当时，满足. 故x的解集为； （3）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴，      ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （4）解：存在，或 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴，解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴ 10. （25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D 分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）取的中点，连接，证明为等边三角形，则，即可得到为等边三角形，那么，过点作于点，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可建立函数关系式； （3）当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则为等腰三角形，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，； 当时，，解得 ∴，； （2）解：∵， ∴ ∴ 取的中点，连接， 则 ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ 过点作于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 即； （3）解：当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，则为等腰三角形， 当时，则， ∴， ∴； 当时， ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∵为等边三角形，且点在射线上 ∴点重合， ∴； 当时，连接交于点， ∴根据菱形可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：点C的坐标为或或． 11. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点， ，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数关系式； (3)的值为． 【分析】（）过作轴于点，由菱形的性质可得，，证明，所以，，可得，然后通过勾股定理求得，则点，然后通过待定系数法即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以，然后通过即可求解； （）过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，，，所以，，通过，，得，所以，设，，则，，，可得，所以，设，则，，求得，利用待定系数法求出直线解析式为，从而得，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴， ∴ ， ∴与的函数关系式； （3）解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 12. （25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点，经过原点的直线与交于点， 与过点且平行于轴的直线交于点，已知点，且．在直线上取点，过点作轴的平行线，与直线交于点，以为边向右作正方形．设点P的横坐标为t． (1)求直线的解析式； (2)当点P在线段上时，用t表示正方形与重叠部分（阴影部分）的面积； (3)设点坐标为，在点的运动过程中，当点在正方形内部时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P和点Q的坐标，进而得到的长，求出恰好在上时，t的值，再分两种情况讨论求解即可； （3）当时，点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点Q的纵坐标，且要小于点P的纵坐标，当时，点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点P的纵坐标，且要小于点Q的纵坐标，据此列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 由正方形的性质可得， ∵轴， ∴轴， 当恰好在上时，则， ∴， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，； （3）解：如图3-1所示，当时， ∵点在正方形内部， ∴点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点Q的纵坐标，且要小于点P的纵坐标， 同理可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴，即， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， ∵点在正方形内部， ∴点M的横坐标要大于点P的横坐标，且要小于点F的横坐标，点M的纵坐标要大于点P的纵坐标，且要小于点Q的纵坐标， 同理可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴，即， ∴， 解得； 综上所述，或． 13. （2026·河北邯郸·模拟预测）已知点，点，其中．一束光从点沿直线： 发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； (2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，直接写出的取值范围 【答案】(1)①； ②不经过，理由如下： 根据光的反射定律，可知直线与直线关于直线对称， 点关于直线的对称点在射线上． 设射线的表达式为． 将，代入， 得解得 射线的表达式为． 当时，， 射线不经过点．； (2)或 【分析】（1）①根据待定系数法求出解析式即可； ②设射线的表达式为，根据待定系数法求出解析式，再把代入看是否成立即可； （2）根据题意得到线段上的整数点共9个，且点在和之间或在和之间，分别把，，，代入中求解，即可求出结果； 【详解】（1）解：①直线经过点，， 射线的表达式为． ②略 （2）解：时，点，点， 线段上的整数点有，，，，，，，，，共9个． 上的整数点被点分为个数之比为的两部分， 点在和之间或在和之间， 将代入，得， 将代入，得； 将代入，得， 将代入，得． 的取值范围为或； 14. （2026·河南周口·二模）在四边形中，点 ，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图1，已知：，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设 ，当时，求的值． (2)如图2，若，，点，，，的速度都是1，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且  ② (2)的所有可能取值是， ，，，为整数且 ． 【分析】（1）①，点，的速度都是，点，的速度都是，分别求出点，回到初始位置的周期和，回到初始位置的周期，再计算出它们的最小公倍数即可； ②利用周期性，求出时，，的长度即可求解； （2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关，可求得为一个周期，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在一个周期内有4次，即有4个交点，分别求出对应的时间即可求解． 【详解】（1）解：①∵，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为，又和的最小公倍数为， ∴点，，，恰好同时回到初始位置的时间，整数，且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， ∴ ． （2）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， ，，点，，，的速度都是1，与的最小公倍数为， 当，为整数，且， 点，，，恰好同时达到四边形的顶点处， ∴为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴， 在同一直角坐标系中画出图象，由图可得，在一个周期内有4次，即有4个交点，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得 ， 由，，解得 再由对称性，得 ，， ∴的所有可能取值是， ，，，为整数，且；． 15. （25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的 边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①6；②或5 (2)或 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5； （2）解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 16. （25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）将直线的解析式整理为：，即可得定点的坐标为； （2）①当时，，求出，，则，将代入直线求出，则，，表示出​，，根据，列方程求解即可； ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L，再证出，得到直线的解析式为，将代入，得，可得出； 【详解】（1）解：将直线的解析式整理为：， 无论取何值，当，即时，，与无关， 因此定点的坐标为． （2）解：①当时，， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∵是中点， ∴， 将代入直线得，解得：， 即， ∵，轴， ∴，， ∴​，， ∵， ∴​，化简得， 当时，， 当时，​， 因此的值为或． ②在x轴上取一点，连接，作交直线于点K，作轴于  点L， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，得，解得：， ∴点的坐标为． 17. （25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线交y轴正半轴于 点B，点C为射线上一点． (1)如图1，，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，点D在x轴上，连接，，若且，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且．若平分，，点M的坐标为，求的最小值． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点C的坐标为或 (3)的最小值为 【分析】（1）先求出点的坐标，设直线的表达式为，把，代入，即可求出直线的表达式； （2）设，当点在第一象限，点在轴正半轴上时，证明，得出，再利用等腰三角形的性质求出，即可求出此时点的坐标；当点在第二象限，点在轴负半轴上时，过点作轴，垂足为点，过点作轴，交直线于点，同样可证明，再利用、是等腰直角三角形，从而得出，，，，最后利用建立方程求出的值，即可求出此时点的坐标； （3）在线段上截取，连接，证明，可得点在线段的垂直平分线上，作点关于直线对称点，连接、，，当三点共线时，取最小值，最小值为的长度，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在x轴正半轴， ∴， 设直线的表达式为，把，代入可得： ，解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：∵直线的表达式为， 设， 当点在第一象限，点在轴正半轴上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 过点作轴，垂足为点， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴； 当点在第二象限，点在轴负半轴上时，如图所示： 过点作轴，垂足为点，过点作轴，交直线于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，且此时点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 综上：点C的坐标或． （3）解：在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由垂直平分线的判定可得：点在线段的垂直平分线上， 作点关于直线对称点，连接、，过点作轴， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：，当三点共线时，取最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴中点的坐标为， 又∵， ∴的坐标为， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 18. （25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与与x 轴分别交于A、B两点． (1)求b、m的值； (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组的解； (3)求两函数图像与x轴所围成的的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）由点在直线上， 利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值； （2）根据（1）可得P点的坐标，再根据二元一次方程组的解是对应一次函数图像交点的坐标； （3）先求出点A、B的坐标，然后根据求解即可； （4）先用a表示出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，然后求解即可解答． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ，即， ∵点在直线上， ，解得：． （2）解：由（1）可知：直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． （3）解：令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． （4）解：当时，， ∵， ∴，即，解得：或（不合题意，舍去） ∴． 19. （25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点， 横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． (1)求直线的函数关系式； (2)当线段时，求的值； (3)求正方形的周长（用含的代数式表示）； (4)若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，周长为；当时，周长为 (4)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2），而为平面内一动点，故轴，再由列方程求解即可； （3）先用m的代数式表示出，即可求解周长； （4）先求出线段，再分类讨论，画图求解即可． 【详解】（1）解：设直线 代入点，，则 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴时， 解得或； （3）解：∵由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴ ∴正方形的周长 ∴当时，周长为；当时，周长为； （4）解：∵， ∴设线段， 代入，则 ∴线段 当点落在上时， 把代入得， 解得； 随着值的增大，如图，符合题意； 点P与点A重合时，如图，符合题意 ∴， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当正方形顶点落在线段上时，如图，符合题意， ∴， ∵ ∴，即 将点代入得，， 解得； 随着的增大，如图，符合题意， 当点落在线段上时，如图： ∴， ∵ ∴，即， 将点代入，则 解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当点再次落在线段上时，如图： 此时 ∵ ∴，即 把代入得， 解得， 随着的增大，符合题意，如图： 当经过点时，符合题意，如图： 此时，解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，， 综上：或或． 20. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B 两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； (3)如图3，点G为y轴负半轴上一点，且，点K为直线上一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）先求出，，推导出，设直线解析式：，将，代入，求出，即可解答； （2）先求出，连接，设，推导出，推导出是直角三角形，且，作点关于直线的对称点，连接，此时点在直线上，且点E为的中点，求出，过点作，交轴于点，求出直线的解析式为，推导出四边形为平行四边形，得到取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为，即可解答． （3）推导出，，分类讨论：①当点K在x轴的上方时，②当点K在x轴下方时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ，即， 又， ， ． 将点代入直线中，得 可得， ． 设直线解析式：， 将，代入中得： ，， ． （2）解：在中，当时，， ∴， 连接，如图 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 作点关于直线的对称点，连接，如图 此时点在直线上，且点E为的中点， ∴，即， 过点作，交轴于点，如图，设直线的解析式为， 将代入，得，解得 ， 直线的解析式为， 当时， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形 ， ∵取得最小值， ∴取得最小值为，此时点、、在同一直线上，且当轴，即点与点重合时，取得最小值，为． （3）解：或，理由如下： ∵， ∴， ，， ． ①当点K在x轴的上方时，如图 ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得． ∴直线的解析式为， 令， 解得， ； ②当点K在x轴下方时，如图， 令交于点F，过点G作轴， 交于点H，过点F作轴于点R，交于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点F横坐标为， 即， ∴， 同理，可得直线的解析式为， 令， 解得， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版8年级下学期数学：一次函数经典题型—几何综合 1. （25-26八年级下·上海·期中）如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线， 垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 2. （25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不 等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 3. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 4. （25-26八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点， 点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 5. （25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴 正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6. （25-26八年级下·广东河源·期中）我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不 等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7. （25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，直线解析式． (1)求点A、B、C的坐标； (2)D为y轴上一点，当线段最短时，求点D的坐标及的面积； (3)P为线段上一点，过P向x轴作垂线交于Q，在y轴上是否存在一点M，使为等腰直角三角形？若存在，求直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 8. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且 与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 9. （25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点， 且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 10. （25-26八年级下·上海青浦·期中）如图1，直线图象与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C、D 分别是射线、射线上一动点（点C与点A不重合），且． (1)求点A、B坐标； (2)点C、D在线段上时（不与端点重合），如图2，设点C的坐标为，的面积为S，用含m的代数式表示S，并写出m的取值范围； (3)若E为坐标平面内的一点，当以O、B、D、E为顶点的四边形为菱形时，直接写出C的坐标． 11. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点， ，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 12. （25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，直线与坐标轴分别交于点，经过原点的直线与交于点， 与过点且平行于轴的直线交于点，已知点，且．在直线上取点，过点作轴的平行线，与直线交于点，以为边向右作正方形．设点P的横坐标为t． (1)求直线的解析式； (2)当点P在线段上时，用t表示正方形与重叠部分（阴影部分）的面积； (3)设点坐标为，在点的运动过程中，当点在正方形内部时，请直接写出t的取值范围． 13. （2026·河北邯郸·模拟预测）已知点，点，其中．一束光从点沿直线： 发出，形成的光线与线段交于点，若点为整数点（横、纵坐标都为整数的点），则光线穿过线段得到图1，否则光线在点处被反射得到射线（光线的反射符合反射定律），进而得到图2． (1)若点， ①求射线的表达式（不必写自变量的取值范围）； ②射线是否经过？请说明理由； (2)若，且上的整数点被点分为个数之比为的两部分，直接写出的取值范围 14. （2026·河南周口·二模）在四边形中，点 ，分别从，出发，在线段 上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图1，已知：，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设 ，当时，求的值． (2)如图2，若，，点，，，的速度都是1，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 15. （25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的 边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 16. （25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，已知直线的解析式为，经过定点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)当时，直线与轴，轴分别交于点，． ①如图1，为轴正半轴上一点，过点的直线经过的中点，点为轴上一动点，过作轴分别交直线、于、，且，求的值； ②如图2，已知点，点为直线左侧一点，且满足，求点的坐标． 17. （25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，直线交y轴正半轴于 点B，点C为射线上一点． (1)如图1，，求直线的表达式； (2)在（1）的条件下，点D在x轴上，连接，，若且，求点C的坐标； (3)如图2，点E是第一象限内一动点，且．若平分，，点M的坐标为，求的最小值． 18. （25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与与x 轴分别交于A、B两点． (1)求b、m的值； (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组的解； (3)求两函数图像与x轴所围成的的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 19. （25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点， 横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． (1)求直线的函数关系式； (2)当线段时，求的值； (3)求正方形的周长（用含的代数式表示）； (4)若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 20. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴，y轴分别交于A，B 两点，直线与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点D，直线和直线交于点，． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点P是线段上一点（不与A，B重合），点M，N是直线上两动点（点M在点N的上方），且，点Q是x轴上一动点，连接，，．当四边形的面积为时，求的最小值； (3)如图3，点G为y轴负半轴上一点，且，点K为直线上一动点，连接．若，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $