四川成都市某中学2025-2026学年高一下学期第15周周考数学试题

**基本信息** 高中数学周测试卷，聚焦向量、复数、立体几何、解三角形，通过《蒙娜丽莎》嘴唇圆弧（文化传承）、晶体结构（科技情境）等创新素材，分层考查数学抽象、空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量坐标运算（1）、复数几何意义（2）、晶体结构分析（11）|单选第8题结合艺术情境考查圆弧公式，多选第11题以三角三八面体考查异面直线与外接球| |填空题|3题/15分|斜二测直观图（12）、解三角形最大角（13）、向量模长（14）|第12题通过直观图还原周长，考查几何直观| |解答题|5题/77分|复数方程（15）、直三棱柱证明与线面角（16）、四棱锥线线角与点面距（19）|第16题综合空间垂直证明与线面角计算，第19题结合直角梯形模型考查空间距离，突出逻辑推理与运算能力|

十五周周周清数学试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知平面向量，且，已知点坐标为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）． A． B． C． D． 3．在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是两个单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足为，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论： ①是正三角形；②垂足是的内心；③垂足是的外心；④垂足是的垂心. 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A．－4 B．－1 C．1 D．4 7．三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若是纯虚数，那么 D．若，在复平面内对应的向量分别为，（为坐标原点），则 10．若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 11．三角三八面体是一种晶体结构.如图是由棱长为的两个全等的正四面体组成三角三八面体，其中点，，，，，分别是各棱的中点，则（    ） A．直线与直线是异面直线 B．与之间的距离为 C．该三角三八面体的外接球的表面积为 D．容纳该三角三八面体的正方体体积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为 . 13．已知中角A、B、C对边分别为a、b、c，若，则中最大角的余弦值为 ． 14．已知向量，满足，，，则等于 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数，，其中为虚数单位，若. (1)若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 16．(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 17．（15分）如图，在平行四边形中，. (1)用向量，表示向量，. (2)若向量，证明：三点共线. (3)若，，，求. 18．（17分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求；（2）若，．①求的值；②求的面积． 19．(本小题满分17分)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，垂直于和，侧棱底面，且，. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 十五周周周清答案 1【答案】A 【详解】设点坐标为，则，解得. 2．【答案】C 【详解】由题可知，则． 3．【答案】B 【详解】由得， 结合余弦定理，可得， 再由正弦定理得，因为， 所以，所以，得． 因为，所以． 4．【答案】A 【详解】已知是两个单位向量，， 若，则， ， 故. 5．A 【详解】设平面外一点及其在该平面内的射影， 则平面.由已知可得全等， 所以，所以为的外心，只有③正确.故选A 6．【答案】B 【详解】由，所以， ， 由，可得 7．【答案】D 【详解】如图，取中点，连接，. 且为中点，， ，同理可得. 又，，，即， 过的外心作平面的垂线为，垂足为， 同理过的外心作平面的垂线为，并设，易知为球心. 连接，，. 为的外心，， 又在中，， 得，即外接球半径， 故外接球表面积 8．【答案】B 【详解】 设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得 9．【答案】BC 【详解】对于A，虚数不能比较大小，故A错误； 对于B，， ， ，，故有，B正确； 对于C，，若是纯虚数， 则有，即，C正确； 对于D，，， 则，，所以， 所以，D错误.故选：BC 10．【答案】BC 【详解】由题， 所以，故A错； 又，故B正确； ，所以在上的投影向量为：，故C正确； 因为，又，所以，故D错误.故选：BC. 11．【答案】ABC 【详解】因为不在平面上，在平面上，但不在直线上，所以与是异面直线，故选项A正确； 因为分别为各棱上的中点，则易知，因为平面， 所以平面，所以与之间的距离可以转化为到平面的距离， 进一步可以转化为到平面的距离，设与之间的距离为， 则因为，点到底面得距离为大正四面体高的一半， 而大四面体的高， 且， 所以，所以，故选项B正确； 三角三八面体的八个顶点，构成棱长为的正方体，所以该三角三八面体的外接球即为正方体的外接球， 故直径为，故球的表面积为，故选项C正确； 由C知，容纳该三角三八面体的最小正方体棱长为，此时体积的最小值为，故选项D错误； 故选：ABC. 12．【答案】 【详解】由题意可知在中，，， 所以， 所以的周长为，故答案为：.    13．【答案】 【详解】因为，不妨设， 在三角形中，大边对大角，所以最大角为， 根据余弦定理，.故答案为：. 14．【答案】 【详解】因为向量，满足，，， 所以，解得， 所以，故答案为: . 15．【详解】（1）， 又，所以，解得，所以， ，则在复平面内对应的点的坐标； （2）是关于的方程的一个根， ，得， 所以，解得. 16．【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形， ∴AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1＝A1， ∴AB1⊥平面A1BC1. （2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝. ∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 17．【详解】（1），； （2）由（1）知，， 又，故，故三点共线； （3） . 18．【答案】（1）；（2）①；②． 【详解】得， 由余弦定理知，． 又，所以． （2）（ⅰ）由正弦定理知，， 又，所以，所以 （ⅱ）由，即，解得（舍去负根）， 所以的面积． 19．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）如图，延长到，使得，连接，. 由，，得四边形为平行四边形，从而. （或其补角）是直线与所成的角. 平面，，. 又，，， 取的中点，连接，则，， 则. （2）由（1）知为的中点，如图，连接，， 设点到平面的距离为， 平面，，. 又，，，， ，， 又， 由，得. 即， 解得. 10 / 10 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $