第八章 第58课时 椭圆及其性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“椭圆及其性质”专题，依据高考评价体系梳理了定义、标准方程、几何性质、焦点三角形、离心率等核心考点，通过近五年真题分析明确离心率问题占30%、方程求解占25%的高频考点分布，归纳出定义法求轨迹、焦点三角形面积计算等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考路径，如以2023全国甲卷焦点三角形问题为载体，提炼“余弦定理+椭圆定义”的推理方法，培养学生的数学思维和模型观念。特设“易错点警示”（如焦点位置判断失误）和“答题模板”（离心率范围推导步骤），助力学生高效突破考点，教师可据此实施精准复习，提升备考质量。

第58课时　椭圆及其性质 第八章　解析几何 [考试要求] 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 2．掌握椭圆的简单应用． 第58课时　椭圆及其性质 2 1．(苏教版选择性必修第一册P85练习T1改编)已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 以题引理·激活思维 √ 第58课时　椭圆及其性质 3 B　[因为平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，且8>|F1F2|＝4， 所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆， 设椭圆方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c(c>0)， 则 故动点P的轨迹方程为＝1．] 4 2．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 √ 第58课时　椭圆及其性质 5 D　[把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝．故选D．] 6 3．(人教B版选择性必修第一册P139例3改编)若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为_____________． 3　[由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3．] 3 第58课时　椭圆及其性质 7 4．(人教A版选择性必修第一册P113例6改编)动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和动点M到定直线l：x＝9的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程为_____________． ＝1　[由题意得，， 将上式两边平方，并化简，得8x2＋9y2＝72，即＝1．] ＝1 第58课时　椭圆及其性质 8 5．(人教A版选择性必修第一册P108例3改编)如图，设A，B两点的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，则点M的轨迹方程为_________________________． ＝1(x≠±3) 第58课时　椭圆及其性质 9 ＝1(x≠±3)　[设点M的坐标为(x，y)， 因为点A的坐标是(－3，0)， 所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－3)， 同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠3)， 由已知，有(x≠±3)，化简， 得点M的轨迹方程为＝1(x≠±3)．] 10 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的______，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距． 常数 焦点 焦距 第58课时　椭圆及其性质 11 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 第58课时　椭圆及其性质 12 性 质 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____ 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝∈__________ a，b，c 的关系 c2＝__________ 2a 2b 2c (0，1) a2－b2 第58课时　椭圆及其性质 13 1．求椭圆方程的常用方法 (1)定义法： 根据题目所给条件确定满足椭圆的定义的动点的轨迹． (2)待定系数法： ①当不确定焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 第58课时　椭圆及其性质 14 ②与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； ③与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0)． 第58课时　椭圆及其性质 15 2．椭圆的焦点三角形问题 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为＝1(a>b>0)时，设∠F1PF2＝θ． (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2． (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为． 第58课时　椭圆及其性质 16 (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc． 第58课时　椭圆及其性质 17 考点一　椭圆的定义及应用 [典例1]　(1)(多选)已知P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则(　　) A．△PF1F2的周长为12 B． C．点P到x轴的距离为 D．＝2 精研考点·提升素养 √ √ √ 第58课时　椭圆及其性质 18 (2)已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1内切于圆P，圆P内切于圆B：(x－1)2＋y2＝49，则动圆P的圆心的轨迹方程为_____________． (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为___________，最小值为___________． ＝1 6＋ 第58课时　椭圆及其性质 19 (1)BCD　(2)＝1　(3)6＋　[(1)由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，A错误； 在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝，B正确； 20 设点P到x轴的距离为d，则|F1F2|·d＝，所以d＝，C正确； ＝2，D正确．故选BCD． 21 (2)设圆P的半径为R，则|PA|＝R－1，|PB|＝7－R，则|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝2， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则2a＝6，c＝1，所以a＝3，b2＝a2－c2＝8， 所以动圆P的圆心的轨迹方程为＝1． 22 (3)椭圆方程可化为＝1． 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，连接AF1，PF1(图略)， ∴|AF1|＝，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6． 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－．∴|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－．] 23 名师点评：椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． (3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化． 第58课时　椭圆及其性质 24 [巩固迁移] 1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 √ 第58课时　椭圆及其性质 25 B　[法一：因为＝0，所以PF1⊥PF2，则|PF1|·|PF2|＝b2tan|PF1|·|PF2|＝1×tan ， 所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 法二：因为＝0，所以PF1⊥PF2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16． 因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20， 所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B．] 26 2．已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_____________． ＝1　[由题意得圆F的半径r＝2，圆心F(1，0)，且|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2>|AF|＝2， ∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＝1．] ＝1 第58课时　椭圆及其性质 27 【教用·备选题】 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． [解]　(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a． 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn 第58课时　椭圆及其性质 28 ＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)， ∴，即e≥． 又0<e<1， ∴e的取值范围是． 29 (2)证明：由(1)知mn＝b2， ∴b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 30 考点二　椭圆的标准方程 [典例2]　(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A．＝1(x≠0) B．＝1(y≠0) C．＝1(x≠0) D．＝1(y≠0) √ 第58课时　椭圆及其性质 31 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)，则椭圆的标准方程为_____________． (3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为_______________________________． ＝1 ＝1或＝1 第58课时　椭圆及其性质 32 (1)A　(2)＝1　(3)＝1或＝1　[(1)∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴顶点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴顶点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为＝1(x≠0)． 33 (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)． 由 解得m＝，n＝． ∴椭圆的标准方程为＝1． 34 (3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝，所以c＝，b＝2，所以椭圆方程是＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝，解得a2＝＝1． 综上得，所求椭圆的标准方程为＝1或＝1．] 35 名师点评：利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；方程mx2＋ny2＝1表示椭圆的条件是：m>0，n>0，m≠n． 第58课时　椭圆及其性质 36 [巩固迁移] 3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝ －1，则C的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 √ 第58课时　椭圆及其性质 37 B　[因为离心率e＝，b2＝a2， A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)． 所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)， 因为＝－1． 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．故选B．] 38 4．过点(，－＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_________________． ＝1　[法一(定义法)：椭圆＝1的焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，即c＝4． ＝1 第58课时　椭圆及其性质 39 由椭圆的定义知， 2a＝， 解得a＝2． 由c2＝a2－b2可得b2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为＝1． 40 法二(待定系数法)：∵所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同， ∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16． 设它的标准方程为＝1(a>b>0)． ∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．① 又点(，－)在所求椭圆上， ∴＝1，则＝1．② 由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为＝1．] 41 【教用·备选题】 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ 第58课时　椭圆及其性质 42 C　[由题意可得c＝5，设右焦点为F'，连接PF'(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF'|知，PF⊥PF'． 在Rt△PFF'中，由勾股定理， 得|PF'|＝＝8， 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF'|＝2a＝6＋8＝14，则a＝7，a2＝49，所以b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为＝1． 故选C．] 43 考点三　椭圆的简单几何性质 考向1　椭圆的长轴、短轴、焦距 [典例3]　已知椭圆E的方程为＝8，则椭圆E(　　) A．长轴长为16 B．短轴长为4 C．焦距为2 D．焦点坐标为(－2，0)，(2，0) √ 第58课时　椭圆及其性质 44 B　[因为＝8>4， 所以椭圆E是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆， 设椭圆E：＝1(a>b>0)，由题意知2a＝8， 即a＝4．由b2＝a2－c2＝12可知其方程为＝1． 由方程可得长轴长为8，焦距为4，短轴长为4． 故选B．] 45 考向2　离心率问题 [典例4]　(1)(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． √ 第58课时　椭圆及其性质 46 (2)若椭圆＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范 围为_____________． 第58课时　椭圆及其性质 47 (1)A　(2)　[(1)法一(设而不求)：A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)， 则kAP＝，kAQ＝，故kAP·kAQ＝， 又＝1，则， 所以， 所以椭圆C的离心率e＝．故选A． 48 法二(椭圆的第三定义)：设右顶点为B，连接PB(图略)．由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kPA·kPB＝kPA·(－kAQ)＝－．由椭圆的第三定义得kPA·kPB＝e2－1＝－，所以e＝． 49 (2)法一：设点M的坐标是(x0，y0)，则|x0|<a． ∵F1(－c，0)，F2(c，0)， ∴＝(－c－x0，－y0)，＝(c－x0，－y0)． ∵∠F1MF2＝90°，∴＝－(c＋x0)(c－x0)＋＝0， 即＝c2． 又点M在椭圆上，即， ∴∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)， ∴c2≥b2＝a2－c2，即，又0<e<1，∴≤e<1， 故椭圆的离心率e的取值范围是． 50 法二：设点M的坐标是(x0，y0)， 由法一可得 消去y0， 得， ∵0≤<a2，∴ 51 由②得c2－b2<c2，此式恒成立． 由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2， 则e2＝．又0<e<1，∴e∈． 故椭圆的离心率e的取值范围是． 52 法三：设椭圆的一个短轴端点为P， ∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，即， 又0<e<1，∴≤e<1， 故椭圆的离心率e的取值范围为．] 53 考向3　与椭圆有关的最值(范围)问题 [典例5]　(1)设A，B是椭圆C：＝1的长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) √ 第58课时　椭圆及其性质 54 (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 √ 第58课时　椭圆及其性质 55 (1)A　(2)A　[(1)由题意知，当M在短轴端点时，∠AMB最大． ①如图1，当焦点在x轴上，即0<m<3时， a＝，b＝，tan α＝， ∴0<m≤1． ②如图2，当焦点在y轴上，即m>3时， a＝，b＝，tan α＝， ∴m≥9． 综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)． 故选A． 56 (2)法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝． 当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A． 57 法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)． 易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝．易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．] 58 【教用·备选题】 已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c．在椭圆上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A．[－1，1) B．(－1，1) C．(0，－1) D．(0，－1] √ 第58课时　椭圆及其性质 59 B　[由， 得， ∴|PF1|＝． 又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c<<a＋c， ∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0， 又e∈(0，1)，∴e∈(－1，1)．故选B．] 60 名师点评：(1)求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： ①直接求出a，c．利用离心率公式e＝求解． ②由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． ③构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e． 第58课时　椭圆及其性质 61 (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 ①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． ②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解． 第58课时　椭圆及其性质 62 [巩固迁移] 5．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． √ 第58课时　椭圆及其性质 63 A　[如图，设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形．设|AF|＝m．因为∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，|BF2|＝|AF|＝m．因为|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，所以m＝a．在△BFF2中，(2c)2＝a×cos 120°，整理得4c2＝a2，解得c＝a，故e＝．] 64 6．(多选)已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(　　) A．点P到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．cos∠F1PF2的最小值为 C．若△F1F2P为直角三角形，则△F1F2P的面积为 D．的取值范围为[2，3] √ √ √ 第58课时　椭圆及其性质 65 ACD　[对A，易知a＝2，b＝，c＝1， 则a＋c＝3，a－c＝1，故A正确； 对B，当P位于椭圆上(下)顶点时∠F1PF2最大， 此时cos∠F1PF2最小，且|F1P|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2， 故此时△F1F2P为等边三角形，cos∠F1PF2＝，故B错误； 对C，若△F1F2P为直角三角形，由B知，∠F1PF2≤60° ， 所以∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°，不妨设∠F1F2P＝90°， 66 则此时P点横坐标xP＝1，代入C：＝1，得|yP|＝， 故△F1F2P的面积为，故C正确； 对D，F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x，y)， 则＝(－1－x)(1－x)＋y2＝x2＋y2－1， 由＝1得y2＝3－， 故＋2， ∵－2≤x≤2，故∈[2，3]，故D正确．故选ACD．] 67 一、单项选择题 1．(2025·湖北鄂州一模)椭圆Γ：＝1(a>b>0)经过(，0)和(0，2)两点，则椭圆Γ的焦距为(　　) A．2 B．4 C． D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(五十八)　椭圆及其性质 √ 16 第58课时　椭圆及其性质 68 D　[椭圆Γ：＝1(a>b>0)经过(，0)和(0，2)两点， 则a＝，b＝2，所以c＝， 故椭圆Γ的焦距为2．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． √ 16 A　[由已知得e1＝，e2＝，因为e2＝e1，所以，解得a＝．故选A．] 第58课时　椭圆及其性质 70 3．(2025·河北秦皇岛二模)若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是(　　) A．(0，36) B．(0，12) C．(6，＋∞) D．(36，＋∞) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 B　[因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以0<t<36，可得椭圆短轴长2∈(0，12)．故选B．] 第58课时　椭圆及其性质 71 4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第58课时　椭圆及其性质 72 D　[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＝1． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 73 5．(2026·甘肃兰州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＋y2＝1 D．＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第58课时　椭圆及其性质 74 D　[由题意可得△AF1B的周长为4，即4a＝4，可得a＝， 由题意可得M(－a，0)，N(a，0)，设A(x1，y1)，可得 ＝ 1，可得， 则kAM·kAN＝，可得b2＝×3＝2，所以椭圆的标准方程为＝1．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 75 6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，则(　　) A．a1－c1<a2－c2 B．a1＋c1<a2＋c2 C． D． 2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第58课时　椭圆及其性质 76 D　[由题图可知，∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，A不正确； ∵a1>a2，∴c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，B不正确； 由a1>a2，c1>c2可知，C不正确； a1＋c2＝a2＋c1，可得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，故＋2a2c1， 即＋2a2c1，∵b1>b2，∴a2c1>a1c2，即，D正确．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 77 7．(2025·广东深圳一模)设F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为(　　) A．5 B．2 C．2 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第58课时　椭圆及其性质 78 D　[设M(m，n)，m，n>0， 椭圆C：＝1中，a＝6，b＝2，c＝4， 所以e＝． 由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|>|MF2|， 可得△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6＋m＝8，即m＝3，n＝；或6－m＝8，即m＝－3<0，舍去． 故△MF1F2的面积为4．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 79 8．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第58课时　椭圆及其性质 80 C　[依题意，点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝1，∴，故|PB|2＝＋(y0－b)2＝a2＋(y0－b)2＝－－2by0＋a2＋b2，y0∈[－b，b]， 又对称轴y0＝－<0，当－≤－b，即b≥c，y0＝－b时， |PB|2最大，此时|PB|＝2b，故只需要满足－≤－b，即b2≥c2，则a2－c2≥c2，所以e＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 81 又0<e<1，故e的取值范围为； 当－>－b，即b<c时，则当y0＝－时，|PB|2最大， 此时|PB|2＝＋2b2＋c2≥4b2， 当且仅当＝c2，即b＝c时等号成立，又b<c． 所以|PB|2>4b2，即|PB|>2b，不满足题意． 综上所述，e的取值范围为．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 82 二、多项选择题 9．若方程＝1所表示的曲线为C，则(　　) A．曲线C可能是圆 B．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1<m<3 C．若1<m<5，则C为椭圆 D．当m＝2时，表示焦点在x轴上的椭圆，焦距为 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 第58课时　椭圆及其性质 83 AB　[对于A，当5－m＝m－1，即m＝3时，曲线C：x2＋y2＝2，表示圆，故A正确； 对于B，若C为椭圆，且焦点在x轴上， 则解得1<m<3，故B正确； 对于C，由A知，当m＝3时，曲线C为圆，故C错误； 对于D，当m＝2时，曲线C：＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆， 其焦距为2，故D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 84 10．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是(　　) A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c] B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆 D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 第58课时　椭圆及其性质 85 ACD　[根据椭圆的定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确； 根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确； －1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确； 当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 86 11．已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(　　) A．存在P使得∠F1PF2＝ B．cos∠F1PF2的最小值为－ C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9 D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 第58课时　椭圆及其性质 87 ABC　[设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：＝1中，a＝5，b＝3，c＝4， 所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)． 由于＝(－4，－3)，＝(4，－3)， ＝－16＋9＝－7<0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2＝，A正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 88 记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，由余弦定理的推论，得 cos∠F1PF2＝＝ ，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，B正确； 由于PF1⊥PF2，故[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18， 所以mn＝9，C正确；设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，＝1，则kPA＝，kPB＝，于是kPA·kPB＝，D错误．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 89 三、填空题 12．(2026·湖南长沙模拟)已知椭圆C：＝1上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则m＝_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 3　[①若椭圆的焦点在x轴上，则a2＝m>9， 由椭圆的定义得2a＝2m， 即a＝＝m，解得m＝1，不符合题意，舍去； ②若椭圆的焦点在y轴上，则0<m<9，a2＝9，a＝3， 由椭圆的定义得2a＝2m＝6，解得m＝3．] 3 第58课时　椭圆及其性质 90 13．(2026·河南郑州模拟)已知椭圆＝1的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则的最大值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 6　[由向量数量积的几何意义， 可知当最大， 此时||的最大值为a＋c＝3，而||＝2， 所以的最大值为3×2·cos 0°＝6．] 6 第58课时　椭圆及其性质 91 14．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可得四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．] 8 第58课时　椭圆及其性质 92 15．(2026·山东省实验中学模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，若点P是棱上一点，则满足|PA|＋|PC'|＝2的点P的个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 第58课时　椭圆及其性质 93 B　[∵正方体的棱长为1，∴AC'＝． ∵|PA|＋|PC'|＝2， ∴点P在以2c＝为焦距，以a＝1为长半轴，以b＝为短半轴的椭球上， ∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体的棱的交点， 结合正方体的性质可知，应该在棱B'C'，C'D'，CC'，AA'，AB，AD上各有一点满足条件．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 94 16．(2025·黑龙江哈尔滨二模)如图，在高为16的圆柱形筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面α与两个小球也相切，平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 第58课时　椭圆及其性质 95 D　[设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆Γ，作出圆柱过椭圆Γ的长轴的截面图，如图， 设长轴A，B与两圆的切点是F1，F2．连接O1O2，记椭圆长轴与O1O2交于点C， 过C作CD⊥O1O2，且CD交圆柱的 母线于点D，连接O1F1，O2F2， 则O1F1⊥AB，O2F2⊥AB． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 96 ∵圆柱的高为16，球的半径是3，∴圆柱的底面半径为3，|O1O2|＝16－2×3＝10，|O1F1|＝3，|CD|＝3． 根据对称性可知C是O1O2，AB的中点，故|CO1|＝5，则|CF1|＝|CF2|＝4． 易得Rt△F1CO1≌Rt△DBC，故|BC|＝|CO1|＝5，则椭圆的长半轴长a＝5． 可知椭圆的短半轴长b＝3，∴半焦距长c＝4，e＝． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 97 谢 谢 ！ $