第七章 第58课时 空间距离及立体几何中的探索性问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间距离及立体几何探索性问题”，依据高考评价体系明确点到直线、点到平面距离计算及空间向量探究位置关系的考查要求，通过梳理核心知识点、教材改编题及考点权重分析，突出点面距离、探索性问题等高频考点，归纳向量法、等体积法等常考题型。 课件亮点在于“真题模拟+通性通法+素养提升”，如以2026·榆林模拟探索性问题为例，示范用空间向量列方程判断存在性，培养数学思维与推理能力，通过“母题变式”训练学生用数学语言表达空间关系，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第七章　立体几何与空间向量 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [考试要求]　1．会求空间中点到直线以及点到平面的距离．2．以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 理法先行·题练固本 知识点1　点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 3 知识点2　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此PQ＝＝__________． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [常用结论] 1．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离． 2．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 1．(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到l的距离为______________．   　 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 　[因为＝(－2，0，－1)，且n＝为l的一个单位方向向量， 故点P到l的距离为d＝．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 2．(北师大版选择性必修第一册P142习题3－4A组T21)已知点M(－1，2，3)，平面α经过A(1，2，0)，B(－2，0，1)，C(0，2，2)，则点M到平面α的距离为______________．  　 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 　[由题意，得＝(－2，0，3)，＝(－3，－2，1)，＝(－1，0，2)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 由题意可得 即不妨令x＝2， 则z＝1，y＝－，∴n＝． ∴点M到平面α的距离为 ．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 3．(湘教版选择性必修第二册P106习题2.4T15改编)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1，AD，CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为(　　) A．1　　　B．　　　C．　　　D． √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 B　[如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(2，1，2)，M(1，0，0)，N(0，2，1)，所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0)， 设平面EMN的法向量为m＝(x，y，z)， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 则 令x＝1，可得m＝(1，1，－1)为平面EMN的一个法向量，所以·m＝0，即⊥m， 又AC⊄平面EMN，所以AC∥平面EMN， 故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离，又＝(1，0，0)，所以点A到平面EMN的距离为，即直线AC与平面EMN之间的距离为．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 考点深研·题型突破 考点一　空间距离 考向1　点线距离 [典例1]　(人教A版选择性必修第一册P35练习T2(1)改编)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A． B． C． D．1 √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 13 B　[法一(向量法)：由题意知A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)，方向上的单位向量为μ＝，所以点B到直线A1C的距离为．故选B． 法二(几何法)：连接AC，A1B(图略)，在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝2，得AC＝，在Rt△A1AC中，A1C＝， 在Rt△A1AB中，A1B＝， 则A1B2＋BC2＝A1C2， 在Rt△A1BC中，设边A1C上的高为h， 由A1B×BC＝A1C×h得h＝．故选B．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 考向2　点面距离 [典例2]　(2026·庆阳模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，BD⊥DC，BD＝DC＝1，点E在AA1上，且AE＝AA1＝，则点B到平面EDC1的距离为(　　) A． B． C． D． √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 C　[建立如图所示的空间直角坐标系， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 则D(0，0，0)，A(1，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，E， 所以＝(0，1，2)，＝(1，0，0)， 设平面EDC1的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取z＝1，则x＝－，y＝－2， 所以m＝为平面EDC1的一个法向量，所以点B到平面EDC1的距离d＝．故选C．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 通性通法：(1)点到直线的距离 ①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝． ②若能求出点在直线上的射影坐标，则可以直接利用两点间的距离公式求距离． (2)点到平面的距离 ①作点到面的垂线，求点到垂足的距离． ②等体积法． ③向量法． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [多维变迁] 1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B． C． D． √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 D　[以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， 所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量， 所以点G到平面D1EF的距离d＝．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 2．(2026·宜昌模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [解]　以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F， ∴＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，， (1)取a＝＝(0，1，0)，u＝(－1，1，－1)， a2＝1，a·u＝，则点B到直线AC1的距离为． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 (2)∵，且F，C，E，C1四点不共线，∴FC∥EC1， 而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，∴FC∥平面AEC1， 则点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝2，得n＝(1，2，1)为平面AEC1的一个法向量， 又， ∴直线FC到平面AEC1的距离为． 【教用·备选题】 1．(2025·青岛调研)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为______________．   2　 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 2　[由题意可得AB＝8， 因为AP＝BP， 所以S△ABP＝×8×4＝16， 因为PC⊥平面ABP，且PC＝4， 所以V三棱锥C-ABP＝×16×4＝， 因为AP＝BP＝4，所以AC＝BC＝4， 所以S△ABC＝×8×＝16， 设点P到平面ABC的距离为d， 则V三棱锥P-ABC＝×16d＝，解得d＝2．] 2．(2025·肇庆二模)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝AA1＝1，E为CC1的中点，平面AED1∩BB1＝F，且＝λ． (1)求λ的值； (2)求点F到平面A1ED1的距离． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [解]　(1)连接EF，AF．由平面AA1D1D∥平面BB1C1C，且平面AD1EF∩平面AA1D1D＝AD1， 平面AD1EF∩平面BB1C1C＝EF，所以EF∥AD1． 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(1，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，2)，设F(1，1，a)， 则＝(1，0，a－1)，＝(－1，0，2)， ＝(0，0，－2)， 由EF∥AD1，得a－1＝－2，即a＝－1， 则＝(0，0，－1)，又＝λ， 所以λ＝． (2)由(1)知，A1(1，0，2)，F(1，1，－1)， 所以＝(－1，0，0)，＝(0，1，－1)， 设n＝(x，y，z)为平面A1D1E的法向量， 则 令y＝1，得n＝(0，1，1)为平面A1D1E的一个法向量． 又＝(1，0，－2)， 所以点F到平面A1D1E的距离d＝． 考点二　立体几何中的探索性问题 [典例3]　(2026·榆林模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是CC1的中点． (1)求平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值； (2)在线段CD上是否存在一点P，使得BP与平面A1BD所成角的正弦值为？若存在，求出CP的长；若不存在， 请说明理由． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [解]　(1)因为CC1⊥平面ABC，CA，CB⊂平面ABC，∠ACB＝90°，则CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB， 以C为坐标原点，以CA，CB，CC1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 因为AA1＝AC＝BC＝2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)， 则＝(2，0，1)，＝(0，2，－1)． 易知平面ABC的一个法向量为m＝＝(0，0，2)， 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以令y＝1， 故n＝(－1，1，2)为平面A1BD的一个法向量， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 则n·m＝4，|n|＝，|m|＝2， 所以cos〈n，m〉＝， 因为平面A1BD与平面ABC的夹角为锐角， 所以平面A1BD与平面ABC夹角的余弦值为|cos〈n，m〉|＝． (2)假设存在点P，设＝λ＝(0，0，λ)，λ∈[0，1]，＝(0，－2，0)＋(0，0，λ)＝(0，－2，λ)， 设BP与平面A1BD所成的角为θ，θ∈， 由(1)知，平面A1BD的一个法向量为n＝(－1，1，2)， n·＝2λ－2，|n|＝，||＝， 所以cos〈n，〉＝， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 所以7λ2－16λ＋4＝0，解得λ＝或λ＝2(舍)． 所以在线段CD上存在一点P，使BP与平面A1BD所成角的正弦值为， 此时CP＝． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 通性通法：利用空间向量巧解探究性问题的策略 (1)空间向量最适合解决立体几何中的探究性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断； (2)解题时，把结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [多维变迁] (2025·三明四校联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝3，PA＝BC＝2AB＝2，PB＝． (1)求证：BC⊥PB； (2)棱PA上是否存在点E，使得点E与点B到平面PCD的距离相等？若存在，求线段BE的长；若不存在，请说明理由． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [解]　(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB， 又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 (2)假设存在满足条件的点E，在△PAB中，因为PA＝2，PB＝，AB＝1， 所以PA2＝AB2＋PB2，所以PB⊥AB． 以B为坐标原点，以BA，BC，BP所在直线分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(－1，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，D(－1，3，0)，P(0，0，)， 所以＝(－1，1，0)，＝(0，2，－)． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则取z＝2，则m＝(，2)． 因为点B与点E到平面PCD的距离相等，且点B与点E在平面PCD的同侧， 所以BE∥平面PCD，因为点E在棱PA上，所以＝λ，其中0≤λ≤1， 因为＝(1，0，＝(λ，0，λ)，又＝(－1，0，0)，所以＝(λ－1，0，λ)． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 因为BE∥平面PCD，m＝(，2)为平面PCD的一个法向量， 所以·m＝0，即(λ－1)＋2λ＝0，解得λ＝， 所以， 所以BE＝||＝． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 教材拓展11　异面直线的距离 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [典例4]　在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝6，点G在侧棱PB上，且满足2PG＝GB，则异面直线PC和DG的距离为(　　) A． B． C． D． √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 A　[如图，以A为原点，建立空间直角坐标系， 则B(3，0，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，6)，G(1，0，4)． 所以＝(1，－3，4)，＝(3，3，－6)，＝(3，0，0)， 设n＝(x，y，z)为直线PC和DG的公垂线的方向向量， 则有可取n＝(1，3，2)， 所以异面直线PC和DG的距离为 ．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 【教用·备选题】 (人教A版选择性必修第一册P49复习参考题1T17)如图，两条异面直线a，b所成的角为θ，在直线a，b上分别取点A'，E和点A，F，使AA'⊥a，且AA'⊥b．已知A'E＝m，AF＝n，EF＝l，求线段AA'的长． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [解]　过点A作a的平行线c，过点E作AA'的平行线交c于点G，连接GF， 则EG＝AA'，AG＝A'E，EG⊥平面AFG， 在△AFG中，若∠GAF为锐角或直角， 由余弦定理得GF2＝AF2＋AG2－2AF·AG·cos θ＝n2＋m2－2mncos θ， 在Rt△EGF中 ，EG2＝EF2－GF2＝l2－(n2＋m2－2mncos θ)， 故AA'＝． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 若∠GAF为钝角， 可得AA'＝． 综上，若∠GAF为锐角或直角，则AA'＝，若∠GAF为钝角，则AA'＝． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 1．(链接考向2)(人教A版选择性必修第一册P35练习T2(3)改编)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　) A． B． C． D． √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 B　[建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(1，1，1)，O，C1(0，1，0)，＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，． 设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1，得n＝(1，0，－1)为平面ABC1D1的一个法向量，故点O到平面ABC1D1的距离为d＝．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 2．(链接考向1)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为 (　　) A． B． C． D． √ 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 A　[如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)， 则＝(－3，0，1)，＝(－3，4，0)． 法一：点P到直线BD的距离d＝， 所以点P到直线BD的距离为． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 法二：cos〈〉＝， 所以sin〈〉＝， 所以点P到直线BD的距离为||sin〈〉＝．] 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 3．(链接考点二)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC． (1) 若BA＝BB1，求证：AB1⊥平面A1BC； (2) 若BA＝BC＝BB1＝2，M是棱BC上的一点，试确定点M的位置，使点M到平面A1B1C的距离等于． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 [解]　(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥BC，BB1⊥BA． 因为BA⊥BC，BA∩BB1＝B，BA，BB1⊂平面BAA1B1，所以BC⊥平面BAA1B1，又AB1⊂平面BAA1B1，所以BC⊥AB1． 因为BB1⊥BA，BA＝BB1，所以四边形BAA1B1为正方形，所以AB1⊥A1B． 因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 (2)由(1)知，直线BA，BB1，BC两两垂直，以B为原点，直线BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 因为BA＝BC＝BB1＝2， 则B(0，0，0)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C(0，0，2)． 设M(0，0，t)(0≤t≤2)，则＝(0，0，2－t)，＝(－2，0，0)，＝(0，－2，2)． 设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，得n＝(0，1，1)为平面A1B1C的一个法向量， 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 所以点M到平面A1B1C的距离等于，解得t＝1或t＝3(舍去)，所以当点M为棱BC的中点时，点M到平面A1B1C的距离等于． 第58课时　空间距离及立体几何中的探索性问题 谢谢！ $