第八章　第59课时　直线与椭圆 课件 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与椭圆”专题，依据高考评价体系明确位置关系判断、弦长计算、中点弦问题等核心考点，通过近五年真题分析，梳理出位置关系判定占30%、弦长与中点弦综合题占45%的高频考查权重，归纳选择、填空、解答三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”策略，如以2025全国二卷椭圆弦长题为例，详解“设而不求”和“点差法”，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。特设易错点警示（如判别式忽略、韦达定理应用错误），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，实现高效复习。

第59课时　直线与椭圆 第八章　解析几何 第59课时　直线与椭圆 [考试要求] 1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法． 2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题． 2 以题引理·激活思维 1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 √ 第59课时　直线与椭圆 3 A　[法一(通解)：联立直线与椭圆的方程 消去y得9x2＋10x－15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交． 法二(优解)：直线过点(0，1)，代入椭圆方程得，0＋<1， 即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．] 4 2．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8AT2改编)已知椭圆，则实数m的值为(　　) A．±1 B．± √ 第59课时　直线与椭圆 5 A　[由 ． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 由|AB|＝， 解得m＝±1．故选A．] 6 3．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． √ 第59课时　直线与椭圆 7 C　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±．故选C．] 8 4．(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1T13改编)若点P是椭圆E：＝0的距离的最小值是_____________，此时，点P的坐标为_________________． 　[设直线l1：x－y＋m＝0， 联立 消去y并整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0． 第59课时　直线与椭圆 9 令Δ＝64m2－4×5＝0，解得m＝±，直线l1与椭圆相切． 当m＝－； 当m＝． 所以点P到直线l的最小距离是． 此时5x2－8x＋16＝0，解得x＝， 将x＝， 则点P的坐标为．] 10 5．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T13改编)已知椭圆C：的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为_____________． 3x＋2y－4＝0 第59课时　直线与椭圆 11 3x＋2y－4＝0　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由中点坐标公式可得所以 由 ①－②得＝0， 即， 因此直线AB的方程为y－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．] 12 1．直线与椭圆的位置关系的判断 已知直线y＝kx＋m，椭圆 得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 若该一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0⇔直线与椭圆有______公共点⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆有______公共点⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆___公共点⇔直线与椭圆相离． 两个 一个 无 第59课时　直线与椭圆 13 2．弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m，圆锥曲线的方程为f (x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)若消去y，则弦长公式为 |AB|＝ ． 第59课时　直线与椭圆 14 (2)若消去x，则弦长公式为|AB| ＝ (k≠0)． 第59课时　直线与椭圆 15 1．直线与椭圆相交的题目常用 “设而不求”的方法求解，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解． 第59课时　直线与椭圆 16 2．中点弦问题常用 “点差法”求解． 若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率为k，将点A，B代入圆锥曲线的方程． 第59课时　直线与椭圆 17 3．过原点的直线交椭圆 ． 第59课时　直线与椭圆 18 考点一　直线与椭圆的位置关系 [典例1]　 (1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 精研考点·提升素养 √ 第59课时　直线与椭圆 19 (2)(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1，则下列结论正确的是(　　) A．若C与l至少有一个公共点，则m≤2 B．若C与l有且仅有两个公共点，则 C．若m＝3，则C上到l的距离为5的点只有1个 D．若m＝－，则C上到l的距离为1的点只有3个 √ √ √ 第59课时　直线与椭圆 20 (1)B　(2)BCD　[(1)直线l：mx＋y＋2m＝1， 即m(x＋2)＋y－1＝0， 令 则直线l过定点(－2，1)， 因为<1， 则该定点在椭圆内， 则直线l与椭圆C的位置关系为相交． 21 (2)联立 ． 令Δ＝12≥0， 则有，A错误； 令Δ＝12，B正确； 令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12＝0， 即m＝±2＝5，C正确； 22 如图，直线y＝x－和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，D正确．故选BCD．] 23 名师点评：点P(x0，y0)和椭圆＝1(a>b>0)的位置关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔<1． (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＝1． (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔>1． 第59课时　直线与椭圆 24 [巩固迁移] 1．椭圆x2＋＝1上的点到直线x ＋ y － 4＝0的距离的最小值为_____________． 第59课时　直线与椭圆 25 　[设与直线x＋y－4＝0平行的直线方程为x＋y＋m＝0(m≠－4)，所以y＝－x－m，代入椭圆方程得4x2＋2mx＋m2－3＝0， 令Δ＝12(4－m2)＝0，∴m＝2或m＝－2． 当m＝2时，平行线间的距离为； 当m＝－2时，平行线间的距离为． 所以最小距离为．] 26 考点二　弦长及中点弦问题 考向1　弦长问题 [典例2]　(2025·全国二卷)已知椭圆C：，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积为，求|AB|． 第59课时　直线与椭圆 27 [解]　(1)由2a＝4，得a＝2． 由题意得e＝， 又b2＝a2－c2，所以b＝． 所以C的方程为＝1． 28 (2)由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＝1，消去y并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0， 由Δ＝16(2k2－1)>0，得k2>， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 S△OAB＝×2×|x2－x1|＝， 解得k2＝．所以|AB|＝|x2－x1|＝． 29 【教用·备选题】 已知椭圆C： ，求直线l的方程． 第59课时　直线与椭圆 30 [解]　设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝． |AB|＝2＝． 31 联立消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0， 由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，所以m2<2． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝ ．即直线l的方程为y＝－x±． 32 考向2　中点弦问题 [典例3]　(1)已知直线x－＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为M，若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150°，则椭圆C的离心率为(　　) A． (2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为__________． √ ＝1 第59课时　直线与椭圆 33 (1)D　(2)＝1　[(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)． ∵＝1， 两式相减可得＋ ．∴e＝．故选D． 34 (2)法一(直接法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为 消去x， 得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，Δ>0， 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知＝1， ∴y1＋y2＝＝2，解得b2＝8． 经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意． ∴所求的椭圆方程为＝1． 35 法二(点差法)：∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为＝1(b>0)． 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 36 ①－②得＝0， 即， 又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2， k＝，解得b2＝8，经检验，直线与椭圆有2个交点，满足题意． 故所求的椭圆方程为＝1．] 37 名师点评：涉及弦中点的轨迹问题或弦所在直线的斜率问题时，可考虑点差法． 第59课时　直线与椭圆 38 [巩固迁移] 2．已知椭圆C： 平分．求： (1)直线l的方程； (2)△F1AB的面积． 第59课时　直线与椭圆 39 [解]　(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)·(y1－y2)， 因为弦AB被点平分， 所以x1＋x2＝2， 所以直线l的斜率k＝， 故直线l的方程为x＋2y－2＝0．经检验，符合题意． 40 (2)法一(常规方法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立x－2＝0，Δ>0， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2， 所以|AB|＝ ＝5， 41 由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12， 所以c＝2，0)， 所以点F1(－2， 所以． 42 法二(面积拆分法)：联立 得2y2－2y－1＝0，Δ>0， 所以y1＋y2＝， 所以|y1－y2|＝， 又因为直线l过点F2(2，0)， 所以． 43 【教用·备选题】 1．已知椭圆C： 且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l的斜率为1，求弦AB的长； (3)若过点Q的直线l1与椭圆C交于E，G两点，且Q是弦EG的中点，求直线l1的方程． 第59课时　直线与椭圆 44 [解]　(1)依题意，椭圆C的半焦距c＝2，而b＝1，则a2＝b2＋c2＝9， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 依题意，直线l的方程为y＝x＋3，由 ， 所以弦AB的长是． 45 (3)显然，点Q在椭圆C内，设E(x3，y3)，G(x4，y4)，因为E，G在椭圆C上， 则两式相减得(x3－x4)(x3＋x4)＋9(y3－y4)(y3＋y4)＝0， 而Q是弦EG的中点，即x3＋x4＝2且y3＋y4＝1，则有2(x3－x4)＋9(y3－y4)＝0， 于是得直线l1的斜率为， 故直线l1的方程为y－(x－1)，即4x＋18y－13＝0． 46 2．已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2． (1)求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程； (2)若过F2作直线与椭圆C相交于A，B两点，且，求|AB|． 第59课时　直线与椭圆 47 [解]　(1)显然点P在椭圆内，设过P的直线与椭圆C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则 两式相减得， 由中点P的坐标为＝1， 所以， 所以直线方程为y－，即2x＋4y－3＝0． 48 (2)由题意知，过F2的直线斜率存在且不为0． 设过F2的直线为x＝my＋1(m≠0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 联立⇒(m2＋2)y2＋2my－1＝0，Δ>0， 所以 又，则y4＝－2y3，代入方程解得m2＝， 所以|AB|＝． 49 考点三　直线与椭圆的综合问题 [典例4]　(2025·天津河西区二模)已知椭圆E：y＝4相切． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点(0，1)作斜率为k的直线交椭圆E于C，D两点，线段CD的垂直平分线交y轴于点Q，点Q关于直线CD的对称点为点P，若四边形PCQD为正方形，求k的值． 第59课时　直线与椭圆 50 [解]　(1)因为椭圆E的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以b＝c，则a＝b， 所以椭圆E的方程为＝1， 由消去x， 得8y2＋8y＋16－2b2＝0， 因为椭圆E与直线x－y＝4相切， 所以令Δ＝(8)2－4×8(16－2b2)＝0，解得b2＝2，所以a2＝4， 所以椭圆E的标准方程为＝1． 51 (2)设直线CD的方程为y＝kx＋1(k≠0)，设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为M，联立 消去y，得 (2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， Δ＝16k2＋8(2k2＋1)>0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝， 所以xM＝， 52 代入y＝kx＋1，解得yM＝， 故线段CD的中点M的坐标为， 所以线段CD的垂直平分线的方程为 y－， 令x＝0，解得yQ＝－， 即Q， 53 因为线段PQ和线段CD互相垂直平分，所以四边形PCQD为菱形， 要使四边形PCQD为正方形，需满足QC⊥QD， 所以 ＝0， 即(k2＋1)(4k2－1)＝0，解得k＝±． 54 名师点评：涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第59课时　直线与椭圆 55 [巩固迁移] 3．(2025·上海卷)已知椭圆Γ：)，M(0，m)(m>0)，A是Γ的右顶点． (1)若Γ的一个焦点是(2，0)，求Γ的离心率e； (2)若a＝4，且Γ上存在一点P，满足，求m的值； (3)若线段AM的垂直平分线l的斜率为2，l与Γ交于C，D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围． 第59课时　直线与椭圆 56 [解]　(1)由已知得a2－5＝22，所以a2＝9． 所以a＝3，又c＝2，所以e＝． (2)当a＝4时，Γ：＝1，则A(4，0)， 因为)，其中O为坐标原点， 则， 故P． 因为P在Γ上，所以＝1，又m>0，所以m＝． 57 (3)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题知A(a，0)，M(0，m)， 则kAM＝－， 故kl＝＝2，即a＝2m． 直线l过线段AM的中点 m． 联立 58 消去y得(5＋16m2)x2－24m3x＋9m4－20m2＝0，Δ>0，x1＋x2＝， 消去x得4(5＋16m2)y2＋60my－275m2＝0， Δ>0，y1＋y2＝－． 59 由∠CMD为钝角知，＝(x1，y1－m)·(x2，y2－m)＝x1x2＋(y1－m)(y2－m)＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2＝＋m2＝<0， 即25(4m4－11m2)<0， 又m>0，所以0<m<， 又a＝2m，且a>， 故a的取值范围为()． 60 【教用·备选题】 已知椭圆C： ＝0． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过点(2，0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第59课时　直线与椭圆 61 [解]　(1)由cos∠F1PF2＝知∠F1PF2＝60°， 在△F1PF2中，|PF2|＝2a－4，，由余弦定理得4c2＝16＋(2a－4)2－4(2a－4)， 解得a＝4，c＝2，b2＝12， 所以椭圆C的标准方程为＝1． 62 (2)假设存在点Q(m，0)满足条件，设直线l方程为x＝ty＋2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 消去x有(3t2＋4)y2＋12ty－36＝0，Δ>0， 所以y1＋y2＝， kMQ＋kNQ＝＝＝， 因为∠MQO＝∠NQO，所以kMQ＋kNQ＝0， 即－72t－12(2－m)t＝0，解得m＝8， 所以存在Q(8，0)，使得∠MQO＝∠NQO． 63 一、单项选择题 1．已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：＝1有公共点，则m的取值范围是(　　) A． C． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 课后作业(五十九)　直线与椭圆 √ 第59课时　直线与椭圆 64 A　[将直线方程y＝x＋m代入椭圆方程，消去y得7x2＋8mx＋4m2－12＝0， ∵直线与椭圆有公共点，∴方程有解， ∴Δ＝64m2－4×7×(4m2－12)≥0， 解得－， 即m的取值范围为． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(2025·湖南邵阳一模)经过椭圆＋y2＝1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． √ 第59课时　直线与椭圆 66 A　[∵a2＝2，b2＝1，∴c＝＝1， 即F(1，0)， kl＝tan 60°＝(x－1)， 联立得方程组整理得7x2－12x＋4＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝， |AB|＝|x1－x2|＝ ＝．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 67 3．已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A． ＝1 C． ＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第59课时　直线与椭圆 68 A　[法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以， 整理可得， 根据题意可知直线AB的斜率为， 由AB的中点坐标为(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 因此，可得a2＝2b2． 又a2－b2＝c2＝9，所以b2＝9，a2＝18，故椭圆E的方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 法二：设AB的中点为P，O为坐标原点， kAB＝＝－1， 则kAB·kOP＝－，所以a2＝2b2， 由右焦点为F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9， 解得b2＝9，a2＝18， 所以椭圆E的方程为＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 70 4．已知椭圆＝0的距离的最大值是(　　) A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第59课时　直线与椭圆 71 A　[根据题意， 消去y得5x2＋8x＋16＝0，则Δ＝(8)2－4×5×16＝0， 所以直线x－y＋＋y2＝1相切， 且在椭圆上方，当椭圆在点P处的切线与直线x－y＋ ＝0的距离最大．设直线方程为x－y＋m＝0， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 72 联立消去y得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， 故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0， 解得m＝．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 73 5．椭圆C： ，那么直线PA2的斜率的取值范围是(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第59课时　直线与椭圆 74 A　[由题意，椭圆C： ， 又由 ．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 6．直线x－2y＋2＝0经过椭圆 ，则该椭圆的离心率为(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 第59课时　直线与椭圆 76 C　[直线x－2y＋2＝0，令y＝0，解得x＝－2，令x＝0，解得y＝1， 故F(－2，0)，M(0，1)，则， 则 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 则A，又点A在椭圆上，左焦点F(－2，0)，右焦点F'(2，0)， 由2a＝|AF|＋|AF'|＝， 则a＝＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 78 二、多项选择题 7．已知过点(0，1)的直线与椭圆x2＋＝1交于A，B两点，则弦长|AB|可能是(　　) A．1 B． D．3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 第59课时　直线与椭圆 79 BC　[当直线AB的斜率存在时，设过点(0，1)且斜率存在的直线AB的方程为y＝kx＋1， 由消去y，并整理得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，Δ>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， |AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝2)， 当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝2，因此|AB|∈[]， 所以弦长|AB|可能是．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 80 8．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于P，Q两点，则(　　) A．△PF2Q的周长为4 B．|PF1|的取值范围是 C．|PQ|的最小值是3 D．若点M，N在椭圆上，且线段MN的中点坐标为(1，1)，则直线MN的斜率为－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ √ 第59课时　直线与椭圆 81 BCD　[由题意可知椭圆的长轴长2a＝4，左焦点F1(－1，0)，由椭圆的定义可知＝|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝8，故A错误； 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， |PF1|＝＝|x1＋4|， 易知x1∈，故|PF1|的取值范围是[1，3]，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 82 若PQ的斜率存在，不妨设其方程为y＝kx＋k， 联立椭圆方程得 ⇒(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0， 则 所以|PQ|＝ >3， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 83 若PQ的斜率不存在，则其方程为x＝－1，与椭圆方程联立易得|PQ|＝3， 显然当PQ的斜率不存在时，|PQ|min＝3，故C正确； 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，有＝0⇒·kMN， 若MN的中点坐标为(1，1)，则x3＋x4＝y3＋y4＝2⇒kMN＝－，故D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 84 三、填空题 9．(2026·河北石家庄模拟)过椭圆C： ，则椭圆C的标准方程为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ＝1 第59课时　直线与椭圆 85 ＝1　[直线l：x－y－2＝0，令y＝0，得x＝2，所以椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，即c＝2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2， 所以＝1， 两式相减得＝0， 所以，即kAB＝－， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 86 因为kOP＝－＝1， 所以a2＝2b2， 又c2＝a2－b2＝b2＝4，因此a2＝8， 所以椭圆C的标准方程为＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 87 10．已知椭圆C： |，则椭圆C的离心率为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第59课时　直线与椭圆 88 |＝2c，所以||＝2a－2c， 又，所以|(a－c)， 所以|，在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝，在△PQF2中， cos∠F1PF2＝， 以上两式相等，整理得(5a－7c)(a－c)＝0， 故5a＝7c或a＝c(舍去)，故．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 89 四、解答题 11．已知动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝． (1)求动点M的轨迹E的方程． (2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第59课时　直线与椭圆 90 [解]　(1)根据题意得， 化简，得9x2＋25y2＝225， 所以M的轨迹E的方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 91 (2)因为直线4x－5y＋40＝0与坐标轴的交点为(－10，0)，(0，8)，所以直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0． 由方程组消去y得25x2＋8kx＋k2－225＝0． 由Δ＝64k2－100(k2－225)＝0，得k＝25或k＝－25， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 92 当k＝25时，直线4x－5y＋25＝0与椭圆的公共点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小， 最小距离d＝． 综上，在E上存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，最小距离为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 93 12．(2022·天津卷)已知椭圆 ． (1)求椭圆的离心率e； (2)已知直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N(N异于M)．记O为坐标原点，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面积为，求椭圆的标准方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第59课时　直线与椭圆 94 [解]　(1)由题意知＝⇒4a2＝3(b2＋a2)⇒a2＝3b2， 所以椭圆的离心率e＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 95 (2)由(1)可知椭圆的方程为x2＋3y2＝a2，由题意易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 联立得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－a2＝0， 由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0⇒3m2＝a2(1＋3k2)，① xM＝－， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 96 由|OM|＝|ON|，可得m2＝，② 由S△OMN＝，③ 联立①②③可得k2＝，m2＝4，a2＝6， 故椭圆的标准方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 97 13．(2024·新高考Ⅰ卷)已知A(0，3)和P＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 第59课时　直线与椭圆 98 [解]　(1)由题意得 所以e＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 99 (2)由(1)知C：， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 100 设该平行线的方程为x＋2y＋D＝0， 则，解得D＝6或D＝－18． 当D＝6时，联立解得 即B(0，－3)或， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 101 当交点为B(0，－3)时，此时kl＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当交点为Bx，即x－2y＝0． 当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点． 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 102 一、单项选择题 1．(2026·河北石家庄模拟)若直线l1：x＋λy＋8＝0与直线l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，则λ＝(　　) A．－1 B．－1或3 C． D．3 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 阶段评估(十一)　(第54课时~第59课时) √ 第59课时　直线与椭圆 103 B　[因为两直线平行，所以 所以λ＝－1或λ＝3．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 2．(2026·湖北武汉模拟)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，5] B．(4，6) C．[5，＋∞) D．(5，6) √ D　[方程＝1，因为表示焦点在y轴上的椭圆，所以m－4>6－m>0，解得5<m<6．故选D．] 第59课时　直线与椭圆 105 3．(2026·北京丰台期末)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，在圆C上任取一点P，连接CP，将点P折叠到点A，记CP与折痕l的交点为M(如图)．当点P在圆C上运动时，点M的轨迹方程为(　　) A． ＝1 C． ＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ 第59课时　直线与椭圆 106 A　[连接MA，圆C：(x＋1)2＋y2＝16的圆心坐标为C(－1，0)，半径为4．因为将点P折叠到点A，记CP与折痕l的交点为M， 所以|PM|＝|AM|， 所以|CM|＋|AM|＝|CM|＋|MP|＝r＝4>|AC|＝2， 所以点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆， 且2a＝4，2c＝2，所以a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3，所以点M的轨迹方程为＝1．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 107 4．(2025·四川绵阳模拟)已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 (　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ 第59课时　直线与椭圆 108 C　[圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)的圆心M(a，0)，半径r1＝a，由直线3x＋4y＋4＝0与圆M相切，得∈(1，3)，所以圆M和圆N相交．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 109 5．(2025·山东威海模拟)已知直线y＝kx(k≠0)与椭圆C：＝1(a>b>0)交于A，B两点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，四边形AF1BF2为矩形，若|F2A|＝2|F2B|，则椭圆C的离心率是(　　) A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ 第59课时　直线与椭圆 110 C　[如图，设|F2B|＝t，则|F2A|＝2t，因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|F1F2|＝t． 所以e＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 111 6．(2026·广东珠海模拟)与圆(x－2)2＋y2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ 第59课时　直线与椭圆 112 B　[因为直线在两坐标轴上截距相等， 所以①当直线不经过原点时，设截距为a，a≠0． 则直线过点(a，0)，(0，a)，那么直线斜率为＝－1． 所以直线方程为x＋y－a＝0． 因为该直线与圆(x－2)2＋y2＝2相切，所以圆心(2，0)到直线的距离等于圆的半径， 即，化简得|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0(舍去)． 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为x＋y－4＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 113 ②当直线经过原点时，设直线方程为y＝kx，即kx－y＝0． 因为直线与圆(x－2)2＋y2＝2相切，所以圆心(2，0)到直线的距离等于圆的半径， 即，化简得k2－1＝0，解得k＝±1． 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为y＝x，y＝－x．综上，共有3条直线符合题目要求．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 114 二、多项选择题 7．(2026·山东东营模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则(　　) A．△PF2Q的周长为8 B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1 C．若线段PQ的中点坐标为，则直线l的方程为2x＋8y－5＝0 D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2＋(y－2)2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为＋1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ √ √ 第59课时　直线与椭圆 115 BCD　[对于A，若直线l经过点F1，如图1，则△PF2Q的周长为4a＝4×2＝8， 若直线l不经过点F1，如图2，则△PF2Q的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|<|PF1|＋|QF1|＋|PF2|＋|QF2|＝4a＝8，故A错误； 对于B，过左焦点F1的椭圆焦点弦中，通径最短，即＝1，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 116 对于C，显然直线l的斜率存在，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 易知 ·kPQ， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 117 若PQ的中点坐标为， 则直线l的方程为y－，即2x＋8y－5＝0，故C正确； 对于D，设M(x0，y0)，圆心D(0，2)，则|MD|＝＝，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝ －，此时|MN|取得最大值为＋1，故D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 118 8．(2026·江苏南通模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知圆O：x2＋y2＝16，点M(－2，0)，则下列说法正确的是(　　) A．若圆O上恰有3个点到直线x＋y＋b＝0的距离为2，则b＝4 B．直线x＋ C．点P在直线2x＋y＋10＝0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则点M到直线AB的距离的最大值为2 D．过点M的直线与圆交于A，B两点，若|MA|＝2|MB|，则|AB|的长为3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ √ √ 第59课时　直线与椭圆 119 BCD　[对于A，因为圆O上恰有3个点到直线x＋ y＋b＝0的距离为2， 则＝2⇒b＝4或b＝－4，故A错误； 对于B，因为直线x＋ ． 由，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 120 对于C，如图，设P(x0，y0)，则2x0＋y0＋10＝0⇒y0＝－2x0－10(*)． 以OP为直径的圆的方程为x(x－x0)＋y(y－y0)＝0⇒x2＋y2＝x0x＋y0y． 与圆O：x2＋y2＝16相减得x0x＋y0y－16＝0．即为两圆公共弦AB所在的直线方程． 将(*)代入可得x0x＋(－2x0－10)y－16＝0⇒x0(x－2y)－(10y＋16)＝0． 由 即直线AB过定点N． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 121 所以点M到直线AB的距离的最大值为线段MN的长度(此时MN⊥AB)， 因为|MN|＝＝2，故C正确； 对于D，由题意知，直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为x＝my－2，m≠0， 联立得(m2＋1)y2－4my－12＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由|MA|＝2|MB|，得y1＝－2y2， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 122 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 由根与系数的关系得 解得m＝±， ∴|AB|＝2，故D正确．] 123 三、填空题 9．(2026·江苏无锡模拟)椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，直线PF1的斜率为2，∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 第59课时　直线与椭圆 124 　[设F1(－c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a， 直线PF1的斜率为2，则tan∠PF1F2＝2， 又∠F1PF2＝90°，在Rt△F1PF2中，tan∠PF1F2＝＝2， 设|PF1|＝m，有|PF2|＝2m， 由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得m2＋4m2＝4c2， 又|PF1|＋|PF2|＝m＋2m＝2a， 消去m得5a2＝9c2，即．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 125 10．已知一束光线通过点A(－3，5)，经直线l：3x－4y＋4＝0反射．如果反射光线通过点B(2，15)，则反射光线所在直线的方程是______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 18x＋y－51＝0 第59课时　直线与椭圆 126 18x＋y－51＝0　[设点A(－3，5)关于直线l的对称点为A'(x0，y0)， 则 解得x0＝3，y0＝－3，故A'(3，－3)． 由于反射光线所在直线经过点A'(3，－3)和B(2，15)， 所以反射光线所在直线的方程为y－15＝(x－2)，即18x＋y－51＝0．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 127 四、解答题 11．点M(x，y)与定点F(－3，0)的距离和它到直线l：x＝－． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)点P在(1)中轨迹C上运动，PD⊥x轴，D为垂足，点N满足，求N点的轨迹方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 第59课时　直线与椭圆 128 [解]　(1)由题意知|MF|＝，所以＝1． 所以动点M的轨迹C的方程为＝1． (2)设N(x，y)，因为，则P． 将P＝1，化简得x2＋y2＝25． 即N点的轨迹方程为x2＋y2＝25． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 129 12．(2025·河南郑州一模)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|． (1)求点P的轨迹方程； (2)过F2(1，0)的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线x＝2交于点C，设O为坐标原点，若S△OAC∶S△OBC＝3∶1，求直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 第59课时　直线与椭圆 130 [解]　(1)依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝>2＝|F1F2|， ∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦点在x轴上， 设椭圆方程为＝1(a>b>0)， 由2a＝2，c＝1，b＝1， 故所求点P的轨迹方程为＋y2＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 131 (2)依题意，知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ>0， 可得x1＋x2＝②， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 132 由S△OAC∶S△OBC＝3∶1， ∴|AC|∶|BC|＝3∶1，， ∴2－x1＝3(2－x2)，整理得3x2－x1＝4③， 由①③得x1＝，代入②，解得k＝±1， ∴直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 133 谢 谢 ！ $