精品解析：广东深圳市福田区外国语学校2025-2026学年第二学期6月素养练习九年级数学试卷

2025－2026学年第二学期6月素养练习 九年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答：答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共5页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8题，每题3分，共24分．每题给出的4个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 2. 物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！将数据5020000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式、合并同类项的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、与不是同类项，不能合并，D错误． 4. 多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先求出多边形每个外角的度数，再根据任意多边形外角和等于计算边数即可． 【详解】解：∵多边形的每个内角都等于， ∴多边形的每个外角都等于， ∵任意多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出位似比，进而可知点的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形， ∴位似比为， ∵， ∴． 6. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“A品牌数量比B品牌多20个”的等量关系，用含的代数式表示出两种排球的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设B品牌每个排球的单价为元， ∵A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元， ∴A品牌每个排球的单价为元， 总预算为1500元，可得：购买A品牌排球的数量为个，购买B品牌排球的数量为个， 又∵全部购买A品牌可比全部购买B品牌多买20个， ∴可列方程：． 7. 如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 8. 如图，在矩形中，点为的中点，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点匀速运动．设点的运动时间为秒，的长为，随的变化图象如图所示，则矩形的面积为（ ） A. 20 B. 36 C. 40 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】先从图象信息中提取关键条件：当时得的长度；时，点P运动到终点E，从而推得，设，在中用勾股定理再结合，通过完全平方公式求出的长度；最后利用E为的中点，进而求得矩形面积． 【详解】解：由图象知，当时，点P在点A处，此时 当时，点P运动到终点E，点P速度为1单位/秒， ∴总路程， 设， 在中，由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴，即， ∵点E为的中点， ∴， ∴矩形面积． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据，，整体代入计算即可，活用整体思想是解题的关键． 【详解】根据，， 故答案为：6． 10. 为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的运用，设这棵树的高度是米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．熟记同一时刻的物高与影长成比例是解题的关键． 【详解】解：设该树的高度为， 依题意得：， 解得：， 则该树的高度为， 故答案为：． 11. 如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴． 12. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 13. 如图，在中，，是上一点，，点在上，连接并延长至点，使得，是上一点，且平分，若，则___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】延长交于点H，设．证明得，可求出，由勾股定理求出，可得，从而，再证明即可． 【详解】解：延长交于点H，设． ∵，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 经检验符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 三、解答题（共7题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，19题11分，20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据化简绝对值，求一个数的立方根，特殊角的三角函数值，负指数幂，进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ 【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． 15. 先化简，后求值：，从，0，1，2选一个合适的值，代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行运算，然后将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 由题可知：，1，2， ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握使分式有意义的条件，判断出，1，2是解题的关键． 16. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为（单位：小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析．抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2 （1）这组数据的众数和中位数分别是_____________，_____________； （2）估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少？ （3）从样本中学生平均每天睡眠时间的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率． 【答案】（1）7，7 （2）144人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）用样本百分比估计总体百分比，计算求解即可； （3）通过列表法或树状图列举出所有结果及抽取的2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果，代入概率公式即可． 【小问1详解】 解：平均睡眠时间为7小时的有15人，人数最多，所以众数为7；50个数据按着从小大排序，第25个和第26个数据均为7，因此中位数为； 【小问2详解】 解：在样本中，平均每天睡眠时间的人数所占百分比为， 由此估计九年级所有学生平均每天睡眠时间的人数所占百分比大约为24%， 所以（人）． 答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种， ∴（抽取的2人平均每天睡眠时间都是6小时）． 【点睛】找中位数时要注意首先把数据按着从大到小（或从大到小）进行排序；在利用列表法或树状图法求概率时，务必保证列举出的每种结果都是等可能的． 17. 根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同； 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件；B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 （1）任务一：求A、B充电器每件进价． （2）任务二：求获利最大的进货方案及最大利润． 【答案】（1）A、B充电器每件进价分别为20元、80元． （2）获利最大的进货方案为购进800件A充电器，购进200件B充电器，最大利润为12000元． 【解析】 【分析】（1）设、充电器每件进价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进件充电器，则购进件充电器，根据“计划共购进1000件充电器，且数量不少于数量的4倍”列不等式，求出，设利润为元，列出关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设、充电器每件进价分别为元、元， 由题意得：， 解得：． 答：、充电器每件进价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设购进件充电器，则购进件充电器， 由题意得：， 解得：， 设利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元． 18. 如图，在平行四边形中， （1）实践与操作：作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交的延长线于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）如图所示，为所求 （2）四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段的垂直平分线； （2）首先利用平行四边形的性质得到，推出内错角相等，结合垂直平分，得到，再通过证明得到，然后利用，先判定四边形是平行四边形，再根据，最终判定四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投进篮球的最大离地高度； （3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 【答案】（1） （2）最大离地高度为米 （3）最低封盖高度为米 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）根据顶点是最高点进行解答即可； （3）令，求出的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，, 又抛物线经过点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线顶点为最高点， ∴最大离地高度为米； 【小问3详解】 解：当时，（米）， 所以，最低封盖高度为米． 20. 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，是的高，若是的中点．则点就在以点为圆心的同一个圆上． 【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题： （1）如图1，若的交点为点，则点四点是不是也在同一个圆上．如果是，请证明：如果不是，请说明理由． （2）如图2，锐角中，是高线，于，于，求证：． （3）如图3，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为，则的最小值为___________． 【拓展应用】 （4）如图4，学习小组完成上面的问题后发现的两条高相交于点，连接并延长交于点，则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，已知是的外接圆，是的高，相交于点．若，请直接写出的面积___________．（结果请用的代数式表示，并保留） 【答案】（1）点、、、四点在同一个圆上． 证明：如图2，连接，取的中点，连接， 则， ∵、是的高， ∴，均为直角三角形， ∴， ∴， ∴点、、、四点在同一个圆上． （2）证明：如图，连接，， 在锐角中，、是高线，于，于， 由于与共斜边， ∴、、、四点共圆， ∴， 同理与共斜边， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，再利用等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）连接，设中点为，连接，易得四点共圆，为直径，为圆心，再结合等腰三角形的性质可得，设圆的半径为，过作，结合已知条件利用勾股定理求出的长度，要使最小，则的半径最小，故直径最小，即当时，求得的最小值，进而求得半径，最后代入即可求解； （4）连接并延长交于，连接，则，连接并延长交于，根据结论得，进而推得，通过同位角相等证明四边形是平行四边形得边相等，再运用勾股定理求得的长度进而推出半径长，最后根据圆的面积公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 如图4，连接，设中点为，连接， ∵， ∴四点共圆，为直径，为圆心， ∴，， ∴， 设圆的半径为，过作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径最小，故直径最小， 当时，直径有最小值， ∵是等边三角形，，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：如图6，连接并延长交于，连接， ∴， 连接并延长交于，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期6月素养练习 九年级数学试卷 说明： 答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答：答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中． 1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 2．全卷共5页，考试时间90分钟，满分100分． 一、选择题（共8题，每题3分，共24分．每题给出的4个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！将数据5020000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 15 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点为的中点，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点匀速运动．设点的运动时间为秒，的长为，随的变化图象如图所示，则矩形的面积为（ ） A. 20 B. 36 C. 40 D. 45 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知，则的值为______． 10. 为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为_____． 11. 如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为___________． 12. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 13. 如图，在中，，是上一点，，点在上，连接并延长至点，使得，是上一点，且平分，若，则___________． 三、解答题（共7题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，19题11分，20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，后求值：，从，0，1，2选一个合适的值，代入求值． 16. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为（单位：小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析．抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2 （1）这组数据的众数和中位数分别是_____________，_____________； （2）估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少？ （3）从样本中学生平均每天睡眠时间的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率． 17. 根据如表所示素材，探索完成任务． 深圳华强北电子配件采购方案 素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同； 采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元） 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 素材二 售价A：30元/件；B：100元/件． 素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍． 问题解决 （1）任务一：求A、B充电器每件进价． （2）任务二：求获利最大的进货方案及最大利润． 18. 如图，在平行四边形中， （1）实践与操作：作线段的垂直平分线，垂足为，交于点，交的延长线于点，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明． 19. 晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与晓然同学投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且，，在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得，两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投进篮球的最大离地高度； （3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 20. 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，是的高，若是的中点．则点就在以点为圆心的同一个圆上． 【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题： （1）如图1，若的交点为点，则点四点是不是也在同一个圆上．如果是，请证明：如果不是，请说明理由． （2）如图2，锐角中，是高线，于，于，求证：． （3）如图3，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为，则的最小值为___________． 【拓展应用】 （4）如图4，学习小组完成上面的问题后发现的两条高相交于点，连接并延长交于点，则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，已知是的外接圆，是的高，相交于点．若，请直接写出的面积___________．（结果请用的代数式表示，并保留） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $