广东深圳市南山实验教育集团麒麟二中2025-2026学年九年级下学期 第三次学业质量检测 数学学科试卷

2025~2026学年九年级第三次学业质量检测 数学学科试卷 2026年6月 家 说明：1.全卷共4页。 2.考试时间为90分钟，数学学科满分100分。 3.答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签 字笔填写相应信息。请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。 如 一、 选择题(8小题，每小题3分，共24分) 1.如图，点A表示的数是1.若将点A向左移动3个单位长度得到点A',则点A'表示的数为() A -3-2-1023十 A.-3 B.-2 C.2 D.4 敢 2.深圳作为科技创新之城，有很多知名品牌，以下深圳品牌标志，其中是轴对称图形的是( : B 长 3.已知m<n,则下列变形不正确的是( A.2m<2n B.-<- C.m+2<n+2 D.m-1<n-1 K 2 1 4.计算 2一1+a+1的结果等于() a+1 A 1 D.1 a-1 B.1 a+1 5,如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，折高者几何？意思是： 郑 根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹 子底部6尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺.根据题意，可 列方程为( A.x2462=102 B.102+62=x2 C.x2+(10-x)2=62 D.x2162=(10-x)2 杯 6.如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC=40°），东经116°， 三沙市海域某处B位于北纬15°（即 ∠B0C=15°)，东经116°·设地球的半径约为R千米，则在东经116°所 北极 在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为( 地翻 A(北纬40°，东经116) A. 72πR(于米) 2πR(千米) 地心0 B. B北纬15°，东经116) 赤道 翩 C. πR(千米) 2 南极 36 D.mR(千米) 7.如图，一次函数y=k1x+b经过点A(0,4),与x轴交于点B,与正比例函数y=kx交于点 P(1,2),则下列结论正确的是() A.k1-k2>0 B.方程k1x+b=k2x的解是x=2 C.P为AB的中点 D.当x>1时，1x+b>k2x 2025一2026学年九年级第三次学业质量检测数学学科试卷第1页，共4页 .: 8.定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+el(a≠0，b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.已知某“鹊桥”函数 y=x2-2x-3的图象（如图所示），关于x的方程x2-2x-3+m=0有四个不相等的 实数根，则m的取值范围为() A.-3≤m<0 B.0<m<4 C.-4<m<0 D.-4<m<4 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 10 ⑨，若式子2一在实数范围内有意义，则x的取值范围泉 10.分式方程3、1 xx一1=0的解是x】 11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC),“偃矩 以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,E在同一水平线上，∠ABC=∠AEF =90°，AF与BC相交于点D.测得AB=60cm,BD=20cm,AE=9m,则树高EF是 12.如图。已知：直线y=-子+1与坐标轴交于4，日两点，矩形ABCD对称中心为M,双曲线)=兰(G>0)正 好经过C,M两点，则k= 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,将Rt△ABC绕点C逆时针旋转90°得到Rt△A B'C,连接AA',BB',延长BB',与AA'交于点D,则B'D的长为 A D B B 第11题图 第12题图 第13题图 三.解答题（共7小题，14题6分，15题7分，16题8分，17题9分，18题9分，19题11分，20题11分） 14.计算：-12025-W3-V4+3-π)°-(-1. 15.2025年初，某省共发生电动自行车事故96起，从己调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵 守交通规则造成：广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任 务.深圳市某中学制作了时长100分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽 查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表 部分学生观看教育视频时长频数分布表 组别 时长x/分钟 频数 部分学生观看教育视频时长扇形统计图 A 0≤x<20 20 A B B 20≤x<40 40 20% D30% c 40≤x<60 ▲ C D 60x<80 60 E 80≤x≤100 10 2025一2026学年九年级第三次学业质量检测数学学科试卷第2页，共4页 结合以上信息，回答下列问题： (1)本次调查属于 调查，本次调查的样本容量为 (2)样本数据的中位数落在 组： (3)若本校共2000人，观看视频时长低于40分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合 格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议· 16.五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响.以 下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题. 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为4.4m,楼间距为19m,太阳光线与水平线的夹角为70°· ②一楼窗户下端距离地面的高度为1.4m. ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角α为30°，第一排楼房的影子会落在第二排楼房 的墙上 建立模型小良同学根据调查数据画出了数学图形.如图，AB⊥BC,DE⊥ BC,BC=4.4m,BE=19m,∠ACB=70°，∠a=30° D B C E 第一排楼房 第二排楼房 测量工具 卷尺 参考数据 V3≈1.73，in70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75 问题解决 (1)根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到m): (2)计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高 度DE,并判断会不会影响一楼的采光（精确到0.1m). 17.人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展.某校积极响应国家“科教兴国”战略，开 设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A,B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器 人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同. (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3 倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少， 最少花费是多少元？ 2025~2026学年九年级第三次学业质量检测数学学科试卷第3页，共4页 . 18.如图，在△ABC中，AC<BC. (1)实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作⊙O,⊙O恰好过A,C两点，并与线段BC交于另一 点D.小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示.请你用尺规作图：作出点O与点D,并 补全⊙O. (2)推理与计算： : 在(1)的条件下，若2∠C+∠B=90°· E脚 ①求证：直线AB是⊙O的切线： ②若AB=2V2,BC=6VZ,求⊙O的半径. .… 19.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等）， 些 我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”. A C D C D E 烯 .: B 图1 图2 图3 (1)如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“白银线”的四边 形，请只用无刻度的直尺，确定一点D,请你在图1中找出满足条件的点D,并画出这个四边形.保留画图 分 痕迹（找出1个即可）： (2)如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB. ①此时对角线AC是四边形ABCD的“白银线”吗？请说明理由： ②若AC=4V10,求AD·AB的值. .… (3)如图3，在(2)的条件下，若∠D=90°，在AD边上取一点E,使AD:AE=V10:2,过点E作EF 为 ∥CD交AC于点F,得到△AEF,连接CE、BF,在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于 AF时，直接写出BF的长= ..: .: 多 20.小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图(1)所示，输入x的值为-2 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6. (1)直接写出k=,a=，b= 开始 . y (2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如输入x 6 图(2) 喀 <a<0 I·当y随x的增大而增大时，直接写出x的取值范围. y-ka+3 y-ar+bx+3 Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数)，在0<x<4 输出y 时无解，求t的取值范围. 结束 I.若在函数图象上有点P,2(P与2不重合).P的横坐标 图1) 2) 閭 为m,2的横坐标为-m+1.小明对P,2之间（含P,2两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值 与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围. O 2025~2026学年九年级第三次学业质量检测数学学科试卷第4页，共4页2025~2026学年九年级第三次学业质量检测数学学科 参考答案与评分标准 一。 选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B A D C C C 7.【解答】解：根据一次函数和正比例函数的性质逐项分析判断如下： A、根据图象可知，k1<0,k2>0, k1-k2<0,原选项不符合题意； B、方程k1x+b=k2x的解是x=1,原选项不符合题意； C、由条件可知： 化：+b=2解得：化：=-2， b=4 0b=4 ∴.一次函数解析式为y=-2x+4,当y=0时，x=2, .B(2,0),PA=√1-0)2+(2-42=V5,PB=V(1-2)2+(2-0)2=V5 .PA=PB, ∴.P为AB的中点，原选项符合题意： D、当x>1时，k1x+b<k2x,原选项不符合题意. 故选：C. 8.【解答】解：关于x的方程x2-2x-3+m=0可化为x2-2x-3引=-m, .关于x的方程x2-2x-3+m=0的解的个数即为函数y=lar2+bx+c和y=-m图象交点的个数， .关于x的方程x2-2x-3+m=0有四个不等实根， ∴.函数y=lax2+bx+c和y=-图象有四个交点， 如图所示： 其中图象的最高点为x=1时，对应的函数值，即y=1-2-3引=4， 由图象可得，0<-m<4, .-4<m<0. 故选：C 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 题号 9 10 11 12 13 答案 x<2 3 3m 4 2 第1页（共7页） I3.【解答】解：过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E, 由旋转可得：∠ACA'=90°，∠B'A'C=∠BAC,B'C=BC=3,AB=A' 、D B′=4， B ∴.∠BB'C=∠B′BC=∠AA'C=45°， ∴.∠ABD=90°-45°=45°，∠A'B′E=90°-45°=45°， △A'B'E是等腰直角三角形， ∴AE=BE-受Ag=2V2,∠D'B=∠84g-∠BAD=∠BAE-(∠CAA:∠C4B) =45°-(45°-∠CA'B′)=∠CA'B′， .△DA'E∽△CA'B', 、DEAE即2=，■ BIC=AIBI 0E-2, B'D=B′E-D=2W2-V反= 2 收茶关为：习 三.解答题（共7小题，14题6分，15题7分，16题8分，17题9分，18题9分，19题11分，20题11分） 14.(6分)解：原式=-1-(V4-3)+1-（-2) ……4分 =-1-2+V3+1+2 …5分 =3 …6分 15.(7分)解：(1)本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为：40÷20%=200， 故答案为：抽样；200： ..…2分 (2)C组的频数为200-20-40-60-10=70， .样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，20叶40<100,20叶40+70>101， .样本数据的中位数落在C组， 故答案为：C; ……4分 (3)从以上信息可看出，估计全校观看视频时长低于40分钟有： 2000×20+40=30%×2000=600(人)， 200 ….6分 建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育.（答案不唯一）. .7分 16.(8分)解：(1)在Rt△ABC中，BC=4.4,∠ACB=70°， :an∠ACB=0 ∴.AB=BC.tan.∠ACB=4.4X2.75≈12(m), 答：楼房AB的高度约为12： ….4分 第2页（共7页） (2)如图，过点D作DF⊥AB于F, 则四边形FBED为矩形， .'.DF=BE=19m,DE=BF, 在Rt△AFD中，DF=19,∠ADF=30°， :n∠ADr-架 ∴AF=DP-tan∠ADr=I9x 3 ≈10.96(m), .'.BF=AB-AF=12-10.96≈1.0()， 1.0<1.4, ∴不会影响一楼的采光 .8分 17.(9分)解：(1)设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为(x+200)元. 20001200 根据题意，得 x+200 .x=300, 经检验，x=300是所列分式方程的解， 300+200=500（元). 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元. .…4分 (2)设购买A型机器人m台，则购买B型机器人（40-)台. 根据题意，得40-m≤3， 解得m≥10， 设共花费m元，则=0.8×500叶0.8×300(40-m)=160m+9600, .160>0, ∴p随的减小而减小， .m≥10， .当=10时p值最小，w最小=160×10+9600=11200， 40-10=30(台). 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元...9分 18.(9分)(1)解：如图所示，⊙O、点O、点D即为所求 …3分 0 D B (2) 第3页（共7页） ①证明：方法一：连接AO, ,弧AD=弧AD 方法二：连接AO, ∴.∠AOB=2∠C, .OC=OA, .2∠C+∠B=90°， ∴.∠C=∠OAC, ∴.∠AOB+∠B=90°， ∴.∠AOB=∠C+∠OAC=2∠C, .∠OAB=90°， .2∠C+∠B=90°， ∴OA⊥AB, ..∠AOB+∠B=90°， 又，OA是⊙O的半径， .∴.∠OAB=90°， ∴.直线AB是⊙O的切线； ∴.OA⊥AB, 又OA是⊙0的半径， ∴.直线AB是⊙O的切线： D B ….6分 ②解：法一：设⊙0的半径为r,则AO=CO=, 2r, 0B=6V2-r, ,直线AB是⊙O的切线， 在Rt△AOB中，AO+AB2=CO, 由切割线定理得AB=BD·BC, 即2+8=(6V2-r)2, ∴.(2V②2=6W2·(6V2-2r), 解符r=号五， 解得r=号2， 放0o的半轻得V2 故⊙0的半径为号V2, …9分 法二：设⊙O的半径为r,则CO=DO=r,BD=6V2- 19.(11分)解：(1)满足条件的点D及四边形ABCD,如图1即为所求： 0 D B C D; D 图1 由勾股定理得：AB=V12+2z=V5,BC=V22+42=2V5,AC=5,∠ABC=90°， ,四边形ABCD是以AC为“白银线”的四边形，分两种情况讨论： 第4页（共7页） ①当∠CAD=90°时，△CAD∽△ABC或△DAC∽△ ②当∠ACD=90°时，△CAD∽△BCA或△ACD∽△ ABC, ABC, : ADCA AD CA CD CA CD AB=BC或 CB BC 5 AD 5 AD 5 CD5 CD =2V5或2N=V5 "25 V后或店2 A0=10或A0- 解得：CD=或CD=10, 故点D1、D2即为所求： 故点D3、D4即为所求； (找出1个即可) ……2分 (2)①此时对角线AC是四边形ABCD的“白银线”；理由如下： ,在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=I35°，对角线AC平分∠DAB, .∠DAC=∠CAB=45°， .∠D+∠ACD=180°-∠DAC=135°， 又，∠DCB=135°=∠DCA+∠ACB, ∴.∠D=∠ACB, .∴.△DAC∽△CAB, .对角线AC是四边形ABCD的“白银线”； 5分 ②，'△DAC∽△CAB,AC=4V10, 0=4c AB AC ..AD.AB=AC2, ∴.ADAB=(4v10)2=160: .8分 (3)BF的长=162或82（答对一个2分，全答对3分） ….11分 ,'∠D=90°，由(2)可知△ADC为等腰直角三角 2 AC-AD - 形，AC=4V10, ∴，AE=EF=4V2,AF=8, .AD CD =4V5, 分以下两种情况： EF∥CD,AD:AE=V10:2, ∴.△AEF∽△ADC,且AE:AD=2:V10, 如图3，延长CE交AF于点H, 由题意得：EH⊥LAF, D ∴EH=AH=HF=2AF=4, 在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH=VAC2-AH2= V(4W10)2-42=12, 图3 ∴.CE=CH-EH=12-4=8, 第5页（共7页） ,∠CAB=∠EAF=45°， ..BF =8v2; .∠CAE=∠BAF=45°-∠BAE, 如图4，设AF交CE于点G, 又：4C=1AE1 AB-AF AC AE 1 ·AB=AF=2 :AC、AB B AE AF 图4 ∴.△CAE∽△BAF, 18 由题意得：CE⊥AF, AF=BF 即 2=8F ∴EG=AG=FG=3AF=4, 在Rt△ACG中，由勾股定理得：CG=VAC2-AG2= ..1 ·AB=AF=21 /(4W10)2-4=12, .△CAE∽△BAF, ∴.CE=CG+EG=12+4=16, 116 BF .∠CAB=∠EAF=45°， 解得：BF=16V2, .∠CAE=∠BAF=45°+∠CAF, 综上所述，BF的长为16V2或8√2. 又始后告后 20.(11分)(1)k=1,4=1,b=-2, …3分 解：x=-2<0, .将x=-2,y=1代入y=kx+3,得：-2什3=1，解得：k=1, x=2>0,x=3>0, 将x=2,y=3和x=3,y=6分别代入y=x+bx+3 ∫4a+2b+3=3 得：{9a+3b+3=6 解得：6二12 故：a=1,b=-2,k=1. （2)解：：，k=1,a=1,b=-2, ∴.一次函数解析式为：y=+3,二次函数解析式为：y=x2-2x+3, 当x≥0时，y=x2-2x+3,其对称轴为直线x=1,开口向上， x≥1时，y随着x的增大而增大： 当x<0时，y=x+3,k=1>0, x<0时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：x<0或x≥1： …5分 IⅡ：m2+bx+3-t=0在0<x<4时无解， 第6页（共7页） .m2+bx+3=t,在0<x<4时无解， ∴.问题转化为抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时无交点， 对于y=x2-2x+3,当x=1时，y=2, .顶点为（1,2)， 如图： 12 lo ∴.当t=2时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时正好一个交点， 9 8 > .当t<2时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点： 6 当x=4,y=16-8+3=11, 3 .当t=11时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x≤4时正好一个交点， 542-123456:.当t≥11时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点， -2 ∴.当t长2或t≥11时，抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点， 即：当<2或t≥11时，关于x的方程+bx+3-=0(t为实数)，在0<x<4时无解；8分 I:-1≤≤0或1≤≤2.（答对一个2分，全答对3分） 11分 ,'xp=,xQ=-+1, :+-m+1)1 三一 2 21 六直线x=m与直线x=m+1关于直线x=号 对称， 当x=1,y最小值=1-2+3=2， 当x=0时，y最大值=3， ,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x=2时，y=3,x=-1时，y=2, 1 y .①当m>2 如图： 6 5 5 P -43-2-0123456x -2 *3-2-0123456x -2 由题意得： ∫-1≤m≤0 由题意得： ∫-1≤-m+1≤0 1≤-m+1≤2 l1≤m≤2 ∴.-1≤≤0， .1≤≤2： 综上：-1≤m≤0或1≤≤2. 1 ②当m<立如图： 第7页（共7页）