2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末自编模拟试卷

**基本信息** 以“二十四节气”文化情境和地铁工程等现实问题为载体，覆盖几何变换、函数应用等核心知识，通过动点综合题和网格作图题考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|轴对称与中心对称、因式分解、平行四边形判定|结合非遗文化（二十四节气）考查图形性质，体现文化传承| |填空题|5题/15分|分式值为零、一次函数与不等式、平行四边形翻折|以天平称重情境考不等式，培养量感与应用意识| |解答题|9题/55分|地铁工程应用题、动点综合题、网格作图|设计60千米地铁修建工程问题，融合分式方程与函数，考查模型观念；动点探究题（第23题）综合全等与中位线，发展推理能力|

2025-2026北师大版八下数学期末模拟试卷 一．选择题（共10小题） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 ( 第4题 第5题 第7题 第8题 ) 5．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 7．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（　　）A. B． C．或 D． 6．下列命题中，是假命题的是（　　） A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 C．成中心对称的两个三角形是全等三角形 D．一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等 8．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线，于 点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；在射线上取点，以点为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点；点，分别在射线，上，，射线，交于点，，则（　　） A． B． C． D． ( 第9题 第10题 第13题 第15题 ) 9．如图，△的顶点，，点在轴的正半轴上，，将△向右平移得到△，若经过点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（　　） A．△△ B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 二．填空题（共5小题） 11．分解因式：　　 ． 12．当　　 时，分式的值为零． 13．如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集为　　 ． 14．如果关于的分式方程的解为正数，则的范围为　　 ． 15．如图，平行四边形中，，，点为中点，将△沿翻折得到△，延长，，分别交于、，若，则的长为　　 ． 三．解答题（共9小题） 16．计算：（1）解方程：； （2）解不等式组：． 17．先化简，再求值：，并从3，2，1这几个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 18．如图，已知点，，． （1）画出△绕点逆时针旋转，得到△，并写出点的对应点的坐标为　　 ； （2）画出△关于原点成中心对称的图形△；并写出点的对应点的坐标为　　 ； （3）在△所在的的方格纸中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有　　 个． 19．李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解”．（1）请用公式法因式分解； （2）若一个多项式为，请用题干中的方法因式分解此多项式． 20．正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图： 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． （3）在图3中画一个平行四边形，使其面积为9； ( 图3 图4 )（4）在图④中画一个平行四边形，使其周长为． 21．如图，在△中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个地铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修建地铁长度之比为；甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要多用240天． （1）求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？ （2）该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工作天数不少于乙公司工作天数的”．设甲公司工作天，乙公司工作天．①请求出与的函数关系式及的取值范围； ②设完成此项工程的工期为天，请求出的最小值． 23．是的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、，点为的中点． （1）如图1，当点与重合时，显然直线经过点，请探索并证明与的数量关系； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形，并通过证明判断（1）中结论是仍然成立． （3）如图3，若再过点作于，若，，，请探索并直接写出与的函数关系． 2025-2026北师大版八下数学期末模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D B B D A C C 一．选择题（共10小题） 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； ．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； ．选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键． 2．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解． 【解答】解：、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； 、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误； 、，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误； 、，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 3．下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于0的数或整式，分式的值不变，据此逐个判断即可． 【解答】解：、若，则，故选项错误； 、若，则，故选项错误； 、，故选项错误； 、，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解题的关键． 4．如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】 【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出的值． 【解答】解：设正多边形地砖的边数是， 则正边形的一个内角， 则， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 5．如图，四边形的对角线相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：、，， ，， 四边形是平行四边形，故选项不符合题意； 、，，当时，四边形不是平行四边形，故选项符合题意； 、， ， ， 四边形是平行四边形，故选项不符合题意； 、，， 四边形是平行四边形，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 6．下列命题中，是假命题的是（　　） A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 C．成中心对称的两个三角形是全等三角形 D．一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】 【分析】根据三角形的外角性质、等腰三角形的三线合一、中心对称、直角三角形全等的判定判断即可． 【解答】解：、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题，不符合题意； 、等腰三角形的底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项命题是假命题，符合题意； 、成中心对称的两个三角形是全等三角形，是真命题，不符合题意； 、一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等，是真命题，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】依据图中关系式：1个小立方体的质量，2个小立方体的质量，据此解答即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，根据图意得到2个关系式是解决本题的关键． 8．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线，于 点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；在射线上取点，以点为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点；点，分别在射线，上，，射线，交于点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由基本作图得到平分，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质和三角形的外角的性质，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，△的顶点，，点在轴的正半轴上，，将△向右平移得到△，若经过点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作轴于点，根据，利用勾股定理，可求出点的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点在平移的直线，即可得解． 【解答】解：过点作轴于点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 在△，， ， 点； 设直线的解析式为：， ， 解得， ； 设△向右平移个单位长度得到△， 直线的解析式为：， 点在直线上， ， ， △向右平移个单位长度得到△， 点， 故选：． 【点评】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键． 10．如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（　　） A．△△ B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 【答案】 【分析】由角平分线的性质，可得，由四边形的内角和，结合同角的补角相等，可得，证明△△，可得，，，可判断、、选项，结合在绕点旋转的过程中，、的长度是变化的，可判断选项． 【解答】解：点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ， 四边形的面积不变， 的值不变， 选项、、结论正确； 在在绕点旋转的过程中，， 、的长度是变化的， 的长度是变化的， 选项结论错误． 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．分解因式：　　 ． 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：． 【解答】解： （提取公因式） ．（完全平方公式） 故答案为：． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 12．当　3　 时，分式的值为零． 【答案】3 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可． 【解答】解：分式的值为零，即， ， ． 故当时，分式的值为零． 故答案为3． 【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 13．如图，函数和的图象交于点，根据图象可知，关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14．如果关于的分式方程的解为正数，则的范围为　且　 ． 【答案】且． 【分析】根据分式方程的解法和增根的定义确定的取值范围，再根据分式方程的解是正数，进一步确定的取值范围即可． 【解答】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的解为正数，即， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 即， 综上所述，且． 故答案为：且． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程的根、增根的定义是正确解答的关键． 15．如图，平行四边形中，，，点为中点，将△沿翻折得到△，延长，，分别交于、，若，则的长为 ． 【答案】． 【分析】延长，交于点，延长，交于点，连接，过作于，先根据平行线分线段成比例得出，，，然后根据翻折的性质推出，从而得到，再根据△和△相似，求出，的比例以及和的比例，假设，，根据平行线分线段成比例求出和的关系，在△和△中，利用勾股定理求解的值，从而得到的长． 【解答】解：如图，延长，交于点，延长，交于点，连接，过点作于点， 四边形为平行四边形，，， ，，，，， 是中点， ， 由翻折的性质，得，，，， ，是中点，， ，，，，， ， ， 又， ， 在△中， ， ， ， △△， ， ，， 设，，则，，， 则，， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， 在△中， 由勾股定理，得， 即， 解得，（负值已舍）， ． 方法（前部分后部分一致） 设，则， △△， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质以及翻折的性质，勾股定理，求出和的比例关系是本题解题的关键． 三．解答题（共9小题） 16．计算： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可； （2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后找出它们的公共部分即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 17．先化简，再求值：，并从3，2，1这几个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，3． 【分析】先化简括号的分式，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 且且， 可以取1， 当时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 18．如图，已知点，，． （1）画出△绕点逆时针旋转，得到△，并写出点的对应点的坐标为　　 ； （2）画出△关于原点成中心对称的图形△；并写出点的对应点的坐标为　　 ； （3）在△所在的的方格纸中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有　　 个． 【答案】（1）画图见解答；． （2）画图见解答；． （3）5． 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． 由图可得，点的对应点的坐标为． 故答案为：． （2）如图，△即为所求． 由图可得，点的对应点的坐标为． 故答案为：． （3）如图， 由图可知，在△所在的的方格纸中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，这样的平行四边形最多有5个． 故答案为：5． 【点评】本题考查作图旋转变换、平行四边形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 19．李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解”． （1）请用公式法因式分解； （2）若一个多项式为，请用题干中的方法因式分解此多项式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式即可； （2）令，整理后利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）； （2）令， ， 把代入， 得． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，因式分解运用公式法，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 【答案】（1）如图1中，点即为所求； （2）如图2中，点即为所求． 【分析】（1）构造全等三角形解决问题即可； （2）构造等腰直角三角形解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中，点即为所求； ( 图3 图4 ) （2） 如图2中，点即为所求． （3） 如图3中，点即为所求． （4） 如图4中，点即为所求． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．如图，在△中，，平分，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）平分，，， ，， ， △△， ． （2）5． 【分析】（1）由证明△△，即可得出结论； （2）证明△△，可得，即可求解． 【解答】（1）证明：平分，，， ，， ， △△， ． （2）解：平分，，， ，， ， △△， ， 根据题意得：， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 22．某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个地铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修建地铁长度之比为；甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要多用240天． （1）求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？ （2）该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工作天数不少于乙公司工作天数的”．设甲公司工作天，乙公司工作天． ①请求出与的函数关系式及的取值范围； ②设完成此项工程的工期为天，请求出的最小值． 【分析】（1）甲公司每天修千米，乙公司每天修千米，根据题意列分式方程解答即可； （2）①由题意得，再根据题意列不等式组即可求出的取值范围； ②写出与、之间的关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设甲公司每天修千米，乙公司每天修千米，根据题意得， ，解得， 经检验，为原方程的根， ，， 答：甲公司每天修建地铁千米，乙公司每天修建地铁千米； （2）①由题意得，， ， 又， ； ②由题意得， ，即， ， 随的增大而增大， 又， 时，最小值为440天． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出数量关系并利用该数量关系求解． 23．是的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、，点为的中点． （1）如图1，当点与重合时，显然直线经过点，请探索并证明与的数量关系； （2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形，并通过证明判断（1）中结论是仍然成立． （3）如图3，若再过点作于，若，，，请探索并求出与的函数关系． 【答案】（1），理由见解析过程； （2）图见解析，理由见解析； （3）． 【分析】（1）由“”可证△△，可得； （2）由题意补全图形，由“”可证△△，可得，由直角三角形的性质可得； （3）由全等三角形的性质可得，，可证是△的中位线，可得，即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： 如图1，是的中点， 当点与点重合时，则， ，， ， ， △△， ； （2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下： Ⅶ 如图2，延长交于点， ，， ， ， 点为的中点， ， 又， △△， ， ， ； （3）如图2，延长交于点， 由（2）可知△△， ，， ，， ， 是△的中位线， ， ，，， ， 即． 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/12 10:18:32；用户：孔慧敏；邮箱：15136487828；学号：44610872 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $