专题09 期末真题百练通关（130题32大常考题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以32类典型题型为框架，通过130道真题构建"概念-性质-应用"递进训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|25题|平方法/分母有理化/非负性应用|定义→运算→规律探究| |几何图形|55题|勾股定理/中位线/折叠变换|三角形→四边形→图形变换| |一次函数|30题|待定系数法/图象性质分析|定义→性质→综合应用| |统计与数据|20题|统计量计算/四分位数分析|数据收集→整理→分析决策|

专题09 期末真题百练通关（130题32大常考题型） 题型1 二次根式有意义的条件 题型17 三角形中位线定理计算与证明 题型2 最简二次根式判断 题型18 几何折叠问题 题型3 二次根式基本运算 题型19 函数的定义与自变量取值范围 题型4 利用二次根式非负性求值 题型20 函数图象分析 题型5 二次根式大小比较 题型21一次函数、正比例函数定义辨析 题型6 根式化简 + 代数式求值 题型22求一次函数解析式（待定系数法） 题型7 二次根式规律探究、阅读理解题 题型23一次函数函数图象与性质 题型8 利用勾股定理解三角形 题型24求与坐标轴交点、图象面积计算 题型9 勾股定理逆定理判定直角三角形 题型25一次函数简单实际应用 题型10 勾股数识别、简单几何边长计算 题型26一次函数与方程、不等式综合 题型11 勾股定理实际应用 题型27一次函数与几何图形综合 题型12 勾股定理 + 面积综合 题型28 平均数、加权平均数计算 题型13 最短路径问题 题型29 中位数、众数求解 题型14多边形内角和、外角和、边数计算 题型30 离差平方和与方差计算与意义 题型15 平行四边形性质与判定 题型31 数据的四分位数（新考向） 题型16 矩形、菱形、正方形性质与判定 题型32 统计量结合图表分析 题型1 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 题型2 最简二次根式判断（共3小题） 4．（25-26八年级下·全国·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期末）若是最简二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 题型3 二次根式基本运算（共3小题） 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算： 8．（25-26八年级下·海南·期末）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型4 利用二次根式非负性求值（共3小题） 10．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 11．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 12．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简___________． 题型5 二次根式大小比较（共3小题） 13．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 14．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 题型6 根式化简 + 代数式求值（共4小题） 16．（25-26八年级上·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 17．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 18．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 19．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 题型7 二次根式规律探究、阅读理解题（共4小题） 20．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 22．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 23．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 题型8 利用勾股定理解三角形（共3小题） 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 25．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ___________________ ． 题型9 勾股定理逆定理判定直角三角形（共4小题） 27．（25-26八年级上·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 28．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（    ） A．12，15，17 B．，3， C．7，12，15 D．3，4，5 29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为____． 30．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 题型10 勾股数识别、简单几何边长计算（共4小题） 31．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 32．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 33．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 34．（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ___________．（结果用含n的式子表示） 题型11 勾股定理实际应用（共4小题） 35．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 36．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 37．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 38．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 题型12 勾股定理 + 面积综合（共4小题） 39．（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（    ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 40．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 41．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 42．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【回顾教材】 在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初 步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换． 【基础应用】 （1）如图1，的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则 ； 【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？ （2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，已知，面积分别为m，n，p，q． 若求的值． （3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形的边上，连接，若，，求c的值． 题型13 最短路径问题（共3小题） 43．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 44．（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 45．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 题型14多边形内角和、外角和、边数计算（共3小题） 46．（25-26八年级下·全国·期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 47．（24-25八年级下·四川甘孜·期末）若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 48．（24-25八年级下·山西临汾·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 题型15 平行四边形性质与判定 （共6小题） 49．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 51．（25-26八年级下·全国·期末）已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 52．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，，、分别平分和，若，则平行四边形的周长为________ ． 53．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 54．（25-26八年级下·全国·期末）如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 题型16 矩形、菱形、正方形性质与判定（共7小题） 55．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为____ ． 57．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_________ ． 58．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在矩形中，，点E为的中点，取的中点F，连接、，当为直角三角形时，的长为_____． 59．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，正方形，点是射线上一点，连接，过作，交于，若，且点，，中一点为其余两点的中点，则的长为_________． 60．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 61．（25-26八年级下·北京·期末）在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 题型17 三角形中位线定理计算与证明（共3小题） 62．（25-26八年级下·全国·期末）如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（    ） A． B． C． D． 63．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，已知，点E是的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 64．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 题型18 几何折叠问题（共6小题） 65．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 66．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图矩形，，，为的中点，将沿着折叠，得，延长与相交于点，则的形状为______三角形，的长为_____． 68．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，则________．延长交的延长线于点H，则________． 69．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 70．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 题型19 函数的定义与自变量取值范围（共4小题） 71．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 72．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 73．（25-26八年级下·全国·期末）腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与水混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量是（     ） A．食盐水的浓度 B．水 C．食盐水 D．食盐量 74．（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______． 题型20 函数图象分析（共4小题） 75．（25-26八年级下·河北承德·期末）在百米赛跑中，甲、乙两人与起点的距离和赛跑时间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲先到达终点 B．甲、乙两人的速度相同 C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多 76．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 77．（25-26八年级下·全国·期末）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 78．（25-26八年级下·湖北·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的长为______， 的面积为______． 题型21一次函数、正比例函数定义辨析（共3小题） 79．（25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 80．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）当__________时，函数是一次函数． 81．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知是正比例函数，则的值是_____． 题型22求一次函数解析式（待定系数法）（共3小题） 82．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线关于轴的对称直线解析式是___________． 83．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 84．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为___________． 尾长（） 6 8 10 体长（） 题型23一次函数函数图象与性质（共7小题） 85．（25-26八年级下·全国·期末）函数的图象经过（ ） A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 86．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 87．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 88．（25-26八年级下·吉林长春·期中）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 89．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 90．（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 91．（25-26八年级下·吉林松原·期末）已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 题型24求与坐标轴交点、图象面积计算（共3小题） 92．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 93．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求的取值范围． 94．（25-26八年级下·全国·期末）如图，一次函数的图象L经过点，并与直线交于点，设直线G与x轴交于点C． (1)求直线L的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若第一象限上的点M在正比例函数的图象上，且点M在的内部（包括边界），设点M的横坐标为m，请直接写出m的取值范围． 题型25一次函数简单实际应用（共4小题） 95．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． (1)求、两种道具包的单价； (2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 96．（25-26八年级下·全国·期末）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 97．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）一天上午9时，小明去爬一座1000米高的大山，爬了30分钟后，感觉体力不支，于是休息了一会儿，然后减速爬到山顶，他距山脚出发地的路程（单位：米）与所用时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小明刚开始爬山时的速度为___________米/分钟，他在中途休息了___________分钟． (2)求小明减速后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)上午10时，小明距离山顶还有多少米？ 98．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 题型26一次函数与方程、不等式综合（共4小题） 99．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 100．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 101．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 102．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 题型27一次函数与几何图形综合（共3小题） 103．（25-26八年级下·全国·期末）平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)有一动点，淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)在（2）的条件下，设线段分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求a的值； ②若点P在的内部（不含边界），求a的取值范围． 104．（25-26八年级下·安徽铜陵·期末）如图，直线与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为，是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：当P运动到什么位置时，三角形的面积为，并说明理由． 105．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．动点M从点A出发，沿x轴以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时动点N从点B出发，沿y轴以3个单位长度/秒的速度向上运动，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)我们发现点P一直在一条直线上运动，请求出这条直线的解析式； (3)若点P在y轴上，点H是直线上的动点，请直接写出的最小值． 题型28 平均数、加权平均数计算（共4小题） 106．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 107．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 108．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 109．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 题型29 中位数、众数求解（共3小题） 110．（25-26八年级下·全国·期末）为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（     ） A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5 111．（25-26八年级下·全国·期末）某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 112．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 题型30 离差平方和与方差计算与意义（共4小题） 113．（25-26八年级下·全国·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 114．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 115．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知一组数据的平均数是5，方差是2．那么另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．5；2 B．5；5 C．8；2 D．8；5 116．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 题型31 数据的四分位数（新考向）（共5小题） 117．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 118．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 119．（25-26八年级下·浙江·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 120．（25-26八年级下·北京·期末）在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 121．（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 题型32 统计量结合图表分析（共3小题） 122．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 123．（25-26八年级下·全国·期末）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 124．（25-26八年级下·全国·期末）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 125．（25-26八年级下·全国·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 1．综合与实践 在现代地理测绘与土地规划工作中，无人机凭借其灵活便捷的特点，成为获取地形数据的重要工具．某数学兴趣小组利用无人机对一块不规则四边形空地进行研究，以解决这块空地的面积问题，方案如下： 准备 工作 1．知识储备：勾股定理及其逆定理，以及三角形面积计算方法． 2．器材准备：调试好无人机（配备高清摄像头），准备记录数据的纸笔或电子设备． 无人机 测绘 操控无人机对模拟的四边形空地进行低空拍摄，要求从不同角度获取清晰图像，重点清晰呈现边、、、的长度信息（假设在图像测量中得出米，米，，米，米） 方法 分析 1．验证直角三角形：根据测量数据，求证是直角三角形． 2．计算面积：计算四边形的面积．可将其分割为和，分别计算两个三角形面积后相加． 请根据表格中信息，计算四边形空地的面积． 2．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 4．墨迹“□”挡住了二次根式运算“计算：．”的一部分． (1)若“□”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算： 解：原式：…第一步 …第二步 ．．．第三步 ．．．第四步 =0．…第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______． (2)若“□”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 5．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期末真题百练通关（130题32大常考题型） 题型1 二次根式有意义的条件 题型17 三角形中位线定理计算与证明 题型2 最简二次根式判断 题型18 几何折叠问题 题型3 二次根式基本运算 题型19 函数的定义与自变量取值范围 题型4 利用二次根式非负性求值 题型20 函数图象分析 题型5 二次根式大小比较 题型21一次函数、正比例函数定义辨析 题型6 根式化简 + 代数式求值 题型22求一次函数解析式（待定系数法） 题型7 二次根式规律探究、阅读理解题 题型23一次函数函数图象与性质 题型8 利用勾股定理解三角形 题型24求与坐标轴交点、图象面积计算 题型9 勾股定理逆定理判定直角三角形 题型25一次函数简单实际应用 题型10 勾股数识别、简单几何边长计算 题型26一次函数与方程、不等式综合 题型11 勾股定理实际应用 题型27一次函数与几何图形综合 题型12 勾股定理 + 面积综合 题型28 平均数、加权平均数计算 题型13 最短路径问题 题型29 中位数、众数求解 题型14多边形内角和、外角和、边数计算 题型30 离差平方和与方差计算与意义 题型15 平行四边形性质与判定 题型31 数据的四分位数（新考向） 题型16 矩形、菱形、正方形性质与判定 题型32 统计量结合图表分析 题型1 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， 解得，． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 又∵ 2025是正数，不等号两边同除以正数，不等号方向不变， ∴可得． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴，且即， ∴且， 故选：D． 题型2 最简二次根式判断（共3小题） 4．（25-26八年级下·全国·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，该选项符合题意； 、的被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、是分数，不是二次根式，该选项不符合题意． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期末）若是最简二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， 对A选项，，被开方数含分母，不符合要求； 对B选项，，是能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，不符合要求； 对C选项，，被开方数含分母，不符合要求； 对D选项，，19是质数，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合要求． ∴选D． 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）已知最简二次根式与可以合并，则的值为（     ） A．26 B．11 C．8 D．5 【答案】B 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 题型3 二次根式基本运算（共3小题） 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】2 【详解】解： ． 8．（25-26八年级下·海南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：     ． 9．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4 利用二次根式非负性求值（共3小题） 10．（24-25八年级下·云南昆明·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 11．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：∵，，在数轴上的位置如图所示， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简___________． 【答案】1 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 题型5 二次根式大小比较（共3小题） 13．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 14．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 题型6 根式化简 + 代数式求值（共4小题） 16．（25-26八年级上·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 【详解】（1）解：                   （2）解：          17．（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 18．（25-26八年级上·广东梅州·期末）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以，所以，即，所以 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ∴ ． （3）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 19．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）阅读下面材料： ①计算：． ②化简：． 解：设，； ，； ，，且； ，； ； ． 完成下列问题： (1)计算： ； ； (2)解方程：； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：； ； （2）解：∵， 设，， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根． （3）解：∵①， 设②， ∴①②得，①②得， ∴③，④， ∴③④得， ③④得， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7 二次根式规律探究、阅读理解题（共4小题） 20．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律．第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…，按照上述规律，第4个等式：_____________； (2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为____________； (3)应用运算规律：计算：的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由前面规律得：； 故答案为：； （3）解： ． 21．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 22．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 23．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型8 利用勾股定理解三角形（共3小题） 24．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在中，，若，，则的值是（    ） A．10 B． C． D．4.8 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∴， 故选A． 25．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 26．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ___________________ ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 的面积， ， ， ， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ． 题型9 勾股定理逆定理判定直角三角形（共4小题） 27．（25-26八年级上·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A： ∵ ，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项B： ∵， 设 ，，， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 能判定为直角三角形，符合要求； 对选项C： ∵ ，三角形内角和为， 设 ， ，， ∴ ，解得， ∴ 最大角， ∴不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项D： ∵，三角形内角和为， ∴，是等边三角形， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求． 28．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）小明想做一个直角三角形的木架，下列四组木棒中，刚好能够做成满足要求的木架的是（    ） A．12，15，17 B．，3， C．7，12，15 D．3，4，5 【答案】D 【详解】解：A：∵，，， ∴不能构成直角三角形． B：∵，，， ∴不能构成直角三角形． C：∵，，， ∴不能构成直角三角形． D：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． 29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，则的度数为____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 30．（25-26八年级上·山西晋中·期末）如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型10 勾股数识别、简单几何边长计算（共4小题） 31．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 32．（25-26八年级上·福建漳州·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【详解】解：A、，，，不是勾股数， B、，，，是勾股数， C、，，，不是勾股数， D、，，，不是勾股数， 故选B． 33．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 34．（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ___________．（结果用含n的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，n为正整数， ∴为奇数， 设股是a，则弦为， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 题型11 勾股定理实际应用（共4小题） 35．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 36．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 37．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 38．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； （2）解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 题型12 勾股定理 + 面积综合（共4小题） 39．（25-26八年级上·河南郑州·期末）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（    ） A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14 【答案】B 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， ∴A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 40．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________． 【答案】 【详解】解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12， 结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：， 则正方形的面积为； 故答案为：． 41．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 【答案】12 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ∴． 42．（25-26八年级上·广东深圳·期末）【回顾教材】 在《第一章勾股定理》中，我们先是通过测量、数格子的方法初 步发现了勾股定理，后续又通过严谨的推理过程验证了这一定理．在研究勾股定理的过程中，我们观察到面积与线段之间存在着可相互转化的关系．具体而言，在某些特定条件下，可以通过构造适当的几何模型或运用代数方法，实现面积大小与线段长度的转换． 【基础应用】 （1）如图1，的三边分别为a，b，c，以三边向外作正方形，正方形的面积分别记为．若，则 ； 【延伸扩展】在课后拓展环节，老师留下思考题：你能提出什么新问题？ （2）小宝同学设计了如下问题：如图2，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，已知，面积分别为m，n，p，q． 若求的值． （3）小安同学设计了如下问题：如图3，将图1的图形放入长方形中，使点I，J、K，L，M，N都在长方形的边上，连接，若，，求c的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵为直角三角形， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴（舍负）， 故答案为：； （2）连接， ∵， ∴和是直角三角形， ∴由勾股定理得，且 ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴； （3）过点作于点，过点作于点， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（舍负）． 题型13 最短路径问题（共3小题） 43．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 44．（23-24八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积， ∴ ∴ ∴ （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为，得出 ∵圆柱的高为， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是厘米 45．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 题型14多边形内角和、外角和、边数计算（共3小题） 46．（25-26八年级下·全国·期末）一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的4倍，则这个多边形的边数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， ∵内角与相邻外角互补， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 47．（24-25八年级下·四川甘孜·期末）若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 48．（24-25八年级下·山西临汾·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示的地面是由等边三角形和正六边形镶嵌而成的，则图中正六边形的内角和为______°． 【答案】 【详解】解：由多边形内角和公式可得，图中正六边形的内角和为， 故答案为：． 题型15 平行四边形性质与判定 （共6小题） 49．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 50．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 51．（25-26八年级下·全国·期末）已知，如图在四边形中，，则添加一个_____________条件（只需填写一种）可以使得四边形为平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 添加， ∵四边形中，， ∴四边形为平行四边形． 52．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，，、分别平分和，若，则平行四边形的周长为________ ． 【答案】12 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 53．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 54．（25-26八年级下·全国·期末）如图，E、F是的对角线上两点，且，，连接、． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． ，， ，， 在和中，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形为平行四边形， ，． ， ， ， ． 题型16 矩形、菱形、正方形性质与判定（共7小题） 55．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵重叠的部分为菱形， ∴菱形的面积， ∵，， ∴． 56．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，与相交于点，于点．若，，则的长为____ ． 【答案】1 【详解】解：∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴． 57．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_________ ． 【答案】 【详解】 解：如图，连接、， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点， ∴． 58．（24-25八年级下·河南南阳·期末）在矩形中，，点E为的中点，取的中点F，连接、，当为直角三角形时，的长为_____． 【答案】1或 【详解】解：∵四边形是矩形，， ，， ∵E为的中点， ， ． ， 如图，当时，为直角三角形， ， 如图，当时，为直角三角形， ∵F为的中点， ， ，， ， ， ； 当，此种情况不存在． 综上所述，的长为1或． 59．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，正方形，点是射线上一点，连接，过作，交于，若，且点，，中一点为其余两点的中点，则的长为_________． 【答案】或 【详解】解：如图1，当为的中点时，过点作，交于，交于， 四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ∴； 如图2，在射线上，为的中点，过点作，交直线于，交直线于， 同理可得：，， ， 为的中点， ， ， ， ∴． 综上，的长是或． 60．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∵AC平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形ABCD是平行四边形； ， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 61．（25-26八年级下·北京·期末）在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 【答案】(1)证明：如图1，过点M作于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点M作于点V，交于点T， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型17 三角形中位线定理计算与证明（共3小题） 62．（25-26八年级下·全国·期末）如图，A，B两点被池塘隔开，过点A，B分别作直线，相交于点C，点D，E分别是线段，的中点，现测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点D，E分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 63．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形中，已知，点E是的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ，． ． ∵点E是的中点，点Ｏ是的中点， ∴是的中位线， ． 64．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．求证： (1)四边形是平行四边形； (2)． 【答案】(1)证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ． ，E分别是，的中点， ． ∴， ， ， ． 题型18 几何折叠问题（共6小题） 65．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 66．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）正方形纸片的边长为，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ∴， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图矩形，，，为的中点，将沿着折叠，得，延长与相交于点，则的形状为______三角形，的长为_____． 【答案】 等腰 【详解】解：四边形是矩形 ， ， ， 由折叠的性质可知：，，， ， ， ， 是等腰三角形 ， 为的中点， ， ， ， 设， 则 ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得： ， 即 ， 解得 ， ． 68．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，则________．延长交的延长线于点H，则________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， 在中，， ∵将沿着翻折，得到， ∴，，，， ∴， 如图，过点作于点F，过点C作于点G， 则， ∴ ， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴ , ∴， 在中，， ∴， 故答案为：，． 69．（24-25八年级下·广东珠海·期末）如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，由对折矩形可知： ， ， 由第二次折叠可知：， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ∵矩形， ∴，，， ∵沿着对折， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，设， ， ， 解得（舍去负值）， 即，故． 70．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，将纸片压平并展开，得到折痕，设的对应边交于点，连接交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的周长． 【详解】（1）解：由折叠得，， ， ， 即， 正方形中，， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， 正方形中，， ， 在和中， ， ， ， ，且， ． 题型19 函数的定义与自变量取值范围（共4小题） 71．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，当确定一个数值时，可以有个值与对应，不能表示是的函数，故A选项符合题意； B选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故B选项不符合题意； C选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故C选项不符合题意； D选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故D选项不符合题意． 故选A． 72．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 73．（25-26八年级下·全国·期末）腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，与水混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量是（     ） A．食盐水的浓度 B．水 C．食盐水 D．食盐量 【答案】D 【详解】解：∵水的质量固定不变，食盐量自主增加，食盐水量、食盐水浓度跟着随之升高， ∴食盐量是自变量，食盐水浓度是因变量． 74．（23-24八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 题型20 函数图象分析（共4小题） 75．（25-26八年级下·河北承德·期末）在百米赛跑中，甲、乙两人与起点的距离和赛跑时间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．甲先到达终点 B．甲、乙两人的速度相同 C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多 【答案】A 【详解】解：观察图象得，甲、乙同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，甲乙两人跑的路程一样多． 76．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：根据函数图象提供的信息逐项分析判断如下： 起跑后1小时内，乙已经超过甲，故①错误； 在1小时的时候乙跑了10千米，甲不到10千米，故②错误； 在2小时处乙跑在甲前面，从函数图象可知，短时间内甲不可能超过乙，由此可估计乙比甲先到达终点，故③正确； 甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，可知两人都跑了21.0975公里，故④正确； 综上所述：正确的有③④． 77．（25-26八年级下·全国·期末）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 【答案】B 【详解】解：连接，且相交于点O， 根据题意，结合图2可知，; ∵四边形是菱形， ， ， ， ． 78．（25-26八年级下·湖北·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的长为______， 的面积为______． 【答案】 6 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点P从点A到点B时，对应图2中线段，得， 当点P从B到D时，对应图2中曲线，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 当点运动到的中点处时，． 题型21一次函数、正比例函数定义辨析（共3小题） 79．（25-26八年级上·四川达州·期末）下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①化简得，是一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 80．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）当__________时，函数是一次函数． 【答案】 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为：． 81．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知是正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得 ， ∴， 故答案为：． 题型22求一次函数解析式（待定系数法）（共3小题） 82．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线关于轴的对称直线解析式是___________． 【答案】 【详解】解：在直线上取两点和，则关于y轴对称后得到点和 ． 设对称直线的解析式为， 代入点得， 解得， 故对称直线解析式为． 故答案为：． 83．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 84．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为___________． 尾长（） 6 8 10 体长（） 【答案】 【详解】解：设函数关系式为， 将和代入得， ， 解得， ∴与之间的关系式为． 题型23一次函数函数图象与性质（共7小题） 85．（25-26八年级下·全国·期末）函数的图象经过（ ） A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【详解】解：在一次函数中， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴一次函数与轴负半轴有交点， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 86．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 87．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 【答案】 【详解】解：一次函数， 当时，直线呈下降趋势，无论取何值，图象一定经过第二象限，不符合题意， ∴； 当时，直线呈上升趋势， 若，一次函数图象与轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限，不符合题意； 若，一次函数图象过原点，只经过第一、三象限，不经过第二象限，符合题意； 若，一次函数图象与轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 综上所述，，． 88．（25-26八年级下·吉林长春·期中）若一次函数的图象向上平移2个单位长度后经过点，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后的解析式为： ， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得：． 89．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 90．（25-26八年级上·江苏南京·期末）将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 91．（25-26八年级下·吉林松原·期末）已知一次函数． (1)若随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 题型24求与坐标轴交点、图象面积计算（共3小题） 92．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：在上， 将点坐标代入可得，， 解得， 点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴， 已知一次函数的解析式为， 当，可得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 故． （3）解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，， 可得， 解得或， 若，点与点重合，舍去， 此时点的坐标为； 当时，， ， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，， 可得， 解得， 此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或． 93．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求，的值； (2)若一次函数的图象与轴的交点为，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入， 得， 解得； （2）解：由（）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图象与坐标轴围成的面积为； （3）解：由（）知，一次函数表达式为：， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴的取值范围为． 94．（25-26八年级下·全国·期末）如图，一次函数的图象L经过点，并与直线交于点，设直线G与x轴交于点C． (1)求直线L的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若第一象限上的点M在正比例函数的图象上，且点M在的内部（包括边界），设点M的横坐标为m，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)21 (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象L经过点，， ∴， 解得， ∴直线L的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得， ∴， 画出直线如图所示，连接， 的面积； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∵第一象限上的点M在正比例函数的图象上，且点M在的内部（包括边界）， ∴． 题型25一次函数简单实际应用（共4小题） 95．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍． (1)求、两种道具包的单价； (2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答） 【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元； (2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． ∴． 答：道具包的单价为元，道具包的单价为元； （2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个， 得：， ∵， ∴随的增大而减小， 由题意得：， 解得：， ∴当时，最小，， ∴． 答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元． 96．（25-26八年级下·全国·期末）某商店销售5台A型和10台B型电脑的利润为3500元，销售10台A型和10台B型电脑的利润为4500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共80台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元．求该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)每台A型电脑的销售利润是200元，每台B型电脑的销售利润是250元； (2)商店购进27台A型电脑和53台B型电脑，才能使销售总利润最大 【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润是t元，每台B型电脑的销售利润是n元， 根据题意得，， 解得， 答：每台A型电脑的销售利润是200元，每台B型电脑的销售利润是250元； （2）解：设购进A型电脑x台，这80台电脑的销售总利润为y元， 据题意得，，即， 解得， ， 随x的增大而减小， 为正整数， ∴当时，y取最大值，则， 答：商店购进27台A型电脑和53台B型电脑，才能使销售总利润最大． 97．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）一天上午9时，小明去爬一座1000米高的大山，爬了30分钟后，感觉体力不支，于是休息了一会儿，然后减速爬到山顶，他距山脚出发地的路程（单位：米）与所用时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小明刚开始爬山时的速度为___________米/分钟，他在中途休息了___________分钟． (2)求小明减速后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)上午10时，小明距离山顶还有多少米？ 【答案】(1)20，10 (2) (3)小明距离山顶还有 【详解】（1）解：由图象得小明刚开始爬山时的速度为（米/分钟）， 他在中途休息了（分钟）； （2）解：由图象，减速后是的一次函数，设与之间的函数关系式为， 由图象可知：当时，；当时， ，解得， 与之间的函数关系式为； （3）解：由题意，上午10时，， 在中，当时，， ． 答：小明距离山顶还有． 98．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：甲充电站的充电费用； 当时，， 当时，； (2)当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 当时，， 当时， ， 当，即时，，即当充电度数度时，选择甲充电站更划算； 当，即时，，即当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可； 当，即时，，当充电度数度时，选择乙充电站更划算； 综上可知，当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 题型26一次函数与方程、不等式综合（共4小题） 99．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵直线和交于点， ∴关于，的方程组的解就是两直线的交点坐标，即． 100．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 101．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 即直线的解析式为； （2）解：∵一次函数与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， 即点的坐标为． 102．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 题型27一次函数与几何图形综合（共3小题） 103．（25-26八年级下·全国·期末）平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)有一动点，淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)在（2）的条件下，设线段分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求a的值； ②若点P在的内部（不含边界），求a的取值范围． 【详解】（1）解：设的解析式为：， ∵线段的端点为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为； (2)解：淇淇的说法是正确的， 理由：设动点所在直线解析式为：， 将代入，可得， 当时，符合条件， 即动点所在直线解析式为； （3）解：如图当动点在和的交点上时， 取得最小值， 联立，解得， 即，此时； ②由（2）得出点P在直线上， 当时，； 当时，； ∴直线与坐标轴的两个交点为，， ∵点P在的内部 ∴点P在线段上（不含端点）， ∴． 104．（25-26八年级下·安徽铜陵·期末）如图，直线与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为，是直线上的一个动点． (1)求k的值； (2)若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：当P运动到什么位置时，三角形的面积为，并说明理由． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得； （2）解：由（1）得直线的解析式为， 点是第二象限内的直线上的一个动点，． 点A的坐标为， ， ． 三角形的面积S与x的函数关系式为：； (3)解：当点P的坐标为或时，三角形的面积为，理由如下， ，解得， ． 当时，，解得，故； 当时，，解得，故； 综上可知，当点P的坐标为或时，三角形的面积为． 105．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．动点M从点A出发，沿x轴以2个单位长度/秒的速度向左运动，同时动点N从点B出发，沿y轴以3个单位长度/秒的速度向上运动，过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，两条垂线相交于点P． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)我们发现点P一直在一条直线上运动，请求出这条直线的解析式； (3)若点P在y轴上，点H是直线上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴． （2）解：设运动时间为t秒， 则M点坐标为，N点坐标为， ∴P点坐标为． 令， 由得：，代入得： ． 故点P运动的直线解析式为． （3）解：当点P在y轴上时，，代入，得， ∴． 作点O关于直线的对称点，连接， ∵． ， ∴是等腰直角三角形， ∴点O关于的对称点， 则的最小值为的长度（即当点H运动到与点P、在同一条直线上时）， ， ∴的最小值为． 题型28 平均数、加权平均数计算（共4小题） 106．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为， 故选：B． 107．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 108．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【答案】 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 109．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中________将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【答案】乙 【详解】解：甲的加权平均成绩： （分） 乙的加权平均成绩： （分） 由于， 故乙将被录用． 故答案为：乙． 题型29 中位数、众数求解（共3小题） 110．（25-26八年级下·全国·期末）为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（     ） A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5 【答案】A 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，． ∵数据中出现次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵这组数据共个，个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数，即第个和第个数的平均数， ∴中位数为． 因此这组数据的众数和中位数分别为和． 111．（25-26八年级下·全国·期末）某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 112．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 【答案】 【详解】解：数据的众数是，则的值为， 将数据从小到大排列为：， 中间的数是，因此中位数是． 故答案为：． 题型30 离差平方和与方差计算与意义（共4小题） 113．（25-26八年级下·全国·期末）学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 114．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 【答案】B 【详解】解：由题意可知，哪吒与敖丙的平均成绩最高，均为54m，而哪吒的方差小于敖丙的方差，说明哪吒的成绩较稳定，由此可知哪吒的成绩又好（扔得越远越好）又稳定． 115．（25-26八年级上·山西运城·期末）已知一组数据的平均数是5，方差是2．那么另一组数据的平均数和方差分别是（   ） A．5；2 B．5；5 C．8；2 D．8；5 【答案】C 【详解】解：∵原数据的平均数是5， ∴， 则新数据的平均数为： ， ∵原数据的方差是2 ∴， 新数据的方差为： ∴新数据的平均数是8，方差是2， 故选C． 116．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 题型31 数据的四分位数（新考向）（共5小题） 117．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 118．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 119．（25-26八年级下·浙江·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 120．（25-26八年级下·北京·期末）在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【答案】(1)该地区今年5月有严重污染天气 (2)该地区5月的AQI值比较集中 【详解】（1）解： 该地区今年5月空气质量指数（）箱线图外部有点， 即有一个异常值超过200， 该地区今年5月有严重污染天气； （2）解：该地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）最小值相同，第一四分位数相同，中位数相同，但5月最大值和第三四分位数小于6月的最大值和第三四分位数， 该地区5月的AQI值比较集中． 121．（25-26八年级下·全国·期末）甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【详解】（1）解：把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，故第二四分位数（中位数）：，第一四分位数：70，第三四分位数：96； (2)如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中．（答案不唯一） 题型32 统计量结合图表分析（共3小题） 122．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 【详解】（1）解：七年级得分中，出现次数最多（3次）， ∴； 八年级10人从小到大排序，D组1人、C组3人，B组4人， ∴第5、6个数据都在B组， B组排序为， ∴中位数． 八年级共抽取10人，B组有4人，占比， ∴； 答案：，， (2)八年级表现更好，理由：两个年级测试得分的平均数相同，八年级的方差更小，说明八年级成绩更稳定，因此表现更好（或：平均数相同，八年级中位数更大，整体成绩水平更高，合理即可） （3）解：七年级抽取的10人中，A组（）有3人， ∴七年级A组总人数约为人； 八年级A组占比， ∴八年级A组总人数约为人； ∴两个年级A组总人数为人． 123．（25-26八年级下·全国·期末）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，_______，_______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有600名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵93出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如图； （2）解：（分）， 答：八年级所抽取学生的平均成绩为87分； （3）解：八年级随机抽取的12名学生中90分以上的有6人，（人）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为300人； (4)八年级的学生成绩更好，理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级，从箱线图看，八年级中间的学生成绩高于90分，所以八年级的学生成绩更好 124．（25-26八年级下·全国·期末）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【详解】（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数． （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 解得； (3)高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下：初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部，故高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 125．（25-26八年级下·全国·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数和； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，和40，； （2）绘制箱线图如图所示： 解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； (3)社区应该挑选阅览室，理由：因为阅览室的中位数大于阅览室，由方差和箱线图可以看出，阅览室过去10周周末上午的预约人数波动更小，所以社区应该挑选阅览室A． 1．综合与实践 在现代地理测绘与土地规划工作中，无人机凭借其灵活便捷的特点，成为获取地形数据的重要工具．某数学兴趣小组利用无人机对一块不规则四边形空地进行研究，以解决这块空地的面积问题，方案如下： 准备 工作 1．知识储备：勾股定理及其逆定理，以及三角形面积计算方法． 2．器材准备：调试好无人机（配备高清摄像头），准备记录数据的纸笔或电子设备． 无人机 测绘 操控无人机对模拟的四边形空地进行低空拍摄，要求从不同角度获取清晰图像，重点清晰呈现边、、、的长度信息（假设在图像测量中得出米，米，，米，米） 方法 分析 1．验证直角三角形：根据测量数据，求证是直角三角形． 2．计算面积：计算四边形的面积．可将其分割为和，分别计算两个三角形面积后相加． 请根据表格中信息，计算四边形空地的面积． 【答案】四边形的面积为 【详解】解：连接， ， 在中，由勾股定理得： ， （米）， 在中，，，， ， ， ， 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ， ， ． 2．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 【详解】（1）解：将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 填表如下： 四分位数 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现． 3．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 4．墨迹“□”挡住了二次根式运算“计算：．”的一部分． (1)若“□”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算： 解：原式：…第一步 …第二步 ．．．第三步 ．．．第四步 =0．…第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______． (2)若“□”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 【详解】（1）解：小艺从第二步开始出错， 解：原式 ． 正确的结果为： （2）解： ． 5．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值． (2)在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？ 【详解】（1）解：根据题意，得方程组： ， 解得； ∴． （2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克， 投入资金为：， ∵投入资金不少于1160元又不多于1168元， ∴，即， 解得， x为正整数，即， 购买方案： 方案1：甲58千克，乙42千克； 方案2：甲59千克，乙41千克； 方案3：甲60千克，乙40千克； 设利润y元， 则利润， ∵，即y随x增大而增大， 当时，利润y最大为． 答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $