精品解析：广东省东莞市南城区御花苑外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学一模试卷

2026年广东省初中毕业生学业模拟考试（一） 数学 说明：1．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁． 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 近几年来，我国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．根据国家统计局2026年2月28日发布的《2025年国民经济和社会发展统计公报》，我国2025年工业机器人全年累计产量约套，这个数据如果不用科学记数法表示应该是（ ） A. 7730 B. 77300 C. 773000 D. 7730000 2. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 115° D. 120° 5. 在六张卡片上分别写有6，，，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 某年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 7. 如图，在 中， ，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在 中，，，，则 的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 9. 如图 是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图 是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A. 水温在启动加热到的过程中， 与 的函数关系式是 B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边 上的动点（不与B、C重合），反比例函数的图象经过点M且与边 交于点N．下面结论中，所有正确结论的有（ ） ①与的面积一定相等； ②若点M是边 的中点，则点N一定为 的中点； ③在点M的运动过程中，存在点M使得； ④的形状不可能为等边三角形． ⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 计算____． 12. 因式分解：________． 13. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 、四边形、四边形均为正方形．若，，则______． 14. 如图，正五边形内接于 ，P为 上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______． 15. 如图，四边形 是边长为5的正方形，点P为线段 的上一点，，点E是直线 上的动点，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 ，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____． 三、解答题（一）（16题6分，17题7分，18题8分，共21分） 16. 下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程，并从 ，0，1，2中选择合适的数代入求值． 17. 如图，在 中， 为 的中点， 为延长线上一点，连接 ， ，过点 作交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 18. 为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84 （1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； （2）请你计算小颖的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 四、解答题（二）（3小题，每题9分，共27分） 19. 足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁．图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，延长 交射线PA于点C，若，，请补全图形，并求 的长． 20. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少件使该服装店获利最大（直接写出结果）． 21. 项目式学习 日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1，圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． 【数据探究】 （1）图3是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角 为______． （2）图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺 ，表为垂直立竿 ．已知 为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） 【解决问题】 （3）该小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶 射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部 ；春分正午时，阳光从该楼顶 射入，恰好照射到树的根部 ．已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离 为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计，参考数据：，，，，） 五、解答题（三）（2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题情境】折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片 中，在 边上取一点P沿翻折，使点A落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点D落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在 边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【问题解决】 （1）如图1，的度数为______； （2）如图1，若，，求 的最大值； （3）平行四边形 纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形 ，若，，请求出 的长； 【问题拓展】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，请直接写出该矩形纸片较短边的长度______． 23. 【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”． 例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”． （1）【初步应用】：在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有_____（填序号）； （2）【深入探究】：如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，若与 的“楚河汉界线”有且只有一条，此时 的半径为_____，请求出此“楚河汉界线”的表达式； （3）【拓展延伸】：正方形的边 在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”． ①若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求t的值； ②若存在“楚河汉界线”，请求出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省初中毕业生学业模拟考试（一） 数学 说明：1．全卷满分120分．考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁． 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 近几年来，我国已成为全球机器人产业发展的中坚力量．根据国家统计局2026年2月28日发布的《2025年国民经济和社会发展统计公报》，我国2025年工业机器人全年累计产量约套，这个数据如果不用科学记数法表示应该是（ ） A. 7730 B. 77300 C. 773000 D. 7730000 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法的定义，将（，n为正整数）还原时，只需把a的小数点向右移动n位即可得到原数 【详解】解：∵ ∴ 2. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义解答即可得． 【详解】解：正六棱柱的主视图是， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A.根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； B.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； C.先判断，是不是同类项，能否合并，然后判断即可； D.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可． 本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则、同底数幂乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则． 【详解】解：， 此选项的计算正确，故此选项符合题意； B.， 此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C.，不是同类项，不能合并， 此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D.， 此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选： ． 4. 将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 115° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：由题意，得， ， ， ， ， ． 5. 在六张卡片上分别写有6，，，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义以及根据概率公式求概率，先确定无理数的个数，再根据概率=所求情况数于总情况数之比．解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数． 【详解】解：和是无理数，共2个， ∴卡片上的数为无理数的概率， 故选：C． 6. 某年3月22日东莞市篮球联赛“镇BA”正式开赛，并与“粤BA”联动，覆盖全部33个镇街（园区），在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该小组参加比赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 【答案】C 【解析】 【分析】本题是一元二次方程的实际应用问题，根据双循环赛制的场次关系设未知数列方程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设该小组参加比赛的球队有支； ∵ 双循环赛制中每两支球队之间进行 场比赛， ∴总比赛场次为， 已知小组赛共比赛场， ∴ 列方程得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，； ∵ 球队数量为正整数， ∴ 舍去负根，得，即该小组参加比赛的球队有 支． 7. 如图，在 中， ，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，由作图可知， 平分 ，，根据角平分线的性质，直角三角形的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： A、由作图可知， ，不一定垂直平分， 不一定等于，故选项符合题意； B、由作图可知，，故选项不符合题意； C、∵ 平分 ，，， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在 中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 9. 如图 是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图 是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A. 水温在启动加热到的过程中， 与的函数关系式是 B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【解析】 【分析】确定水温在启动加热到的过程中， 与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的 的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中， 与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中， 与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边 上的动点（不与B、C重合），反比例函数的图象经过点M且与边 交于点N．下面结论中，所有正确结论的有（ ） ①与的面积一定相等； ②若点M是边 的中点，则点N一定为 的中点； ③在点M的运动过程中，存在点M使得； ④的形状不可能为等边三角形． ⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】在矩形中，，则，； 由反比例函数得：，，逐个分析结论： 结论①： ，且， ∴ ，​， 故，①正确； 结论②： 若是中点，则的横坐标为，即，得，此时的纵坐标为​，长为，纵坐标对应中点，故②正确； 结论③： ，不与重合，故，不存在，③错误； 结论④： 若为等边三角形，需满足， 其中 ，， 令， 解得， 此时， 即与重合，不符合题意，因此不存在等边三角形，④正确； 结论⑤： ， 若，需满足， 代入得，即，等式不成立， 仅当（此时与重合，不符合题意）才相似，故⑤错误 综上，正确结论为①②④，共个． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 计算____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 13. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形 、四边形、四边形均为正方形．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的面积求出边长，，根据正方形的边长求出，在中利用勾股定理求出，进而得到正方形的边长． 【详解】解：∵为正方形， ， ∴， ∵为正方形，， ∴，， ∴中，， ∵为正方形， ∴． 14. 如图，正五边形内接于 ，P为 上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】如图，连接，，由正五边形的性质求出，然后分两种情况讨论，分别根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于 ， ∴ ∵P为 上的一点（点P不与点C、D重合）， 如图，当点P在优弧上时， ∴； 如图，当点P在劣弧上时， ∴ ∴； 综上所述，的度数为 或． 15. 如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段 的上一点，，点E是直线上的动点，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 ，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，利用一线三垂直证得，得到，从而得到，找出点是在的角平分线上运动，利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点 ， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ 绕点E顺时针旋转 ，点A的对应点为点F， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接 ， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点在的角平分线上运动， 作的角平分线，过点作交于点，交于点 ， 当点与点重合时，取得最小值， ∵是的角平分线， ∴ 在中，, ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 解得， ∴， 即的最小值为． 三、解答题（一）（16题6分，17题7分，18题8分，共21分） 16. 下面是小莹同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小莹同学的化简过程从第_______步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程，并从 ，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】（1）二 （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小莹同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴， 当时，原式． 17. 如图，在 中，为的中点，为延长线上一点，连接， ，过点作交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：； （2）已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2） 选择条件①，四边形为矩形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形， 证明：∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84 （1）在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； （2）请你计算小颖的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）小颖的总评成绩是82分 （3）小颖能入选，小聪不能， 理由如下： 从这20名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有10名同学总评成绩低于80分，因为小聪总评成绩78分，小颖总评成绩82分，又所以小颖能入选，小聪不能． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、（加权）平均数，解题的关键是熟悉相关概念． （1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，再计算平均数； （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可； （3）小聪、小颖的总评成绩分别是78分，82分，学校要选拔10名小记者，小颖的成绩在前10名，因此小颖一定能入选；小聪的成绩不在前10名，因此小聪不能入选． 【小问1详解】 解：七位评委给小颖打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74， 所以这组数据的中位数是69分，众数是69分， 平均数是：（分）； 故答案为：69，69，70； 【小问2详解】 解：（分）， 答：小颖的总评成绩是82分． 【小问3详解】 略 四、解答题（二）（3小题，每题9分，共27分） 19. 足球是跨越国界与文化的通用语言，用激情与拼搏连接人心，成为全世界情感交流的桥梁．图①是某次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，A，B为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，延长 交射线PA于点C，若，，请补全图形，并求的长． 【答案】（1）解：点O如图所示： （2）5 【解析】 【分析】（1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，如图所示， ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， 解得， ∴． 20. 某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y元． 运动服款式 甲款 乙款 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，则购进甲款运动服多少件使该服装店获利最大（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）200套，15000元 （3）240套 【解析】 【分析】（1）根据利润=每件利润件数，可分别求出甲款运动服利润和乙款运动服的利润，最后二者相加即可求出 ，将其进行化简即可求出 与关系式． （2）根据题意首先表示出购进甲款运动服的费用为元，购进乙款运动服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲款运动服的数量，然后利用一次函数的图像性质进一步求出最大利润即可． （3）根据题意列出，化简，然后再利用的取值范围即可求出最大值． 【小问1详解】 解：根据题意得； 即． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得，，解得， 至少要购进甲款运动服200套． 又，， y随x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元． 故答案为：200套；15000元． 【小问3详解】 解：由题意得，，其中， 化简得，， ，则：，y随x的增大而增大， 当时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大． 故答案为：240套． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意长出正确的等量关系式解题的关键． 21. 项目式学习 日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1，圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“东莞地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． 【数据探究】 （1）图3是该小组制作的东莞日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知东莞位于北纬，则晷面与地平面的夹角 为______． （2）图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺 ，表为垂直立竿 ．已知 为米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为米，冬至正午时表的影长为米，请结合参考数据，分别估算东莞夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） 【解决问题】 （3）该小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的教学楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部 ．已知春分日光线与该小组制作的晷面平行，若大楼与树干距离 为米，请结合上述数据探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计，参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2）夏至时测量时光线与地平面夹角为；冬至时测量时光线与地平面夹角为 （3）树的高度为14米 【解析】 【分析】（1）根据晷面与地平面的夹角 为当地纬度，计算即可得出结果； （2）分别求出，的值，结合题意分析即可得出结果； （3）过作于 ，由（1）可知春分光线与地平面夹角为，分别解直角三角形得出米，米，最后结合矩形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：晷面与地平面的夹角 为； 【小问2详解】 解：据题意可知：在中，， 故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角， 在中，， 故冬至时测量时光线与地平面夹角 ； 【小问3详解】 解：过作于 ，如图所示： 由（1）可知春分光线与地平面夹角为， 在中，，且米， ， 故（米） 由（2）可知冬至光线与地平面夹角为， ， 米， 由条件可知，四边形为矩形， ， ∴（米） 故树的高度为14米． 五、解答题（三）（2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【问题情境】折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在 边上取一点P沿翻折，使点A落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点D落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【问题解决】 （1）如图1，的度数为______； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）平行四边形 纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形 ，若，，请求出 的长； 【问题拓展】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，请直接写出该矩形纸片较短边的长度______． 【答案】（1） （2） （3）15 （4）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据，即得； （2）设，，则，证明，，得，得，得，根据二次函数的性质，即得的最大值为； （3）设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4，由矩形性质和勾股定理，得 ,证明，得，由， ，即得； （4）分 和为矩形的边和角，和为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形的较短边． 【小问1详解】 解：（1）如图1， 由题意得：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1， 设，，则， 由（1）知， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当时， 有最大值为， 的最大值为； 【小问3详解】 解：设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4， ∵矩形 中，， ∴, ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵ 中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：作出原矩形，连接 ，如图5①， ，，， ， ， 四边形为矩形， ，． 设，则，设，则． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 矩形纸片较短边的长度为； 当为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， 设，则，设， 四边形为矩形， ，，， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， 矩形纸片较短边的长度为； 综上所述，矩形纸片较短边的长度为或． 23. 【概念定义】中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”． 例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”． （1）【初步应用】：在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有_____（填序号）； （2）【深入探究】：如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，若与 的“楚河汉界线”有且只有一条，此时 的半径为_____，请求出此“楚河汉界线”的表达式； （3）【拓展延伸】：正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”． ①若，“楚河汉界线”有且只有一条时，求t的值； ②若存在“楚河汉界线”，请求出t的取值范围． 【答案】（1）①④ （2）2，“楚河汉界线”的解析式为 （3）①②的取值范围为或者 【解析】 【分析】（1）将几个函数图像在平面直角坐标系中画出来，根据“楚河汉界线”的定义找出正确答案； （2）根据条件可知“楚河汉界线”是 的切线，且点为切点，利用切点的性质求出 的切线，再根据双垂直得到，利用相似求得点的坐标，根据待定系数法求出“楚河汉界线”的解析式； （3）根据“楚河汉界线”的定义，分成抛物线在“楚河汉界线”上方和抛物线在“楚河汉界线”下方两种可能，找出的取值范围，取的特殊值，从而解出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据“楚河汉界线”的定义知，“楚河汉界线”在图像的下方，在图像的上方， ∴在平面直角坐标系中将①，②，③，④画出来，如下图所示： 由图像可知，满足条件； 【小问2详解】 解：∵与 的“楚河汉界线”有且只有一条， ∴“楚河汉界线”是与 相切且切点为点的直线， ∴为 的半径， 如图所示，连接，过点作轴交轴于点， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在中，， ∴ 的半径为 ； 过点作 的切线交轴于点，交 轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴点的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点分别代入， 得，解得， ∴“楚河汉界线”的解析式为； 【小问3详解】 解：∵正方形的边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心， ∴正方形的边长为2， ∴点； 二次函数开口向下， 顶点横坐标为，将代入，解得， ∴顶点坐标为， 将代入中，解得， 将代入中，解得， ∴二次函数的两个端点坐标为； ①当时，正方形在函数的下方，如下图所示： ∵“楚河汉界线”有且只有一条， ∴“楚河汉界线”经过点，点， 将代入中，得，解得， ∴“楚河汉界线”的解析式为， 将代入，得，解得； ②当正方形在“楚河汉界线”的上方，函数在“楚河汉界线”的下方， 则点在“楚河汉界线”的上方， 即，解得， 二次函数在“楚河汉界线”的下方， 联立，解得， 此时，两条线有一个交点或者无交点， ∴，解得；， 随的变化而变化，取“楚河汉界线”临界值，即， ∴， ∴； 当正方形在“楚河汉界线”的下方，函数在“楚河汉界线”的上方， 则点在“楚河汉界线”的下方， 即，解得， 二次函数在“楚河汉界线”的上方， 即，解得， 随的变化而变化，取“楚河汉界线”临界值，即， ∴， ∴； 综上所述，的取值范围为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $