（温故知新）第二讲 平面几何图形周长与面积的计算与应用【思维导图+知识梳理+九大题型闯关+实战演练 共47题】-2026年小升初数学衔接高效培优讲义（苏教版）

该小学数学讲义聚焦平面几何图形周长与面积计算，目标是让学生熟练运用公式及转化思想解决问题，衔接初中严谨推理要求。通过思维导图梳理知识网络，九大题型闯关（含拼接拆分、等底等高模型等）和47题实战演练，系统覆盖小升初核心考点。 亮点在于转化策略与分层训练结合，如用平移割补法将不规则图形转化为规则图形，通过“典例精讲+变式训练”培养几何直观和推理意识。例如长方形折叠求阴影周长题，引导学生画图分析重叠边，提升空间观念，助力教师精准把握学生薄弱点，高效提升复习效果。

2026年苏教版数学小升初数学衔接精编高效培优讲义（温故知新） 第二讲 平面几何图形周长与面积的计算与应用 『重点难点专项复习讲练（温故知新）』 思维导图+知识梳理+九大题型闯关+实战演练 共47题 小学学习要求 初中衔接要求 掌握各类平面图形周长与面积公式，能运用平移、割补等转化思想解决组合图形问题，建立空间观念。 从直观感知进阶至严谨推理，培养规范表述论证过程的能力，实现几何核心素养的平稳过渡。 知识目标引导 熟练运用公式及转化策略解决实际问题，建构结构化知识网络，发展几何直观与推理能力，为初中学习奠定坚实基础。 知识点一 长方形与正方形 考察点： 图形的拼接与拆分：如两个相同长方形拼成大长方形或正方形时，周长与面积的变化规律。 逆向推导与形变：已知周长求长/宽，或已知面积求边长；长方形框架拉成平行四边形后周长不变但面积变小的问题。 解题技巧： 画图辅助与灵活变形：遇到拼接或靠墙围篱笆问题，先画图理清重合边或省略边，避免重复计算或漏算；利用“长=周长÷2-宽”等逆运算公式解题。 知识点二 三角形 考察点： 等底等高模型：理解等底等高的三角形面积相等，在平行线间进行面积的等量代换。 逆向计算：已知面积和底（或高），求高（或底），公式为：高=面积×2÷底。 解题技巧： 倍乘转化与等积代换：求三角形底或高时，切记先将面积乘2，再除以已知边长；在平行线间的三角形，利用“同底等高”或“等底等高”原理，将不规则阴影面积转化为规则三角形面积。 知识点三 平行四边形 考察点： 形变问题：长方形框架拉成平行四边形后，周长不变，但高变小，导致面积变小。 找准对应关系：计算面积时，高必须是所选底边上的垂直距离，切忌将斜边当作高。 解题技巧： 割补转化：通过沿高剪开、平移，将平行四边形转化为长方形来理解面积公式；计算面积时务必找准对应的底和高。 知识点四 梯形 考察点： 实际应用：如求水渠横截面、钢管堆叠总数（利用梯形面积公式求和）。 整体代入：若题目未给出上底、下底的具体数值，但给出了它们的和，可直接将“和”代入公式计算。 解题技巧： 拼组思想：用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导并理解面积公式；遇到已知上下底之和的题目，直接整体代入公式，避免繁琐的单独求解。 知识点五 圆 考察点： 半圆问题：半圆面积是圆面积的一半，但半圆周长=圆周长的一半+直径（极易错点）。 圆环与扇形：圆环面积=π(R²-r²)，扇形面积与圆心角的关系。 解题技巧： 寻根溯源与巧用π值：求圆的面积必须先求出半径；已知周长求面积，需先通过周长除以2π求出半径；熟记3.14与1-9的乘积，以及常用平方数（如11²到20²），提高计算速度与准确率。 知识点六 组合与不规则图形（综合技巧） 考察点：由多个基本图形拼凑、重叠而成的阴影部分周长与面积。 解题技巧： 平移法：将不规则图形的凹凸线段平移，转化为标准长方形求周长。 割补法与容斥原理：通过“分割相加”、“添补相减”或“大面积减小面积”，将复杂阴影转化为规则图形；利用辅助线将未知图形拆解为规则图形。 题型一 长方形与正方形的周长与面积的计算 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）把一个长8厘米、宽4厘米的长方形，如图所示折一折，得到下面图形，则阴影部分四个三角形的周长之和是（    ）厘米。 A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【思路引导】折叠部分在折叠前后完全相同，即对应边长相同，如图： AE＝A'E，AD＝A'D'，D'F＝DF，阴影部分的四个三角形的周长和为： A'I＋A'E＋EI＋BI＋BH＋HI＋HD'＋HG＋D'G＋GC＋CF＋GF ＝（A'I＋HI＋HD'）＋（AE＋EI＋BI）＋（BH＋HG＋GC）＋（D'G＋GF）＋CF ＝A'D'＋AB＋BC＋D'F＋CF ＝AD＋AB＋BC＋（DF＋CF） ＝AD＋AB＋BC＋（DF＋CF） ＝AD＋AB＋BC＋DC 由此得到阴影部分的小三角形周长和等于长方形的周长。 【规范解答】根据分析，阴影部分四个三角形的周长之和＝长方形周长： （8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形组成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为( )。 【答案】6 【思路引导】把原图形补成一个以AB为对角线的大长方形，对角线AB把长方形分为面积相等的两个大三角形，线段AB把原图形分为面积相等的左右两部分，那么两个大三角形分别减去原图中面积相等的左右部分后，长方形CNPI的面积＋长方形JPGQ的面积＝长方形DEHM的面积，长方形DEHM长8，宽为12－8，面积＝长×宽，把数据代入公式计算求得剩余面积是32，左下方长方形JPGQ长10，宽是12－10，面积是10×（12－10），就是20，长方形CNPI的面积是32－20＝12，用12除以宽2，求得长CN是6，再用总长12减去6，求得长为6。 【规范解答】 把原图形补成一个以AB为对角线的大长方形，由题意得： 长方形CNPI的面积＋长方形JPGQ的面积＝长方形DEHM的面积 长方形CNPI的面积： 8×（12－8）－10×（12－10） ＝8×4－10×2 ＝32－20 ＝12 长：12÷2＝6 的长：12－6＝6 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，已知正方形ABCD的面积为340，E是AB的中点，F、G分别是边BC、AD上的点，且，，连接EG、EC、FG，其中EC、FG交于点O，则三角形EOG的面积为______。 【答案】56 【思路引导】建立坐标系，将正方形置于平面直角坐标系中，便于用坐标表示各点位置。确定关键点坐标，根据线段比例关系（如中点、分点）计算E、F、G的坐标。求直线方程：利用两点式写出EC和FG的直线方程。联立方程求交点：解联立方程得到交点O的坐标。面积计算：应用坐标法公式计算三角形EOG的面积。 【规范解答】1.设定坐标系与确定各点坐标 设正方形边长为a，则＝ 340，即a ＝ 以点A为原点建立坐标系：A（0，0）、B（a，0）、C（a，a）、D（0，a） ； E为AB中点：E（，0） ； F在BC上，； 分点公式得F（a，） ； G在AD上，； 分点公式得G（0，） 2. 求直线EC和FG的方程 EC的方程：连接E（，0）和C（a，a），斜率为2， 方程为y ＝ 2x－a    FG的方程：连接F（a，）和G（0，），斜率为－，方程为y ＝ －x ＋ 3. 联立方程求交点O    联立y ＝ 2x－a和y ＝－x ＋ 解得：x ＝ ，y ＝ 即O（，） 4. 计算三角形EOG的面积 利用坐标公式：面积＝ 代入各点坐标： 面积＝ ＝ ＝ ＝ 代入 面积＝ ＝56 即三角形EOG的面积为56。 题型二 平行四边形周长与面积的计算 【典例精讲】（2026·浙江温州·小升初真题）下列这些数学问题运用转化策略的有（    ）。 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】转化策略是一种将复杂、陌生或未知的问题，通过特定方法转化为简单、熟悉或已知问题的思维方法，核心思想是“化繁为简、化难为易、化未知为已知”，逐项分析。 【规范解答】①根据积的变化规律和小数点移动引起小数大小的变化规律把小数乘法转化为已经学过的整数乘法计算，运用转化策略； ②根据商不变的性质把除数是小数的除法，转化为除数是整数的除法计算，运用转化策略； ③通过割补，把平行四边形转化为长方形，用长方形面积推导平行四边形面积，运用转化策略； ④把圆柱切拼转化为近似长方体，用长方体体积推导圆柱体积，运用转化策略。 综上所述，运用转化策略的是①②③④。 【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）下图中每个小等边三角形的面积为1平方米，则三角形ABC的面积是（    ）。 A．9平方米 B．10平方米 C．10.5平方米 D．11平方米 【答案】B 【思路引导】 根据题意将三角形分解成四部分，如图，则图中的三角形ACD是它对应的平行四边形面积的一半是3平方米，三角形ABF的面积是2平方米，三角形CBE的面积是4平方米，中间三角形DEF的面积是1平方米，最后把四部分的面积相加，即可解答。 【规范解答】由分析可得 3＋2＋4＋1 ＝5＋4＋1 ＝9＋1 ＝10（平方米） 所以三角形ABC的面积是10平方米。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 【答案】4 【思路引导】此题需要添加一条辅助线，先连接AE，根据平行四边形两个已知部分的面积计算出平行四边形的面积，再求出三角形AED的面积，三角形AED的面积等于与它等底等高的平行四边形，即平行四边形ABED的面积的一半。由题意可知，三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。阴影部分的面积等于三角形ACD的面积减去8。 【规范解答】如图：平行四边形ABED的面积是16＋8＝24（平方厘米） 连接AE，三角形AED的面积是24÷2＝12（平方厘米） 四边形ABCD是梯形，所以AD∥BC，所以三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。 阴影部分的面积是12－8＝4（平方厘米） 【考点剖析】此题考查以下两个核心知识点： 1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，即平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形； 2.平行线间的距离处处相等，因此以平行线间线段为底的三角形的高相等，等底等高的三角形面积相等。 题型三 梯形周长与面积的计算 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）三角形的一个内角是30°，其余两个内角度数的比是3∶2，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】B 【思路引导】可先根据三角形内角和求出其余两个内角的度数和，再按照给定的比例求出这两个内角的度数，最后根据三角形的分类判断该三角形的类型。 【规范解答】180°－30°＝150°。 其余两个内角度数的比是3∶2 3＋2＝5（份）150°÷5＝30° 30°×3＝90° 30°×2＝60° 即这个三角形是直角三角形。 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）一个等腰三角形的顶角度数是一个底角度数的，那么这个等腰三角形的一个底角的度数是（    ）。 A．50° B．65° C．130° D．55° 【答案】B 【思路引导】根据题意，一个底角的度数是单位“1”，将等腰三角形的一个底角度数看成1，顶角度数是其，这样可表示出三个角的度数比。再将内角和180°除以总份数求出1份的度数，再乘底角的份数即可。 【规范解答】等腰三角形三个角度数的比为∶1∶1＝10∶13∶13 180÷（10＋13＋13）×13 ＝180÷36×13 ＝5×13 ＝65° 一个底角的度数是65°。 【变式训练2】（24-25六年级下·江苏淮安·期中）如图①，正方形ABCD的边长为4厘米，点P为正方形边上一个动点，运动路线是A→D→C→B→A，点P的速度是1厘米/秒，回答下列问题： （1）点P运动6秒时，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是（    ）； （2）点P运动（    ）秒时，以点A、P、D为顶点的三角形的面积为5平方厘米； （3）如图②，是点P运动过程中，以点A、P、D为顶点的三角形的面积与时间的关系图（不完整哦！），请把关系图补充完整。 【答案】（1）4平方厘米 （2）6.5或13.5 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据题意，正方形ABCD的边长是4厘米，点P的速度是1厘米/秒，根据时间＝路程÷速度，用4÷1＝4秒，求出4厘米需要的时间，也就是点P从点A到点B的时间；再用点P运动的时间－点P从点A到点B的时间，即6－4＝2秒，求出剩下的时间，再根据路程＝速度×时间，用点P运动的速度×2，求出2秒运动的路程；即求出AP的长度；再根据三角形面积＝底×高÷2，据此求出三角形APD的面积。 （2）三角形APD的面积是5平方厘米；底是4厘米，根据三角形面积＝底×高÷2，底＝面积×2÷高，据此求出三角形APD的高，再用三角形的高÷点P的运动速度，求出PD用的时间，再加上点A到点D用的时间；另外一种情况是当P运动到AB的时候，所用时间就是一圈所需的时间减去P到A的时间，即可解答。 （3）由于运动到C点的时候，△ADP面积最大，就是正方形面积的一半，从C到B的时候，三角形的底是AD，高是AB的长度，所以面积不变，到B的时候，开始向A运动，那么底不变，高逐渐减少，直到运动到A点，三角形面积就是0，据此即可画图。 【规范解答】（1）4÷1＝4（秒） 6－4＝2（秒） 2×1＝1（厘米） 2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 点P运动6秒时，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是4平方厘米。 （2）5×2÷4 ＝10÷4 ＝2.5（厘米） 2.5÷1＝2.5（秒） 4＋2.5＝6.5（秒） 4×4－2.5 ＝16－2.5 ＝13.5（秒） 点P运动2.5秒时活13.5秒时，以点A、P、D为顶点的三角形的面积为5平方厘米。 （3）由分析得如图： 【考点剖析】利用三角形面积公式以及速度、时间和路程三者之间的关系，找准底与高的变化是解答本题关键。 题型四 三角形周长与面积的计算 【典例精讲】（2026·浙江温州·小升初真题）如图，在半圆中，直角三角形的一个顶点与圆心重合，根据图示信息，求出阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】17.12 【思路引导】阴影部分的面积是半圆的面积减去空白部分直角三角形的面积，直角三角形的两条直角边就是圆的半径；根据三角形面积＝底×高÷2，圆的面积，代入数据解答即可。 【规范解答】8÷2＝4（） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（） 3.14×÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（） 25.12－8＝17.12（） 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 【答案】15.625厘米 【思路引导】根据题意可知，水体积不变。先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水的体积； 往容器内插入圆柱形铁棒且铁棒底面与容器底面接触，那么容器内水的底面积等于圆柱形容器的底面积减去圆柱形铁棒的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出此时容器内水的底面积； 再根据圆柱的高h＝V÷S，即用水的体积÷容器内水的底面积，求出此时水的水深。 【规范解答】水的体积： 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（立方厘米） 水的底面积： 3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 水的深度： 785÷50.24＝15.625（厘米） 答：这时水深15.625厘米。 【变式训练2】（2025·浙江杭州·小升初真题）鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁洛克斯三角形的周长就等于分米。你认为正确吗？请说明你的理由。 【答案】不正确；鲁洛克斯三角形的每条边是圆心角为60°、半径为5分米的圆弧，每条圆弧长为分米，总周长为分米，而非分米 【思路引导】因为等边三角形的每个内角为60°，所以每条圆弧对应的圆心角为60°，即圆心角为60°的圆弧占整个圆的。圆的周长为，即一条圆弧的长度为。这样的圆弧一共有三条，再将数值再乘3，即可得出这个鲁洛克斯三角形的周长，据此可判断出本题的说法是否正确。 【规范解答】（分米） ＝ （分米） （分米） 答：我认为说法不正确，因为鲁洛克斯三角形的每条边是圆心角为60°、半径为5分米的圆弧，每条圆弧长为分米，总周长为分米，而非分米。 【考点剖析】鲁洛克斯三角形的周长，本质上是三条等长圆弧之和。关键在于识别出每条圆弧的圆心（等边三角形的顶点）、半径（等边三角形的边长）和圆心角（等边三角形的内角，即60°）。 题型五 圆周长与面积的计算 【典例精讲】小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）。 【答案】10 【思路引导】通过观察图形发现，新组合的图形的周长等于圆周长的一半加上2条半径（1条直径）的长。先根据圆的周长求出圆的周长，再用圆的周长÷2求出圆周长的一半；再加上1条直径的长。 【规范解答】3×4÷2＋4 ＝12÷2＋4 ＝6＋4 ＝10（cm） 所以新组合的图形的周长是10cm。 【考点剖析】新组合图形的周长等于半圆的周长，它们的周长都等于圆周长的一半＋1条直径（2条半径）的长。 【变式训练1】（2024·重庆渝北·小升初真题）如图所示，正方形ABCD是由1个长方形和3个三角形拼成的。已知正方形的周长是36厘米，求长方形的周长。 【答案】18厘米 【思路引导】由题意可得，两个三角形都是等腰直角三角形，线段AG＝线段GF＝长方形的宽，线段GB＝长方形的长，线段AG（线段GF）＋线段GB＝正方形的边长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以长方形的周长是正方形两条边长的和，用正方形的周长÷4＝边长，再边长乘2即可。 【规范解答】36÷4＝9（厘米） 9×2＝18（厘米） 答：长方形的周长是18厘米。 【考点剖析】明确所求图形周长与已知图形周长间的关系是解决本题的关键。 【变式训练2】一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为_____厘米。 【答案】20 【思路引导】根据题干：一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上，可知大圆的直径等于所有小圆的直径之和．根据圆周长公式可解决。 【规范解答】每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径。 大圆直径径为D，小圆直径为d1，d2，d3…， 大圆周长C＝πD， 小圆周长之和＝πd1＋πd2＋πd3…， ＝π（d1＋d2＋d3…）， ＝πD； 所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即20厘米； 题型六 含多图形的组合图形的周长 【典例精讲】（2025·天津河北·小升初真题）如图所示，等腰直角三角形与两个直角扇形组成的组合图形中，涂色部分的面积是( )cm2。     【答案】107 【思路引导】如下图，把右边的圆顺时针旋转后与左边的圆组合在一起，这样组合成半圆，涂色部分的面积＝半圆的面积－空白三角形的面积，半圆的直径是20cm，空白三角形是一个两条直角边等于半径的等腰直角三角形，根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。 【规范解答】如图： 半径：20÷2＝10（cm） 3.14×102÷2－10×10÷2 ＝3.14×100÷2－10×10÷2 ＝157－50 ＝107（cm2） 【变式训练1】（2025·河南南阳·小升初模拟）下图是由大小两个正方形组成的，已知AB＝10厘米，求阴影部分面积。 【答案】50平方厘米 【思路引导】已知小正方形边长厘米（设大正方形边长为），阴影部分是不规则三角形，可通过“大正方形与小正方形的总面积，减去周围3个空白三角形的面积”求解。 【规范解答】设大正方形边长为厘米。 计算两个正方形的总面积： 平方厘米 计算3个空白三角形的面积： 三角形ABD： （平方厘米） 三角形BEF： 平方厘米 三角形DGF： 平方厘米 空白总面积： 平方厘米 计算阴影面积： （平方厘米） 阴影部分的面积为：50平方厘米。 【变式训练2】（2025·重庆北碚·小升初真题）如图所示，四边形中和四边形都是正方形，，连接，与相交于点，与相交于点，如果正方形的面积是1，那么三角形的面积是多少？ 【答案】 【思路引导】因为，所以，即可求出的比值； 在三角形与三角形中计算的比值；根据三角形的面积＝底×高÷2，即可计算三角形与三角形的面积的关系，三角形为正方形面积的一半，即可求出三角形的面积。 【规范解答】因为，所以； 所以，即； 在三角形与三角形中，，即； 根据鸟头模型，； 则。 【考点剖析】两个三角形顶点处的两条边的长度的乘积比，等于两个三角形的面积比。 题型七 含多图形的组合图形的面积 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（    ）。 A．3∶1 B．4∶1 C．3∶2 D．2∶1 【答案】D 【思路引导】 如图，将下面的阴影部分分成两部分补到上面阴影部分，则阴影部分的面积为正方形的面积的一半；由此得出阴影部分面积与正方形面积的比。 【规范解答】如图： 阴影部分的面积为正方形的面积的一半。 如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是2∶1。 故答案为：D 【变式训练1】如图所示为某商品的商标，由两颗爱心组成，每颗爱心都是由一个正方形和两个半圆拼成，两个正方形的边长分别为40毫米和20毫米，则阴影部分的面积是多少平方毫米？（圆周率取3.14） 【答案】2142平方毫米 【思路引导】此题主要考查了组合图形的面积计算，观察图可知，两个大半圆可以组成一个整圆，两个小半圆也可以组成一个整圆；大正方形的面积＋大圆的面积－小正方形的面积－小圆的面积＝阴影部分的面积，据此列式解答。 【规范解答】40÷2＝20（毫米）    20÷2＝10（毫米） 40×40＋π×202－20×20－π×102 ＝1600＋400π－400－100π ＝1200＋300π ＝1200＋300×3.14 ＝1200＋942 ＝2142（平方毫米） 答：阴影部分的面积是2142平方毫米。 【考点剖析】此题考查组合图形面积的巧算。通过切拼把不规则图形转化为规则图形，从而使计算简便。 【变式训练2】看图计算。（单位：cm） （1）求图1阴影部分的面积。 （2）如图2，计算下列图形的体积。 【答案】（1）6.25cm²；（2）94200cm³ 【思路引导】（1）观察图形可知，图中阴影部分可以组合成一个三角形，组合成的三角形的面积正好是这个大正方形面积的，所以直接用正方形的面积除以4就可以求出阴影部分的面积。 （2）此题中圆柱的底是一个圆环，根据圆环的面积＝π（－），可以求出这个空心圆柱的底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，可以求出这个空心圆柱的体积。 【规范解答】（1）5×5＝25（cm²） 25÷4＝6.25（cm²） （2）40÷2＝20（cm） 20÷2＝10（cm） ＝π（－） ＝3.14×（－） ＝3.14×300 ＝942（cm²） ＝×H ＝942×100 ＝94200（cm³） 故答案为：（1）6.25cm²；（2）94200cm³ 【考点剖析】此题重点掌握组合图形求面积和求体积的方法，求面积可通过移动部分图形，形成一个容易求得的图形来实现；求体积可先分解成独立图形，再相加减重叠部分的体积。牢记圆、圆环的面积公式和圆柱的体积公式。 题型八 利用平移巧算周长和面积 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，求阴影部分的面积。 【答案】10.26平方厘米 【思路引导】 图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分通过割补，使其变成规则图形。如图所示：，阴影部分的面积＝扇形的面积－三角形的面积。由图可知，扇形是一个直角扇形，半径为6厘米，即扇形的面积是半径为6厘米的圆面积的，三角形的底和高都是6厘米，据此根据圆的面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2计算即可解答。 【规范解答】3.14×62×－6×6÷2 ＝3.14×36×－6×6÷2 ＝113.04×－36÷2 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）如图所示，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。 【答案】40.26 【思路引导】连接BD，AE，则阴影部分的面积＝三角形ABD的面积＋扇形EBD的面积－三角形EBD的面积，所以根据等底等高的三角形的面积相等，得出三角形ABD的面积等于三角形ABE的面积，扇形EBD的面积即为半径为6的圆面积的，进而根据三角形的面积公式与圆的面积公式解决问题。 【规范解答】如图连接BD，AE， 因为三角形ABD与三角形AEB等底等高，所以三角形ABD的面积是： 10×6÷2 ＝60÷2 ＝30 三角形BED的面积是： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18 扇形EBD的面积是： ×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝28.26 阴影部分的面积： 30＋28.26－18 ＝58.26－18 ＝40.26 阴影部分的面积是40.26。 【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。 【答案】12.56平方厘米 【思路引导】观察图形可知：阴影部分面积＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积，且扇形的面积＝圆的面积，圆的半径等于线段BA的长度也就是4厘米，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，设小正方形BEFG的边长是a厘米，分别表示出其他各部分的面积，代入数据计算即可。 【规范解答】设小正方形BEFG的边长是a厘米 三角形AGF的面积： （平方厘米） 梯形FGBC的面积： （平方厘米） 所以三角形AGF的面积和梯形FGBC的面积相等。 阴影部分的面积 ＝扇形ABC的面积＋梯形FGBC的面积－三角形AGF的面积 ＝扇形ABC的面积 ＝4×3.14 ＝12.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12.56平方厘米。 【考点剖析】本题采用“设而不求”的思想，将小正方形的边长设为a厘米，分别表示出其余各部分的面积，进而发现规律解出本题。 题型九 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）生物课上，小巧制作了一片树叶标本，如图（每个小方格的面积是1平方厘米）。请你帮小巧想一想，以下估算图中树叶面积的方法中不合适的是（    ）。 A．上底是4cm，下底是7cm，高是5cm的梯形。 B．底是5cm，高是7cm的三角形。 C．方格纸上的面积是80cm2，树叶的面积约占方格纸的。 D．方格纸上满格的一共有19格，不满格的有18格，不满1格的都按半格计算。 【答案】B 【思路引导】不规则图形面积的估算方法有：（1）方格法：将图形置于方格纸中，满格按1格计算，不满格按半格计算，累加后得到面积；（2）近似图形法：将不规则图形近似为规则图形（如梯形、长方形等），用对应规则图形的面积公式计算，需保证形状接近，否则误差较大；（3）占比估算法：结合图形占所在区域（如方格纸）的分率，用区域总面积乘分率得到估算值。据此逐一分析。 【规范解答】A．树叶形状接近梯形，以上底4cm、下底7cm、高5cm估算，符合“近似图形法”的估算逻辑，方法合适； B．树叶实际形状与三角形差异大，用三角形估算误差过大，方法不合适； C．方格纸面积（假设为80cm2）的即80÷3，约26.7cm2，属于“占比估算法”，符合估算的大致范围，方法合适； D．“满格算1格、不满格算半格”是方格法估算面积的标准方法，方法合适。 选项B中的方法估算树叶的面积不合适。 故答案为：B 【变式训练1】明明、丁丁、圆圆分别从同样大的正方形中剪掉了涂色部分的图形（如下图），他们剩下部分的面积相比（    ）。 A．明明剩下的面积大 B．丁丁剩下的面积大 C．只有丁丁和圆圆剩下的面积一样大 D．三个人剩下的面积一样大 【答案】D 【思路引导】这是三个同样大的正方形，可假设正方形的边长是2，分别算出明明、丁丁、圆圆剪掉涂色部分的面积，涂色部分面积越大的剩下部分的面积越小，涂色部分面积越小的剩下部分的面积越大，据此作出选择即可。 【规范解答】假设正方形的边长是2。 明明：×（2×2×π） ＝×4×π ＝π 丁丁：1×1×π ＝1×π     ＝π 圆圆：1×1×π ＝1×π ＝π 三个人的涂色部分面积相等，即三个人剩下的面积一样大。 故答案选：D 【考点剖析】掌握扇形、圆的面积计算方法，这是解决此题的关键。 【变式训练2】图形计算。 （1）如下图所示，阴影部分的面积是50平方米，大小两圆的周长比是3：2，则大圆的面积是多少平分厘米？ （2）下图中的面积是96平方厘米，D是A、C的中点，BE＝EC，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】900000；40 1．（2025·四川成都·小升初真题）一个正方形边长为cm，如果它的边长增加3cm，所得的正方形面积比原来正方形的面积增加了（    ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】 如图，边长增加3cm后，增加的面积是①②③这三部分的面积之和，其中①③均是一个长为cm，宽为3cm的长方形，②是边长为3cm的正方形；根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，分别求出①②③的面积，再相加即可。 【规范解答】如图： 面积增加了：3＋3×3＋3＝（6＋9）cm2 2．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）一个半圆的面积是39.25cm2，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．31.4 B．25.7 C．15.7 D．20.7 【答案】B 【思路引导】根据圆的面积公式，已知半圆面积，计算出半径，根据圆的周长公式，再计算半圆周长（圆的周长的一半加直径）。 【规范解答】 （cm） 3.14×5＋2×5 ＝15.7＋10 ＝25.7（cm） 3．（2026·江苏淮安·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．52 B．54 C．60 D．58 【答案】B 【思路引导】原三角形的面积看成1，那么重叠部分的面积为1－，阴影部分的面积为原三角形的面积减去2倍的重叠部分面积，根据数量÷对应占比＝总量，求出原三角形的面积。 【规范解答】原三角形的面积看成1 1－ 30÷ ＝30÷ ＝30× ＝54（平方厘米） 【考点剖析】求出重叠部分占原三角形面积的占比为解题关键。 4．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）一个等腰三角形的其中两个内角是44°，则它的第三个内角是( )°，按角分，它是一个( )三角形。 【答案】 92 钝角 【思路引导】三角形内角和为180°，内角和减去已知的两个角的度数等于第三个角度数；三角形按角分有：锐角三角形（3个角都是锐角），直角三角形（有1个角是直角）和钝角三角形（1个钝角）。 【规范解答】180°−44°×2 ＝180°－88° ＝92° 90°＜92°＜180°，92°的角是钝角，所以是钝角三角形 5．（2026·全国·小升初模拟）“勾股定理”最早是由我国西周时期的数学家商高发现的，他提出了勾股定理的特例“勾三股四弦五”，即一个直角三角形（如图），它的两条直角边勾长是3、股长是4，那么斜边弦长是5，也就是勾∶股∶弦＝3∶4∶5，现在用一根长60厘米的铁丝围成这样一个直角三角形，它的弦长__________厘米，面积是__________平方厘米。 【答案】 25 150 【思路引导】把三角形的周长平均分成（3＋4＋5）份，弦长占它的5份，两条直角边分别占3份和4份，用周长除以总份数，求出一份的长度，再计算出三角形三条边的长度。最后根据三角形的面积公式计算。三角形的面积＝底×高÷2。 【规范解答】60÷（3＋4＋5） ＝60÷12 ＝5（厘米） 5×5＝25（厘米） 5×3＝15（厘米） 5×4＝20（厘米） 15×20÷2 ＝300÷2 ＝150（平方厘米） 现在用一根长60厘米的铁丝围成这样一个直角三角形，它的弦长25厘米，面积是150平方厘米。 6．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题： (1)图2中的a是( )平方厘米，c是( )平方厘米。 (2)图1中梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 (3)移动( )秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 【答案】(1) 32 24 (2)72 (3)6/16 【思路引导】（1）根据图可知，a对应的是8秒的时候，由于当P在AB段上移动时，P、A、B不能构成三角形，所以没有面积，即在第4秒的时候，开始有面积，说明第4秒走到了B点，那么AB的长度是4×2＝8（厘米），当P点走到C点的时候，三角形的面积是最大的，则此时走了10秒，当第8秒时，即在BC段走了4秒，那么此时的PB长是4×2＝8（厘米），高是AB的长度，三角形的面积＝底×高÷2，算出第8秒时三角形的面积，即为a的值。 当在10秒开始，三角形的面积下降，此时在CD线上，由于在15秒时，下降趋势变化，说明15秒时走到了D点，从D点到A点总共走了3秒，即AD的长度是3×2＝6（厘米），高是AB的长度，三角形的面积＝底×高÷2，算出第15秒时三角形的面积，即为c的值。 （2）由于AD是6厘米，AB是8厘米，BC总共走了10－4＝6（秒），即BC的长度是6×2＝12（厘米），梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可算出梯形的面积。 （3）三角形的面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2除以高求出底，分两种情况： 情况一：点P在BC边上，PB＝4厘米，共走了4÷2＝2（秒），将AB段用的时间与PB段用的时间相加即可； 情况二：点P在DA边上，PA＝4厘米，共需要4÷2＝2（秒），用总时间减去PA段用的时间即可。 【规范解答】（1）AB的长度： 4×2＝8（厘米） 第8秒时BC边的长度：（8－4）×2 ＝4×2 ＝8（厘米） 第8秒三角形的面积：8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 图2中的a是32平方厘米。 AD的长度：（18－15）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 第15秒三角形的面积：6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 图2中的c是24平方厘米。 （2）10－4＝6（秒） BC的长度：（10－4）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 梯形ABCD的面积：（6＋12）×8÷2 ＝18×8÷2 ＝144÷2 ＝72（平方厘米） （3）16×2÷8 ＝32÷8 ＝4（厘米） 4÷2＝2（秒） 4＋2＝6（秒） 18－2＝16（秒） 移动6秒（或16秒）时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 7．（2026·湖北武汉·小升初模拟）一个等腰三角形的两条边分别长3cm和7cm，那么它的周长可能是13cm，也可能是17cm。( ) 【答案】× 【思路引导】等腰三角形两条腰长度相等，因此存在两种可能的边长组合：三角形任意两边之和大于第三边，验证较短两边之和是否大于最长边即可：计算符合条件的周长。 【规范解答】第一种：腰长为3cm，底边长为7cm，三边长为3 cm、3 cm、7 cm；第二种：腰长为7 cm，底边长为3 cm，三边长为7 cm、7 cm、3 cm。 第一种组合：3＋3＝6（cm），6 cm＜7 cm，不符合三边关系，无法构成三角形。 第二种组合：3＋7＝10（cm），10 cm＞7 cm，符合三边关系，可以构成三角形。 仅第二种组合成立，周长为三边长度之和： 7＋7＋3 ＝14＋3 ＝17（cm） 原题说法错误。 故答案为：× 8．（2024·山西太原·小升初真题）用20个边长为1厘米的正方形地砖拼成长方形或正方形，拼成图形的周长最短是20厘米。( ) 【答案】× 【思路引导】20个边长为1厘米的正方形地砖拼成长方形，可以全部拼成一排，则这个长方形的长为20厘米，宽为1厘米；也可以拼成2排，每排10个，则这个长方形的长为10厘米，宽为2厘米；还可以拼成4排，每排5个，则这个长方形的长为5厘米，宽为4厘米。据此解答。 【规范解答】拼成一排： （20＋1）×2 ＝21×2 ＝42（厘米） 拼成2排： （10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 拼成4排： （5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 42厘米＞24厘米＞18厘米 用20个边长为1厘米的正方形地砖拼成长方形或正方形，拼成图形的周长最短是18厘米。所以题目说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查图形拼接后的周长，解决此题的关键是明确长方形的周长与长方形的长宽有关，当长与宽差值最小时，长方形的周长最小。 9．（2026·河南平顶山·小升初模拟）求阴影部分的周长和面积。（取3.14） 【答案】周长：22.28cm；面积：12.56cm2 【思路引导】由图可知，三角形是一个直角三角形，则阴影部分是圆心角为90°的扇形面积，即整个圆面积的，半径为4cm。 根据圆周长公式，C＝2πr，用圆周长乘再加上4条半径长度即可得出阴影部分的周长。根据圆面积公式：S＝πr2，再用圆面积公式乘计算即可得出阴影部分的面积。 【规范解答】2×3.14×4×＋4×4 ＝25.12×＋16 ＝6.28＋16 ＝22.28（cm） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 【答案】4 【思路引导】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE＝ED，连接DF，可知（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分面积转化为求三角形BDF的面积。 【规范解答】连接DF，如下图： 因为AE＝ED 所以， 又因为（BD占2份，DC占1份） 所以（和等高） 所以（，即） 所以（） 又因为 所以 所以 阴影部分的总面积是4。 【考点剖析】需牢记：①等底等高三角形面积相等；②等高时，三角形面积比等于底的比。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 【答案】18.24平方厘米 【思路引导】要计算阴影部分的面积，我们可以通过图形的割补与组合，将阴影部分转化为“半圆面积 ＋ 扇形面积 － 三角形面积”来求解。 【规范解答】半圆的面积为： 扇形的面积为： 三角形的面积为： 阴影部分面积为： 25.12＋25.12－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 所以阴影面积为18.24平方厘米。 【考点剖析】本题要先理清楚阴影部分可以由哪几个图形通过组合而成。 12．（2026·湖南永州·小升初模拟）一张长方形铁皮，长1.2米，宽8分米，把它剪成若干个小正方形，要求每个小正方形边长最大，且没有剩余铁皮，可以剪多少个？ 【答案】6个 【思路引导】先将长和宽单位统一，将米换算成分米。要剪成小正方形，且没有剩余，说明小正方形的边长是长方形铁皮的长的因数，也是宽的因数，即小正方形的边长是12和8的公因数。要让正方形的边长最大，就是求12和8的最大公因数。再求铁皮的长度方向可以剪的小正方形个数和宽度方向可以剪的小正方形个数，用这两个个数相乘即可。 【规范解答】1.2米＝12分米 12和8的最大公因数是2×2＝4，所以，剪成的小正方形的边长最大是4分米。 12÷4＝3（个）    8÷4＝2（个）   3×2＝6（个） 答：可以剪6个。 13．（2026·四川成都·小升初真题）某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 【答案】(1)565.2平方米 (2)18棵 【思路引导】（1）圆环的面积（其中R为外圆半径，r为内圆半径），根据题意，内圆直径为24米，且环宽为6米，利用求出内圆半径，再利用“环宽”求出外圆半径，最后利用圆环面积公式进行计算。 （2）要在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，需先利用求出外圆的周长，再利用周长÷间距求出间隔数，最后根据封闭图形中的植树问题中，植树棵数＝间隔数进行计算。 【规范解答】（1）（米） （米） （平方米） 答：这个环形看台的占地面积是565.2平方米。 （2） （米） （棵） 答：一共大约可以种18棵树。 14．（25-26五年级上·上海·期末）小丁丁在卧室的墙角处安装了一个小书桌，为了保护桌面，他想给小书桌定制一个桌垫（如下图）。已知每平方米定制桌垫需要99元，实际收费用“去尾法”保留一位小数。请问定制这个桌垫需要多少钱？ 【答案】27.7元 【思路引导】从图中可知，桌垫的形状可以拆分为一个长方形和一个梯形。长方形的长是0.6米，宽是0.2米；梯形的上底是0.2米，下底是0.6米，高是0.6−0.2＝0.4米。分别计算长方形和梯形的面积，然后相加得到桌垫的总面积。用总面积乘每平方米的价格，得到总费用。根据 “去尾法”保留一位小数。 【规范解答】0.6×0.2＝0.12（平方米） （0.2＋0.6）×0.4÷2 ＝0.8×0.4÷2 ＝0.32÷2 ＝0.16（平方米） 0.12＋0.16＝0.28（平方米） 0.28×99≈27.7（元） 答：定制这个桌垫大约需要27.7元。 15．（2025·四川绵阳·小升初真题）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【答案】12.56平方米；15.7平方米 【思路引导】2秒后波纹为一个半径为（1×2＝2）米的圆的面积，根据圆的面积＝即可求出2秒后波纹的面积； 一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹为半径为（1×3＝3）米的圆，第二个波纹为半径为（1×2）米的圆，用第一个波纹产生的圆的面积减去第二个波纹产生的圆的面积即可求出产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米。 【规范解答】3.14×（1×2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×（1×3）2－3.14×（1×2）2 ＝3.14×32－3.14×22 ＝3.14×9－3.14×4 ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方米） 答：2秒后波纹的面积是12.56平方米；产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大15.7平方米。 16．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。 (1)求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ (2)连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3∶5时，P点的运动时间为多少秒？ 【答案】(1)50米，12米 (2)21秒 【思路引导】三角形面积＝底×高÷2，当点P从点A到点D运动时，三角形PAB的面积＝AB×PA÷2，AB的长度不变，PA长度逐渐变大，三角形PAB的面积逐渐增大；当点P从点D运动到点C时，三角形PAB的底是AB，高是平行线AB、CD间的距离，根据平行线间的距离处处相等，三角形PAB面积＝AB×DA÷2，面积不变；当点P从点C到点B运动时，三角形PAB的面积＝AB×PB÷2，AB的长度不变，PB长度逐渐减小，三角形PAB的面积逐渐减少；由图2得，当运动时间为2秒时，速度为1米/秒，根据路程＝速度×时间，PA＝1×2，也就是2米，面积是50平方米，用三角形的面积×2÷PA，求得AB的长度，当三角形面积逐渐增大到300平方米后一直没有变化，表示AB×DA÷2＝300，把数据代入计算，求得DA的长度； 三角形PBN的面积与三角形ABN的高都是点B到AP的垂线段的长度，高相等，三角形PBN的面积与三角形ABN面积之比＝PN∶AN＝3∶5，三角形ABN与三角形DPN中，DP∶AB＝3∶5，把AB＝50代入计算，求得DP＝30，那么点P走的路程之和是12＋30＝42，再用路程除以速度，求得点P的运动时间。 【规范解答】（1）当运动时间为2秒时 AP＝1×2 ＝2米 50×2÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 300×2÷50 ＝600÷50 ＝12（米） 答：长方形长是50米，宽是12米。 （2）三角形PBN与三角形ABN具有共同顶点B且高相同的，面积之比是3∶5 所以PN∶AN＝3∶5， 三角形ABN与三角形DPN中，DP∶AB＝3∶5 DP∶50＝3∶5 50×3＝5×DP 150＝5×DP DP＝150÷5 DP＝30 （30＋12）÷2 ＝42÷2 ＝21（秒） 答：P点的运动时间为21秒。 17．（2025·重庆渝北·小升初真题）如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，三角形ADC的面积是，三角形BCE的面积是，求阴影部分的面积。 【答案】 【思路引导】先根据D是BC中点，得出△ABD与△ADC面积相等，算出△ABC总面积，接着连接OC，设△OEC面积为a，依据AE＝2EC推出△OAE面积为2a、△OAC面积为3a，利用△ABD和△ADC以及△OBD和△ODC等底等高，得到△OAB面积等于△OAC为3a，依次表示出△ABE、△BCE的面积，用总面积求出a的数值，最后用△ABC总面积减去空白△OAB的面积，得到阴影部分面积。 【规范解答】因为D是BC的中点，BD＝DC，△ADB与△ADC同高， S△ADC＝S△ADB＝ 所以S△ABC＝×2＝ 连接OC，如图， 设S△OEC＝a 因为AE＝2EC，△OAE和△OEC同高，底的比是2∶1， 那么S△OAE＝2a，S△OAC＝2a＋a＝3a 因为D是BC中点，BD＝DC，△ODB和△ODC等底等高面积相等， 又因为S△ADC＝S△ADB 所以S△OAB＝S△OAC＝3a，S△BAE＝3a＋2a＝5a 因为AE∶EC＝2∶1，△BAE与△BEC同高，面积比2∶1， S△BEC＝5a÷2＝2.5a，S△ABC＝5a＋2.5a＝7.5a 由于总面积是 a＝÷7.5＝÷＝×＝ S阴影＝S△ABC －S△OAB ＝－×3 ＝－ ＝－ ＝ 答：阴影部分的面积是。 18．（2026·四川成都·小升初真题）如图，正方形内接于半圆，圆内接于正方形，已知半圆面积为100，图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】40 【思路引导】根据图示，从半圆的圆心经过阴影圆的圆心把半圆分成2份。设阴影圆的半径为r，半圆的半径为R；从半圆的圆心出发，连接正方形的上面两个顶点，把正方形分成4个直角三角形，每个直角三角形的面积是2r×r÷2＝r2，如果以R为边长画大正方形，那么这个大正方形可以拆分4个一模一样的直角三角形和中间1个小正方形，一个直角三角形的面积是r2，小正方形的面积是r2。所以，这个大正方形的面积相当于5个这样的直角三角形的面积，也就是R2＝5r2，两边同时乘π，有πR2＝5πr2＝200。 【规范解答】解：设阴影圆的半径为r，半圆的半径为R。 πR2＝5πr2＝100×2＝200 πr2＝200÷5＝40 答：阴影部分的面积是40。 19．（25-26六年级上·山东青岛·期末）如下图，一个直角梯形的下底是上底的2.5倍，如果上底增加9.5厘米，下底增加2厘米，原来的梯形就变成了正方形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】126.875平方厘米 【思路引导】把梯形的上底看作1份，下底就是2.5份。变成正方形后，边长相等，说明上底加9.5厘米、下底加2厘米后长度相同，由此可以先求出上底的长度，再算出下底和高，最后用梯形面积公式计算。 【规范解答】下底比上底多：9.5－2＝7.5（厘米） 上底：7.5÷（2.5－1） ＝7.5÷1.5 ＝5（厘米） 下底：5×2.5＝12.5（厘米） 高：12.5＋2＝14.5（厘米） （5＋12.5）×14.5÷2 ＝17.5×14.5÷2 ＝253.75÷2 ＝126.875（平方厘米） 答：原来梯形的面积是126.875平方厘米。 20．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图1，在一个矩形信息传输线路中，有、、、、五个信息基站，其中基站和的距离为48个单位长度，和的距离为24个单位长度，和为变速基站。信号源经过基站时速度会变为原来的一半，信号源经过基站时速度会变为原来的2倍，信号源P从出发按顺时针方向沿线路传输到被接收，信号源Q从出发按逆时针方向沿线路传输到被接收。信号源P和信号源Q同时出发，速度分别为每秒8个单位长度和每秒4个单位长度，运动时间为t秒，信号源Q与基站、构成的三角形面积S与运动时间t的变化情况如图2所示。 (1)图2中，a＝______，b＝______，c＝______。 (2)若两个信号源的距离不超过10个单位长度时会互相干扰，求信号源P，Q在传输过程中相互干扰的时长。 (3)当运动时间为t秒时（0≤t≤18），信号源P与基站、构成的三角形面积和信号源Q与基站、构成的三角形面积S相差12，求t所有可能的取值。 【答案】(1) 6 9 24 (2)秒 (3)0.25秒，8.875秒 【思路引导】（1）图2中表示Q刚好到达的时间，此时；与的距离＝Q的速度×时间，所以此时＝和的距离×与的距离÷2，据此求出的值。图2中表示Q刚好到达的时间，与的距离＝与的距离－与的距离，Q从到的时间＝与的距离÷Q第一次变速后的速度；＝＋Q从到的时间。图二中表示Q刚好到达的时间，Q从到的时间＝到的距离÷Q第一次变速后的速度，Q从到的时间＝到的距离÷Q第二次变速后的速度；＝＋Q从到的时间＋Q从到的时间。 （2）P、Q距离不超过10个单位长度时的位置是在到之间，此时P的速度为每秒4个单位长度，Q的速度为每秒8个单位长度，相遇前相距10个单位长度开始干扰，到相遇后相距10个单位长度干扰结束，此时P和Q传输的总路程＝10×2，相互干扰的总时长＝P和Q传输的总路程÷P和Q的速度和＝P和Q传输的总路程÷（P的速度＋Q的速度）。 （3）用到的距离÷P的速度、到的距离÷P第一次变速后的速度、到的距离÷P第一次变速后的速度求出P在这三段的传输时间，分别讨论P在这三段传输时，Q所在的位置，据此判断和的大小，结合三角形的面积＝底×高÷2，代入大的三角形面积－小的三角形面积＝12求解。 【规范解答】（1） （秒） 信号源Q在和之间的速度是每秒个单位长度； 信号源Q在和之间的速度是每秒个单位长度； （秒） （秒） （秒） （秒） （2） （秒） 答：信号源P，Q在传输过程中相互干扰的时长是秒。 （3）到的距离是个单位长度； P在到的传输速度每秒是个单位长度； P在到的传输时间：（秒） P在到的传输时间：（秒） P在到的传输时间：（秒） 当时，P在、之间传输，Q在、之间传输，此时，所以，即： 当时，P在、之间传输，Q在、之间传输，此时，所以，即： 当时，P、Q均在、之间传输，此时Q与、构成的三角形和P与、构成的三角形同底等高，即，不存在面积相差12的情况； 当时，P从、Q从同时以相同的速度开始传输，且与Q的距离和与P的距离相等，此时Q与、构成的三角形和P与、构成的三角形同底等高，即，不存在面积相差12的情况。 答：所有可能的取值是0.25秒，8.875秒。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年苏教版数学小升初数学衔接精编高效培优讲义（温故知新） 第二讲 平面几何图形周长与面积的计算与应用 『重点难点专项复习讲练（温故知新）』 思维导图+知识梳理+九大题型闯关+实战演练 共47题 小学学习要求 初中衔接要求 掌握各类平面图形周长与面积公式，能运用平移、割补等转化思想解决组合图形问题，建立空间观念。 从直观感知进阶至严谨推理，培养规范表述论证过程的能力，实现几何核心素养的平稳过渡。 知识目标引导 熟练运用公式及转化策略解决实际问题，建构结构化知识网络，发展几何直观与推理能力，为初中学习奠定坚实基础。 知识点一 长方形与正方形 考察点： 图形的拼接与拆分：如两个相同长方形拼成大长方形或正方形时，周长与面积的变化规律。 逆向推导与形变：已知周长求长/宽，或已知面积求边长；长方形框架拉成平行四边形后周长不变但面积变小的问题。 解题技巧： 画图辅助与灵活变形：遇到拼接或靠墙围篱笆问题，先画图理清重合边或省略边，避免重复计算或漏算；利用“长=周长÷2-宽”等逆运算公式解题。 知识点二 三角形 考察点： 等底等高模型：理解等底等高的三角形面积相等，在平行线间进行面积的等量代换。 逆向计算：已知面积和底（或高），求高（或底），公式为：高=面积×2÷底。 解题技巧： 倍乘转化与等积代换：求三角形底或高时，切记先将面积乘2，再除以已知边长；在平行线间的三角形，利用“同底等高”或“等底等高”原理，将不规则阴影面积转化为规则三角形面积。 知识点三 平行四边形 考察点： 形变问题：长方形框架拉成平行四边形后，周长不变，但高变小，导致面积变小。 找准对应关系：计算面积时，高必须是所选底边上的垂直距离，切忌将斜边当作高。 解题技巧： 割补转化：通过沿高剪开、平移，将平行四边形转化为长方形来理解面积公式；计算面积时务必找准对应的底和高。 知识点四 梯形 考察点： 实际应用：如求水渠横截面、钢管堆叠总数（利用梯形面积公式求和）。 整体代入：若题目未给出上底、下底的具体数值，但给出了它们的和，可直接将“和”代入公式计算。 解题技巧： 拼组思想：用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导并理解面积公式；遇到已知上下底之和的题目，直接整体代入公式，避免繁琐的单独求解。 知识点五 圆 考察点： 半圆问题：半圆面积是圆面积的一半，但半圆周长=圆周长的一半+直径（极易错点）。 圆环与扇形：圆环面积=π(R²-r²)，扇形面积与圆心角的关系。 解题技巧： 寻根溯源与巧用π值：求圆的面积必须先求出半径；已知周长求面积，需先通过周长除以2π求出半径；熟记3.14与1-9的乘积，以及常用平方数（如11²到20²），提高计算速度与准确率。 知识点六 组合与不规则图形（综合技巧） 考察点：由多个基本图形拼凑、重叠而成的阴影部分周长与面积。 解题技巧： 平移法：将不规则图形的凹凸线段平移，转化为标准长方形求周长。 割补法与容斥原理：通过“分割相加”、“添补相减”或“大面积减小面积”，将复杂阴影转化为规则图形；利用辅助线将未知图形拆解为规则图形。 题型一 长方形与正方形的周长与面积的计算 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）把一个长8厘米、宽4厘米的长方形，如图所示折一折，得到下面图形，则阴影部分四个三角形的周长之和是（    ）厘米。 A．12 B．16 C．18 D．24 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形组成的图形。线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为( )。 【变式训练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图，已知正方形ABCD的面积为340，E是AB的中点，F、G分别是边BC、AD上的点，且，，连接EG、EC、FG，其中EC、FG交于点O，则三角形EOG的面积为______。 题型二 平行四边形周长与面积的计算 【典例精讲】（2026·浙江温州·小升初真题）下列这些数学问题运用转化策略的有（    ）。 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式训练1】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）下图中每个小等边三角形的面积为1平方米，则三角形ABC的面积是（    ）。 A．9平方米 B．10平方米 C．10.5平方米 D．11平方米 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 题型三 梯形周长与面积的计算 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）三角形的一个内角是30°，其余两个内角度数的比是3∶2，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）一个等腰三角形的顶角度数是一个底角度数的，那么这个等腰三角形的一个底角的度数是（    ）。 A．50° B．65° C．130° D．55° 【变式训练2】（24-25六年级下·江苏淮安·期中）如图①，正方形ABCD的边长为4厘米，点P为正方形边上一个动点，运动路线是A→D→C→B→A，点P的速度是1厘米/秒，回答下列问题： （1）点P运动6秒时，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是（    ）； （2）点P运动（    ）秒时，以点A、P、D为顶点的三角形的面积为5平方厘米； （3）如图②，是点P运动过程中，以点A、P、D为顶点的三角形的面积与时间的关系图（不完整哦！），请把关系图补充完整。 题型四 三角形周长与面积的计算 【典例精讲】（2026·浙江温州·小升初真题）如图，在半圆中，直角三角形的一个顶点与圆心重合，根据图示信息，求出阴影部分的面积。（单位：cm） 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径5厘米，容器高20厘米，水深10厘米，现将一根底面半径3厘米、高25厘米的圆柱形铁棒垂直插入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深多少厘米？ 【变式训练2】（2025·浙江杭州·小升初真题）鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁洛克斯三角形的周长就等于分米。你认为正确吗？请说明你的理由。 题型五 圆周长与面积的计算 【典例精讲】小明将一张半圆形纸片平均分成四份后，重新组合在一起（如下图），新组合的图形的周长是( )cm（π取3）。 【变式训练1】（2024·重庆渝北·小升初真题）如图所示，正方形ABCD是由1个长方形和3个三角形拼成的。已知正方形的周长是36厘米，求长方形的周长。 【变式训练2】一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为_____厘米。 题型六 含多图形的组合图形的周长 【典例精讲】（2025·天津河北·小升初真题）如图所示，等腰直角三角形与两个直角扇形组成的组合图形中，涂色部分的面积是( )cm2。     【变式训练1】（2025·河南南阳·小升初模拟）下图是由大小两个正方形组成的，已知AB＝10厘米，求阴影部分面积。 【变式训练2】（2025·重庆北碚·小升初真题）如图所示，四边形中和四边形都是正方形，，连接，与相交于点，与相交于点，如果正方形的面积是1，那么三角形的面积是多少？ 题型七 含多图形的组合图形的面积 【典例精讲】（2025·河南郑州·小升初真题）如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（    ）。 A．3∶1 B．4∶1 C．3∶2 D．2∶1 【变式训练1】如图所示为某商品的商标，由两颗爱心组成，每颗爱心都是由一个正方形和两个半圆拼成，两个正方形的边长分别为40毫米和20毫米，则阴影部分的面积是多少平方毫米？（圆周率取3.14） 【变式训练2】看图计算。（单位：cm） （1）求图1阴影部分的面积。 （2）如图2，计算下列图形的体积。 题型八 利用平移巧算周长和面积 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，求阴影部分的面积。 【变式训练1】（2025·四川遂宁·小升初真题）如图所示，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。 【变式训练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC。连接AF、CF，试求图中阴影部分的面积。 题型九 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）生物课上，小巧制作了一片树叶标本，如图（每个小方格的面积是1平方厘米）。请你帮小巧想一想，以下估算图中树叶面积的方法中不合适的是（    ）。 A．上底是4cm，下底是7cm，高是5cm的梯形。 B．底是5cm，高是7cm的三角形。 C．方格纸上的面积是80cm2，树叶的面积约占方格纸的。 D．方格纸上满格的一共有19格，不满格的有18格，不满1格的都按半格计算。 【变式训练1】明明、丁丁、圆圆分别从同样大的正方形中剪掉了涂色部分的图形（如下图），他们剩下部分的面积相比（    ）。 A．明明剩下的面积大 B．丁丁剩下的面积大 C．只有丁丁和圆圆剩下的面积一样大 D．三个人剩下的面积一样大 【变式训练2】图形计算。 （1）如下图所示，阴影部分的面积是50平方米，大小两圆的周长比是3：2，则大圆的面积是多少平分厘米？ （2）下图中的面积是96平方厘米，D是A、C的中点，BE＝EC，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 1．（2025·四川成都·小升初真题）一个正方形边长为cm，如果它的边长增加3cm，所得的正方形面积比原来正方形的面积增加了（    ）cm2。 A． B． C． D． 2．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）一个半圆的面积是39.25cm2，这个半圆的周长是（    ）cm。 A．31.4 B．25.7 C．15.7 D．20.7 3．（2026·江苏淮安·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为30平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．52 B．54 C．60 D．58 4．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）一个等腰三角形的其中两个内角是44°，则它的第三个内角是( )°，按角分，它是一个( )三角形。 5．（2026·全国·小升初模拟）“勾股定理”最早是由我国西周时期的数学家商高发现的，他提出了勾股定理的特例“勾三股四弦五”，即一个直角三角形（如图），它的两条直角边勾长是3、股长是4，那么斜边弦长是5，也就是勾∶股∶弦＝3∶4∶5，现在用一根长60厘米的铁丝围成这样一个直角三角形，它的弦长__________厘米，面积是__________平方厘米。 6．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示：一个黑色小球（用点P表示）以每秒2厘米的速度，从直角梯形的顶点A出发，沿着梯形ABCD的边匀速移动，先后途经B点、C点和D点，最终又回到A点。在点P移动的过程中，以P、A、B三点为顶点的三角形的面积也在不断变化。图2的统计图记录了点P移动时间和三角形PAB面积的变化情况。根据图中信息回答下列问题： (1)图2中的a是( )平方厘米，c是( )平方厘米。 (2)图1中梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 (3)移动( )秒时，三角形PAB的面积是16平方厘米。 7．（2026·湖北武汉·小升初模拟）一个等腰三角形的两条边分别长3cm和7cm，那么它的周长可能是13cm，也可能是17cm。( )（判断对错） 8．（2024·山西太原·小升初真题）用20个边长为1厘米的正方形地砖拼成长方形或正方形，拼成图形的周长最短是20厘米。( )（判断对错） 9．（2026·河南平顶山·小升初模拟）求阴影部分的周长和面积。（取3.14） 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，三角形ABC的面积为10，AD与BF交于点E，且，求图中阴影部分的面积和。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 12．（2026·湖南永州·小升初模拟）一张长方形铁皮，长1.2米，宽8分米，把它剪成若干个小正方形，要求每个小正方形边长最大，且没有剩余铁皮，可以剪多少个？ 13．（2026·四川成都·小升初真题）某市准备在中心广场的圆形音乐喷泉的四周，搭建一个宽度为6米的环形看台。 (1)这个环形看台的占地面积是多少平方米？ (2)如果在环形看台的外围圆周上每隔6.28米种一棵树，一共大约可以种多少棵树？ 14．（25-26五年级上·上海·期末）小丁丁在卧室的墙角处安装了一个小书桌，为了保护桌面，他想给小书桌定制一个桌垫（如下图）。已知每平方米定制桌垫需要99元，实际收费用“去尾法”保留一位小数。请问定制这个桌垫需要多少钱？ 15．（2025·四川绵阳·小升初真题）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 16．（2026·江苏淮安·小升初真题）如图1所示，有一个长方形的操场ABCD，乐乐（点P）从A点出发顺时针方向跑步，速度为1米/秒。乐乐（点P）和A点、B点构成一个三角形PAB，它的面积随着时间的变化而变化（如图2，当运动时间为2秒时，三角形PAB的面积为50平方米）。 (1)求长方形操场ABCD的长和宽分别是多少米？ (2)连接BD两点，若线段BD和AP相交于点N，当三角形PBN的面积与三角形ABN的面积比为3∶5时，P点的运动时间为多少秒？ 17．（2025·重庆渝北·小升初真题）如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，三角形ADC的面积是，三角形BCE的面积是，求阴影部分的面积。 18．（2026·四川成都·小升初真题）如图，正方形内接于半圆，圆内接于正方形，已知半圆面积为100，图中阴影部分的面积是多少？ 19．（25-26六年级上·山东青岛·期末）如下图，一个直角梯形的下底是上底的2.5倍，如果上底增加9.5厘米，下底增加2厘米，原来的梯形就变成了正方形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 20．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图1，在一个矩形信息传输线路中，有、、、、五个信息基站，其中基站和的距离为48个单位长度，和的距离为24个单位长度，和为变速基站。信号源经过基站时速度会变为原来的一半，信号源经过基站时速度会变为原来的2倍，信号源P从出发按顺时针方向沿线路传输到被接收，信号源Q从出发按逆时针方向沿线路传输到被接收。信号源P和信号源Q同时出发，速度分别为每秒8个单位长度和每秒4个单位长度，运动时间为t秒，信号源Q与基站、构成的三角形面积S与运动时间t的变化情况如图2所示。 (1)图2中，a＝______，b＝______，c＝______。 (2)若两个信号源的距离不超过10个单位长度时会互相干扰，求信号源P，Q在传输过程中相互干扰的时长。 (3)当运动时间为t秒时（0≤t≤18），信号源P与基站、构成的三角形面积和信号源Q与基站、构成的三角形面积S相差12，求t所有可能的取值。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $