（易错复习讲义）2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破（七大专题34个易错点）（苏教版）

2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级下册数学 （七大专题34个易错点） 目录 专题一简易方程 3 易错点1：没有找准数量间的等量关系。 3 易错点2：没有理解方程的概念。 5 易错点3：等式性质理解不透彻，解方程过程错误。 7 易错点4：列方程解应用题时，等量关系找不准或漏掉步骤。 11 专题二折线统计图 14 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 14 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 16 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 22 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 25 专题三因数与倍数 35 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 35 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 37 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 39 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 41 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 44 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 47 专题四分数的意义和性质 49 易错点1：没有理解分数单位的意义。 49 易错点2：分数与除法关系混淆。 52 易错点3：真假分数理解或转化错误。 54 易错点4：分数的基本性质应用错误。 56 易错点5：做题时没有按要求把分数化成最简分数。 59 易错点6：对通分的理解错误，导致比较分数大小错误。 61 专题五分数加法和减法 64 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 64 易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 66 易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 76 专题六长方体和正方体 80 易错点1：概念与棱长关系混淆。 80 易错点2：展开图理解不对。 83 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 86 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 88 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 91 易错点6：体积与容积混淆。 93 专题七分数乘法 97 易错点1：计算分数与整数相乘时，不错把整数与分母相乘或分子与整数约分出 97 现错误。 97 易错点2：没有掌握分数乘分数的计算方法,导致出错。 99 易错点3：分数连乘时运算顺序错误​ 100 易错点4：对倒数的意义理解有误，导致表达时出错，或计算错误。 104 易错点5：未找准单位“1”。 106 专题一简易方程 易错点1：没有找准数量间的等量关系。 【易错专练1】甲有a张邮票，乙有b张邮票，如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等。下面哪一个等量关系是正确的？（    ） A．a－10＝b B．a＝b＋10 C．a＝b＋20 D．a－20＝b＋20 【答案】C 【分析】分析题目，根据“如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等”可知：甲的张数比乙的张数多（10＋10），据此可以得出等量关系：甲的张数＝乙的张数＋（10＋10），最后根据等量关系式列出方程并选择即可。 【解答】根据分析可知：a＝b＋（10＋10），即a＝b＋20； 甲有a张邮票，乙有b张邮票，如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等。可以得出等量关系：a＝b＋20。 故答案为：C 【易错专练2】姐姐和弟弟花了同样的钱买文具。姐姐买了1支钢笔和6本同样的笔记本，弟弟买了9本和姐姐同样的笔记本。（    ）本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】分析题目，根据“姐姐和弟弟花了同样的钱”可以得到等量关系式：1支钢笔的价钱＋6本笔记本的价钱＝9本笔记本的价钱，进而可知：1支钢笔的价钱＝（9－6）本笔记本的价钱，据此解答。 【解答】9－6＝3（本），即3本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 姐姐和弟弟花了同样的钱买文具。姐姐买了1支钢笔和6本同样的笔记本，弟弟买了9本和姐姐同样的笔记本。3本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 故答案为：B 【易错专练3】在新年集五福的活动中，林达和刘诚共集了51张福卡。林达集的福卡张教是刘诚的2.4倍，刘诚集了多少张福卡？如果设刘诚集的张数为，根据题意列出等量关系的式子 。 【答案】刘诚的福卡数＋林达的福卡数＝总张数，即 【分析】根据题意，设刘诚集的福卡张数为张，则林达集的福卡张数为张。两人共集51张福卡，可得出等量关系：刘诚的福卡数＋林达的福卡数＝总张数，即。 【解答】根据分析可知： 在新年集五福的活动中，林达和刘诚共集了51张福卡。林达集的福卡张教是刘诚的2.4倍，刘诚集了多少张福卡？如果设刘诚集的张数为，根据题意出等量关系的式子：刘诚的福卡数＋林达的福卡数＝总张数，即。 【易错专练4】根据题意填写合适的数量关系。 为了加大力度拉动消费，某市今年计划投放9000万元的消费券，是去年的1.5倍，去年投放消费券多少万元？ （ ）的消费券额×1.5 ＝（ ）的消费券额 【答案】去年 今年 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，去年的消费券额×1.5＝今年的消费券额，据此得出等量关系。 【解答】根据分析：去年的消费券额×1.5＝今年的消费券额。 【易错专练5】根据方程，补充题中横线上的条件：南京中山陵一共有392级台阶，小敏爬了分钟， ，还剩102级台阶就到顶。列方程根据的数量关系式是： 。 【答案】每分钟爬58个台阶 台阶总数－已爬台阶数还剩下的台阶数 【分析】①方程中58x是x分钟爬的台阶数，所以58是每分钟爬的台阶数； ②方程左边是总数减已爬数，右边是剩余数，根据“总数－已爬数＝剩余数”写出数量关系式。 【解答】①方程392－58x＝102中，58x表示小敏在x分钟内爬的台阶数，其中58表示的是小敏每分钟爬的台阶数，所以此处应补充“小敏每分钟爬58级台阶” ； ②在这个情境中，392是南京中山陵台阶的总数，58x是小敏已经爬过的台阶数，102是还剩下没爬的台阶数，所以列方程依据的数量关系式是“台阶总数－已爬台阶数 ＝ 剩余台阶数” 。 易错点2：没有理解方程的概念。 【易错专练1】在下面式子中。 ①17－x＝9    ②7×8＝56    ③x÷0.9＝4    ④36x     ⑤58＜8.3x    ⑥15x＝105 方程有（ ），等式有（ ）。（在括号里填序号） 【答案】①③⑥ ①②③⑥ 【分析】含有未知数的等式叫做方程。含有等号的式子叫做等式。据此判断。 【解答】①17－x＝9，既含有未知数，又是等式，所以是方程； ②7×8＝56，是等式，但不含未知数，所以不是方程； ③x÷0.9＝4，既含有未知数，又是等式，所以是方程； ④36x，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ⑤58＜8.3x，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ⑥15x＝105，既含有未知数，又是等式，所以是方程； 方程有（①③⑥），等式有（①②③⑥）。 【易错专练2】如下式子中，是等式的有（ ），是方程的有（ ）。（填序号） ①20＋x＝50   ②2y÷3＝30         ③a－51       ④2y＝13－4 ⑤24＋6＝30    ⑥6x＋13＝87－5   ⑦6＋x＜45      ⑧84÷6＝14 【答案】①②④⑤⑥⑧ ①②④⑥ 【分析】表示左右两边相等的式子，叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。方程也是等式，但是等式不一定是方程。据此解答。 【解答】①20＋x＝50既有未知数x，又是等式，所以它是方程。 ②2y÷3＝30既有未知数y，又是等式，所以它是方程。           ③a－51只有未知数a，不是等式，所以它不是方程。            ④2y＝13－4既有未知数y，又是等式，所以它是方程。 ⑤24＋6＝30没有未知数，只是等式，所以它不是方程。           ⑥6x＋13＝87－5既有未知数x，又是等式，所以它是方程。          ⑦6＋x＜45只有未知数x，但不是等式，所以它不是方程。          ⑧84÷6＝14没有未知数，只是等式，所以它不是方程。 所以，是等式的有①②④⑤⑥⑧，是方程的有①②④⑥。 【易错专练3】在①28－y＝28，②x－y，③1.3×3＝3.9，④a＋13b＜11，⑤3.5m＝70中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【答案】①③⑤ ①⑤ 【分析】含有等号的式子，叫做等式；含有未知数的等式，叫做方程，据此逐个判断即可。 【解答】①28－y＝28、⑤3.5m＝70，既含有未知数，又是等式，①和⑤是等式也是方程； ②x－y，含有未知数，但不是等式，所以②既不是等式，也不是方程； ③1.3×3＝3.9，不含有未知数，但是等式，所以③是等式，但不是方程； ④a＋13b＜11，含有未知数，但不是等式，所以④既不是等式，也不是方程。 所以，在①28－y＝28，②x－y，③1.3×3＝3.9，④a＋13b＜11，⑤3.5m＝70中，等式有（①③⑤），方程有（①⑤）。（填序号） 【易错专练4】在25－12＝13，3.4x＝6.8，5a＋1，y＝5＋0，6.8x＋4＞9，m÷6＝10，6＋x＝y中，方程有（ ）个，等式有（ ）个。 【答案】4 5 【分析】含有等号的式子叫作等式；含有未知数的等式叫作方程；方程一定是等式，而等式不一定是方程，如：6＋x＝y既是等式，又是方程，25－12＝13是等式不是方程，据此解答。 【解答】分析可知，方程有3.4x＝6.8，y＝5＋0，m÷6＝10，6＋x＝y，一共4个，等式有25－12＝13，3.4x＝6.8，y＝5＋0，m÷6＝10，6＋x＝y，一共5个。 【易错专练5】在①、②、③、④、⑤、⑥中，等式有（ ）（填序号），方程有（ ）个。 【答案】①②③⑤ 3 【分析】等式是表示两个数或者表达式之间用等号连接的语句；方程是含有未知数的等式。然后依次分析每个式子。 【解答】①，用等号连接，①是等式； ②，用等号连接，②是等式； ③，用等号连接，③是等式； ④，只是一个表达式，没有等号，④不是等式； ⑤，用等号连接，⑤是等式； ⑥，用小于号连接，⑥不是等式。 所以等式有①②③⑤。 ①，含有未知数x且是等式，①是方程。 ②，是等式但不含未知数，②不是方程。 ③，含有未知数y且是等式，③是方程。 ⑤，含有未知数z且是等式，⑤是方程。 所以方程有①③⑤，共3个。 在①、②、③、④、⑤、⑥中，等式有①②③⑤，方程有3个。 易错点3：等式性质理解不透彻，解方程过程错误。 【易错专练1】解方程。            【答案】； 【分析】（1）方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【解答】（1） 解： （2） 解： 【易错专练2】解方程。          【答案】x＝6    x＝7.4 【分析】第一小题，根据等式性质，等式左右两边同时减去5×1.6，再除以2；第二小题，根据等式性质1，等式这样两边同时加上3.7减去6.3。 【解答】解：5×1.6＋2x＝20 ＝5×1.6－5×1.6＋2x ＝20－5×1.6          2x＝20－8 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 解：x－3.7＋6.3＝10 x－3.7＋3.7＋6.3－6.3＝10＋3.7－6.3 x＝13.7－6.3 x＝7.4 【易错专练3】解方程。 5x－4＝56            2x＋4×1.5＝22             2.4x－1.2x＝24 【答案】x＝12；x＝8；x＝20 【分析】（1）先根据等式的基本性质1给方程两边同时加上4，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以5即可； （2）先计算出4×1.5把算式写成2x＋6＝22，再根据等式的基本性质1给方程两边同时减去6，最后根据等式的基本性质2给方程两边同时除以2即可； （3）先把方程的左边化简为1.2x，再根据等式的基本性质2给方程两边同时除以1.2即可。 【解答】5x－4＝56     解：5x－4＋4＝56＋4 5x＝60 5x÷5＝60÷5 x＝12      2x＋4×1.5＝22     解：2x＋6＝22   2x＋6－6＝22－6 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8        2.4x－1.2x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 【易错专练4】解方程。 6.4＋0.6x＝10    0.8x÷3＝0.32    7x－0.6×2.8＝1.82 【答案】x＝6；x＝1.2；x＝0.5 【分析】利用等式性质，先把等式两边同时减去6.4，再等式两边同时除以0.6，求出x的值。 根据等式性质，等式两边同时乘3，再等式两边同时除以 0.8，求出x的值。 先计算方程中的乘法部分0.6×2.8＝1.68，再利用等式性质，等式两边同时加上1.68，再等式两边同时除以7，出x的值。 【解答】6.4＋0.6x＝10 解：0.6x＝10－6.4 0.6x＝3.6 x＝3.6÷0.6 x＝6 0.8x÷3＝0.32 解：0.8x＝0.32×3 0.8x＝0.96 x＝0.96÷0.8 x＝1.2 7x－0.6×2.8＝1.82 解：7x－1.68＝1.82 7x＝1.82＋1.68 7x＝3.5 x＝3.5÷7 x＝0.5 【易错专练5】解方程。                          【答案】；； 【分析】先把方程左边化简为0.9x＝0.18，再根据等式的基本性质，两边再同时除以0.9； 根据等式的基本性质，方程两边同时加上2.3，两边再同时除以3.2； 根据等式的基本性质，方程两边同时乘2，两边再同时除以1.3。 【解答】x－0.1x＝0.18 解：0.9x＝0.18 x＝0.18÷0.9 x＝0.2 3.2x－2.3＝4.1 解：3.2x－2.3＋2.3＝4.1＋2.3 3.2x＝6.4 x＝6.4÷3.2 x＝2 1.3x÷2＝2.6 解：1.3x÷2×2＝2.6×2 1.3x＝5.2 x＝5.2÷1.3 x＝4 易错点4：列方程解应用题时，等量关系找不准或漏掉步骤。 【易错专练1】王老师买了一个6千克的哈密瓜和一个8千克的西瓜，共用去63.2元。已知每千克哈密瓜比西瓜贵1.2元，请分别求出哈密瓜和西瓜的单价。 【答案】哈密瓜5.2元/千克；西瓜4元/千克 【分析】可以用方程法来解题。假设西瓜的单价为元/千克，那么哈密瓜的单价就是（＋1.2）元/千克。根据“6千克哈密瓜＋8千克西瓜＝63.2元”的总价关系，列出方程6（＋1.2）＋8＝63.2，解这个方程就能求出两种水果的单价。 【解答】解：设西瓜的单价为元/千克，则哈密瓜的单价为（＋1.2）元/千克。 6（＋1.2）＋8＝63.2 6＋7.2＋8＝63.2 14＋7.2＝63.2 14＋7.2－7.2＝63.2－7.2 14＝56 14÷14＝56÷14 ＝4 4＋1.2＝5.2（元/千克） 答：哈密瓜单价为5.2元/千克，西瓜单价为4元/千克。 【易错专练2】王强家买来5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升。每个大瓶中的果汁比每个小瓶中的果汁多200毫升，每个小瓶中装有多少毫升果汁？ 【答案】400毫升 【分析】设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升，5大瓶装果汁5×（200＋x）毫升，9小瓶装果汁9x毫升，根据5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升列方程解答即可。 【解答】解：设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升。 14x＋1000＝6600 14x＋1000－1000＝6600－1000 14x÷14＝5600÷14 答：每个小瓶中装有400毫升果汁。 【易错专练3】无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 【答案】11人 【分析】参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，即：参加惠山泥人制作学习的学生人数×3－8＝参加锡剧表演学习的学生人数，设参加惠山泥人制作学习的学生人数为x人，根据等量关系可列出方程3x－8＝25，解方程，即可求出参加惠山泥人制作学习的学生有多少人。 【解答】解：设参加惠山泥人制作学习的学生有x人。 3x－8＝25 3x＝25＋8 3x＝33 x＝33÷3 x＝11 答：参加惠山泥人制作学习的学生有11人。 【易错专练4】红酸汤丝娃娃制作技艺已经入选第五批省级非遗代表性项目名录，是贵州地区家喻户晓的知名小吃。因其形状上大下小，如薄丝包着的婴儿，故称丝娃娃（又称素春卷或春盘）。李叔叔帮同事们买了2盘大份和5盘小份的丝娃娃，一共付了158元，已知一盘大份的丝娃娃比一盘小份的贵9元，那么一盘大份和一盘小份的丝娃娃分别是多少元？ 【答案】一盘大份29元；一盘小份20元 【分析】根据“一盘大份的丝娃娃比一盘小份的贵9元”，可以设一盘小份的丝娃娃是元，则一盘大份的丝娃娃是（＋9）元； 根据“买了2盘大份和5盘小份的丝娃娃，一共付了158元”得出等量关系：一盘大份的丝娃娃的价钱×2＋一盘小份的丝娃娃的价钱×5＝2盘大份和5盘小份的丝娃娃的总价钱，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设一盘小份的丝娃娃是元，则一盘大份的丝娃娃是（＋9）元。 2（＋9）＋5＝158 2＋18＋5＝158 7＋18＝158 7＋18－18＝158－18 7＝140 7÷7＝140÷7 ＝20 大份：20＋9＝29（元） 答：一盘大份的丝娃娃是29元，一盘小份的丝娃娃是20元。 【易错专练5】“互联网＋助农”成为赋能乡村振兴的重要方式，是解决优质农产品销路难题的有效方式之一。在某场助农直播中，共卖出草莓40箱、葡萄30箱，共1600千克。每箱草莓比每箱葡萄重5千克。草莓和葡萄各卖出了多少千克？ 【答案】1000千克； 600千克 【分析】先设每箱葡萄的重量为x千克，根据“每箱草莓比每箱葡萄重5千克”，则每箱草莓的重量为（x＋5）千克，再根据“40箱草莓的重量＋30箱葡萄的重量＝总重量”，列出方程求解出每箱草莓和葡萄的重量，再用每箱草莓的重量乘40，每箱葡萄的重量乘30，据此解答。 【解答】解：设每箱葡萄的重量为x千克，则每箱草莓的重量为（x＋5）千克。 40（x＋5）＋30x＝1600 40×x＋40×5＋30x＝1600 40x＋200＋30x＝1600 70x＋200＝1600 70x＋200－200＝1600－200 70x＝1400 70x÷70＝1400÷70 x ＝20 20＋5＝25（千克） 25×40＝1000（千克） 20×30＝600（千克） 答：草莓卖出了1000千克，葡萄卖出了600千克。 专题二折线统计图 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 【易错专练1】要比较两个不同品牌的电视一周销售变化情况，选用（    ）比较合适。 A．复式条形统计图B．单式折线统计图C．复式折线统计图 D．统计表 【答案】C 【分析】本题要求比较两个不同品牌电视一周的销售变化情况，需同时考虑两点：一是“比较两个品牌”，需同时显示两组数据；二是“销售变化情况”，需反映数据随时间的变化趋势。折线统计图擅长展示变化趋势，而复式折线统计图可在一张图中用不同折线表示多个组的数据变化，便于直接比较。单式折线统计图仅能显示一个品牌的数据，无法满足比较需求；复式条形统计图虽可比较两组数据，但更适用于静态类别比较，而非变化趋势；统计表仅列出数据，不直观。 【解答】要比较两个不同品牌的电视一周销售变化情况，要比较两个不同品牌电视一周的销售变化情况，需同时观察两个品牌的数据随时间（如每天）的变化趋势，选用复式折线统计图比较合适。 故答案为：C 【易错专练2】下面情况中，（    ）比较适合用折线统计图表示。 A．学校一至六年级男女生人数 B．五年级6个班制作的科技作品数 C．王林记录蒜叶生长的变化情况 D．五（1）班同学身高分布情况 【答案】C 【分析】折线图的特点是能够清晰的展示出数据变化的趋势；条形图能够直观比较不同类别数据的多少；扇形统计图的特点是能够体现各部分在整体中所占的比例。可以根据不同的特点选择合适的统计图。 【解答】A．学校一至六年级男女生人数重点是数量多少的比较，适合条形统计图； B．五年级6个班制作的科技作品数重点在于体现不同班级下科技作品的数量的对比，适合条形统计图； C．王林记录蒜叶生长的变化情况重点在于表现蒜叶长度随着时间变化的过程，适合折线统计图； D．五（1）班同学身高分布情况重点在于体现不同身高段下人数的分布，适合条形统计图。 故答案为：C 【易错专练3】气象小组的同学想制作一幅统计图，用来反映所在市区2024年上半年的月平均气温变化情况，并和2023年上半年相比较。他们应该选用（    ）统计图比较合适。 A．单式条形 B．复式条形 C．单式折线 D．复式折线 【答案】D 【分析】单式条形统计图可以清楚地看出数量的多少。 复式条形统计图可以用不同的条形表示两种以上数量的多少。 单式折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 复式折线统计图通过两组以上数据的水平进行比较，可以容易地比较出两组以上数据的变化趋势，更清楚看出各类之间的比较。 【解答】根据分析可知，气象小组的同学想制作一幅统计图，用来反映所在市区2024年上半年的月平均气温变化情况，并和2023年上半年相比较。他们应该选用（复式折线）统计图比较合适。 故答案为：D 【易错专练4】统计两架模型飞机在一次飞行中时间和高度的记录用复式条形统计图更合适。（ ） 【答案】× 【分析】条形统计图可以直观地显示数量的多少。折线统计图除了显示数量的多少，还可以清楚地反应数量的增减变化情况。根据各种统计图的特点，选择合适的统计图，据此解答。 【解答】由分析得：统计两架模型飞机在一次飞行中时间和高度的记录用复式折线统计图更合适，所以原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练5】统计某个病人一段时间内体温变化情况，一般采用折线统计图。（ ） 【答案】√ 【分析】折线统计图适用于表示数据的变化趋势，不仅能表示出数量的多少，还能清晰反映出数量的增减变化情况，尤其适合展示随时间变化的数据。病人的体温变化是连续的时间序列数据，使用折线统计图可以清晰反映体温的升降趋势。 【解答】折线统计图通过连接各数据点形成折线，能够直观体现数据随时间的变化情况。题目中统计病人体温变化，目的是观察其波动趋势，因此采用折线统计图正确。 故答案为：√ 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 【易错专练1】一台全自动血压监测仪记录了一位病人白天血压变化情况，具体数据如下表： 时间（时） 8时 10时 12时 14时 16时 18时 高压（mmHg） 110 120 125 120 125 130 低压（mmHg） 75 80 90 80 90 95 （1）根据表中数据，完成如图的折线统计图。 （2）世界卫生组织关于健康血压的标准有这样一段表述：正常健康的血压高压不高于120mmHg，低压不高于80mmHg。按世卫组织的表述，这位病人有（    ）次监测的数据是正常的。 【答案】（1）见详解 （2）3 【分析】（1）横向表示时间，纵向表示血压（mmHg）。对于高压数据：8时：110mmHg；10时：120mmHg；12时：125mmHg；14时：120mmHg；16时：125mmHg；18时：130mmHg，用实线依次连接这些点。对于低压数据：8时：75mmHg；10时：80mmHg；12时：90mmHg；14时：80mmHg；16时：90mmHg；18时：95mmHg，用虚线依次连接这些点。 （2）根据“正常健康的血压高压不高于120mmHg，低压不高于80mmHg”，即高压小于等于120mmHg，低压小于等于80mmHg为正常。逐一分析各时间点：8时：高压110＜120，低压75＜80，正常。10时：高压120＝120，低压80＝80，正常。12时：高压125＞120，低压90＞80，不正常。14时：高压120＝120，低压80＝80，正常。16时：高压125＞120，低压90＞80，不正常。18时：高压130＞120，低压95＞80，不正常。正常的监测次数为3次。 【解答】（1）如图： （2）8时：高压110＜120，低压75＜80，正常； 10时：高压120＝120，低压80＝80，正常； 12时：高压125＞120，低压90＞80，不正常； 14时：高压120＝120，低压80＝80，正常； 16时：高压125＞120，低压90＞80，不正常； 18时：高压130＞120，低压95＞80，不正常； 这位病人有3次监测的数据是正常的。 【易错专练2】下面是第26～31届奥运会我国获得奖牌情况统计表。 年份 届数 地点 金牌数量/枚 银牌数量/枚 排名 1996 26 美国亚特兰大 16 22 4 2000 27 澳大利亚悉尼 28 16 3 2004 28 希腊雅典 32 17 2 2008 29 中国北京 51 21 1 2012 30 英国伦敦 38 27 2 2016 31 巴西里约热内卢 26 18 3 根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 第26～31届奥运会我国获得奖牌情况统计图 【答案】见详解 【分析】先根据统计表中的数据以及统计图纵轴的格子数，确定纵轴每小格表示5枚奖牌较合适，横轴表示届数；然后确定图例，实线表示金牌的数量，虚线表示银牌的数量；再根据数据的大小，在图中分别描出两组数据的各点，并根据图例把各点用线段顺次连接起来，完成复式折线统计图的绘制。 【解答】如图： 【易错专练3】某小学一至六年级喜欢看科普读物的学生的人数如下表。根据表中数据，制成折线统计图。 年级 一 二 三 四 五 六 人数 20 26 32 47 68 83 【答案】见详解 【分析】看图知：横轴表示年级，纵轴表示人数；根据折线统计图的绘制方法，先按照统计表中的数据描出各数据对应点的位置，然后顺次连接各点画折线统计图，并标上数据。据此解答。 【解答】作图如下： 【易错专练4】下面是生物小组同学记录的一棵杨树6年的生长情况。 树龄 1 2 3 4 5 6 高度/cm 90 140 230 260 310 440 根据以上数据，请你画出折线统计图。 【答案】见详解 【分析】根据折线统计图的绘制方法，先根据统计表中的数据分别描出各对应点，然后顺次连接各点完成折线统计图。 【解答】作图如下： 【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的绘制方法及应用。 【易错专练5】根据下表，画出与之对应的折线统计图。 【答案】答案见详解。 【分析】折线统计图用不同位置的点表示数量的多少，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。观察人数最多有40人，依据行数，每一行代表5个人比较合适。 【解答】作图如下： 。 【点评】此题考查折线统计图的绘制，明确每一行代表的具体数值是解题的关键。 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 【易错专练1】幸福商场去年各月利润情况如图，以下说法不正确的是（    ）。 A．10月份利润最高，是48万元 B．4月份利润最低，是20万元 C．1－4月份利润逐月下降 【答案】A 【分析】通过观察统计图可知，4月份利润最少，是20万元；10月份利润最高，是50万元；1－4月份利润逐月下降；4－10月份利润逐月上升，10－11月份利润下降，11－12月份有所上升，由此解答。 【解答】A．10月份利润最高，是48万元，说法错误； B．4月份利润最低，是20万元，说法正确； C．1－4月份利润逐月下降，说法正确。 故答案为：A 【易错专练2】根据甲、乙两人在体育社团连续五次测试得分的统计图（如图）判断，下面结论错误的是（    ）。 A．两人的得分都呈上升趋势 B．乙的测试得分整体提升得比甲快 C．第二次测试中，甲的得分比乙的得分高13分 D．下次测试中，乙的得分一定比甲高 【答案】D 【分析】复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示2个及以上数量的增减变化情况，折线向上走势越陡成绩增长得越快，折线向上走势越缓成绩增长得越慢，实线表示甲的成绩变化情况，虚线表示乙的成绩变化情况，总体来讲两人的成绩都呈上升趋势，乙的成绩整体比甲的成绩增长得快一些，根据统计图中的数据求出两人在第二次测试中的成绩差，根据折线的走势可以预测下次两人的成绩，但“乙的得分比甲高”并不一定会发生，属于“可能”事件，不能用“一定”描述，据此解答。 【解答】A．观察复式折线统计图可知，两人的得分都呈上升趋势； B．复式折线统计图中，表示乙的得分情况的折线整体上比表示甲的得分情况的折线更陡一些，所以乙的测试得分整体提升得比甲快； C．85－72＝13（分），所以在第二次测试中，甲的得分比乙的得分高13分； D．分析可知，下次测试中，乙的得分比甲高属于“可能”事件，不能用“一定”描述，可以说“乙的得分可能比甲高”。 故答案为：D 【易错专练3】下面的统计图可能表示（    ）。 A．乐迪和小爱两人2024年身高的变化情况。 B．南京和上海2024年每月最低气温的情况。 C．2024年每月某商场棉服和T恤的销售量情况。 D．2024年某景区每月的人流量情况。 【答案】C 【分析】复式折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。复式折线统计图表示2个及以上的量的增减变化情况。从图中可知：统计图中有两条折线，一条用实线表示，另一条用虚线表示。这两条折线在不同的时间段内有上升也有下降，且变化趋势相反，即一条上升时另一条下降，反之亦然。据此逐项分析各选项数据变化情况与统计图是否相符即可。 【解答】A．一般来说，人的身高在一年中不会频繁地上升和下降，而是会随着时间逐渐增长（对于儿童）或保持稳定（对于成人）。该选项不符合题意。 B．气温的变化通常会有一定的季节性规律，比如夏季气温高，冬季气温低。而且，两个相邻地区的气温变化趋势应该大致相同，不会出现图中两条折线如此交错复杂的变化。该选项不符合题意。 C．棉服和T恤的销售量会受到季节的影响。冬季气温低，棉服销售量会增加，T恤销售量会减少；夏季气温高，棉服销售量会减少，T恤销售量会增加。从图中可以看到，两条折线的变化趋势是相反的，这符合棉服和T恤销售量随季节变化的情况。该选项符合题意。 D．景区的人流量虽然会受到季节、节假日等因素的影响，只用一条折线表示即可，通常不会出现图中两条折线频繁交错且波动幅度较大的情况。该选项不符合题意。 故答案为：C 【易错专练4】《中国居民膳食指南》建议成年人每天进行累计相当于6000步以上的身体活动。下面是甲、乙两人某周的运动步数统计图，下列描述正确的是（    ）。 A．乙坚持运动，是运动达人 B．甲从不运动，喜欢宅在家 C．乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网 D．甲偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网 【答案】C 【分析】观察复式折线统计图，实线表示甲一周的运动步数，虚线表示乙一周的运动步数；实线一直在虚线的上方，且数据比较稳定，说明甲坚持锻炼；虚线起伏较大，即乙每天的步数变化比较大，说明乙偶尔锻炼。 【解答】A．甲坚持运动，是运动达人，原题干说法错误。 B．乙偶尔运动，喜欢宅在家，原题干说法错误。 C．乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网，原题干说法正确。 D．乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网，原题干说法错误。 描述正确的是乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网。 故答案为：C 【易错专练5】农历二月和八月，太原市早晚冷、中午热，人们会在一天内频繁地增减衣物。“二八月，乱穿衣”，就是这种气候特点的形象写照。下面的折线统计图，（    ）符合农历二、八月太原市一天内的气温变化。 A． B．C． 【答案】B 【分析】数据点位置越高表示气温越高，数据点位置越低表示气温越低，太原市早晚冷、中午热，反映在折线统计图中应该中间表示中午气温的数据点高，两端表示早晚气温的数据点低，人们会在一天内频繁地增减衣物，说明早晚和中午的温差较大，据此选择。 【解答】A．反映气温逐渐升高，不符合； B．中间气温高，早晚气温低，且温差较大，符合； C．中间气温高，早晚气温低，但温差较小，不符合。 符合农历二、八月太原市一天内的气温变化。 故答案为：B 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 【易错专练1】下面是信兴商店电风扇和电暖器2024年下半年销售情况统计表 时间/月 七 八 九 十 十一 十二 电风扇 80台 60台 65台 35台 20台 20台 电暖器 10台 15台 25台 40台 60台 70台 （1）根据统计表，把统计图补充完整。 （2）电风扇卖出数量最多的是（    ）月，电暖器卖出数量最少的是（    ）月。 （3）电风扇第四季度，平均每个月销售（    ）台。 （4）电风网和电暖器销售数量相差最大的是（    ）月。 （5）分析2024年下半年电暖器销售情况，并给商家合理的建议。 【答案】（1）见详解 （2）七；七 （3）25 （4）七 （5）销售情况：从七月到十二月，电暖器的销售量整体呈上升趋势，七月销售量最少为10台，十二月销售量最多为70台。 建议：在下半年尤其是第四季度适当增加电暖器的进货量，开展促销活动提高销售量。 【分析】（1） 根据统计表中的数据，在统计图中对应月份的位置，分别用实线（代表电风扇）和虚线（代表电暖器）描出各月的销售数量点，然后用线段依次连接各点，完成统计图的补充。 （2）  观察电风扇的销售数据：80（七月）、60（八月）、65（九月）、35（十月）、20（十一月）、20（十二月），可找到卖出数量最多的月份；观察电暖器的销售数据：10（七月）、15（八月）、25（九月）、40（十月）、60（十一月）、70（十二月），可找到卖出数量最少的月份。 （3） 第四季度包括十月、十一月、十二月，计算出电风扇这三个月的销售总量，平均每个月销售＝三个月的销售总量÷3。 （4） 分别计算每个月电风扇和电暖器销售数量的差值，比较可得出销售数量相差最大的月份。 （5） 分析2024年下半年电暖器销售情况：由图可知，从七月到十二月，电暖器的销售量整体呈上升趋势，七月销售量最少为10台，十二月销售量最多为70台，由此给出建议即可。 【解答】根据分析： （1）如图： （2）观察电风扇的销售数据，可知卖出数量最多的是七月； 观察电暖器的销售数据，可知卖出数量最少的是七月。 （3）35＋20＋20＝75（台） 平均每个月销售：75÷3＝25（台） 所以电风扇第四季度，平均每个月销售25台。 （4）七月：80−10＝70（台）； 八月：60－15＝45（台）； 九月：65－25＝40（台）； 十月：40－35＝5（台）； 十一月：60－20＝40（台）； 十二月：70－20＝50（台）； 比较可得，销售数量相差最大的是七月。 （5）销售情况：从七月到十二月，电暖器的销售量整体呈上升趋势，七月销售量最少为10台，十二月销售量最多为70台。 建议：在下半年尤其是第四季度适当增加电暖器的进货量，开展促销活动提高销售量。 【易错专练2】某校2024年上半年水电费情况如下表。 （1）根据表中数据，补全上面的统计图。 （2）（    ）月的电费最多，（    ）月的电费最少，两个月相差（    ）元。 （3）上半年的水费呈（    ）趋势，上半年的电费呈（    ）趋势。 （4）根据图信息，你想对学校提出什么建议：___________。 【答案】（1）见详解 （2）6；1；1100 （3）下降；上升 （4）观察到电费逐月上升，6月达到1600元较高，建议学校加强用电管理，如白天光线好时减少照明用电，合理调控空调等大功率电器使用，降低电费支出。（答案不唯一） 【分析】（1）已知表格中1－5月数据，要补全6月数据，需从表格找6月水费550元、电费1600元。按照折线统计图绘制方法，找到6月对应横轴位置，根据纵轴刻度，在水费折线对应550元、电费折线对应1600元处描点，再连接线段。 （2）要找电费最多和最少的月份，需观察电费数据，比较这些数据大小，找出最大值和最小值对应的月份，再算差值（最大值－最小值）。 （3）看水费数据，整体数值逐渐降低，判断趋势；看电费数据，整体数值逐渐升高，判断趋势。 （4）从水费下降、电费上升的趋势看，电费后期增长快，可建议学校节约用电，比如合理使用电器、养成随手关灯等习惯；也可结合数据，看是否有异常高的月份，分析原因并建议优化。 【解答】（1） （2）分析统计图可知： 找最大值和对应月份：1600最大，对应6月； 找最小值和对应月份：500最小，对应1月。 算差值：1600−500＝1100元。 （3）水费数据：950→800→700→700→600→550，数值逐步减小，所以上半年的水费呈下降趋势。 电费数据：500→700→800→900→1200→1600，数值逐步增大，所以上半年的电费呈上升趋势。 （4）观察到电费逐月上升，6月达到1600元较高，建议学校加强用电管理，如白天光线好时减少照明用电，合理调控空调等大功率电器使用，降低电费支出。（答案不唯一，围绕节约能源、合理控制水电费展开即可 ） 【易错专练3】对照儿童体质指数，小明和小华都属于“中度肥胖”类型，他们从2025年1月开始参加“体重管理年”活动。6月初，两人将1－5月份体重的数据制成了下面的统计表和折线统计图。 小华和小明2025年1－5月份体重情况统计表 2025年6月 小华和小明2025年1－5月份体重情况统计图 （1）根据统计表将折线统计图补充完整。 （2）（    ）月份，小明和小华的体重相差最小。 （3）从（    ）月到（    ）月，小明的体重下降的最快。 （4）根据五月份体重监测结果，他们已属于“轻度肥胖”类型，你对他们接下来的体重管理有什么建议？（不少于15个字） 【答案】（1）见详解； （2）三； （3）一；二 （4）继续加强体育锻炼、合理膳食、保证睡眠等。（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据统计表中五月份小明体重71千克，小华体重67千克，把折线统计图补充完整即可； （2）观察补充完整后的折线统计图可知，三月份小明和小华体重的数值距离最近，即此月两人的体重相差最小； （3）一月到二月，二月到三月，小明的体重都在下降，可分别求出下降了多少千克，比较大小找出小明几月到几月体重下降的最快； （4）根据肥胖程度提出合理化建议，比如从减肥方面、运动、饮食方面解答。（答案不唯一，合理即可） 【解答】（1）由分析可得，补充如下： （2）观察统计图可知，三月份小明和小华体重的数值距离最近，即此时两人的体重相差最小。 三月份，小明和小华的体重相差最小。 （3）78―74＝4（千克） 74－71＝3（千克） 4＞3 即从一月到二月，小明的体重下降的最快。 （4）答：继续加强体育锻炼、合理膳食、保证睡眠等。（答案不唯一，合理即可） 【易错专练4】（1）下表统计了A城和B城2024年下半年各月的平均气温。根据统计表中的数据，完成统计图。 （2）（    ）城的月平均气温整体平稳；（    ）月份两个城市的月平均气温差距最大。 （3）你觉得2024年下半年哪个城市的空调销售量更好？为什么？ 【答案】（1）图见详解 （2）B；七 （3）A；理由见详解 【分析】（1）结合统计表中A城2024年下半年各月的平均气温，在图中描出各点，然后根据图例用实线顺次把各点连接起来，把复式折线统计图补充完整。 （2）观察复式统计图中的两条折线，折线平稳的，表示这个城市的月平均气温整体平稳； 当图中两条折线的叉口最大时，表示这个月两个城市的月平均气温差距最大。 （3）从复式折线统计图中获取信息，得出2024年下半年哪个城市的空调销售量更好，并结合生活实际说明理由，合理即可。 【解答】（1）如图： （2）（B）城的月平均气温整体平稳；（七）月份两个城市的月平均气温差距最大。 （3）答：我觉得2024年下半年A城市的空调销售量更好。从图中可知，七、八、九、十月份这4个月A城市的气温比B城市的高，且下半年A城市的最高气温达到30℃，气温越高装空调的人越多，所以A城市的空调销售量更好。 【易错专练5】王老师准备复印一些材料，以下是甲、乙两个店铺的收费标准。 甲店 乙店 每张收费1元，不收加工费。 每次复印收取加工费6元，可以免费复印4张，以后每增加1张，收费0.5元。 例如： 在甲店复印4张，应付（元）在乙店复印4张，应付6元； 复印12张，应付：（元） （1）根据甲、乙两个店铺的收费标准，请将统计表补充完整。 复印张数 收费元 店铺名称 4张 8张 12张 16张 20张 甲店 4元 8元 12元 16元 乙店 6元 10元 （2）根据表中的数据，请将下面的折线统计图补充完整。 甲、乙两店复印收费情况统计图 （3）观察统计图，想一想：复印 张时，两家店铺的收费同样多。 （4）王老师去哪一家店铺复印呢？你有什么建议？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）8 （4）王老师复印的超过8张就去乙店复印划算，当复印张数少于8张时选择甲店比较划算。 【分析】（1）甲店复印20张需付元；乙店：每次复印收取加工费6元，可以免费复印4张，以后每增加1张，收费0.5元，可得加工费6元＋（复印张数－免费复印4张）×0.5＝复印费用，据此计算乙店复印8张，12张，20张的价钱。 （2）制作折线统计图时，先从列中找到项目，再从行中找到对应的数量高度点点，然后连点成线。 （3）观察折线统计图，发现两条折线在复印8张时相较于同一点，此时费用一样多，所以复印8张时，两家店铺的收费同样多。 （4）观察折线统计图，发现两条折线在复印8张时相较于同一点，此时费用一样多，当复印张数超过8张时，选乙店便宜，当复印张数少于8张时选择甲店比较便宜，所以王老师复印的超过8张就去乙店复印划算，当复印张数少于8张时选择甲店比较划算，答案合理即可。 【解答】（1）甲店20张应付：（元） 乙店8张应付： （元） 乙店12张应付： （元） 乙店20张应付： （元） 复印张数 收费元 店铺名称 4张 8张 12张 16张 20张 甲店 4元 8元 12元 16元 20元 乙店 6元 8元 10元 12元 14元 （2）如图： （3）观察统计图，想一想：复印8张时，两家店铺的收费同样多。 （4）王老师复印的超过8张就去乙店复印划算，当复印张数少于8张时选择甲店比较划算。（答案不唯一） 【点评】本题考查折线统计图，解答本题的关键是掌握根据折线统计图分析数据的能力。 专题三因数与倍数 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 【易错专练1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【答案】B 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的。质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。据此解答。 【解答】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 【易错专练2】因为1.2÷3＝0.4，所以1.2是3和0.4的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】解答这道题需熟知：整数除以整数（a、b都不为0）所得的商是整数而没有余数，就说是的倍数，是的因数。也就是说，倍数和因数的概念均限定在整数范围内。1.2÷3＝0.4中1.2和0.4都是小数，不满足整数的前提条件，因此不能用整除描述它们的关系。 【解答】1.2和0.4都是小数，所以1.2是3和0.4的倍数。这句话的描述是错误的。 故答案为：× 【易错专练3】一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是12。（ ） 【答案】√ 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所以判断12能否被4整除、24能否被12整除即可。 【解答】根据分析： 12÷4＝3，3是整数，因此12是4的倍数； 24÷12＝2，2是整数，因此12是24的因数； 所以一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是12。原说法正确。 故答案为：√ 【易错专练4】文文一家开车去距离石家庄360千米的北京看望奶奶，文文的爸爸开车从石家庄到北京，平均每小时行90千米。这句话中，（ ）是（ ）的倍数。 【答案】360 90 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，c是a、b的倍数，根据路程＝速度×时间，据此找出哪个数是哪个数的倍数即可。 【解答】360÷90＝4（小时） 90×4＝360（千米） 文文一家开车去距离石家庄360千米的北京看望奶奶，文文的爸爸开车从石家庄到北京，平均每小时行90千米。这句话中，360是90的倍数。 【易错专练5】下面各组数中，第二个数是第一个数的倍数的是（    ）。 A．42和8 B．12和4 C．1.8和0.9 D．16和32 【答案】D 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，由此即可选择。 【解答】A．42÷8＝5.25，商不是整数，则42不是8的倍数，不符合题意； B．12÷4＝3，12是4的倍数，第一个数是第二个数的倍数，不符合题意； C．1.8÷0.9＝2，1.8和0.9均为小数，不符合题意； D．32÷16＝2，32是16的倍数，满足题意。 故答案为：D 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 【易错专练1】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【答案】B 【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。 【解答】既是2的倍数，又是5的倍数，个位一定是0； 750＞570，则既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是750。 故答案为：B 【易错专练2】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【答案】B 【分析】先从题目文中逐一提取出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60，再按照要求筛选出既是60的因数，又是3的倍数的数字，先列出60的全部因数，再从中找出是3的倍数的数，对照提取出的数字匹配后统计符合条件的个数，最终得出满足条件的数字数量。 【解答】文中出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60； 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 从60的因数里，找出是3的倍数的数有：3、6、12、15、30、60； 和题目原文提取的数字对照匹配，符合既是60的因数，又是3的倍数的数：6、30、60； 故答案为：B 【易错专练3】在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除； 5的倍数特征：一个数的末尾是0或5的数，能被5整除。 21□0的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为2＋1＋□的和是3的倍数，据此分析即可。 【解答】2＋1＋□＝3＋□，且□里只填一个数字，有如下几种情况： 当□＝0时，3＋□＝3＋0＝3，3是3的倍数； 当□＝3时，3＋□＝3＋3＝6，6是3的倍数； 当□＝6时，3＋□＝3＋6＝9，9是3的倍数； 当□＝9时，3＋□＝3＋9＝12，12是3的倍数； 所以在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 【易错专练4】187至少减去（ ）就是2的倍数，至少减去（ ）就是5的倍数，至少加上（ ）就是3的倍数，至少加上（ ）就是2和5的共同倍数。 【答案】1 2 2 3 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【解答】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 【易错专练5】在方框里填上合适的数字。 （1）29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填（ ）。 （2）14□同时是2和3的倍数，□里可以填（ ）。 （3）581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填（ ）。 （4）42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填（ ）。 【答案】（1）0（2）4（3）4（4）0 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0、5的数是5的倍数；一个数各数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【解答】（1）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0。 29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填0。 （2）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是：、、、、，其中9是3的倍数，所以个位上是4。 14□同时是2和3的倍数，□里可以填4。 （3）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是： 、 、 、 、 ，其中18、15是3的倍数，所以个位上是4。 581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填4。 （4）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0，，6是3的倍数，所以个位上是0。 42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填0。 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 【易错专练1】一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【答案】C 【分析】9的最大因数是9，偶数中唯一的质数是2，1既不是质数也不是合数，所以△、〇、□分别是9，2，1。 【解答】由分析可知：△、□、〇分别代表一位数，△、〇、□分别是9，2，1。 确定这个车牌号是吉A•XX921。 故答案为：C 【易错专练2】小明掷骰子（六个面分别标1、2、3、4、5、6），掷出的结果是（    ）。 A．质数的可能性大 B．合数的可能性大 C．无法确定 【答案】A 【分析】每次掷骰子可能的结果为1、2、3、4、5、6，共6种。其中质数为2、3、5，共3种。合数为4、6，共2种。3＞2，就可以得到掷出结果是质数的可能性大还是合数的可能性大，据此解答。 【解答】掷出质数2、3、5。 掷出合数4、6。 因为3＞2，所以掷出结果是质数的可能性大。 故答案为：A 【易错专练3】在1～50的数中，如果质数有m个，则合数有个。（ ） 【答案】× 【分析】在1～50的数中，包括质数、合数和1。1既不是质数也不是合数。总数为50，质数有m个，则合数个数应为总数减去质数个数再减去1，即个。试题中给出的个包含了1，因此错误。 【解答】在1～50的自然数中，总共有50个数。根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的数；合数是大于1且有超过两个因数的数；1既不是质数也不是合数。因此，。设质数有m个，则合数个数为但试题中给出的合数个数为，这比实际合数个数多1，因为它未排除1。因此，该说法不正确。 故答案为：× 【易错专练4】在“1、2、5、7、9、11”中，质数和奇数的个数不相等。（ ） 【答案】√ 【分析】质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数；奇数是不能被2整除的整数。据此分别统计质数和奇数的个数，再比较判断， 【解答】质数有：2、5、7、11，共4个。 奇数有：1、5、7、9、11，共5个。 因为4≠5，因此质数个数与奇数个数不相等，故题干正确。 故答案为：√ 【易错专练5】第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞体项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）、群众项目有23个大项。 上面画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ），质数有（ ）。34的因数有（ ）。 【答案】2025、11、9、23 34 11、23 1、2、17、34 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫作奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的奇数是1； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数； 求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。 【解答】分析可知，上面画横线的数中，奇数有2025、11、9、23，偶数有34，质数有11、23。 34÷1＝34 34÷2＝17 所以，34的因数有1、2、17、34。 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【易错专练1】下面分解质因数正确的是（    ）。 A．16＝4×4 B．40＝1×2×2×5 C．42＝2×3×7 【答案】C 【分析】分解质因数需将合数写成质数相乘的形式，据此解答。 【解答】A．16＝4×4，4不是质数（4＝2×2），错误。 B．40＝1×2×2×5，1不是质数，错误。 C．42＝2×3×7，2、3、7均为质数，且2×3×7＝42，正确。 故答案为：C 【易错专练2】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）      30＝（ ）×（ ）×（ ） 【答案】3 7 11 2 3 5 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，先写出21以内的所有质数，再找出和为21的三个不同的质数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。 【解答】21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中3＋7＋11＝21，3＋5＋13＝21。 分析可知，21＝3＋7＋11（答案不唯一），30＝2×3×5。 【易错专练3】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【答案】2 3 5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；分解质因数只针对合数，写成几个质数相乘的形式，实际运算时可采用逐步分解的方式。 质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此分析即可。 【解答】30＝6×5＝2×3×5 所以把30也分解质因数：30＝2×3×5。 【易错专练4】把下面各数分解质因数。 32         55          87 【答案】32＝2×2×2×2×2；55＝5×11；87＝3×29 【分析】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，分解质因数就是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】32＝2×2×2×2×2                  55＝5×11                  87＝3×29                                         【易错专练5】先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 【答案】见详解 【分析】合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后找出合数，再把合数分解成几个质数相乘的形式，这就是分解质因数。 【解答】49除了能被1和49整除外，还能被7整除，所以49是合数。 73只能被1和73整除，所以73是质数。 91除了能被1和91整除外，还能被7和13整除，所以91是合数。 89只能被1和89整除，所以89是质数。 60除了能被1和60整除外，还能被2、3、4、5、6等数整除，所以60是合数。 综上，合数有49、91、60。 49＝7×7 91＝7×13 60＝2×2×3×5 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 【易错专练1】用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 【答案】6、72；16、48；1、65 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，用两个数的公因数去除，除到所得的商只有公因数1为止；把所有除数连乘起来，结果就是这两个数的最大公因数；把所有除数和商连乘起来，结果就是这两个数的最小公倍数。据此解答。 【解答】24和18 24和18的最大公因数是：2×3＝6； 24和18的最小公倍数是：2×3×4×3＝72。 16和48 16和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16； 16和48的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 5和13 5和13的最大公因数是：1； 5和13的最小公倍数是：5×13＝65。 【易错专练2】用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24                    21和28 【答案】8，48；7，84 【分析】短除法就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。 根据短除法求取最大公因数和最小公倍数，最大公因数是短除左侧所有质因数相乘，最小公倍数是所有公有质因数和独有质因数的乘积，据此作答。 【解答】根据上述分析可得：                          16和24的最大公因数：2×2×2＝4×2＝8。 16和24的最小公倍数：2×2×2×2×3＝4×2×2×3＝8×2×3＝16×3＝48。 21和28的最大公因数：7 21和28的最小公倍数：7×3×4＝21×4＝84。 所以16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48。 21和28的最大公因数是7，最小公倍数是84。 【易错专练3】找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 【答案】7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78； 16和25的最大公因数是1，最小公倍数是400 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【解答】（1）7和28是倍数关系，所以7和28的最大公因数是7，最小公倍数是28； （2）26＝2×13，39＝3×13 26和39的最大公因数是13，最小公倍数是2×3×13＝78； （3）16和25是互质数，所以16和25的最大公因数是1，最小公倍数是16×25＝400。 【易错专练4】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    75和15    9和21 【答案】12，72；15，75；3，63 【分析】先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。据此计算第一、第三题； 两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。据此计算第二题。 【解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72； 75÷15＝5，所以75和15的最大公因数是15，最小公倍数是75； 9＝3×3 21＝3×7 所以9和21的最大公因数是3，最小公倍数是3×3×7＝63。 【易错专练5】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 【答案】最大公因数1；最小公倍数33；最大公因数5；最小公倍数50；最大公因数17；最小公倍数51 【分析】（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积； （2）把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数； （3）如果两个数是倍数关系，那么最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 【解答】（1）3和11 3×11＝33 3和11是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是33。 （2）10和25 5×2×5＝50 10和25的最大公因数是5，最小公倍数是50。 （3）17和51 51÷17＝3 51是17的倍数，17和51的最大公因数是17，最小公倍数是51。 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 【易错专练1】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【答案】6米 【分析】公因数是一个能被若干个整数同时整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。可用短除法求最大公因数（短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。） 要求36米和30米能剪成同样长的短绳且最长，就是求36和30的最大公因数，用短除法求解即可。 【解答】 2×3＝6（米） 答：每根短绳最长6米。 【易错专练2】园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【分析】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【解答】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 【易错专练3】某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 【答案】6人 【分析】用48名学生加上6即可求出四（1）班人数；因为每组的人数必须相同，所以每组的人数一定是54和48的公因数：所有能同时被两个数所整除的数。每组最多就是54和48的最大公因数。 【解答】48＋6＝54（人） 54和48的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 答：现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有6人。 【易错专练4】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【答案】72人 【分析】根据题意，不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排，说明总人数必须是8和9的公倍数。要求至少有多少人在观看“天宫课堂”，即求8和9的最小公倍数。可以用枚举法求8和9的最小公倍数。 【解答】8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72…… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81…… 8和9的最小公倍数是72。 答：至少有72人在观看“天宫课堂”。 【易错专练5】从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 【答案】26次 【分析】要解决该问题需先求1路车（4分钟一班）和2路车（6分钟一班）发车间隔的最小公倍数，分解质因数得4＝2×2、6＝2×3，最小公倍数为12，即每12分钟两路车同时发车一次；从早晨6：00到上午11：00共5小时（300分钟），用300÷12＋1＝26（次）（“＋1”包含6：00初始发车），因此到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 【解答】4＝2×2，6＝2×3，最小公倍数为 2×2×3＝12。 11：006：00 ＝5小时 ＝ 5×60 ＝300 分钟。 300÷12＋1 ＝25＋1 ＝26（次） 答：到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 专题四分数的意义和性质 易错点1：没有理解分数单位的意义。 【易错专练1】一根绳子用去后还剩米，用去的与剩下的相比，（    ）。 A．用去的多 B．剩下的多 C．相等 D．无法比较 【答案】B 【分析】把这根绳子的总长度看作单位“1”，用去，还剩1－＝，比较用去长度所占的分率和剩下长度所占的分率即可。 【解答】1－＝ ＜ 用去的与剩下的相比，剩下的多。 【易错专练2】以下对的理解，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】表示把一个整体平均分成3份，取其中的2份；据此分析解答。 【解答】 ①，把6个圆看作单位“1”，平均分成3份，阴影部分占其中的2份，表示。 ②，把圆看作单位“1”，平均分成3份，阴影部分占其中的2份，表示。 ③，把每张饼平均分成3份，2张饼就是平均分成6份，每人分2份，即，不是。 ④，把灰色纸条平均3份，黑色纸条的长度是灰色纸条平均分成3份后的2份，根据分数的意义可知，黑色纸条的长度相当于灰色纸条长的，即黑色纸条的长度是灰色纸条的。 正确的有①②④一共3个。 故答案为：C 【易错专练3】把5米长的绳子平均剪成6段，每段占1米的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用绳子总长除以段数，得到每段绳子的长度，根据分数的意义，用每段绳子的长度除以1米，求得每段占1米的几分之几。 【解答】5÷6＝（米） ÷1＝ 因此，把5米长的绳子平均剪成6段，每段占1米的。 故答案为：B 【易错专练4】的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。 【答案】 25 【分析】把带分数化成假分数；分母不变，整数部分乘分母再加上原来的分子作假分数的分子，把带分数化成假分数后，分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，就有几个这样的分数单位，据此解答。 【解答】＝ 的分数单位是，它有25个这样的分数单位。 所以的分数单位是，它有25个这样的分数单位。 【易错专练5】看图按要求填一填。 每枝花是这盆花的。 每个苹果是这盘苹果的。 每个气球是这些气球的。 每天吃的药是这盒药的。 【答案】；； ； 【分析】这盆花共有4枝，将这盆花看作一个整体，平均分成4份，每枝花是其中的1份，所以每枝花是这盆花的； 这盘苹果共有6个，将这盘苹果看作一个整体，平均分成6份，每个苹果是其中的1份，所以每个苹果是这盘苹果的； 这些气球共有7个，将这些气球看作一个整体，平均分成7份，每个气球是其中的1份，所以每个气球是这些气球的； 这盒药共60片，每天吃2片，将这盒药看作一个整体，平均分成60份，每天吃的2片是其中的2份，所以每天吃的药是这盒药的。 【解答】根据分析可知填空如下： 每枝花是这盆花的；每个苹果是这盘苹果的； 每个气球是这些气球的；每天吃的药是这盒药的。 易错点2：分数与除法关系混淆。 【易错专练1】一根木料长5米，把它平均锯成8段，每段是这根木料的几分之几？每段长几分之几米？ 【答案】；米 【分析】把这根木料的总长度看作单位“1”，用单位“1”除以段数，求出每段是这根木料的几分之几；用木料的总长度除以段数，求出每段长几分之几米。 【解答】1÷8＝ 5÷8＝（米） 答：每段是这根木料的，每段长米。 【易错专练2】近年来，我国高铁以惊人的速度实现跨越式发展。2015年，我国高铁营业里程达到约2万千米，2025年达到约5万千米。2015年的高铁营业里程约是2025年的几分之几？2025年的高铁营业里程约是2015年的几分之几？ 【答案】； 【分析】求“2015年的高铁营业里程约是2025年的几分之几”，把2025年的高铁里程当作单位“1”，用2015年的里程（2万千米）除以2025年的里程（5万千米），得出结果；求“2025年的高铁营业里程约是2015年的几分之几”，则把2015年的高铁里程当作单位“1”，用2025年的里程（5万千米）除以2015年的里程（2万千米），得出结果。 【解答】2÷5＝ 5÷2＝ 答：2015年的高铁营业里程约是2025年的，2025年的高铁营业里程约是2015年的。 【易错专练3】北宋诗人邵雍有诗作《山村咏怀》：“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”其中表示数的汉字的个数占诗句所有汉字的个数的几分之几？ 【答案】 【分析】这首诗中共有汉字20个，其中数字有一到十，共10个。用除法计算即可。 【解答】 答：其中表示数的汉字的个数占诗句所有汉字的个数的。 【易错专练4】乐园小学要举办文艺汇演，准备用蓝、黄、红三种颜色的气球共88个装饰会场，按3个蓝气球、2个黄气球、1个红气球的顺序排。三种颜色的气球各占总数的几分之几？ 【答案】；； 【分析】把3＋2＋1＝6（个）气球作为1组，看88个气球里有几组，用除法计算，88÷6＝14（组）……4（个），说明这些气球里有14组由3个蓝气球、2个黄气球和1个红气球组成的气球，剩下的4个气球中有3个蓝气球和1个黄气球。分别计算出各种颜色气球的数量，再除以总数即可。 【解答】（组）……（个） 蓝气球：（个）   黄气球：（个）   红气球：（个）   答：蓝气球占总数的，黄气球占总数的，红气球占总数的。 【易错专练5】学校举行数学竞赛，获一等奖的有3人，二等奖的有5人，三等奖的有7人，获一等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】先把获一等奖的人数、获二等奖的人数、获三等奖的人数相加即可得到获奖总人数，再根据求一个数是另一个数的几分之几用除法，用获一等奖的人数除以获奖总人数即可解答。 【解答】3÷（3＋5＋7） ＝3÷15 ＝ ＝ 答：获一等奖的人数占获奖总人数的。 易错点3：真假分数理解或转化错误。 【易错专练1】要使是真分数，是假分数，x应该是（    ）。 A．5 B．6 C．7 【答案】B 【分析】真分数是分子比分母小的分数；假分数是分子大于或等于分母的分数，据此解答。 【解答】根据真分数与假分数的意义可知，要使是真分数，同时使是假分数， 则6≤x＜7，即x＝6。 故答案为：B 【易错专练2】在，，，，这些分数中，比大的真分数有（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】真分数是指分子小于分母的分数。 分别比较这些分数与​的大小即可。 【解答】，​，因为​，所以​，且3＜5，是真分数。 ​，因为​，所以​。 ​，因为​，所以，且7＜8，是真分数。 ​，因为​，所以​，且9＜14，是真分数。 因为21＞10，所以​是假分数，不符合要求。 因此，比大的真分数有​、​、​，共3个。 故答案为：B 【易错专练3】分母是6的最大真分数和最小带分数分别是（ ）和（ ）。 【答案】 【分析】真分数：分数的分子比分母小的分数。分母是6的真分数中，分子是1、2、3、4、5，最大是5，所以分母是6的最大真分数是； 带分数：由一个整数（0除外）和一个真分数合成的数叫带分数。带分数的整数部分最小是1，分母是6的真分数中最小的真分数是，所以分母是6的最小带分数。 【解答】根据分析： 分母是6的最大真分数和最小带分数分别是和。 【易错专练4】假分数与带分数或整数的互化。                          【答案】；6；； 【分析】假分数化带分数：用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变；带分数化假分数：分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的分子的和作为新分子，据此解答即可。 【解答】因为，所以； 因为，所以； ； 所以：；；； 【易错专练5】把下面的假分数化成带分数或整数。              【答案】；4；；； 【分析】假分数化整数或带分数，假分数的分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数；不能整除时，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变。 【解答】＝25÷6＝4……1 ＝ ＝64÷16＝4 ＝4 ＝47÷9＝5……2 ＝ ＝43÷35＝1……8 ＝ ＝85÷51＝1……34 ＝ 易错点4：分数的基本性质应用错误。 【易错专练1】的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应该是（ ）。 【答案】27 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。分子加上4后，从2变为6，相当于分子乘3，因此分母也需要乘3。据此解答。 【解答】由分析可得： 分子：2＋4＝6 2×3＝6 分子加上4后，从2变为6，相当于分子乘3，因此分母也需要乘3。 分母：9×3＝27 所以的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应该是27。 【易错专练2】“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”这句古诗中，描写颜色的字占这句古诗字数的（ ），这个分数的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。 【答案】 14 【分析】“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”共14个字，其中描写颜色的字是“黄”“翠”“白”“青”，共4个，描写颜色的字占这句古诗字数的占比为，约分后是； 分数的分子加上4，分子变为6，相当于分子乘3，要使分数大小不变，分母也应乘3，即21，分母应加上14。 【解答】 所以古诗中，描写颜色的字占这句古诗字数的，这个分数的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应加上14。 【易错专练3】如果把的分子加上12，要使分数的大小不变，那么分母应该乘（ ）；如果把的分子、分母减去同一个数后，得到的分数化简后是，那么减去的这个数是（ ）。 【答案】3 1 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；据此进行分析。 【解答】 如果把的分子加上12，要使分数的大小不变，那么分母应该乘3；如果把的分子、分母减去同一个数后，得到的分数化简后是，那么减去的这个数是1。 【易错专练4】的分母加上27，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）或乘（ ）；的分子减去10，要使分数的大小不变，分母应减去（ ）或除以（ ）。 【答案】15 4 15 6 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 （1）计算先求出分母加上27后的数值，再计算分母扩大的倍数，即是分子需扩大相同的倍数，进而求出分子应加上的数。 （2）计算先求出分子减去10后的数值，再计算分子缩小的倍数，即是分母需缩小相同的倍数，进而求出分母应减去的数。 【解答】（1）分母变化后的数值： 分母扩大的倍数： 分子乘4后的数值： 分子应加上的数： 所以的分母加上27，要使分数的大小不变，分子应加上15或乘4。 （2）分子变化后的数值： 分子缩小的倍数： 分母除以6后的数值： 分母应减去的数： 所以的分子减去10，要使分数的大小不变，分母应减去15或除以6。 【易错专练5】把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母可以乘（ ）；如果将该分数的分子加4，要使分数的大小不变，分母可以加（ ）。 【答案】4 14 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。第一个问题分子乘4，分母也要乘4；第二个问题分子加4后变为原来的3倍，分母也需变为原来的3倍，据此作答。 【解答】原分数为，分子乘4后变为2×4＝8。根据分数的基本性质，分母也要乘4。 原分子为2，加4后变为2＋4＝6，6÷2＝3，即分子扩大到原来的3倍。根据分数的基本性质，分母也需扩大到原来的3倍，即7×3＝21。因此分母应加21−7＝14，故分母应加14。 因此，把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母可以乘4，如果将该分数的分子加4，要使分数的大小不变，分母可以加14。 易错点5：做题时没有按要求把分数化成最简分数。 【易错专练1】把下列分数约分成最简分数。                  【答案】；； 【分析】根据分数的基本性质，将的分子、分母同时除以12将其约分为最简分数； 根据分数的基本性质，将的分子、分母同时除以11将其约分为最简分数； 根据分数的基本性质，将的分子、分母同时除以26将其约分为最简分数。 【解答】 【易错专练2】将下面的分数进行约分。                   【答案】；； 【分析】先找出分子和分母的最大公因数，然后根据约分的方法，把分数的分子和分母分别除以它们的最大公因数即可。 【解答】＝＝ ＝＝ ＝＝ 【易错专练3】分数化简。（写出化简过程）               【答案】；； 【分析】分数化简是指将一个分数化为最简形式，即分子和分母没有公因数的分数。化简分数的方法是找到分子和分母的最大公因数，然后将分子和分母同时除以这个最大公因数。 【解答】（1）95＝5×19 38＝2×19 所以95和38的最大公因数是19 ＝＝ （2）48＝2×2×2×2×3 84＝2×2×3×7 所以48和84的最大公因数是 2×2×3＝12 ＝＝ （3）72＝2×2×2×3×3 96＝2×2×2×2×2×3， 所以72和96的最大公因数是 2×2×2×3＝24 ＝＝ 【易错专练4】把下面的数约分成最简分数。                  【答案】；； 【分析】分子和分母只有公因数1的分数叫最简分数。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】                 【易错专练5】把下面各分数约成最简分数。                                               【答案】；；；；； 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫作最简分数。约分：用分子和分母的最大公因数去除分数的分子和分母，可将分数化成“最简分数”。 【解答】 易错点6：对通分的理解错误，导致比较分数大小错误。 【易错专练1】先通分再比较大小。 和        和        和 【答案】，，；，；，， 【分析】把异分母分数分别化为与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分；先找到分母的最小公倍数，然后根据分数的基本性质进行通分。之后根据同分母分数比较大小：分母相同，分子较大的分数比较大，据此解答即可 【解答】； 因为，所以； 因为，所以； ； 因为，所以。 【易错专练2】把下面各组分数通分后再比较大小。 和         和        和         ，和 【答案】；；； 【分析】把几个分母不同的分数（也叫异分母分数），化成和原来分数相等的同分母分数，这个过程叫做通分。通分时，通常用原来几个分母的最小公倍数作为公分母。分数比较大小的规则：分母相同的分数，分子越大，分数越大；分子相同的分数，分母越大，分数越小。 【解答】分母6和8的最小公倍数是24，，，所以。 分母9和10的最小公倍数是90，，，所以。 分母14和21的最小公倍数是42，，，所以。 分母10、4、5的最小公倍数是20，，，，所以。 【易错专练3】先通分或约分，再比较大小。 和        和         和       、和 【答案】过程见详解；＞；＞；＜；＞＞ 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。 把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。约分的方法：用分子和分母的公因数去除分子和分母，先用斜线把原分子、分母划去，再把所得的商分别写在原分子、分母的上面。据此解答。 【解答】（1）＝＝ ＞，则＞。         （2）＝＝ ＞，则＞。         （3）＝＝ ＝＝      ＜，则＜。 （4）＝＝ ＝＝ ＝＝ ＞＞，则＞＞。 【易错专练4】某筑路队修一条路，第一天修了全程的，第二天修了全程的，第三天修了全程的，哪一天修的路最多？ 【答案】第三天 【分析】将整条路的工程看作单位“1”，则比较三天修公路的全程占比即可，占比越高则修的路最多。 【解答】； ； ； ，则。 第二天修路的占比＜第一天修路的占比＜第三天的修路占比。 答：第三天修的路最多。 【易错专练5】新华书店卖出一部分书后，《淘气包马小跳》还剩，《柳林风声》还剩。已知这两种书原来的本数一样多，哪种书卖出去得多？ 【答案】《淘气包马小跳》 【分析】卖出的数量＝原来的数量－剩下的数量，《淘气包马小跳》还剩，所以卖出1－， 《柳林风声》还剩 ，所以卖出1－，因为两种书原来的本数一样多，所以比较两种书卖出的量和的大小就可以得出哪种书卖出的多。 【解答】1－＝ 1－＝ ， 因为 所以 答：《淘气包马小跳》卖出的多。 专题五分数加法和减法 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 【易错专练1】直接写出得数。              【答案】；；；1 【易错专练2】直接写出得数。                                                                                 【答案】；；；1； 1；；； 【易错专练3】直接写出得数。                               【答案】3；；；3.5 【易错专练4】直接写出得数。 ＋＝      －＝      ＋＝     ＋＝       －＝ ＋＝     －＝     －＝      0.75－＝     1－＋＝ 【答案】；；；； ；；；0.5； 【易错专练5】直接写出得数。                                                           【答案】；；0.41；； 0.16；；； 【易错专练6】直接写得数。                     ＝ ＝      ＝    ＝             【答案】；；；； 1；；；； 【易错专练7】直接写出得数。   ＝        0.23＋＝     ＝           ＝ 2－＝        ＝        ＝         －0.2＝ 【答案】；0.43；；； ；；； 【易错专练8】直接写出得数。                                                              【答案】；20； ；； 易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 【易错专练1】计算下列各题，能简算的要简算。                                      【答案】1；；； 【分析】 ，从左往右依次计算； ，利用加法交换律，先算，再加； ，利用减法的性质，先算，再减； ，利用加法交换律和减法的性质，先算，再算，最后算减法。 【解答】 【易错专练2】算一算。                                               【答案】；；； 【分析】（1）（2）先将三个分数通分，再根据四则混合运算的顺序从左往右依次计算； （3）先将1化为与其他分数同分母分数，再根据四则混合运算的顺序从左往右依次计算，最后约分； （4）根据四则混合运算的顺序先算括号里面的减法（通分后计算）再算括号外面的减法（通分后计算）。 【解答】（1） （2） （3） （4） 【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。                      【答案】；；1 【分析】思路：观察算式中分母特点，优先合并同分母分数，减少通分次数。 （1）根据“带符号搬家”对算式进行变形，进而简便计算； （2）算式中括号前面是“＋”号，先将算式中的括号直接去掉，再根据“带符号搬家”和加法结合律进行简便计算； （3）根据分数的基本性质，先通分再根据四则运算的法则进行计算即可。 【解答】（1） （2） （3） 【易错专练4】下面各题怎样简便怎样计算。                           【答案】；7；11 【分析】＋＋＋，根据加法交换律，原式化为：＋＋＋，再根据加法结合律，原式化为：（＋）＋（＋），再进行计算。 8－－，根据减法性质，原式化为：8－（＋），再进行计算。 7.2＋＋2.8＋，根据加法交换律，原式化为：7.2＋2.8＋＋，再根据加法结合律，原式化为：（7.2＋2.8）＋（＋），再进行计算。 【解答】＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝（＋）＋（＋） ＝2＋ ＝ 8－－ ＝8－（＋） ＝8－1 ＝7 7.2＋＋2.8＋ ＝7.2＋2.8＋＋ ＝（7.2＋2.8）＋（＋） ＝10＋1 ＝11 【易错专练5】下面各题怎样算简便就怎样计算。                                  【答案】；； ； 【分析】（1）可以利用加法交换律，先把同分母分数相加，进行简便运算； （2）可以利用加法交换律和加法结合律，以及减法的性质，将同分母分数分别结合在一起，进行简便计算； （3）可以利用四则运算法则：有小括号的，先算小括号里面的，再算小括号外面的； （4）可以利用凑整法，在式子上加上，使式子上的分数相加凑成整数1，然后再减去，使计算简单。 【解答】（1） （2） （3） （4） 【易错专练6】计算下面各题，能简便的用简便方法计算。             【答案】； ； 【分析】（1）可以利用减法的性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，进行简便计算； （2）可以利用加法交换律和加法结合律，将同分母的分数交换位置后结合在一起相加，进行简便运算；加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示：a＋b＝b＋a；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律，用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； （3）可以用分数加、减法混合运算，将异分母分数先通分，再按照从左往右的顺序依次计算； （4）可以利用凑整法，在式子上加上，使式子上的分数相加凑成整数1，然后再减去，使计算简单。 【解答】 【易错专练7】计算下面各题，能简算的要简算。                               【答案】1；； 0； 【分析】（1）根据加法交换律：a＋b＋c＝a＋c＋b，减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）把算式写成＋－（＋），再进一步计算即可； （2）通过改变运算顺序先算－，再和23相加即可； （3）先去掉括号把算式写成－－2，再按照从左往右的顺序依次计算即可； （4）将看作，看作，看作，看作，再根据减法的性质去掉括号后再进行计算即可。 【解答】－＋－ ＝＋－（＋） ＝2－1 ＝1 23＋－ ＝23＋（－） ＝23＋ ＝ －（＋2） ＝－－2 ＝2－2 ＝0 ＝ ＝ ＝ 【易错专练8】计算下面各题，能简便计算的要简便计算。                    【答案】；； ； 【分析】（1）先利用加法交换律a＋b＝b＋a把原式化为，再按照从左往右的顺序计算； （2）先去掉括号，再利用加法交换律a＋b＝b＋a把原式化为，最后按照从左往右的顺序计算； （3）先利用加法交换律a＋b＝b＋a把原式化为，再利用加法结合律a＋b＋c＝a＋（b＋c）计算同分母分数加减法； （4）先利用加法交换律a＋b＝b＋a把原式化为，再利用减法性质a－b－c＝a－（b＋c）简便计算。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 【易错专练1】周末，小乐整理衣柜里的衣服，夏季服装占总件数的，冬季服装占总件数的，剩下的是春秋季服装，春秋季服装占总件数的几分之几？ 【答案】 【分析】把衣柜里的衣服看成整体1，先用加上求出夏季服装和冬季服装占总件数的几分之几，再用1减去夏、冬季服装占总件数的几分之几，即可求出春秋季服装占总件数的几分之几。 【解答】 答：春秋季服装占总件数的。 【易错专练2】一堂课40分钟，教师和学生互动用了小时，小组合作用了小时，其余的时间学生练习。这堂课学生练习时间有多长？ 【答案】小时 【分析】因为1小时＝60分钟，所以40分钟换算成小时为：40÷60＝小时。已知教师和学生互动用了小时，小组合作用了小时，其余的时间学生练习。那么学生练习的时间为：，据此计算即可。 【解答】1小时＝60分钟 40÷60＝（小时） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（小时） 答：这堂课学生练习时间有小时。 【易错专练3】园林局要绿化滨江公园，规划种花平方千米，植树平方千米，种花的面积比种草的面积少平方千米，种草的面积有多少平方千米？ 【答案】平方千米 【分析】根据题意，种花的面积比种草的面积少平方千米，求种草的面积，用种花的面积加上平方千米，即可求出种草的面积。 【解答】＋ ＝＋ ＝（平方千米） 答：种草的面积是平方千米。 【易错专练4】新华小学举办“中华魂”演讲比赛，设一、二、三等奖，一等奖占获奖总人数的，二等奖占获奖总人数的，三等奖占获奖总人数的几分之几？ 【答案】 【分析】分析题目，把获奖总人数看作单位“1”，用1分别减去一等奖占总人数的分率、二等奖占总人数的分率即可得到三等奖占总人数的几分之几。 【解答】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：三等奖占获奖总人数的。 【易错专练5】学校组织做班级文化墙，王老师想用绳子把同学们的照片串起来挂到墙上，麻绳长3米，第一次剪去米，第二次剪去米，还剩下多少米绳子？ 【答案】2米 【分析】将绳子总长减去第一次和第二次剪去的米数，求出还剩下多少米绳子。 【解答】 ＝ ＝ ＝（米） 答：还剩下2米绳子。 【易错专练6】缅怀革命先烈，传承红色精神。清明节期间，某小学开展祭扫烈士陵园活动，活动共用去时，其中路上用去的时间是时，休息的时间是时，剩下的是祭扫的时间，祭扫的时间是多少时？ 【答案】时 【分析】已知活动总时间是时，路上用去的时间是时，休息的时间是时。根据“总时间－（路上用去的时间＋休息的时间）＝祭扫的时间”这一关系可列出算式：，然后计算即可解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝（时） 答：祭扫的时间是时。 【易错专练7】一个圆形花圃的面积是公顷，里面种了3种不同的花。其中牡丹占总面积的，百合占总面积的，其余是玫瑰。玫瑰占总面积的几分之几？ 【答案】 【分析】将圆形花圃的面积看成单位“1”，用“1”减去牡丹占总面积的分率再减去百合占总面积的分率即可求出玫瑰占总面积的几分之几。 【解答】1－－ ＝－ ＝ 答：玫瑰占总面积的。 【易错专练8】某部分路段正在施工。第一阶段施工长度占此路段全长的，第二阶段施工长度占此路段全长的，余下第三阶段施工长度为1千米。这部分路段的总长度是多少千米？用你喜欢的方式展示解决问题的思路与方法。 【答案】15千米 【分析】把这部分路段的总长度看作单位“1”，第三阶段施工长度占此路段全长的分率＝1－第一阶段施工长度占此路段全长的分率－第二阶段施工长度占此路段全长的分率，计算可知，第三阶段施工长度占此路段全长的，第三阶段施工长度为1千米，最后根据分数的意义求出这部分路段的总长度，据此解答。 【解答】 1－－ ＝－ ＝－ ＝ 把这部分路段的总长度看作单位“1”，把单位“1”平均分成15份，第三阶段施工长度占其中的1份，而其中的1份刚好是1千米，那么总长度为15×1＝15（千米）。 答：这部分路段的总长度是15千米。 专题六长方体和正方体 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【易错专练1】用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出铁丝的总长，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，再求出高。 【解答】10×12＝120（厘米） 120÷4－12－8 ＝30－12－8 ＝10（厘米） 【易错专练2】一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长（ ）cm。如果改围成一个正方体，棱长是（ ）cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需（ ）cm2。 【答案】60 5 150 【分析】铁丝长度即为长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；铁丝长度不变，所以正方体棱长总和等于长方体棱长总和，用棱长总和除以12求出正方体的棱长；所需白纸的面积即为正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【解答】铁丝长度：（8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 正方体棱长：60÷12＝5（cm） 所需白纸面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 【易错专练3】小宇的好朋友下周就要过生日了，他准备了一个棱长12厘米的正方体礼盒装礼物。他打算用彩带十字捆扎礼盒并系上蝴蝶结，接头和蝴蝶结一共要用去25厘米的彩带，请问他至少需要准备多长的彩带？ 【答案】121厘米 【分析】捆扎礼盒的彩带长度，观察图发现彩带绕着正方体的6个面围了8条长度为棱长的彩带，还有接头处长度的彩带，准备的彩带就是它们之和。 【解答】12×8＝96（厘米） 96＋25＝121（厘米） 答：他至少需要准备121厘米的彩带。 【易错专练4】工厂接到的灯笼订单中有正方体、长方体两种样式。工人师傅们用一根长铁丝制作一个长和宽都是5分米，高是8分米的长方体灯笼框架，铁丝刚好用完。同样长的铁丝也刚好能制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少？ 【答案】6分米 【分析】先根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4求出铁丝的总长度；再根据正方体棱长总和＝棱长×12，用铁丝总长度除以12，即可求出正方体的棱长。 【解答】（5＋5＋8）×4 ＝18×4 ＝72（分米） 72÷12＝6（分米） 答：这个正方体灯笼框架的棱长是6分米。 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 【答案】230厘米 【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。 【解答】根据分析得出： 50×2＋30×2＋10×4＋30 ＝100＋60＋40＋30 ＝230（厘米） 答：至少需要230厘米长的彩带。 易错点2：展开图理解不对。 【易错专练1】把下面的展开图折成一个长方体，B面的对面是（    ）。 A．A面 B．F面 C．C面 D．D面 【答案】B 【分析】在长方体展开图中，相对的面不相邻，通过折叠，假如D是底面，则A与D是相对的面，E与C是相对的面，B与F是相对的面。 【解答】通过折叠，A与D是相对的面，E与C是相对的面，B与F是相对的面。 所以B面的对面是F面。 故答案为：B 【易错专练2】下面哪个图形不能围成正方体？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体的展开图共有11种，如下图所示： 【解答】 A．，属于“231”型，能围成正方体； B．，属于“141”型，能围成正方体； C．，属于“33”型，能围成正方体； D．，该图形出现“田”字结构，不能围成正方体。 【易错专练3】如图是一个正方体表面的展开图，每面都标有数字。在正方体中，数字“6”对面的数字是“（ ）”。 【答案】3 【分析】用正方体展开图的“Z字两端”或“隔一相对”规律来判断：在这个展开图中，同行或同列隔一个面的两个面是相对面。 【解答】若以3为正方体底，折叠后可以发现，1是左面，4是右面，2是后面，5是前面，6是上面，则1和4相对，2和5相对，3和6相对。 【易错专练4】下图是一个长方体展开后的图形，找出相对的面，填一填。（填序号） （1）①的相对面是（ ）。 （2）②的相对面是（ ）。 （3）③的相对面是（ ）。 【答案】（1）⑥ （2）④ （3）⑤ 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），每2个相对的面的完全相同，且相对的两个面不相连，据此观察解答。 【解答】（1）①的相对面是⑥。 （2）②的相对面是④。 （3）③的相对面是⑤。 【易错专练5】如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 【答案】见详解 【分析】①确定各面的相对关系 左面 ↔ 右面 下面 ↔ 上面 前面 ↔ 后面 ②补全右面： 右面与左面完全相同，应画在“下面”的右侧，与左面位置对称。 ③补全上面： 上面与下面完全相同，应画在“右面”的右侧，与下面位置上下对应。 ④补全后面： 后面与前面完全相同，可画在“下面”的上方，保证展开图的连贯性。 答案不唯一 【解答】画图如下： 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【易错专练1】一个长方体游泳池，长是10米，宽是6米，高是4米，它的占地面积是（ ）平方米，要在泳池的四周和底部涂上油漆，需要涂（ ）平方米的油漆。如果每平方米油漆售价是5元，一共要花（ ）元。 【答案】60 188 940 【分析】占地面积就是长方体的底面积，等于长方体的长乘宽。涂油漆的面积等于长方体的前面、后面、左面、右面和下面5个面的面积之和。花的钱数＝每平方米油漆的售价×涂油漆的面积。 【解答】10×6＝60（平方米） 10×6＋10×4×2＋6×4×2 ＝60＋80＋48 ＝188（平方米） 188×5＝940（元） 【易错专练2】劳动课上，小明用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，如果长方体的长是25厘米，宽是20厘米，那么高是（ ）厘米。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，给这个正方体灯罩糊上五个面的彩纸，彩纸面积是（ ）平方厘米。 【答案】15 2000 【分析】用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，即长方体的棱长总和是240厘米，根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，用长方体的棱长总和除以4，求出长、宽、高的和，再依次减去长和宽即可求出长方体的高。 用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，则正方体的棱长总和为240厘米，根据“正方体的棱长总和＝棱长×12”，用棱长总和除以12求出正方体的棱长，最后再根据“棱长×棱长×5”即可求出彩纸的面积。 【解答】240÷4＝60（厘米） 60－25－20 ＝35－20 ＝15（厘米） 240÷12＝20（厘米） 20×20×5 ＝400×5 ＝2000（平方厘米） 综上，长方体框架的高是15厘米，彩纸的面积是2000平方厘米。 【易错专练3】惠民健身中心新建了一个长50米，宽30米，深2.5米的游泳池。如在游泳池的四壁和底面贴上面积是0.25平方米的正方形瓷砖，至少需要多少块？ 【答案】7600块 【分析】游泳池是无盖的长方体，贴瓷砖的区域包含1个底面和4个侧面，共5个面。先利用长方体表面积公式计算出需要贴瓷砖的总面积，再用总面积除以单块瓷砖的面积。 【解答】50×30＋（50×2.5＋30×2.5）×2 ＝50×30＋（125＋75）×2 ＝50×30＋200×2 ＝1500＋400 ＝1900（平方米） 1900÷0.25＝7600（块） 答：至少需要7600块。 【易错专练4】晓雯家的洗衣机更换了一个新的洗衣机罩，如图所示，边角处忽略不计，这个洗衣机罩用了多少平方米的布料？（洗衣机罩没有后面和底面） 【答案】 平方米 【分析】洗衣机罩不需要后面（靠墙）和底面（贴地），因此只需要计算上面、前面、左面和右面这个面的面积之和，计算出总面积后需要进行单位换算，进率是。 【解答】 （平方分米） 平方分米平方米 答：这个洗衣机罩用了平方米的布料。 【易错专练5】正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】20平方分米 【分析】用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，即这个正方体框架的棱长是24÷12＝2分米。用卡纸将5个面包起来，因为正方体每个面的面积都相同，正方体一个面的面积为：棱长×棱长，即2×2＝4平方分米，那么5个面的面积为4×5＝20平方分米，所以需要20平方分米的卡纸。 【解答】24÷12＝2（分米） 2×2×5＝20（平方分米） 答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【易错专练1】把一个棱长是10分米的正方体木块分割成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是（      ）平方分米。 A．200 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】把一个正方体分割成两个完全相同的长方体，表面积会增加两个切面的面积。因为正方体的6个面都相等，所以增加的2个切面和原来的面也相等。这两个长方体的表面积之和相当于原正方体8个面的面积。 【解答】正方体的棱长是分米，一个面的面积就是（）平方分米，再算出（）个面的面积。 （平方分米） 【易错专练2】将一个长方体按如图三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．285 B．68 C．272 D．136 【答案】D 【分析】第一种切法多了前后两个面的面积和，即前后两个面的面积和是48平方厘米；第二种切法多了上下两个面的面积和，即上下两个面的面积和是64平方厘米；第三种切法多了左右两个面的面积和，即左右两个面的面积和是24平方厘米；长方体的表面积等于前、后，左、右，上、下6个面面积之和，据此解答。 【解答】 （平方厘米） 原来长方体的表面积是136平方厘米。 故答案为：D 【易错专练3】如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米，原来正方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】150 【分析】由题意可知，减少部分是一个长方体，长方体的上下底面是正方形，四个侧面是完全相同的长方形，这个正方体的高减少2厘米后，表面积减少了长方体四个侧面的面积，根据减少的表面积求出长方体一个侧面的面积，再根据“长＝长方形的面积÷宽”求出长方形的长，即正方体的棱长，最后利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出原来正方体的表面积，据此解答。 【解答】40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 所以，原来正方体的表面积是150平方厘米。 【易错专练4】有3个边长是2cm的小正方体，拼成一个长方体后，表面积减少了（ ）平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】16 56 24 【分析】 三个小正方体拼成一个长方体，如图，表面积减少了4个正方形的面，小正方体棱长×棱长×4＝减少的表面积；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此计算出1个小正方体的表面积，1个小正方体的表面积×3－减少的表面积＝拼成的长方体表面积；正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算出1个小正方体的体积，1个小正方体的体积×3＝拼成的长方体的体积。 【解答】2×2×4＝16（平方厘米） 2×2×6×3－16 ＝72－16 ＝56（平方厘米） 2×2×2×3＝24（立方厘米） 表面积减少了16平方厘米，这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。 【易错专练5】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【解答】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【易错专练1】单位换算。 3.5m3＝（ ）dm3    8500cm3＝（ ）dm3 2.4L＝（ ）mL    5600mL＝（ ）L 【答案】3500 8.5 2400 5.6 【分析】高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，换算关系：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL。 【解答】3.5m3＝3.5×1000＝3500dm3 8500cm3＝8500÷1000＝8.5dm3 2.4L＝2.4×1000＝2400mL 5600mL＝5600÷1000＝5.6L 【易错专练2】5.08m3＝（ ）dm3            30.9dm2＝（ ）cm2 7860mL＝（ ）L             0.05L＝（ ）dm3＝（ ）cm3 【答案】5080 3090 7.86 0.05 50 【分析】1m3＝1000dm3；1dm2＝100cm2；1L＝1000mL；1L＝1dm3；1L＝1000cm3；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率；据此解答。 【解答】5.08×1000＝5080（dm3） 所以5.08m3＝5080dm3 30.9×100＝3090（cm2） 所以30.9dm2＝3090cm2 7860÷1000＝7.86（L） 所以7860mL＝7.86L 0.05L＝0.05dm3 0.05×1000＝50（cm3） 所以0.05L＝0.05dm3＝50cm3 【易错专练3】L＝（ ）mL       m3＝（ ）dm3       0.56m3＝（ ）L 【答案】280 375 560 【分析】根据1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L，单位大变小乘进率，进行换算即可。 【解答】×1000＝280（mL），L＝280mL ×1000＝375（dm3），m3＝375dm3 0.56×1000＝560（dm3）、560dm3＝560L，0.56m3＝560L 【易错专练4】在括号里填上合适的数。 8立方分米＝（ ）立方厘米     1800立方分米＝（ ）立方米 560000cm3＝（ ）m3         7.02dm3＝（ ）L（ ）mL 【答案】8000 1.8 0.56 7 20 【分析】根据进率：1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1m3＝1000000cm3，1dm3＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】（1）8×1000＝8000（立方厘米），所以8立方分米＝8000立方厘米； （2）1800÷1000＝1.8（立方米），所以1800立方分米＝1.8立方米； （3）560000÷1000000＝0.56（m3），所以560000cm3＝0.56m3； （4）7.02dm3＝7.02L＝7L＋0.02L，0.02×1000＝20（mL），7.02dm3＝7L20mL。 【易错专练5】2.08m3＝（ ）dm3        750mL＝（ ）L         20.25dm3＝（ ）dm3（ ）cm3 【答案】2080 0.75 20 250 【分析】根据1m3＝1000dm3，1L ＝1000mL，1dm3＝1000cm3，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【解答】2.08×1000＝2080（dm3）；750÷1000＝0.75（L）；0.25×1000＝250（cm3） 2.08m3＝2080dm3；750mL＝0.75L；20.25dm3＝20dm3250cm3 易错点6：体积与容积混淆。 【易错专练1】一个长方体鱼缸，底面是边长4分米的正方形。小红向鱼缸里倒入32升水，然后放入一条金鱼，水面上升到2.1分米。这条金鱼的体积是多少立方分米？（提示：利用排水法，与曹冲称象原理相通） 【答案】1.6立方分米 【分析】根据题意，鱼缸底面是正方形，已知边长可求底面积，已知倒入水的体积和放入金鱼后的水面高度，可利用“金鱼的体积＝放入金鱼后水和金鱼的总体积－原来水的体积”进行求解，放入金鱼后水和金鱼的总体积等于鱼缸水面上升的体积，即放入金鱼后水和金鱼的总体积＝长方体的底面积×水面上升的高度，在解题时注意体积单位换算，1升＝1立方分米，据此解答即可。 【解答】32升＝32立方分米 4×4×2.1－32 ＝16×2.1－32 ＝33.6－32 ＝1.6（立方分米） 答：这条金鱼的体积是1.6立方分米。 【易错专练2】爸爸用保鲜盒来分装健康食材，他有一个近似长方体的保鲜盒（如下图）。 主体部分为不锈钢材质，锁住新鲜：盒盖是PE材质，柔韧防冻裂。 尺寸：（单位：毫米） （1）这个保鲜盒的容积是多少毫升？合多少升？ （2）制作一个这样的保鲜盒，需要用不锈钢多少平方厘米？（厚度忽略不计） 【答案】（1）1000毫升；1升 （2）500平方厘米 【分析】（1）先根据1厘米＝10毫米，把长宽高换算成厘米，根据长乘宽乘高求出保鲜盒的容积，再根据1000毫升＝1升换算单位。 （2）要求出5个面的面积，即下面的面积＋左右的面积＋前后的面积。 【解答】（1）200毫米＝20厘米 100毫米＝10厘米 50毫米＝5厘米 （毫升） 1000毫升＝1升 答：这个保鲜盒的容积是1000毫升，合1升。 （2） （平方厘米） 答：需要用不锈钢500平方厘米。 【易错专练3】李师傅要做一个无盖的长方体铁皮水槽，用来给蔬菜浇水。水槽从内部量，长1.2米、宽0.5米、高0.4米（铁皮厚度忽略）。 （1）这个水槽最多能装多少升水？ （2）若每平方米铁皮售价120元，李师傅买铁皮要花多少钱？ 【答案】（1）240升 （2）235.2元 【分析】（1）求水槽最多能装水多少升，就是求这个水槽的容积，根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位的换算。 （2）先求出这个无盖长方体的表面积；根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个无盖长方体需要铁皮的面积，再乘每平方米铁皮的售价，即可解答。 【解答】（1）1.2米＝12分米；0.5米＝5分米；0.4米＝4分米 12×5×4 ＝60×4 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个水槽最多能装240升水。 （2）1.2×0.5＋（1.2×0.4＋0.5×0.4）×2 ＝1.2×0.5＋（0.48＋0.2）×2 ＝1.2×0.5＋0.68×2 ＝0.6＋1.36 ＝1.96（平方米） 1.96×120＝235.2（元） 答：李师傅买铁皮要花235.2元。 【易错专练4】如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。 （1）这个玻璃缸中装了多少升水？ （2）向缸中放入一个棱长4分米的正方体铁块（铁块完全浸入水中且未溢出），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？ 【答案】（1）240升 （2）7.6分米 【分析】（1）水的容积等于长是8分米，宽是5分米，高是6分米的长方体容积；根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出水的容积，注意单位名数的换算。 （2）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积；再用正方体体积除以长方体玻璃缸的底面积，求出放入铁块后水面上升的高度，再加上水的高度，即可解答。 【解答】（1）8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个玻璃缸中装了240升水。 （2）（4×4×4）÷（8×5）＋6 ＝（16×4）÷40＋6 ＝64÷40＋6 ＝1.6＋6 ＝7.6（分米） 答：水面的高度是7.6分米。 【易错专练5】李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 【答案】（1）180平方分米 （2）216升 【分析】（1）由图可知，该鱼缸是正方体，棱长是60厘米，且鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即根据“棱长×棱长×5”即可计算出制作该鱼缸所需要的玻璃面积，最后将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 （2）求盛水体积即求正方体鱼缸的体积，已知该正方体鱼缸的棱长是60厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该鱼缸的体积，最后将立方厘米换算为升（1升＝1立方分米＝1000立方厘米）。 【解答】（1）60×60×5 ＝3600×5 ＝18000（平方厘米） 18000平方厘米＝180平方分米 答：做一个这样的鱼缸至少需要玻璃180平方分米。 （2）60×60×60 ＝3600×60 ＝216000（立方厘米） 216000立方厘米＝216立方分米＝216升 答：能盛水216升。 专题七分数乘法 易错点1：计算分数与整数相乘时，不错把整数与分母相乘或分子与整数约分出 现错误。 【易错专练1】计算。                           【答案】；；； 【易错专练2】计算。                                                          【答案】；；6；16 ；8；8； 【易错专练3】计算。 ＝    ＝    ＝    ＝ ＝    ＝    ＝    ＝ 【答案】；；； ；；； 【易错专练4】计算题。                                【答案】；；； 【易错专练5】计算园地                                                                                                                                            【答案】；；；； ；；；； ；；；。 易错点2：没有掌握分数乘分数的计算方法,导致出错。 【易错专练1】直接写出得数。                                                                                                  【答案】；；； ；；； 【易错专练2】算一算。（a，m均大于0）                           【答案】；；； ；；； 【易错专练3】直接写得数。                                               【答案】；；； 0；；； 【易错专练4】口算。                           【答案】；；；6 ；；； 【易错专练5】口算。                           【答案】；28；； 81；25；； 易错点3：分数连乘时运算顺序错误​ 【易错专练1】写出主要的计算过程和得数。                      【答案】3；； ； 【分析】计算分数乘法时，能约分的先约分，约分之后再计算，分数乘整数时，用分子乘整数的积作分子，分母不变；分数乘分数时，用分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母，据此解答。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝3 （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ （4） ＝ ＝ 【易错专练2】计算。 ×6×           ××          ×× 【答案】；； 【分析】分数乘法的计算方法，先约分，之后再根据分子乘分子，分母乘分母的方法计算即可，按照从左到右的顺序计算。 【解答】×6× ＝× ＝ ×× ＝× ＝ ×× ＝× ＝ 【易错专练3】计算。              【答案】； 【分析】分数乘分数的计算方法：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。在计算分数乘法时，分子和分母能约分的，可以先约分，再计算，这样可以使计算简便。 因此，本题在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算的结果才是最简分数）。据此解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练4】计算。 ××              ×4× ××               24××51 【答案】； ；72 【分析】（1）首先第1、2个分数相乘，分子分母同时约掉13，再用与相乘，结果化成最简；（2）先算分数乘整数，整数与分母8同时约掉4得，再乘，结果化成最简；（3）三个分数的分子分母先后约掉5、7得，再与相乘，结果化成最简；（4）分子分母上的51互相约分掉，结果是24乘3，据此解答。 【解答】 ＝ ×× 24××51 ＝24×3 ＝72 【易错专练5】计算。          【答案】；； 【分析】，从左往右依次计算； ，从左往右依次计算； ，将小数化成分数，再从左往右计算。 【解答】 易错点4：对倒数的意义理解有误，导致表达时出错，或计算错误。 【易错专练1】下面两个数互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和3.5 C．和 D．和 【答案】B 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。带分数化成假分数，再交换分子分母的位置，即可求出该分数的倒数。据此交换选项中其中一个分数分子分母的位置，看是否和另一个相等。 【解答】A．交换分子分母的位置得到的倒数为，≠，因此和不是互为倒数的数。 B．交换分子分母的位置得到的倒数为，＝3.5，因此和3.5互为倒数。 C．＝，交换分子分母的位置得到的倒数为，≠，因此和不是互为倒数的数。 D．＝，交换分子分母的位置得到的倒数为，≠，因此和不是互为倒数的数。 两个数互为倒数的是和3.5。 【易错专练2】的倒数与的倒数和是多少？与的和的倒数是多少？以下结果正确的是（    ）。 A．； B．； C．； 【答案】C 【分析】前者根据相乘等于1的两个数互为倒数，可先求出，的倒数，再求和。后者先求和，再根据倒数的定义求和的倒数。 【解答】，的倒数分别为，，。，的倒数为。 故答案为：C 【易错专练3】。 【答案】；； 【分析】乘积为1的两个数互为倒数，要求括号里的数，直接计算对应已知分数的倒数即可，求一个分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置。 【解答】的倒数是，的倒数是，的倒数是。 因此。 【易错专练4】一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是( )；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是( )。 【答案】2 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；把2.5化成带分数；2.5＝，再把带分数化成整数与真分数，据此求出这个自然数；一个自然数的倒数肯定是分子是1的真分数，做差时，这个自然数要拿出一个1来减去真分数，所以结果的整数部分＋1就是原来的这个自然数，据此解答。 【解答】2.5＝ ＝2＋，2和互为倒数，所以这个自然数是2。 3.75＝ 3＋1＝4 1－＝ 4和互为倒数，这个自然数是4，所以这个自然数的倒数是。 一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是2；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是。 【易错专练5】若和互为倒数，则2025＋2mn＝( )；若没有倒数，则2025＋2n＝( )。 【答案】2027 2025 【分析】互为倒数的两个数，乘积是1，即mn＝1。0没有倒数，即n＝0。将mn＝1，代入2025＋2mn计算，将n＝0，代入2025＋2n计算。 【解答】将mn＝1，代入2025＋2mn得： 若和互为倒数，则2025＋2mn＝2027。 将n＝0，代入2025＋2n得： 若没有倒数，则2025＋2n＝2025。 易错点5：未找准单位“1”。 【易错专练1】实验小学举行科技小制作比赛，获得二等奖的有120人，获得一等奖的人数是二等奖的，获得一等奖的人数有多少？ 【答案】80人 【分析】已知获得一等奖的人数是二等奖的，是将获得二等奖的人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，得到获得一等奖的人数。 【解答】120×＝80（人） 答：获得一等奖的有80人。 【易错专练2】某小学六年级有女生210人，男生人数比女生人数的少24人。这个小学六年级有男生多少人？ 【答案】116人 【分析】求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；将六年级的女生看作单位“1”，用六年级的女生人数210人乘分率再减去24人即可求出小学六年级有男生多少人。 【解答】 ＝140－24 ＝116（人） 答：这个小学六年级有男生116人。 【易错专练3】“云端松潘”旅游纪念品店，九月接待游客500人，十月接待游客人数是九月的，十一月因天气转冷，接待人数是十月的。十一月接待游客多少人？ 【答案】450人 【分析】根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，用九月接待人数的数量×，得到十月接待人数的数量；再用十月接待人数的数量×，得到十一月接待游客的人数。 【解答】500×＝600（人） 600×＝450（人） 答：十一月接待游客450人。 【易错专练4】为了亲近大自然，提高师生的劳动实践能力，开发区实验小学把“劳动实践基地”平均分成了72块种植区。五年级的种植区是总数的，六年级的种植区是五年级的。六年级的种植区是多少块？ 【答案】15块 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。把“劳动实践基地”的种植区总块数看作单位“1”，五年级的种植区是总数的，用“72×”求出五年级的种植区的块数；六年级的种植区是五年级的，则五年级的种植区的块数×＝六年级的种植区的块数，所以，列式：72××，即可解答此题。 【解答】72×× ＝27× ＝15（块） 答：六年级的种植区是15块。 【易错专练5】某森林公园进行“荒山改绿装”行动后吸引了许多游客前来观光游览，成为了休闲娱乐的好去处。山脚下新种植了一片花海，其中月季花有480株，茉莉花的株数是月季花的，郁金香的株数是茉莉花的。这片花海中有多少株郁金香？ 【答案】420株 【分析】把种植的月季花的株数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用480×列式求出茉莉花的株数，再把茉莉花的株数看作单位“1”， 根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，用茉莉花的株数乘列式计算求出郁金香的株数。 【解答】 ＝300× ＝420（株） 答：这片花海中有420株郁金香。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级数学下册期末复习常考易错知识点专题突破 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级下册数学 （七大专题34个易错点） 目录 专题一简易方程 3 易错点1：没有找准数量间的等量关系。 3 易错点2：没有理解方程的概念。 4 易错点3：等式性质理解不透彻，解方程过程错误。 5 易错点4：列方程解应用题时，等量关系找不准或漏掉步骤。 6 专题二折线统计图 8 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 8 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 9 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 12 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 14 专题三因数与倍数 18 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 18 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 19 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 20 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 21 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 22 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 23 专题四分数的意义和性质 24 易错点1：没有理解分数单位的意义。 24 易错点2：分数与除法关系混淆。 26 易错点3：真假分数理解或转化错误。 27 易错点4：分数的基本性质应用错误。 28 易错点5：做题时没有按要求把分数化成最简分数。 29 易错点6：对通分的理解错误，导致比较分数大小错误。 30 专题五分数加法和减法 31 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 31 易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 33 易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 35 专题六长方体和正方体 37 易错点1：概念与棱长关系混淆。 37 易错点2：展开图理解不对。 38 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 40 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 41 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 43 易错点6：体积与容积混淆。 44 专题七分数乘法 45 易错点1：计算分数与整数相乘时，不错把整数与分母相乘或分子与整数约分出 45 现错误。 45 易错点2：没有掌握分数乘分数的计算方法,导致出错。 47 易错点3：分数连乘时运算顺序错误​ 48 易错点4：对倒数的意义理解有误，导致表达时出错，或计算错误。 49 易错点5：未找准单位“1”。 50 专题一简易方程 易错点1：没有找准数量间的等量关系。 【易错专练1】甲有a张邮票，乙有b张邮票，如果甲给乙10张后，两人的邮票张数相等。下面哪一个等量关系是正确的？（    ） A．a－10＝b B．a＝b＋10 C．a＝b＋20 D．a－20＝b＋20 【易错专练2】姐姐和弟弟花了同样的钱买文具。姐姐买了1支钢笔和6本同样的笔记本，弟弟买了9本和姐姐同样的笔记本。（    ）本笔记本的价钱与1支钢笔相同。 A．2 B．3 C．6 D．9 【易错专练3】在新年集五福的活动中，林达和刘诚共集了51张福卡。林达集的福卡张教是刘诚的2.4倍，刘诚集了多少张福卡？如果设刘诚集的张数为，根据题意列出等量关系的式子 。 【易错专练4】根据题意填写合适的数量关系。 为了加大力度拉动消费，某市今年计划投放9000万元的消费券，是去年的1.5倍，去年投放消费券多少万元？ （ ）的消费券额×1.5 ＝（ ）的消费券额 【易错专练5】根据方程，补充题中横线上的条件：南京中山陵一共有392级台阶，小敏爬了分钟， ，还剩102级台阶就到顶。列方程根据的数量关系式是： 。 易错点2：没有理解方程的概念。 【易错专练1】在下面式子中。 ①17－x＝9    ②7×8＝56    ③x÷0.9＝4    ④36x     ⑤58＜8.3x    ⑥15x＝105 方程有（ ），等式有（ ）。（在括号里填序号） 【易错专练2】如下式子中，是等式的有（ ），是方程的有（ ）。（填序号） ①20＋x＝50   ②2y÷3＝30         ③a－51       ④2y＝13－4 ⑤24＋6＝30    ⑥6x＋13＝87－5   ⑦6＋x＜45      ⑧84÷6＝14 【易错专练3】在①28－y＝28，②x－y，③1.3×3＝3.9，④a＋13b＜11，⑤3.5m＝70中，等式有（ ），方程有（ ）。（填序号） 【易错专练4】在25－12＝13，3.4x＝6.8，5a＋1，y＝5＋0，6.8x＋4＞9，m÷6＝10，6＋x＝y中，方程有（ ）个，等式有（ ）个。 【易错专练5】在①、②、③、④、⑤、⑥中，等式有（ ）（填序号），方程有（ ）个。 易错点3：等式性质理解不透彻，解方程过程错误。 【易错专练1】解方程。            【易错专练2】解方程。          【易错专练3】解方程。 5x－4＝56            2x＋4×1.5＝22             2.4x－1.2x＝24 【易错专练4】解方程。 6.4＋0.6x＝10    0.8x÷3＝0.32    7x－0.6×2.8＝1.82 【易错专练5】解方程。                          易错点4：列方程解应用题时，等量关系找不准或漏掉步骤。 【易错专练1】王老师买了一个6千克的哈密瓜和一个8千克的西瓜，共用去63.2元。已知每千克哈密瓜比西瓜贵1.2元，请分别求出哈密瓜和西瓜的单价。 【易错专练2】王强家买来5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升。每个大瓶中的果汁比每个小瓶中的果汁多200毫升，每个小瓶中装有多少毫升果汁？ 【易错专练3】无锡举办青少年非遗文化传承活动，参加锡剧表演学习的学生有25人，比参加惠山泥人制作学习人数的3倍少8人，参加惠山泥人制作学习的学生有多少人？（列方程解答） 【易错专练4】红酸汤丝娃娃制作技艺已经入选第五批省级非遗代表性项目名录，是贵州地区家喻户晓的知名小吃。因其形状上大下小，如薄丝包着的婴儿，故称丝娃娃（又称素春卷或春盘）。李叔叔帮同事们买了2盘大份和5盘小份的丝娃娃，一共付了158元，已知一盘大份的丝娃娃比一盘小份的贵9元，那么一盘大份和一盘小份的丝娃娃分别是多少元？ 【易错专练5】“互联网＋助农”成为赋能乡村振兴的重要方式，是解决优质农产品销路难题的有效方式之一。在某场助农直播中，共卖出草莓40箱、葡萄30箱，共1600千克。每箱草莓比每箱葡萄重5千克。草莓和葡萄各卖出了多少千克？ 专题二折线统计图 易错点1：对复式折线统计图的特点不了解,导致判断错误。 【易错专练1】要比较两个不同品牌的电视一周销售变化情况，选用（    ）比较合适。 A．复式条形统计图B．单式折线统计图C．复式折线统计图 D．统计表 【易错专练2】下面情况中，（    ）比较适合用折线统计图表示。 A．学校一至六年级男女生人数 B．五年级6个班制作的科技作品数 C．王林记录蒜叶生长的变化情况 D．五（1）班同学身高分布情况 【易错专练3】气象小组的同学想制作一幅统计图，用来反映所在市区2024年上半年的月平均气温变化情况，并和2023年上半年相比较。他们应该选用（    ）统计图比较合适。 A．单式条形 B．复式条形 C．单式折线 D．复式折线 【易错专练4】统计两架模型飞机在一次飞行中时间和高度的记录用复式条形统计图更合适。（ ） 【易错专练5】统计某个病人一段时间内体温变化情况，一般采用折线统计图。（ ） 易错点2：绘制折线统计图时,遗漏标题,同时横轴单位长度不统一。 【易错专练1】一台全自动血压监测仪记录了一位病人白天血压变化情况，具体数据如下表： 时间（时） 8时 10时 12时 14时 16时 18时 高压（mmHg） 110 120 125 120 125 130 低压（mmHg） 75 80 90 80 90 95 （1）根据表中数据，完成如图的折线统计图。 （2）世界卫生组织关于健康血压的标准有这样一段表述：正常健康的血压高压不高于120mmHg，低压不高于80mmHg。按世卫组织的表述，这位病人有（    ）次监测的数据是正常的。 【易错专练2】下面是第26～31届奥运会我国获得奖牌情况统计表。 年份 届数 地点 金牌数量/枚 银牌数量/枚 排名 1996 26 美国亚特兰大 16 22 4 2000 27 澳大利亚悉尼 28 16 3 2004 28 希腊雅典 32 17 2 2008 29 中国北京 51 21 1 2012 30 英国伦敦 38 27 2 2016 31 巴西里约热内卢 26 18 3 根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 第26～31届奥运会我国获得奖牌情况统计图 【易错专练3】某小学一至六年级喜欢看科普读物的学生的人数如下表。根据表中数据，制成折线统计图。 年级 一 二 三 四 五 六 人数 20 26 32 47 68 83 【易错专练4】下面是生物小组同学记录的一棵杨树6年的生长情况。 树龄 1 2 3 4 5 6 高度/cm 90 140 230 260 310 440 根据以上数据，请你画出折线统计图。 【易错专练5】根据下表，画出与之对应的折线统计图。 易错点3：读取具体数据时，对应点找不准。 【易错专练1】幸福商场去年各月利润情况如图，以下说法不正确的是（    ）。 A．10月份利润最高，是48万元 B．4月份利润最低，是20万元 C．1－4月份利润逐月下降 【易错专练2】根据甲、乙两人在体育社团连续五次测试得分的统计图（如图）判断，下面结论错误的是（    ）。 A．两人的得分都呈上升趋势 B．乙的测试得分整体提升得比甲快 C．第二次测试中，甲的得分比乙的得分高13分 D．下次测试中，乙的得分一定比甲高 【易错专练3】下面的统计图可能表示（    ）。 A．乐迪和小爱两人2024年身高的变化情况。 B．南京和上海2024年每月最低气温的情况。 C．2024年每月某商场棉服和T恤的销售量情况。 D．2024年某景区每月的人流量情况。 【易错专练4】《中国居民膳食指南》建议成年人每天进行累计相当于6000步以上的身体活动。下面是甲、乙两人某周的运动步数统计图，下列描述正确的是（    ）。 A．乙坚持运动，是运动达人 B．甲从不运动，喜欢宅在家 C．乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网 D．甲偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网 【易错专练5】农历二月和八月，太原市早晚冷、中午热，人们会在一天内频繁地增减衣物。“二八月，乱穿衣”，就是这种气候特点的形象写照。下面的折线统计图，（    ）符合农历二、八月太原市一天内的气温变化。 A． B．C． 易错点4：对“变化趋势”的描述不准确或过于绝对，进行预测时，理由不充分或脱离统计图。 【易错专练1】下面是信兴商店电风扇和电暖器2024年下半年销售情况统计表 时间/月 七 八 九 十 十一 十二 电风扇 80台 60台 65台 35台 20台 20台 电暖器 10台 15台 25台 40台 60台 70台 （1）根据统计表，把统计图补充完整。 （2）电风扇卖出数量最多的是（    ）月，电暖器卖出数量最少的是（    ）月。 （3）电风扇第四季度，平均每个月销售（    ）台。 （4）电风网和电暖器销售数量相差最大的是（    ）月。 （5）分析2024年下半年电暖器销售情况，并给商家合理的建议。 【易错专练2】某校2024年上半年水电费情况如下表。 （1）根据表中数据，补全上面的统计图。 （2）（    ）月的电费最多，（    ）月的电费最少，两个月相差（    ）元。 （3）上半年的水费呈（    ）趋势，上半年的电费呈（    ）趋势。 （4）根据图信息，你想对学校提出什么建议：___________。 【易错专练3】对照儿童体质指数，小明和小华都属于“中度肥胖”类型，他们从2025年1月开始参加“体重管理年”活动。6月初，两人将1－5月份体重的数据制成了下面的统计表和折线统计图。 小华和小明2025年1－5月份体重情况统计表 2025年6月 小华和小明2025年1－5月份体重情况统计图 （1）根据统计表将折线统计图补充完整。 （2）（    ）月份，小明和小华的体重相差最小。 （3）从（    ）月到（    ）月，小明的体重下降的最快。 （4）根据五月份体重监测结果，他们已属于“轻度肥胖”类型，你对他们接下来的体重管理有什么建议？（不少于15个字） 【易错专练4】（1）下表统计了A城和B城2024年下半年各月的平均气温。根据统计表中的数据，完成统计图。 （2）（    ）城的月平均气温整体平稳；（    ）月份两个城市的月平均气温差距最大。 （3）你觉得2024年下半年哪个城市的空调销售量更好？为什么？ 【易错专练5】王老师准备复印一些材料，以下是甲、乙两个店铺的收费标准。 甲店 乙店 每张收费1元，不收加工费。 每次复印收取加工费6元，可以免费复印4张，以后每增加1张，收费0.5元。 例如： 在甲店复印4张，应付（元）在乙店复印4张，应付6元； 复印12张，应付：（元） （1）根据甲、乙两个店铺的收费标准，请将统计表补充完整。 复印张数 收费元 店铺名称 4张 8张 12张 16张 20张 甲店 4元 8元 12元 16元 乙店 6元 10元 （2）根据表中的数据，请将下面的折线统计图补充完整。 甲、乙两店复印收费情况统计图 （3）观察统计图，想一想：复印 张时，两家店铺的收费同样多。 （4）王老师去哪一家店铺复印呢？你有什么建议？ 专题三因数与倍数 易错点1：没有充分理解因数和倍数的意义，不能正确地进行判断。 【易错专练1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【易错专练2】因为1.2÷3＝0.4，所以1.2是3和0.4的倍数。（ ） 【易错专练3】一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是12。（ ） 【易错专练4】文文一家开车去距离石家庄360千米的北京看望奶奶，文文的爸爸开车从石家庄到北京，平均每小时行90千米。这句话中，（ ）是（ ）的倍数。 【易错专练5】下面各组数中，第二个数是第一个数的倍数的是（    ）。 A．42和8 B．12和4 C．1.8和0.9 D．16和32 易错点2：2、3、5的倍数特征应用错误。 【易错专练1】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【易错专练2】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【易错专练3】在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 【易错专练4】187至少减去（ ）就是2的倍数，至少减去（ ）就是5的倍数，至少加上（ ）就是3的倍数，至少加上（ ）就是2和5的共同倍数。 【易错专练5】在方框里填上合适的数字。 （1）29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填（ ）。 （2）14□同时是2和3的倍数，□里可以填（ ）。 （3）581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填（ ）。 （4）42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填（ ）。 易错点3：质数与合数、奇数与偶数的概念混淆。 【易错专练1】一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【易错专练2】小明掷骰子（六个面分别标1、2、3、4、5、6），掷出的结果是（    ）。 A．质数的可能性大 B．合数的可能性大 C．无法确定 【易错专练3】在1～50的数中，如果质数有m个，则合数有个。（ ） 【易错专练4】在“1、2、5、7、9、11”中，质数和奇数的个数不相等。（ ） 【易错专练5】第十五届全国运动会由国家体育总局主办，广东、香港、澳门三地联合承办，于2025年11月9日在广州开幕。该届运动会设竞体项目有34个大项（含游泳、海岸赛艇等7项增项）、群众项目有23个大项。 上面画横线的数中：奇数有（ ），偶数有（ ），质数有（ ）。34的因数有（ ）。 易错点4：分解质因数时，概念不清或过程错误。 【易错专练1】下面分解质因数正确的是（    ）。 A．16＝4×4 B．40＝1×2×2×5 C．42＝2×3×7 【易错专练2】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）      30＝（ ）×（ ）×（ ） 【易错专练3】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【易错专练4】把下面各数分解质因数。 32         55          87 【易错专练5】先圈出下面的合数，再分解质因数。 49    73    91    89    60 易错点5：最大公因数与最小公倍数求解混淆。 【易错专练1】用短除法求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18    16和48    5和13 【易错专练2】用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 16和24                    21和28 【易错专练3】找出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和28           26和39            16和25 【易错专练4】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    75和15    9和21 【易错专练5】求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 3和11              10和25                17和51 易错点6：对题意分析不清，解题错误。 【易错专练1】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【易错专练2】园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【易错专练3】某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 【易错专练4】2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【易错专练5】从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 专题四分数的意义和性质 易错点1：没有理解分数单位的意义。 【易错专练1】一根绳子用去后还剩米，用去的与剩下的相比，（    ）。 A．用去的多 B．剩下的多 C．相等 D．无法比较 【易错专练2】以下对的理解，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【易错专练3】把5米长的绳子平均剪成6段，每段占1米的（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练4】的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位。 【易错专练5】看图按要求填一填。 每枝花是这盆花的。 每个苹果是这盘苹果的。 每个气球是这些气球的。 每天吃的药是这盒药的。 易错点2：分数与除法关系混淆。 【易错专练1】一根木料长5米，把它平均锯成8段，每段是这根木料的几分之几？每段长几分之几米？ 【易错专练2】近年来，我国高铁以惊人的速度实现跨越式发展。2015年，我国高铁营业里程达到约2万千米，2025年达到约5万千米。2015年的高铁营业里程约是2025年的几分之几？2025年的高铁营业里程约是2015年的几分之几？ 【易错专练3】北宋诗人邵雍有诗作《山村咏怀》：“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”其中表示数的汉字的个数占诗句所有汉字的个数的几分之几？ 【易错专练4】乐园小学要举办文艺汇演，准备用蓝、黄、红三种颜色的气球共88个装饰会场，按3个蓝气球、2个黄气球、1个红气球的顺序排。三种颜色的气球各占总数的几分之几？ 【易错专练5】学校举行数学竞赛，获一等奖的有3人，二等奖的有5人，三等奖的有7人，获一等奖的人数占获奖总人数的几分之几？ 易错点3：真假分数理解或转化错误。 【易错专练1】要使是真分数，是假分数，x应该是（    ）。 A．5 B．6 C．7 【易错专练2】在，，，，这些分数中，比大的真分数有（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错专练3】分母是6的最大真分数和最小带分数分别是（ ）和（ ）。 【易错专练4】假分数与带分数或整数的互化。                          【易错专练5】把下面的假分数化成带分数或整数。              易错点4：分数的基本性质应用错误。 【易错专练1】的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应该是（ ）。 【易错专练2】“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”这句古诗中，描写颜色的字占这句古诗字数的（ ），这个分数的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应加上（ ）。 【易错专练3】如果把的分子加上12，要使分数的大小不变，那么分母应该乘（ ）；如果把的分子、分母减去同一个数后，得到的分数化简后是，那么减去的这个数是（ ）。 【易错专练4】的分母加上27，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）或乘（ ）；的分子减去10，要使分数的大小不变，分母应减去（ ）或除以（ ）。 【易错专练5】把的分子乘4，要使分数的大小不变，分母可以乘（ ）；如果将该分数的分子加4，要使分数的大小不变，分母可以加（ ）。 易错点5：做题时没有按要求把分数化成最简分数。 【易错专练1】把下列分数约分成最简分数。                  【易错专练2】将下面的分数进行约分。                   【易错专练3】分数化简。（写出化简过程）               【易错专练4】把下面的数约分成最简分数。                  【易错专练5】把下面各分数约成最简分数。                                               易错点6：对通分的理解错误，导致比较分数大小错误。 【易错专练1】先通分再比较大小。 和        和        和 【易错专练2】把下面各组分数通分后再比较大小。 和         和        和         ，和 【易错专练3】先通分或约分，再比较大小。 和        和         和       、和 【易错专练4】某筑路队修一条路，第一天修了全程的，第二天修了全程的，第三天修了全程的，哪一天修的路最多？ 【易错专练5】新华书店卖出一部分书后，《淘气包马小跳》还剩，《柳林风声》还剩。已知这两种书原来的本数一样多，哪种书卖出去得多？ 专题五分数加法和减法 易错点1：误将分母不同的分数直接相加、减。 【易错专练1】直接写出得数。              【易错专练2】直接写出得数。                                                                                 【易错专练3】直接写出得数。                               【易错专练4】直接写出得数。 ＋＝      －＝      ＋＝     ＋＝       －＝ ＋＝     －＝     －＝      0.75－＝     1－＋＝ 【易错专练5】直接写出得数。                                                           【易错专练6】直接写得数。                     ＝ ＝      ＝    ＝             【易错专练7】直接写出得数。   ＝        0.23＋＝     ＝           ＝ 2－＝        ＝        ＝         －0.2＝ 【易错专练8】直接写出得数。                                                              易错点2：未遵循分数加减混合运算的运算顺序。 【易错专练1】计算下列各题，能简算的要简算。                                      【易错专练2】算一算。                                               【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。                      【易错专练4】下面各题怎样简便怎样计算。                           【易错专练5】下面各题怎样算简便就怎样计算。                                  【易错专练6】计算下面各题，能简便的用简便方法计算。             【易错专练7】计算下面各题，能简算的要简算。                               【易错专练8】计算下面各题，能简便计算的要简便计算。                    易错点3：解决问题时未找准单位“1”或理解错误。 【易错专练1】周末，小乐整理衣柜里的衣服，夏季服装占总件数的，冬季服装占总件数的，剩下的是春秋季服装，春秋季服装占总件数的几分之几？ 【易错专练2】一堂课40分钟，教师和学生互动用了小时，小组合作用了小时，其余的时间学生练习。这堂课学生练习时间有多长？ 【易错专练3】园林局要绿化滨江公园，规划种花平方千米，植树平方千米，种花的面积比种草的面积少平方千米，种草的面积有多少平方千米？ 【易错专练4】新华小学举办“中华魂”演讲比赛，设一、二、三等奖，一等奖占获奖总人数的，二等奖占获奖总人数的，三等奖占获奖总人数的几分之几？ 【易错专练5】学校组织做班级文化墙，王老师想用绳子把同学们的照片串起来挂到墙上，麻绳长3米，第一次剪去米，第二次剪去米，还剩下多少米绳子？ 【易错专练6】缅怀革命先烈，传承红色精神。清明节期间，某小学开展祭扫烈士陵园活动，活动共用去时，其中路上用去的时间是时，休息的时间是时，剩下的是祭扫的时间，祭扫的时间是多少时？ 【易错专练7】一个圆形花圃的面积是公顷，里面种了3种不同的花。其中牡丹占总面积的，百合占总面积的，其余是玫瑰。玫瑰占总面积的几分之几？ 【易错专练8】某部分路段正在施工。第一阶段施工长度占此路段全长的，第二阶段施工长度占此路段全长的，余下第三阶段施工长度为1千米。这部分路段的总长度是多少千米？用你喜欢的方式展示解决问题的思路与方法。 专题六长方体和正方体 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【易错专练1】用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【易错专练2】一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长（ ）cm。如果改围成一个正方体，棱长是（ ）cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需（ ）cm2。 【易错专练3】小宇的好朋友下周就要过生日了，他准备了一个棱长12厘米的正方体礼盒装礼物。他打算用彩带十字捆扎礼盒并系上蝴蝶结，接头和蝴蝶结一共要用去25厘米的彩带，请问他至少需要准备多长的彩带？ 【易错专练4】工厂接到的灯笼订单中有正方体、长方体两种样式。工人师傅们用一根长铁丝制作一个长和宽都是5分米，高是8分米的长方体灯笼框架，铁丝刚好用完。同样长的铁丝也刚好能制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少？ 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 易错点2：展开图理解不对。 【易错专练1】把下面的展开图折成一个长方体，B面的对面是（    ）。 A．A面 B．F面 C．C面 D．D面 【易错专练2】下面哪个图形不能围成正方体？（    ） A． B． C． D． 【易错专练3】如图是一个正方体表面的展开图，每面都标有数字。在正方体中，数字“6”对面的数字是“（ ）”。 【易错专练4】下图是一个长方体展开后的图形，找出相对的面，填一填。（填序号） （1）①的相对面是（ ）。 （2）②的相对面是（ ）。 （3）③的相对面是（ ）。 【易错专练5】如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【易错专练1】一个长方体游泳池，长是10米，宽是6米，高是4米，它的占地面积是（ ）平方米，要在泳池的四周和底部涂上油漆，需要涂（ ）平方米的油漆。如果每平方米油漆售价是5元，一共要花（ ）元。 【易错专练2】劳动课上，小明用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，如果长方体的长是25厘米，宽是20厘米，那么高是（ ）厘米。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，给这个正方体灯罩糊上五个面的彩纸，彩纸面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】惠民健身中心新建了一个长50米，宽30米，深2.5米的游泳池。如在游泳池的四壁和底面贴上面积是0.25平方米的正方形瓷砖，至少需要多少块？ 【易错专练4】晓雯家的洗衣机更换了一个新的洗衣机罩，如图所示，边角处忽略不计，这个洗衣机罩用了多少平方米的布料？（洗衣机罩没有后面和底面） 【易错专练5】正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【易错专练1】把一个棱长是10分米的正方体木块分割成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是（      ）平方分米。 A．200 B．600 C．800 D．1000 【易错专练2】将一个长方体按如图三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．285 B．68 C．272 D．136 【易错专练3】如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米，原来正方体的表面积是（ ）平方厘米。 【易错专练4】有3个边长是2cm的小正方体，拼成一个长方体后，表面积减少了（ ）平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【易错专练5】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【易错专练1】单位换算。 3.5m3＝（ ）dm3    8500cm3＝（ ）dm3 2.4L＝（ ）mL    5600mL＝（ ）L 【易错专练2】5.08m3＝（ ）dm3            30.9dm2＝（ ）cm2 7860mL＝（ ）L             0.05L＝（ ）dm3＝（ ）cm3 【易错专练3】L＝（ ）mL       m3＝（ ）dm3       0.56m3＝（ ）L 【易错专练4】在括号里填上合适的数。 8立方分米＝（ ）立方厘米     1800立方分米＝（ ）立方米 560000cm3＝（ ）m3         7.02dm3＝（ ）L（ ）mL 【易错专练5】2.08m3＝（ ）dm3        750mL＝（ ）L         20.25dm3＝（ ）dm3（ ）cm3 易错点6：体积与容积混淆。 【易错专练1】一个长方体鱼缸，底面是边长4分米的正方形。小红向鱼缸里倒入32升水，然后放入一条金鱼，水面上升到2.1分米。这条金鱼的体积是多少立方分米？（提示：利用排水法，与曹冲称象原理相通） 【易错专练2】爸爸用保鲜盒来分装健康食材，他有一个近似长方体的保鲜盒（如下图）。 主体部分为不锈钢材质，锁住新鲜：盒盖是PE材质，柔韧防冻裂。 尺寸：（单位：毫米） （1）这个保鲜盒的容积是多少毫升？合多少升？ （2）制作一个这样的保鲜盒，需要用不锈钢多少平方厘米？（厚度忽略不计） 【易错专练3】李师傅要做一个无盖的长方体铁皮水槽，用来给蔬菜浇水。水槽从内部量，长1.2米、宽0.5米、高0.4米（铁皮厚度忽略）。 （1）这个水槽最多能装多少升水？ （2）若每平方米铁皮售价120元，李师傅买铁皮要花多少钱？ 【易错专练4】如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。 （1）这个玻璃缸中装了多少升水？ （2）向缸中放入一个棱长4分米的正方体铁块（铁块完全浸入水中且未溢出），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？ 【易错专练5】李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 专题七分数乘法 易错点1：计算分数与整数相乘时，不错把整数与分母相乘或分子与整数约分出 现错误。 【易错专练1】计算。                           【易错专练2】计算。                                                          【易错专练3】计算。 ＝    ＝    ＝    ＝ ＝    ＝    ＝    ＝ 【易错专练4】计算题。                                【易错专练5】计算园地                                                                                                                                            易错点2：没有掌握分数乘分数的计算方法,导致出错。 【易错专练1】直接写出得数。                                                                                                  【易错专练2】算一算。（a，m均大于0）                           【易错专练3】直接写得数。                                               【易错专练4】口算。                           【易错专练5】口算。                           易错点3：分数连乘时运算顺序错误​ 【易错专练1】写出主要的计算过程和得数。                      【易错专练2】计算。 ×6×           ××          ×× 【易错专练3】计算。              【易错专练4】计算。 ××              ×4× ××               24××51 【易错专练5】计算。          易错点4：对倒数的意义理解有误，导致表达时出错，或计算错误。 【易错专练1】下面两个数互为倒数的是（    ）。 A．和 B．和3.5 C．和 D．和 【易错专练2】的倒数与的倒数和是多少？与的和的倒数是多少？以下结果正确的是（    ）。 A．； B．； C．； 【易错专练3】。 【易错专练4】一个自然数与它的倒数的和是2.5，这个自然数是( )；一个自然数与它的倒数的差是3.75，这个自然数的倒数是( )。 【易错专练5】若和互为倒数，则2025＋2mn＝( )；若没有倒数，则2025＋2n＝( )。 易错点5：未找准单位“1”。 【易错专练1】实验小学举行科技小制作比赛，获得二等奖的有120人，获得一等奖的人数是二等奖的，获得一等奖的人数有多少？ 【易错专练2】某小学六年级有女生210人，男生人数比女生人数的少24人。这个小学六年级有男生多少人？ 【易错专练3】“云端松潘”旅游纪念品店，九月接待游客500人，十月接待游客人数是九月的，十一月因天气转冷，接待人数是十月的。十一月接待游客多少人？ 【易错专练4】为了亲近大自然，提高师生的劳动实践能力，开发区实验小学把“劳动实践基地”平均分成了72块种植区。五年级的种植区是总数的，六年级的种植区是五年级的。六年级的种植区是多少块？ 【易错专练5】某森林公园进行“荒山改绿装”行动后吸引了许多游客前来观光游览，成为了休闲娱乐的好去处。山脚下新种植了一片花海，其中月季花有480株，茉莉花的株数是月季花的，郁金香的株数是茉莉花的。这片花海中有多少株郁金香？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $