（温故知新）第一讲 数与代数的运算与应用【思维导图+知识梳理+七大题型闯关+实战演练 共41题】-2026年小升初数学衔接高效培优讲义（苏教版）

该小学数学小升初复习教案聚焦数与代数的运算与应用，涵盖整数、小数、分数四则运算及应用，教学目标是系统构建运算知识网络，完成从具象到抽象的代数思维转型。通过思维导图梳理知识脉络，分模块整合运算定律与法则，结合七大题型闯关重点突破，配套41题实战演练巩固，帮助学生掌握运算逻辑与应用题解题技巧。 亮点在于阶梯式题型设计与跨学段衔接，如通过“整数简算→分数混合运算→百分数应用题”的递进练习，培养学生的运算能力和推理意识。典型题例如用方程解决金属成本比例问题，体现模型意识，41题包含各地小升初真题，助力学生熟悉考点，教师可通过题型分析精准把握学生薄弱环节，提升复习效率。

2026年苏教版数学小升初数学衔接精编高效培优讲义（温故知新） 第一讲 数与代数的运算与应用 『重点难点专项复习讲练（温故知新）』 思维导图+知识梳理+七大题型闯关+实战演练 共41题 小学学习要求 初中衔接要求 掌握四则运算的意义与法则，熟练运用运算定律进行简便计算。明确混合运算顺序，能准确分析数量关系，用算术或简易方程解决各类典型应用题。 实现从具体数字到抽象字母的思维跨越，理解有理数运算与代数式化简。注重运算逻辑与步骤严谨，培养用方程思想解决复杂问题的建模能力。 知识目标引导 系统构建运算知识网络，沟通整数、小数、分数运算的内在联系。完成从具象到抽象的代数思维转型，提升逻辑推理与数学建模能力，养成规范严谨、自主反思的学习习惯。 知识点梳理01：整数四则运算 1整数加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数 2整数减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 3整数乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 [来源:学科网] 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数 4 整数除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 [来源:学科网] 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 知识点梳理02：小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2. 小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3. 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 [来 4. 小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 5. 乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 知识点梳理03：分数四则运算 1. 分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。 2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 [来源:学科网] 5. 分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 知识点梳理04：运算定律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。 知识点梳理05：运算法则 1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 知识点梳理06：运算顺序 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 3. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。 4. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 5. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 6. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算 题型一 整数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。                                        【答案】2565；4； 6.67；； 43；1.8 【思路引导】（1）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （2）先将、化成小数，再去掉括号，算式变为，然后根据减法的性质进行简算； （3）先算乘法、除法，再算减法； （4）先算括号里的减法，再算括号外的除法，最后算乘法； （5）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简算； （6）先将化成3.6，0.375化成，再根据乘法分配律进行简算。 【规范解答】 【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）的计算结果的个位数是______。 【答案】1 【思路引导】个位为1； 的个位是2、4、8、6共4个数为一个周期； 的个位是3、9、7、1共4个数为一个周期； 的个位是4、6共2个数为一个周期； 的个位数是5； 的个位数是6； 的个位数以7、9、3、1共4个数为一个周期； 的个位数以8、4、2、6共4个数为一个周期； 的个位数以9、1共2个数为一个周期； 的个位数是0。 据此算出1到10的2007次方的个位数之和，再计算1－2006里有几组这样的数字即可确定。 【规范解答】2007÷4＝501……3，2007÷2＝1003…...1 的个位为1； 的个位为8； 的个位为7； 的个位为4； 的个位为5； 的个位为6； 的个位为3； 的个位为2； 的个位为9； 的个位为0。 1到10的2007次方的个位数之和是： 1＋8＋7＋4＋5＋6＋3＋2＋9＋0＝45 2006÷10＝200……6 即有200组1到10的2007次方的个位数，还余下1到6的2007次方的个位数 200×45＝9000 1到6的2007次方的个位数之和为： 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31 0＋1＝1 所以计算结果的个位数是1。 【变式训练2】．（2026·四川泸州·小升初真题）有本书共有300页，则数码0在页码中出现的次数是( )。 【答案】51 【思路引导】1．根据自然数的组成结构及排列规律可知，在1~500页中，页码1~10间， 只有1个0 （也即页码10）出现； 2．页码11~100间， 20、30、40……90逢10的倍数会出现1个0，100页上有2个0，共有10个0； 3．页码101~110间， 每个页码都有1个0，共有10个0，页码为111~200的情况与11~100间一样，也是10个0，即101~200之间共20个零； 4．由此可知，201~300之间0的个数与101~ 200之间的个数是一样的，据此将每个数段的零相加即得数字0在页码中共出现了多少次。 【规范解答】1＋10＋20＋20＝51 题型二 小数的四则运算 【典例精讲】（2026·陕西咸阳·小升初模拟）张爷爷家院子里有一个圆锥形小麦堆，它的底面周长是12.56米，高是2.1米。如果每立方米小麦约重800千克，这个小麦堆约重多少千克？ 【答案】7033.6千克 【思路引导】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出圆锥形小麦堆的体积，最后乘每立方米小麦的重量求出这个小麦堆的总重量。 【规范解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） ＝ ＝ ＝ ＝2.8×3.14 ＝8.792（立方米） 8.792×800＝7033.6（千克） 答：这个小麦堆约重7033.6千克。 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）一个小数，如果把它的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，得到的数与原来的数相差2.52，那么原来这个小数是多少？ 【答案】0.28 【思路引导】小数点向右移动三位，表示原来的数扩大到原来的1000倍；小数点再向左移动两位，表示又缩小为原来的。综合来看得到的数与原来的数相比扩大到原来的10倍。把原来的数看作1份，得到的数为10份，相差的9份和2.52是相对应的，两者相除就可以得到原来的数。 【规范解答】小数点向右移动3位：原来的数×1000 小数点向左移动2位：原来的数÷100 综合来看： 答：原来这个小数是0.28。 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）在长800米的环形跑道上，A、B两点相距360米。艾迪、薇儿两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。艾迪每秒跑8米，薇儿每秒跑5米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么艾迪追上薇儿需要的时间是多少秒？ 【答案】300秒 【思路引导】艾迪追上薇儿需要比薇儿多跑360米，则比薇儿多休息3次，在这3次休息中薇儿多跑了（5×10×3）米，所以艾迪要比薇儿多跑（360＋5×10×3）米，利用“追及时间＝多跑的路程÷速度差”求出追及时间。用追及时间乘速度求出艾迪实际跑步的总路程，用总路程除以100米求出休息次数，用休息次数乘10秒求出休息时间，最后将跑步时间与休息时间相加即可求出总时间。 【规范解答】360＋5×10×3 ＝360＋50×3 ＝360＋150 ＝510（米） 510÷（8－5） ＝510÷3 ＝170（秒） 170×8÷100 ＝1360÷100 ＝13.6 ≈13（次） 170＋13×10 ＝170＋130 ＝300（秒） 答：艾迪追上薇儿需要的时间是300秒。 题型三 分数的四则运算 【典例精讲】（2026·陕西西安·小升初模拟）小丽读一本故事书，她第一天读了这本故事书的15%，第二天读了这本故事书的，还剩下86页未读。这本故事书一共有多少页？ 【答案】120页 【思路引导】把这本故事书的总页数看作单位“1”，求出剩下页数占总页数的分率，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，则用剩下的页数除以剩下页数占总页数的分率即可求解。 【规范解答】1－15%－ ＝1－－ ＝－ ＝－ ＝ 86÷ ＝86× ＝120（页） 答：这本故事书一共有120页。 【变式训练1】（2026·陕西西安·小升初模拟）认真算一算，怎样简便就怎样算。             12.5%×3.6×80             【答案】；； 【思路引导】除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数。本题先将除法变成乘法，然后根据乘法分配律的逆用提取进行简便运算； 将转变成小数，然后根据乘法交换律先计算； 先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法。 【规范解答】 【变式训练2】（2025·四川成都·小升初真题）计算。 （1）    　　　　　 （2） （3）　 （4） （5） 【答案】（1）20； （2）； （3）798； （4）1 （5） 【思路引导】（1）遵循四则运算顺序，先小括号、再中括号，小数换成分数方便约分计算。 （2）分数拆分，拆开后中间项抵消，只剩首尾，再乘2022。 （3）逐个算出每个括号的和，变成同分母分数相加，首尾配对凑整求和。 （4）循环小数化成分数，去括号分组相减。 （5）每个式子拆成两个分数相乘，交叉约分后只剩首尾两个分数相乘。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝20 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝57×14 ＝798 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型四 百分数的四则运算 【典例精讲】（2026·湖北武汉·小升初模拟）用递等式计算。（第③④小题要用简便方法计算） ①                   ② ③        ④ 【答案】①87.7；②； ③328；④42 【思路引导】①按照四则混合运算的顺序，先计算小数乘法，再计算小数加减法； ②按照四则混合运算的顺序，先计算小括号里面的分数减法，再计算中括号里面的分数乘法，最后计算括号外面的分数除法； ③先把百分数转化为小数，再把转化为，把转化为，最后逆用乘法分配律简便计算； ④先把23×19看作一个整体，再利用乘法分配律简便计算。 【规范解答】① ＝ ＝ ＝87.7 ② ＝ ＝ ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝328 ④ ＝ ＝ ＝42 【变式训练1】（2026·湖北武汉·小升初模拟）一台电扇，若卖100元，可以赚25%。这台电扇的成本价是（    ）。 A．125元 B．100元 C．80元 D．75元 【答案】C 【思路引导】将成本价看作单位“1”，卖价是成本价的（1＋25%），卖价÷对应百分率＝成本价。 【规范解答】100÷（1＋25%） ＝100÷1.25 ＝80（元） 这台电扇的成本价是80元。 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。 (1)求手镯中金属和金属的重量比。 (2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 【答案】(1) 3∶1 (2) 19.25% 【思路引导】（1）分别将两种金属原来的成本看作单位“1”，那么金属A的新成本是原来成本的（1＋30%），金属B的新成本是原来成本的80%；求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，金属A的新成本＝金属A的原来成本×对应百分率，金属B的新成本＝金属B的原来成本×对应百分率。设每克手镯中金属A的重量为克，那么金属B的重量为克。手镯的总成本＝金属A的成本×金属A的重量＋金属B的成本×金属B的重量，根据等量关系“每克手镯现在的总成本－每克手镯原来的总成本＝每克手镯增加的成本”列出方程求出，再求出的值；最后根据比的意义写出两种金属的重量比，根据比的基本性质化成最简整数比。 （2）将原来每克手镯的总成本看作单位“1”，原来的售价是原来总成本的（1＋60%），所以每克手镯原来的售价＝每克手镯原来的总成本×（1＋60%）。每克材料现在的总成本＝每克手镯原来的总成本＋37.5；将每克材料现在的总成本看作单位“1”，投入包装成本后，每克手镯现在的总成本就是每克材料现在总成本的（1＋6%），即每克手镯现在的总成本＝每克材料现在的总成本×（1＋6%）。将每克手镯现在的总成本看作单位“1”，每克手镯现在的售价是每克手镯现在总成本的（1＋50%），每克手镯现在的售价＝每克手镯现在的总成本×（1＋50%）。然后将每克手镯原来的售价看作单位“1”，求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算，根据“（每克手镯现在的售价－每克手镯原来的售价）÷每克手镯原来的售价×100%”求出上涨的百分比。 【规范解答】（1）金属A上涨30%后的成本： （元/克） 金属B下跌到原来的80%后的成本： （元/克） 设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。 （克） 金属A与金属B的重量比为： 答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。 （2）原来每克手镯的总成本： （元） 原来每克手镯的售价： （元） 现在每克手镯的材料总成本： （元） 现在每克手镯含包装的总成本： （元） 现在每克手镯的售价： （元） 售价上涨的百分比： 答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。 题型五 运算定律与简便运算 【典例精讲】（2026·甘肃陇南·小升初模拟）用你喜欢的方法计算。 （1）             （2） （3）                （4） 【答案】（1）；（2）6；（3）；（4） 【思路引导】（1）根据减法运算性质，先去掉小括号并把小数化成分数，然后运用加法交换律计算中括号内，最后算括号外； （2）先把分数和百分数化成小数，然后根据乘法分配律，提取公因数简便计算； （3）先算括号内，再把百分数化成分数，除法转化为乘法，最后约分计算； （4）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律，提取公因数简便计算。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝6 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）计算。                             【答案】；1.8 ； 【思路引导】第一题：先计算乘法，再按照运算顺序进行计算。 第二题：把分数化成小数，＝0.2，再根据乘法分配律的逆运算简便计算。 第三题：把中括号里的算式利用减法性质和带符号搬家简便计算，再计算括号外的乘法。 第四题：把除法转换成乘法，再利用乘法分配律的逆运算简便计算。 【规范解答】 ＝5－2＋ ＝3＋ ＝ ＝1.3×0.2＋7.7×0.2 ＝（1.3＋7.7）×0.2 ＝9×0.2 ＝1.8 ＝×[－＋] ＝×[＋－] ＝×[1－] ＝× ＝ ＝×＋× ＝（＋）× ＝× ＝ 【变式训练2】（2025·重庆·小升初真题）算一算。                                                    【答案】4；243.75；；；363456342；5.4；2007006；； 【思路引导】首先把2013×2012−2012×2011−2011×2010＋2010×2009转化为（2013×2012−2012×2011）−（2011×2010－2010×2009），然后再根据乘法分配律进行简便运算； 把转化为再计算； 先把转化为假分数，再把分子2004×2005＋2004利用乘法分配律简算转化为2004×2006，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结果； 先把带分数拆成整数和分数的和，然后再分别算出整数的和与分数的和，最后再把它们的和加起来即可求出结果； 把2019×20202020和2002×20192019分别拆成2019×2020×10001和2002×2019×10001，然后根据乘法分配律进行简便运算； 先根据乘法分配律计算（−）×4.8，再计算中括号里面的，最后计算加法； 首先把＋＋……＋拆成（2003＋2002）×（2003－2002）＋（2001＋2000）×（2001－2000）……＋（3＋2）×（3－2）＋，然后计算可得4005＋4001＋……＋5＋1，再用（4005－1）÷4×（4005＋5）÷2＋1，最后计算即可得出结果； 首先把转化为（2003＋3）×（2003－1），然后计算得出2006×2002，再把2006×2002转化为2×（1003×1001），然后再约分即可得出结果； 先把转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，然后再计算即可得出结果。 【规范解答】 ＝2012×（2013－2011）－2010×（2011－2009） ＝2012×2－2010×2 ＝（2012－2010）×2 ＝2×2 ＝4 ＝ ＝975×0.25 ＝243.75 ＝2004÷ ＝2004÷ ＝2004÷ ＝2004× ＝ ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（） ＝ ＝210＋ ＝ ＝2019×2020×10001－2002×2019×10001 ＝（2019×2020－2002×2019）×10001 ＝2019×（2020－2002）×10001 ＝2019×18×10001 ＝36342×10001 ＝363456342 ＝ ＝ ＝3.6＋1.8 ＝5.4 ＝（）＋（）＋……＋（）＋ ＝（2003＋2002）×（2003－2002）＋（2001＋2000）×（2001－2000）＋……＋（3＋2）×（3－2）＋1 ＝4005＋4001＋……＋5＋1 ＝（4005－1）÷4×（4005＋5）÷2＋1 ＝4004÷4×4010÷2＋1 ＝1001×4010÷2＋1 ＝4014010÷2＋1 ＝2007005＋1 ＝2007006 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 题型六 倍的运算 【典例精讲】．（2026·陕西汉中·小升初模拟）在清明节这个缅怀先人的传统节日里，人们通过赠送花卉来表达对逝去亲人的哀思与怀念。要解决下面的问题，还需要确定一个信息，这个信息可以是（    ）。 花店新进了康乃馨，百合，菊花三种花，已知康乃馨有200朵，是三种花中数量最多的，这个花店一共新进了多少朵花？ A．康乃馨比菊花多20朵 B．这三种花的总数量是百合花数量的6倍 C．康乃馨的数量占这三种花总数量的 D．康乃馨与百合的数量比是5∶3 【答案】C 【思路引导】要计算花店新进花的总数，已知康乃馨有200朵且是最多的，需找到能建立康乃馨数量与总数关系的条件，或者计算出其他两种花的数目。 【规范解答】A．仅知道康乃馨比菊花多朵，无法得出百合的数量，不能求出三种花的总数，所以该选项错误； B．只知道三种花总数量是百合花数量的6倍，百合花的数量未知，且缺少百合花与康乃馨数量的关联信息，无法求出总数，所以该选项错误； C．已知康乃馨数量占三种花总数量的，且康乃馨有200朵，根据“总数＝部分量÷对应分率”，可通过（朵）求出总数，所以该选项正确； D．仅知道康乃馨与百合的数量比是，可以求出百合的数量，但是菊花的数量未知，所以无法求出总数，所以该选项错误。 【变式训练1】．（2026·江苏淮安·小升初真题）有酒精含量为36%的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为30%的溶液，如果再稀释到24%，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（    ）倍。 A．1.5 B．2 C．3 D．2.5 【答案】A 【思路引导】假设36%的酒精溶液100克，那么含酒精100×36%＝36克，是不变的；30%的浓度的酒精溶液是36÷30%＝120克，比100克多了20克水；24%的浓度的酒精溶液是36÷24%＝150克，比100克多了50克水；第一次加了20克，第2次又加了50－20＝30克，用第2次加水的数量除以第1次加水的数量，即可解答。 【规范解答】假设36%的酒精溶液100克。 含酒精：100×36%＝36（克） 36÷30%－100 ＝120－100 ＝20（克） （36÷24%－100－20）÷20 ＝（150－100－20）÷20 ＝30÷20 ＝1.5 所以还需要加水的数量是上次加的水量的1.5倍。 【变式训练2】一位科技发明家被约到科学会议室作报告，科技站通知发明家在某时刻等候汽车接他，这位发明家还想到一件事要办理，不等小汽车来就提前出门了，沿着接他的小汽车行驶路线走，行了30分钟，正好遇到来接他的小汽车，然后乘车往科学会议室结果比约定的时刻提前10分钟到达，问： （1）这位科技发明家比约定时刻提前多少分钟出门？ （2）小汽车的速度是这位科技发明家步行速度的多少倍？ 【答案】（1）35分钟 （2）6倍 【思路引导】（1）根据题意，这位科技发明家比约定的时刻提前10分钟到达，即汽车一个单程可节约10÷2＝5分钟，加上这位科技发明家已行的时间即可解答。 （2）已知这位科技发明家步行30分钟的路程，小汽车只需5分钟，用除法，即可求出小汽车的速度是步行速度的倍数。 【规范解答】（1）30＋10÷2 ＝30＋5 ＝35（分钟） 答：这位科技发明家比约定时刻提前35分钟出门。 （2）30÷5＝6 答：小汽车的速度是这位科技发明家步行速度的6倍。 【考点剖析】读懂题意，注意汽车的行程是双程的，求出单程节约的时间是解题的关键。 题型七 计算器与复杂的运算 【典例精讲】（2024·山东潍坊·小升初真题）聪聪在用计算器计算一个四位数乘525时，错误地将525输成了25，接下来，输入（    ）可以避免结果错误。 A．“×5” B．“×500” C．“＋500” D．“×21” 【答案】D 【思路引导】根据题意，用计算器计算一个四位数乘525时，错误地将525输成了25，因为525÷25＝21，即525＝25×21，所以接下来，输入“×21”可以避免结果错误，据此解答即可。 【规范解答】525÷25＝21 接下来，输入“×21”可以避免结果错误。 故答案为：D 【变式训练1】（2024·湖北襄阳·小升初真题）一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用下面（    ）计算出正确的得数。 A．280×5.6 B．258×5.6－10 C．250×5.6－11.2 D．238×5.6＋5.6 【答案】C 【思路引导】根据题意，计算器的数字键“4”坏了，250与248相差2，所以可以把248化为250－2，原式化为：（250－2）×5.6；再根据乘法分配律，原式化为：250×5.6－2×5.6，进而解答。 【规范解答】248×5.6 ＝（250－2）×5.6 ＝250×5.6－2×5.6 ＝250×5.6－11.2 一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用250×5.6－11.2计算出正确的得数。 故答案为：C 【变式训练2】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）乐乐用计算器计算2024×81时，发现计算器的按键“1”坏了，如果要用这个计算器算出正确结果，那么不能用下面（    ）计算。 A．2024×9×9 B．2024×90－9 C．2024×80＋2024 【答案】B 【思路引导】根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，将81看作90－9，或将81看作80＋1，再进行计算；也可以根据乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），将81看作9×9，再进行计算。据此逐项分析即可。 【规范解答】A．2024×81 ＝2024×（9×9） ＝2024×9×9 B．2024×81 ＝2024×（90－9） ＝2024×90－2024×9 则2024×81与2024×90－9不相等 C．2024×81 ＝2024×（80＋1） ＝2024×80＋2024×1 ＝2024×80＋2024 所以不能用B方法计算。 故答案为：B 1．（2026·陕西西安·小升初模拟）一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.8千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.872 B．18.72 C．187.2 D．1872 【答案】D 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出油箱的容积，根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，把单位换算成升，再乘每升汽油可行驶的距离，就是这辆卡车的油箱装满油后可行驶的距离。 【规范解答】0.8×0.6×0.5 ＝0.48×0.5 ＝0.24（立方米） 0.24立方米＝240立方分米＝240升 240×7.8＝1872（千米） 这辆卡车的油箱装满油后可行驶1872千米。 2．（2026·全国·小升初模拟）下面是同学们计算“1.36÷0.08”时的几种想法，正确的是（    ）。 A．③ B．①② C．①②④ 【答案】C 【思路引导】想法①利用长度单位之间的换算，将小数化为整数进行计算； 想法②是将两个小数同时扩大100倍再进行计算； 想法③直接进行竖式计算，但是小数点位置是错的； 想法④将两个小数分别转化为几个0.01，再进行计算。 【规范解答】①1米＝100厘米 1.36米＝1.36×100＝136厘米 0.08米＝0.08×100＝8厘米 136÷8＝17 1.36÷0.08＝17 想法①是对的； ②1.36×100＝136 0.08×100＝8 136÷8＝17 1.36÷0.08＝17 想法②是对的； ③ 因此，想法③是错的； ④1.36÷0.01＝136 0.08÷0.01＝8 因此1.36里有136个0.01，0.08里有8个0.01； 136÷8＝17 1.36÷0.08＝17 浅色方格条、深色方格条合起来一共有这样的17个，想法④是对的。 3．（2026·四川绵阳·小升初真题）一盒饼干，第一天吃了它的，第二天吃了剩下的，第三天吃了剩下的…第2025天吃了剩下的，最后剩下10块，这盒饼干共有（    ）块。 A．1000 B．2026 C．10000 D．20260 【答案】D 【思路引导】把一盒饼干的块数看作单位“1”。第一天吃了它的，则还剩1－＝。第二天吃了剩下的，说明还剩它的×（1－）。第三天吃了剩下的，说明还剩它的×（1－）×（1－）……，由此可知第2025天吃完剩：×（1－）×（1－）……×（1－）。根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数。用除法。用10除以×（1－）×（1－）……×（1－）。即可求出这盒饼干共有多少块。 【规范解答】×（1－）×（1－）……×（1－） ＝××…… ＝×…… ＝ 10÷＝10×2026＝20260（块） 所以，这盒饼干共有20260块。 4．（2026·广东·小升初模拟）折。 【答案】16；5；25；二五 【思路引导】小数化分数的方法：原来有几位小数，就在1后面写几个0做分母，原来的小数去掉小数点做分子，化成分数后，能约分的要先约分； 分数与比的关系：分子作为比的前项，分母作为比的后项； 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变； 小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，再加上百分号即可。 几几折就是百分之几十几，据此解答。 【规范解答】0.25＝ ＝1∶4 ＝（1×4）∶（4×4） ＝4∶16 ＝＝ 0.25＝25% 25%＝二五折 0.25＝4∶16＝＝25%＝二五折 5．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）微信提现收费规定：每位注册用户享有1000元免费提现额度，超过部分收取0.1%的手续费。李老师是微信注册用户，现在他需要从微信钱包中提取现金18000元，需要支付( )元的手续费。 【答案】17 【思路引导】用提取现金额度减去1000元免费提现额度，是实际需要支付手续费的提现额度，再乘收取的手续费，就是需要支付的手续费。 【规范解答】（18000－1000）×0.1% ＝17000×0.001 ＝17（元） 需要支付17元。 6．（2025·四川成都·小升初真题）甲种酒含纯酒精30%，乙种酒含纯酒精26%，丙种酒含纯酒精25%，现将这三种酒混合在一起得到含纯酒精28.5%的酒精55千克。已知乙种酒比丙种酒多15千克，那么甲种酒有______千克。 【答案】35 【思路引导】由题意可知，混合前后纯酒精总量不变，设丙的质量x千克，用丙分别表示出乙、甲的质量，再根据“溶质＝溶液×浓度”，列出酒精等量关系式，算出丙的重量，再将x的值代入40－2x，求出甲种酒的质量。 【规范解答】解：设丙的质量为x千克，则乙的质量为（x＋15）千克，甲的质量为[55－x－（x＋15）]＝（40－2x）千克。 30%×（40－2x）＋26%×（x＋15）＋25%x＝55×28.5% 0.3×（40－2x）＋0.26×（x＋15）＋0.25x＝15.675 12－0.6x＋3.9＋0.26x＋0.25x＝15.675 15.9－0.09x＝15.675 15.9－0.09x＋0.09x＝15.675＋0.09x 15.675＋0.09x＝15.9 15.675＋0.09x－15.675＝15.9－15.675 0.09x＝0.225 x＝0.225÷0.09 x＝2.5 40－2×2.5＝35（千克） 所以，甲种酒有35千克。 7．（2026·湖南永州·小升初模拟）计算下面各题，能简算的要简算。 25%×1.25×3.2                 ×＋÷16 [÷（－）]×           2025×（－）×2026 【答案】1；； ；2 【思路引导】25%×1.25×3.2把25%化成小数，把3.2看作4和0.8的积，再运用乘法交换律和结合律进行简算； ×＋÷16先把除以16转化为乘，再运用乘法分配律进行简算； [÷（－）]×先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法； 2025×（－）×2026运用乘法交换律，把（－）和2026交换位置，把2025×2026看作一个整体，再运用乘法分配律进行简算。 【规范解答】25%×1.25×3.2 ＝0.25×1.25×（4×0.8） ＝（0.25×4）×（1.25×0.8） ＝1×1 ＝1 ×＋÷16 ＝×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ [÷（－）]× ＝[÷]× ＝[]× ＝2× ＝ 2025×（－）×2026 ＝2025×2026×（－） ＝2025×2026×－2025×2026× ＝2026×2－2025×2 ＝（2026－2025）×2 ＝1×2 ＝2 8．（2026·四川南充·小升初模拟）脱式计算，能简便计算的要简便计算。 ①3.62－2.98＋4.38        ②99×37.29＋37.29        ③ ④7.8×125                ⑤        ⑥ 【答案】①5.02；②3729；③； ④975；⑤6；⑥6 【思路引导】①先算3.62与4.38的和再减去2.98比较简便。 ②在第2个37.29的后面乘1，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 ③先算减法，再算乘法，最后算除法。 ④把7.8看作8与0.2的差，再利用乘法分配律进行简便计算。 ⑤把百分数和分数改写成0.6，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 ⑥利用乘法分配律和加法交换律和结合律进行简便计算。 【规范解答】①3.62－2.98＋4.38    ＝3.62＋4.38－2.98 ＝8－2.98 ＝5.02      ②99×37.29＋37.29    ＝99×37.29＋37.29×1 ＝（99＋1）×37.29 ＝100×37.29 ＝3729       ③ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ④7.8×125   ＝（8－0.2）×125 ＝8×125－0.2×125 ＝1000－25 ＝975               ⑤   ＝   ＝（3.9＋6.1）×0.6 ＝10×0.6 ＝6    ⑥ ＝ ＝ ＝ ＝1＋5 ＝6 9．（2026·陕西西安·小升初模拟）春节赏灯承载着“燃灯照岁”的传统寓意，四位叔叔正在制作一个长方体花灯，请根据他们的谈话，解决下面的问题。 甲：这个长方体的棱长总和是52分米。 乙：如果高增加2分米，就变成了一个正方体。 丙：是呀，这时表面积比原来增加40平方分米。 丁：长方体花灯上面装饰了红、绿、黄三种颜色的小彩灯，红灯的数量占总数量的，绿灯个数是黄灯的，红灯比绿灯多买了10个。 (1)如果给这个花灯的侧面贴一圈彩布，贴彩布的面积至少是多少平方分米？ (2)三种颜色的小彩灯一共有多少个？ 【答案】(1)平方分米 (2)个 【思路引导】（1）长方体花灯的高增加分米就变成了一个正方体，说明长和宽相等，高比宽少分米。则正方体花灯的棱长总和是分米。正方体条棱长度相等，这个正方体花灯的棱长用棱长和除以即可。长方体侧面积底面周长×高，把数据代入计算即可。 （2）红灯的数量占总数的，黄灯和绿灯的个数和占总数的（）。绿灯是黄灯的，那么黄灯和绿灯的个数和有（）份，绿灯个数占黄灯和绿灯个数和的。绿灯个数占彩灯总个数的（）。红灯个数比绿灯个数多占总数的（）。红灯比绿灯多买了个，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除以即可算出三种颜色的小彩灯一共有多少个。 【规范解答】（1） （分米） （分米） （分米） （平方分米） 答：贴彩布的面积至少是平方分米。 （2） （个） 答：三种颜色的小彩灯一共有个。 10．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）哥哥想买一辆某品牌标价为900元的自行车，现在有下面两家专卖店有优惠活动，哥哥去哪家专卖店买比较省钱？需要多少钱？ 甲专卖店：每满100元减30元。 乙专卖店：先打八折，在此基础上再打九折出售。 【答案】甲专卖店买；630元 【思路引导】甲专卖店每满100元减30元，即表示900元里面有几个100元，就可以减去几个30元；乙专卖店是折上折的形式，打八折就是按原价的80%出售，再按打八折后价格的90%出售。据此分别计算出甲、乙两个专卖店自行车的实际售价，再比较大小，从而判断去哪家专卖店买比较省钱。 【规范解答】甲：900÷100＝9（个） 9×30＝270（元） 900－270＝630（元） 乙：900×80% ＝900×0.8 ＝720（元） 720×90% ＝720×0.9 ＝648（元） 因为630＜648，所以去甲专卖店买比较省钱。 答：哥哥去甲专卖店买比较省钱，需要630元。 11．（2025·四川成都·小升初真题）三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处。里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米。甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。他们同时出发。请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？ 【答案】6小时 【思路引导】由于三人第一次同时回到出发点的时间应是三人分别跑一圈所需时间的最小公倍数，首先根据路程÷速度＝时间，用各条跑道的长度分别除以每人的速度，求出甲、乙、丙三人分别跑一圈需要的时间，然后求出每人所需时间的最小公倍数后，由于得到的时间是分数，可以先通分，找分子的最小公倍数即可，再除以对应分母，即可求解。 【规范解答】甲跑一圈需要： ÷ ＝÷ ＝× ＝（小时） 乙跑一圈需要： ÷4 ＝× ＝（小时） 丙跑一圈需要： ÷5 ＝× ＝（小时） ＝；＝；＝ 32＝2×2×2×2×2 35＝5×7 42＝2×3×7 32，35，42的最小公倍数是2×2×2×2×2×3×5×7＝3360 3360÷560＝6（小时） 答：6小时后，三人第一次同时回到出发点。 12．（2025·四川成都·小升初真题）学校食堂有若干袋大米和面粉，其中面粉占，后来又买进20袋面粉，这时面粉袋数占面粉、大米总数的，问学校原来共有多少袋大米和面粉？ 【答案】360袋 【思路引导】根据关系式原来面粉的数量＋20＝现在面粉的数量列方程解答，需注意的是两次的单位“1”不一样。 【规范解答】解：设学校原来共有x袋大米和面粉。 答：学校原来共有360袋大米和面粉。 13．（2025·四川成都·小升初真题）康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务；如果康师傅从一开始就把工作效率提高12.5%，那么也可以提前4天完成任务。这批零件共有多少个？ 【答案】2160个 【思路引导】先求出前后工作效率之比，根据份数求得天数，进而解决问题。 工作效率提高20%，即提高后的工效为原来工效的（1＋），工效比5：6，时间比6：5，工效提高12.5%，即提高后的工效为原来工效的（1＋12.5%），工效比8：9，时间比9：8，两者的时间差是一样的：6－5＝1，9－8＝1，即1份代表4天，所以求出原来的天数，而加工720个，剩下的按原工作效率进行，那么还需要4×6＝24天，即720个用36－24＝12天，原来1天做720÷12＝60个，进而求出这批零件的个数。 【规范解答】1＋20%＝1＋＝ 提高后的工效与原来的工效比为1∶＝5：6，时间比为6：5， 1＋12.5%＝1＋0.125＝1.25＝ 提高后的工效与原来的工效比为：1∶＝8：9，时间比9：8， 两者的时间差是一样的：6－5＝1，9－8＝1， 即1份代表4天，所以原来共有4×9＝36（天） 而加工720个，剩下的按原工作效率进行，还要4×6＝24（天） 即720个用36－24＝12（天） 原来1天做720÷12＝60（个） 这批零件共有60×36＝2160（个） 答：这批零件共有2160个。 14．（2025·四川成都·小升初真题）打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成，现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；……。如此交替下去，打印这部稿件共需要多少小时？ 【答案】小时 【思路引导】把这部稿件的工作量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求得甲的工作效率，乙的工作效率；根据交替顺序，甲工作1小时→乙工作2小时→甲工作2小时→乙工作1小时，之后重复这个规律，所以每6小时为1个完整周期，每个周期里甲一共工作1＋2＝3小时，乙一共工作2＋1＝3小时。每个周期完成的工作总量为：，用1除以每个周期完成的工作量，得出需要2个完整的周期；1减去完整工作周期的工作总量得到剩余工作总量，剩余的工作总量按顺序，甲1小时完成，还剩，由乙来完成需要时间为小时，完整周期数×6＋剩余工作量所需时间＝总时间。 【规范解答】甲工作效率：1÷12＝，乙工作效率：1÷15＝ 1个周期完成的工作量： （）×3 ＝（）×3 ＝×3 ＝ 周期数： 1÷ ＝1× ＝ 即需要2个完整的周期，2个完整周期完成的工作量： 剩余工作量：1－＝ 甲工作1小时后剩余工作量： ＝ ＝ ＝ 乙还需要工作时间： ＝ ＝（小时） 总时间： 2×（1＋2＋2＋1）＋1＋ ＝2×6＋1＋ ＝12＋1＋ ＝（小时） 答：打印这部稿件共需要小时。 15．（2025·重庆渝北·小升初真题）一批商品，按照期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打了多少折扣？ 【答案】八折 【思路引导】由于本题不涉及具体数量，只涉及百分比，且商品件数和原价都未知，所以可以把商品数量和进价都看成单位“1”，那么定价为1＋50%，打折出售的商品数量为1－70%，然后分别表示出70%商品的销售额和剩余商品的销售额，两者相加等于期望利润的82%加进价，根据这个等量关系列出方程求解。 【规范解答】解：设现价是原价的x%。 70%×（1＋50%）＋（1＋50%）×x%×（1－70%）＝82%×50%＋1 0.7×1.5＋0.3×1.5x%＝0.82×0.5＋1 1.05＋0.45×x%＝1.41 0.45×x%＝0.36 x%＝0.36÷0.45 x%＝0.8 x＝80 80%＝八折 答：打了八折。 16．（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 【答案】甲取12升，乙取30升 【思路引导】混合后纯酒精含量为62%，则甲、乙两种酒精体积比为（62－58）∶（72－62）＝2∶5；每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲、乙两种酒精体积比为（63.25－58）∶（72－63.25）＝3∶5。设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升，则可列方程为（2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5，求出x的值，进一步得出2x、5x的值即可。 【规范解答】解：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（62%－58%）∶（72%－62%）＝2∶5 第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（63.25%－58%）∶（72%－63.25%）＝3∶5 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。 （2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5 5（2x＋15）＝3（5x＋15） 10x＋75＝15x＋45 75－45＝15x－10x 5x＝30 x＝30÷5 x＝6 甲种酒精：2×6＝12（升） 乙种酒精：5×6＝30（升） 答：第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。 【考点剖析】解题时由原来溶液质量的比例巧妙设未知数x，用含有x的代数式表示新溶剂质量，根据题中所给的溶剂质量关系设一个未知数表示另一个未知数，将题目简单化。 17．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【思路引导】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【规范解答】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 18．（25-26六年级上·河北秦皇岛·期末）国家卫健委持续推进“体重管理年”三年行动计划，普及健康生活方式，加强慢性病防治。体重为136千克的王叔叔开始积极行动，第一个月通过健康饮食减去10千克，第二个月通过增加适度的活动，减去的重量比第一个月减去的重量多60%，王叔叔的身体越来越健康。 (1)王叔叔第二个月减重多少千克？ (2)减重要注意反弹，如果王叔叔从刚开始的136千克减重20%后又增重20%，王叔叔和刚开始比是重了还是轻了？重或轻了多少千克？ 【答案】(1)16千克 (2)轻了；5.44千克 【思路引导】（1）第二个月减去的重量比第一个月多60%，把第一个月减重10千克看作单位“1”，用 “单位‘1’的量×（1＋增加的百分比）”求出第二个月的减重。 （2）先以初始体重136千克为单位“1”算出减重20%后的体重，再以这个新体重为单位 “1”算出增重20%后的体重，最后和初始体重比较。 【规范解答】（1）10×（1＋60%） ＝10×1.6 ＝16（千克） 答：王叔叔第二个月减重16千克。 （2）136×（1－20%）×（1＋20%） ＝136×0.8×1.2 ＝130.56（千克） 130.56＜136 所以，比刚开始轻了。 136－130.56＝5.44（千克） 答：王叔叔和刚开始比轻了，轻了5.44千克。 【考点剖析】找准每一步的单位“1”，利用百分数的增减变化公式进行计算。 19．（2025·浙江杭州·小升初模拟）啦啦操小组原来有 360 名学生，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的。后来又转来了多少名女生？ 【答案】15名 【思路引导】男生人数没变，将原来总人数看作单位“1”，男生人数占原来总人数的（1－），原来总人数×男生对应分率＝男生人数；再将现在总人数看作单位“1”，男生人数占现在总人数的（1－），男生人数÷对应分率＝现在总人数，现在总人数－原来总人数＝转来的女生人数。 【规范解答】360×（1－） ＝360× ＝150（名） 150÷（1－）－360 ＝150÷－360 ＝150×－360 ＝375－360 ＝15（名） 答：后来又转来了15名女生。 【考点剖析】关键是确定单位“1”，理解分数乘除法的意义。 20．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 【答案】12千米；8千米/时 【思路引导】某人从A村到B村，再返回A村，共用时间2＋＝（小时），去时的下坡路＋来时的下坡路＝全程，去时的上坡路＋来时的上坡路＝全程，即20千米。所以上坡和下坡各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，根据按比分配，算出上坡时间为×＝（小时），根据路程÷时间＝速度，用为20除以算出上坡速度。再根据上、下坡速度的关系，求出下坡的速度。假设都是下坡的路程，那么从A村到B村的2小时应该行驶16乘2千米。与实际的20千米相减，算出相差的千米数。再除以相差的速度（16－8），求得从A到C所用时间。最后根据速度×时间＝路程，算出A、C之间的路程。 【规范解答】2＋＝（小时） × ＝× ＝（小时） 20÷＝8（千米/时） 8×2＝16（千米/时） 假设都是下坡的路程。 （16×2－20）÷（16－8） ＝（32－20）÷8 ＝12÷8 ＝（小时） 8×＝12（千米） 答：求A、C之间的路程是12千米。自行车上坡时的速度是8千米/时。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年苏教版数学小升初数学衔接精编高效培优讲义（温故知新） 第一讲 数与代数的运算与应用 『重点难点专项复习讲练（温故知新）』 思维导图+知识梳理+七大题型闯关+实战演练 共41题 小学学习要求 初中衔接要求 掌握四则运算的意义与法则，熟练运用运算定律进行简便计算。明确混合运算顺序，能准确分析数量关系，用算术或简易方程解决各类典型应用题。 实现从具体数字到抽象字母的思维跨越，理解有理数运算与代数式化简。注重运算逻辑与步骤严谨，培养用方程思想解决复杂问题的建模能力。 知识目标引导 系统构建运算知识网络，沟通整数、小数、分数运算的内在联系。完成从具象到抽象的代数思维转型，提升逻辑推理与数学建模能力，养成规范严谨、自主反思的学习习惯。 知识点梳理01：整数四则运算 1整数加法： 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数 2整数减法： 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。 加法和减法互为逆运算。 3整数乘法： 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 [来源:学科网] 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数 4 整数除法： 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 乘法和除法互为逆运算。 [来源:学科网] 在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 知识点梳理02：小数四则运算 1. 小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2. 小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 3. 小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 [来 4. 小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 5. 乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 知识点梳理03：分数四则运算 1. 分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。 2. 分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3. 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 [来源:学科网] 5. 分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 知识点梳理04：运算定律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。 4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。 知识点梳理05：运算法则 1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。 3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6. 除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 7. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 8. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 9. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 10. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 11. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 知识点梳理06：运算顺序 1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 3. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。 4. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 5. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 6. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算 题型一 整数的四则运算 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。                                        【变式训练1】（2025·四川成都·小升初真题）的计算结果的个位数是______。 【变式训练2】．（2026·四川泸州·小升初真题）有本书共有300页，则数码0在页码中出现的次数是( )。 题型二 小数的四则运算 【典例精讲】（2026·陕西咸阳·小升初模拟）张爷爷家院子里有一个圆锥形小麦堆，它的底面周长是12.56米，高是2.1米。如果每立方米小麦约重800千克，这个小麦堆约重多少千克？ 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）一个小数，如果把它的小数点先向右移动三位，再向左移动两位，得到的数与原来的数相差2.52，那么原来这个小数是多少？ 【变式训练2】（2026六年级下·全国·专题练习）在长800米的环形跑道上，A、B两点相距360米。艾迪、薇儿两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。艾迪每秒跑8米，薇儿每秒跑5米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么艾迪追上薇儿需要的时间是多少秒？ 题型三 分数的四则运算 【典例精讲】（2026·陕西西安·小升初模拟）小丽读一本故事书，她第一天读了这本故事书的15%，第二天读了这本故事书的，还剩下86页未读。这本故事书一共有多少页？ 【变式训练1】（2026·陕西西安·小升初模拟）认真算一算，怎样简便就怎样算。             12.5%×3.6×80             【变式训练2】（2025·四川成都·小升初真题）计算。 （1）     　　　　　（2） （2） 　 （4） （5） 题型四 百分数的四则运算 【典例精讲】（2026·湖北武汉·小升初模拟）用递等式计算。（第③④小题要用简便方法计算） ①                   ② ③        ④ 【变式训练1】（2026·湖北武汉·小升初模拟）一台电扇，若卖100元，可以赚25%。这台电扇的成本价是（    ）。 A．125元 B．100元 C．80元 D．75元 【变式训练2】（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。 (1)求手镯中金属和金属的重量比。 (2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 题型五 运算定律与简便运算 【典例精讲】（2026·甘肃陇南·小升初模拟）用你喜欢的方法计算。 （1）              （2） （2）                 （4） 【变式训练1】（2025·安徽合肥·小升初真题）计算。                             【变式训练2】（2025·重庆·小升初真题）算一算。                                                      题型六 倍的运算 【典例精讲】．（2026·陕西汉中·小升初模拟）在清明节这个缅怀先人的传统节日里，人们通过赠送花卉来表达对逝去亲人的哀思与怀念。要解决下面的问题，还需要确定一个信息，这个信息可以是（    ）。 花店新进了康乃馨，百合，菊花三种花，已知康乃馨有200朵，是三种花中数量最多的，这个花店一共新进了多少朵花？ A．康乃馨比菊花多20朵 B．这三种花的总数量是百合花数量的6倍 C．康乃馨的数量占这三种花总数量的 D．康乃馨与百合的数量比是5∶3 【变式训练1】（2026·江苏淮安·小升初真题）有酒精含量为36%的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为30%的溶液，如果再稀释到24%，那么还需要加水的数量是上次加的水量的（    ）倍。 A．1.5 B．2 C．3 D．2.5 【变式训练2】一位科技发明家被约到科学会议室作报告，科技站通知发明家在某时刻等候汽车接他，这位发明家还想到一件事要办理，不等小汽车来就提前出门了，沿着接他的小汽车行驶路线走，行了30分钟，正好遇到来接他的小汽车，然后乘车往科学会议室结果比约定的时刻提前10分钟到达，问： （1）这位科技发明家比约定时刻提前多少分钟出门？ （2）小汽车的速度是这位科技发明家步行速度的多少倍？ 题型七 计算器与复杂的运算 【典例精讲】（2024·山东潍坊·小升初真题）聪聪在用计算器计算一个四位数乘525时，错误地将525输成了25，接下来，输入（    ）可以避免结果错误。 A．“×5” B．“×500” C．“＋500” D．“×21” 【变式训练1】（2024·湖北襄阳·小升初真题）一个计算器的数字键“4”坏了，陈娟要计算248×5.6，可以用下面（    ）计算出正确的得数。 A．280×5.6 B．258×5.6－10 C．250×5.6－11.2 D．238×5.6＋5.6 【变式训练2】（23-24四年级下·浙江杭州·期末）乐乐用计算器计算2024×81时，发现计算器的按键“1”坏了，如果要用这个计算器算出正确结果，那么不能用下面（    ）计算。 A．2024×9×9 B．2024×90－9 C．2024×80＋2024 1．（2026·陕西西安·小升初模拟）一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.8千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.872 B．18.72 C．187.2 D．1872 2．（2026·全国·小升初模拟）下面是同学们计算“1.36÷0.08”时的几种想法，正确的是（    ）。 A．③ B．①② C．①②④ 3．（2026·四川绵阳·小升初真题）一盒饼干，第一天吃了它的，第二天吃了剩下的，第三天吃了剩下的…第2025天吃了剩下的，最后剩下10块，这盒饼干共有（    ）块。 A．1000 B．2026 C．10000 D．20260 4．（2026·广东·小升初模拟）折。 5．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）微信提现收费规定：每位注册用户享有1000元免费提现额度，超过部分收取0.1%的手续费。李老师是微信注册用户，现在他需要从微信钱包中提取现金18000元，需要支付( )元的手续费。 6．（2025·四川成都·小升初真题）甲种酒含纯酒精30%，乙种酒含纯酒精26%，丙种酒含纯酒精25%，现将这三种酒混合在一起得到含纯酒精28.5%的酒精55千克。已知乙种酒比丙种酒多15千克，那么甲种酒有______千克。 7．（2026·湖南永州·小升初模拟）计算下面各题，能简算的要简算。 25%×1.25×3.2                 ×＋÷16 [÷（－）]×           2025×（－）×2026 8．（2026·四川南充·小升初模拟）脱式计算，能简便计算的要简便计算。 ①3.62－2.98＋4.38        ②99×37.29＋37.29        ③ ④7.8×125                ⑤        ⑥ 9．（2026·陕西西安·小升初模拟）春节赏灯承载着“燃灯照岁”的传统寓意，四位叔叔正在制作一个长方体花灯，请根据他们的谈话，解决下面的问题。 甲：这个长方体的棱长总和是52分米。 乙：如果高增加2分米，就变成了一个正方体。 丙：是呀，这时表面积比原来增加40平方分米。 丁：长方体花灯上面装饰了红、绿、黄三种颜色的小彩灯，红灯的数量占总数量的，绿灯个数是黄灯的，红灯比绿灯多买了10个。 (1)如果给这个花灯的侧面贴一圈彩布，贴彩布的面积至少是多少平方分米？ (2)三种颜色的小彩灯一共有多少个？ 10．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）哥哥想买一辆某品牌标价为900元的自行车，现在有下面两家专卖店有优惠活动，哥哥去哪家专卖店买比较省钱？需要多少钱？ 甲专卖店：每满100元减30元。 乙专卖店：先打八折，在此基础上再打九折出售。 11．（2025·四川成都·小升初真题）三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处。里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米。甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。他们同时出发。请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？ 12．（2025·四川成都·小升初真题）学校食堂有若干袋大米和面粉，其中面粉占，后来又买进20袋面粉，这时面粉袋数占面粉、大米总数的，问学校原来共有多少袋大米和面粉？ 13．（2025·四川成都·小升初真题）康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成任务；如果康师傅从一开始就把工作效率提高12.5%，那么也可以提前4天完成任务。这批零件共有多少个？ 14．（2025·四川成都·小升初真题）打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成，现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；……。如此交替下去，打印这部稿件共需要多少小时？ 15．（2025·重庆渝北·小升初真题）一批商品，按照期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打了多少折扣？ 16．（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 17．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 18．（25-26六年级上·河北秦皇岛·期末）国家卫健委持续推进“体重管理年”三年行动计划，普及健康生活方式，加强慢性病防治。体重为136千克的王叔叔开始积极行动，第一个月通过健康饮食减去10千克，第二个月通过增加适度的活动，减去的重量比第一个月减去的重量多60%，王叔叔的身体越来越健康。 (1)王叔叔第二个月减重多少千克？ (2)减重要注意反弹，如果王叔叔从刚开始的136千克减重20%后又增重20%，王叔叔和刚开始比是重了还是轻了？重或轻了多少千克？ 19．（2025·浙江杭州·小升初模拟）啦啦操小组原来有 360 名学生，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的。后来又转来了多少名女生？ 20．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $