第六单元 长方体和正方体（4大考点，7大易错点，7大题型）-2025-2026学年苏教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义

第六单元《长方体和正方体》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 长、正方体基本特征、棱长总和 填空、选择、判断必考，考查顶点、棱、面数量，棱长公式基础计算 表面积计算（常规 + 缺面实际题型） 计算、应用题高频，鱼缸、烟囱、抽屉无盖题型是易错重灾区 体积与容积概念、计算公式 计算题、应用题核心，区分体积容积含义，单位换算穿插考查 体积、容积单位换算 填空必考：m³/dm³/cm³、L/mL 进率换算，易错单位混用 拼切物体表面积变化 + 排水法求体积 期末压轴题型，拼接减面、切割加面；排水法不规则物体体积计算 核心考点总结 考点 1 长方体、正方体特征与棱长总和 1、 长方体：6 个面（相对面完全相同），12 条棱（长、宽、高各 4 条），8 个顶点 棱长总和公式：L长=(长+宽+高)×4 2、 正方体（特殊长方体）：6 个完全相同正方形面，12 条棱长度全相等，8 个顶点 棱长总和公式：L正=棱长×12 关键：正方体长宽高相等。 考点 2 表面积计算 1、 长方体表面积：S=(ab+ah+bh)×2（6 个面完整） 2、 正方体表面积：S=6a²（6 个正方形面） 3、生活特殊： ①无盖鱼缸 / 抽屉：算 5 个面；②通风管 / 烟囱：只算 4 个侧面。 考点 3 体积计算公式 1、长方体体积：V=abh=Sh 2、正方体体积：V=a³=Sh S= 底面积，h= 高 统一公式：立体体积 = 底面积 × 高 考点 4 容积与单位换算 1、容积：容器内部容纳空间大小，计算公式同体积，从内侧测量长宽高。 2、常用进率 长度：1m=10dm=100cm 面积：1m²=100dm²=10000cm² 体积：1m³=1000dm³、1dm³=1000cm³ 容积：1dm³=1L、1cm³=1mL、1L=1000mL 考点 5 拼切变化 & 排水法 1、拼接：两个立体拼 1 次，减少 2 个接触面面积；拼接越多，表面积越小。 2、切割：切 1 刀，新增 2 个切面面积，切几刀增加几组面。 3、排水法：浸没物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度。 本单元高频易错点汇总 易错 1：表面积盲目算 6 个面 错因：实际生活鱼缸、烟囱直接套完整表面积公式。 纠正：先看清缺几个面，再列式（无盖 5 面，通风 4 面）。 易错 2：体积容积概念混淆 错因：外形相同容器，体积 = 容积。 纠正：体积从外面量，容积从里面量，容器有壁厚，容积＜体积。 易错 3：单位不统一直接计算 错因：题目长宽高单位混用（米、分米、厘米）直接列式。 纠正：做题第一步统一单位再计算。 易错 4：拼切表面积增减算错面数 错因：拼接多加面、切割少算面。 纠正：拼一次少 2 面，切一刀多 2 面。 易错 5：体积面积进率记混 错因：面积进率 100、体积错记 100。 纠正：相邻长度 10、相邻面积 100、相邻体积 1000。 易错 6：求高 / 底面积公式用反 错因：已知体积反求高不会变形。 纠正：h=V÷S，S=V÷h。 易错 7：占地面积理解错误 错因：占地面积算整体表面积。 纠正：占地面积 = 底面面积（长 × 宽）。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 棱长计算题型 一个长方体礼盒长 8dm、宽 5dm、高 3dm，求棱长总和。 精讲：(8+5+3)×4=16×4=64(dm) 易错提醒：牢记长宽高各 4 条，不要直接相加不乘 4。 例题 2 缺面表面积应用题 玻璃鱼缸长 7dm，宽 4dm，高 5dm（无上面），求玻璃面积。 精讲：7×4+(7×5+4×5)×2=28+110=138(dm²) 易错提醒：无盖去掉一个上面（长 × 宽）。 例题 3 体积与单位换算 正方体棱长 20cm，求体积并换算成 dm³。 精讲：20×20×20=8000cm³=8dm³ 易错提醒：体积进率 1000，小换大 ÷1000。 例题 4 拼接表面积变化 两个棱长 4cm 正方体拼成一个长方体，表面积减少多少？ 精讲：拼接少 2 个正方形面，4×4×2=32(cm²) 易错提醒：只减少接触面，不是全部面。 例题 5 排水法应用题 长方体水槽长 30cm、宽 20cm，放入石块水面上升 4cm，石块体积？ 精讲：30×20×4=2400(cm³) 易错提醒：上升水体积 = 石块体积。 七大题型 题型一：概念辨析（判断、选择、填空｜考查特征、单位、概念） 解题妙招：熟记正方 6 面全同、长方对面相同；占地只算底面；1、100、1000 三类进率分开记。 1．某种长方体饮料盒，从外面量尺寸为“8×7×19”（单位：厘米），用它装（    ）饮料最合适。 A．2升 B．500毫升 C．1064毫升 D．1升 2．下列各选项中，与7dm3不相等的是（    ）。 A．7L B．700mL C．7000cm3 D．0.007m3 3．一个长方体最少有（    ）条棱的长度相等。 A．8 B．6 C．4 4．体积相同的两个正方体，它们的表面积（    ）。 A．不相同 B．相同 C．可能相同也可能不相同 5．正方体和长方体之间的关系可表示为（    ）。 A． B． C． 6．如图是一个长方体物品的长、宽、高，这个物品有可能是（    ）。 A．魔方 B．信封 C．书柜 D．铅笔盒 7．一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，下图是由这样的4个小正方体拼成。根据下图摆放的情况，数字3对面的数字是（    ）。 A．6 B．4 C．2 D．1 8．，，，这组数据中，体积最大的是（    ），体积最小的是（    ）。 A．； B．； C．； D．； 9．将18L纯净水全部装入500mL的小瓶子里，最少需要（    ）个这样的小瓶子。 A．34 B．35 C．36 10．下面描述不符合生活实际的是（    ）。 A．乐乐每天大约喝水1.2升 B．一个保温杯的容积约是500毫升 C．户外垃圾桶的容积约是50立方分米 D．一个快餐盒的体积约是5立方厘米 题型二：有关棱长的计算 妙招口诀 正方棱长 ×12，长方长宽高和 ×4； 已知总和反求边，总和先除以对应数。 正方体：棱长总和=棱长×12，棱长 = 总长 ÷12 长方体：棱长总和=(长+宽+高)×4，一组长宽高和 = 总长 ÷4 易错：扎框架、彩带捆绑题，看清有没有多余打结长度。 11．一个长方体纸盒，长10厘米，宽8厘米，高7厘米，最多可以完整放入（    ）块棱长2厘米的正方体积木。 A．80 B．70 C．60 12．有长度为4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架（连接点长度忽略不计），这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．44 B．54 C．56 D．69 13．下图是一个长方体纸盒的上面，这个长方体纸盒有两个相对面是正方形。这个长方体纸盒的棱长总和最大是（    ）cm。 A．126 B．96 C．76 D．56 14．用一根长36厘米的铁丝做成一个长方体框架，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是（    ）厘米。 A．3 B．9 C．12 D．36 15．一个棱长总和为48厘米的正方体，它的体积是（    ）。 A．96立方厘米 B．64立方厘米 C．512立方厘米 16．一根铁丝刚好可以做成一个长16厘米，宽14厘米，高6厘米的长方体，如果用它做成一个正方体，那么正方体的棱长是（    ）厘米。 A．8 B．10 C．12 17．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是、、，那么正方体的棱长是（    ）。 A．6 B．12 C．72 18．用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )dm；如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么它的长是( )dm。 下面三个几何体都是由棱长1cm的小正方体摆成的。 19．下面的图形是聪聪从上面看到的，它们分别是从哪个几何体的上面看到的？将序号写在括号中。 20．③的体积是多少？如果把③继续补搭成一个大正方体，至少还需要多少个小正方体？ 21．手工课上，小明用一根铁丝做了一个长9厘米、宽2.7厘米、高5.4厘米的长方体。如果他再用同样长的铁丝做一个正方体。并在这个正方体的各面都贴上红纸。小明至少需要多少平方厘米的红纸？ 题型三：长方体、正方体的展开图 妙招口诀 一四一、三三、二二二，能围正方体； 田字凹字不能折，排除错误展开面。 正方体 11 种合法展开，牢记无田字、无凹形； 找对面：同行隔一个，异行隔一列。 长方体展开：相对面大小相等。 22．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如下图）。图中涂色部分的面积是（    ）cm2。 A．15 B．35 C．21 D．30 23．分别从边长为12dm的正方形铁皮的四个顶点处各剪去一个大小相同的小正方形，裁剪后做一个无盖的盒子。（    ）的容积最大。（单位：dm） A．B．C．D． 24．如图所示的展开图折叠后围成的长方体是（    ）。 A． B． C． D． 25．如图这个立体图形的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． 26．下图①是一个正方体展开图其中的五个面，从下图②中的a、b、c、d中选一个面，形成正方体的展开图，这个面是（    ）。      A．a B．b C．c D．d 27．下面图形中，不是正方体表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 28．的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 29．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 30．将下面的展开图围成正方体后，与“陕”字所在面相对面上的字是（    ）。 A．我 B．爱 C．大 D．美 31．下面三个正方体中，（    ）展开后可能得到下面的展开图。 A． B． C． 题型四：长方体、正方体的表面积问题 妙招口诀 完整六面套公式，缺面少面要删减； 鱼缸无盖少顶面，烟囱管道无上下。 正方体：S=棱长×棱长×6 长方体：S=(长×宽+长×高+宽×高)×2 无盖、贴瓷砖、粉刷墙壁：按需减去一个 / 两个面面积。 32．将一块长20厘米、宽5厘米、高15厘米的长方体木块放置在桌子上，放置时与桌面接触的最大面积是（    ）平方厘米。 A．75 B．300 C．100 D．1500 33．下图是一个长3cm，宽2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积（    ），体积（    ）。 A．比原来大，比原来小 B．比原来小，比原来小 C．比原来大，不变 D．无法确定 34．一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，那么它的表面积（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 35．下边是正方体的展开图，根据图上的信息，这个正方体的棱长是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 36．下图是由若干个棱长1厘米的小正方体搭成的，如果想搭成这个大正方体，至少还需要( )块这样的小正方体，这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 37．如下图，每个小正方体的棱长都是4厘米，从最上层任意拿走一个小正方体，剩下部分的表面积最大是( )平方厘米。 38．如图是一个长方体纸盒的后面和左面。这个纸盒上面的面积是( )平方分米。 39．母亲节，丫丫想给妈妈的礼品盒进行包装。 （1）至少需要多少平方厘米的包装纸？（粘贴处不计） （2）至少需要多少厘米长的彩带？（打结处为20厘米） 40．当今社会中，在家中养鱼已成为一种越来越流行的爱好和消遣方式。蕾蕾家有一个正方体玻璃鱼缸，它的棱长为3.2分米。制作这个正方体鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖） 题型五：立体图形的切拼（表面积）、组合体的表面积 妙招口诀 切开多两面，拼合少两面； 平行哪条棱，多出对应面。 切 1 次→增加2 个切面面积；切 n 刀增加 2n 个面； 两个几何体拼一起→减少重合 2 个面； 组合体表表面积 = 各几何体表面积和−重合面 ×2。 41．用棱长为acm的两个正方体，拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了（    ）cm2。 A． B． C． D． 42．如图所示的两个立体图形都被切去了一个相同的小正方体，下面的说法中正确的是（    ）。 A．它们的表面积、体积都相等 B．它们的表面积、体积都不相等 C．它们的表面积不相等，体积相等 D．它们的表面积相等，体积不相等 43．把两个棱长均是5厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了（    ）平方厘米。 A．10 B．25 C．50 D．60 44．下面两个立体图形都是由棱长相同的正方体积木搭成。它们的表面积相比，结果是（    ）；体积相比，结果是（    ）。 A．甲＝乙；甲＜乙 B．甲＜乙；甲＞乙 C．甲＞乙；甲＝乙 D．无法判断 45．下面四幅图分别是用5个棱长是10厘米的正方体搭成的。露在外面的面的面积最大的是（    ）。 A． B．C． D． 46．把棱长为2cm的小正方体按照下面的方式摆放在桌面上。 (1)1个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (2)2个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (3)3个小正方体摆放在桌面上。有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (4)根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加( )个露在外面的面。面积就增加( )。 47．用几个棱长是1厘米的正方体木块，在桌面上摆出如图的模型，它的体积是( )立方厘米，露在外面的面积是( )平方厘米，在此基础上如果要摆成一个最小的正方体模型，最少要添加( )个相同的正方体木块。 48．有一个正方体（如图），如果它的高增加3cm，表面积就增加24cm2，原来正方体的表面积是( )cm2。 49．用6个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体。拼成的长方体的表面积最大是________平方厘米；最小是________平方厘米。 50．如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 题型六：体积容积计算 妙招口诀 体积长宽高相乘，正方棱长三次方； 容积算法同体积，单位换算记仔细。 V长=长×宽×h；V正=a3；通用V=S底×高 容积：内部长宽高计算，1L=1dm3，1mL=1cm3。 51．一种小礼品的包装盒是棱长为2分米的正方体，把这种小礼品盒装在长80厘米、宽70厘米、高40厘米的长方体大包装箱里，最多能放（    ）个。 A．14 B．24 C．25 D．28 52．如果一个长方体的长变为原来的2倍，宽变为原来的3倍，高变为原来的4倍，那么体积将变为原来的（    ）倍。 A．10 B．12 C．24 53．下面每个图形都是由体积是1cm3的小正方体搭成的，体积最大的是（    ）。 A． B． C． 54．从一根长4分米，宽3分米，高2分米的长方体木料中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方分米。 A．8 B．27 C．24 55．聪聪从不同方向观察一个有盖的玻璃鱼缸（如图所示），这个鱼缸前面的面积是( )cm2；如果这个鱼缸玻璃的厚度0.5cm，这个鱼缸的容积是( )cm3，合( )L。 56．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面测量长6分米、宽4.5分米、高4分米。缸内现在水深2.5分米，鱼缸里现有( )升水。 57．如图所示为由棱长是2厘米的小正方体搭成的立体图形，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 58．下面这个几何体是用棱长为1厘米的正方体木块搭成的。 （1）请你在方格图中画出从正面和上面看到的图形。 （2）这个几何体的体积是（    ）立方厘米，占地面积是（    ）平方厘米。 （3）最上面一层的体积是中间一层体积的，中间一层体积比最下面一层体积少。 59．下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？在这个立体图形上至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体？ 60．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 题型七：体积的等积变形、立体图形的切屏（体积） 妙招口诀 形状变、体积不变，前后体积划等号； 切块分装总体积，分开相加不改变。 熔铸、倒水、填土：变形前后体积相等，列等式求未知长宽高； 分割物体：总体积 = 各小块体积相加。 61．手工课上，明明把一个棱长为8cm的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是16cm2长方体，这个长方体的高是（    ）cm。 A．4 B．16 C．32 62．把1立方分米的正方体切成1立方厘米的小正方体，然后将这些小正方体排成一行，长（    ）米。 A．1 B．10 C．100 D．1000 63．用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（    ）立方分米。 A．8 B．16 C．27 D．64 64．下图是由若干个小正方体搭建的几何体。 (1)这个几何体一共用了( )个小正方体。 (2)要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走( )号小正方体。 (3)若将它搭成一个大正方体，还需要添加( )个小正方体。 65．用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 66．大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的体积是( )立方厘米。 67．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 68．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 69．一个长方体无盖玻璃缸（如下图），长7分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。 （1）做这个玻璃缸需要多少平方分米玻璃？（不考虑玻璃厚度） （2）如果把下图左边这块棱长为4分米的正方体铁块竖直放入缸里，缸里的水会溢出多少升？ 70．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元《长方体和正方体》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 长、正方体基本特征、棱长总和 填空、选择、判断必考，考查顶点、棱、面数量，棱长公式基础计算 表面积计算（常规 + 缺面实际题型） 计算、应用题高频，鱼缸、烟囱、抽屉无盖题型是易错重灾区 体积与容积概念、计算公式 计算题、应用题核心，区分体积容积含义，单位换算穿插考查 体积、容积单位换算 填空必考：m³/dm³/cm³、L/mL 进率换算，易错单位混用 拼切物体表面积变化 + 排水法求体积 期末压轴题型，拼接减面、切割加面；排水法不规则物体体积计算 核心考点总结 考点 1 长方体、正方体特征与棱长总和 1、 长方体：6 个面（相对面完全相同），12 条棱（长、宽、高各 4 条），8 个顶点 棱长总和公式：L长=(长+宽+高)×4 2、 正方体（特殊长方体）：6 个完全相同正方形面，12 条棱长度全相等，8 个顶点 棱长总和公式：L正=棱长×12 关键：正方体长宽高相等。 考点 2 表面积计算 1、 长方体表面积：S=(ab+ah+bh)×2（6 个面完整） 2、 正方体表面积：S=6a²（6 个正方形面） 3、生活特殊： ①无盖鱼缸 / 抽屉：算 5 个面；②通风管 / 烟囱：只算 4 个侧面。 考点 3 体积计算公式 1、长方体体积：V=abh=Sh 2、正方体体积：V=a³=Sh S= 底面积，h= 高 统一公式：立体体积 = 底面积 × 高 考点 4 容积与单位换算 1、容积：容器内部容纳空间大小，计算公式同体积，从内侧测量长宽高。 2、常用进率 长度：1m=10dm=100cm 面积：1m²=100dm²=10000cm² 体积：1m³=1000dm³、1dm³=1000cm³ 容积：1dm³=1L、1cm³=1mL、1L=1000mL 考点 5 拼切变化 & 排水法 1、拼接：两个立体拼 1 次，减少 2 个接触面面积；拼接越多，表面积越小。 2、切割：切 1 刀，新增 2 个切面面积，切几刀增加几组面。 3、排水法：浸没物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度。 本单元高频易错点汇总 易错 1：表面积盲目算 6 个面 错因：实际生活鱼缸、烟囱直接套完整表面积公式。 纠正：先看清缺几个面，再列式（无盖 5 面，通风 4 面）。 易错 2：体积容积概念混淆 错因：外形相同容器，体积 = 容积。 纠正：体积从外面量，容积从里面量，容器有壁厚，容积＜体积。 易错 3：单位不统一直接计算 错因：题目长宽高单位混用（米、分米、厘米）直接列式。 纠正：做题第一步统一单位再计算。 易错 4：拼切表面积增减算错面数 错因：拼接多加面、切割少算面。 纠正：拼一次少 2 面，切一刀多 2 面。 易错 5：体积面积进率记混 错因：面积进率 100、体积错记 100。 纠正：相邻长度 10、相邻面积 100、相邻体积 1000。 易错 6：求高 / 底面积公式用反 错因：已知体积反求高不会变形。 纠正：h=V÷S，S=V÷h。 易错 7：占地面积理解错误 错因：占地面积算整体表面积。 纠正：占地面积 = 底面面积（长 × 宽）。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题 1 棱长计算题型 一个长方体礼盒长 8dm、宽 5dm、高 3dm，求棱长总和。 精讲：(8+5+3)×4=16×4=64(dm) 易错提醒：牢记长宽高各 4 条，不要直接相加不乘 4。 例题 2 缺面表面积应用题 玻璃鱼缸长 7dm，宽 4dm，高 5dm（无上面），求玻璃面积。 精讲：7×4+(7×5+4×5)×2=28+110=138(dm²) 易错提醒：无盖去掉一个上面（长 × 宽）。 例题 3 体积与单位换算 正方体棱长 20cm，求体积并换算成 dm³。 精讲：20×20×20=8000cm³=8dm³ 易错提醒：体积进率 1000，小换大 ÷1000。 例题 4 拼接表面积变化 两个棱长 4cm 正方体拼成一个长方体，表面积减少多少？ 精讲：拼接少 2 个正方形面，4×4×2=32(cm²) 易错提醒：只减少接触面，不是全部面。 例题 5 排水法应用题 长方体水槽长 30cm、宽 20cm，放入石块水面上升 4cm，石块体积？ 精讲：30×20×4=2400(cm³) 易错提醒：上升水体积 = 石块体积。 七大题型 题型一：概念辨析（判断、选择、填空｜考查特征、单位、概念） 解题妙招：熟记正方 6 面全同、长方对面相同；占地只算底面；1、100、1000 三类进率分开记。 1．某种长方体饮料盒，从外面量尺寸为“8×7×19”（单位：厘米），用它装（    ）饮料最合适。 A．2升 B．500毫升 C．1064毫升 D．1升 【答案】D 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出饮料盒体积，因为是从外面量的尺寸，所以饮料盒的容积＜饮料盒体积，再找到比较接近的选项即可。 【详解】8×7×19 ＝56×19 ＝1064（立方厘米） 1064立方厘米＝1064毫升＝1.064升 A．2升＞1.064升，装不下，不符合题意； B．500毫升＜1026毫升，但是相差太多，不符合题意； C．1064毫升＝1064毫升，因为容积＜体积，装不下，不符合题意； D．1升＜1.064升，能装下，非常接近，符合题意。 故答案为：D 2．下列各选项中，与7dm3不相等的是（    ）。 A．7L B．700mL C．7000cm3 D．0.007m3 【答案】B 【分析】1dm3＝1L＝1000mL，1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3。大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率，据此找出与7dm3不相等的即可。 【详解】A．7L＝7dm3； B．700mL＝0.7L＝0.7dm3； C．7000cm3＝7dm3； D．0.007m3＝7dm3； 故答案为：B 3．一个长方体最少有（    ）条棱的长度相等。 A．8 B．6 C．4 【答案】C 【分析】在长方体中共有12条棱长，分别是4条长、4条宽、4条高，所以在一个长方体中至少有四条棱是相等的；据此进行分析。 【详解】根据分析得：一个长方体最少有4条棱的长度相等。 故答案为：C 4．体积相同的两个正方体，它们的表面积（    ）。 A．不相同 B．相同 C．可能相同也可能不相同 【答案】B 【分析】根据，正方体的体积由棱长唯一确定，体积相等的正方体棱长必然相等，再根据正方体的表面积公式，因此表面积也相等。 【详解】据分析可知，体积相同的两个正方体，它们的表面积相同。 故答案为：B 5．正方体和长方体之间的关系可表示为（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】正方体是长、宽、高都相等的长方体，即长方体包含正方体。据此可得出答案。 【详解】正方体是特殊的长方体，即正方体属于长方体。三个选项中A选项大圆表示长方体，中间的小圆表示正方体，即长方体包含正方体。 故答案为：A 6．如图是一个长方体物品的长、宽、高，这个物品有可能是（    ）。 A．魔方 B．信封 C．书柜 D．铅笔盒 【答案】D 【分析】由图可知，一个顶点连接着长方体的三条棱，分别是长宽高，长度分别为24cm、10cm、4cm，根据实际生活经验以及题干中具体数据进行判断即可。 【详解】A．魔方是正方体，棱长都相等； B．信封的高度一般没有1厘米； C．书柜的长、宽、高大都要比题中的数据大很多； D．铅笔盒的长、宽、高比较符合题中的数据。 故答案为：D 7．一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，下图是由这样的4个小正方体拼成。根据下图摆放的情况，数字3对面的数字是（    ）。 A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从最左边和最右边的小正方体可知，数字4对面的数字不是2、1、5，可能是3或6；从最右边的三个小正方体可知，数字5对面的数不是3、2、1、4，则数字5对面的数字是6。那么数字4对面的数字是3。 【详解】通过分析可得：数字3对面的数字是4。 故答案为：B 8．，，，这组数据中，体积最大的是（    ），体积最小的是（    ）。 A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】将各体积单位统一为根据体积单位换算关系： 1＝1000， 1＝0.001，208000换算为：208000乘0.001为208，20.8换算为：20.8乘1000为20800， 2.08换算为： 2.08乘1000为2080，2800保持不变； 统一单位后，各体积为：，，，，比较数值大小： ，所以 【详解】 故答案为：B 9．将18L纯净水全部装入500mL的小瓶子里，最少需要（    ）个这样的小瓶子。 A．34 B．35 C．36 【答案】C 【分析】先将18L进行单位换算转化为mL，然后用纯净水的总数除以一个小瓶子能装的容量，即可求出所需小瓶子的数量。 【详解】 （个） 最少需要36个这样的小瓶子。 故答案为：C 10．下面描述不符合生活实际的是（    ）。 A．乐乐每天大约喝水1.2升 B．一个保温杯的容积约是500毫升 C．户外垃圾桶的容积约是50立方分米 D．一个快餐盒的体积约是5立方厘米 【答案】D 【分析】常见的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米等； 常见的容积单位有：升、毫升等； 1升＝1000毫升 一瓶矿泉水的量大约是550毫升；1个粉笔盒的体积是1立方分米；一粒花生的大小大约是1立方厘米；据此即可解答。 【详解】A．乐乐每天大约喝水1.2升，符合实际； B．一个保温杯的容积约是500毫升，符合实际； C．户外垃圾桶的容积约是50立方分米，符合实际； D．一个快餐盒的体积约是5立方厘米，太小了，不符合实际。 描述不符合生活实际的是一个快餐盒的体积约是5立方厘米。 故答案为：D 题型二：有关棱长的计算 妙招口诀 正方棱长 ×12，长方长宽高和 ×4； 已知总和反求边，总和先除以对应数。 正方体：棱长总和=棱长×12，棱长 = 总长 ÷12 长方体：棱长总和=(长+宽+高)×4，一组长宽高和 = 总长 ÷4 易错：扎框架、彩带捆绑题，看清有没有多余打结长度。 11．一个长方体纸盒，长10厘米，宽8厘米，高7厘米，最多可以完整放入（    ）块棱长2厘米的正方体积木。 A．80 B．70 C．60 【答案】C 【分析】分别算出长方体纸盒的长、宽、高各能容纳的棱长为2厘米的正方体积木的个数，再将三者相乘。长方体纸盒的长为10厘米，因为10÷2＝5，所以长能容纳5块正方体积木。宽为8厘米，8÷2＝4，宽能容纳4块正方体积木。高为7厘米，7÷2＝3……1，高能容纳3块正方体积木。那么总共能放入的正方体积木数量为5×4×3＝60块。 【详解】10÷2＝5（块） 8÷2＝4（块） 7÷2＝3（块）……1（块） 5×4×3＝60（块） 最多可以完整放入60块棱长2厘米的正方体积木。 故答案为：C 12．有长度为4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架（连接点长度忽略不计），这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．44 B．54 C．56 D．69 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的棱的长度相等，长方体有6个面，一般情况6个面都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。已知4厘米的小棒6根，5厘米的小棒9根，用其中的12根做成一个长方体框架，这个长方体的长、宽都是4厘米时，需要8根长4厘米的小棒，很显然这种情况不可能。那么这个长方体的长、宽都是5厘米，高是4厘米。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入公式解答。 【详解】（5＋5＋4）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 这个长方体的棱长总和是56厘米。 故答案为：C 13．下图是一个长方体纸盒的上面，这个长方体纸盒有两个相对面是正方形。这个长方体纸盒的棱长总和最大是（    ）cm。 A．126 B．96 C．76 D．56 【答案】C 【分析】长方体一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。由此可知长方体的长8cm，宽和高都是3cm，也有可能长和高是8cm，宽是3厘米，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，选择长和高是8cm，宽是3厘米，计算出棱长总和即可。 【详解】（8＋3＋8）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 这个长方体纸盒的棱长总和最大是76cm。 故答案为：C 14．用一根长36厘米的铁丝做成一个长方体框架，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是（    ）厘米。 A．3 B．9 C．12 D．36 【答案】B 【分析】根据题意可知，这个长方体的棱长和是36厘米。长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，那么将棱长和除以4，即可求出长、宽、高的和，即相交于一个顶点的三条棱的长度之和。 【详解】36÷4＝9（厘米） 所以，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是9厘米。 故答案为：B 15．一个棱长总和为48厘米的正方体，它的体积是（    ）。 A．96立方厘米 B．64立方厘米 C．512立方厘米 【答案】B 【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和＝棱长×12，由此可以求出它的棱长，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。 【详解】棱长：（厘米） 体积： （立方厘米） 一个棱长总和为48厘米的正方体，它的体积是64立方厘米。 故答案为：B 16．一根铁丝刚好可以做成一个长16厘米，宽14厘米，高6厘米的长方体，如果用它做成一个正方体，那么正方体的棱长是（    ）厘米。 A．8 B．10 C．12 【答案】C 【分析】一根铁丝刚好可以做成一个长16厘米，宽14厘米，高6厘米的长方体，说明这个长方体的棱长和就是这根铁丝的长度，我们可以通过长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝长度，如果用它做成一个正方体，即正方体的棱长和也等于这根铁丝的长度，根据正方体的棱长和＝棱长×12，变形得到，棱长＝正方体棱长和÷12求出棱长。 【详解】（16＋14＋6）×4 ＝36×4 ＝144（厘米） 144÷12＝12（厘米） 正方体的棱长是12厘米。 故答案为：C 17．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是、、，那么正方体的棱长是（    ）。 A．6 B．12 C．72 【答案】A 【分析】因为正方体的12条棱长相等，先求出长方体的棱长总和，再除以12即可。 【详解】 cm 故答案为：A。 18．用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )dm；如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么它的长是( )dm。 【答案】 8 10 【分析】已知用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，那么正方体框架的棱长总和等于这条木条的长度；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出这个正方体的棱长。 如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么长方体框架的棱长总和等于这条木条的长度；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长＝棱长总和÷4－宽－高，据此求出它的长。 【详解】96÷12＝8（dm） 96÷4－7－7 ＝24－7－7 ＝10（dm） 用一根96dm长的木条正好可以做一个正方体框架，这个正方体的棱长是（8）dm；如果用这根木条做一个宽和高都是7dm的长方体框架，那么它的长是（10）dm。 下面三个几何体都是由棱长1cm的小正方体摆成的。 19．下面的图形是聪聪从上面看到的，它们分别是从哪个几何体的上面看到的？将序号写在括号中。 20．③的体积是多少？如果把③继续补搭成一个大正方体，至少还需要多少个小正方体？ 【答案】19．③；②；① 20．5立方厘米；3个 【分析】将视角想象到每个图形的上面，通过观察出看到的形状确定几何体； ③由5个小正方体构成，1个小正方体的体积为棱长乘棱长乘棱长，即1×1×1＝1（立方厘米），5个小正方体体积为5×1＝5（立方厘米）； ③继续用最少的小正方体搭成一个大正方体，大正方体棱长为2厘米，通过观察，底层还需补上1个正方体，上层还需补上2个正方体，共需3个。 【详解】19．分别是从③②①的上面看到的。 20．③的体积是5立方厘米；如果把③继续补搭成一个大正方体，至少还需要3个小正方体。 21．手工课上，小明用一根铁丝做了一个长9厘米、宽2.7厘米、高5.4厘米的长方体。如果他再用同样长的铁丝做一个正方体。并在这个正方体的各面都贴上红纸。小明至少需要多少平方厘米的红纸？ 【答案】194.94平方厘米 【分析】根据题意，用一根铁丝做一个长方体，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长； 再用同样长的铁丝做一个正方体，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12； 在这个正方体的各面都贴上红纸，求至少需要红纸的面积，就是求正方体的表面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。 【详解】铁丝的长度： （9＋2.7＋5.4）×4 ＝17.1×4 ＝68.4（厘米） 正方体的棱长： 68.4÷12＝5.7（厘米） 正方体的表面积： 5.7×5.7×6 ＝32.49×6 ＝194.94（平方厘米） 答：小明至少需要194.94平方厘米的红纸。 题型三：长方体、正方体的展开图 妙招口诀 一四一、三三、二二二，能围正方体； 田字凹字不能折，排除错误展开面。 正方体 11 种合法展开，牢记无田字、无凹形； 找对面：同行隔一个，异行隔一列。 长方体展开：相对面大小相等。 22．一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如下图）。图中涂色部分的面积是（    ）cm2。 A．15 B．35 C．21 D．30 【答案】C 【分析】观察长方体展开图可知，这个长方体的长是（cm），宽是5cm，高是3cm；那么涂色部分是一个长7cm，宽3cm的长方形；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出涂色部分的面积。 【详解】     （cm） 一个长方体沿着棱剪开，得到一个展开图（如图）。图中涂色部分的面积是21cm 故答案为：C 23．分别从边长为12dm的正方形铁皮的四个顶点处各剪去一个大小相同的小正方形，裁剪后做一个无盖的盒子。（    ）的容积最大。（单位：dm） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】看图可知，做成的无盖盒子的底面积都是正方形，底面正方形的边长＝正方形铁皮的边长－小正方形边长×2，盒子的高＝小正方形边长，根据长方体体积＝底面积×高，分别计算出各选项盒子的容积，比较即可。 【详解】A．12－1×2 ＝12－2 ＝10（dm） 10×10×1＝100（dm3） B．12－2×2 ＝12－4 ＝8（dm） 8×8×2＝128（dm3） C．12－3×2 ＝12－6 ＝6（dm） 6×6×3＝108（dm3） D．12－4×2 ＝12－8 ＝4（dm） 4×4×4＝64（dm3） 128＞108＞100＞64 的容积最大。 故答案为：B 24．如图所示的展开图折叠后围成的长方体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个长方体最多能看见3个面可知，展开图折叠后围成的长方体应该可以看见两个黑色的面，即一个上面和一个右面，一个白色的面，即前面，据此解答即可。 【详解】由分析可得：展开图折叠后围成的长方体是。 故答案为：B 25．如图这个立体图形的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】由图可以看出涂色面和圆形图案面相邻。根据正方体展开图的11种特征，三个选项都属于正方体展开图，折成正方体后，观察涂色面和圆形图案面的位置即可。 【详解】A．折成正方形后，圆形图案与涂色面相对，不符合题意； B．折成正方形后，圆形图案与涂色面相对，不符合题意； C．折成正方形后，圆形图案与涂色面相邻，符合题意； 故答案为：C 26．下图①是一个正方体展开图其中的五个面，从下图②中的a、b、c、d中选一个面，形成正方体的展开图，这个面是（    ）。      A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。 【详解】A．a与已知的五个面不符合正方体展开图的特征，不是正方体的展开图； B．b与已知的五个面不符合正方体展开图的特征，不是正方体的展开图； C．c与已知的五个面不符合正方体展开图的特征，不是正方体的展开图； D．d与已知的五个面组成“1—4—1”型，是正方体的展开图。 故答案为：D 27．下面图形中，不是正方体表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况即可。 【详解】A．1－4－1型正方体展开图； B．不是正方体展开图； C．1－4－1型正方体展开图； D．2－2－2型正方体展开图。 不是正方体表面展开图的是。 故答案为：B 28．的展开图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 从图中可知，画有圆的面和涂黑的面是相邻的两个面，展开后，这两个面也应该是相邻的关系，据此找出的展开图。 【详解】 A．画有圆的面和涂黑的面相对，不相邻，所以不是的展开图； B．画有圆的面和涂黑的面相对，不相邻，所以不是的展开图； C．画有圆的面和涂黑的面相对，不相邻，所以不是的展开图； D．画有圆的面和涂黑的面相邻，所以是的展开图。 故答案为：D 29．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意可知，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须隔一个正方形，展开的图形符合正方体展开图的“1－4－1”结构，则上下两个单独的正方形相对；据此折叠成正方体，1点相对5点，2点相对6点，3点相对4点；由于前面看是3点，则后面是4点，右边是2点，则左面是6点，那么上面1点，下面就应该是5点，据此解答。 【详解】根据分析可知，下面盖住的是5点。 故答案为：D 30．将下面的展开图围成正方体后，与“陕”字所在面相对面上的字是（    ）。 A．我 B．爱 C．大 D．美 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，“爱”与“陕”相对，“我”与“美”相对，“大”与“西”相对，据此选择。 【详解】由分析可得：围成正方体后，与“陕”字所在面相对面上的字是“爱”。 故答案为：B 31．下面三个正方体中，（    ）展开后可能得到下面的展开图。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特征，将原图折成正方体后，a、c两个面是对面，且由于b面相邻；据此解答。 【详解】 由分析可得：展开后可能得到。 故答案为：C 题型四：长方体、正方体的表面积问题 妙招口诀 完整六面套公式，缺面少面要删减； 鱼缸无盖少顶面，烟囱管道无上下。 正方体：S=棱长×棱长×6 长方体：S=(长×宽+长×高+宽×高)×2 无盖、贴瓷砖、粉刷墙壁：按需减去一个 / 两个面面积。 32．将一块长20厘米、宽5厘米、高15厘米的长方体木块放置在桌子上，放置时与桌面接触的最大面积是（    ）平方厘米。 A．75 B．300 C．100 D．1500 【答案】B 【分析】长方体有6个面，相对的面面积相等，分别为：长×宽、长×高、宽×高。已知长20厘米、宽5厘米、高15厘米，把数据代入计算得出最大面的面积，即放置时与桌面接触的最大面积。 【详解】长×宽：20×5＝100（平方厘米） 长×高：20×15＝300（平方厘米） 宽×高：5×15＝75（平方厘米） 300＞100＞75 所以最大面的面积是300平方厘米，即放置时与桌面接触的最大面积是300平方厘米。 故答案为：B 33．下图是一个长3cm，宽2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积（    ），体积（    ）。 A．比原来大，比原来小 B．比原来小，比原来小 C．比原来大，不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】挖掉一个棱长1cm的小正方体后，这个长方体的表面积减少了2个面，同时增加了4个面，所以它的表面积增加了。挖掉一个棱长1cm小正方体后，比原来减少了一个小正方体的体积，所以说这个长方体的体积减少了，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个长3cm，宽2cm的长方体，将它挖掉一个棱长1cm的小正方体后，它的表面积比原来大，体积比原来小。 故答案为：A 34．一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，那么它的表面积（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 【答案】C 【分析】假设长方体的长是3，宽是2，高是1，长、宽、高分别扩大到原来的3倍可相应求出扩大后的长、宽、高，根据，分别代入数据计算原来长方体和扩大后的长方体的表面积，再用除法计算求出扩大的倍数。 【详解】假设长方体的长是3，宽是2，高是1 原来的表面积： 扩大后的表面积： 一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，那么它的表面积扩大到原来的9倍。 故答案为：C 35．下边是正方体的展开图，根据图上的信息，这个正方体的棱长是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 2 24 【分析】 正方体有六个面，且六个面都是正方形，是如图所示“1—4—1”型的正方体展开图，3条棱长的总长度是6厘米，则正方体的棱长是6÷3＝2（厘米），最后利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出这个正方体的表面积，据此解答。 【详解】 6÷3＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 所以，这个正方体的棱长是2厘米，表面积是24平方厘米。 36．下图是由若干个棱长1厘米的小正方体搭成的，如果想搭成这个大正方体，至少还需要( )块这样的小正方体，这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 17 54 【分析】看图可知，正方体的底面已经确定，因为正方体12条棱的长度相等，因此可以确定搭成的大正方体棱长至少是3厘米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出搭成大正方体至少用的小正方体块数，减去现在用的小正方体块数就是至少还需要的小正方体块数；根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，即可求出大正方体的表面积。 【详解】3×3×3－10 ＝27－10 ＝17（块） 3×3×6＝54（平方厘米） 至少还需要17块这样的小正方体，这个大正方体的表面积是54平方厘米。 37．如下图，每个小正方体的棱长都是4厘米，从最上层任意拿走一个小正方体，剩下部分的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】1120 【分析】当从最上层拿走一个小正方体时，若拿走的是顶点处小正方体，减少3个面同时又会露出3个面，表面积不变；若拿走的是边上（非顶点）小正方体，减少2个面但露出4个面，表面积增加2个面；若拿走的是面中间小正方体，减少1个面但露出5个面，表面积增加4个面；所以要使剩下部分表面积最大，应拿走面中间的一个小正方体，此时增加4个小正方形面的面积，通过计算原表面积加上增加的面积得出结果。已知每个小正方体的棱长是4厘米，则大长方体的长是4×4＝16厘米，宽是4×3＝12厘米，高是4×3＝12厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出原来长方体的表面积，再加上增加的4个小正方形面的面积4×4×4＝64平方厘米即可。 【详解】4×4＝16（厘米） 4×3＝12（厘米） 4×3＝12（厘米） （16×12＋16×12＋12×12）×2 ＝（192＋192＋144）×2 ＝（384＋144）×2 ＝528×2 ＝1056（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（平方厘米） 1056＋64＝1120（平方厘米） 所以剩下部分的表面积最大是1120平方厘米。 38．如图是一个长方体纸盒的后面和左面。这个纸盒上面的面积是( )平方分米。 【答案】45 【分析】观察可知，这个长方体的长是9分米，宽是5分米，高是6分米，纸盒上面的长方形相邻的两条边是9分米和5分米，这两条边分别就是这个长方形的长和宽，根据长方形的面积＝长×宽，据此解答。 【详解】（平方分米） 这个纸盒上面的面积是45平方分米。 39．母亲节，丫丫想给妈妈的礼品盒进行包装。 （1）至少需要多少平方厘米的包装纸？（粘贴处不计） （2）至少需要多少厘米长的彩带？（打结处为20厘米） 【答案】（1）3528平方厘米 （2）208厘米 【分析】（1）根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（40×18＋40×18＋18×18）×2即可求出包装纸的面积； （2）观察题意可知，彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结处，据此列式40×2＋18×2＋18×4＋20进行解答即可。 【详解】（1）（40×18＋40×18＋18×18）×2 ＝（720＋720＋324）×2 ＝（1440＋324）×2 ＝1764×2 ＝3528（平方厘米） 答：至少需要3528平方厘米的包装纸。 （2）40×2＋18×2＋18×4＋20 ＝80＋36＋72＋20 ＝116＋72＋20 ＝188＋20 ＝208（厘米） 答：至少需要208厘米的彩带。 40．当今社会中，在家中养鱼已成为一种越来越流行的爱好和消遣方式。蕾蕾家有一个正方体玻璃鱼缸，它的棱长为3.2分米。制作这个正方体鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖） 【答案】51.2平方分米 【分析】正方体鱼缸上面没有盖，所以求制作正方体鱼缸需要的玻璃面积就是求正方体5个面的面积之和。根据正方形面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘5即可得到总面积。 【详解】一个面的面积：3.2×3.2＝10.24（平方分米） 5个面的面积：10.24×5＝51.2（平方分米） 答：制作这个正方体鱼缸至少需要51.2平方分米的玻璃。 题型五：立体图形的切拼（表面积）、组合体的表面积 妙招口诀 切开多两面，拼合少两面； 平行哪条棱，多出对应面。 切 1 次→增加2 个切面面积；切 n 刀增加 2n 个面； 两个几何体拼一起→减少重合 2 个面； 组合体表表面积 = 各几何体表面积和−重合面 ×2。 41．用棱长为acm的两个正方体，拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了（    ）cm2。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个棱长为acm的正方体，拼成一个长方体时，两个正方体相接触的两个面会重合，也就是表面积减少了两个正方形面的面积，据此解答。 【详解】一个面的面积为（平方厘米），那么两个面的面积为（平方厘米） 所以这个长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了2a²平方厘米。 故答案为：B 42．如图所示的两个立体图形都被切去了一个相同的小正方体，下面的说法中正确的是（    ）。 A．它们的表面积、体积都相等 B．它们的表面积、体积都不相等 C．它们的表面积不相等，体积相等 D．它们的表面积相等，体积不相等 【答案】C 【分析】两个立体图形原本体积相同，都切去一个相同的小正方体后，减少的体积相同，所以它们的体积相等；第一个立体图形切去小正方体后，表面积不变；第二个立体图形切去小正方体后，表面积增加了小正方体的2个面的面积，所以它们的表面积不相等。 【详解】由分析可知：两个立体图形都被切去了一个相同的小正方体，它们的表面积不相等，体积相等。 故答案为：C 43．把两个棱长均是5厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了（    ）平方厘米。 A．10 B．25 C．50 D．60 【答案】C 【分析】两个正方体拼成一个长方体，减少两个接触面的面积，根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘2，即可解答。 【详解】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 把两个棱长均是5厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少了50平方厘米。 故答案为：C 44．下面两个立体图形都是由棱长相同的正方体积木搭成。它们的表面积相比，结果是（    ）；体积相比，结果是（    ）。 A．甲＝乙；甲＜乙 B．甲＜乙；甲＞乙 C．甲＞乙；甲＝乙 D．无法判断 【答案】A 【分析】第一空：把甲的三个面分别向外平移，刚好是一个正方体，所以甲乙的表面积相等；第二空：甲比乙少一个小正方体的体积，所以甲的体积小于乙的体积。 【详解】根据分析可得，它们的表面积相比，结果是甲＝乙，体积相比，结果是甲＜乙。 故答案为：A 45．下面四幅图分别是用5个棱长是10厘米的正方体搭成的。露在外面的面的面积最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D只有上面、前面、右面三个面露在外面，C有上面、前面、左面、右面四个面露在外面，算出这几个面小正方形的总数，再比较大小即可。 【详解】由分析可知： A．小正方形的总数：3＋5＋2＝10； B．小正方形的总数：4＋5＋2＝11： C．小正方形的总数： 5＋5＋1＋1＝12； D．小正方形的总数：5＋5＋1＝11： 12＞11＞10，所以C露在外面的面的面积最大。 故答案为：C 46．把棱长为2cm的小正方体按照下面的方式摆放在桌面上。 (1)1个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (2)2个小正方体摆放在桌面上，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (3)3个小正方体摆放在桌面上。有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )。 (4)根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加( )个露在外面的面。面积就增加( )。 【答案】(1) 5 20 (2) 9 36 (3) 13 52 (4) 4 16 【分析】（1）正方体共6个面，减去接触桌面的1个底面，露在外面5个面，用面数乘单个面面积求出总面积。 （2）下面正方体露4个面，上面正方体露5个面，相加求出总面数，再乘单个面面积，求出总面积。 （3）在2个正方体的基础上，新增1个正方体增加4个面，总面数加4，再乘单个面面积，求出总面积。 （4）观察前3次的面数变化，每次增加4个面，用增加的面数乘单个面面积求出增加的面积。 【详解】（1）2×2＝4（cm2） 5×4＝20（cm2） 1个小正方体摆放在桌面上，有5个面露在外面，露在外面的面积是20cm2。 （2）5＋4＝9（个） 9×4＝36（cm2） 2个小正方体摆放在桌面上，有9个面露在外面，露在外面的面积是36cm2。 （3）5＋4＋4＝13（个） 13×4＝52（cm2） 3个小正方体摆放在桌面上。有13个面露在外面，露在外面的面积是52cm2。 （4）4×4＝16（cm2） 根据以上操作，我发现：每增加一个小正方体，就增加4个露在外面的面。面积就增加16 cm2。 47．用几个棱长是1厘米的正方体木块，在桌面上摆出如图的模型，它的体积是( )立方厘米，露在外面的面积是( )平方厘米，在此基础上如果要摆成一个最小的正方体模型，最少要添加( )个相同的正方体木块。 【答案】 4 15 4 【分析】（1）已知正方体木块的棱长是1厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出每个正方体的体积；从图中可知，模型是由4个同样的正方体木块搭成，用正方体的体积乘块数，即是这个模型的体积。 （2）正方体的每个面都是相同的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积；数出模型露在外面的面的个数，再乘一个面的面积，即是这个模型露在外面的面积。 （3）求最少要添加几个相同的正方体木块摆成一个最小的正方体模型，通过图可知，要摆成的正方体模型的每条棱上至少要放2个木块，根据正方体的体积公式求出需要木块的个数，再减去原有的木块个数即可。 【详解】（1）每个正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 模型的体积：1×4＝4（立方厘米） （2）正方体每个面的面积：1×1＝1（平方厘米） 露在外面的面积：1×15＝15（平方厘米） （3）2×2×2－4 ＝8－4 ＝4（个） 它的体积是4立方厘米，露在外面的面积是15平方厘米，在此基础上如果要摆成一个最小的正方体模型，最少要添加4个相同的正方体木块。 48．有一个正方体（如图），如果它的高增加3cm，表面积就增加24cm2，原来正方体的表面积是( )cm2。 【答案】24 【分析】正方体高增加3cm，表面积增加的是4个相同长方形的面积（长方形的宽为正方体棱长，长为3cm）。先由增加的总面积24cm2除以4计算出一个长方形的面积为24÷4＝6cm2，再根据“长方形面积＝长×宽”，算出宽（即正方体棱长）为6÷3＝2cm；最后根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”计算出原正方体的表面积。 【详解】24÷4＝6（cm2） 6÷3＝2（cm） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 因此，原来正方体的表面积是24cm2。 49．用6个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体。拼成的长方体的表面积最大是________平方厘米；最小是________平方厘米。 【答案】 104 88 【分析】用6个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，有2种不同的拼组方法：（1）1×6排列：长、宽、高分别是：12厘米、2厘米、2厘米；（2）2×3排列：长、宽、高分别是：6厘米、4厘米、2厘米；由此利用长方体的表面积公式计算出它们的表面积即可。 【详解】（12×2＋2×2＋12×2）×2 ＝（24＋4＋24）×2 ＝52×2 ＝104（平方厘米） （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝（36＋8）×2 ＝44×2 ＝88（平方厘米） 所以拼成的长方体的表面积最大是104平方厘米，最小是88平方厘米。 50．如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 【答案】96平方厘米 【分析】已知一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体，所以增加的表面积是4个相同长方形的面积之和，长方形的长为8厘米，宽为3厘米，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘4，即可算出变成正方体后表面积增加的部分，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：变成正方体后表面积增加了96平方厘米。 题型六：体积容积计算 妙招口诀 体积长宽高相乘，正方棱长三次方； 容积算法同体积，单位换算记仔细。 V长=长×宽×h；V正=a3；通用V=S底×高 容积：内部长宽高计算，1L=1dm3，1mL=1cm3。 51．一种小礼品的包装盒是棱长为2分米的正方体，把这种小礼品盒装在长80厘米、宽70厘米、高40厘米的长方体大包装箱里，最多能放（    ）个。 A．14 B．24 C．25 D．28 【答案】B 【分析】先把正方体的棱长2分米转化为20厘米，计算长方体大包装箱长、宽、高能容纳的小礼品盒的数量，用长方体的长、宽、高分别除以正方体的棱长，结果取整数部分，最后三个整数相乘求出最多能装小礼品盒的数量，据此解答。 【详解】2分米＝20厘米 80÷20＝4（个） 70÷20≈3（个） 40÷20＝2（个） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 所以，最多能放24个。 故答案为：B 52．如果一个长方体的长变为原来的2倍，宽变为原来的3倍，高变为原来的4倍，那么体积将变为原来的（    ）倍。 A．10 B．12 C．24 【答案】C 【分析】假设原来长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，分别计算出变化前后的体积，用变化后的体积÷原来的体积，即可确定变化前后体积之间的关系。 【详解】假设原来长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米。 原来体积：4×3×2＝24（立方厘米） 变化后体积：（4×2）×（3×3）×（2×4） ＝8×9×8 ＝576（立方厘米） 576÷24＝24 体积将变为原来的24倍。 故答案为：C 53．下面每个图形都是由体积是1cm3的小正方体搭成的，体积最大的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】先数出每个选项中图形由小正方体组成的个数，再用每个小正方体的体积乘数量，计算出每个选项图形的体积，最后比较大小得出体积最大的选项。 【详解】A．A图形上层有2个小正方体，下层有5个小正方体，共由7个小正方体组成，所以其体积为7×1＝7cm3。 B．B图形上层有4个小正方体，下层有4个小正方体，共由8个小正方体组成，所以其体积为8×1＝8cm3。 C．C图形上层有1个小正方体，中间层有4个小正方体，下层有5个小正方体，共由10个小正方体组成，所以其体积为10×1＝10cm3。 因为10＞8＞7，所以C图形的体积最大。 54．从一根长4分米，宽3分米，高2分米的长方体木料中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方分米。 A．8 B．27 C．24 【答案】A 【分析】根据题意，把长方体木料截下一个最大的正方体，则这个正方体的棱长等于长方体最短的棱；再根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出正方体的体积。 【详解】2＜3＜4 正方体的棱长是2分米。 2×2×2＝8（立方分米） 这个正方体的体积是8立方分米。 故答案为：A 55．聪聪从不同方向观察一个有盖的玻璃鱼缸（如图所示），这个鱼缸前面的面积是( )cm2；如果这个鱼缸玻璃的厚度0.5cm，这个鱼缸的容积是( )cm3，合( )L。 【答案】 2000 55419 55.419 【分析】从上面看的视图可知，鱼缸的长是50cm，宽是30cm；从左面看的视图可知，鱼缸的高是40cm。 前面是一个长为50cm、宽为40cm的长方形。根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），把数据代入公式计算即可得出前面的面积。 玻璃厚度0.5cm，那么内部的长为50－0.5×2＝50－1＝49cm（两边都有玻璃厚度）；内部的宽为30－0.5×2＝30－1＝29cm；内部的高为40－0.5×2＝40－1＝39cm（因为有盖，上下都有玻璃厚度）。根据长方体容积公式V＝a×b×h（a、b、h分别为内部的长、宽、高），把数据代入公式计算即可得出容积，然后再进行单位换算即可。 【详解】50×40＝2000（cm2） 50－0.5×2＝50－1＝49（cm） 30－0.5×2＝30－1＝29（cm） 40－0.5×2＝40－1＝39（cm） 49×29×39＝55419（cm3） 1L＝1000cm3 55419÷1000＝55.419（L） 这个鱼缸前面的面积是2000cm2；如果这个鱼缸玻璃的厚度0.5cm，这个鱼缸的容积是55419cm3，合55.419L。 56．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面测量长6分米、宽4.5分米、高4分米。缸内现在水深2.5分米，鱼缸里现有( )升水。 【答案】67.5 【分析】鱼缸从里面测量的长是6分米、宽是4.5分米，缸内水深2.5分米，即水形成的长方体的长为6分米，宽为4.5分米，高为2.5分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】6×4.5×2.5＝67.5（立方分米） 1立方分米＝1升 67.5立方分米＝67.5升 鱼缸里现有67.5升水。 57．如图所示为由棱长是2厘米的小正方体搭成的立体图形，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】表面积：344平方厘米；体积：280立方厘米 【分析】从上面看有25个面，下面看有25个面，左面看有9个面，右面看有9个面，前面看有9个面，后面看有9个面，一共有（25＋25＋9＋9＋9＋9）个面；根据正方形面积＝边长×边长，求出正方体1个面的面积，再乘面的总个数，即可解答。 根据图可知，最小层有25个小正方体，中间层有9个小正方体，上层1个小正方体，一共有（25＋9＋1）个小正方体，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，即可解答。 【详解】（2×2）（25＋25＋9＋9＋9＋9） ＝4×（50＋9＋9＋9＋9） ＝4×（59＋9＋9＋9） ＝4×（68＋9＋9） ＝4×（77＋9） ＝4×86 ＝344（平方厘米） （2×2×2）×（25＋9＋1） ＝（4×2）×（34＋1） ＝8×35 ＝280（立方厘米） 答：这个立体图形的表面积是344平方厘米，体积是280立方米。 58．下面这个几何体是用棱长为1厘米的正方体木块搭成的。 （1）请你在方格图中画出从正面和上面看到的图形。 （2）这个几何体的体积是（    ）立方厘米，占地面积是（    ）平方厘米。 （3）最上面一层的体积是中间一层体积的，中间一层体积比最下面一层体积少。 【答案】（1）图见详解 （2）12；8 （3）； 【分析】（1）从正面能看到4列7个小正方形，从左往右，分别是3个、2个、1个、1个，下齐；从上面能看到3列8个小正方形，从左往右，分别是3个、2个、2个、1个，上齐；据此画出相应的平面图形； （2）已知每个小正方体的棱长为1厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，即是这个图形的体积。求这个图形的占地面积，就是求这个图形的底面面积，底面共有8个小正方形，用每个小正方形的面积乘8即可； （3）分别用一个正方体的体积乘最上面小正方体的个数和中间一层小正方体的个数，求出最上面一层的体积和中间一层体积，再用最上面一层的体积除以中间一层的体积即可求出最上面一层的体积是中间一层体积的几分之几；把最下面一层体积看作单位“1”，先求出最下面一层的体积，用最下面一层体积减去中间一层体积，求出差，用它们的差除以单位“1”，即可求出中间一层体积比最下面一层体积少几分之几。 【详解】（1）作图如下： （2）1×1×1＝1（立方厘米） 1×（1＋3＋8） ＝1×12 ＝12（立方厘米） 1×1×（4＋3＋1） ＝1×8 ＝8（平方厘米） 这个几何体的体积是12立方厘米，占地面积是8平方厘米。 （3）最上层体积为：1×1＝1（立方厘米） 中间一层体积为：1×3＝3（立方厘米） 1÷3＝ 最下面一层体积：1×8＝8（立方厘米） （8－3）÷8 ＝5÷8 ＝ 最上面一层的体积是中间一层体积的，中间一层体积比最下面一层体积少。 59．下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？在这个立体图形上至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体？ 【答案】26平方厘米；6立方厘米；21个 【分析】（1）观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到5个面，从右面看到4个面，则这个立体图形共有（4＋5＋4）×2个面；根据正方体的特征可知，每个面是边长为1厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘正方形的总个数，即可求出这个立体图形的表面积。 （2）根据正方体的体积公式V＝a3，求出1个小正方体的体积，再乘拼摆这个立体图形用到小正方体的个数，即是这个立体图形的体积。 （3）从图中可知，最长的棱上有3个小正方体，那么要拼摆成一个较大的正方体，每条棱上要摆3个小正方体；利用正方体的体积公式，求出这个较大的正方体需要小正方体的个数，再减去已有的小正方体的个数，即是至少还需要小正方体的个数。 【详解】（1）（4＋5＋4）×2 ＝13×2 ＝26（个） 表面积：1×1×26＝26（平方厘米） （2）体积：1×1×1×6＝6（立方厘米） （3）3×3×3－6 ＝27－6 ＝21（个） 答：这个拼摆而成的立体图形的表面积是26平方厘米，体积是6立方厘米，在这个立体图形上至少再摆上21个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体。 60．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？ 【答案】156250立方厘米 【分析】观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50 ＝75×50×50－25×25×50 ＝187500－31250 ＝156250（立方厘米） 答：这样一块高铝砖的体积是156250立方厘米。 题型七：体积的等积变形、立体图形的切屏（体积） 妙招口诀 形状变、体积不变，前后体积划等号； 切块分装总体积，分开相加不改变。 熔铸、倒水、填土：变形前后体积相等，列等式求未知长宽高； 分割物体：总体积 = 各小块体积相加。 61．手工课上，明明把一个棱长为8cm的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是16cm2长方体，这个长方体的高是（    ）cm。 A．4 B．16 C．32 【答案】C 【分析】根据题意，把一个正方体橡皮泥捏成了一个长方体，形状变了，但橡皮泥的体积不变； 已知正方体的棱长是8cm，根据正方体的体积公式V＝a3，求出橡皮泥的体积； 已知捏成长方体的底面积是16cm2，根据长方体的高h＝V÷S，求出这个长方体的高。 【详解】橡皮泥的体积： 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 长方体的高： 512÷16＝32（cm） 这个长方体的高是32cm。 故答案为：C 62．把1立方分米的正方体切成1立方厘米的小正方体，然后将这些小正方体排成一行，长（    ）米。 A．1 B．10 C．100 D．1000 【答案】B 【分析】先计算大正方体可以切成多少个小正方体，1立方分米转换为以立方厘米为单位，再用大正方体的体积除以小正方体的体积，得到小正方体的个数，又知1立方厘米的小正方体的棱长为1厘米，再用1乘小正方体的个数，即可得解。 【详解】1立方分米＝1000立方厘米 （厘米）＝10（米） 因此，将这些小正方体排成一行，长10米。 故答案为：B 63．用棱长1分米的小正方体木块，拼成一个较大的正方体，大正方体的体积不可能是（    ）立方分米。 A．8 B．16 C．27 D．64 【答案】B 【分析】要用棱长为1分米的小正方体木块拼成一个较大的正方体，那么大正方体的棱长至少是2分米。因为正方体的体积等于棱长的立方。 【详解】当大正方体棱长为2分米时，体积为2×2×2＝8立方分米；当大正方体棱长为3分米时，体积为3×3×3＝27立方分米；当大正方体棱长为4分米时，体积为4×4×4＝64立方分米而16不是整数的立方，所以大正方体的体积不可能是16立方分米。 故答案为：B 64．下图是由若干个小正方体搭建的几何体。 (1)这个几何体一共用了( )个小正方体。 (2)要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走( )号小正方体。 (3)若将它搭成一个大正方体，还需要添加( )个小正方体。 【答案】(1)9 (2)5 (3)18 【分析】（1）分别数出每层的小正方体数量再相加，即为小正方体的总个数。 （2）要保证正面和侧面看到的图形都不变，就要考虑取走从正面、侧面看都重叠的小正方体，由题目的几何体可知，是5号小正方体，据此解答。 （3）搭成的大正方体棱长至少需要3小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出大正方体需要的小正方体的个数，再减去已经摆小正方体的个数，即可解答。 【详解】（1）最下层有5个小正方体，中间层有3个小正方体，上层有1个小正方体。 5＋3＋1＝9（个） （2）要保证正面和侧面看到的图形都不变，可以取走5号小正方体。 （3）3×3×3－9 ＝9×3－9 ＝27－9 ＝18（个） 65．用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积( )，体积( )。（填“增加了”“减少了”或“不变”）。 【答案】 减少了 不变 【分析】当用3个相同的小正方体拼成一个大长方体时，会有4个面重合（每两个小正方体拼接会重合2个面，3个小正方体拼接共重合4个面），这4个面不再是大长方体表面积的一部分，所以表面积减少了； 拼成大长方体后，所占空间的大小等于3个小正方体所占空间大小之和，根据体积的定义，物体所占空间的大小不变，所以体积不变。 【详解】用3个相同的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了，体积不变。 66．大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的体积是( )立方厘米。 【答案】800 【分析】根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，用30×10×2即可求出水的体积，把容器竖起来，水的体积不变。水的体积＋姜的体积等于长为10厘米、宽为10厘米、高为14厘米的长方体体积；据此求出总的体积，再减去水的体积即可求出姜的体积。 【详解】10×10×14－30×10×2 ＝1400－600 ＝800（立方厘米） 这块姜的体积是800立方厘米。 67．把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是( )cm，长方体的棱长和是( )cm。 【答案】 8 152 【分析】由题意可知，正方体铁块锻造成长方体，其体积不变，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即长方体的体积，然后根据长方体的体积公式：V＝abh求出长方体的高，进而根据长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求解即可。 【详解】12×12×12÷（18×12） ＝144×12÷216 ＝1728÷216 ＝8（cm） （18＋12＋8）×4 ＝38×4 ＝152（cm） 即，把一个棱长12cm的正方体铁块锻造成一个长18cm，宽12cm的长方体，锻造成的长方体的高是8cm，长方体的棱长和是152cm。 68．有甲、乙两个长方体容器，从甲容器内部量得长、宽、高分别为40厘米、10厘米、10厘米。将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。 （1）甲容器中水的体积是多少？ （2）现在把甲、乙两个容器放在同一桌面上，将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么乙容器中需要倒入多少毫升水？ 【答案】（1）2000立方厘米 （2）400毫升 【分析】（1）从图中可以看出，甲容器装水的体积等于甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，甲容器的底面积是（40×10）平方厘米；将甲容器的右面作为底面，直立起来就是乙容器，则乙容器的底面积是（10×10）平方厘米； 将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使得甲、乙容器中的水面一样高，则水的体积不变，水的高度一样，那么可以把甲、乙两个容器看作一个底面积为甲、乙两个底面积之和的容器； 根据长方体的高h＝V÷S，代入数据计算求出容器中水的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【详解】（1）40×10×10÷2 ＝400×10÷2 ＝4000÷2 ＝2000（立方厘米） 答：甲容器中水的体积是2000立方厘米。 （2）2000÷（40×10＋10×10） ＝2000÷（400＋100） ＝2000÷500 ＝4（厘米） 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝400毫升 答：乙容器中需要倒入400毫升水。 69．一个长方体无盖玻璃缸（如下图），长7分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。 （1）做这个玻璃缸需要多少平方分米玻璃？（不考虑玻璃厚度） （2）如果把下图左边这块棱长为4分米的正方体铁块竖直放入缸里，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】（1）146平方分米；（2）13.6升 【分析】（1）无盖的长方体表面积只有5个面的面积，也就是无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出做这个玻璃缸需要多少平方分米玻璃； （2）根据题意可知，正方体的体积＋水的体积＝长方体无盖玻璃缸的容积＋溢出水的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长以及长方体的体积（容积）＝长×宽×高，分别求出对应的体积，进而求出溢出水的体积，再把单位换算成升。 【详解】（1）7×6＋7×4×2＋6×4×2 ＝42＋56＋48 ＝146（平方分米） 答：做这个玻璃缸需要146平方分米玻璃。 （2）4×4×4＝64（立方分米） 7×6×2.8＝117.6（立方分米） 7×6×4＝168（立方分米） 64＋117.6－168＝13.6（立方分米） 13.6立方分米＝13.6升 答：缸里的水会溢出13.6升。 70．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【答案】8厘米 【分析】水的体积＝容器的底面积×水深，可以列方程求解，设水深是x厘米，等量关系为：容器甲的底面积×水深＋容器乙的底面积×水深＝容器乙的底面积×24厘米。 【详解】解：设这时水深是x厘米。 40×30×x＋20×30×x＝20×30×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是8厘米。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $