第六章 平行四边形 章节（7知识详解+17典例分析） 2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学讲义通过表格、图示系统梳理第六章平行四边形知识体系，涵盖定义、边角与对角线性质、判定方法、梯形、平行线间距离及三角形中位线等7个知识点，用对比表格呈现基本元素、性质定理及距离区别，清晰展现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于17个典例分析的分层设计，包括性质求解角度周长、判定证明四边形、中位线测量距离等题型，培养推理意识与几何直观，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

第六章 平行四边形 章节（7知识详解+17典例分析） 【知识点01】平行四边形的定义 1. 平行四边形的定义及表示方法 两组对边分别平行的四边形 叫作平行四边形 表示方法: 平行四边形用“▱ ”表示，如图 ，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD” . 2. 平行四边形的对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。 3. 平行四边形的基本元素 图示: 基本元素 主要内容 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC 和AB，共有四对  对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD 和∠ADC， ∠ADC 和∠DCB， ∠DCB 和∠ABC，∠ABC 和∠DAB，共有四对 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC 和∠ABC，共有两对  对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的边角性质 1. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 . 2. 平行四边形的边、角性质定理 图示: 类别 定理 符号语言 边 平行四边形的对边相等 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC  角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D  【知识点03】平行四边形的对角线性质 1. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 . 符号语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 对角线AC 与BD 相交于点O， ∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为    ABCD 对角线的交点 点P 在 ABCD 的边AD 上, 且不与端点重合 结论 === =  ABCD  +== S   ABCD  图示 条件 P 为ABCD 内任意一点 EF 经过 ABCD 对角线的交点O  结论 +=+= S   ABCD  【知识点04】梯形 1. 梯形的相关概念 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。如图6.1-5，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 2. 等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形的两底角相等。 【知识点05】平行四边形的判定 1. 判定方法 判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面入手。如图6.1-23，在▱ ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 ： 条件类型  判定方法  符号语言 对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD   BC(或 AB   CD)， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 对角线关系  对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 2.灵活选择平行四边形判定定理的方法 已知条件 证明思路 一组对边相等 （1）另一组对边相等 （2）该组对边平行 一组对边平行 （1）另一组对边平行 （2）该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 【知识点06】平行线之间的距离 1.  定义 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系: 类别  两点间的距离  点到直线的距离  两条平行线之间的距离 区别  连接两点的线 段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度 2. 性质 (1) 平行线间的距离处处相等。 (2) 夹在两条平行线间的平行线段一定相等。 图示：如图6.1-27，a ∥ b，AB ∥CD，CE ⊥ b， FG⊥ b，点E，G为垂足， 则FG和CE的长都表示a 和b 之间的距离，且FG=CE，AB=CD。 【知识点07】三角形的中位线 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 . 2. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。几何语言：如图6.2-1， ∵ AD=BD， AE=EC，∴ DE ∥BC，且DE= BC。 3. 三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系 图示: 类别 三角形的中位线 三角形的中线 区别 连接三角形两边中点的线段，如线段DE  连接三角形一个顶点与它对边中点的线段， 如线段AF  联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分，如DE 与AF 互相平分 【题型一】利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴. 2．（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）已知平行四边形相邻两边长的比是，其中较长的边长是．则这个平行四边形的周长_____． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】利用平行四边形对边相等的性质，结合边长比例关系求出相邻两边的长度，再计算周长即可． 【详解】解：设平行四边形相邻两边长分别为和， 较长的边长是， ， 解得， 较短边长为， 平行四边形的周长． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 4．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】通过作构造平行四边形，得，结合已知得，再证，从而，即． 【详解】如图，过点作交延长线于， ，， 在上，即 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 5．（23-24八年级下·内蒙古包头·期中）如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键． 根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到，进而求得的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知为中点，则，进而求得与的数量关系，可判断③正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． 故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，． 又， ∴． ∴． 故②正确． ③∵为的中点， ∴． ∴． 故③错误． ④∵， ∴． ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 【详解】略． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 7．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 8．（22-23八年级下·山东淄博·期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质：________． 【答案】对角线互相平分（答案不唯一） 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可． 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形， ∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等； 故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级下·吉林白城·期末）按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角； (2)在图2中作一个边长分别为，，的格点； (3)在图3中作一个有一边长为且面积为6的格点平行四边形． (4)请判断图2中所作的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)见解析 (4)为直角三角形，理由见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，平行四边形的定义，根据相关知识点正确作图即可． （1）利用勾股定理，在网格中作直角边长和，斜边长为的直角三角形即可； （2）利用勾股定理作图即可； （3）先利用勾股定理作长度为的线段，再作平行四边形即可； （4）利用勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，平行四边形即为所求作； （4）解：由题意可知，，，， ，， ， 为直角三角形． 【题型四】(等腰)梯形的定义 10．（25-26八年级下·全国·期末）如图，四边形是等腰梯形，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】(等腰)梯形的定义 【详解】解：∵四边形是等腰梯形， ∴，，，故选项A、B、D不符合题意； 无法得出，故选项C符合题意 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 【答案】6 【知识点】(等腰)梯形的定义 【分析】根据梯形定义，需要寻找一组对边平行而另一组对边不平行的四边形的个数． 首先找到图内有几组平行线，再根据平行线找关于这组平行线的截线，看构成的四边形是否满足梯形的定义． 【详解】如图，图内有一组平行线且该平行线上有两个截线的共有以下几组： ，，． 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，只有一组截线和，该截线无法构成梯形． 所以图中梯形的个数是． 12．（2023八年级下·上海·专题练习）在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，． (1)求边的长； (2)如图，当点P在梯形内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如果的长为2，求梯形的面积． 【答案】(1)6 (2)y关于x的函数解析式为．定义域为 (3)或32 【知识点】(等腰)梯形的定义、一次函数与几何综合 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长． （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式，也能得出定义域． （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【详解】（1）解：过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为．定义域为． （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ． 【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 【题型五】等腰梯形的性质定理 13．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】设梯形腰长为，根据等腰梯形性质及求出各边长及周长；根据的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第次相遇位置． 【详解】设 ∵ 四边形是等腰梯形， ∴ ∴ 梯形周长 ∵， ， ∵ 点依逆时针方向环行，点依顺时针方向环行 ∴ 点从向运动，点从向运动 第一次相遇时，两点路程之和为， ∵ 点与点的速度之比为2:3 ∴ 第一次相遇时，点的路程为 ∵ ∴ 第一次相遇在点 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长点每次相遇增加的路程为，第2026次相遇时，点的总路程 ∵， ∴ 点的位置与第一次相遇位置相同，即在点． 14．（25-26八年级下·江苏常州·期中）在等腰梯形中，，若，则_____． 【答案】 【知识点】等腰梯形的性质定理 【分析】先根据平行线性质得到与互补，求出的度数，再根据等腰梯形同一底上的两个角相等得到的度数． 【详解】解： 四边形是等腰梯形，， ，， ， ， ． 15．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，点E是延长线上一点，．判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【知识点】等腰梯形的性质定理、等腰三角形的定义、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等腰梯形的性质，等腰三角形的定义，可证明四边形是平行四边形，得到，再由等腰梯形的对角线相等得到，则，据此可得结论． 【详解】解：是等腰三角形．理由如下： ∵，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型六】数图形中平行四边形的个数 16．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 17．（24-25八年级下·贵州·期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 【答案】3个 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 【详解】 解：如图所示： 故答案为：3个． 【题型七】判断能否构成平行四边形 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知四边形的对角线和相交于点O，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、因为，，即两组对边分别平行，所以四边形是平行四边形； B、当，时，四边形可能是等腰梯形，所以不能判定四边形是平行四边形； C、因为，，即对角线互相平分，所以四边形是平行四边形； D、因为，，即两组对角分别相等，所以四边形是平行四边形． 19．（25-26八年级下·江苏常州·期中）小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 【答案】 ③④ 【知识点】判断能否构成平行四边形 【详解】解：∵只有③④两块的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃． 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）请从下列三个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 【答案】（1）真命题，证明见解析（答案不唯一，合理即可）；（2）假命题，反例见解析（答案不唯一，合理即可）；（3）假命题，反例见解析（答案不唯一，合理即可）（任选其二即可） 【知识点】判断能否构成平行四边形、举反例、判断命题真假 【分析】（1）构造四边形，根据平行线的判定和性质证明四边形是平行四边形即可． （2）举出反例即可； （3）举出反例即可． 【详解】解：（1）真命题 已知：如图在四边形中，． 求证：四边形是平行四边形 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形（答案不唯一，合理即可） （2）假命题 反例如图： （答案不唯一，合理即可） （3）假命题 反例如图： （答案不唯一，合理即可） 【题型八】添一个条件成为平行四边形 21．（25-26八年级下·山西大同·期中）某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 【答案】B 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【详解】解：选项A，且时，四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项B，∵，且，∴四边形一定是平行四边形． 选项C，且时，四边形也可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项D，由且，仅能得到三个角相等，无法推出两组对边分别平行或相等，四边形不一定是平行四边形，不符合要求． 22．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 23．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型九】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 24．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 25．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 26．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】描点见解析，、、 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标． 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、． 【题型十】证明四边形是平行四边形 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行线的判定得到，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形． 28．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 【答案】或或 【知识点】证明四边形是平行四边形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】先根据点C的坐标建立平面直角坐标系，根据网格特点分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案． 【详解】解：∵， ∴点A为坐标原点， 如图，分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线， ∴满足条件的点D的坐标为或或． 29．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明得到，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵，且， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型十一】全等三角形拼平行四边形问题 30．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 31．（25-26八年级下·江西南昌·期中）在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 【题型十二】利用平行四边形的判定与性质求解 32．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）在四边形中，，若，则（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】先根据平行四边形的判定定理判定四边形的形状，再利用平行四边形的性质计算的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形的对边相等， ∴， 又∵， ∴． 33．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 34．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列作图． (1)用无刻度的直尺作的中点． (2)作四边形，使四边形是以为对角线的平行四边形，点在格点上． 【答案】(1)点就是的中点，如图所示： (2)是以为对角线的平行四边形，如图所示： 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、无刻度直尺作图 【分析】（1）过、作水平、竖直网格线，围成四边形，连接交于点， 则四边形是矩形，根据矩形对角线互相平分，对角线交点就是中点，图见答案； （2）连接并延长，在延长线上取格点，使，顺次连接得到四边形， 由、交于点，、，满足平行四边形判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故是以为对角线的平行四边形，图见答案． 【详解】（1）略 （2）略 【题型十三】利用平行四边形性质和判定证明 35．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】由题意可知，，，推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 四边形为平行四边形， ，，，不能得到， 故选：C． 36．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 【答案】如，答案不唯一 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时，四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 37．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并交于点．求证：且． 【答案】见详解 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】连接，证明四边形为平行四边形，得到，继而推出，四边形为平行四边形，即可得到结论， 【详解】证明：连接， ∵互相平分并交于点，即， ∴四边形为平行四边形， ， 又 ∵为的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，． 【题型十四】平行四边形性质和判定的应用 38．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、求平行线间的距离、点到直线的距离 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 39．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 40．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，只要保留作图痕迹． (1)作一条线段，使； (2)连接，作的中线． 【答案】(1)所作线段如图所示（答案不唯一，符合条件即可）： (2)连接，所作的中线如下图所示（答案不唯一，符合条件即可）： 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、勾股定理与网格问题、无刻度直尺作图 【分析】（1）利用网格特点，以及勾股定理分析求解，即可解题； （2）连接，利用网格特点构造平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分作出的中线即可． 【详解】（1）解：根据，即利用网格特点构造直角边长分别为和，其中一条直角边端点为的直角三角形，这个直角三角形的斜边即为所作线段； （2）解：由网格特点可知，， 四边形为平行四边形， ， 为的中线． 【题型十五】与三角形中位线有关的求解问题 41．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在平行四边形中，，M，N分别为，的中点，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据是的中位线，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形，， ， M，N分别为，的中点， 是的中位线， ． 42．（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，的对角线、相交于点O，点E、F分别是、的中点．若，则的长为_______． 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】先根据平行四边形的性质得，再由已知得是的中位线，则． 【详解】解：∵的对角线、相交于点O，， ∴， ∵点E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，、、、分别是、、、的中点，求四边形的周长． 【答案】10 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了中位线定理，根据中位线定理分别求出的长，再相加即为四边形的周长． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形的周长为：． 44．（25-26八年级下·全国·课后作业）三角形的周长为，求它的三条中位线组成的三角形的周长． 【答案】新三角形的周长为 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，因此三条中位线组成的三角形的周长为原三角形周长的一半，代入原三角形周长计算即可得到结果． 【详解】解：设原三角形三边长分别为，，， 由题意得原三角形周长为， 根据三角形中位线定理，可得新三角形的三边长分别为，，， 因此新三角形的周长为：． 【题型十六】与三角形中位线有关的证明 45．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的利用及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由点、分别是边、的中点，可知是的中位线，根据中位线定理即可证明②，根据等腰三角形的性质可证①，由 D是中点，可证，再利用平行，可证明③，在中，不一定等于，即可判断④． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴， 则②符合题意， ∵， ∴， ∴， 则①符合题意， ∵D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则③符合题意， 由于不一定是等腰三角形，则不一定等于，则不一定等于， 则④不符合题意． 46．（25-26八年级下·山东济南·期中）在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 / 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形的性质证明、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 47．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】连接、，根据题意，是的中位线，则，，进而得到，，因此四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：如图，连接、， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 48．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】由中位线的性质可得，由平行四边形的性质可得，命题得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【题型十七】三角形中位线的实际应用 49．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 【答案】A 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】先说明是的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 50．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 【答案】36 【知识点】三角形中位线的实际应用 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得． 51．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形中位线的实际应用、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； （2）解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 52．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． (3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】三角形中位线的实际应用、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）把点代入直线得，设直线解析式为，代入得，即可求出直线解析式． （2）设，当在延长线上时，，在计算即可，当在线段上时，，再计算，即可点的坐标． （3）当时，得为中位线，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：设， 当在延长线上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当在线段上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点的坐标为或． （3）当时，如图： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴为中位线， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合知识，待定系数法求一次函数解析式，三角形中位线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平行四边形 章节（7知识详解+17典例分析） 【知识点01】平行四边形的定义 1. 平行四边形的定义及表示方法 两组对边分别平行的四边形 叫作平行四边形 表示方法: 平行四边形用“▱ ”表示，如图 ，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD” . 2. 平行四边形的对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。 3. 平行四边形的基本元素 图示: 基本元素 主要内容 边 邻边 AD 和AB，AD 和DC，DC 和BC，BC 和AB，共有四对  对边 AB 和DC，AD 和BC，共有两对 角 邻角 ∠BAD 和∠ADC， ∠ADC 和∠DCB， ∠DCB 和∠ABC，∠ABC 和∠DAB，共有四对 对角 ∠BAD 和∠BCD，∠ADC 和∠ABC，共有两对  对角线 AC 和BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的边角性质 1. 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 . 2. 平行四边形的边、角性质定理 图示: 类别 定理 符号语言 边 平行四边形的对边相等 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC  角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D  【知识点03】平行四边形的对角线性质 1. 对角线的性质 平行四边形的对角线互相平分 . 符号语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， 对角线AC 与BD 相交于点O， ∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为    ABCD 对角线的交点 点P 在 ABCD 的边AD 上, 且不与端点重合 结论 === =  ABCD  +== S   ABCD  图示 条件 P 为ABCD 内任意一点 EF 经过 ABCD 对角线的交点O  结论 +=+= S   ABCD  【知识点04】梯形 1. 梯形的相关概念 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。如图6.1-5，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 2. 等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形的两底角相等。 【知识点05】平行四边形的判定 1. 判定方法 判定平行四边形可以从对边和对角线两个方面入手。如图6.1-23，在▱ ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 ： 条件类型  判定方法  符号语言 对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD   BC(或 AB   CD)， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 对角线关系  对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 2.灵活选择平行四边形判定定理的方法 已知条件 证明思路 一组对边相等 （1）另一组对边相等 （2）该组对边平行 一组对边平行 （1）另一组对边平行 （2）该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 【知识点06】平行线之间的距离 1.  定义 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离. 三种距离之间的区别与联系: 类别  两点间的距离  点到直线的距离  两条平行线之间的距离 区别  连接两点的线 段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度 2. 性质 (1) 平行线间的距离处处相等。 (2) 夹在两条平行线间的平行线段一定相等。 图示：如图6.1-27，a ∥ b，AB ∥CD，CE ⊥ b， FG⊥ b，点E，G为垂足， 则FG和CE的长都表示a 和b 之间的距离，且FG=CE，AB=CD。 【知识点07】三角形的中位线 1. 三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 . 2. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。几何语言：如图6.2-1， ∵ AD=BD， AE=EC，∴ DE ∥BC，且DE= BC。 3. 三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系 图示: 类别 三角形的中位线 三角形的中线 区别 连接三角形两边中点的线段，如线段DE  连接三角形一个顶点与它对边中点的线段， 如线段AF  联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分，如DE 与AF 互相平分 【题型一】利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平行四边形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）已知平行四边形相邻两边长的比是，其中较长的边长是．则这个平行四边形的周长_____． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 4．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，且．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 5．（23-24八年级下·内蒙古包头·期中）如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有______． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 7．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 8．（22-23八年级下·山东淄博·期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质：________． 9．（24-25八年级下·吉林白城·期末）按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角； (2)在图2中作一个边长分别为，，的格点； (3)在图3中作一个有一边长为且面积为6的格点平行四边形． (4)请判断图2中所作的形状，并说明理由． 【题型四】(等腰)梯形的定义 10．（25-26八年级下·全国·期末）如图，四边形是等腰梯形，下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 12．（2023八年级下·上海·专题练习）在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，． (1)求边的长； (2)如图，当点P在梯形内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如果的长为2，求梯形的面积． 【题型五】等腰梯形的性质定理 13．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（   ）点． A．点 B．点 C．点 D．点 14．（25-26八年级下·江苏常州·期中）在等腰梯形中，，若，则_____． 15．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，点E是延长线上一点，．判断的形状，并说明理由． 【题型六】数图形中平行四边形的个数 16．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 17．（24-25八年级下·贵州·期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 【题型七】判断能否构成平行四边形 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知四边形的对角线和相交于点O，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（） A．， B．， C．， D．， 19．（25-26八年级下·江苏常州·期中）小马不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号为_____． 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）请从下列三个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 【题型八】添一个条件成为平行四边形 21．（25-26八年级下·山西大同·期中）某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 22．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 23．（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【题型九】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 24．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 25．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 26．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标． 【题型十】证明四边形是平行四边形 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在10×10的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．若点C在网格所在的坐标平面内的坐标为．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的D点的坐标是________． 29．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，．求证：四边形是平行四边形． 【题型十一】全等三角形拼平行四边形问题 30．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（25-26八年级下·江西南昌·期中）在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【题型十二】利用平行四边形的判定与性质求解 32．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）在四边形中，，若，则（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 33．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 34．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列作图． (1)用无刻度的直尺作的中点． (2)作四边形，使四边形是以为对角线的平行四边形，点在格点上． 【题型十三】利用平行四边形性质和判定证明 35．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点E在线段上（不与点A，O重合），点F在线段O，C上（不与点O，C重合），当E，F的位置满足__________条件时，四边形是平行四边形． 37．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，是边的中点，互相平分并交于点．求证：且． 【题型十四】平行四边形性质和判定的应用 38．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 39．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 40．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，只要保留作图痕迹． (1)作一条线段，使； (2)连接，作的中线． 【题型十五】与三角形中位线有关的求解问题 41．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在平行四边形中，，M，N分别为，的中点，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 42．（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，的对角线、相交于点O，点E、F分别是、的中点．若，则的长为_______． 43．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，、、、分别是、、、的中点，求四边形的周长． 44．（25-26八年级下·全国·课后作业）三角形的周长为，求它的三条中位线组成的三角形的周长． 【题型十六】与三角形中位线有关的证明 45．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 46．（25-26八年级下·山东济南·期中）在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 47．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 48．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点．求证：． 【题型十七】三角形中位线的实际应用 49．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 50．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 51．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 52．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴交于点，直线交轴正半轴于点，，点是直线上的动点． (1)求直线的解析式． (2)如果三角形的面积等于三角形面积的三分之一，求点的坐标． (3)已知点在线段上，连结、、．若，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $