专题6.1 平行四边形的性质 同步讲义（题型导航+知识梳理+过关小练）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题6.1 平行四边形的性质 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3平行四边形性质的其他应用 题型4（等腰）梯形的定义 题型5等腰梯形的性质定理 题型6数图形中平行四边形的个数 题型7过关小练（5解答题） 知识梳理 知识点一、平行四边形的定义 1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 知识点二、平行四边形的性质 1.边的性质：两组对边分别平行且相等. 几何语言：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等. 几何语言：∠A=∠C，∠B=∠D； 3.对角线的性质：对角线互相平分． 几何语言：AO=CO，BO=DO； 4.平行四边形是中心对称图形。 知识点三：平行四边形的周长与面积公式 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 面积：平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离） 知识点四、常用结论 1.平行四边形被对角线分成四个面积相等的小三角形， 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 3.对角线把平行四边形分成两对全等三角形。 知识点五、梯形的定义 1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 知识点六、等腰梯形的性质 1.一组对边平行（上底 ∥ 下底），两腰相等. 几何语言：AD∥BC，AB=CD 2.同一底上的两个内角相等. 同一腰上的两个角互补（和为 180∘） 3等腰梯形的对角线相等. 4.等腰梯形是轴对称图形.对称轴是上下底中点连线所在直线. 知识点七、常用结论 1.等腰梯形是特殊梯形，不是平行四边形， 2.对角线相等的梯形是等腰梯形， 3.平移腰可构造平行四边形 + 等腰三角形. 题型解读 题型1利用平行四边形的性质求解 1．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 题型2利用平行四边形的性质证明 1．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 3．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 ___________（写出一个即可） 题型3平行四边形性质的其他应用 1．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 2．下列说法正确的是（  ） A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 3．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 题型4（等腰）梯形的定义 1．如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D． 2．将圆柱体的侧面展开，将得不到（   ）． A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．正方形 3．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为______． 题型5等腰梯形的性质定理 1．如图，等腰梯形（     ）    A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 2．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 题型6数图形中平行四边形的个数 1．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 2．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 过关小练 一、解答题 1．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 2．如图，在中，平分交于． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证： 3．作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 4．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 5．如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 平行四边形的性质 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1利用平行四边形的性质求解 题型2利用平行四边形的性质证明 题型3平行四边形性质的其他应用 题型4（等腰）梯形的定义 题型5等腰梯形的性质定理 题型6数图形中平行四边形的个数 题型7过关小练（5解答题） 知识梳理 知识点一、平行四边形的定义 1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 知识点二、平行四边形的性质 1.边的性质：两组对边分别平行且相等. 几何语言：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2.角的性质：两组对角分别相等. 几何语言：∠A=∠C，∠B=∠D； 3.对角线的性质：对角线互相平分． 几何语言：AO=CO，BO=DO； 4.平行四边形是中心对称图形。 知识点三：平行四边形的周长与面积公式 周长：根据平行四边形对边相等，设相邻两边长为a,b则平行四边形的周长=2（a+b） 面积：平行四边形的面积=底×高（底为平行四边形的任意一边，高为这条边与其对边之间的距离） 知识点四、常用结论 1.平行四边形被对角线分成四个面积相等的小三角形， 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 3.对角线把平行四边形分成两对全等三角形。 知识点五、梯形的定义 1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 知识点六、等腰梯形的性质 1.一组对边平行（上底 ∥ 下底），两腰相等. 几何语言：AD∥BC，AB=CD 2.同一底上的两个内角相等. 同一腰上的两个角互补（和为 180∘） 3.等腰梯形的对角线相等. 4.等腰梯形是轴对称图形.对称轴是上下底中点连线所在直线. 知识点七、常用结论 1.等腰梯形是特殊梯形，不是平行四边形, 2.对角线相等的梯形是等腰梯形, 3.平移腰可构造平行四边形 + 等腰三角形。 题型解读 题型1利用平行四边形的性质求解 1．已知中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，灵活运用平行四边形对角相等的性质是解题的关键．根据平行四边形的对角相等得到，进而结合求出的度数． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 2．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边平行且相等以及角平分线，构造等腰三角形，进而求出． 【详解】解：平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 3．如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 题型2利用平行四边形的性质证明 1．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 2．如图，，是的两条对角线，则图中的全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分的性质是解题的关键． 根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，依次找出图中的全等三角形． 【详解】解：在中： ， 全等三角形有：   因此，图中的全等三角形共有对，对应选项C． 故选：C． 3．如图，中，对角线、相交于，、是对角线上两点，要使，还需添加一个条件 ___________（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质可得、，然后根据添加条件即可． 【详解】解：添加． 四边形是平行四边形，，， ∴， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 题型3平行四边形性质的其他应用 1．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 2．下列说法正确的是（  ） A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定和性质，对选项进行判断，即可． 【详解】A、有两组对边分别平行的图形可能不是四边形，如正六边形，故错误； B、平行四边形的对角线只有互相平分这一性质，不一定相等，错误； C、平行四边形的对角相等，邻角互补，错误； D、平行四边形的对边平行且相等，这是平行四边形的性质，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 3．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是________． 【答案】120°和60° 【分析】根据平行四边形的性质可以得到，，，即可得到，再根据，求解即可． 【详解】解：如图所示，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°，120°，60°，120°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 题型4（等腰）梯形的定义 1．如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（    ） A．8 B．10 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质．根据平移的性质得，由于，可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：如图所示：由平移的性质得，， ∵， ∴， 设交于点O，过O作于Q， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．将圆柱体的侧面展开，将得不到（   ）． A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开图，掌握圆柱体的侧面展开图是解题的关键； 根据圆柱的侧面展开图沿直线剪开可能为正方形、长方形或平行四边形可得结果． 【详解】围成圆柱的侧面的是一个圆筒，沿高线剪开，会得到长方形或正方形，沿斜直线剪开会得到平行四边形．但是无论怎么沿直线剪开，都不会得到梯形． 故选：C． 3．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型5等腰梯形的性质定理 1．如图，等腰梯形（     ）    A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，等腰梯形的性质，根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 【详解】解：等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：B． 2．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 3．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 题型6数图形中平行四边形的个数 1．如图，在中，分别是各边中点，则图中的平行四边形共有（   ） A．8个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定与性质分析判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵在中，分别是各边中点， ∴， ∴图中的平行四边形共有：，，，，，，，，共9个平行四边形， 故选：B． 2．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 3．如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 过关小练 一、解答题 1．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 2．如图，在中，平分交于． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点为顶点，根据角平分线作图法作出的平分线； （2）利用平行四边形对角相等、角平分线定义及平行线内错角相等，推出同位角相等，从而证明两直线平行． 【详解】（1）解：如图为的平分线和点． （2）证明：如图， ∵平分，平分， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 3．作图题 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中画出； (2)线段的长为______的长为______ 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了作图，网格作平行四边形，平行四边形性质，勾股定理等知识． （1）根据平行四边形性质作图即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）， ， 故答案为：，． 4．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明梯形是等腰梯形，再，即可证明； （2）先证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明 ∵， ∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即是等腰三角形； （2）证明：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $