专题09 线线角、线面角、二面角问题（期末复习讲义，3重难题型+分层验收）高一数学下学期沪教版

专题09 线线角、线面角、二面角问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01线线角（异面直线所成角） 题型02 线面角（直线与平面所成角） 题型03 二面角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 线线角（异面直线所成角） 1. 能准确复述定义、写出范围； 2. 会判断两直线是否异面 3. 掌握三种几何作法； 4. 能在棱锥、棱柱中找平面角 1.小题常考范围与概念辨析；解答题常作为第一步求角 2.高频：长方体、正方体、直三棱柱中异面直线角；难度中等 3.易错点常设置在符号、范围、作答表述 线面角（直线与平面所成角） 1.明确定义、三种特殊情况； 2.能在图中找出射影 3. 熟练找面的垂线； 4. 会用直角三角形边角关系计算 牢记：线面角与法向量夹角互余；用正弦 1.概念常考填空 / 选择；射影判断是关键 2.常考：棱锥高、底面垂线、侧面射影；中等偏难 3.高频失分：公式记错、射影定位错误 二面角（平面与平面所成角） 1. 会画二面角平面角； 2. 能识别棱、两个面、平面角 3. 掌握三种几何作法； 4. 能在棱锥、棱柱中找平面角 法向量方向可统一指向 / 背离二面角；结合图形判断 1.概念与作图常在小题考查；范围易混 2.传统几何法步骤多、难度大；期末偶考 3.压轴题主要失分点：符号与角度判断 知识点01.异面直线所成角（线线角） 定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，两条相交直线所形成的锐角或直角，即为异面直线所成角。 取值范围：（） 核心本质：空间异面问题平面化，通过平移将异面直线转化为共面直线求解。 知识点02 .直线与平面所成角（线面角） 定义：平面的斜线与它在平面内的射影所形成的锐角；若直线与平面平行或垂直，取边界角度。 取值范围：（） 特殊情况：直线∥平面，；直线⊥平面， 核心本质：找线面垂线，构造“斜线-射影-垂线”直角三角形。 知识点03 . 二面角 定义：从一条棱出发的两个半平面所组成的空间图形，用其平面角度量大小。 取值范围：（） 特殊情况：两平面重合，两平面展平共面 核心本质：在棱上取点，作棱的垂线，用相交垂线夹角等效二面角。 题型一 线线角（异面直线所成角） 解｜题｜技｜巧 直接平移：利用几何体固有平行线，如棱柱、正方体的棱、对边平行关系，直接构造相交角。 中位线平移（最常用）：取线段中点，构造中位线，借助中位线平行且一半的性质，平移异面直线，快速构造夹角三角形。 补形平移：将不规则几何体补成正方体、长方体、直棱柱，补齐平行棱，简化夹角构造。 易｜错｜点｜拨 忽略定义，算出钝角未取补角； 平移构造夹角后，未证明角与异面直线角相等，步骤扣分； 混淆共面直线与异面直线的夹角规则。 【典例1】．（24-25高一下·上海嘉定·期末）两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有________条. 【典例3】．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【变式1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）（多选）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（    ） A．无数个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】．（22-23高一下·上海嘉定·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_________. 【变式4】．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【变式5】．（23-24高一下·上海·期末）已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，，，求异面直线与所成角的大小. 题型二 线面角（直线与平面所成角） 答｜题｜模｜板 无需找垂足位置，利用三棱锥体积相等求点到平面的距离 ： 再代入公式： 快速求解线面角。 【典例1】．（22-23高一下·上海嘉定·期末）下列命题正确的是（    ） A．若直线∥平面，直线∥平面，则∥ B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥ C．若直线平面，直线平面，则∥ D．直线与平面所成角的取值范围是 【典例2】．（25-26高二下·上海松江·期中）在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 【典例3】．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为__________． 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为______. 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【变式5】．（22-23高一下·上海奉贤·期末）如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 题型三 二面角 解｜题｜技｜巧 二面角的棱为 ，在棱上任取一点 ，分别在两个平面内作垂直于棱的射线 ，射线夹角 即为二面角的平面角。 取值范围：（） 易｜错｜点｜拨 强行将二面角取为锐角，忽略其钝角可能性； 平面角构造不规范，仅证明一条线垂直棱，另一条未垂直，步骤失分； 法向量方向判断错误，导致符号取舍错误。 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【典例2】．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为________. 【典例3】．（23-24高一下·上海浦东新·期末）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点.且， (1)求EF与AD所成的角； (2)求平面EFB与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【变式1】．（24-25高二上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 【变式2】．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为__． 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【变式4】．（23-24高一下·上海奉贤·期末）如图，在长方体中，，点E在棱上运动． (1)证明：； (2)当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)等于何值时，二面角的大小为？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 3．如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（        ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 5．二面角的取值范围是______（用区间表示） 6．已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为_________． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 7．如图，在正四面体中，是棱上的三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 9．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 _____米． 三、解答题 10．如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 11．如图，已知长方体中，，．    (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 12．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 13．已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有__________条. 二、解答题 14．如图，是棱长为1的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于． (1)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (2)当最小时，求异面直线与所成角的大小． 15．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．    (1)当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； (2)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 16．已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 线线角、线面角、二面角问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01线线角（异面直线所成角） 题型02 线面角（直线与平面所成角） 题型03 二面角 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 线线角（异面直线所成角） 1. 能准确复述定义、写出范围； 2. 会判断两直线是否异面 3. 掌握三种几何作法； 4. 能在棱锥、棱柱中找平面角 1.小题常考范围与概念辨析；解答题常作为第一步求角 2.高频：长方体、正方体、直三棱柱中异面直线角；难度中等 3.易错点常设置在符号、范围、作答表述 线面角（直线与平面所成角） 1.明确定义、三种特殊情况； 2.能在图中找出射影 3. 熟练找面的垂线； 4. 会用直角三角形边角关系计算 牢记：线面角与法向量夹角互余；用正弦 1.概念常考填空 / 选择；射影判断是关键 2.常考：棱锥高、底面垂线、侧面射影；中等偏难 3.高频失分：公式记错、射影定位错误 二面角（平面与平面所成角） 1. 会画二面角平面角； 2. 能识别棱、两个面、平面角 3. 掌握三种几何作法； 4. 能在棱锥、棱柱中找平面角 法向量方向可统一指向 / 背离二面角；结合图形判断 1.概念与作图常在小题考查；范围易混 2.传统几何法步骤多、难度大；期末偶考 3.压轴题主要失分点：符号与角度判断 知识点01.异面直线所成角（线线角） 定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，两条相交直线所形成的锐角或直角，即为异面直线所成角。 取值范围：（） 核心本质：空间异面问题平面化，通过平移将异面直线转化为共面直线求解。 知识点02 .直线与平面所成角（线面角） 定义：平面的斜线与它在平面内的射影所形成的锐角；若直线与平面平行或垂直，取边界角度。 取值范围：（） 特殊情况：直线∥平面，；直线⊥平面， 核心本质：找线面垂线，构造“斜线-射影-垂线”直角三角形。 知识点03 . 二面角 定义：从一条棱出发的两个半平面所组成的空间图形，用其平面角度量大小。 取值范围：（） 特殊情况：两平面重合，两平面展平共面 核心本质：在棱上取点，作棱的垂线，用相交垂线夹角等效二面角。 题型一 线线角（异面直线所成角） 解｜题｜技｜巧 直接平移：利用几何体固有平行线，如棱柱、正方体的棱、对边平行关系，直接构造相交角。 中位线平移（最常用）：取线段中点，构造中位线，借助中位线平行且一半的性质，平移异面直线，快速构造夹角三角形。 补形平移：将不规则几何体补成正方体、长方体、直棱柱，补齐平行棱，简化夹角构造。 易｜错｜点｜拨 忽略定义，算出钝角未取补角； 平移构造夹角后，未证明角与异面直线角相等，步骤扣分； 混淆共面直线与异面直线的夹角规则。 【典例1】．（24-25高一下·上海嘉定·期末）两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线的定义求解即可. 【详解】根据异面直线的定义，两条异面直线所成角的范围是. 故选：B. 【典例2】．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有________条. 【答案】 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】在空间取一点，经过点分别作，，分析直线满足它的射影在、所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过点分别作，，设直线、确定平面，        当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与、所成角为， 因为直线、所成角为，得、所成锐角为， ①当直线的射影在、所成锐角的平分线上时， 则与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有条直线与、所成角都是； ②当直线的射影在、所成钝角的平分线上时， 与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有且仅有条直线（即时）与、所成角都是. 综上所述，过点且与、所成角都是的直线有条. 故答案为：. 【典例3】．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1.若分别是的中点，求异面直线与所成角的大小.    【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】作出两异面直线所成的角为，再由正方体性质计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线与所成角为（或其补角）. 由于，于是， 所以异面直线与所成角的大小为. 【变式1】．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，. ∵点为的中点，点为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角即为异面直线与所成角. 在中，，，， 由余弦定理可知：， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）（多选）在空间，已知直线及不在上两个不重合的点A、B，过直线作平面，使得点A、B到平面的距离之比为1:2，则这样的平面不可能有（    ） A．无数个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】BD 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、平面的基本性质及辨析 【分析】列举出线段与的位置关系，分析每种情况下平面的个数，得到答案. 【详解】线段与的位置关系有以下四种， 如图，当线段与异面时，有两种情况， 其中为线段与平面的交点，， 在线段的延长线上，且，    当线段与平行时，此时A、B到平面的距离之比为，故这样的平面为0个， 当线段与相交，交点为，且时，此时过直线作平面，可作无数多个平面，使得A、B到平面的距离之比为1:2， 当线段与相交，交点为，且时，此时可作0个平面，使得A、B到平面的距离之比为1:2， 故选：BD 【变式3】．（22-23高一下·上海嘉定·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_________. 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形、反三角函数 【分析】取的中点，连接、、，分析可知直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，结合余弦定理可求得结果. 【详解】取的中点，连接、、，如下图所示： 因为，，所以，四边形为平行四边形，故， 因为、分别为、的中点，所以，，所以，， 所以，直线与所成角为或其补角， 在中，由勾股定理可得，，， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 【变式4】．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值. 【详解】取的中点，连接. 因为分别为的中点， 所以. 又， 所以. 所以直线与所成角为. 在直角三角形中，因为， 所以. 故答案为：. 【变式5】．（23-24高一下·上海·期末）已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、空间位置关系的画法 【分析】（1）根据点，线，面的位置关系，画出线面的公共点； （2）根据几何关系，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角. 【详解】（1）如图，，点是直线与平面的交点， 理由：平面，， 平面，， 所以点是直线与平面的交点； （2）连结， 因为分别是和的中点，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以 所以异面直线与所成角为和所成的角，即或其补角， 若，，，则，,， 中，, 则, 所以异面直线与所成角为. 题型二 线面角（直线与平面所成角） 答｜题｜模｜板 无需找垂足位置，利用三棱锥体积相等求点到平面的距离 ： 再代入公式： 快速求解线面角。 【典例1】．（22-23高一下·上海嘉定·期末）下列命题正确的是（    ） A．若直线∥平面，直线∥平面，则∥ B．若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥ C．若直线平面，直线平面，则∥ D．直线与平面所成角的取值范围是 【答案】C 【知识点】线面角的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合平面的基本性质、线面垂直的性质判断A、B、C；由线面角的定义判断角的范围判断D. 【详解】A：两直线同时平行于同一平面时，两直线可能平行、异面或相交，错； B：直线上有两点到一个平面的距离相等，直线可能与平面平行、相交或直线在平面内，错； C：两直线同时垂直于同一平面，根据线面垂直的性质知：两直线平行，对； D：直线与平面所成角的范围为，错. 故选：C 【典例2】．（25-26高二下·上海松江·期中）在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】由线面角的定义确定直线与平面所成角为，进而可求解. 【详解】 在长方体中，平面， 则在平面内的射影为，故直线与平面所成角为， ，​， 又平面，平面，所以​， 在中： 故直线​与平面​所成角为. 【典例3】．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAB； (2)若，，，求直线BE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明线面平行 【分析】（1）根据中位线得出，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）根据平面，得出就是直线与平面所成角，解三角形即可． 【详解】（1）因为E、F分别是为的中点， 所以，又因为， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）连接， 因为ABCD为菱形，，， 所以三角形为等边三角形， 故， 又，所以， 因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角三角形中， ， 所以， 即直线与平面所成角的大小为． 【变式1】．（23-24高一下·上海·期末）如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为__________． 【答案】arccos 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角、由线面角的大小求值 【分析】根据与平面所成角为计算出，然后把平移至，则为异面直线与所成的角，最后用余弦定理计算即可. 【详解】如图，连接， 因为平面，所以为与平面所成的角，即， 所以，因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，为异面直线与所成的角， 因为，， 所以，所以. 故答案为： 【变式2】．（23-24高一下·上海·期末）点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为______. 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】首先确定点在平面上的射影为三角形的内心，再根据几何关系，转化为求线面角的余弦值，即可求解. 【详解】由题意可知，， 如图，平面，，，，连结，， 平面，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以，同理， 由题意可知，点到三边的距离相等，则点到三边的距离相等， 点是的内心，即， 根据三角形面积公式可知，，得， 如图，，且， 为直线与平面的线面角，，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）如图．在正方体中，是的中点． (1)求证：直线与是异面直线. (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、异面直线的判定 【分析】（1）利用反证法可证明. （2）取的中点，连接，；先根据正方体的性质及线面所成角的定义确定直线与平面所成角；再结合直角三角形中正切的定义即可求解. 【详解】（1）证明：假设直线与不是异面直线， 则直线与可以确定一个平面，记为平面， 所以点，点，点在平面上. 又根据题意可知：点，点，点在平面上 所以点，点，点三点共线，这与点是的中点相矛盾， 故假设不成立， 所以直线与是异面直线. （2） 取的中点，连接，. 因为是的中点， 所以，且. 由正方体的性质可知：平面， 所以平面， 则是直线与平面所成角. 设正方体的棱长为， 则，， 所以， 因为， 所以. 【变式4】．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0.8或1.8 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、由异面直线所成的角求其他量 【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，得，可得平面，从而可得，进而可证得结论. （2）过A作于H，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可； （3）为中点，由题意有或，中由余弦定理解出，中勾股定理求的长. 【详解】（1）是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3） 设为中点，连接，又为的中点，则有， 异面直线与所成角为，则有或， 若，则，，， 当时，中，由余弦定理， 得， 中，； 当时，中，由余弦定理， 得， 中，， 所以的长为0.8或1.8 【变式5】．（22-23高一下·上海奉贤·期末）如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小 (2)证明：平面； (3)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】（1）通过做平行线将异面直线的角转化成求，利用勾股定理和余弦定理即可求出异面直线PC与AD所成角的大小； （2）通过证明，即可证明结论； （3）通过找出二面角，求出其正弦值，进而求出与平面所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意， 在四棱锥中，，， 面，面， ∴， ∵，，， 作且，则即为异面直线PC与AD所成角 ，，      由几何知识得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 解得：， ∴， ， ∴直线PC与AD所成角的大小为. （2）由题意及（1）得， 在四棱锥中， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，平面， ∴平面. （3）由题意及（1）（2）得， 作，垂足为H，连接， 因为平面， 平面， ∴， ∵且平面， ∴平面， ∴为与平面所成的角， 在中，， ， ∴直线与平面所成角的余弦值为：.    题型三 二面角 解｜题｜技｜巧 二面角的棱为 ，在棱上任取一点 ，分别在两个平面内作垂直于棱的射线 ，射线夹角 即为二面角的平面角。 取值范围：（） 易｜错｜点｜拨 强行将二面角取为锐角，忽略其钝角可能性； 平面角构造不规范，仅证明一条线垂直棱，另一条未垂直，步骤失分； 法向量方向判断错误，导致符号取舍错误。 【典例1】．（24-25高一下·上海·期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是.则这个点到二面角的棱的距离为_________. 【答案】 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、求二面角 【分析】画出简图，结合二面角的定义及三角函数关系即可求解. 【详解】 如图所示：二面角为，点，点在平面内的射影点为，过点在平面内作，垂足为点，连接. 因为，，所以， 因为，，，平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以即为二面角的平面角，所以. 在中，. 所以这个点到二面角的棱的距离为. 故答案为：. 【典例2】．（23-24高一下·上海松江·期末）已知二面角的大小为60°，点P，Q分别在，上且，若点到的距离为，点到的距离为，则两点之间的距离为________. 【答案】 【知识点】二面角的概念及辨析、点面距离的概念及性质 【分析】作于，连接，则平面，所以即为二面角的平面角，作于，则在上，作于，则在上，在内求即可. 【详解】如图： 作于，连接，又因为，平面，， 所以平面. 所以即为二面角的平面角，故. 作于，则在上，作于，则在上. 在中，，，，所以； 在中，，，，所以. 由余弦定理：， 所以. 故答案为： 【典例3】．（23-24高一下·上海浦东新·期末）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点.且， (1)求EF与AD所成的角； (2)求平面EFB与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求二面角、求异面直线所成的角 【分析】（1）若为中点，连接，由矩形及中位线的性质，结合线线角的定义知EF与AD所成角为，由线面垂直的性质有，即可确定EF与AD所成的角； （2）由（1）及二面角的定义确定面与面的夹角大小，根据面面垂直的判定易证面面ABCD，进而可知面EFB与面ABCD所成锐二面角的大小. 【详解】（1）若为中点，连接， 由E，F分别是AB，PC的中点，故且，， 而在矩形ABCD中，则，故EF与AD所成角为， 因为平面ABCD，面ABCD，则，即， 所以，故△为等腰直角三角形，则. （2）由（1）易知：平面ABCD，面ABCD，则， 而，，则， 又，面，故面， 由面，则， 又面面，面，面， 故面与面所成锐角的平面角为， 由平面ABCD，面，则面面ABCD且交线为AB， 综上，面与面ABCD所成锐二面角为. 【变式1】．（24-25高二上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、求线面角、证明线面垂直 【分析】连接,交点为,证明平面，由线面垂直的性质即可判断A，证明平面，即得与平面所成角即，即可判断B，通过边长计算可判断C，取的中点，连接，证明为二面角的平面角，计算即可判断D. 【详解】 如图，在左图中，连接,交点为,则易得. 对于A，翻折后图中，, 因平面，故得平面， 又平面,故得，即A正确； 对于B，因二面角是直二面角，平面平面, , 则平面,则与平面所成角即, 因,则，故B错误； 对于C，设正方形的边长为2，则,则, 即为等边三角形，故C正确； 对于D，如图，取的中点，连接，由B项，已得平面， 因平面，则，又，,则， 因平面，故平面, 因平面,则,即为二面角的平面角. 设正方形的边长为2，则, ， 故二面角的平面角的正切值是，即D正确. 故选：B. 【变式2】．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为__． 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】设平面交直线于点，连接，，可证得即二面角的平面角，在由余弦定理求出，即可求出二面角的大小． 【详解】解：设平面交直线于点，连接，，由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 由于，，，，故，， 故在四边形中，与互补， 又，， 在中由余弦定理， 即，解得， 又，所以， 故，则二面角的大小为． 故答案为：． 【变式3】．（24-25高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，. 将△ACD沿对角线AC折起，使二面角的大小为，则B、D两点的距离为________ 【答案】2 【知识点】求二面角、由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直 【分析】过点做至点，使得，将二面角转化为平面角，再证明，通过余弦定理和勾股定理，得到的长度. 【详解】过点做至点，使得，连接，. 平行四边形中，，可得 由，，可得为平行四边形， ，可得为正方形. ， 所以是二面角的平面角，即 所以在中，由余弦定理可得 由 平面， 可得平面，所以平面 而平面，所以 在中，有勾股定理可得 故答案为：2 【变式4】．（23-24高一下·上海奉贤·期末）如图，在长方体中，，点E在棱上运动． (1)证明：； (2)当E与A重合时，求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）； (3)等于何值时，二面角的大小为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】（1）证明平面可得； （2）平面即为平面，在平面内过作于，得就是直线与平面所成角，在直角三角形中求解即得； （3）二面角是，则二面角是，作，垂足为，连接，得是二面角的平面角，即，然后求出，，得，从而得． 【详解】（1）连接，， 在正方形中，， 又长方体中平面，平面，所以， ，平面， 所以平面，而平面，所以； （2）如图，平面即为平面，在平面内过作于， 由平面，平面得， ，平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 在直角中， ． 所以直线与平面所成角的大小为； （3）如图二面角是，则二面角是， 作，垂足为，连接， 平面，平面，则， ，平面，所以平面， 而平面，所以， 所以是二面角的平面角，即， 在直角中，，， ，， 所以， 所以． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中线面角的定义即可求解. 【详解】空间内，直线与平面平行或者直线在平面内，此时直线与平面所成角为0， 当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为，故直线与平面所成角的取值范围是, 故选：D 2．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据线面角的定义可得直线与直线所成角大小关系，再根据判断即可. 【详解】直线与平面所成角大小分别为， 等价于直线与直线成角大小分别为， 由，可知P在线段上，又，则与所成角更小， 则点P在线段上. 故选：B. 3．如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（        ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，将平移到即可知异面直线DN和CM所成的角的平面角即为，再利用余弦定理即可解得. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：   M是的中点，的中点为，所以，且； 由N分别是AC的中点，所以，由正方体性质可得， 所以可得，即四边形是平行四边形， 则异面直线DN和CM所成的角的平面角即为， 易知， 所以. 故选：D 二、填空题 4．正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 5．二面角的取值范围是______（用区间表示） 【答案】 【分析】根据二面角的定义，即可求解. 【详解】二面角的取值范围是. 故答案为： 6．已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】/ 【分析】利用异面直线夹角的定义求出余弦值. 【详解】正方体中，，则是异面直线与所成角或其补角， 在中，，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 7．如图，在正四面体中，是棱上的三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点G，然后证明平面CDG，然后根据二面角平面角的定义找到，最后结合余弦定理得到答案. 【详解】如图1， 在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG,DG，则，而，所以平面CDG，连接EG,FG，因为平面，平面，所以.由二面角的平面角的定义可以判断，由对称性容易判断. 设该正四面体的棱长为6，如图2， CD=6，易得，取CD的中点H，则，CE=2，EH=HF=1，在中，由勾股定理可得，于是. 于是，在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，而，即，于是. 故选：D. 二、填空题 8．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 9．一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 _____米． 【答案】 【分析】作出示意图，作出坡角，即二面角的平面角，结合直道的长，求解三角形，即可求得答案. 【详解】如图，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡脚水平线， 由题意知CD＝100米，作DH⊥过BC的水平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度， 在平面DBC内，过点D作，连接GH， ∵平面BCH，平面BCH， ∴，又，平面DGH， ∴平面DGH，又平面DGH， ∴， ∴为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则， 依题意，,则, 故（米）， 故答案为： 三、解答题 10．如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 11．如图，已知长方体中，，．    (1)求证：与是异面直线； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合异面直线的判定定理分析证明； （2）连接，分析可知为异面直线与所成的角（或其补角），结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）因为平面，平面，直线，平面， 由异面直线的判定定理可得与是异面直线． （2）如图，连接，    因为，，可知四边形为平行四边形， 则，即为异面直线与所成的角（或其补角）， 连接，由已知可得，， 则． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、填空题 12．如图，在直角三角形中，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是___________． 【答案】9 【分析】作辅助线，判断当四点共面时，点到的距离最大，算出，进而得到答案. 【详解】如图， 过作，交于，过作，交于， 因为在中，，则， 当四点共面时，点到的距离最大. 因为，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即到的最大距离为. 故答案为： 13．已知平面与所成的二面角为为外一定点，过点的一条直线与､所成的角都是，则这样的直线有且仅有__________条. 【答案】2 【分析】过点作平面垂直于平面的交线，并且交直线于点,连接,则，过点在平面内作的平分线，以为轴在的角平分面内转动，根据题意可得出有两条直线满足题意；以为轴在平面内前后转动，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果. 【详解】解：首先给出下面两个结论： ①两条平行线与同一个平面所成的角相等； ②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面. （1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，        与两半平面交于， 因为平面，平面，所以， 则为二面角的平面角，则， 设为的平分线，则， 与平面所成的角都是，此时过点且与平行的直线符合要求， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时，与两平面的夹角会变小， 会对称地出现两条符合成的情形； （2）如图2，设为的补角的平分线，            则，与平面所成的角都是， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时， 与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条， 此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条. 综上所述，符合条件的直线有2条. 故答案为：2. 二、解答题 14．如图，是棱长为1的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于． (1)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域； (2)当最小时，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)，；值域为 (2) 【分析】（1）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域； （2）由（1）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案． 【详解】（1）正方体的棱长为1，， 设，因为平面，故，则，故，得，故，同理得， ，. 故当时，有最小值为，当时，， 函数的值域为； （2）当时，最小，此时， 在底面中，，，， 又，为异面直线与所成角的角， 在中，为直角，， ， ∴异面直线与所成角的大小为． 15．如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．    (1)当点M与点重合时， ①证明：平面； ②求二面角的余弦值； (2)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可； （2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值. 【详解】（1）①    当点M与端点D重合时，由可知， 由题意知平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以 因为，平面，平面， 所以平面； ②    过E作EO⊥BD于点O，连接. 因为平面，平面，所以， 因为EO⊥BD， ，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线. 因为所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以在中，， 即二面角的余弦值为. （2）    过点做交于，所以直线与平面所成的角, 即为直线与平面所成的角， 过E作EO⊥BM于点O，连接. 由②同理可得平面，平面， 所以平面平面， 作，垂足为，平面平面，平面， 所以平面， 连接，是直线与平面所成的角，即， 因为，满足， 设，所以， 所以， 所以，， 因为在中，斜边大于直角边，即， 所以，所以， ， 在中由等面积，， 因为，，所以是二面角平面角， 即，， ，当且仅当时“＝”成立， 故的最大值. 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查线面角和二面角的求法，解题的关键是通过几何方法找出线面角和二面角，然后在三角形中求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 16．已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2) 求出二面角的正切值的表达式，再求解其取值范围. 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $