陕西省镇安中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 高一月考试卷聚焦向量、三角函数、解三角形核心知识，通过小高层观测、船的营救等生活情境题与向量几何综合题，考查数学眼光、思维与语言，构建基础巩固到能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量概念、三角函数公式、解三角形基础|第1题辨析向量定义，夯实基础认知| |多选题|3|向量运算、三角形边长范围|第9题结合余弦定理考查边长可能值，体现思维严谨性| |填空题|3|向量新定义运算、三角恒等变换|第13题定义向量新运算，培养创新意识| |解答题|5|向量综合应用、解三角形实际问题|第19题结合几何图形考查向量表示与夹角，第7题船的营救问题，体现数学应用与逻辑推理|

高一月考试卷及解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2．若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．（    ） A． B． C． D．1 4．已知，则（    ） A．3 B．1 C． D． 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 6．某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 8．设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，已知，，，则边的长可能为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 10．如图，是正六边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 11．已知平面向量，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则向量与的夹角为锐角 B．若，则 C．方向上的单位向量为 D．若，则向量在上的投影为 三、填空题 12．已知，，，，则______. 13．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则__________. 14．求值：已知为锐角，且, ，则的值为________，的值为________. 四、解答题 15．已知向量 . (1)求和； (2)当为何值时，与平行？ 16．已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 17．已知，计算 (1)； (2)； (3) 18．在锐角中，内角所对的边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，求的面积. 19．如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，． (1)请用，来表示，； (2)若，求的值； (3)当时，求与夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一月考试卷及解析》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D D B B B AC BD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】由与向量的相关的定义逐个判断各个选项即可得结果. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 零向量的模是0， B不正确． 因为单位向量的方向不确定， C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2．C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 3．A 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 4．D 【分析】使用正切的和差公式即可求解. 【详解】由题意得， 则． 5．D 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以，即或，经检验均符合题意， 所以或. 故选：D 6．B 【分析】依题意作图,先求出，再求出，即得这栋小高层的高度. 【详解】依题意作图所示：，仰角，俯角， 在等腰直角中，， 在直角中，， ， 小高层的高度为． 故选：B．    【点睛】本题主要考查解三角形的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．B 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 8．B 【分析】利用余弦定理列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是钝角三角形的三边长， 所以，且，所以. 设最长边对的角为， 则， 解得. 故选：B 9．AC 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理，即， 即，解得或. 故选：AC 10．BD 【分析】根据向量的加减法及数量积的运算法则进行逐项判断. 【详解】解：由题意得： 结合正六边形的性质可知，对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 故选：BD. 11．BC 【分析】求出判断A，根据向量模的坐标表示得到方程，求出t的值，即可判断B，由方向上的单位向量为判断C，根据数量积的几何意义求出投影，即可判断D. 【详解】对于A：当时，因为，所以与不共线， 又因为，所以向量与的夹角为锐角，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以方向上的单位向量为， 即方向上的单位向量为，显然向量不是方向上的单位向量，故C错误； 对于D：当时，所以，， 所以向量在上的投影为，故D正确. 12． 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，而，且， 因此，解得，即，所以. 故答案为： 13．8 【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可. 【详解】由得，又， 所以，所以. 故答案为：. 14． 【分析】求出余弦值后用两角正弦的和差公式求解即可. 【详解】因为都是锐角，且,， 所以,，， 所以， ， 故答案为：， 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合模长公式即可求解， （2）根据平行满足的坐标关系即可求解. 【详解】（1）由得，所以， （2）， 由与平行，可得 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. 【详解】（1） ； （2）， ； （3）因为，所以 所以，解得． 17．(1)2 (2)1 (3)-13 【分析】（1）利用同角三角函数商的关系即可求解； （2）利用同角三角函数的平方关系和商的关系将弦化为正切即可求解； （3）利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解. 【详解】（1）由题意有，所以，解得； （2） （3） 18．(1)， (2) 【分析】（1）根据正弦定理统一角的形式，化简得，从而可求出的大小； （2）由余弦定理得到，又因为，可解出未知量，进而求得面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以，即 因为 所以； （2）因为，， 所以由余弦定理得，， 所以， 因为， 所以，得， 所以. 19．(1)， (2) (3) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法法则可得； （2）由数量积的运算律结合向量垂直的条件可得； （3）由数量积的运算律结合向量的模长和夹角的计算可得. 【详解】（1）由题意知点D是的中点，故， 则；． （2）由题意，， 当时， ，∴，． （3）时， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $