精品解析：陕西渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

象山中学2025-2026学年度第三次月考试题 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. ，在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数解析式，再求出指定区间上的最小值. 【详解】由函数在上单调递增，得，则， 由为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心， 得，解得，因此， 而，，则， 因此，当时，， 所以． 2. 函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 3. 在中，点分别为边的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ，故， ， 点分别为边的中点， ， ，故B正确． 4. 设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，又， 所以，又，，三点共线， 所以， 解得，故选A． 5. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 6. 在中，，，的对边分别为，，，若，是方程的两个实数根，且的面积为，则的大小是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得， 则，解得或． 7. 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，结合余弦定理得到，再由，边化角得到，即可求解. 【详解】由，得：  ，  展开整理得： ，  由余弦定理​，代入得， 因为，所以， 又， 将边化为角：  ， 又，所以 ， 代入展开得：  ，  整理得： ，又， 所以，即 所以， 因此是等边三角形. 8. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 （e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，由，，所以,得出,选项C正确； 对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象与的图象重合 D. 若的图象关于y轴对称，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由关于直线对称得计算即可；对于B，根据余弦函数单调性判断即可；对于C，根据平移变换得出解析式与解析式比较即可；对于D，由图象关于y轴对称得计算即可. 【详解】对于A，函数与函数的图象关于直线对称， 则，所以， 所以，又因为，所以，A正确； 对于B，由A可知，当时，， 故在上单调递减，B错误； 对于C ，， 与的图象不重合，C错误； 对于D，， 若的图象关于y轴对称，则满足, 所以，由可知，的最小值为，故D正确. 10. 在中，内角所对的边分别为，则（    ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，以及正弦函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，由正弦定理得，所以，所以A正确； 对于B，若，可得， 由正弦定理得，即， 因为为三角形的内角，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确； 对于C，若，，由正弦定理，可得， 当时，此时有两解，可得有两解； 当时，此时只有一解，可得只有一解，所以C错误； 对于D，若为锐角三角形，可得，则， 因为，可得， 又因为在上为单调递增函数，所以，所以D错误. 11. 下列叙述错误的是（ ） A. 已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 如果直线，则平行于经过的任何平面 D. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：根据平面的基本事实，若一条直线上的两个不同点都在某平面内，则直线上所有点都在该平面内，故选项A的表述正确，故不选择选项A. 选项B：三条直线两两相交时，不一定确定一个平面，例如三条直线两两相交且交于同一点时，三条直线可能不共面（比如空间直角坐标系中交于原点的轴），此时可确定3个平面，无法确定一个平面，表述错误，故选择选项B. 选项C：因为直线，所以存在某平面同时经过直线和，则在该平面内，并非平行于该平面，表述错误，故选择选项C. 选项D：若两个平面的三个公共点共线，则两个平面可能相交，交线就是三个点所在的直线，不一定重合，表述错误，故选择选项D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以， 因为函数在区间上有零点，所以，则，所以的最小值为． 13. 下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 【答案】③④⑤ 【解析】 【详解】①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，错误；②它们的底面为圆面错误；③④⑤正确． 14. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直观图为梯形的面积为，利用斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍即可求解. 【详解】因为直观图为梯形且，，，， 所以， 所以直观图为梯形的面积为； 又因为斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍 因此原四边形的面积为. 四、解答题（共77分） 15. 设函数． （1）求； （2）求的最大值和最小正周期． 【答案】（1）2 （2）最大值为， 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式进行化简求值即可； （2）根据正弦型函数的性质求解． 【小问1详解】 函数， . 【小问2详解】 由， 当， 即时，取得最大值为， 最小正周期为． 16. 已知向量 （1）若，求的值及的模； （2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 【答案】（1）， （2）不存在 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【小问1详解】 由， 则，得. 即，所以， 所以； 【小问2详解】 在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得， 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直. 17. 已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设，代入方程并整理，根据复数相等的条件列方程组求解； （2）将第（1）问求出的复数根代入方程，利用复数相等的条件求解. 【小问1详解】 已知， ，化简可得， 所以，解得，因此，复数； 【小问2详解】 把代入方程中，得到， 整理得， 所以，解得， 所以． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）通过平移得到或其补角就是异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求出其余弦值. 【小问1详解】 若分别为，的中点，，， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，不在平面内，平面； 【小问2详解】 取中点，连接AE，AF，BG，FG，， 四边形为正方形，且， 四边形是平行四边形， 又且，四边形是平行四边形， ，，或其补角就是异面直线与所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 19. 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若为锐角三角形，且，求面积的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求出的值以及的值，结合余弦定理可得出关于的等式，解之即可； （3）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【小问1详解】 由，可得， 由于，故， 【小问2详解】 由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得 【小问3详解】 在中， 由正弦定理得， 于是得， 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，则， 从而得， 所以面积的取值范围是 20. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调增区间列不等式求解； （2）先确定相位的取值范围，结合正弦函数的取值求值域； （3）化简方程得，根据正弦函数性质列不等式求解.. 【小问1详解】 由辅助角公式得， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数性质得， 因此， 即函数的值域为； 【小问3详解】 由题意可得，即， 因为，则， 要使方程有3个不同的实数根， 由正弦函数性质可知，，解得， 所以实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2025-2026学年度第三次月考试题 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. ，在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 2. 函数图象的对称中心是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点分别为边的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 36 D. 72 6. 在中，，，的对边分别为，，，若，是方程的两个实数根，且的面积为，则的大小是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在中，角所对边分别为，已知向量， 且，同时满足，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 （e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象与的图象重合 D. 若的图象关于y轴对称，则的最小值为 10. 在中，内角所对的边分别为，则（    ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 11. 下列叙述错误的是（ ） A. 已知直线和平面，若有两个不同点，满足点，点且，则 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 如果直线，则平行于经过的任何平面 D. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________． 13. 下列命题正确的是_________．（填序号） ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球面； ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面． 14. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________． 四、解答题（共77分） 15. 设函数． （1）求； （2）求的最大值和最小正周期． 16. 已知向量 （1）若，求的值及的模； （2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 17. 已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求的值． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 19. 在中，角的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若为锐角三角形，且，求面积的范围． 20. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $