精品解析：2026年江苏沭阳县怀文中学中考模拟数学试卷（2）

26届中考数学模拟试卷（2） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 4. 将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点、分别落在直线、上，若，，则的度数为（　　） A. 27° B. 53° C. 60° D. 63° 5. 若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为10，方差为6 B. 平均数为12，方差为6 C. 平均数为12，方差为8 D. 平均数为13，方差为9 6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，四边形是菱形，，动点E从点A出发以的速度沿着边运动，到达点D停止运动，另一动点F同时从点A出发，以的速度沿着边向点D运动，到达点D停止运动，设点E运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象大致如图②所示，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 若有意义，则x的取值范围是__________． 10. 根据央视新闻发布的数据显示，截至2月18日8时，总台2026年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为__________． 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 已知实数满足，，则的值为______ 13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________． 14. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 15. 如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 16. 在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 17. 如图，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴，垂足为点．若，且的面积为，则的值为______． 18. 如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 三、解答题（共10小题，96分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 21. 学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：． 求作：边上的中线． 作法： ①分别以点B为圆心，长为半径；点C为圆心，长为半径在的下方作弧，两弧相交于P点． ②作射线，与交于D点，所以线段就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题． （1）尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹） （2）求证：是的中线． 22. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 23. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 24. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 25. 如图，中，，点在线段上，连接，，过点作交的延长线于点，以为圆心，为半径作． （1）求证：为的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 26. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销．根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进这粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大?最大利润是多少? 27. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． （1）①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________； ②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________． （2）反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值； （3）已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围． 28. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． （1）【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．求： ①四边形_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为_____．的度数为_____． （2）【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，若，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26届中考数学模拟试卷（2） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式的应用，掌握同底数幂的除法法则，合并同类项法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A.，则A不符合题意； B.，则B不符合题意； C.，则C符合题意； D.，不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：C． 3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到图形为圆，与主视图与俯视图不同． 4. 将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点、分别落在直线、上，若，，则的度数为（　　） A. 27° B. 53° C. 60° D. 63° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为10，方差为6 B. 平均数为12，方差为6 C. 平均数为12，方差为8 D. 平均数为13，方差为9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 7. 2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 8. 如图①，四边形是菱形，，动点E从点A出发以的速度沿着边运动，到达点D停止运动，另一动点F同时从点A出发，以的速度沿着边向点D运动，到达点D停止运动，设点E运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象大致如图②所示，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键． 易得点E运动的路程为，点F运动的路程为．当点E在线段上，点F在线段上时，过点F作于点P，求得的长度，然后根据面积公式可得与关系式；当点E在线段上，点F在线段上时，过点B作于点Q，则为中边上的高，求得的长度，根据面积公式可得与之间的关系式；当点E在线段上，点F在线段上时，过点E作于点，利用三角形的面积公式可得与的关系式，然后根据各个函数解析式结合函数图象判断可得各个自变量的范围，进而求解即可． 【详解】解：点E的速度是，点F的速度为，运动时间为， 点E运动的路程为，点F运动的路程为． 当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点F作于点P， ． ， ． ． ． ． ， ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ∴当时，点E在点B上， ∴， 当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点B作于点Q，则为中边上高． ． ， ． ， ． ． ， 此段函数图象为随的增大而增大的正比例函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ③当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点E作于点， ． 四边形是菱形， ． ， ． ． 由题意得：． ． ． ， ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ∴当时， ， ∴a的值为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 若有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 10. 根据央视新闻发布的数据显示，截至2月18日8时，总台2026年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将亿转化为数字形式，再根据科学记数法的定义，将其表示为符合要求的（，为整数）的形式即可． 【详解】解：亿． 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 已知实数满足，，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数， 满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为： 13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，确定弧所对的圆心O，可知AC为直径，连接OB、OD，利用勾股定理求得，，则，根据圆周角定理可得，从而求得，即可求解． 【详解】解：连接AC，确定弧所对的圆心O，连接OB、OD，如下图： 由勾股定理可得：，， ∴ ∴为直角三角形， ∴AC为直径，，， ∴ ∵ ∴， ∴， 所以的长为 故答案为： 【点睛】此题考查了弧长的计算，涉及了勾股定理，圆周角定理等性质，解题的关键是确定圆心的位置，正确求得半径以及圆心角，熟记弧长公式． 14. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算，设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可，两者之间的两个对应关系：（）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，熟练掌握两个关系是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为， 根据题意得， 解得， ∴． 故答案为：6 15. 如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连接，，利用同弧所对的圆周角相等，，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出． 【详解】解：连接． ，若， ． ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 16. 在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移的性质得到的对称轴，根据两个抛物线关于直线对称可知，是两条对称轴的中点，由此计算可得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得， ∴的对称轴为直线， 与关于直线对称， ， 解得． 17. 如图，是反比例函数在第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，轴，垂足为点．若，且的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由轴，轴可得，进而证得，利用相似三角形的性质结合求出与的数量关系；设点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出和的长，进而表示出的长，最后根据的面积建立关于的方程求解即可． 【详解】解：轴，轴， ，即， ， ， ， ， ，即， 设点的坐标为，则，， 点在反比例函数图象上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为，即， ， ， ， ， ，解得． 18. 如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 【详解】解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 三、解答题（共10小题，96分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算特殊角三角函数、二次根式化简、负指数幂的计算，再去绝对值，最后合并同类二次根式与常数项，即可解答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 21. 学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程． 已知：． 求作：边上的中线． 作法： ①分别以点B为圆心，长为半径；点C为圆心，长为半径在的下方作弧，两弧相交于P点． ②作射线，与交于D点，所以线段就是所求作的中线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题． （1）尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹） （2）求证：是的中线． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图（作一条线段等于已知线段）和平行四边形的判定与性质， （1）利用几何语言画出对应的几何图形； （2）利用作法得到，，先证明，再证明，问题得证． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：连接，． ∵，，， ． ∴． 又∵．， ∴， ∴， 是边上的中线． 22. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）60 （2）85，36 （3）900 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． 【小问2详解】 解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． 【小问3详解】 解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 23. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 24. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 如图，中，，点在线段上，连接，，过点作交的延长线于点，以为圆心，为半径作． （1）求证：为的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，由可得，再根据等边对等角可得，从而得出，接着利用平行线的性质得到，，然后证明，得出，再根据切线的判定即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理求出，然后分别求出四边形和扇形的面积，相减即可． 【小问1详解】 证明：过点作，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 和中， ， ∴， ∴， ∴为的半径， ∵， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，扇形的面积，等边对等角，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，内角和定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．掌握切线的判定和扇形的面积公式是解题的关键． 26. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销．根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进这粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）8元 （2）该商场节前购进300千克这种粽子获得利润最大，最大利润3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后这种粽子进价元，则节前该粽子的进价为元，根据题意，列出方程，解方程即可； （2）设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过3800元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后这种粽子进价为元，则节前该粽子的进价为元， 根据题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：节后每千克这种粽子的进价为8元． 【小问2详解】 设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克， 由（1）可知，节前该粽子的进价为（元） 根据题意得： 解得：； ∵， 随增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为元． 答：该商场节前购进300千克这种粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 27. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数“拉伸函数”． （1）①一次函数为“拉伸函数”，则k的值为________； ②若一次函数为“拉伸函数”，则c的值为________． （2）反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值； （3）已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求k的取值范围． 【答案】（1）①2；②3或 （2）2026 （3） 【解析】 【分析】（1）①因为要判断一次函数是“拉伸函数”，所以先根据一次函数的单调性，求出时的取值范围，再代入计算的值． ②因为一次函数的系数的正负会影响单调性，所以分和两种情况，分别求出时的取值范围，再代入求解的值． （2）因为且，先求出此时的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到等式，结合​，利用完全平方公式求的值． （3）先确定二次函数的对称轴为，因为对称轴位置会影响时函数的最值，所以分对称轴在的左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出每种情况下的取值范围，再根据“拉伸函数”的定义得到关于的表达式，最后求的取值范围． 【小问1详解】 根据定义：，其中是的最大值，是的最小值． ① ∵，随增大而增大， ∴ 当时，y取最小值；当时，y取最大值； ∴，，，  代入定义得：，解得． ② ∵，， ∴， 分两种情况： 当时，递增，，解得； 当时，递减，，得； 因此． 【小问2详解】 ∵反比例函数（，） ∴在时，反比例函数随x的增大而减小， ∴最大值，最小值， ∴， ∴， ∴． ∵函数是“拉伸函数”，即， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【小问3详解】 二次函数，开口向下，对称轴为， ， ∴​， 分情况讨论： 当时，对称轴在的左侧，在内函数y随x的增大而减小， ∴， ∴， 又∵， ∴； 当时，对称轴在内，最大值在顶点处，， 若，最小值在，得，范围为； 若，最小值在，得​，范围为； ∴时，； 当时，对称轴在右侧，在内函数y随x的增大而增大， ∴， ∴， 又∵，∴． 综上，合并所有情况得． 28. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． （1）【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．求： ①四边形_____（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为_____．的度数为_____． （2）【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线，过点作直线的垂线，垂足为点，连结，若，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）①是；②， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①点是的中点，可知，即可证明；②根据三角形的外角定理可求解； （2）由题可知，可得，根据勾股定理可得，进而可得面积； （3）分类讨论，①当,由平行线可知，根据锐角三角函数可知，，②当,设，则， 根据锐角三角函数即可求解 【小问1详解】 解：①∵,点是的中点， ∴, ∵,点是中点， ∴, ∴ ∴四边形是腰分双等四边形； ②由题可知，， ∴,, , , , ∴, 【小问2详解】 解：连接，过点作, 由题可知，, 设，, ∴， ∴,, ∴ ∵, ∴, , ∴, ∴ ∵, ∴, ∵， ∴, ∴ ∴, , ∴, 【小问3详解】 解：①当, 过点作, ∴， ∵ ∴, , ∵ ， ∴, ， ∴, 由（2）同理可得，, , ∴， ∴, , ∴, ②当, 过点作,, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵ ∴, ∴ ∴ ∴, ∴, ∵ ∴, 设，则， ∴， , ∴， 解得： ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $