精品解析：2026年江苏省南京市建邺区二模数学试题

2025—2026学年第二学期练习（二）九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题先根据绝对值、乘方、相反数的运算法则化简每个选项，再根据负数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：，A不是负数； 选项B：，B不是负数； 选项C：，C不是负数； 选项D：，D是负数．故选D． 2. 若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，正确理解算术平方根的概念解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3. 下列的调查中，选取的样本具有代表性的有 ( ) A. 为了解某地区居民的防火意识，对该地区的初中生进行调查 B. 为了解某校1200名学生的视力情况，随机抽取该校120名学生进行调查 C. 为了解某商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 为了解全校学生课外小组的活动情况，对该校的男生进行调查 【答案】B 【解析】 【详解】解：A，C，D中进行抽查，对抽取的对象划定了范围，因而不具有代表性．B中为了了解某校1200名学生的视力情况，随机抽取该校120名学生进行调查就具有代表性．故选B． 4. 如图，若，，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ，， ，即， ， 故选：A． 5. 函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象与x轴公共点的个数，等价于时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二次方程根的判别式即可判断公共点个数． 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 6. 如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（ ） A. 点P左边 B. 点P，A之间 C. 点A，B之间 D. 点B右边 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置关系得出 ，从而判断  的符号，再利用数轴上两点间的距离公式及图形的几何特征确定  的位置． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数分别为，且从左到右排列 ， 即对应的点在点的右边 又点到点的距离为，点到点的距离为 点到点的距离等于点到点的距离 由图可知，线段的长度明显小于线段的长度 点到点的距离小于点到点的距离 点位于点与点之间． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 7. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，然后计算乘法，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 8. 人体红细胞的截面可以近似地看成圆，小建的红细胞截面半径为，用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法可表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：． 9. 化简分式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，利用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解： 10. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 11. 已知，则n=_____ 【答案】5 【解析】 【分析】将原式变形为2n=32，从而可求出n的值. 【详解】∵， ∴， ∴n=5， 故答案为5. 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 12. 已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到方程两根之和与两根之积的表达式，再结合题干给出的等量关系列等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 两根之和为，两根之积为， 根据题意，两根之和等于两根之积，可得： ， ，等式两边同乘得： ， ∴ ． 13. 如图，，是的切线，A，B为切点，点C在上．若，则为________． 【答案】36 【解析】 【分析】连接，，由，是的切线，可得，由圆周角定理可得，则在四边形中利用四边形内角和为，即可求得． 【详解】解：如图，连接，， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，点是正六边形的中心，可通过旋转得到，则所有满足要求的旋转中心是________． 【答案】点、点、点 【解析】 【详解】解：点是正六边形的中心， 正六边形被对角线分割成六个全等的等边三角形， 可通过绕点顺时针旋转得到，可以通过绕点逆时针旋转得到，也可以通过绕点顺时针旋转得到， 可通过旋转得到，则所有满足要求的旋转中心是点、点、点， 故答案为：点、点、点． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点和点的坐标，利用点在反比例函数图象上满足解析式表示出坐标，再代入一次函数解析式建立关于和的方程组，消去求解的值，最后根据图象所在象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为，   点在反比例函数的图象上 ， ，  ，   点在一次函数的图象上，   ， 由得，即 ， 将代入得，  整理得 ， 解得 ，  反比例函数图象位于第一、三象限，    ． 16. 如图，在扇形中，点在上，点在上，，．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，连接，容易判断是扇形所在圆的直径，则，．使用含角的直角三角形的性质和勾股定理可计算出，，进而计算出，容易证明，则，计算得，最后作差求出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，作于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算和解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】（1）负整数指数幂计算法则：，乘法的分配律：，根据负整数指数幂和乘法分配律进行计算即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 因式分解得，， 或， ． 18. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合三角形的角平分线的性质和定义证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：平分，， ，，， ， ， 又∵， 垂直平分． 19. 已知，比较和的大小． 【答案】 【解析】 【分析】通过对两个式子作差、通分化简，结合已知的条件判断差的符号，即可推出两个式子的大小关系． 【详解】解：∵   ∵  ∴  ∴   即   ∴ 20. 某校九年级共5个班，计划开展足球对抗赛．先确定一个班级轮空，剩余班级再通过抽签确定对阵双方． （1）若安排五班轮空，求一班与二班对阵的概率； （2）若随机抽取一个班轮空，则一班与二班对阵的概率是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）列举出所有可能的情况和一班与二班对阵的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵安排五班轮空， ∴可能与一班对阵的有二班，三班，四班， ∴一班与二班对阵的概率为； 【小问2详解】 解：若安排一班轮空，可能与二班对阵的有三班，四班，五班，共3种情况； 若安排二班轮空，可能与一班对阵的有三班，四班，五班，共3种情况； 若安排三班轮空，可能与二班对阵的有一班，四班，五班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； 若安排四班轮空，可能与二班对阵的有一班，三班，五班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； 若安排五班轮空，可能与二班对阵的有一班，三班，四班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； ∴共有15种等可能的情况，其中一班与二班对阵的情况有3种， ∴一班与二班对阵的概率是． 21. 体育老师打算从甲、乙、丙三名同学中选择一名同学参加立定跳远比赛．对这三名同学最近6次立定跳远测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析． ①甲、乙两名同学6次测试成绩折线图： ②丙同学6次测试成绩：，，，，，； ③三名同学6次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 （1）填空：________，________，________； （2）你认为选派哪一名同学参加比赛更合适，并说明理由． 【答案】（1），， （2）选派甲同学参加比赛更合适，理由：由（1）可得，， ∴甲乙的平均成绩高， ∴在甲乙中选， 又∵， ∴甲的方差小，发挥更稳定， 故选派甲同学参加比赛更合适 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义进行求解即可； （2）先比较甲乙丙的平均数，选平均数较大的，当平均数相同时，再比较方差，选方差较小的． 【小问1详解】 解：甲同学的六次成绩分别为，，，，， 从小到大排列为：，，，，， 中位数， 【小问2详解】 略 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】（1） 顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ，  解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得  ， ∴该函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为  ， 将点代入上式，得． 23. 如图，在正方形中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则正方形与菱形的面积比为________． 【答案】（1）证明：连接交于点， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由四边形是正方形，可得，，再证明，可得，从而可证四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理可证得结论； （2）设正方形边长为，可得，，解直角三角形可得，可得，，再求得，最后求出正方形与菱形的面积比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设正方形边长为，则， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， ， ，， ，， ， 正方形与菱形的面积比为． 24. 如图，水平地面上两棵树和之间的距离为6米．当小邺站在地面上的点P处时，他隔着树只能看到树的顶端．若他沿射线方向后退至点Q处时，看树顶端的仰角为，且．求树比树高多少米．（参考数据：，，．） 【答案】树比树高米 【解析】 【分析】过点作，分别为小邺的头部位置，设直线分别交于点，设，根据得出，证明，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，分别为小邺的头部位置，设直线分别交于点 设米，依题意， ∵ ∴米 依题意，，米 ∵ ∴米 ∵， ∴， ∴ ∴ 解得：米 答：树比树高米． 25. 如图，在中，过，，三点的交于点． （1）求证； （2）若点为中点，，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 26. 快车从乙地出发沿直线匀速驶往甲地，到达甲地后立即原速返回乙地．慢车在快车出发后从甲地出发，匀速驶往乙地．慢车出发后，第一次与快车相遇． （1）在整个行程中，慢车、快车离甲地的距离分别为、（单位：），其中与时间（单位：）之间的函数图象如图所示．在图中画出与时间之间的函数图象； （2）若快车出发后回到乙地，则快车速度与慢车速度的关系为________； （3）若两车同时到达乙地，求慢车行驶完全程所用的时间． 【答案】（1）如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）找起点：在纵轴最高点，找交点：在横轴处向上作垂线，与图象相交，画去程：连接与交点，并向右下方延长，交横轴于点，画回程：以过点的竖直线为对称轴，作前一段线段的对称图形，直至高度回到，折线即为所求的函数图象； （2）根据题意可得全程距离，代入相遇时的等量关系中，再求解即可； （3）设甲、乙两地距离为，由第一次相遇条件可知：，若两车同时到达乙地：慢车到达乙地所用时间为，加上晚出发的，总时间为．快车到达乙地（往返）所用时间为．两者时间相同：，将式代入式：，再求解即可． 【小问1详解】 解：起点：快车从乙地出发，初始离甲地距离为全程； 经过点：慢车晚发，再经相遇，总时间，相遇时两车离甲地距离相等，故在横轴处向上作垂线，与图象相交； 下降至横轴：快车匀速驶向甲地，距离均匀减小；到达甲地时距离为，故连接与交点，并向右下方延长，交横轴于点； 关于竖直线对称：快车原速返回，速度大小不变且路程相同，故去程与回程所用时间相同，两段图象关于点所在的竖直线对称，故以过点的竖直线为对称轴，作前一段线段的对称图形，直至高度回到， 折线即为所求的函数图象． 【小问2详解】 解：若快车出发后回到乙地，则往返总时间为，单程时间．全程距离， 代入相遇时的等量关系中得：， ； 【小问3详解】 解：设甲、乙两地距离为． 由第一次相遇条件可知： ，即， 若两车同时到达乙地： 慢车到达乙地所用时间为，加上晚出发的，总时间为． 快车到达乙地（往返）所用时间为． 两者时间相同：， 将式代入式：， 整理得， 令，整理得：， ， ， 解得或（舍去）． 即． 将代入式得：， 慢车行驶完全程所用的时间为：． 27. 如图，纸板内有一破损点P，过点P的直线l将该纸板分成两个部分． （1）若其中一个部分与形状相同，当它面积最大时，用尺规作出直线l，并保留作图痕迹； （2）若其中一部分是四边形，当直线l满足什么条件时，它的面积最大？画出示意图，并说明理由． 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【解析】 【分析】（1）先作射线，再过点作直线，此时被直线l截得的部分与形状相同，且它面积最大； （2）连接并延长至点，使得，过点作交于点，再过点作直线交于点，此时可得四边形是平行四边形，即可得出，可得此时它的面积最大． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作直线分别交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 最小，即最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期练习（二）九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 下列的调查中，选取的样本具有代表性的有 ( ) A. 为了解某地区居民的防火意识，对该地区的初中生进行调查 B. 为了解某校1200名学生的视力情况，随机抽取该校120名学生进行调查 C. 为了解某商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 为了解全校学生课外小组的活动情况，对该校的男生进行调查 4. 如图，若，，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 6. 如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（ ） A. 点P左边 B. 点P，A之间 C. 点A，B之间 D. 点B右边 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 7. 计算的结果是________． 8. 人体红细胞的截面可以近似地看成圆，小建的红细胞截面半径为，用科学记数法表示是________． 9. 化简分式的结果是________． 10. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 11. 已知，则n=_____ 12. 已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 13. 如图，，是的切线，A，B为切点，点C在上．若，则为________． 14. 如图，点是正六边形的中心，可通过旋转得到，则所有满足要求的旋转中心是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 16. 如图，在扇形中，点在上，点在上，，．若，，则________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算和解方程 （1）； （2）． 18. 如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分线段． 19. 已知，比较和的大小． 20. 某校九年级共5个班，计划开展足球对抗赛．先确定一个班级轮空，剩余班级再通过抽签确定对阵双方． （1）若安排五班轮空，求一班与二班对阵的概率； （2）若随机抽取一个班轮空，则一班与二班对阵的概率是________． 21. 体育老师打算从甲、乙、丙三名同学中选择一名同学参加立定跳远比赛．对这三名同学最近6次立定跳远测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析． ①甲、乙两名同学6次测试成绩折线图： ②丙同学6次测试成绩：，，，，，； ③三名同学6次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 （1）填空：________，________，________； （2）你认为选派哪一名同学参加比赛更合适，并说明理由． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 23. 如图，在正方形中，点E，F在对角线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则正方形与菱形的面积比为________． 24. 如图，水平地面上两棵树和之间的距离为6米．当小邺站在地面上的点P处时，他隔着树只能看到树的顶端．若他沿射线方向后退至点Q处时，看树顶端的仰角为，且．求树比树高多少米．（参考数据：，，．） 25. 如图，在中，过，，三点的交于点． （1）求证； （2）若点为中点，，，求的半径． 26. 快车从乙地出发沿直线匀速驶往甲地，到达甲地后立即原速返回乙地．慢车在快车出发后从甲地出发，匀速驶往乙地．慢车出发后，第一次与快车相遇． （1）在整个行程中，慢车、快车离甲地的距离分别为、（单位：），其中与时间（单位：）之间的函数图象如图所示．在图中画出与时间之间的函数图象； （2）若快车出发后回到乙地，则快车速度与慢车速度的关系为________； （3）若两车同时到达乙地，求慢车行驶完全程所用的时间． 27. 如图，纸板内有一破损点P，过点P的直线l将该纸板分成两个部分． （1）若其中一个部分与形状相同，当它面积最大时，用尺规作出直线l，并保留作图痕迹； （2）若其中一部分是四边形，当直线l满足什么条件时，它的面积最大？画出示意图，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $