揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷一

**基本信息** 以“春江潮水”诗句、牛顿万有引力等文化科技情境为载体，融合整式运算、几何推理、统计概率知识，梯度设计考查数学抽象、空间观念与数据意识的七年级下期末模拟卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|科学记数法、平方差公式、平行线性质|第1题结合诗句考查科学记数法，体现文化传承| |填空题|6题|函数关系、完全平方公式、等腰三角形概率|第14题网格格点等腰三角形概率，考查空间观念| |解答题|7题|整式运算、全等三角形、动点函数图像|第23题延长中线构造全等，培养推理能力与创新意识|

揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷一 一．选择题（共10小题） 1．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000005米，数据0.0000000005米用科学记数法表示为（　　） A．5×10⁻11 B．5×10⁻10 C．5×10⁻9 D．0.5×10⁻9 2．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+2b）（a+2b） C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b） 4．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝120°，∠2＝30°，则∠BEC的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．110° 5．如图1，在面积为8m2的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积约为（　　） A．3.2m2 B．2.4m2 C．1.6m2 D．0.8m2 6．1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 9．如图1，在矩形ABCD中，AE＝1，动点P由点E出发，沿点E→B→C→D的方向运动，设点P的运动路程为x，△DEP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当y＝3时，x的值为（　　） A．2 B．8 C．2或6 D．2或8 10．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝3．若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 二．填空题（共6小题） 11．面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴两滴水，每滴水约0.05毫升，则浪费的水y（毫升）与时间x（秒）之间的关系式是 　 　 ． 12．若多项式4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是 　 　 ． 13．如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 　 　 ． 14．如图，点A、点B在由边长为1的小正方形组成的3×3网格的格点上，在网格格点上除点A、B外任取一点C，则使△ABC为等腰三角形的概率为 　 　 ． 15．如图，在锐角△ABC中，AC＝7，△ABC的面积为21，∠BAC的平分线交BC于点D．M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　 ． 16．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝40cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 　 　 cm． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）． （2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92； （3）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3）； （4）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3）； 18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1； （2）△AB1C的面积为 　 　 ； （3）在直线l上找点P使得PB+PC最小； （4）直线l上找一点Q使得|QB﹣QC|最大． 19．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1） （2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为　 　 ； （3）试估算盒子里红球的数量为　 　 个，黑球的数量为　 　 个． （4）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝ 　 　 ． （5）若先从袋子中取出y个红球，再放入y个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，则y的值为 　 　 ． 20．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CBF＝90°，CE⊥BD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，BD＝CF． （1）请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由； （2）连接AC，交BD于点P，若∠CPD＝115°，求∠CFB得度数． 21．如图1，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 　 　 、　 　 ； （2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝ 　 　 ； （3）求AB的长和梯形ABCD的面积． 22．将完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab． 【阅读材料】 已知（3﹣x）（x﹣1）＝﹣5，求（3﹣x）2+（x﹣1）2的值． 解：设3﹣x＝a，x﹣1＝b，则（3﹣x）（x﹣1）＝ab＝﹣5，a+b＝3﹣x+x﹣1＝2， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ∴（3﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝22﹣2×（﹣5）＝14． 【类比探究】请仿照材料中的方法，解决下列问题： （1）若x+y＝6，x2+y2＝30，求xy的值； （2）已知（4﹣x）（5﹣x）＝8，求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值； 【问题解决】 （3）如图，长方形APIE和长方形HQCF的长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6），将它们放置在边长为6的正方形ABCD中，若长方形的周长为16，面积为15.75，求图中阴影部分面积S1+S2+S3． 23．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝3，AD＝2，若AC边的长度为奇数，求AC的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE．由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC＝BE． （1）请根据小明的方法思考，直接写出AC可能的长＝　 　 （写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AC＝BF．探究∠AFE与∠EAF的关系，并说明理由． 【深入探究】 （3）如图③，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K，CQ＝3，CK＝2，则S△BCE＝　 　 ． 揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000005米，数据0.0000000005米用科学记数法表示为（　　） A．5×10⁻11 B．5×10⁻10 C．5×10⁻9 D．0.5×10⁻9 【分析】根据科学记数法的表示方法进行判断． 【解答】解：数据0.0000000005米用科学记数法表示为：5×10﹣10． 故选：B． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，掌握科学记数法的表示方法是关键． 2．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点P，现有如下四种方案，则核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短的是（　　） A． B． C． D． 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【解答】解：作点A关于直线m的对称点A'，连接A'B交直线m于P，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点P到A、B两个小区之间的距离之和最短． 故选：B． 【点评】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 3．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+2b）（a+2b） C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b） 【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2进行解答即可． 【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式，故选项A不符合题意； B、（﹣a+2b）（a+2b）＝（2b﹣a）（2b+a）＝（2b）2﹣a2，能用平方差公式，故选项B不符合题意； C、（a﹣b）（﹣a+b），可变形为（a﹣b）[﹣（a﹣b）]＝﹣（a﹣b）2，属于完全平方的相反数，不能用平方差公式，故选项C符合题意； D、（﹣2a+b）（﹣2a﹣b）＝（﹣2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，能用平方差公式，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 4．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝120°，∠2＝30°，则∠BEC的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．110° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FEC的度数，即可求出∠BEC的度数． 【解答】解：根据题意得AB∥EF∥CD，如图， ∵AB∥EF， ∴∠1+∠BEF＝180°， ∵∠1＝120°， ∴∠BEF＝60°， ∵EF∥CD， ∴∠FEC＝∠2＝30°， ∴∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝60°+30°＝90°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 5．如图1，在面积为8m2的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在长方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积约为（　　） A．3.2m2 B．2.4m2 C．1.6m2 D．0.8m2 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.3，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【解答】解：由折线统计图知，概率为0.3． 设不规则图案的面积为xcm2，则有0.3， 解得：x＝2.4， 即不规则图案的面积为2.4m2． 故选：B． 【点评】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 6．1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 【分析】根据自由落体运动的公式直接判断函数关系式，再判断函数图象． 【解答】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动， 即v＝gt，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 【点评】本题把物理中的自由落体运动与函数结合起来，体现了各学科之间的联系，锻炼了学生对所学知识的综合运用能力． 7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由SAS可判断△OAD≌△OBC，由全等三角形的性质得∠OAD＝∠OBC，由AAS可判定△APC≌△BPD，全等三角形的性质得AP＝BP，由SSS可判定△OAP≌△OBP，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质CP∥OB，由等腰三角形的性质得∠COP＝∠CPO，即可判断；第五个图由SSS可判定△OAE≌△OBE，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解： 由作图①痕迹得知射线OP为∠AOB的平分线； 由作图②痕迹得知OC＝OD，OP是CD的垂直平分线， ∴OP⊥CD， ∴∠COP＝∠DOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图③痕迹得知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠AOB， 在△OAD和△OBC中， ， ∴△OAD≌△OBC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OBC， ∵AC＝BD，∠APC＝∠BPD， ∴△APC≌△BPD（AAS）， ∴AP＝BP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图④痕迹得知∠ACP＝∠AOB，CO＝CP， ∴CP∥OB，∠COP＝∠CPO， ∴∠CPO＝∠BOP， ∴∠COP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 由作图⑤痕迹得知OA＝OB，作OA、OB的垂直平分线， ∴OE＝AE＝BE， ∴△OAE≌△OBE（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP为∠AOB的平分线； 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的尺规作图，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 8．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【分析】由题意得：8×2a＝（2b）8，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．如图1，在矩形ABCD中，AE＝1，动点P由点E出发，沿点E→B→C→D的方向运动，设点P的运动路程为x，△DEP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当y＝3时，x的值为（　　） A．2 B．8 C．2或6 D．2或8 【分析】利用函数图象求出DC、BC和EB，再分析出当x＝5时，点P在BC上，且BP＝2，CP＝1，再求出△DEP的面积即可． 【解答】解：当点P运动到点C处时，x＝6，即EB+BC＝6， 当点P运动到点D处时，x＝10，即EB+BC+DC＝10， ∴DC＝4， ∵AE＝1， ∴EB＝3， ∴BC＝3， y＝3时，分三种情况： 点P在AB上时，如图1， ∴ EP•AD＝3，即x×3＝3， 解得：x＝2； 当P在CD上时， 如图2， DP•AD＝3，即（3+3+4﹣x）×3＝3， 解得：x＝8； 当P在BC上时， 如图3， EB•AD＝3，即3×3， 不符合题意，舍去， ∴当y＝3时，x的值为2或8， 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 10．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝3．若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【分析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P′OP″＝60°即可求出P'P''； 【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N， 则P'P''的长即为△PMN周长的最小值， 连接OP'，OP''， ∵OP＝3，∠AOB＝30°， 由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°， ∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°， ∴OP′＝OP''＝P'P''， ∴P'P''＝3； 故选：D． 【点评】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴两滴水，每滴水约0.05毫升，则浪费的水y（毫升）与时间x（秒）之间的关系式是 y＝0.1x ． 【分析】由题意写出函数关系式即可． 【解答】解：由题意可得：y＝2×0.05x＝0.1x． 故答案为：y＝0.1x． 【点评】本题考查函数关系式，正确理解题意是解题关键． 12．若多项式4x2﹣kxy+9y2是完全平方式，则k的值是 　±12　 ． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：∵4x2﹣kxy+9y2＝4x2±12xy+9y2＝（2x±3y）2，∴k＝±12， 故答案为：±12． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 　56°　 ． 【分析】由作图可知CD垂直平分线段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解． 【解答】解：由作图可知CD垂直平分线段AB， ∴CA＝CB， ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵a∥b， ∴∠ADC＝∠BCD＝34°， ∴∠ACB＝2∠BCD＝68°， ∴∠CAB＝∠CBA（180°﹣68°）＝56°． 故答案为：56°． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．如图，点A、点B在由边长为1的小正方形组成的3×3网格的格点上，在网格格点上除点A、B外任取一点C，则使△ABC为等腰三角形的概率为 　　 ． 【分析】按照题意分别找出符合条件的点C的位置有几个，根据概率公式求出概率即可． 【解答】解：如图，符合条件的点C的位置有5个， ∴使△ABC为等腰三角形的概率为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC为等腰三角形的点． 15．如图，在锐角△ABC中，AC＝7，△ABC的面积为21，∠BAC的平分线交BC于点D．M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　6　 ． 【分析】根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N＝BE，从而得解． 【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线， ∴点B关于AD的对称点B′在AC上， 过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M， 由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN， 过点B作BE⊥AC于E， ∵AC＝7，S△ABC＝21， ∴7•BE＝21， 解得BE＝6， ∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称， ∴AB＝AB′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴B′N＝BE＝6， 即BM+MN的最小值是6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 16．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝40cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 　16或30　 cm． 【分析】设BM＝2tcm，则BN＝3tcm，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC． 【解答】解：设BM＝2tcm，则BN＝3tcm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时， ∵BN＝AM，AB＝40cm， ∴3t＝40﹣2t， 解得：t＝8， ∴AC＝BM＝2t＝2×8＝16cm； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时， ∵BM＝AM，AB＝40cm， ∴2t＝40﹣2t， 解得：t＝10， ∴AC＝BN＝3t＝3×10＝30cm， 综上所述，AC＝16cm或AC＝30cm， 故答案为：16或30． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）． （2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92； （3）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3）； （4）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3）； 【分析】（1）先化简，然后计算除法，再算加减法即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （4）先变形，然后根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1） ＝3+16÷（﹣8）+1﹣3 ＝3+（﹣2）+1﹣3 ＝﹣1； （2）912﹣88×92 ＝（90+1）2﹣（90﹣2）×（90+2） ＝902+180+1﹣902+4 ＝185； （3）（2a﹣1）（2a+1）﹣a（4a﹣3） ＝4a2﹣1﹣4a2+3a ＝3a﹣1； （4）（m+2n﹣3）（m﹣2n+3） ＝[m+（2n﹣3）][m﹣（2n﹣3）] ＝m2﹣（2n﹣3）2 ＝m2﹣4n2+12n﹣9． 【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． 18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1； （2）△AB1C的面积为 　11　 ； （3）在直线l上找点P使得PB+PC最小； （4）直线l上找一点Q使得|QB﹣QC|最大． 【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用割补法即可得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法找到点P的位置即可； （3）利用两点之间距离最短的方法找到点Q的位置即可． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所作； （2）如图2， △AB1C的面积为． 故答案为：11； （3）如图3，点P即为所作； （4）如图4，点Q即为所作； ． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，绝对值，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积． 19．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近　0.3　 ；（精确到0.1） （2）假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为　0.3　 ； （3）试估算盒子里红球的数量为　18　 个，黑球的数量为　42　 个． （4）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝ 　18　 ． （5）若先从袋子中取出y个红球，再放入y个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，则y的值为 　3　 ． 【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得； （2）根据利用频率估计概率即可得到结论； （3）红球个数＝球的总数×得到的红球的概率，让球的总数减去红球的个数即为黑球的个数，问题得解； （4）根据盒子里有18个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出x＝18； （5）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3， 故答案为：0.3； （2）摸到红球的概率的估计值为0.3， 故答案为：0.3； （3）估算盒子里红球的数量为60×0.3＝18个，黑球的个数为60﹣18＝42个， 故答案为：18、42； （4）∵盒子里有18个红球，“摸出黑球”为必然事件， ∴x＝18． 故答案为：18； （5）由（3）知红球18个，黑球42个， 根据题意得：， 解得：y＝3， 则y的值为3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率． 20．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CBF＝90°，CE⊥BD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，BD＝CF． （1）请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由； （2）连接AC，交BD于点P，若∠CPD＝115°，求∠CFB得度数． 【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CFB＝∠BDA，在罗列条件证全等即可； （2）由第一问全等可得△ABC是等腰直角三角形，推出∠BAC＝45°，再用三角形内角和即可求解． 【解答】解：（1）△BAD≌△CBF，理由如下， ∵CE⊥BD， ∴∠CEB＝∠CEF＝90°， ∴∠CFB＝∠BDA＝90°﹣∠FBE， 在△CBF和△BAD中， ， ∴△BAD≌△CBF（AAS）， （2）由（1）知△BAD≌△CBF， ∴AB＝BC，∠ADB＝∠CFB， ∵∠CBF＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∵∠CPD＝115°＝∠APB， ∴∠ABD＝180°﹣∠APB﹣∠BAC＝20°， ∴∠CFB＝90°﹣20°＝70°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和等知识，掌握相关知识是解题关键． 21．如图1，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示． （1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 x 、y ； （2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝ 　16　 ； （3）求AB的长和梯形ABCD的面积． 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积； （3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出DC的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD面积即可． 【解答】解：（1）∵点P运动的路程为x，△ABP的面积为y， ∴自变量为x，因变量为y， 故答案为：x，y； （2）由图可得，当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝16， 故答案为：16； （3）根据图象得：BC＝4，此时△ABP为16， ∴AB•BC＝16，即AB×4＝16， 解得：AB＝8； 由图象得：DC＝9﹣4＝5， 则S梯形ABCDBC×（DC+AB）4×（5+8）＝26． 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 22．将完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab． 【阅读材料】 已知（3﹣x）（x﹣1）＝﹣5，求（3﹣x）2+（x﹣1）2的值． 解：设3﹣x＝a，x﹣1＝b，则（3﹣x）（x﹣1）＝ab＝﹣5，a+b＝3﹣x+x﹣1＝2， ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ∴（3﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝22﹣2×（﹣5）＝14． 【类比探究】请仿照材料中的方法，解决下列问题： （1）若x+y＝6，x2+y2＝30，求xy的值； （2）已知（4﹣x）（5﹣x）＝8，求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值； 【问题解决】 （3）如图，长方形APIE和长方形HQCF的长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6），将它们放置在边长为6的正方形ABCD中，若长方形的周长为16，面积为15.75，求图中阴影部分面积S1+S2+S3． 【分析】（1）由已知得62＝30+2xy，故xy＝3； （2）设4﹣x＝a，5﹣x＝b，则（4﹣x）（5﹣x）＝ab＝8，a﹣b＝4﹣x﹣5+x＝﹣1，可得（4﹣x）2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（﹣1）2+2×8＝17； （3）由长方形的周长为16，面积为15.75，得a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75，故S1+S2+S3＝（6﹣a）2+（a+b﹣6）2+（6﹣b）2＝[12﹣（a+b）]2﹣2[36﹣6（a+b）+ab]+（a+b﹣6）2＝12.5． 【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，x+y＝6，x2+y2＝30， ∴62＝30+2xy， ∴xy＝3； （2）设4﹣x＝a，5﹣x＝b，则（4﹣x）（5﹣x）＝ab＝8，a﹣b＝4﹣x﹣5+x＝﹣1， ∵a2+b2＝（a﹣b）2+2ab ∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（﹣1）2+2×8＝17； （3）∵长方形的周长为16，面积为15.75， ∴a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75， ∴S1+S2+S3 ＝（6﹣a）2+（a+b﹣6）2+（6﹣b）2 ＝[（6﹣a）+（6﹣b）]2﹣2（6﹣a）（6﹣b）+（a+b﹣6）2 ＝[12﹣（a+b）]2﹣2（6﹣a）（6﹣b）+（a+b﹣6）2 ＝[12﹣（a+b）]2﹣2[36﹣6（a+b）+ab]+（a+b﹣6）2 ＝（12﹣8）2﹣2×（36﹣6×8+15.75）+（8﹣6）2 ＝16﹣7.5+4 ＝12.5． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． 23．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝3，AD＝2，若AC边的长度为奇数，求AC的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE．由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC＝BE． （1）请根据小明的方法思考，直接写出AC可能的长＝　3（或5）　 （写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AC＝BF．探究∠AFE与∠EAF的关系，并说明理由． 【深入探究】 （3）如图③，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K，CQ＝3，CK＝2，则S△BCE＝　6　 ． 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE，由三角形的三边关系可求解； （2）由“SAS”可证△ADC≌△MDB，可得BM＝AC，∠EAF＝∠M，由等腰三角形的性质得出∠M＝∠BFM，证出∠AFE＝∠EAF； （3）由“SAS”可证△AQR≌△DQC，可得AR＝CD，∠R＝∠RCD，由“SAS”可证△ACR≌△BCE，可得∠ACR＝∠CBE，BE＝CR＝2CQ＝6，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）AC可能的长＝3（或5）；理由如下： 在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝3，AD＝2，如图①，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， 则AE＝AD+DE＝2+2＝4， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE， ∵AE﹣AB＜BE＜AB+AE， ∴4﹣3＜AC＜4+3， ∴1＜AC＜7， ∵AC边的长度为奇数， ∴AC可能的长＝3（或5）， 故答案为：3（或5）； （2）∠AFE＝∠EAF；理由如下： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图②， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠EAF＝∠M， ∵BF＝AC， ∴BF＝BM， ∴∠M＝∠BFM， ∵∠BFM＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠EAF； （3）延长CQ到R，使得CQ＝QR，连接AR、DR．如图③， ∵点Q是AD的中点， ∴AQ＝QD， 在△AQR和△DQC中， ， ∴△AQR≌△DQC（SAS）， ∴AR＝CD，∠ARQ＝∠RCD， ∴AR∥CD， ∴∠RAC+∠ACD＝180°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE+∠ACD＝180°，AR＝CE， ∴∠BCE＝∠CAR， 在△ACR和△CBE中， ， ∴△ACR≌△CBE（SAS）， ∴∠ACR＝∠CBE，BE＝CR＝2CQ＝2×3＝6， ∵∠ACR+∠BCK＝90°， ∴∠CBE+∠BCK＝90°， ∴∠CKB＝90°， 即QK⊥BE， ∴， 故答案为：6． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/12 16:17:55；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $