第五章 图形的轴对称 期末复习讲义 2025--2026学年北师大版数学 七年级下册

第五章 图形的轴对称 一、轴对称相关概念 1.轴对称图形 平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2. 两个图形成轴对称 两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线为对称轴。 区别与联系：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形关于直线对称，二者性质相通。 二、轴对称的性质 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 2.对应线段相等，对应角相等。 3.成轴对称的两个图形全等。 三、简单轴对称图形 1.等腰三角形 性质： · 两腰相等； · 两底角相等（等边对等角）； · 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一； · 是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 判定：有两条边相等，或有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2.边三角形 三边相等，三个内角都是60°；有三条对称轴；兼具等腰三角形所有性质。 3.常见轴对称图形：线段、角、长方形、正方形、圆、等腰梯形等。 · 线段：对称轴是线段本身所在直线、线段的垂直平分线。 · 角：对称轴是角平分线所在直线。 四、最短路径问题 利用轴对称作对称点，将折线段转化为直线段，依据两点之间，线段最短求解最短路线。 五、作图 1.作已知点、线段、图形关于某条直线的轴对称图形。 2.步骤：找关键点→作关键点的对称点→顺次连接对称点。 1.混淆轴对称图形与两个图形成轴对称的概念 2.数对称轴条数时漏数、多数 3.运用等腰三角形“三线合一”时，乱用条件 4.作图时对称点位置画错，连线不规范 5.忽略轴对称性质中“垂直平分”双重要求 1.折叠问题：折叠前后图形全等，对应边、角相等 2.识图技巧：沿直线对折检验是否为轴对称图形 3.转化思想：最短路径问题借助轴对称化折为直 4.几何计算：利用轴对称、等腰三角形性质转移边和角 题型一 轴对称图形识别 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合的图形，只有选项C符合． 2．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可解答． 【详解】解：、是轴对称图形，故此选项符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察各选项图形： A选项中的图案沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形；B、C、D选项中的图案均找不到这样的直线，不是轴对称图形． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，该选项不符合题意． 题型二 利用轴对称的性质求解 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，与关于直线对称，连接、，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与关于直线对称， ∴，，，，故B、C正确 ， 即，故D正确． 不能得出，故A选项错误，符合题意． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 题型三 求对称轴条数 9．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合， 雪花有6条对称轴． 故选C． 10．（2026·陕西榆林·三模）如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 11．（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 题型四 折叠问题 13．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）如图，将一张两边平行的纸条折叠一下，若，则_______． 【答案】70 【分析】画出折叠前的图形，利用折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，推出，最后根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得， ∵纸条的两边平行， ∴， ∴， ∵纸条的两边平行， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）如图，四边形为长方形纸带，点E，F分别在边，上，将纸带沿折叠，点A，D的对应点分别为，．若，则___________． 【答案】/70度 【分析】先根据平角的定义求出，再根据折叠的性质得，，然后根据长方形的性质得，则． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质得，， ∵四边形为长方形纸带， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 【答案】 【分析】利用长方形的性质求出再根据折叠的性质得到，最后利用平行线的性质与等量代换求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵ ∴ ∵是由沿折叠而得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 16．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________． 【答案】 【分析】根据平行的性质，折叠的性质得到，，由，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型五 画轴对称图形 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 【答案】如图的即为所作 【分析】根据轴对称的性质作出相应格点关于直线l的对称点，再顺次连接即可. 【详解】略. 18．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的，点，，的对应点分别为，，； (2)点在直线上，则的面积为________． 【答案】(1)如图：即为所求， (2)3 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接、， 的面积为． 19．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，在正方形网格中有一个（顶点都在网格线的交点上）． (1)画出关于直线的对称图形． (2)计算的面积． 【答案】(1)如图所示． (2) 【分析】（1）找到各顶点关于的对称点，再依次连线即可； （2）用割补法计算三角形面积． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据题图可知， ． 20．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析；8； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（）分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； （）两个三角形都可以是以为底的三角形，根据同底等高即可知面积相等，所以只需要作同高，根据平行线间的距离相等，过作的平行线交于即可； （）的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【详解】（1）关于直线成轴对称的如图所示： 分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； ∵ ∴ ∴． （2）解：过作的平行线交于，点即为所求作的图 （3）解：的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，作轴对称图形，以及最短路径的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 题型六 轴对称的应用 21．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 22．（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 23．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 24．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 题型七 三线合一 25．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 26．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 28．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【点睛】充分利用等腰三角形三线合一的性质和垂线段最短是解题的关键． 题型八 线段垂直平分线的性质 29．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 30．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 31．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解： ， ． ，     的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． ， ． 32．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 题型九 角平分线的性质 33．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】作，垂足为，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，平分，， ， ， ， 则点到的距离为． 34．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 35．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作，垂足分别为M，P，利用角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积得出的长，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作，垂足分别为M，P， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 选项中只有2不在这一范围内， 故选：D 36．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 题型十 尺规作图 37．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 【答案】C 【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴，， 即直线垂直平分线段． 38．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求， 【分析】作的角平分线交直线于点，连接即可． 【详解】略． 39．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求． 40．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 题型十一 最短路径问题 41．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 42．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 43．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 44．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出的坐标________； (2)________； (3)在轴上画出一点（不写作法，保留作图痕迹），使的值最小，并直接写出点的坐标是________． 【答案】(1)见解析, (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、三角形面积的计算以及最短路径问题． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，得到点、、的坐标，描出各点，依次连接即可解答； （2）采用割补法，构造一个能够完全包围的最小矩形，然后用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，由此得到点的位置和坐标． 【详解】（1）解：关于轴成轴对称的，如图即为所求， 由图可知，坐标为； 故答案为：； （2）由图可知，； （3）（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，如图所示，点即为所求； 点的坐标． 故答案为：． 题型十二 轴对称综合 45．（25-26八年级上·北京·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 【答案】B 【分析】本题考查对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．从轴对称图形等边三角形，正方形，菱形，等腰梯形分类探索解决． 【详解】解：如图，加上题干中1种，共6种 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：， 第四个图： 第五个图：， 故选：B． 46．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 47．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 48．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称 一、轴对称相关概念 1.轴对称图形 平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做 。 2. 两个图形成轴对称 两个平面图形沿一条直线折叠后能够 ，称这两个图形成轴对称，这条直线为对称轴。 区别与联系：轴对称图形是 自身对称；成轴对称是 关于直线对称，二者性质相通。 二、轴对称的性质 1.对应点所连的线段被对称轴 。 2.对应线段 ，对应角 。 3.成轴对称的两个图形 。 三、简单轴对称图形 1.等腰三角形 性质： · 两腰相等； · 两底角相等（等边对等角）； · 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 ； · 是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线。 判定：有 ，或 的三角形是等腰三角形。 2.边三角形 三边相等，三个内角都是60°；有三条对称轴；兼具等腰三角形所有性质。 3.常见轴对称图形：线段、角、长方形、正方形、圆、等腰梯形等。 · 线段：对称轴是线段本身所在直线、线段的垂直平分线。 · 角：对称轴是角平分线所在直线。 四、最短路径问题 利用轴对称作对称点，将折线段转化为直线段，依据两点之间， 求解最短路线。 五、作图 1.作已知点、线段、图形关于某条直线的轴对称图形。 2.步骤：找关键点→作关键点的对称点→顺次连接对称点。 1.混淆轴对称图形与两个图形成轴对称的概念 2.数对称轴条数时漏数、多数 3.运用等腰三角形“三线合一”时，乱用条件 4.作图时对称点位置画错，连线不规范 5.忽略轴对称性质中“垂直平分”双重要求 1.折叠问题：折叠前后图形全等，对应边、角相等 2.识图技巧：沿直线对折检验是否为轴对称图形 3.转化思想：最短路径问题借助轴对称化折为直 4.几何计算：利用轴对称、等腰三角形性质转移边和角 题型一 轴对称图形识别 1．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽宿州·阶段检测）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型二 利用轴对称的性质求解 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，与关于直线对称，连接、，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 8．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 题型三 求对称轴条数 9．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 10．（2026·陕西榆林·三模）如图，正五边形的对称轴条数为______条． 11．（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 12．（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 题型四 折叠问题 13．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）如图，将一张两边平行的纸条折叠一下，若，则_______． 14．（25-26七年级下·重庆巫山·期中）如图，四边形为长方形纸带，点E，F分别在边，上，将纸带沿折叠，点A，D的对应点分别为，．若，则___________． 15．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 16．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）如图①，将一条两边互相平行的长方形纸带沿所在直线折叠，，将图①纸带继续沿所在直线折叠成图②，则__________． 题型五 画轴对称图形 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，在边长为个单位长度的正方形网格中，作出该图形关于直线对称的图形． 18．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的，点，，的对应点分别为，，； (2)点在直线上，则的面积为________． 19．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，在正方形网格中有一个（顶点都在网格线的交点上）． (1)画出关于直线的对称图形． (2)计算的面积． 20．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 题型六 轴对称的应用 21．（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 22．（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 24．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 题型七 三线合一 25．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______． 26．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点．若的面积为，则的长为（    ） A． B．5 C．7 D．14 27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 28．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型八 线段垂直平分线的性质 29．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 30．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 31．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点． (1)求的度数； (2)若，，求的周长． 32．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 题型九 角平分线的性质 33．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．4 B． C． D．3 34．（2026·陕西西安·一模）如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 35．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为18，，则线段的长不可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 36．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 题型十 尺规作图 37．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点 C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段 38．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 39．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，连接，请你用尺规作图法作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 40．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 题型十一 最短路径问题 41．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 44．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴成轴对称的，并写出的坐标________； (2)________； (3)在轴上画出一点（不写作法，保留作图痕迹），使的值最小，并直接写出点的坐标是________． 题型十二 轴对称综合 45．（25-26八年级上·北京·期中）已知是平面内四个点，如果能用两种不同长度的线段将这四个点进行两两连接，使得任意三点所连线段都能构成等腰三角形，我们就称这四个点及它们之间的连线构成“二分对称图形”．例如：如图就是一种“二分对称图形”，其中，、、均为等腰三角形，且满足，，．则满足条件的“二分对称图形”共有（    ）．（形状相同的图形算作同一种） A．5种 B．6种 C．7种 D．7种以上 46．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 47．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 48．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________． 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