4.8 余弦定理和正弦定理 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“余弦定理和正弦定理”核心模块，依据课标要求梳理了定理公式、三角形解的情况、面积公式等考点，结合高考评价体系分析了解三角形、判断形状、面积计算三大高频题型，明确“已知边角求边/角”“三角形形状判定”等常考方向，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题演练+方法建模+素养提升”，精选2025天津高考、2024新高考Ⅰ卷等真题，通过“角化边”“边化角”策略及一题多解（如余弦定理与正弦定理判断等边三角形）培养数学思维，总结面积公式应用原则等技巧，帮助学生掌握推理方法，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

第7节　余弦定理和正弦定理 课标要求 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2. 理解三角形的面积公式并能应用. 3. 能用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 余弦定理、正弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，R为△ABC外接 圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝ ⁠； b2＝ ⁠； c2＝ ⁠ ＝ ＝ ＝2R b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2＋b2－2ab cos C　 高中总复习·数学 目 录 定理 余弦定理 正弦定理 常见 变形 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ （1）a＝2R sin A，b＝ ，c ＝ ⁠； （2） sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ； （3）a∶b∶c＝ ⁠； （4）a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A； （5） ＝ ＝2R 2R sin B　 2R sin C　 sin A∶ sin B∶ sin C　 高中总复习·数学 目 录 2. 在△ABC中，已知a，b和A时解的情况 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 1 2 1 1 提醒：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和 一边的对角，该三角形具有不确定性. 高中总复习·数学 目 录 3. 三角形的面积公式 （1）S△ABC＝ aha（ha为边a上的高）； （2）S△ABC＝ ab sin C＝ 　 bc sin A　＝ 　 ac sin B　＝ ＝2R2 sin A sin B sin C（R为△ABC外接圆半径）； （3）S△ABC＝ r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆半径）. bc sin A　 ac sin B　 高中总复习·数学 目 录 1. 三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞ b⇔ sin A＞ sin B⇔ cos A＜ cos B. 2. 三角形中的三角函数关系 （1） sin （A＋B）＝ sin C； （2） cos （A＋B）＝－ cos C； （3） sin ＝ cos ； （4） cos ＝ sin . 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. （　×　） （2）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. （　×　） （3）当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形. （　×　） （4）在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解. （　×　） × × × × 高中总复习·数学 目 录 2. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝ ，B ＝ ，a＝1，则b＝（　　） A. 2 B. 1 C. D. √ 解析： 由正弦定理，得 ＝ ，故b＝ ＝ ＝ ×2＝ . 故选D. 高中总复习·数学 目 录 3. 〔一题多解〕（2025·全国Ⅱ卷5题）在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋ ，AB＝ ，则A＝（　　） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° √ 解析： 　法一（通解）　由余弦定理得 cos A＝ ＝ ＝ ，因为0°＜A＜180°，所以A＝45°. 法二（优解）　因为BC＜AC，BC＜AB，所以A为最小角，所以A＜ 60°，排除B、C、D，故选A. 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·湖南长沙雅礼中学测试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边 分别为a，b，c，若a＝80，b＝100，A＝45°，则符合条件的三角形有 （　　） A. 一个 B. 两个 C. 0个 D. 不能确定 √ 解析： 　由题意知，a＝80，b＝100，A＝45°，由正弦定理，得 ＝ ，所以 sin B＝ .因为a＜b，所以B＞A，故B有两解，即符合条件 的三角形有两个. 高中总复习·数学 目 录 5. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为 ，且 b＝2，c＝ ，则A＝ ⁠. 解析：已知S△ABC＝ bc sin A＝ ，则有 ×2× sin A＝ ，所以 sin A＝ .因为0°＜A＜180°，所以A＝60°或120°. 120°或60°　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 利用正、余弦定理解三角形（师生共研过关） （2025·天津高考16题节选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知a sin B＝ b cos A，c－2b＝1，a＝ . （1）求A的值； 解： 因为a sin B＝ b cos A，所以由正弦定理可得 sin A sin B＝ sin B cos A， 因为B∈（0，π），所以 sin B＞0，所以 sin A＝ cos A，所以tan A＝ . 又因为A∈（0，π），所以A＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）求c的值. 解：因为c－2b＝1，a＝ ， cos A＝ ，所以由a2＝b2＋c2－2bc cosA， 可得7＝b2＋（2b＋1）2－2b（2b＋1）× ，化简得b2＋b－2＝0， 又b＞0，故b＝1. 由c＝2b＋1，得c＝3. 高中总复习·数学 目 录 　　在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用 余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定 理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）（2026·四川外国语大学附中模拟）在△ABC中，内角A， B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝ ，则B＝ （　C　） A. B. C. D. 解析： 由正弦定理及a cos B－b cos A＝c，得 sin A cos B－ cos A sin B＝ sin C，即 sin （A－B）＝ sin C＝ sin （A＋B）.因为A－B＜A＋B，所 以A－B＋A＋B＝π，解得A＝ .所以B＝π－A－C＝π－ － ＝ .故 选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）（2024·全国甲卷11题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ ac，则 sin A＋ sin C＝（　C　） A. B. C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析： 由正弦定理得 sin A sin C＝ sin 2B，因为B＝60°，所以 sin A sin C ＝ sin 2B＝ .由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac· cos B＝a2＋c2－ac＝ ac，所以a2＋c2＝ ac，所以 sin 2A＋ sin 2C＝ sin A sin C，所以（ sin A ＋ sin C）2＝ sin 2A＋ sin 2C＋2 sin A sin C＝ sin A sin C＝ ，又 sin A＞ 0， sin C＞0，所以 sin A＋ sin C＝ . 高中总复习·数学 目 录 判断三角形形状（师生共研过关） （1）〔一题多解〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所 对的边，且满足 ＝ ，2b cos A＝c，则△ABC的形状是（　C　） A. 等腰直角三角形 B. 等腰钝角三角形 C. 等边三角形 D. 以上结论均不正确 解析： 因为2b cos A＝c＞0，所以A为锐角.由余弦定理得2b× ＝c，得b2＝a2，a＝b，则B为锐角. C 高中总复习·数学 目 录 法一　由 ＝ 及余弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，即 ＝ ，由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c， 所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形. 法二　由 ＝ 及正弦定理得 sin C cos C＝ sin A cos A，从而A＝C或 A＋C＝ （由B为锐角，舍去）.综上，A＝B＝C，即△ABC为等边三 角形. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·上海嘉定第一中学期中）在钝角△ABC中，角A，B，C所 对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围 为 ⁠. 解析：∵△ABC是钝角三角形，a＝1，b＝2，且c是最大边，∴由余弦定 理得 cos C＝ ＜0，即5－c2＜0，解得c＞ .又c＜a＋b＝3， ∴边c的取值范围是（ ，3）. （ ，3）　 高中总复习·数学 目 录 判定三角形形状的两种常用途径 提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系； “边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式 推出角的关系. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ＜ cos A，则△ABC为（　A　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 解析： 由 ＜ cos A，得 ＜ cos A. 又B∈（0，π），所以 sin B＞0，所 以 sin C＜ sin B cos A，即 sin （A＋B）＜ sin B cos A，所以 sin A cos B＜0. 因为 sin A＞0，所以 cos B＜0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形. A 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·江苏苏州检测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，若a－c cos B＝b－c cos A，则△ABC的形状是（　D　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 D 高中总复习·数学 目 录 解析：因为a－c cos B＝b－c cos A，由余弦定理得a－c× ＝b －c× ，化简得 ＝ ，若a2＋b2－c2＝0，即a2 ＋b2＝c2，此时△ABC为直角三角形；若a2＋b2－c2≠0，则a＝b，此时 △ABC为等腰三角形.综上，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D. 高中总复习·数学 目 录 与三角形面积有关的问题（师生共研过关） （2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c.已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. （1）求B； 解： 由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ，因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解：由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 有 ＝ ， 从而a＝ · cP＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 高中总复习·数学 目 录 三角形面积公式的应用原则 （1）对于面积公式S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，一般是已知哪一 个角就使用哪一个公式； （2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的 转化. 高中总复习·数学 目 录 训练3 （1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝ 60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为2 ，则△ABC内切圆的半径为 　 ⁠； 解析：因为△ABC的面积为2 ，A＝60°，所以 bc sin A＝2 ，解得 bc＝8.又b＋c＝6，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2 －3bc＝12，所以a＝2 ，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2 ＋6.设 △ABC内切圆的半径为r，则S△ABC＝ （a＋b＋c）r＝ ×（2 ＋6） r＝2 ，解得r＝ －1. －1　 高中总复习·数学 目 录 （2）（2022·新高考Ⅱ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2， S3.已知S1－S2＋S3＝ ， sin B＝ . ①求△ABC的面积； ②若 sin A sin C＝ ，求b. 解：①由S1－S2＋S3＝ ，得 （a2－b2＋c2）＝ ，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1. 高中总复习·数学 目 录 由 sin B＝ ，得 cos B＝ 或 cos B＝－ （舍去），所以ac＝ ＝ ， 则△ABC的面积S＝ ac sin B＝ × × ＝ . ②由 sin A sin C＝ ，ac＝ 及正弦定理知 ＝ ＝ ＝ ， 即b2＝ × ＝ ，得b＝ . 高中总复习·数学 目 录 海伦—秦九韶公式 　　通过人A必修二P55阅读与思考我们知道秦九韶公式S＝ 与海伦公式S＝ ，p＝ （a＋b＋c）是等价的，因此我们统 称为海伦—秦九韶公式.海伦—秦九韶公式给出了三角形的面积和边长之 间的定量关系，没有角度出现，因此在题目条件只有边的关系时，可以考 虑利用海伦—秦九韶公式解题. 高中总复习·数学 目 录 （1）〔一题多解〕在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a， b，c，b＝a＋1，c＝a＋2，若2 sin C＝3 sin A，则△ABC的面积 为 ⁠； 　 解析：法一（常规解法）　因为2 sin C＝3 sin A，则2c＝2（a＋2）＝ 3a，则a＝4，故b＝5，c＝6， cos C＝ ＝ ，所以C为锐角，则 sin C＝ ＝ ，因此，S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×5× ＝ . 高中总复习·数学 目 录 法二（海伦—秦九韶公式解法）　因为2 sin C＝3 sin A，则2c＝2（a＋ 2）＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，p＝ （a＋b＋c）＝ ， S＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，记△ABC的 面积为S，且满足b sin B＋2c sin C＝4a sin A，试求 的最大值. 解：依题可得：4a2＝b2＋2c2，代入海伦—秦九韶公式S＝ 可得， ＝ ＝ ，其中t＝ ，故当t＝ 时， 取得最大值 . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：98分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝ 1，c＝ ，则b＝（　　） A. 1 B. C. 2 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋3－2 × ＝ 1，则b＝1.故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·湖北武汉模拟）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若3a＝2b，B＝2A，则 cos A＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　因为3a＝2b，所以3 sin A＝2 sin B＝2 sin 2A＝4 sin A cos A，因 为A∈（0，π），所以 sin A＞0，所以3＝4 cos A，即 cos A＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＝ ，则A＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　在△ABC中，由 ＝ 及正弦定理，得 ＝ ， 即（a＋b）（b－a）＝c（b－c），即b2＋c2－a2＝bc，故 cos A＝ ＝ ，又A∈（0，π），故A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝1，C＝ ，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为（　　） A. 4 B. 2 C. 5 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为b＝1，C＝ ，△ABC的面积S＝2，所以S＝ a×1× sin ＝2，解得a＝4 ，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝（4 ）2＋ 12－2×4 ×1× ＝25，解得c＝5（负值舍去），所以结合正弦定理可 知，△ABC的外接圆的半径为 ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·山东菏泽模拟）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ＝ ，则tan C＝（　　） A. B. 3 C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 ＝ ，所以由正弦定理可得： ＝ ，所 以3 sin B cos C－ sin A cos C＝ cos A sin C，即3 sin B cos C＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ sin （A＋C），又因为 sin （A＋C）＝ sin （π－B）＝ sin B， 0＜B＜π，所以 sin B＞0，故3 cos C＝1，解得 cos C＝ ，又因为0＜C＜ π，所以 sin C＞0，所以 sin C＝ ＝ ＝ ，所以 tan C＝ ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结 论正确的是（　　） A. 若A＝45°，a＝ ，b＝ ，则△ABC有两解 B. 若a2＋b2＜c2，则△ABC是钝角三角形 C. 若△ABC为锐角三角形，则 sin A＞ cos B D. 若 ＝ ，则△ABC为等腰三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由 所以△ABC有两解，故A 正确；由余弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C＞a2＋b2⇒ cos C＜0，所以C 为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确；因为△ABC为锐角三角形， 所以A＋B＞90°⇒90°－B＜A＜90°⇒ sin （90°－B）＜ sin A，即 cos B＜ sin A，故C正确；因为 ＝ ，由正弦定理得： ＝ ⇒ sin 2A＝ sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝ 90°，所以△ABC为等腰或直角三角形，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·陕西榆林模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若a sin A＋（b＋λa） sin B＝c sin C，则λ的取值范围 为 ⁠. 解析：因为a sin A＋（b＋λa） sin B＝c sin C，由正弦定理得c2＝a2＋b2 ＋λab，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C，所以λ＝－2 cos C，因为 C∈（0，π），所以 cos C∈（－1，1），故λ∈（－2，2）. （－2，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：∵（2c－ a） cos B＝ b cos A，由正弦定理得：（2 sin C－ sin A） cos B＝ sin B cos A，∴ sin C＝2 sin C cos B，∵ sin C≠0， ∴ cos B＝ ，∵B∈（0，π），∴B＝ .当B为顶角，则底边AC2＝4＋4 －2×2×2× cos ＝8－4 ，∴AC＝ － ；当B为底角，则该三角 形内角分别为 ， ， ，则底边长为2 ，故△ABC的底边长为 － 或2 . 8. （2025·浙江金华一模）记等腰三角形ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，已知（2c－ a） cos B＝ b cos A，若腰长为2，则 △ABC的底边长为 ⁠. － 或2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （15分）（2024·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分 别是a，b，c.已知 cos B＝ ，b＝5， ＝ . （1）求a的值； 解： 由 ＝ 得a＝ c， 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，即 c2＋c2－25＝2· c·c· ， 得 c2－25＝ c2，得c＝6，故a＝ c＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）求 sin A的值； 解： 因为 cos B＝ ，所以 sin B＝ ＝ ， 由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， 得 sin A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （3）求 cos （B－2A）的值. 解： 因为a＜b，所以A＜B，则 cos A＞0， 由 sin A＝ ，得 cos A＝ ， 则 cos 2A＝2 cos 2A－1＝ ， sin 2A＝2 sin A cos A＝ . 故 cos （B－2A）＝ cos B cos 2A＋ sin B sin 2A＝ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 在△ABC中，tan A＝ ，tan B＝ .若△ABC最长边的长为 ，则最 短边的长为（　　） A. B. C. 2 D. √ 解析： 　在△ABC中，tan（A＋B）＝ ＝1，因为tan A＜tan B ＜1，所以A＜B＜45°，所以最短边为BC，且A＋B＝45°，则C＝ 135°，最长边为AB，由tan A＝ 得 sin A＝ .由 ＝ 得BC＝ ＝ ，即最短边的长为 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝ 2 ，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是（　　） A. cos C＝ B. sin B＝ C. a＝3 D. S△ABC＝ √ √ 解析： 　因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C. 由正弦定理 得 ＝ ，即 ＝ ，所以 cos C＝ ，故A正确；因为 cos C＝ ，所以 sin C＝ ，所以 sin B＝ sin 2C＝2 sin C cos C＝2× × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 ＝ ，故B错误；因为 cos B＝ cos 2C＝2 cos 2C－1＝－ ，所以B为钝 角，所以 sin A＝ sin （B＋C）＝ sin B cos C＋ cos B sin C＝ × ＋ （－ ）× ＝ ，则 cos A＝ ，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝ （2 ）2＋32－2×2 ×3× ＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝ bc sin A＝ ×2 ×3× ＝ ，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是（　　） A. （a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5∶6∶7 B. △ABC为钝角三角形 C. 若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6 D. 若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，由正弦定理 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2x（x＞0），b＝3x，c ＝4x，则（a＋b）∶（b＋c）∶（c＋a）＝5x∶7x∶6x＝5∶7∶6， 故A错误；由题意可知，C为最大角，因为 cos C＝ ＝ ＝－ ＜0，所以C为钝角，故B正确；若a＋b＋c＝18，则a ＝4，b＝6，c＝8，又 cos C＝－ ，所以 sin C＝ ＝ ，所 以S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×6× ＝3 ，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 由正弦定理得2R＝ ＝ ＝ ，即R＝ .由面积公式可得 （a＋b ＋c）r＝ ab sin C，即 ×9x×r＝ ×2x×3x× ，所以r＝ x，所 以 ＝ ，即5R＝16r，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. 设A，B，C为△ABC的三个内角，且方程（ sin B－ sin A）x2＋（ sin A－ sin C）x＋（ sin C－ sin B）＝0有两个相等实根，则角B的取值范围 为 ⁠. （0， ］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：由已知得Δ＝0，即（ sin A－ sin C）2－4（ sin B－ sin A）（ sin C － sin B）＝0，由正弦定理，得（a－c）2－4（b－a）（c－b）＝0， 展开得a2＋c2＋2ac＋4b2－4bc－4ab＝0，∴（a＋c－2b）2＝0，∴a ＋c＝2b，∴b＝ ，∴ cos B＝ ＝ ＝ － ≥ － ＝ .当且仅当a＝c时，等号成立.∵ cos B＞ 0，∴0＜B＜ ，又y＝ cos B在（0， ）上单调递减，∴B≤ （当且仅 当a＝c时取等号）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）（2026·江苏南通质检）在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝ ， P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB＝ . （1）若AP＝PC，求△ABC的面积； 解： 在△APC中，因为AP⊥CP，且AP＝CP，所以∠CAP＝ .由 AC＝2，可得AP＝ . 又∠BAC＝ ，则∠BAP＝ － ＝ . 在△APB中，因为∠APB＝ ，∠BAP＝ ，所以∠ABP＝π－ － ＝ ，则 ＝ ，所以AB＝ ， 所以S△ABC＝ AB·AC· sin ∠BAC＝ × ×2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）若BC＝ ，求AP. 解： 在△ABC中，由余弦定理得7＝4＋AB2－2AB， 解得AB＝3（AB＝－1舍去）. 设∠CAP＝α，则α∈（0， ）， 在△APC中，AP＝2 cos α. 在△ABP中，∠BAP＝ －α，所以∠ABP＝π－ －（ －α）＝α， 则 ＝ ，即 ＝ ，得tan α＝ . 因为α∈（0， ），所以α＝ ，所以AP＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新情境〕早期天文学家常采用“三角法”测量 行星的轨道半径.假设一种理想状态：地球E和某小行星 M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体 的位置如图所示. 地球在E0位置时，测出∠SE0M＝ ；行星M绕太阳运动一周回到原来位 置，地球运动到了E1位置，测出∠SE1M＝ ，∠E1SE0＝ .若地球的轨 道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据： ≈1.7）（　　） A. 2.1R B. 2.2R C. 2.3R D. 2.4R √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 如图，连接E0E1，在△SE0E1中，SE0＝SE1＝ R，∠E1SE0＝ ，则△SE0E1是正三角形，E0E1＝R. 由 ∠SE0M＝ ，∠SE1M＝ ，得∠E1E0M＝ ， ∠E0E1M＝ ，在△ME0E1中，∠E0ME1＝ ，由正弦定理得 ＝ ，则E1M＝ ＝ R，在△SME1中，由余弦定理得SM＝ ＝ ≈ R，与2.1R最接近.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $