4.7 余弦定理和正弦定理导学案-2027届高三数学一轮复习

第七节　余弦定理和正弦定理 知识清单 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 公式 a2＝____________， b2＝____________， c2＝____________ ＝________ ＝________＝2R 常见 变形 cos A＝____________， cos B＝____________， cos C＝____________ (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝________________； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 项目 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系 式 a＝ b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 ________ ________ ________ ____ ____ 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； (2)S＝ab sin C＝________＝________； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 【常用结论】 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin . 2．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(　　) 2．(人教A版必修二P44练习T2改编)在△ABC中，a＝2，b＝＋1，则最小角为(　　) A．15°　　B．30° C．45°　　D．60° 3．(人教A版必修二P47例7改编)在△ABC中，A＝15°，B＝45°，c＝3＋，则a＝(　　) A. B． C． D． 4．(人教A版必修二P47例8改编)在△ABC中，B＝30°，b＝，c＝2，则这个三角形解的个数为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　利用正弦、余弦定理解三角形 例1 (1)(链接·2025年全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，则A＝(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝－，sin B＝，b＝2，则a＝(　　) A．3 B． C．4 D．5 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 　跟踪训练　(1)(2026·张家口模拟)在△ABC中，满足a2＝b2＋c2＋bc，则A＝(　　) A．150° B．30°或150° C．60° D．60°或120° (2)在△ABC中，若A＝，cos B＝，BC＝6，则AC＝(　　) A．4 B．4 C．3 D． 命题点二　判断三角形的形状 例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c cos B＝b－c cos A，且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系． (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁． 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能，注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制． 　跟踪训练　在△ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 命题点三　与三角形面积有关的问题 例3(2026·保定模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝3sin C，cos B＝－. (1)求的值； (2)若D为边BC上靠近点B的三等分点，AD＝2，求△ABC的面积． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积； (2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系； (3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P54T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c. 第七节　余弦定理和正弦定理 必备知识·助学教材 知识清单 1．b2＋c2－2bc cos A　 a2＋c2－2ac cos B　 a2＋b2－2ab cos C　　sin A∶sin B∶sin C 2．1　2　1　1　0 3．bc sin A　ac sin B 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．解析：因为b<a<c，所以b边所对的角最小，所以由余弦定理得cos B＝，又0°<B<90°，所以B＝30°.故选B. 答案：B 3．解析：由三角形内角和定理，得C＝180°－(15°＋45°)＝120°，由正弦定理，得 a＝＝ ＝.故选C. 答案：C 4．解析：由正弦定理，得sin C＝.因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.所以C＝45°或C＝135°.故这个三角形有两解． 答案：2 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由题意得cos A＝，又0°<A<180°，所以A＝45°.故选A. (2)因为cos A＝－，所以sin A＝，由正弦定理可知⇒a＝＝4. 答案：(1)A　(2)C 跟踪训练　解析：(1)因为a2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝，所以cos A＝，且0°<A<180°，所以A＝150°.故选A. (2)根据题意，cos B＝，所以B∈，且sin B＝，由正弦定理得，即，解得AC＝4.故选A. 答案：(1)A　(2)A 例2　解析：由c2＝a2＋b2－ab得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝.又C∈(0，π)，所以C＝.由a－c cos B＝b－c cos A，根据正弦定理可得sin A－sin C cos B＝sin B－sin C cos A，又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以sin B cos C＝sin A cos C．又cos C≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理可得a＝b.因为a＝b，C＝，所以△ABC是等边三角形．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：cos2，则sin C＋sin C·cos A＝sin B＋sin C，即sin C·cos A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A·cos C＋sin C·cos A，则sin A·cos C＝0，由A，C∈(0，π)，则cos C＝0，故C＝，即△ABC的形状为直角三角形．故选A. 答案：A 例3　解析：(1)因为sin A＝3sin C，所以由正弦定理得a＝3c， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9c2＋c2－2×3c×c×＝12c2， 则b＝2c，所以. (2)由题意得BD＝＝c， 在△ABD中，由余弦定理得AD2＝c2＋c2－2×c×c×＝c2＝24， 所以c＝3，则a＝9，又sin B＝， 所以S△ABC＝ac sinB＝. 跟踪训练　解析：(1)根据正弦定理得＝2R，则a cos C＋a sin C－b－c＝0可变为2R sin A cos C＋2R·sin A sin C－2R sin B－2R sin C＝0，且B＝π－(A＋C)，即sin A cos C＋sin A sin C－sin (A＋C)－sin C＝0，可得sin C－cos A sin C－sin C＝0，且在△ABC中，sin C＞0，则sin A－cos A＝1，即sin ＝，且A∈(0，π)．综上，A＝. (2)根据三角形面积公式S△ABC＝可知，得bc＝4，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A可知22＝b2＋c2－4，由bc＝4，b＝，可得＋c2－8＝0，即(c2－4)2＝0，∴c2＝4，在△ABC中，c＞0，可得c＝2.∴b＝＝2，∴b＝c＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $