微专题1直观图与空间中点、直线和平面的位置关系讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学单元复习讲义以“直观图与空间中点、直线和平面的位置关系”为核心，通过表格系统梳理知识脉络，涵盖斜二测画法步骤、表面积体积公式、空间位置关系判定与性质定理等内容，清晰呈现各知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的考点突破练习，如直观图周长计算、圆锥轴截面表面积求解、三棱锥外接球问题等题型，培养学生空间观念与推理能力。通过多选题和综合题训练，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题1直观图与空间中点、直线和平面的位置关系 知识清单 知识点1、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 知识点2、侧面积、表面积、体积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 知识点3、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点4、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点5、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 知识点6、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点7、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点突破 考点1空间几何体的直观图 题1-1 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（　　） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【解析】根据题意，直观图为正方形，且其边长为2， 故， 由斜二测画法还原原图形，如图： 则四边形为平行四边形，其中， ， 所以其周长为． 故选：． 题1-2如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（　　） A． B． C．8 D． 【答案】C 【解析】根据题意，菱形的边长为2，且， 则， 则原图面积． 故选：． 题1-3如图，△是△用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则△的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，直观图△中，，，， 易得， 由斜二测画法还原原图，作出△，如下图所示： 其中，，， 由勾股定理可得， 故△的周长为． 故选：． 题1-4如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】在直角梯形中，，，， 显然，于是， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：． 考点2空间几何体的表面积与体积 题2-1已知一个圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则此圆锥的表面积为 　　． 【答案】 【解析】一个圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 可得：底面半径，母线长为2． 此圆锥的表面积． 故答案为：． 题2-2如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积． 【解析】连接，交于点，取的中点，连接，，， （1）， ， ； （2），， ， ， ， ． 题2-3已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5， 可设圆台的上底面半径为，则下底面半径为，高为．母线长为5， 在如图所示的圆台轴截面中，，，， 过点作于点， 所以有， 有，解得． 所以圆台的侧面积． 故选：． 题2-4若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， ，，. 故选：C. 题2-5已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 【答案】C 【解析】正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。 设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形， 由勾股定理得： 单个侧面的面积为 则正四棱锥的侧面积 题2-6水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点，每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 题2-7某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 题2-8（多选题）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【解析】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 题2-9（多选题）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设球的半径为，则圆柱的底面圆的半径为，高为， 则，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 考点3空间几何体的外接球和内切球问题 题3-1 （多选题）某长方体的长、宽、高分别为4，2，1，则（    ） A．该长方体的体积为8 B．该长方体的体对角线长为 C．该长方体的表面积为24 D．该长方体外接球的表面积为21π 【答案】ABD 【解析】该长方体的体积为4×2×1=8，体对角线长为，表面积为， 由于长方体的体对角线为其外接球的直径，所以外接球的表面积为． 故ABD正确，C错误， 故选：ABD 题3-2 （多选题）某正方体的棱长为，则（    ） A．该正方体的体积为 B．该正方体的体对角线长为 C．该正方体的表面积为48 D．该正方体内切球的表面积为 【答案】ACD 【解析】该正方体的体积为，故A正确； 该正方体的体对角线长为，故B错误； 该正方体的表面积为，故C正确； 因为正方体的内切球半径是正方体边长的一半，则内切球半径为， 所以内切球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 题3-3如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是 ．    【答案】 【解析】设三棱锥外接球的外接球的半径为， 由题意可将三棱锥转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1， 则长方体的体对角线为外接球的直径，即， 所以该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：.    题3-4在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 题3-5（多选题）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 设球的半径为， 由题意可知，， 则在直角中，， 所以球的表面积． 题3-6已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】如图，在正三棱柱中，设和的中心分别为，设的中点为， 所以为正三棱柱外接球的球心， 所以， 连接，延长交于点，所以为的中点， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以该球的表面积为. 题3-7已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 题3-8上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，则，则, 所以圆锥的高, 由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积，周长, 所以轴截面等腰三角形内切圆的半径, 故该圆锥形模型的内切球的半径为 题3-9已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】如图所示，作出圆台和内切球的组合体的轴截面，圆台的母线与圆的切点为， 因为圆台的上底面半径为，下底面半径为， 根据圆的切线的性质，可得， 设圆台的内切球的半径为，可得 可得圆台的母线长为， 又由，可得，即， 所以圆台的内切球的表面积为. 考点4空间中点线面的位置关系 题4-1（多选题） 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 【答案】ABC 【解析】还原为正方体，如下： A选项，直线和直线是异面直线，A正确； B选项，直线和直线是异面直线，B正确； C选项，直线和直线是异面直线，C正确； D选项，直线和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 题4-2（多选题）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】AD 【分析】直接由相等或互补求解即可. 【解析】由题意知：或，则或. 故选：AD. 题4-3（多选题）已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若共面，共面，则共面 【答案】AC 【解析】已知表示空间中三条不同的直线， 若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 题4-4（多选题）已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，或 B．若，，则 C．， D．， 【答案】ABC 【解析】对于A，由，，若，则；若，也满足条件，故或，A正确. 对于B，由，，可得，B正确. 对于C，由，，结合面面平行的传递性，且互不相同，故，C正确. 对于D，由，，可知为两平面的公共点，故是过的直线，而非点，D错误. 题4-5（多选题）如果直线平面，那么直线a与平面内的（   ） A．唯一一条直线不相交 B．任意一条直线平行 C．无数条直线平行 D．任意一条直线不相交 【答案】CD 【解析】由线面平行定义知直线与平面无交点，即直线平行于平面时，在平面内存在无数条与它平行的直线， 直线与平面内的任意一条直线不相交， 故选：CD. 题4-6（多选题）已知两个不同的平面，两条不同的直线，若，则下列说法正确的是（   ） A．若与相交，则与相交 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【解析】对于A，，且与相交，与相交，否则与平行或， 均可得或，与条件矛盾，故A正确： 对于B，因为，所以平面与平面没有公共点,又， 则直线与平面也没有公共点，根据线面平行的定义可知,故B正确； 对于C，直线可能平行，也可能异面，故C错误； 对于D，直线可能平行，可能异面，也可能相交，故D错误． 故选：AB 题4-7（多选题），，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．， B．， C．，，共面 D．，，共点，，共面 【答案】ACD 【解析】解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误； 由，得，故B正确； 当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误； 当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误； 故选：ACD. 题4-8（多选题）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A中，若，则或，所以A错误； 对于B中，若，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，若，则与平行或异面，所以C错误； 对于D中，若，根据平行平面的性质，可得，所以D正确. 故选：ABC. 题4-9（多选题）已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则的位置关系有：平行、相交或异面；故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则，故D正确； 故选：ACD. 考点5综合问题 题5-1 （多选题）如图，已知圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C．圆锥的表面积为 D．圆锥的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】对于A，由圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形， 可得圆锥的底面半径为，高为，则其体积为，故A正确； 对于B，由圆锥的底面周长为，即侧面展开图的弧长为， 设圆心角为，可得，解得，故B错误； 对于C，圆锥的侧面积为，底面圆的面积为， 所以圆锥的表面积为，故C正确； 对于D，由圆锥的外接球的直径为轴截面的外接圆的直径， 设外接球的半径为，可得， 则外接球的表面积为，故D错误. 题5-2（多选题）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【解析】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 题5-3（多选题）已知平面两两垂直，直线满足：，，，则直线可能满足以下哪种关系（   ） A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 【答案】ACD 【解析】    对于A，由图1，得可能两两垂直，A正确； 对于B，设，假设， 若与均不重合，由可得，， 又，所以，， 又，所以， 若与或重合，则， 因为两两垂直，所以与相交，即与相交或异面，与矛盾， 综上，不可能两两平行，B错误； 对于C，由图2，得可能两两相交，C正确； 对于D，由图3，得可能两两异面，D正确． 题5-4（多选题）三个平面将空间分成个部分，则可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BCD 【解析】三个平面两两平行，分成4个部分，如图1 三个平面中有2个平行，另一个与它们相交，分成6个部分，如图2 三个平面两两相交于同一直线，分成6个部分，如图3 三个平面两两相交，三条交线两两平行，这时把空间分成7个部分，如图4 三个平面两两相交，三条交线共点，这时把空间分成8个部分，如图5 综上可知，可能是4，6，7，8.A错误，BCD正确. 题5-5（多选题）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】对A，母线的长为10m，底面半径OA长为6m，圆锥SO的高为，A选项正确； 对B，圆锥SO的侧面积，B选项正确； 对C,圆锥的体积,C选项错误， 对D，设圆锥SO的外接球半径为，则，解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，D选项正确. 故选：ABD 题5-6（多选题）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马如下图所示，其中平面ABCD，，，点E在棱PC上运动．下列说法正确的有（   ） A．平面PBC B．直线PC与AB所成的角为 C． D．当时，四棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】BD 【分析】根据直角三角形中与不垂直，且，可判断A，找到异面直线所成的角（或其补角）解三角形判断B，利用反证法判断C，由四棱锥底面相同，根据E的位置确定棱锥高的比，得出体积关系判断D. 【解析】因为，，，， 且为等腰直角三角形，因为，AB与PB不垂直，所以CD与PB不垂直， 所以CD不垂直于平面PBC，故A错误； 因为，所以（或其补角）是直线PC与AB所成的角， 所以，所以，故B正确； 由平面ABCD得，假设成立，则平面PAC， 所以，与题意矛盾，故C错误； 因为，所以，故，所以D正确． 故选：BD 题5-7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题可得当该球形容器的半径为并在一起的两个长方体体对角线的一半时满足题设. 【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为，所以该球形容器体积的最小值为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1直观图与空间中点、直线和平面的位置关系 知识清单 知识点1、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 知识点2、侧面积、表面积、体积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 知识点3、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点4、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 知识点5、直线与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 知识点6、平面与平面垂直 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2.性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 知识点7、空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 考点突破 考点1空间几何体的直观图 题1-1 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（　　） A．12 B． C．16 D． 题1-2如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（　　） A． B． C．8 D． 题1-3如图，△是△用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则△的周长是（　　） A． B． C． D． 题1-4如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（　　） A． B．2 C． D． 考点2空间几何体的表面积与体积 题2-1已知一个圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则此圆锥的表面积为 　　． 题2-2如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积． 题2-3已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 题2-4若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D．4 题2-5已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（   ） A．12 B．15 C．48 D．60 题2-6水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 题2-7某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 题2-8（多选题）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 题2-9（多选题）“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上，当圆柱容球时，圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为，体积为；圆柱的表面积为，体积为，则（    ） A． B． C． D． 考点3空间几何体的外接球和内切球问题 题3-1 （多选题）某长方体的长、宽、高分别为4，2，1，则（    ） A．该长方体的体积为8 B．该长方体的体对角线长为 C．该长方体的表面积为24 D．该长方体外接球的表面积为21π 题3-2 （多选题）某正方体的棱长为，则（    ） A．该正方体的体积为 B．该正方体的体对角线长为 C．该正方体的表面积为48 D．该正方体内切球的表面积为 题3-3如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是 ．    题3-4在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 题3-5（多选题）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题3-6已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 题3-7已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 题3-8上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 题3-9已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 考点4空间中点线面的位置关系 题4-1（多选题） 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在下列各线段中，线段所在直线是异面直线的是（     ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 题4-2（多选题）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 题4-3（多选题）已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若共面，共面，则共面 题4-4（多选题）已知为空间中一点，，，为互不相同的直线，，，为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，或 B．若，，则 C．， D．， 题4-5（多选题）如果直线平面，那么直线a与平面内的（   ） A．唯一一条直线不相交 B．任意一条直线平行 C．无数条直线平行 D．任意一条直线不相交 题4-6（多选题）已知两个不同的平面，两条不同的直线，若，则下列说法正确的是（   ） A．若与相交，则与相交 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 题4-7（多选题），，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（    ） A．， B．， C．，，共面 D．，，共点，，共面 题4-8（多选题）已知为三条直线，为两个平面，下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题4-9（多选题）已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点5综合问题 题5-1 （多选题）如图，已知圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 C．圆锥的表面积为 D．圆锥的外接球的表面积为 题5-2（多选题）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 题5-3（多选题）已知平面两两垂直，直线满足：，，，则直线可能满足以下哪种关系（   ） A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面 题5-4（多选题）三个平面将空间分成个部分，则可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题5-5（多选题）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径长为6m．下面说法正确的是（ ） A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为 C．圆锥SO的体积为 D．圆锥SO外接球的表面积为 题5-6（多选题）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马如下图所示，其中平面ABCD，，，点E在棱PC上运动．下列说法正确的有（   ） A．平面PBC B．直线PC与AB所成的角为 C． D．当时，四棱锥的体积是四棱锥体积的 题5-7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，由六根完全一样的正四棱柱体分成三组构成，其上下、左右、前后完全对称，若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $