专题10：常见7大外接球模型-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题10：常见7大外接球模型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正锥体外接球】 【练方法】 核心模型 底面为正多边形顶点在底面的投影为底面中心的棱锥常见正三棱锥正四棱锥圆锥 常考结论公式 设底面外接圆半径为棱锥高为外接球半径为 1球心在高线上设球心到底面距离为（球心在底面上方）或（球心在底面下方少见） 2勾股定理核心方程： 3化简得通用公式： 4圆锥特例：底面半径高母线外接球半径 解题模板 1步骤1：求底面外接圆半径 正三角形底面：（为边长） 正方形底面：（为边长） 正六边形底面：（为边长） 2步骤2：求棱锥的高（顶点到底面中心的垂直距离） 3步骤3：代入公式计算外接球半径 4步骤4：球的表面积体积 （25-26高一下·陕西咸阳·期中）棱长均为2的四面体的外接球体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________．经典例题2例题 （2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·重庆·模拟预测）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：直棱柱外接球】 【练方法】 核心模型 侧棱与底面垂直的棱柱常见直三棱柱长方体正方体 常考结论公式 设底面外接圆半径为棱柱的高（侧棱长）为外接球半径为 1球心为上下底面外接圆圆心连线的中点 2勾股定理核心方程： 3长方体特例：长宽高外接球直径=体对角线 4正方体特例：棱长 解题模板 1步骤1：求底面外接圆半径 三角形底面：正弦定理 四边形底面：找对角线长度的一半 2步骤2：取棱柱高的一半 3步骤3：代入计算外接球半径 4步骤4：计算球的表面积或体积 （25-26高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.经典例题1例题 （25-26高一下·宁夏银川·期中）直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D． （25-26高一下·天津红桥·期中）设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.小试牛刀3 【题型3：台体外接球】 【练方法】 核心模型 正棱台圆台上下底面平行且为相似正多边形 常考结论公式 设上底面外接圆半径下底面外接圆半径台体高为外接球半径为 1球心在上下底面中心的连线上 2设球心到下底面距离为则到上底面距离为 3列方程： 4解出再代入 5圆台特例：可还原为圆锥用圆锥外接球公式计算 解题模板 1步骤1：求上下底面外接圆半径 2步骤2：设球心到下底面距离为列方程 3步骤3：解出再求 4步骤4：还原法（圆台）：补成圆锥求原圆锥和小圆锥的高再用正锥体外接球公式 （25-26高一下·新疆克拉玛依·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，求：经典例题1例题 (1)求该圆台的表面积； (2)求该圆台的体积； (3)求该圆台的外接球的表面积． （25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________．经典例题2例题 （25-26高一下·吉林·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________．小试牛刀1 （2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____.小试牛刀2 （25-26高二上·云南保山·期末）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________．小试牛刀3 【题型4：线面垂直模型】 【练方法】 核心模型 一条侧棱垂直于底面或三条侧棱两两垂直（墙角） 常考结论公式 1三条侧棱两两垂直：补成长方体外接球直径=体对角线 2一条侧棱垂直底面底面外接圆半径： 外接球半径（与直棱柱公式相同） 球心在过底面外心且平行于侧棱的中垂线上 3特例：面则四点共球可补成长方体或直棱柱 解题模板 1步骤1：判断是否为三条侧棱两两垂直若是直接用长方体模型 2步骤2：若为一条侧棱垂直底面先求底面外接圆半径 3步骤3：侧棱为高代入 4步骤4：验证：四点到球心的距离相等 （2026·山西临汾·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______经典例题2例题 （2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______.小试牛刀3 【题型5：面面垂直模型】 【练方法】 核心模型 两个平面互相垂直常见直二面角 常考结论公式 设两个垂直平面内的三角形外接圆半径分别为二面角为两外接圆圆心到交线的距离分别为 1球心到两个平面的距离可通过勾股定理求解 2通用方法：找两个平面的外接圆圆心过圆心分别作所在平面的垂线交点即为球心 3特殊结论：若两个平面均为直角三角形且斜边重合则外接球直径为公共斜边长度 解题模板 1步骤1：分别求两个垂直平面内多边形的外接圆半径及圆心 2步骤2：过两个外接圆圆心分别作所在平面的垂线两垂线的交点即为球心 3步骤3：计算球心到任意顶点的距离即为外接球半径 4步骤4：特殊情况：公共斜边模型直接以斜边为直径作球 （25-26高三下·湖北武汉·月考）在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．经典例题1例题 （25-26高二上·浙江·月考）在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的表面积为________.经典例题2例题 （25-26高二上·四川南充·月考）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．小试牛刀1 （24-25高一下·河南洛阳·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.小试牛刀2 （24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______．小试牛刀3 【题型6：对棱相等模型】 【练方法】 核心模型 三棱锥的三组对棱分别相等 常考结论公式 1补形法：将三棱锥补成长方体三组对棱为长方体的面对角线 2长方体的长宽高满足： 3三式相加得： 4外接球直径=长方体体对角线 5通用公式： 解题模板 1步骤1：确认三组对棱分别相等标记为 2步骤2：直接套用公式 3步骤3：计算球的表面积或体积 4步骤4：验证：补形后的长方体面对角线与原三棱锥对棱长度一致 （2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________．小试牛刀1 （25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）小试牛刀2 A．28π B．27π C．19π D．29π （25-26高三上·河北沧州·期中）蹴鞠（如图所示），类似今日的足球运动，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某鞠表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，则该鞠的表面积为（    ）小试牛刀3 A．cm2 B．371πcm2 C．742πcm2 D．cm2 【题型7：二面角模型】 【练方法】 模型前提 两个半平面形成二面角棱为 面1内的多边形外接圆半径为外心为 面2内的多边形外接圆半径为外心为 到棱的距离分别为 核心通用公式 设外接球半径为球心为 常考结论公式 设二面角两个面内的外接圆半径分别为棱的长度为 1球心到两个面的外接圆圆心的距离分别为利用二面角的平面角列方程 2通用方法：找两个面的外接圆圆心过圆心作面的垂线结合二面角求球心位置 3特殊结论：若二面角为则转化为面面垂直模型求解 解题模板 1步骤1：求二面角的平面角 2步骤2：分别求两个面内多边形的外接圆半径及圆心 3步骤3：过两个圆心作面的垂线设球心到两圆心的距离结合二面角列方程 4步骤4：解出球心位置再求外接球半径 5步骤5：特殊情况：二面角为直接用面面垂直模型 （2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________．经典例题1例题 （24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________．经典例题2例题 （25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______.小试牛刀1 （25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______．小试牛刀2 （25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 4．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 5．（25-26高三上·福建福州·月考）已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知一个正四面体的三个顶点在球的球面上，设四面体的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 10．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 12．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连接.若二面角的大小为时，则四面体的外接球的表面积为__________. 13．（24-25高三上·黑龙江·月考）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为______. 14．（24-25高一下·新疆巴州·期末）平面四边形ABCD，其中,将沿AC翻折，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______. 15．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 16．（2026·云南·模拟预测）已知正六棱锥的侧面积为，，则该正六棱锥外接球的表面积为______． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 18．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 19．（2026·甘肃兰州·一模）正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 三、解答题 20．（25-26高一下·全国·课后作业）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题10：常见7大外接球模型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正锥体外接球】 【练方法】 核心模型 底面为正多边形顶点在底面的投影为底面中心的棱锥常见正三棱锥正四棱锥圆锥 常考结论公式 设底面外接圆半径为棱锥高为外接球半径为 1球心在高线上设球心到底面距离为（球心在底面上方）或（球心在底面下方少见） 2勾股定理核心方程： 3化简得通用公式： 4圆锥特例：底面半径高母线外接球半径 解题模板 1步骤1：求底面外接圆半径 正三角形底面：（为边长） 正方形底面：（为边长） 正六边形底面：（为边长） 2步骤2：求棱锥的高（顶点到底面中心的垂直距离） 3步骤3：代入公式计算外接球半径 4步骤4：球的表面积体积 （25-26高一下·陕西咸阳·期中）棱长均为2的四面体的外接球体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作在底面上的投影，连接，则外接球球心位于上， 连接， 设外接球半径为，则，已知，则 ， ， 在中，，即， 解得， ． （25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________．经典例题2例题 【答案】 【分析】由题意找出过三点的平面与侧面的交线线段，证明G为靠近C的三等分点，再由已知求解三角形可得正四棱锥的底面边长与侧棱长，然后求解外接球的半径，代入球的体积表面积公式得答案． 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H，连接交于G， 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面中，过C作，交于K，则， 所以， 由已知可得，四棱锥为正四棱锥， 在等腰三角形中，由，得， 设，则，，， ， 在中，由余弦定理可得，，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6， 连接，相交于M，连接，则为正四棱锥的高，则， 设四棱锥外接球的球心为O，连接，则，解得， 所以该四棱锥的外接球的体积为． （2026·江苏·二模）一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出示意图，确定球心的位置，设外接球的半径为，构造关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正六棱锥中，设点为正六边形的中心，连接、， 易知为等边三角形，所以，， 由正棱锥的几何性质可知，外接球球心在直线上， 设外接球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 故该正六棱锥的外接球的表面积为. （2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． （2026·重庆·模拟预测）在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解. 【详解】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为， 则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径. 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接、、、，过作，交于点N， 则为正四棱锥的高，， 由知，平面，且， 即球心到截面的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以球被平面所截截面的面积为. 【题型2：直棱柱外接球】 【练方法】 核心模型 侧棱与底面垂直的棱柱常见直三棱柱长方体正方体 常考结论公式 设底面外接圆半径为棱柱的高（侧棱长）为外接球半径为 1球心为上下底面外接圆圆心连线的中点 2勾股定理核心方程： 3长方体特例：长宽高外接球直径=体对角线 4正方体特例：棱长 解题模板 1步骤1：求底面外接圆半径 三角形底面：正弦定理 四边形底面：找对角线长度的一半 2步骤2：取棱柱高的一半 3步骤3：代入计算外接球半径 4步骤4：计算球的表面积或体积 （25-26高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】分别取和的中心，易知外接球的球心为的中点，进而结合勾股定理求出半径，然后求出球的表面积. 【详解】如图，在正三棱柱中，设和的中心分别为，设的中点为， 所以为正三棱柱外接球的球心， 所以， 连接，延长交于点，所以为的中点， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以该球的表面积为. （25-26高一下·宁夏银川·期中）直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出底面外接圆的半径，根据几何关系求出直三棱柱的外接球半径，最后利用外接球表面积公式即可求解. 【详解】根据正弦定理，在中，解得. 直三棱柱外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点，满足勾股定理， 代入，，则. 球的表面积公式为. （25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即，得，球的体积公式为，代入可得：， 解得，所以. （25-26高一下·天津红桥·期中）设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得长方体的对角线长为，结合长方体的性质，求得，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由长方体的长、宽、高分别为2，1，1，可得长方体的对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以该球的体积为. （25-26高一下·山东烟台·期中）已知正三棱柱，，，则其外接球表面积为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为，利用正弦定理求出，再根据求出，进而得到表面积． 【详解】设底面外接圆半径为，正三棱柱外接球的半径为， 则，解得， ， 则其外接球表面积为． 【题型3：台体外接球】 【练方法】 核心模型 正棱台圆台上下底面平行且为相似正多边形 常考结论公式 设上底面外接圆半径下底面外接圆半径台体高为外接球半径为 1球心在上下底面中心的连线上 2设球心到下底面距离为则到上底面距离为 3列方程： 4解出再代入 5圆台特例：可还原为圆锥用圆锥外接球公式计算 解题模板 1步骤1：求上下底面外接圆半径 2步骤2：设球心到下底面距离为列方程 3步骤3：解出再求 4步骤4：还原法（圆台）：补成圆锥求原圆锥和小圆锥的高再用正锥体外接球公式 （25-26高一下·新疆克拉玛依·期中）已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，求：经典例题1例题 (1)求该圆台的表面积； (2)求该圆台的体积； (3)求该圆台的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图所示，梯形为圆台一主视图，为梯形的高， 设上下底面半径分别为，上下底面和侧面表面积分别为. 设圆台的高为，母线长为， 由母线与底面所成角为，得， 母线长. 圆台的表面积，已知， ；；， 故. （2）圆台体积公式， 代入，，，得. （3）设外接球的球心为，半径为. 设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则. 设球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为. 由外接球性质，有. 即. 化简得，解得（表示球心在圆台下方） 其到下底面的距离为，则. 故外接球的表面积. （25-26高一下·重庆·月考）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、．若该正三棱台的体积为．则它的外接球的表面积为__________．经典例题2例题 【答案】 【分析】 根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入表面积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的表面积为 （25-26高一下·吉林·月考）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，则外接球体积为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意，求得圆台的高为，设圆台的外接球的半径为，球心到圆心的距离为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上底面圆的圆心为，半径为，下底面圆的圆心为，半径为， 圆台的母线为，圆台的高为，则 可得， 设圆台的外接球的球心为，半径为，球心到下底面圆心的距离为， 可得，即， 可得，解得，所以， 所以圆台的外接球的体积为. （2026高一·全国·专题练习）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则该正四棱台的外接球的表面积为_____.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在线段上或在其延长线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得，矛盾， 若球心在线段的延长线上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. （25-26高二上·云南保山·期末）已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的体积 【题型4：线面垂直模型】 【练方法】 核心模型 一条侧棱垂直于底面或三条侧棱两两垂直（墙角） 常考结论公式 1三条侧棱两两垂直：补成长方体外接球直径=体对角线 2一条侧棱垂直底面底面外接圆半径： 外接球半径（与直棱柱公式相同） 球心在过底面外心且平行于侧棱的中垂线上 3特例：面则四点共球可补成长方体或直棱柱 解题模板 1步骤1：判断是否为三条侧棱两两垂直若是直接用长方体模型 2步骤2：若为一条侧棱垂直底面先求底面外接圆半径 3步骤3：侧棱为高代入 4步骤4：验证：四点到球心的距离相等 （2026·山西临汾·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由及正弦定理，得外接圆半径， 在三棱锥中，由平面，得三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 因此三棱锥外接球球心到平面的距离， 所以三棱锥外接球半径，该球的表面积. （2026·宁夏吴忠·一模）在三棱锥中，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为______经典例题2例题 【答案】 【分析】将三棱锥补形为长方体并求出其外接球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，， 则AB，AC，AP两两垂直， 三棱锥与以AB，AC，AP为棱的长方体有相同的外接球， 因此球半径， 所以球的表面积为. （2026·新疆·模拟预测）已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得 ， 因此外接球表面积. （25-26高二上·云南大理·期末）在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析出三棱柱外接球的球心的位置，并求出到上、下底面的距离，由正弦定理求出外接圆的半径，即可根据求出球的半径，再根据球的体积公式计算即可得解. 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B （2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    【题型5：面面垂直模型】 【练方法】 核心模型 两个平面互相垂直常见直二面角 常考结论公式 设两个垂直平面内的三角形外接圆半径分别为二面角为两外接圆圆心到交线的距离分别为 1球心到两个平面的距离可通过勾股定理求解 2通用方法：找两个平面的外接圆圆心过圆心分别作所在平面的垂线交点即为球心 3特殊结论：若两个平面均为直角三角形且斜边重合则外接球直径为公共斜边长度 解题模板 1步骤1：分别求两个垂直平面内多边形的外接圆半径及圆心 2步骤2：过两个外接圆圆心分别作所在平面的垂线两垂线的交点即为球心 3步骤3：计算球心到任意顶点的距离即为外接球半径 4步骤4：特殊情况：公共斜边模型直接以斜边为直径作球 （25-26高三下·湖北武汉·月考）在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据平面平面，由和的外接圆圆心位置即半径确定外接球的球心位置，再利用勾股定理求得外接球的半径即可求出表面积. 【详解】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. （25-26高二上·浙江·月考）在三棱锥中，是边长为3的正三角形，且，，二面角的大小为，则此三棱锥外接球的表面积为________.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意结合面面垂直的性质分析可知平面，将三棱锥补形成直三棱柱，结合直三棱柱求外接球的半径和表面积. 【详解】由题意可知：，，，则，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 可知的外接圆半径， 将三棱锥补形成直三棱柱，    结合直三棱柱可知外接球的半径， 所以此三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： （25-26高二上·四川南充·月考）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质，结合球的截面性质确定球心位置，求出球半径即可求得球的表面积. 【详解】取中点，连接，由为正三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得是外接圆圆心，其半径， 三棱锥的外接球球心在直线上，而，设球半径为， 则，由，得，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： （24-25高一下·河南洛阳·期末）在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________.小试牛刀2 【答案】 【分析】取中点，连接，可证平面平面，记的外心为，为的外心为，过在平面内作，过在平面内作两直线交于点，求得即为外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】取中点，连接，所以，， 因为，所以 ， 又，，，所以， 所以，所以，所以， 所以为二面角的平面角， 又因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 记的外心为，的外心为， 过在平面内作，过在平面内作两直线交于点， 可得为三棱锥的外接球的球心， 因为，设，则， 解得，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. （24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______．小试牛刀3 【答案】2 【分析】根据题意，三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，再取的中点为，证得，在直角中，求得，再在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，即可求解. 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面， 取的中点，连接，因为且， 可得且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 可得，则，所以，且， 在直角中，可得， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，可得， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则. 故答案为：2 【题型6：对棱相等模型】 【练方法】 核心模型 三棱锥的三组对棱分别相等 常考结论公式 1补形法：将三棱锥补成长方体三组对棱为长方体的面对角线 2长方体的长宽高满足： 3三式相加得： 4外接球直径=长方体体对角线 5通用公式： 解题模板 1步骤1：确认三组对棱分别相等标记为 2步骤2：直接套用公式 3步骤3：计算球的表面积或体积 4步骤4：验证：补形后的长方体面对角线与原三棱锥对棱长度一致 （2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. （2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A （25-26高一下·安徽合肥·期中）已知四面体中，，且四点都在球的球面上，则球的表面积为_________．小试牛刀1 【答案】 【分析】把四面体放置在一个长方体中，得到四面体的外接球即为该长方体的外接球，设外接球的半径为，结合长方体的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】把四面体放置在一个如图所示的长方体中， 可得四面体的外接球即为该长方体的外接球， 设长方体的长、宽、高分别为，且外接球的半径为 因为， 可得，三式相加，可得，即， 所以，所以， 所以四面体外接球的表面积为. （25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（）小试牛刀2 A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. （25-26高三上·河北沧州·期中）蹴鞠（如图所示），类似今日的足球运动，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某鞠表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，则该鞠的表面积为（    ）小试牛刀3 A．cm2 B．371πcm2 C．742πcm2 D．cm2 【答案】A 【分析】根据空间四面体棱长的特点，放到长方体中，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为某鞠表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm， cm， 所以可以把空间四面体放到如下图所示的长方体中， 设长方体的棱长分别为， 则有， 于是该长方体的对角线长为， 所以蹴鞠的半径为， 于是该鞠的表面积为， 故选：A 【题型7：二面角模型】 【练方法】 模型前提 两个半平面形成二面角棱为 面1内的多边形外接圆半径为外心为 面2内的多边形外接圆半径为外心为 到棱的距离分别为 核心通用公式 设外接球半径为球心为 常考结论公式 设二面角两个面内的外接圆半径分别为棱的长度为 1球心到两个面的外接圆圆心的距离分别为利用二面角的平面角列方程 2通用方法：找两个面的外接圆圆心过圆心作面的垂线结合二面角求球心位置 3特殊结论：若二面角为则转化为面面垂直模型求解 解题模板 1步骤1：求二面角的平面角 2步骤2：分别求两个面内多边形的外接圆半径及圆心 3步骤3：过两个圆心作面的垂线设球心到两圆心的距离结合二面角列方程 4步骤4：解出球心位置再求外接球半径 5步骤5：特殊情况：二面角为直接用面面垂直模型 （2026·内蒙古赤峰·一模）如图1所示，在平面四边形中，，，，将沿折叠，得到图2中的三棱锥，使二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为________．经典例题1例题 【答案】 【分析】取的中点E，由已知可得为二面角的平面角，利用余弦定理求出，利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，则得的中点O为三棱锥的外接球的球心，即可得到外接球的半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，取的中点E，连接， 已知，，所以，， 又，所以，， 所以为二面角的平面角，其余弦值为， 在中，由余弦定理得 ， 即，则， 所以为直角三角形， 则的中点O为三棱锥的外接球的球心， 外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为. （24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________．经典例题2例题 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. （25-26高三上·山西太原·期末）已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意作出图形，根据外接球定义和几何体的特征作出外接球球心位置，由得到四点共圆且圆的直径为，由余弦定理求出外接圆半径即可求出外接球半径，可得外接球表面积. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 取中点中点，连接，因为，所以 又四边形是正方形，所以因为平面平面， 所以为二面角的平面角，所以， 取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线， 过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心， 因为， 所以， 则在中，， 所以三角形的外接圆半径满足 ， 因为，所以四点共圆，且圆的直径为， 所以，所以四棱锥的外接球半径满足， 所以外接球表面积为. 故答案为： . （25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积. 【详解】在Rt中，，则，， 由是的中点，得，为正三角形，， 令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接， 则，是二面角的平面角，， ，在中，由正弦定理得， 是正三角形，，在中，由余弦定理得， 令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面， 则，同理，而平面， 于是平面，而平面，则平面与平面重合， 即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得， ，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积. 故答案为： （25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据几何体特征确定球心位置，结合勾股定理可得答案. 【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 2．（25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 3．（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由球的体积公式可求得球的半径，由题意可得正方体的体对角线长度为，进而可求得正方体的棱长. 【详解】由球的体积为，可得球的半径满足，解得， 因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为， 设正方体的棱长为，则有，解得， 故选：C. 4．（25-26高三上·河北石家庄·月考）在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算三角形外接圆的半径，再求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设是等腰三角形的外心， 由，， ， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理得， 设三棱锥外接球球心为，半径为，则， 所以外接球的表面积为. 故选：D 5．（25-26高三上·福建福州·月考）已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别求得和的外接圆的半径，设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为，取的中点，连接，结合球的截面的性质，求得,进而求得球的表面积，得到答案. 【详解】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆面相交弦， 设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为， 取的中点，连接，可得， 在直角中，可得 , 所以外接球的表面积是． 故选：B. 6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知一个正四面体的三个顶点在球的球面上，设四面体的体积为，球的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正四面体结构性质、体积公式和球体的体积公式计算即可. 【详解】设球的半径为，则； 因为为正四面体， 所以可得， 则底面正三角形的高为，面积为，过点作底面的垂线段，垂足为， 则由正四面体的结构性质可知E为的中心，也是的重心，连接.    则，，在直角三角形中， 正四面体的高为， 则，所以， 故选： 7．（2026·四川雅安·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点分别为，连接，过作平面的垂线，垂足为，设正四棱台外接球的球心为，半径为，则在直线上，又，利用勾股定理求出即可求出从而得解. 【详解】正四棱台中，取中点分别为，连接， 由，，，可得，， 过作平面的垂线，垂足为，则点在上，且， 所以， 设正四棱台外接球的球心为，半径为， 由对称性可知球心在直线上， 若球心在线段上，则，此时无正数解， 所以球心在的延长线上，则， 即，解得， 所以， 所以该外接球的表面积为， 故选：B 8．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正四棱台的体积公式求出该棱台的高，然后取正四棱台上、下底面中心分别为，根据勾股定理列出等式，确定其外接球 球心的位置，从而求得其半径，最后根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为和， 所以该正四棱台上底面面积为，下底面面积为. 设正四棱台的高为，则根据正四棱台的体积公式得 ，解得. 设正四棱台上、下底面中心分别为，则其外接球球心在线段上， 因为， 设外接球的半径为，设，则，因为， 所以，化简得， 即正四棱台的外接球球心位于处. 此时，所以该棱台的外接球体积为. 二、填空题 9．（25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________. 【答案】 【分析】由，得正四棱锥的外接球球心为，半径为，可求外接球的体积. 【详解】正四棱锥中，设，连接，则平面， 设正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 因为正四棱锥的高为，所以， 底面正方形的边长为6，则有，所以即为， 正四棱锥的外接球半径为，外接球的体积为. 故答案为： 10．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】利用补形法，把底面是直角三角形的直三棱柱补形为长方体，再利用长方体的外接球直径是长方体的对角线，即可求解外接球的表面积. 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】/ 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连接.若二面角的大小为时，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，确定四面体外接球球心位置，结合球的截面小圆性质求出球半径即可得解. 【详解】由菱形，且，得均为正三角形，设它们的中心分别为， 取的中点，连，则，点共线，点共线， 是二面角的平面角，即， 又平面，于是平面，即平面是线段的中垂面， 则四面体外接球的球心平面，分别为的截面小圆圆心， ，，≌， 因此，，四面体的外接球半径为， 则，所以四面体的外接球的表面积. 故答案为： 13．（24-25高三上·黑龙江·月考）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为______. 【答案】/ 【分析】取中点，连接，根据等边三角形的性质及面面垂直的性质定理得平面，根据直角三角形的性质得的外接圆的圆心为M，所以三棱锥的球心在上，利用勾股定理求解球的半径，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】取中点，连接，由，得， 由于平面平面，且交线为，平面，故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上，且 设球半径为，则， 解得，故表面积为. 故答案为： 14．（24-25高一下·新疆巴州·期末）平面四边形ABCD，其中,将沿AC翻折，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______. 【答案】/ 【分析】作出图形，由题意判断当三棱锥体积最大时，有平面平面，取的中点为，连接，结合得到，推出点为的外心，证明平面，得到的外心即此时三棱锥的外接球球心，借助于即可求得外接球的半径. 【详解】 因为，可得为正三角形，且的面积为， 所以当三棱锥体积最大时，有平面平面， 又因取的中点为，连接，，依题意当时，三棱锥体积最大， 此时点为的外心，又因为正三角形，则， 因平面平面，平面平面， 平面，则平面， 故的外心即此时三棱锥的外接球球心， 因，，则外接球的半径为， 故三棱锥的外接球表面积为. 故答案为：. 15．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知正三棱柱的各棱长均为分别为棱的中点，经过作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】因为已知正三棱柱各棱长，所以可先确定底面正三角形外接圆的圆心，结合正三棱柱的高确定外接球的球心位置，再计算球心到的距离. 因为截面面积最小的情况是截面与球心和截面圆的圆心的连线垂直，此时截面圆的半径最小，所以求出球心到的距离，利用勾股定理计算最小截面圆的半径,即可求得答案. 【详解】正三棱柱的外接球的球心为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接， 设外接球的半径为，为正三角形，其外接圆半径为 则下底面外接圆的半径为， 在中，，则， 在中，，，， 作于，由于，则F为的中点， 则过的平面垂直时截面圆的面积最小， 则，截面圆的半径为， 所以截面圆的面积最小值为. 16．（2026·云南·模拟预测）已知正六棱锥的侧面积为，，则该正六棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据正六棱锥的性质结合勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】如图， 设为底面正六边形的中心，为的中点，连接，，. 设为正六棱锥外接球的球心. 由题意知为等腰三角形，因为正六棱锥的侧面积为， 所以，解得，所以， 因为为正六边形，为底面中心，所以， 所以. 设，所以，所以，解得. 所以正六棱锥外接球的表面积为． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的外接球问题求解即可. 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 18．（2026·四川成都·三模）已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【分析】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形，在这个图形中由几何法求得球半径，再计算表面积. 【详解】如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过， 由已知，，， 设， 若在线段上，则， ，即，解得， 所以与重合， 若在延长线上，则， 则有，同样解得，即与重合， 所以球半径为， 表面积为 19．（2026·甘肃兰州·一模）正四面体的棱长为，过棱作平面与棱平行，则平面截该正四面体的外接球所得截面的面积为__________. 【答案】 【分析】通过分析平面的位置，确定外接球球心到平面的距离，再计算出截面圆的半径求解. 【详解】正四面体的外接球半径为：， 对棱和互相垂直且距离为：， 平面过且平行于，故平面与的距离等于与的距离为， 球心在正四面体的中心，所以球心到平面的距离， 则截面圆的半径， 所以截面的面积为：. 三、解答题 20．（25-26高一下·全国·课后作业）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 【答案】 【分析】设球心为，半径为，在中，可得即可求得半径. 【详解】如图，设球心为，半径为， 则中，，解得， ∴该球的表面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $