第10讲 空间中点、直线、平面之间的关系（知识清单+9题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（人教A版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

第10讲 空间中点、直线、平面之间的关系 知识清单 知识点01：平面的概念,画法及表示法 知识点02：平面的基本性质 知识点03：异面直线及画法 知识点04：空间两条直线的位置关系 知识点05：直线与平面的位置关系 知识点06：两个平面的位置关系 题型讲解 （举一反三） 题型1：平面分空间区域的数量 题型2：平面的基本性质 题型3：点（线）确定的平面数量问题 题型4：空间中点（线）共面问题 题型5：空间中的点共线及线共点问题 题型6：由平面的基本性质作截面图形 题型7：等角定理及应用 题型8：异面直线的判定，异面直线所成的角，距离 题型9：线面、面面平行 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、 平面的概念,画法及表示法 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②. ①　　　　　 ② 3．平面的表示法 上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 知识点二、平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 基本事实的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点三、异面直线及画法 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法： ①　　　　　　② 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点六、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 题型1：平面分空间区域的数量 【例1-1】（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三棱柱三个侧面、两个平行的底面将空间分成21部分，再由三棱柱变为三棱锥可得解. 【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分， 把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分， 中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块. 故选：B. 【变式1-2】两个平面把空间最多分成_____________个部分. 【答案】4 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 【变式1-3】（24-25高一下·广西玉林·期中）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 【答案】12 【分析】分类讨论得到三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分，从而得到，，所以． 【详解】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分． 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故，，所以． 故答案为：12 题型2：平面的基本性质 【例2-1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【详解】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D 【变式2-2】（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实确定点的位置，再作图确定的位置作答. 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的性质即可得解. 【详解】A，，是平面ABC与的交线， 延长BA交l于D，则平面ABC， 因为，所以，又， 是平面ABC与的交线，则对应的图示如图， . 题型3：点（线）确定的平面数量问题 【例3-1】（24-25高一下·广西防城港·期中）若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可. 【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面. 故选：C 【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【答案】A 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A. 【变式3-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 【变式3-3】空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 【答案】6个 【分析】根据平面的基本性质，交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，列举出所有可能平面，即可得答案. 【详解】空间中交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面， 任意两条直线确定一个平面，若四条直线分别为， 所以各确定一个平面，共有6个平面. 故答案为：6个 题型4：空间中点（线）共面问题 【例4-1】（24-25高一下·河北·月考）下列判断正确的是（   ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【分析】利用平面的相关基本事实即可得解. 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误； 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，直线与直线外一点可确定唯一平面，即这五点一定共面，故D正确． 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在长方体的所有棱中，既与AB共面，又与共面的棱有__________条． 【答案】5 【分析】作图观察即可. 【详解】作图并观察可知，既与AB共面又与共面的棱有CD，BC，，，，共5条． 故答案为：5 【变式4-3】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 题型5：空间中的点共线及线共点问题 【例5-1】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【答案】D 【分析】由平面的基本性质可得出平面平面，即可得解. 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D 【变式5-1】下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知正方体． （1）________； （2）平面∩平面________； （3）________． 【答案】 【分析】利用平面的基本性质与图象可求答案. 【详解】（1）同在平面中，交于点，故． （2）平面与平面相交，交线为，故平面∩平面． （3）三条直线交于一点，． 故答案为：；；. 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】运用平面当中的点，线，面相关定理证明即可. 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 题型6：由平面的基本性质作截面图形 【例6-1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【变式6-1】（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3， (1)求四棱锥的体积； (2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用体积公式即可求解， （2）根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【详解】（1）由正方体特征知， （2）如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为． 题型7：等角定理及应用 【例7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 【变式7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以或. 故选：C 【变式7-2】（2024高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，分别是的中点，则________. 【答案】 【分析】如图，根据中位线的性质可得，即可求解. 【详解】如图，由题意知， 由题意知，，所以. 故答案为： 【变式7-3】如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】通过平行以及长度关系证明，，然后根据等角定理证明. 【详解】证明：因为，分别是，的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 同理可证， 又与方向相同，所以. 题型8：异面直线的判定，异面直线所成的角，距离 【例8-1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平行六面体的性质判断选项中各线段与的位置关系，即可得答案. 【详解】由图可知、与均在平面内，故A、D不符合题意； 位于平面内，位于平面内，平面平面， 故与不相交； 又，与相交，故与不平行，则与异面，B正确； 连接，由于，故四边形为平行四边形， 则，又，故，C不符合题意， 故选：B 【变式8-1】（24-25高一下·湖北·期末）正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线的定义结合异面直线所成角的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，因为、分别为、的中点，所以， 同理可证，由图可知，、为异面直线， 因为，，故四边形为平行四边形， 故，则， 因为四边形为正方形，所以，故，A不满足要求； 对于B选项，连接、、、，如下图所示： 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可得， 因为，，故四边形为平行四边形，故， 所以，异面直线、所成角等于或其补角， 在正方体中，易知为等边三角形，故， 故异面直线、所成角为，B满足要求； 对于C选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，故， 所以，、共面，C不满足要求； 对于D选项，在正方体中，取棱的中点，连接、、， 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可证，故， 故异面直线、所成角为或其补角， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，故平面， 因为平面，故， 不妨设正方体的棱长为，则，， 所以，故，D不满足要求. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 【变式8-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）取的中点，连接，，根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）如图：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以，， 在中，，则， 所以，即， 在中由余弦定理得， 因为异面直线所成角范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 题型9：线面、面面平行 【例9-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，， ，或． 故选：D. 【变式9-1】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 【变式9-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 【答案】1 【分析】根据线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理得出及，即可判断. 【详解】如图，取的中点，且． 又且，所以且，四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，故平面； 若平面，平面，平面平面，则，矛盾； 过点作交于点，连结，，则． 若平面，平面，平面平面，故， 又，则四边形是平行四边形，但，矛盾． 故在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的有1条． 故答案为：1. 【变式9-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理可得答案. 【详解】，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．两条相交直线不能确定一个平面 B．若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C．若直线，，两两平行，则直线，，共面 D．若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 【答案】D 【分析】由两条相交直线确定平面判断A；当，，三点在同一条直线上时，得不出结论判断B；举反例判断C；利用基本事实3可得点在平面与平面的交线上，可判断D. 【详解】两条相交直线确定一个平面，故A错误． 当，，三点在同一条直线上时，平面与可以不重合，故B错误． 三棱柱的三条侧棱两两平行，但这三条侧棱不共面，故C错误． 由直线在平面内，且与平面交于点可知点既在平面内，又在平面内，则点在平面与平面的交线上，故D正确． 故选：D. 3．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 4．（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 5．（24-25高一下·河南·月考）“直线与直线相交”是“点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由基本事实3及其推理即可判断. 【详解】由直线与直线相交，得点确定一个平面，故充分性成立； 当点共面时，直线与直线有可能平行，还有可能相交，故必要性不成立. 故选：A. 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义找到对应的平面角，应用余弦定理求其大小即可. 【详解】由题设且，即四边形为平行四边形，故， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角或其补角， 设正方体棱长为2，则，故， 结合异面直线夹角的范围知，异面直线与所成角为. 故选：B 7．如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，则，推出，，，四点共面，再计算即可得出答案． 【详解】延长交于点，则， 即为的中点， 连接，取中点，连接，则，    所以，，，四点共面，故梯形即为截面图形， ，， ， 记边上的高为，      则解得 所以． 故选：D． 8．（24-25高一下·山东泰安·期末）如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据点、线、面的位置关系，在正方体中，易得，即四点共面，可得相交，也相交，另易得，即四点共面，同理可得相交，对于D，根据异面直线的判定可确定与、为异面直线即可判断. 【详解】连接， 在正方体中，分别为的中点， 所以，即四点共面， 则平面，又不平行，所以相交，故A错误； 同理也相交，故B错误； 又分别为的中点，所以， 所以共面，又不平行，所以相交，故C错误； 平面，，所以为异面直线， 同理可知也是异面直线，所以线段上不存在线段与上的点，故D正确； 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【分析】根据平面的定义判断A，根据基本事实2判断B，举反例判断C，根据基本事实一的推论判断D. 【详解】根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线在这个平面内，可得若，则，B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确； 故选：BD. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断. 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 11．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 【答案】ABC 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【分析】连接，根据基本事实2、基本事实3可得答案． 【详解】如图，连接，， 显然平面，平面， 平面． 同理，平面， ∴平面平面． 平面， 平面． 又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即， ，，三点共线． 故答案为：共线. 13．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】/ 【分析】由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图， 连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以则为直线与所成角或其补角， 设正方体边长为， 则，，， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，是正四面体棱，的中点，正四面体棱长为4，则异面直线，所成角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义找到异面直线的夹角，结合正四面体的性质、三角形中位线的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】如图，取中点，连接，，由是的中点， 可得是的中位线，结合中位线定理得， 因为是的中点，所以， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得. 故答案为： 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中， (1)与是否在同一平面内？ (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)在同一平面内； (2)作图见解析 【分析】（1）经过两条平行直线，有且只有一个平面，由此判断与是在同一平面； （2）先画出图象，再求出平面与平面的公共点，由此画出两个平面的交线. 【详解】（1）∵， ∴与可确定平面， ∴与在同一平面内. （2）如图所示: 设，连接，则平面，且平面. ∵平面，且平面BC1D， ∴平面平面． 16．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 17．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，.若，直线与所成的角为，求二面角的大小. 【答案】 【分析】由，，可得平面，从而有，即是二面角的平面角，利用边长关系即可得到的大小，从而求得答案. 【详解】因为，， 所以， 又底面，平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以是二面角的平面角， 又直线与所成角为， 所以，， 因为，所以在中，， 所以， 即二面角的大小为. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，，，，分别为，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用中位线性质证明与平行且相等即四边形是平行四边形. (2)由(1)知道四边形是平行四边形，因为即可得到平行四边形邻边相等，所以四边形是菱形. 【详解】（1）空间四边形中,,,,分别为,,,的中点， 所以,,. 所以, 所以四边形是平行四边形． （2）因为空间四边形中，,,,分别为,,,的中点， 所以，, , 因为，所以． 又因为是平行四边形，所以四边形是菱形． 19．（24-25高一下·河南·月考）如图，在正四棱锥中，点E，F分别为PD，PB的中点，点G，H分别为棱AD，AB上的一点，且．    (1)若，求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 【答案】(1)24 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质求解高，再利用锥体体积公式计算即可； （2）由中位线性质可得，由平行线分线段成比例得，结合平行公里即可得结论； （3）分析可得交于一点，记交点为，由平面的基本性质可得，即可得结论． 【详解】（1）因为， 所以正四棱锥的高， 所以正四棱锥的体积； （2）证明：连接，    因为点分别为的中点， 所以， 又点分别为棱上的一点，且， 所以， 所以，所以四点共面； （3）证明：由（2）知， 所以直线相交，记交点为， 所以，又平面， 所以平面， 同理可得平面， 又平面平面， 所以，即直线三条直线交于一点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 空间中点、直线、平面之间的关系 知识清单 知识点01：平面的概念,画法及表示法 知识点02：平面的基本性质 知识点03：异面直线及画法 知识点04：空间两条直线的位置关系 知识点05：直线与平面的位置关系 知识点06：两个平面的位置关系 题型讲解 （举一反三） 题型1：平面分空间区域的数量 题型2：平面的基本性质 题型3：点（线）确定的平面数量问题 题型4：空间中点（线）共面问题 题型5：空间中的点共线及线共点问题 题型6：由平面的基本性质作截面图形 题型7：等角定理及应用 题型8：异面直线的判定，异面直线所成的角，距离 题型9：线面、面面平行 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、 平面的概念,画法及表示法 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②. ①　　　　　 ② 3．平面的表示法 上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. 知识点二、平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 基本事实的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点三、异面直线及画法 1．异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法： ①　　　　　　② 知识点四、空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 知识点五、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 知识点六、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 题型1：平面分空间区域的数量 【例1-1】（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【变式1-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【变式1-2】两个平面把空间最多分成_____________个部分. 【变式1-3】（24-25高一下·广西玉林·期中）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 题型2：平面的基本性质 【例2-1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2-1】（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【变式2-2】（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 题型3：点（线）确定的平面数量问题 【例3-1】（24-25高一下·广西防城港·期中）若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【变式3-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【变式3-3】空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 题型4：空间中点（线）共面问题 【例4-1】（24-25高一下·河北·月考）下列判断正确的是（   ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【变式4-1】（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在长方体的所有棱中，既与AB共面，又与共面的棱有__________条． 【变式4-3】如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 题型5：空间中的点共线及线共点问题 【例5-1】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ） A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【变式5-1】下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【变式5-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知正方体． （1）________； （2）平面∩平面________； （3）________． 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知：，，，，，求证：．    题型6：由平面的基本性质作截面图形 【例6-1】（24-25高一下·海南·月考）在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·河南安阳·期末）如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3， (1)求四棱锥的体积； (2)若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 题型7：等角定理及应用 【例7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【变式7-1】（24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式7-2】（2024高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，分别是的中点，则________. 【变式7-3】如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 题型8：异面直线的判定，异面直线所成的角，距离 【例8-1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，平行六面体，E，F分别是，的中点，与成异面直线的是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·湖北·期末）正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有_________条.      【变式8-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知三棱锥满足，. (1)证明：直线与直线是异面直线； (2)若为的中点，为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 题型9：线面、面面平行 【例9-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【变式9-1】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式9-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 【变式9-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南·期中）下列命题正确的是（   ） A．两条相交直线不能确定一个平面 B．若，，三点既在平面内，又在平面内，则平面与重合 C．若直线，，两两平行，则直线，，共面 D．若平面与平面交于直线，直线在平面内，且与平面交于点，则点在直线上 3．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 4．（24-25高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ）． A．25 B．26 C．28 D．30 5．（24-25高一下·河南·月考）“直线与直线相交”是“点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）在正方体中，为棱的中点，异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为4，，，过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山东泰安·期末）如图，正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，，对于空间任意两点，，若线段上不存在线段与上的点，则称，两点“可透视”，则与点“可透视”的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 二、多选题 9．（24-25高一下·河南郑州·期中）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 11．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． C．，，三线共点 D． 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 13．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________. 14．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知，是正四面体棱，的中点，正四面体棱长为4，则异面直线，所成角的余弦值为_________． 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中， (1)与是否在同一平面内？ (2)画出平面与平面的交线． 16．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 17．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，.若，直线与所成的角为，求二面角的大小. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，，，，分别为，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 19．（24-25高一下·河南·月考）如图，在正四棱锥中，点E，F分别为PD，PB的中点，点G，H分别为棱AD，AB上的一点，且．    (1)若，求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $