精品解析：广东江门市第一中学景贤学校2025-2026学年九年级下学期中考考前预测数学试题

景贤学校2025-2026学年度第二学期三模考试试题 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 广东省“南粤家政”工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为，，，，其中最接近标准值的是（ ） A. B. C. D. 2. 据中国信息通信研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（　　） A. B. C. D. 6 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 6. 如图，，，点D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 学校开展劳动教育，小明在农场帮忙时观察到：一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度h（米）与注水时间t（小时）的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位米时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 注水前，蓄水池水的初始深度为0.1米 B. 水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C. 注水时间为1.8小时时水泵报警 D. 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.3米 9. 如图，点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，且，．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形内的概率是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，点A在轴负半轴上，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解_____． 12. 若反比例函数的图象经过点，则 _________． 13. 如图，在中，，，，，则_____． 14. 八边形的内角和为________度． 15. 已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. ． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： （1）小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； （2）请指出他从第_______步开始出现错误； （3）将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 17. 如图，某希望工程队拟沿方向挖掘隧道，为加快施工的进度，需要在另一边E处同时施工，使A、C、E三点在一条直线上，希望工程队从上的一点B取，，，则点E与点D之间的距离是多少米？（结果精确到）（参考数据：，，） 18. 如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． （1）实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为纪念抗战胜利80周年、庆祝国庆76周年，某校计划通过实践作业培育中学生的社会主义核心价值观，加强青少年思想道德建设，引导学生厚植对祖国和家乡的情感．该校设计了6项实践作业：分别是“我与国旗合个影”“祝福话语我来讲”“手绘国庆七彩梦”“共访红色足迹”“家乡名片亮出来”“伟大精神我传承”．近期，学校随机调查了部分学生的作业完成情况，按每名学生完成的作业数量分成4个等级：A级：完成0-1项，B级：完成2-3项，C级：完成4-5项，D级：完成6项．并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了____名学生，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为_____°； （3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人参加学校作业展示，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 20. 如图，在中，，，边的垂直平分线分别交和于点D、E，点F在的延长线上，连接． （1）从①；②；③中，选择一个作为已知条件，另外两个作为结论，请根据你的选择，完成证明过程； （2）在（1）中，连接，若，求的面积． 21. 综合与实践 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）的标识融合了中国传统文化中的“洛书”、“河图”和八卦符号．八卦符号由三个“爻”（yáo）组成，其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0．每个八卦符号对应一个二进制数．为了区分不同的进位制数，常在数的右下角标明基数，如表示二进制数1011，但十进制数一般不标注基数．每一种进制数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，不同进制数之间可以相互转换．如： ， ， ， 故， （1）大会标识中的八卦符号如表格所示，请根据以上信息填表： 卦名 兑 乾 艮 离 符号 对应的二进制数 ___ ___ （2）八卦符号共有8种组合：，转换成十进制数后对应0-7，也可以看成八进制数的0-7．大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为十进制数得到一个四位数：再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数．这个十进制数就是会议年份．例：乾．请计算出会徽中的“”所对应的年份，并写出具体过程． （3）先秦文献《世本·作篇》中记载“隶首作数”，讲述黄帝的侄子隶首曾用绳子打结来记录牛羊数量．如下图所示，有两农户在从右往左依次排列的绳子上打结，其中农户A选择满m进一，农户B选择满4进一，请问是否存在自然数m，使得两家农户牛羊的数量相同，如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质． 证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点O，并连接，则． ， ，________， ， ∴四边形的顶点A，B，C，D均在以O为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程； （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点P是边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线于点E． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，，当为等腰三角形时，求的长为______． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（k为正实数）．点P是延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线于点E，延长交边于点F，则的值能否用含k的式子表示？如果可以，请求的值；若不能，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点为轴上一动点．连接，线段的垂直平分线分别交，轴于点，，过点作轴的垂线交直线于点，连接，． （1）当点不在原点处时，请直接写出四边形的形状； （2）设点坐标为，点在轴上运动时，求出与之间的函数关系式； （3）点运动的运动轨迹记作曲线，延长交曲线于点，过点作垂直于轴，垂足为．连接，．设点的横坐标为． ①直线经过的定点的坐标为____； ②是否是定值？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景贤学校2025-2026学年度第二学期三模考试试题 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 广东省“南粤家政”工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为，，，，其中最接近标准值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个数与标准值0的距离为该数的绝对值，绝对值越小，数越接近标准值，计算各数的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ 的绝对值最小，最接近标准值． 2. 据中国信息通信研究院测算，截止到2025年12月，我国人工智能核心产业规模已突破120000亿元，显示出我国在人工智能领域的强劲势头．数据“120000亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将“120000亿”转化为标准数字形式，再根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】 1亿 ， 120000亿 ， 将结果整理为科学记数法形式： ． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形如下： 故选：C． 4. 计算的结果为（　　） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则，先将两个根号内的数相乘，再化简结果，并注意符号的处理． 【详解】解：， 故选：B． 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 6. 如图，，，点D在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 某智能电桩充电公司2024年第一季度净利润为100万元，第三季度净利润增长到144万元，设该公司第二、三季度的季均增长率均为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设该公司第二、三季度的季均增长率均为， 根据题意得，． 8. 学校开展劳动教育，小明在农场帮忙时观察到：一个匀速工作的水泵向蓄水池内注水，池中水的深度h（米）与注水时间t（小时）的关系如图所示．当池中水的深度达到警戒水位米时，水泵会自动报警，并且会改变注水的速度．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 注水前，蓄水池水的初始深度为0.1米 B. 水泵报警前的注水速度是每小时0.4米 C. 注水时间为1.8小时时水泵报警 D. 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时0.3米 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象逐一分析即可． 【详解】解：注水前，蓄水池水的初始深度为米，A不符合题意； 水泵报警前的注水速度是每小时米，故B符合题意； 注水时间为小时时水泵报警， ∴， 解得：，故C不符合题意； 注水达到0.8米深度后，注水速度为每小时米，故D不符合题意． 9. 如图，点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，且，．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形内的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接AO，∠BAC＝120，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO＝60，解直角三角形得到AB＝，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积＝，根据概率公式即可得到结论． 【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120， ∵AB＝AC，BO＝CO， ∴AO⊥BC，∠BAO＝60， ∵BC＝2， ∴BO＝1， ∴AB＝BO÷cos30°=， ∴扇形ABC的面积＝， ∵⊙O的面积＝， ∴飞镖落在扇形ABC内的概率是=， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，点A在轴负半轴上，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．连接，过B作，由旋转的性质可得，则，由含30度直角三角形的性质和勾股定理可得，，最后确定点B的坐标即可． 【详解】解：如图：连接，过B作， ∵点A在轴负半轴上，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ， ∵点B在第二象限， ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若反比例函数的图象经过点，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式．直接把点代入反比例函数的解析式，即可求出k的值． 【详解】解：把代入得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 14. 八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【解析】 【详解】解：八边形的内角和=， 故答案为：1080． 15. 已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. ． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： （1）小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； （2）请指出他从第_______步开始出现错误； （3）将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】（1）加法的交换律、结合律 （2）三 （3）解：原式 ． 【解析】 【小问1详解】 解：小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法的交换律、结合律． 【小问2详解】 解：第三步两个负数相加计算错误． 【小问3详解】 略 17. 如图，某希望工程队拟沿方向挖掘隧道，为加快施工的进度，需要在另一边E处同时施工，使A、C、E三点在一条直线上，希望工程队从上的一点B取，，，则点E与点D之间的距离是多少米？（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】点E与点D之间的距离大约米 【解析】 【分析】利用外角的定义，已知，，求出的度数，判断的形状，因为为已知边，所求是的邻边，所以根据锐角三角函数中余弦的定义，列出与、的关系式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵三点共线， 且，， ∴， ∴是直角三角形，为直角， 在中，​， 其中， ∴， 解得． 18. 如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． （1）实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 【答案】（1）如图所示，点E即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，与优弧的交点即为所求； （2）连接，则由圆周角定理可得，，要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可，再由三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 则由圆周角定理可得， 要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可， ∵ ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为纪念抗战胜利80周年、庆祝国庆76周年，某校计划通过实践作业培育中学生的社会主义核心价值观，加强青少年思想道德建设，引导学生厚植对祖国和家乡的情感．该校设计了6项实践作业：分别是“我与国旗合个影”“祝福话语我来讲”“手绘国庆七彩梦”“共访红色足迹”“家乡名片亮出来”“伟大精神我传承”．近期，学校随机调查了部分学生的作业完成情况，按每名学生完成的作业数量分成4个等级：A级：完成0-1项，B级：完成2-3项，C级：完成4-5项，D级：完成6项．并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了____名学生，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为_____°； （3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人参加学校作业展示，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）50；补全条形统计图如图： （2）108 （3） 【解析】 【分析】（1）先用D级的人数除以占比求出总数，再用总数减去其余的人数求出C级的人数，即可补全条形统计图； （2）用乘以D级的占比即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 则C级的人数为：， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数有2种， ∴恰好选中甲和乙的概率是． 20. 如图，在中，，，边的垂直平分线分别交和于点D、E，点F在的延长线上，连接． （1）从①；②；③中，选择一个作为已知条件，另外两个作为结论，请根据你的选择，完成证明过程； （2）在（1）中，连接，若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵在中，，， ∴ ∵边的垂直平分线分别交和于点D、E， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ①作为条件，②③作为结论， ∵，而 ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是菱形， ∴，； ②作为条件，①③作为结论， 由上知，，∵ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，； ③作为条件，①②作为结论， ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，． （2） 【解析】 【分析】（1）先得到为等边三角形，然后分三种情况求解，根据菱形的判定与性质证明即可； （2）解求出，再由三角形中位线定理和菱形的性质求解，即可求解的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， （1）中的三个情况均可知四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 综合与实践 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）的标识融合了中国传统文化中的“洛书”、“河图”和八卦符号．八卦符号由三个“爻”（yáo）组成，其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0．每个八卦符号对应一个二进制数．为了区分不同的进位制数，常在数的右下角标明基数，如表示二进制数1011，但十进制数一般不标注基数．每一种进制数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，不同进制数之间可以相互转换．如： ， ， ， 故， （1）大会标识中的八卦符号如表格所示，请根据以上信息填表： 卦名 兑 乾 艮 离 符号 对应的二进制数 ___ ___ （2）八卦符号共有8种组合：，转换成十进制数后对应0-7，也可以看成八进制数的0-7．大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为十进制数得到一个四位数：再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数．这个十进制数就是会议年份．例：乾．请计算出会徽中的“”所对应的年份，并写出具体过程． （3）先秦文献《世本·作篇》中记载“隶首作数”，讲述黄帝的侄子隶首曾用绳子打结来记录牛羊数量．如下图所示，有两农户在从右往左依次排列的绳子上打结，其中农户A选择满m进一，农户B选择满4进一，请问是否存在自然数m，使得两家农户牛羊的数量相同，如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：所对应的年份为2021年，具体过程如下： 会徽中的“”所对应二进制分别为：，，，， 它们分别转换为十进制分别为： ，， ， ， 这个四位数看作一个八进制数为， 再转化为十进制数为：， 故所对应的年份为2021年． （3）存在，m的值为3 【解析】 【分析】（1）根据其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0求解即可； （2）先将会徽表示的二进制表示出来，再转化为十进制表示的四位数，再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数，由此可解； （3）仿照二进制转化为十进制的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：“艮”表示，“离”表示； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：农户A牛羊的数量为， 农户B牛羊的数量为， 令，整理可得， 解得或（舍）， 故存在自然数3，使得两家农户牛羊的数量相同． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】 小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质． 证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点O，并连接，则． ， ，________， ， ∴四边形的顶点A，B，C，D均在以O为圆心，为直径的圆上． （1）请补全小明同学的证明过程； （2）【性质应用】如图3，在矩形中，点P是边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线于点E． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，，当为等腰三角形时，求的长为______． （3）【拓展提升】如图4，在矩形中，（k为正实数）．点P是延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线于点E，延长交边于点F，则的值能否用含k的式子表示？如果可以，请求的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明：连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②的长为或或 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：连接， ∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． 【小问3详解】 解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，点为轴上一动点．连接，线段的垂直平分线分别交，轴于点，，过点作轴的垂线交直线于点，连接，． （1）当点不在原点处时，请直接写出四边形的形状； （2）设点坐标为，点在轴上运动时，求出与之间的函数关系式； （3）点运动的运动轨迹记作曲线，延长交曲线于点，过点作垂直于轴，垂足为．连接，．设点的横坐标为． ①直线经过的定点的坐标为____； ②是否是定值？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）菱形 （2） （3）① ②是定值，值为 【解析】 【分析】（1）先由是中垂线得，，再证，得，最后根据四边形四边相等判定菱形； （2）先由推出，再由中垂线性质得，最后通过两点距离列式化简，得抛物线解析式； （3）：先根据、，利用待定系数法求出直线的斜率为，再根据、，利用待定系数法求出直线的斜率为，接着由、、共线，推出，从而求出，最后代入、坐标求出直线解析式，观察截距得定点； 用表示、代数式，分别取倒数相加，通分后分子分母约分得定值1． 【小问1详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵点坐标为，轴， ∴点坐标为， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得：； 【小问3详解】 ∵点的横坐标为，且在曲线上， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为，且， 设点的坐标为，直线的解析式为， 把，代入中，得：， 解得， ∵点也在直线上， ∴把，代入中，得， 解得， ∵在同一直线上， ∴， 整理得， ∵与不重合， ∴，即， ∴， 解得， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入中，得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，，与的取值无关， ∴直线恒过定点； 由（2）知，等于的纵坐标， ∴， ∵， ∴， ∴是定值，定值为1． 【点睛】几何条件坐标化，参数运算消参求定点定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $